棱柱、棱锥和棱台(用)

8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课是第1课时，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征.教材首先让学生观察现实世界中实物的图片,引导学生将观察到的实物进行归纳、分类抽象、概括,得出柱体、锥体、台体的结构特征,在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程,它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用,新课程从对空间几何体的整体观察入手,再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛,强调几何直观,淡化几何论证,可以激发学生学习立体几何的兴趣.教学目标与核心素养A.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；B.从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；C.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；D.会表示有关几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类.教学重难点1.教学重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；2.教学难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括.课前准备多媒体.教学过程一、复习回顾，温故知新1.通过生活中的图片引入，初步感受空间几何体.二、探索新知观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗？空间几何体的定义:如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．思考1：如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？【答案】纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.1.多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.面ABE，面BAF，棱AE，棱EC，顶点E，顶点C2.旋转体：由一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴.思考2：观察下面的长方体，它的每个面是什么样多边形？不同的面之间有什么位置关系？【答案】它的每个面是平行四边形，不同的面之间位置关系有平行、相交，相对面平行.（一）棱柱1.棱柱定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱.为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出下面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？2棱柱的表示法：用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE-A1B1C1D1E13.（1）棱柱的分类1：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、…… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……（2）棱柱的分类2：一般地，把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫平行六面体.练习：说出下列那些图是直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体？解：直棱柱：（1）、（3）;斜棱柱：（2）、（4）;正棱柱：（2）; 平行六面体（4）.4.棱柱的性质：（1）侧棱都互相平行且相等，各侧面都是平行四边形；直棱柱的每条侧棱及每个侧面都垂直于底面.（2）两个底面及平行于底面的截面是全等的多边形，且对应边互相平行；（3）过不相邻的两条侧棱的截面（即对角面）是平行四边形.练习：下列命题中正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D.有两个相邻侧面垂直与底面的棱柱是直棱柱【答案】D（二）棱锥思考3：上图中的物体具有什么样的共同的结构特征？【答案】一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.1.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.2.棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD.通过练习题进一步巩固棱柱的定义，提高学生解决问题的能力.通过思考，观察图形的特征，概括出棱锥的定义，提高学生分析问题的能力、概括能力.3.棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……其中三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.练习：下面几何体是棱锥吗？【答案】不是，各侧面没有公共点.（三）棱台1.棱台的概念：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.思考4：请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在棱台中标出.2.棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶点的字母来表示：如棱台ABCDE-A1B1C1D1E1.3.棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台…练习：判断:下列几何体是不是棱台,为什么?【答案】（1）不是，侧棱不交于一点；（2）不是，没有两面平行.思考5.棱台的结构特征是什么？【答案】①各侧棱的延长线相交于一点；②截面平行于原棱锥的底面.例1.将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.解：如图所示三、达标检测1．判断正误(1)棱柱的侧面都是平行四边形．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．()(3)用一平面去截棱锥底面和截面之间的部分叫棱台．()【答案】(1)√(2)×(3)×2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥【答案】D【解析】根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．故选D.3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等．故选D. 4．一个棱柱至少有个面，顶点最少的一个棱台有条侧棱．【答案】53【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有3条侧棱．5．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′CBB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.教学反思通过本节授课有一些心得.如在引导学生进行归纳总结的时候,教师应该不着急于给出正确的答案.学生初始的回答可能只是其中的一两点,而且不完整,甚至有错误的见解.教师应该对于正确的及时给予肯定和鼓励.通过教师的鼓励,能大幅度地调动其他学生的积极性和增加其他学生回答问题的勇气.这样其他学生就能自主地给予修正补充.充分发挥协作学习,达到事半功倍的效果.。

棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。

2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。

（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。

（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。

二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。

2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。

（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。

三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。

2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。

（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。

（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。

四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。

2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。

3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。

以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。

如果还有其他问题，欢迎继续提问。

棱柱棱锥棱台的体积公式棱柱、棱锥和棱台是几何学中常见的立体图形。

它们都具有特定的体积公式，通过这些公式可以计算出它们的体积。

下面我们将分别介绍棱柱、棱锥和棱台的体积公式。

一、棱柱的体积公式棱柱是由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的棱所围成的立体图形。

它的体积可以通过底面积与高的乘积来计算。

假设底面积为S，高为h，则棱柱的体积公式为：V = S * h其中，V表示棱柱的体积。

二、棱锥的体积公式棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个点的棱所围成的立体图形。

它的体积可以通过底面积与高的乘积再除以3来计算。

假设底面积为S，高为h，则棱锥的体积公式为：V = (S * h) / 3其中，V表示棱锥的体积。

三、棱台的体积公式棱台是由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的棱所围成的立体图形。

它的体积可以通过底面积与高的乘积再除以3来计算。

假设底面积为S1，顶面积为S2，高为h，则棱台的体积公式为：V = (S1 + S2 + √(S1 * S2)) * h / 3其中，V表示棱台的体积。

通过以上的体积公式，我们可以计算出棱柱、棱锥和棱台的体积。

这些公式的推导过程都是基于几何学的原理和定理，具有一定的准确性和可靠性。

需要注意的是，在使用这些体积公式进行计算时，需要确保所使用的尺寸单位是一致的。

另外，对于复杂的多边形底面，可以将其分解为多个简单的几何形状，然后分别计算它们的体积，最后再将结果进行合并。

总结起来，棱柱、棱锥和棱台都是常见的立体图形，它们的体积可以通过相应的公式进行计算。

这些公式是基于几何学的原理和定理推导而来的，具有一定的准确性和可靠性。

在实际应用中，我们可以利用这些公式来计算和解决与棱柱、棱锥和棱台相关的问题。

通过准确计算出它们的体积，可以帮助我们更好地理解和应用几何学的知识。

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积高中数学　1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．导语　在初中我们学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积问题　我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、棱台的展开图是什么样子的？提示　知识梳理　多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高为 cm ，求此正三棱台的表面积．32解　如图所示，画出正三棱台ABC －A 1B 1C 1，其中O 1，O 为正三棱台上、下底面的中心，D ，D 1分别为BC ，B 1C 1的中点，则OO 1为正三棱台的高，DD 1为侧面梯形BCC 1B 1的高，四边形ODD 1O 1为直角梯形，所以DD 1＝＝＝，所OO 21＋(OD －O 1D 1)2(32)2＋(3－32)23以此三棱台的表面积S 表＝S 侧＋S 底＝3××(3＋6)×＋×32＋×62＝ (cm 2)．12334349934反思感悟　求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．跟踪训练1　已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S －ABCD 如图所示，求它的侧面积、表面积．解　∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形．设E 为AB 的中点，连接SE (图略)，则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×AB ×SE ＝2×5×＝25，S表＝S 侧＋S 底1252－(52)23＝25＋25＝25(＋1)．33二、棱柱、棱锥、棱台的体积知识梳理　几何体体积说明棱柱V 棱柱＝ShS 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝Sh 13S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝(S ′＋＋S )h13S ′S S ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( )A. B.1412C. D.3634答案　D解析　设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，则＝S △ABC h ＝××3＝.1B ABCV 锥－△△13133434(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2.求其体积．解　正四棱台的大致图形如图所示，其中A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20cm ，取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E1E 为斜高．设O 1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1为直角梯形．∵S 侧＝4××(10＋20)×EE 1＝780(cm 2)，12∴EE 1＝13 cm.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝A 1B 1＝5 cm ，OE ＝AB ＝10 cm ，1212∴O 1O ＝＝12(cm)．132－(10－5)2故该正四棱台的体积为V ＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．13反思感悟　求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．跟踪训练2　如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为________．答案　13解析　由题意可知四棱锥A 1－BB 1D 1D 的底面是矩形，边长为1和，四棱锥的高为2A 1C 1＝，1222则四棱锥A 1－BB 1D 1D 的体积为V ＝×1××＝.1322213三、简单组合体的表面积与体积例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解　由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝·A 1B ·PO 1＝×62×2＝24 (m 3)，正四棱柱132113ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288 (m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312 (m 3)，故仓库的容积是312 m 3.反思感悟　求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．跟踪训练3　如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A 1－ABD ，求剩余的几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积和体积．解　由图可知△A 1BD 是边长为a 的等边三角形，其面积为a 2，232故所求几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的表面积S ＝＋3S △1A BDS △DBC ＋3＝a 2＋3××a 2＋3a 2＝a 2.1111A B C D S △△△32123＋92几何体A 1B 1C 1D 1－DBC 的体积V ＝－＝a 3－××a ×a ×a1111ABCD A B C D V －△△△1A ABDV 锥－△△1312＝a 3.561．知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．(2)棱柱、棱锥、棱台的体积．(3)组合体的表面积与体积．(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系．2．方法归纳：等体积法、割补法．3．常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚．1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm ，则长方体的体积为( )A ．27 cm 3 B ．60 cm 3 C ．64 cm 3 D ．125 cm 3答案　B解析　V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3)．2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四棱锥S －ABCD 的体积占正方体体积的( )A.B.1213C. D ．不确定14答案　B解析　令正方体棱长为a ，则V 正方体＝a 3，V S －ABCD ＝×a 2×a ＝a 3，1313∴V 四棱锥S －ABCD ＝V 正方体．133．已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为( )41A ．48 B ．64 C ．80 D ．120答案　C4．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________．答案　6＋22解析　V 棱台＝×(2＋4＋)×3132×4＝×3×(6＋2)132＝6＋2.2课时对点练1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )A ．48 B ．64 C ．16 D ．966答案　B2．已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是( )A ．8 B ．16 2C ．8＋12 D ．8＋1622答案　D3．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( )A. B ．2 C. D ．31213答案　B解析　设棱柱的高为h ，底面积为S ，则棱锥的高为h ，底面积为S ，故二者的体积之比为32＝＝＝2.V 1V 2Sh13×32Sh214.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A. B.1312C. D.2334答案　C解析　∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝，1313∴V 四棱锥C －AA ′B ′B ＝1－＝.13235．正四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线的长为，则这个棱柱的表面积是( )43A ．15 B ．60 2C ．78 D ．602答案　C解析　如图所示，正四棱柱的侧棱长为AA 1＝5，对角线长为BD 1＝，则(AB )4322＋52＝43，解得AB ＝3，所以这个棱柱的表面积为2×3×3＋4×5×3＝78.6．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是( )A ．侧面积之比为1∶4 B ．侧面积之比为1∶8C ．体积之比为1∶27 D ．体积之比为1∶26答案　BD解析　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.7．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，则三棱锥3A －B 1DC 1的体积为______．答案　1解析　∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为，D 为BC 的中点，3∴底面B 1DC 1的面积为×2×＝.1233三棱锥A －B 1DC 1的高就是底面正三角形的高.3三棱锥A －B 1DC 1的体积为××＝1.13338．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18cm ，侧棱长为13cm ，则其表面积为______ cm 2.答案　1 012解析　易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积132－52S ＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm 2)．129．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．解　如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，体对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92，∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝2＋2＝＝＝64，(AC 2)(BD 2)a 2＋b 24200＋564∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积S 侧＝4×8×5＝160.直四棱柱的底面积S 底＝AC ·BD ＝20.127直四棱柱的表面积S 表＝160＋2×20＝160＋40.7710.如图，正六棱锥被过棱锥高PO 的中点O ′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO ′和较小的棱锥PO ′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；(2)若大棱锥PO 的侧棱长为12 cm ，小棱锥的底面边长为4 cm ，求截得的棱台的侧面面积和表面积．解　(1)由题意知S 小棱锥侧∶S 大棱锥侧＝1∶4，则S 大棱锥侧∶S 小棱锥侧∶S 棱台侧＝4∶1∶3.(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm ，∴大棱锥的底面边长为8 cm ，又PA ＝12 cm ，∴A 1A ＝6 cm.又梯形ABB 1A 1的高h ′＝62－22＝4(cm)，2∴S 棱台侧＝6××4＝144(cm 2)，4＋8222∴S 棱台表＝S 棱台侧＋S 上底＋S 下底＝144＋24＋96＝(144＋120)(cm 2)．2332311.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m 2，互相平行的两个侧面的距离为1 m ，则这个六棱柱的体积为( )A. m 3B. m 333434C ．1 m 3D. m 312答案　B解析　设正六棱柱的底面边长为am ，高为hm ，则2ah ＝1，a ＝1，解得3a ＝，h ＝，所以六棱柱的体积V ＝×2×6×＝(m 3)．333234(33)323412．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 23＋34343＋326＋34答案　A解析　如图，PA ，PB ，PC两两垂直且PA ＝PB ＝PC ，△ABC 为等边三角形，AB ＝a ，∴PA ＝PB ＝PC ＝a ，22∴表面积为×a 2＋×2×3＝a 2＋a 2＝a 2.3412(22a)34343＋3413．如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∶AB ＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为( )A ．1∶1∶1B ．2∶1∶1C ．4∶2∶1D ．4∶1∶2答案　D解析　设三棱台的高为h ，则由题可知三棱锥A 1－ABC 的体积V 1＝×h ×S △ABC ，三棱锥13A 1－B 1C 1B 的体积V 2＝×h ×＝×h ××S △ABC ，三棱锥A 1－C 1BC 的体积13111A B C S △1314V 3＝2V 2，所以三棱锥A 1－ABC ，A 1－B 1C 1B ，A 1－C 1BC 的体积之比为4∶1∶2.14.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案　112解析　连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC (图略)，∵E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，∴EH ∥AC ，EH ＝AC .12∵F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，∴FG ∥AC ，FG ＝AC ，12∴EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，∴四边形EHGF 为正方形．又四棱锥M －EFGH 的高为，12∴四棱锥M －EFGH 的体积为×2×＝.13(22)1211215.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．答案　36解析　易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1，2∴S 表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.2∴该几何体的表面积为36.16．在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解　设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2，连接MD ，因为M 是AE 的中点，所以V M －ABCD ＝V ，所以V E －MBC ＝V －V E －MDC .1212而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ，所以＝＝.VE －MBC VE －MDC VB －EMC VD －EMC h 1h 2因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以＝.h 1h 232所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝V .310。

棱柱、棱锥和棱台知识点一 棱柱思考以下几何体是有什么共同特点，是怎样形成的？（１） （２） （3） （4）1、概念：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．2、元素：底面：平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面．侧面：多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面．侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．3、性质：（1）两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行 （2）侧面都是平行四边形．（3）所有侧棱平行且相等。

不具以上条件的多面体便不是棱柱，如图：4、表示：图（１）三棱柱'''C B A ABC -；图（4）六棱柱''''''F E D C B A ABCDEF -5、分类：（1）按底面的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。

即底面是几边形就为几棱柱．（2）按侧面是否与底面垂直分：不垂直的叫做斜棱柱，垂直的叫做直棱柱。

底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

例如正方体就是正四棱柱。

（3）特殊棱柱侧棱与底面不垂直的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的棱柱叫做 。

底面是正多边形的直棱柱叫做 。

底面是平行四边形的棱柱叫做 ，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做 底面是矩形的直平行六面体是 ，棱长都相等的长方体是 。

例1、下列命题中不正确的是（ B ）A ．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高B ．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C ．直棱柱的侧面是矩形D ．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱例2、设有三个命题（1）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体（2）底面是矩形的平行六面体是长方体 （3）直四棱柱是直平行六面体 以上命题中正确的有 (1)例3、长方体交与同一顶点的三条棱长分别为3，4，5，求长方体的对角线的长。

例4、在棱柱中( )A 只有两个面平行B 所有的棱都相等C 所有的面都是平行四边行D 两底面平行，且各侧棱也平行例5、判断下列说法是否正确（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形。

《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案【教材分析】本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.【教学目标与核心素养】课程目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．数学学科素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【教学重点和难点】重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；难点：棱台的体积公式的理解.【教学过程】一、情景导入在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本114-115页，思考并完成以下问题1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究（一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积．（二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S＋S )h .四、典例分析、举一反三题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积．【解析】因为四面体S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示．S ABC a 2因为BC ＝SB ＝a ，SD,所以S △SBC ＝BC ·SD ＝a ×a ＝a 2. 故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×a 22. 解题技巧（求多面体表面积注意事项） 1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．跟踪训练一1、如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m ，底面外接圆的半径是0.46 m ，问：制造这个滚筒需要________m 2铁板(精确到0.1 m 2)．【答案】5.6【解析】因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m ， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S 侧＝ch ＝6×0.46×1.6＝4.416 (m 2)． 所以S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝4.416＋2×34×0.462×6≈5.6 (m 2)． 故制造这个滚筒约需要5.6 m 2铁板． 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积例2如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．==1212244【答案】16.【解析】 V 三棱锥A －DED 1＝V 三棱锥E －DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16.例3 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m ，公共面是边长为1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【答案】【解析】由题意知长方体的体积，棱锥的体积， 所以这个漏斗的容积. 解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项) 1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题ABCD 30.01m 30.67m ''''ABCD A B C D -110.5V =⨯⨯()30.5m =''''P A B C D -1110.53V =⨯⨯⨯()316m =112263V =+=()30.67m ≈柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练二1、在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________；【答案】8 3.【解析】由题意，设AC＝a(a＞0)，CC1＝b(b＞0)，则BD＝C1D＝a2＋b2 4，BC1＝a2＋b2，由△BC1D是面积为6的直角三角形，得⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又12×32a2＝6，∴a2＝8，∴b2＝16，即b＝4.∵S△ABC＝34a2，∴V＝34×8×4＝8 3.2、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．【答案】见解析【解析】如图，连接EB，EC.四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝13×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝12V三棱锥C－ABE＝12V三棱锥E－ABC＝12×12V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本116页练习，119页习题8.3的1、6题.【教学反思】本节课的重点是掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用，通过本节课的例题及练习，学生基本掌握.而本节课的难点可以通过三组体积公式对比，寻找其联系(棱台上底面和下底面面积一样时，图形变成棱柱，对应的公式，经推导也就变成棱柱的体积公式了; 棱台上底面无限缩小至点时，图形变成棱锥，对应的公式，经推导也就变成棱锥的体积公式了.)使学生对其更加理解.再有解决实际问题时可先抽象出几何图形，再利用相关公式解决.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】知识目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．核心素养1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式；2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.【学习重点】：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用；【学习难点】：棱台的体积公式的理解.【学习过程】一、预习导入阅读课本114-115页，填写。

棱柱棱锥棱台的表面积公式棱柱、棱锥和棱台的表面积计算公式棱柱的表面积计算公式•棱柱的表面积等于底面积加上侧面积。

•底面积为底面的面积。

•侧面积为所有侧面的面积之和。

公式：•棱柱的表面积 = 底面积 + 侧面积•底面积 = 底面的面积 = 边长的平方•侧面积 = 所有侧面的面积之和 = 周长× 高例子：假设棱柱的底面为一个正方形，边长为5cm，高为8cm。

求棱柱的表面积。

解答：首先计算底面积：底面积 = 边长的平方= 5cm × 5cm = 25cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 周长× 高= 4 × 5cm × 8cm = 160cm^2 最后计算棱柱的表面积：表面积 = 底面积 + 侧面积 =25cm^2 + 160cm^2 = 185cm^2棱锥的表面积计算公式•棱锥的表面积等于底面积加上侧面积。

•底面积为底面的面积。

•侧面积为底面到顶点连线与侧面的面积之和。

公式：•棱锥的表面积 = 底面积 + 侧面积•底面积 = 底面的面积•侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积 / 2例子：假设棱锥的底面为一个正三角形，边长为4cm，高为6cm。

求棱锥的表面积。

解答：首先计算底面积：底面积 = 底面的面积 = (底边× 高) / 2 = (4cm × 6cm) / 2 = 12cm^2 然后计算侧面积：侧面积 = 底面到顶点连线× 侧面的面积/ 2 = 6cm × (底边× 边长) / 2 =6cm × (4cm × 3cm) / 2 = 36cm^2 最后计算棱锥的表面积：表面积= 底面积 + 侧面积 = 12cm^2 + 36cm^2 = 48cm^2棱台的表面积计算公式•棱台的表面积等于上底面积加下底面积加侧面积。

•上底面积为上底面的面积。

•下底面积为下底面的面积。

棱柱棱锥棱台的表面积和体积教案一、引言在几何学中，棱柱、棱锥和棱台是常见的三维几何体。

它们有着不同的特点和性质，但是计算其表面积和体积的方法却有一定的相似之处。

本教案将针对棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积进行详细讲解，并提供相应的计算公式和实例。

二、棱柱1. 定义和性质棱柱是一个底面是一个多边形的立体，且顶部和底部平行，并由与底面对应的一组边相连接而成。

棱柱的侧面全部是矩形，而顶部和底部是多边形。

2. 表面积的计算棱柱的表面积由底面积和侧面积两部分组成。

计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积底面积的计算取决于底面的形状，可以是正多边形或其他形状。

假设底面的周长为P，高度为h，则底面积可以表示为：底面积 = P * h/2侧面积的计算有两种情况： - 若底面是正多边形，侧面积可以通过计算正多边形周长P和高度h的乘积得到：侧面积 = P * h - 若底面是其他形状，侧面积需要通过分解为多个矩形，计算每个矩形的面积，然后求和得到。

3. 体积的计算棱柱的体积可以通过计算底面积和高度的乘积得到，即：体积 = 底面积 * 高度三、棱锥1. 定义和性质棱锥是一个底面是一个多边形的立体，且顶部是一个顶点。

棱锥的侧面全部是三角形，而底面是多边形。

2. 表面积的计算棱锥的表面积由底面积和侧面积两部分组成。

计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积底面积的计算方法与棱柱相同。

侧面积的计算可以通过计算棱锥的侧面积和底面积之和得到，即：侧面积 = 底面积 + 棱锥侧面积棱锥侧面积的计算可以通过计算底面的周长和斜高的乘积得到，斜高可以通过勾股定理求得。

3. 体积的计算棱锥的体积可以通过计算底面积和高度的乘积再除以3得到，即：体积 = 底面积* 高度 / 3四、棱台1. 定义和性质棱台是一个上底面和下底面是两个平行的多边形的立体。

棱台的侧面全部是梯形，而上底面和下底面是多边形。

2. 表面积的计算棱台的表面积由上底面积、下底面积和侧面积三部分组成。

一、棱柱、棱锥和棱台温故1.棱柱、棱锥、棱台的概念，它们的形成特点2.棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称典例精析例1判断下列说法是否正确：（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；(2)有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；(3)用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台.（4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥.（5）四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面.（6）棱锥的各侧棱长相等.例2(1)把正方形的一个角截去后,○1若剩下的几何体共有12条棱,画出该几何体图形;②若剩下的几何体共有14条棱,画出该几何体图形.(2)把两个棱长都相等的正三棱锥和正四棱锥的一个侧面重合在一起组成的几何体有个面.例3(1)如下图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体由哪些简单几何体组成？CC 1A 1B 1A(2)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm ，一只蚂蚁从A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？(3)四面体P-ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体的表面绕一周，再回到A 点，蚂蚁经过的最短路程是多少？例4`(1)平行于棱柱侧棱的截面是什么图形？过棱锥顶点的截面是什么图形？(2) 用任意一个平面去截正方体，得到的截面可能是几边形？演练提升1. 四棱柱共有_______条棱;四棱锥共有_______条棱;四棱台共有共有_______条棱;四面体共有_______条棱.2. 长方体1111ABCD A B C D -中,作出截面11BCD A ,其截面把长方体分成两部分,则这两部分几何体分别是_________3. 如图,三棱台111ABC A B C -中,沿1A BC 截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分是________4. 下列说法:① 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥; ② 当棱台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥;③ 棱柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台; ④ 棱锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台. 正确的有______.(填上所有正确说法的序号) 5. 给出下列几个命题: ① 棱柱的侧面都是平行四边形;② 棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都是一个共同的公共点; ③ 多面体至少有四个面;④ 棱台的侧棱所在直线均相交于用一点. 其中正确的命题是________.6. 在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是_________.(写出所有正确结论的编号)○1矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三面为等腰直角三角形,有一面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体.7. 已知一长方体，根据图中三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是．8. 有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是．①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥9. 如图，多面体的名称是_______________________； 该多面体的各面中，三角形有_______________个， 四边形有_________________________________个．10.如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．11. 观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？（1） （2）12. 根据下列对几何体结构的描述，说出几何体的名称，并试画出其立体图． （1）由1个梯形沿某一方向平移形成；（2）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他面都是全等矩形； （3）由4个面围成，且每个面都是三角形．AA 'DD 'BB 'C 'CCA 'B AB 'C 'AA 'BCDB 'C 'D 'AA 'BCDEF B 'C 'D 'F 'E '（3）二、圆柱、圆锥、圆台和球温故1.圆柱、圆锥、圆台和球的概念2.圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系典例精析例1（1）给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行.其中说法正确的是.（2）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.例2（1）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，以AB所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征.（2）给出下列命题：①以直角三角形的一条边为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；②以等腰三角形底边上的中线为轴，将三角形旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥；③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径.其中正确命题的序号是例3（1）判断图所表示的几何体是不是圆台？为什么？（2）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为cm.36cm2，则球心与截面圆例4（1）已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是π圆心的距离是.（2）已知球的两个平行截面分别为π5和π8，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.例5`（1）如下图绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？（2）下图（1）是由图（2）中的哪个平面图旋转得到的（3）如图是一枚公章，这个几何体是由简单的几何体、、组合而成的.演练提升1．将等边三角形绕着它的一边上的中线所在的直线旋转0180,形成的几何体是______. 2．将一个直角三角形绕着它的斜边所在直线旋转一周,形成的几何体是_________.3．下列关于球的叙述:①将圆绕着它的任意一条直径所在的直线旋转0180,形成的几何体是球;②将半圆绕着它的任意一条半径所在的直线旋转一周,形成的几何体是球;③空间中到l l 的点的集合是球.正确的是__________.(填上所有正确的一个定点的距离小于等于(0)说法的序号)4．如果一个球恰好内切于一个棱长为10cm的正方体盒子(球与正方体的六个面都能接触),那么这个球的半径为_______cm.5．下列说法:①当圆柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;②当圆台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;③圆柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台;④圆锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台.其中,不正确的是______.6．下列说法:①用一个平面去截一个球所得的截面是一个圆面;②用一个平面去截一个圆柱所得的截面是一个圆面或矩形;③用一个平面去截一个圆锥所得的截面是一个圆面或等腰三角形;7．如图,将直角梯形ABCD绕腰CD边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？CDCBA8．用一个平面截一个几何体，不管怎样截，得到的都是圆面，则这个几何体是__________ 9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积是3，则这个圆锥的母线长为______________ 10．圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________11．矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 12.圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________13.矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是__________(5)(4)(3)(2)(1)15.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是 ．A ．B ．C ．D ．16.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从点A 到点C 的最短距离为___________17.在有太阳的某个时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10m处，同一时刻一根长3m的木棒垂直于地面，且影子长1m，求此球的半径.2，∠C=90°，以直线AC为轴将△ABC旋18.在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=3转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值. 19.一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱.（1）用x表示圆柱的轴截面面积S （2）当x为何值时，S最大？。

棱柱棱锥棱台的表面积和体积公式棱柱、棱锥和棱台是几何学中常见的三种立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。

本文将分别介绍棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，并对其应用进行讨论。

一、棱柱的表面积和体积公式棱柱是一种具有两个平行且相等的底面，底面之间的连接线段都垂直于底面的立体图形。

棱柱的表面积公式为：S = 2B + L，体积公式为：V = Bh。

其中，B表示底面积，L表示侧面积，h表示高度。

由于棱柱的底面是一个多边形，所以底面积的计算方法取决于底面的形状。

常见的底面形状有正多边形、矩形和圆形。

以正多边形为例，当底面是正n边形时，底面积的计算公式为：B = n * a * a / (4 * tan(π / n))，其中a表示边长，n表示边的个数。

侧面积的计算公式为：L = p * h，其中p表示正多边形的周长。

以矩形为例，当底面是矩形时，底面积的计算公式为：B = l * w，其中l表示矩形的长，w表示矩形的宽。

侧面积的计算公式同样为：L = p * h，其中p表示矩形的周长。

以圆形为例，当底面是圆形时，底面积的计算公式为：B = π * r * r，其中r表示圆的半径。

侧面积的计算公式为：L = 2 * π * r * h，其中h表示高度。

二、棱锥的表面积和体积公式棱锥是一种具有一个底面和侧面的立体图形，底面是一个多边形，侧面连接底面和顶点。

棱锥的表面积公式为：S = B + L，体积公式为：V = (1/3) * B * h。

与棱柱类似，棱锥的底面积的计算方法取决于底面的形状。

侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l表示侧面的斜高。

三、棱台的表面积和体积公式棱台是一种具有两个底面和侧面的立体图形，底面形状相等且平行，侧面连接两个底面。

棱台的表面积公式为：S = B1 + B2 + L，体积公式为：V = (1/3) * (B1 + B2 + √(B1 * B2)) * h。

《棱柱、棱锥和棱台》课时同步详解问题情境导入同学们，在我们生活的空间中有各式各样的空间图形，你能找出一些具体例子并说出分别是哪种空间图形吗？新课自主学习自学导引1.棱柱的相关概念及特点（1）棱柱的相关概念一般地，由一个平面多边形沿某一方向________形成的空间图形叫作______.平移起止位置的两个面叫作棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的______，相邻侧面的公共边叫作_________.（2）棱柱的特点两个底面是________的多边形，且对应边互相平行，侧面都是_______.2.棱锥的概念及特点（1）棱锥的概念.当棱柱的一个_______收缩为一个点时，得到的空间图形叫作_______.（2）棱锥的特点.底面是_______,侧面是_______的三角形.3.棱台的概念及特点（1）棱台的概念.用一个_______于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为_______.（2）棱台的特点.棱台的两个底面是_______的多边形，侧面都是______，侧棱延长后都______于一点.4.多面体的概念棱柱、棱锥和棱台都是由一些_______围成的空间图形.由若干个平面多边形围成的空间图形叫作________.答案1.（1）平移棱柱底面侧面侧棱（2）全等平行四边形2.（1）底面棱锥（2）多边形有一个公共顶点3.（1）平行棱台（2）相似梯形相交4.平面多边形多面体预习测评1.下面多面体中，是棱柱的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个空间图形为（）A.四棱柱B.四棱锥C.三棱柱D.三棱锥3.三棱柱的平面展开图是（）A.B.C.D.4.下列叙述，其中正确的有（）①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.A.0个B.1个C.2个D.3个答案1.答案：D解析：根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.2.答案：D解析：四个面都是三角形的空间图形只能是三棱锥.3.答案;B解析：两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱.4.答案;A解析：①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，如图（1）所示.②不正确，因为侧棱延长后不能交于一点，还原后也并非棱锥.③不正确，如图（2）所示，用一个过顶点的平面截四棱锥得到的是两个三棱锥.新知合作探究探究点多面体知识详解多面体定义图形及表示相关概念棱柱一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱如图可记作：棱柱ABCDEFG-''''''A B C D E F 底面（底）：平移起止位置的两个面侧面：多边形的边平移所形成的面侧棱：相邻侧面的公共边顶点;侧面与底面的公共顶点棱锥当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥如图可记作：棱锥S-ABCD 底面（底）：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：由棱柱的一个底面收缩而成的点棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台如图可记作：棱台上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面ABCD-''''A B C D侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点特别提醒1.对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：（1）多面体是由若干个平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面.一个多面体由几个面围成，就称为几面体.（2）多面体是一个“封闭”的空间图形，包括其内部的部分.2.棱柱具有以下结构特征和特点：（1）侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形.（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图（1）所示.（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图（2）所示.（4）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的空间图形不一定是棱柱，如图（3）所示.3.对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的空间图形不一定是棱锥，必须强调其余各面是有一个公共顶点的三角形，如图所示.4.棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.典例探究例1下列关于棱柱的说法（1）所有的面都是平行四边形；（2）每一个面都不会是三角形；（3）两底面平行，并且各侧棱也平行；（4）被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是_______.解析（1）错误，棱柱的底面不一定是平行四边形.（2）错误，棱柱的底面可以是三角形.（3）正确，由棱柱的定义易知.（4）正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是（3）（4）.答案（3）（4）类题通法有关棱柱的结构特征问题的解题策略:（1）紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.（2）多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.变式训练1下列四个命题中，假命题为（）A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的各个侧面都是平行四边形C.棱柱的两底面是全等的多边形D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行答案 A点拨A错，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，B、C、D是正确的.例2下列关于棱锥、棱台的说法：（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的空间图形叫棱台；（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；（3）棱锥的侧面只能是三角形；（4）由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是解析（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台.（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形.（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.（4）正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.（5）错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.答案（2）（3）（4）类题通法判断棱锥、棱台形状的两个方法：（1）举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确（2）直接法.变式训练2试判断下列说法正确与否：（1）由六个面围成的封闭图形只能是五棱锥；（2）两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.答案（1）不正确.（2）不正确.点拨（1）不正确，由六个面围成的封闭图形有可能是四棱柱.（2）不正确，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，侧棱延长后不一定相交于一点，所以不一定是棱台.易错易混解读例判断下图中所示物体是不是棱台，为什么？A B C D与面ABCD，在图（1）中平行，在图（2）中不平行）（其中面1111错解是棱台错因分析错解原因是对空间图形的主观判断，对棱台的结构特征不够了解，实际上这两个空间图形均不满足棱台的定义.A B C D平行于底面ABCD，但各侧棱延长后不交于一点，原正解对于图（1），虽然截面1111空间图形不是棱锥.图（2）虽然原空间图形是锥体，但截面不与底面平行，故不是棱台.纠错心得解决这类题目的关键是要明确棱台是如何形成的，根据定义，是用平行于棱锥底面的截面去截棱锥得来的.所以截面和底面平行且侧棱延长后交于一点是关键点.课堂快速检测1.下列几何体中棱柱有（）A.5个B.4个C.3个D.2个2.下列几何体中，________是棱柱，_______是棱锥，______是棱台.（仅填相应符号）3.下列叙述是棱台性质的是__________（填所有正确的序号）①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都平行；④侧棱延长后交于一点4.三棱锥是______面体.答案1.答案:D解析：由棱柱定义知，①③为棱柱.2.答案：①③④⑥⑤解析：根据棱柱、棱锥、棱台的定义即可判断.3.答案：①②④解析：根据棱台的定义可知棱台侧棱不平行，故③不正确. 4.答案：四解析：因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体.要点概括整合。