2.1.2 离散型随机变量的分布列1．理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质． 2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)[基础·初探]教材整理1 离散型随机变量的分布列阅读教材P 46～P 47例1上面倒数第二行，完成下列问题． 1．定义一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：的概率分布列，简称为的分布列． 为了简单起见，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． 2．性质(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；(2) i ＝1np i ＝1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．( ) (3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )【解析】 (1)× 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．(2)× 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件． (3)√ 由分布列的性质可知，该说法正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理2 两个特殊分布阅读教材P 47例1上面倒数第一行～P 49，完成下列问题． 1．两点分布若随机变量X p ＝P (X ＝1)为成功概率．2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min {}M ，n ，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.1．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.【解析】 设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为7k2个．∴分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47.【答案】 472．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝________.【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.【答案】521[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]分布列及其性质的应用设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i a(i ＝1,2,3,4)，求： (1)P (X ＝1或X ＝2)；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72. 【精彩点拨】 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率．【自主解答】 (1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a＝1，∴a ＝10， 则P (X ＝1或X ＝2) ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝110＋210＝310. (2)由a ＝10，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <72 ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：X 的各个取值表示的事件是互斥的不仅要注意，而且要注意p i ≥0，i ＝1，2，…，n .[再练一题]1．若离散型随机变量X 的分布列为：求常数a 【解】 由分布列的性质可知：3a 2＋a ＋4a －1＝1， 即3a 2＋5a －2＝0，解得a ＝13或a ＝－2，又因4a －1>0，即a >14，故a ≠－2.所以a ＝13，此时4a －1＝13，3a 2＋a ＝23.所以随机变量X 的分布列为：求离散型随机变量的分布列口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X 表示取出的最大号码，求X 的分布列．【精彩点拨】 X 的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．【自主解答】 随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 33，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25.从而有P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值x i (i ＝1,2，…，n )． (2)求出取每一个值的概率P (ξ＝x i )＝p i . (3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．[再练一题]2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．【解】 从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0；当取到1黑1黄时，X ＝2； 当取到2黑时，X ＝4.则X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4. P (X ＝－2)＝C 26C 212＝522，P (X ＝－1)＝C 16C 12C 212＝211，P (X ＝0)＝C 22C 212＝166，P (X ＝1)＝C 16C 14C 212＝411，P (X ＝2)＝C 14C 12C 212＝433，P (X ＝4)＝C 24C 212＝111.从而得到X 的分布列如下：两点分布与超几何分布探究1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？ 【提示】 不一定．如随机变量X 的分布列由下表给出X 不服从两点分布，因为X 探究3 在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】 随机变量X 服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N 个个体)内含有两种不同事物A (M 个)、B (N —M 个)，任取n 个，其中恰有X 个A 的概率分布问题．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为1．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列．[再练一题]3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】 设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为1．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为( )A ．1B.913 C.2713D.1113【解析】 由分布列的性质可知：a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1，解得a ＝2713. 【答案】 C2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( ) 【导学号：97270034】A ．0B.13C.12D.23【解析】 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.【答案】 B3．随机变量η的分布列如下：则x ＝【解析】 由分布列的性质得 0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 【答案】 0 0.554．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．【解析】 由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.【答案】272205．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布， P (ξ＝k )＝C k2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2. 所以，ξ的分布列为(2)由(1)知，“所选3P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：疑问3： 解惑：学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某一随机变量ξ的概率分布列如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )A.－0.2 C ．0.1 D ．－0.1【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，解得m ＝n ＝0.4，可得m －n2＝0.2.【答案】 B2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝{ 1，取出白球，取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X【解析】 A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布，故选A. 【答案】 A3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ≤2)C ．P (ξ＝4)D ．P (ξ≤4) 【解析】 A 项，P (ξ＝2)＝C 27C 88C 1015；B 项，P (ξ≤2)＝P (ξ＝2)≠C 47C 68C 1015；C 项，P (ξ＝4)＝C 47C 68C 1015；D 项，P (ξ≤4)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)>C 47C 68C 1015.【答案】 C4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16B.13C.12D.23【解析】 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.【答案】 A5．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝a n n ＋，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为( )A.23B.34C.45D.56【解析】a 1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a4×5＝ a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝⎛⎭⎪⎫14－15＝45a ＝1. ∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.【答案】 D 二、填空题6．若随机变量X 服从两点分布，则P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________.【解析】 由Y ＝－2，且Y ＝3X －2，得X ＝0， ∴P (Y ＝－2)＝0.8. 【答案】 0.87．设离散型随机变量X 的概率分布列为：则P (X ≤2)＝【解析】 P (X ≤2)＝1－25＝35.【答案】 358．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得3【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16三、解答题9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝{ 0，摸出白球，，摸出红球，求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：10.(2016·大庆高二模拟)8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学．(1)求X 的分布列；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．【解】 (1)X 的可能取值为0,1,2,3.根据公式P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }算出其相应的概率．即X 的分布列为(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1556＋1528＝4556.[能力提升]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．①②③④ 【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B.【答案】 B2．(2016·周口中英文学校月考)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 为( ) A ．1 B ．1±22C ．1＋22 D ．1－22【解析】 由分布列性质(2)知12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1±22，又由性质(1)知1－2q ≥0， ∴q ≤12，∴q ＝1－22，故选D.【答案】 D3．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图211中以X 表示．如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数Y 的分布列．【解析】 当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14；P (Y ＝19)＝14；P (Y ＝20)＝14；P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为【答案】2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率．【解】 (1)从袋中随机摸4个球的情况为 1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红． 分别得分为5分，6分，7分，8分． 故X 的可能取值为5,6,7,8. P (X ＝5)＝C 14C 33C 7＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1235＋135＝1335.。
![2[1].1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1](https://img.taocdn.com/s1/m/1fea6bc2d5bbfd0a7956732b.png)
