高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例课时训练(含解析)新人教A版必修4

2.5.2 向量在物理中的应用举例主动成长夯基达标1.河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为 ( )A.10 m/sB.m/sC.m/sD.12 m/s解析：由题意|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图,∴|v|=.答案：B2.已知两个力F1、F2的夹角为90°,它的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为( )A.53 NB.5 NC.10 ND.52 N解析：由题意作出示意图,有|F1|=|F|cos60°=10×=5.答案：B3.某人到商店购买了4种商品,这4种商品的单价用一个向量表示为a=(5,10,21,6)(单位元),对应的这4种商品的件数用一个向量表示为b=(3,3,2,1),则此人总共应付钱____________元.解析：所付钱数即a、b的数量积为a·b=(5,10,21,6)·(3,3,2,1)=15+30+42+6=93(元).答案：934.做匀速圆周运动的物体的速度为|v0|,当转过时,速度的改变量为_____________.解析：作出示意图如右:|Δv|=|v1-v0|=|v0|.答案：|v0|5.人骑自行车的速度为a,风速为v2,则逆风行驶的速度为________________.解析：设无风时自行车的速度为v0,则a=v0+v2,故v0=a-v2,于是逆风时的速度为v0-v2=a-2v2. 答案：a-2v26.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P,从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|,另一动点Q,从点Q0(-2,-1)出发,沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|3e1+2e2|,设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处,则当⊥时,t=____________秒.解析：∵P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴=(-1,-3).又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=2.∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=.∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).∴=(-1+2t,-3+t).∵⊥,∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.∴t=2.答案：27.已知一个与水平方向夹角为30°的力F,F的大小为50 N,拉着一个重80 N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平面上运动了20米,求F与摩擦力f做功分别为多少?解：设木块位移为s,则F力所做的功为F·s=50×20×cos30°=(J),F在沿直线方向的分解力大小为50×sin30°=25,故f的大小为(80-25)×0.02=1.1.所以f所做的功是f·s=1.1×20×cos180°=-22(J).8.平面内三个力F1、F2、F3作用于同一点且处于平衡状态,已知|F1|=1 N,|F2|=N,F1、F2的夹角为45°,求F3的大小及与F1的夹角.解：如图,设F1、F2的合力为F,则|F|=|F3|,∵∠F1OF2=45°,∴∠OF1F=135°.在△OF1F中,由余弦定理得=1+()2-2×1××(-)=4+=(+1)2.∴||=+1,即|F3|=1+.又由正弦定理得sin∠F1OF==,∴∠F1OF=30°,从而F1与F3的夹角为150°.∴F3的大小为(1+3)N,F3与F1的夹角为150°.9.已知两恒力F1(3,4)、F2(6,-5)作用于同一质点,使之由A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1、F2分别对质点所做的功;(2)F1、F2的合力F对质点所做的功.解析：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),(1)W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).(2)W=f·=(F1+F2)·=［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102 (焦).10.一年轻的父亲欲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.解析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后进行受力分析,并用向量表示.建立数学模型:通过胳膊受力分析,建立向量模型:|F1|=,θ∈［0,π］来确定何种情形时,小孩的胳膊容易受损.解:设孩子自重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊间夹角为θ,胳膊受力分析如图(不计其他因素产生的作用力),不难建立向量模型:|F1|=,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F1|=;当θ=时,|F1|=|G|;又∈(0, )时,|F1|单调递增,故θ∈(0, )时,|F1|∈(,|G|),θ∈(,π)时,|F1|＞|G|,此时欲悬空拎着幼儿的胳膊,极易造成小孩胳膊受伤.走近高考11.(2004广西高考,7)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图2-5-10所示.已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则绳ac和绳bc中的拉力分别为( )图2-5-10A.mg,mgB.mg,mgC.mg,mgD.mg,mg解析：设ac拉力为F1,bc拉力为F2,则有水平方向:F1sin30°=F2sin60°;竖直方向:F1sin30°+F2cos60°=mg,由上两式可得F1=mg,F2=mg,故A正确.答案：A。

第二章 平面向量2．5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例[A 组 学业达标]1．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形解析：∵AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，∴四边形ABCD 为菱形． 答案：D2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量． 答案：B3．若物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W 为 ( ) A ．lg 2 B ．lg 5 C ．1D ．2解析：W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1，2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D. 答案：D4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC的形状为( )A ．直角(非等腰)三角形B ．等腰(非等边)三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10，∴△ABC 为等腰直角三角形． 答案：C5．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形解析：BA →·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →)＝－BA →·(CB →＋CA →)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形． 答案：D6．一个重20 N 的物体从倾斜角为30°，斜面长1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．解析：∵物体沿斜面下滑的分力大小|F |＝12×20 N ＝10 N ，∴W ＝|F |·|s |＝10 J.答案：10 J7．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________ 千米/时．解析：用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的航行速度，则v 0＋v 1表示船实际航行速度．∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.答案：4 58．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：设D 为AC 的中点，如图所示，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →.又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，即△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2. 答案：1∶29.如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF 和ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)．又因为EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|·cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF . 10．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)在(1)的条件下，若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长(用m ，n 表示)．解析：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，m )，B (n ，0)．(1)证明：∵D 为斜边AB 的中点， ∴D ⎝⎛⎭⎫n 2，m 2，∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫n 4，m 4.设F (x ，0)，则AE →＝⎝⎛⎭⎫n 4，－34m ，AF →＝(x ，－m )． ∵点A ，E ，F 共线，∴存在实数λ，使AF →＝λAE →，即(x ，－m )＝λ⎝⎛⎭⎫n 4，－34m ，∴⎩⎨⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ.解得x ＝n 3，∴F ⎝⎛⎭⎫n 3，0.∴|AF →|＝13 n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.[B 组 能力提升]11．已知点A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53解析：设C (x ，y )，则(x －7，y －1)＝(2－2x ，8－2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2－2x ，y －1＝8－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. ∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.答案：A12．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：将△ABC 各边及P A ，PB ，PC 均用向量表示， 则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝P A →2＋PB →2PC →2＝（PC →＋CA →）2＋（PC →＋CB →）2PC→2＝2|PC →|2＋2PC →·（CA →＋CB →）＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.答案：D13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (－3，4)．若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________．解析：如图，已知A (0，1)，B (－3，4)，设E (0，5)，D (－3，9)，∴四边形OBDE 为菱形，∴∠AOB 的平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，∵|OC →|＝2，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴OC →＝(x 1，y 1)＝2310×(－3，9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.答案：⎝⎛⎭⎫－105，3105 14．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________．解析：设{AB →，AC →}为平面ABC 内的一组基底．如图所示，设M 为BC 的中点，连接OM ，AM ，OA ，则OM ⊥BC .又∵BC →＝AC →－AB →，AO →＝AM →＋MO →＝12(AB →＋AC →)＋MO →，∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →)＝BC →·AM→＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132)＝－252.答案：－25215．已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2.求证：点O 是△ABC 的垂心．证明：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a . ∵|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2， ∴a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2. ∴c ·b ＝a ·c ＝b ·a .故AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝0， BC →·OA →＝(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝0.∴AB →⊥OC →，BC →⊥OA →，即AB ⊥OC ，BC ⊥OA . ∴点O 是△ABC 的垂心．16.如图所示，四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F .求证：AF ＝AE .证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A (－1，1)，B (0，1)．设E (x ，y )，则BE →＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)． 又∵AC →∥BE →，∴x (－1)－1×(y －1)＝0， ∴x ＋y －1＝0.又∵|CE →|＝|AC →|，∴x 2＋y 2－2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝1－32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32，y ＝1＋32(舍)．∴E ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32.又设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32共线得1－32x ′－1＋32＝0，得x ′＝－2－3， ∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32，－1＋32，∴|AE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＝1＋3＝|AF →|， ∴AF ＝AE .。

§2.5.2 《向量在物理中的应用举例》专项演练1、某人骑自行车的确速度为1v ,风速为2v ,则逆风行驶的速度在大小为 。

2、用力F 推动一物体水平运动 s m ,设F 与水平面角为θ,则对物体所做的功为3、初速度0v ,发射角为θ,则炮弹上升的高度y 与0v 之间的关系式(t 是飞行时间)为4、作用于原点的两个力12(1,1),(2,3)F F ,为使它们平衡,需要加力3F ＝_______________。

5.一辆汽车从A 地出发向西行驶了100 km 到过B 地,然后又改变方向向北偏西400走了200 km 到达C 地,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 地,这辆汽车的位移是 .6.已知物体在共点力1F ＝(2lg ,2lg ),2F ＝(2lg ,5lg )作用下产生位移＝(1,5lg 2),那么共点力对物体做的功W ＝ 。

7. 1kg 的重物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图),已知两细绳与水平线分别成30︒, 60︒角,问两细绳各受到多大的力？ 8.设作用于同一点O 的三个力F 1、F 2、F 3处于平衡状态,如果| F 1|＝1,|F 2|＝2,F 1与F 2的夹角为32π.求①.F 3的大小；②.∠F 3OF 2的大小.参考答案: 1.12v v -P2.||cos F s θ⋅3.201||sin ||2y v t g t θ=⋅-4.(－3,－4)5.200 km6.解:||W =θcos ·||＝||·||=∙||||S F F ·S ＝(1F ＋2F )·S ＝27.解:将重力在两根细绳方向上分解,两细绳间夹角为90︒||OP ＝1 (kg) ∠P 1OP ＝60︒ ∠P 2OP ＝30︒ ∴||1＝||cos60︒＝1•21＝0.5 (kg) ||2＝||cos30︒＝1•23＝0.87 (kg) 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg 和0.87 kg 。

2.5.2向量在物理中的应用举例课后篇巩固探究1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=2N,|F2|=4 N,则|F3|=()A.2 NB.2 NC.2 ND.6 N解析由题意知-F3=F1+F2,平方得|F3|2=|F1|2+|F2|2+2F1·F2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=4+16+8=28,∴|F3|=2 N,故选A.答案A2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为()A.40 NB.10 NC.20 ND. N解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.答案B3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A.10 m/sB.2 m/sC.4 m/sD.12 m/s解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.∴|v|==2(m/s).答案B4.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力的大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小等于()A.5 NB.5 NC.10 ND.5 N答案A5.质点P在直线上作匀速直线运动,速度向量是v=(4,-3)(即质点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位),设开始时,点P坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)解析设5秒后点P的坐标为(x,y),则(x,y)-(-10,10)=5v,即(x,y)-(-10,10)=(20,-15),于是(x,y)=(10,-5).答案C6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250 J,则F与s的夹角等于.解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=.答案7.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为.解析因为F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),所以合力的大小为(N).答案(5,4)8.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.解析如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,||=4,||=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2.即河水的流速是2 km/h.答案29.如图所示,在倾斜角为37°(sin 37°=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为J,重力对物体m所做的功为J(g=9.8 m/s2).解析物体m的位移大小为|s|=(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos 90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|cos 53°=5×9.8××0.6=98(J).答案09810.导学号68254093已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒?解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,||=t,||=t,∴=|=(t,t),=|=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当时所需的时间为2 s.11.某人骑车以速度a向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.解设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东方向行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a 时感到的风速为v-2a.如图,设=-a,=-2a,=v.∵,∴=v-a,这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速.∵,∴=v-2a,这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,∴△POB为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,||=||=|a|,即|v|=|a|.∴实际风速的大小是|a|,为西北风.。

2.5 平面向量应用举例2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．一物体受到相互垂直的两个力F 1，F 2的作用，两力大小都为5 3 N ，则两个力的合力的大小为( )A ．10 3 NB ．0 NC ．5 6 N D.562N2．人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 2－v 1 C ．v 1＋v 2 D ．|v 1|－|v 2|3．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形4．已知圆O 的半径为3，直径AB 上存在一点D ，使得AB →＝3AD →，E ，F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．－65．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A ．1∶3B ．1∶2C ．2∶3D ．3∶46．河水的流速的大小为2 m/s ，一艘小船想从垂直于河岸的方向以10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s7．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(x ，y)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(12，12)，6秒后点P 的坐标为(0，18)，则(x ＋y)2017＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2012二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知一物体在力F 1＝(2，2)，F 2＝(3，1)(两力的作用点相同)的作用下产生位移s ＝(12，32)，则F 1，F 2对物体所做的功为________． 9．若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则|AB →|的最大值为________．10．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB|＝23，则OA →·OB →＝________．11．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－2，－1)，B(1，2)，C(－2，0)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．13．(13分)已知两恒力F 1＝(3，4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，试求：(1)F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)F 1，F 2的合力F 对质点所做的功．(力的单位：N ，位移单位：m)14．(5分)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝( )A.13B ．3C ．3 3 D.33215．(15分)已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC 内爬行，试问当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形的三个顶点间的距离的平方和最小？1．C [解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力F 的大小为2×53＝56(N)． 2．C [解析] 由题易知，选项C 正确．3．A [解析] ∵AB →＝(3，3)，CD →＝(－2，－2)，∴AB →＝－32CD →，∴AB →与CD →共线．又|AB →|≠|CD →|，∴该四边形为梯形．4．C [解析] 由题意可知，DO ＝1，DE →·DF →＝(DO →＋OE →)·(DO →＋OF →)＝(DO →＋OE →)·(DO →－OE →)＝1－9＝－8.5．C [解析] 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的一个三等分点，如图所示．故S △PBC S △ABC ＝23.6．B [解析] 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2 m/s ，|v |＝10 m/s ，v ⊥v 1，所以v 2＝v －v 1，v·v 1＝0，所以|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝100－0＋4＝104＝226(m/s)．故选B.7．A [解析] 由题意，(12，12)＋6(x ，y)＝(0，18)，即(12＋6x ，12＋6y)＝(0，18)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故(x ＋y)2017＝(－2＋1)2017＝－1.8．7 [解析] 设F 1，F 2的合力为F ，则F ＝(5，3)，故其对物体所做的功为F·s ＝52＋92＝7. 9．3 [解析] AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)，∴|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋232＋23，∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值，且最大值为3.10．－2 [解析] ∵|AB|＝23，|OA|＝|OB|＝2，∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝－2.11．λ>－53且λ≠0 [解析] ∵a 与a ＋λb 均是非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb )>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－53.当a 与a ＋λb 同向时，设a ＋λb ＝m a (m>0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m ，2m)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0，m ＝1.∴λ>－53且λ≠0.12．解：(1)由已知可得AB →＝(3，3)，AC →＝(0，1)．求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|. 由AB →＋AC →＝(3，4)，得|AB →＋AC →|＝5.由AB →－AC →＝(3，2)，得|AB →－AC →|＝13.(2)由已知可得OC →＝(－2，0)．因为(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2＝0，且AB →·OC →＝－6，OC →2＝4，所以t ＝－32.13．解：AB →＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)．(1)W 1＝F 1·AB →＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．14．B [解析] ∵OC →·OA →＝m|OA →|2＋nOA →·OB →＝m ，OC →·OB →＝mOA →·OB →＋n·|OB →|2＝3n ，∴m 3n ＝|OC →|·|OA →|·cos 30°|OC →|·|OB →|·cos 60°＝1，∴m n＝3. 15．解：依题意，将题目转化为在△ABC 内求一点P ，使得AP 2＋BP 2＋CP 2最小．设AB →＝a ，AC →＝b ，AP →＝t ，则BP →＝AP →－AB →＝t －a ，CP →＝AP →－AC →＝t －b .∴AP →2＋BP →2＋CP →2＝t 2＋(t －a )2＋(t －b )2＝3t 2－2t·(a ＋b )＋a 2＋b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a ＋b 32＋23(a 2＋b 2)－23a ·b ，所以，当AP →＝t ＝a ＋b 3，即P 为△ABC 的重心时，AP 2＋BP 2＋CP 2的值最小．。

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2。

5.1—2。

5。

2 向量在物理中的应用举例［课时作业］[A组基础巩固］1．在△ABC中，已知A(4,1)，B（7，5)，C(－4,7),则BC边的中线AD的长是（) A．2错误!B。

错误!错误!C．3 5 D.72错误!解析：BC的中点为D错误!，错误!＝错误!,所以|错误!|＝错误!错误!.答案:B2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为（)A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1｜－｜v2｜D。

错误!解析：根据速度的合成可知．答案:C3．给出下面四个结论:①若线段AC＝AB＋BC，则错误!＝错误!＋错误!;②若错误!＝错误!＋错误!,则线段AC＝AB＋BC；③若向量错误!与错误!共线，则线段AC＝AB＋BC；④若向量AB，→与错误!反向共线,|错误!＋错误!|＝AB＋BC；其中正确的结论有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：结论①正确，当AC＝AB＋BC时,B点在线段AC上，这时错误!＝错误!＋错误!.结论②不正确,A,B，C三点不共线时，也有向量错误!＝错误!＋错误!，而AC≠AB＋BC。

2.5.2 向量在物理中的应用举例课后集训基础达标1.已知一物体在共点力F 1=（2，2），F 2=（3，1）的作用下产生位移s =(23,21)，则共点力对物体所做的功为（ ）A.4B.3C.7D.2 解析：首先求出合力：F =F 1+F 2=（2，2）+（3，1）=（5，3）. ∴共点力F 对物体所做的功为 F ·s =5×21+3×23=7. 答案：C2.在下列命题中为真命题的有（ ）①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量 ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 ④平面上的数轴都是向量 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：①作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量，故是一对共线向量，所以①正确；②温度是数量，只有大小没有方向，所以②不正确；③显然共线，所以③正确；④平面上的数轴虽然具有方向但没有确定的长度，所以数轴不是向量，所以命题④不正确.所以应选B. 答案：B3.已知作用在A （1，1）点的三个力F 1=（3，4），F 2=（2，-5），F 3=（3，1），则合力F =F 1+F 2+F 3的终点坐标为（ ）A.（9，1）B.（1，9）C.（9，0）D.（0，9）解析：F =（8，0），设终点坐标为（x,y ），则⎩⎨⎧=-=-,01,81y x ∴⎩⎨⎧==.19y x答案：A4.某人以时速为a km/h 向东行走，此时正刮着时速为a km/h 的南风，则此人感到的风向及风速为（ ）A.东北，2km/hB.东南，a km/hC.西南，2a km/hD.东南，2a km/h 解析：由速度的合成可得. 答案：C5.一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行300 km ，则飞机两次位移的和为____________.解析：如下图，由于每次飞行的位移是向量，所以可以用向量加法的三角形法则考虑.由向量加法三角形法则知合位移的大小|s |=2|s 1|=2300(km),方向是北偏西45°.答案：大小：2300 km 方向：北偏西45°6.已知两个力F 1、F 2的夹角为90°，它们的合力为12 N ，合力与F 2的夹角为60°，那么力F 1的大小为____________. 解析：|F 1|=|F |·cos30° =12×3623= (N). 答案：36N综合运用7.当两人提起重量为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则三者的关系式为（ ） A.|F |=θcos 2||G B.|F |=θsin 2||G C.F =2cos2||θGD.|F |=2cos2||θG解析：由向量的平行四边形法则及力的分解可得.答案：C8.一个质量为m 的物体，受到三个水平作用力，静止在光滑的水平面上，将其中一个水平向南的力F 减少了43，其他两个力保持不变，那么该物质在时间t 的位移是（ ） A.0 B.m t F 8||2，向南C.m t F 8||2，向北D.mt F 8||32，向北解析：设另两力为F 1、F 2，则F 1+F 2+F =0， ∴F 1+F 2=-F ，若F 减少43，则合力变为F 1+F 2+41F =-43F ，加速度|a |=43|F |m,方向向北. 位移|s |=21|a |t 2=m t F 8||32,方向向北.答案：D9.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1)，今有动点P 从P 0（-1，2）开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1+e 2|;另一动点Q 从点Q 0（-2，-1）出发，沿与向量3e 1+2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1+2e 2|,设P ，Q 在时刻t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当PQ ⊥00Q P 时,t=___________秒（ ）A.1.5B.2C.3D.4 解析：∵P 0(-1,2),Q 0(-2,-1)，∴00Q P =(-1,-3). 又∵e 1+e 2=(1,1),∴|e 1+e 2|=2.∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=13.∴当t 时刻时，点P 的位置为（-1+t,2+t ）,点Q 位置为（-2+3t,-1+2t ）. ∴=(-1+2t,-3+t),∵00Q P ⊥.∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0， ∴t=2. 答案：B 拓展探究10.一条河的两岸平行，河的宽度d=500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的速度|v 1|=10 km/h, 水流速度|v 2|=2 km/h,要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，分三种情况讨论：（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.计算以上三种情况，是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.解析：(1)如图1，当船逆流行驶，与水流成钝角时，要使行程最短，合速度要垂直于对岸，此时|v|=2221||||v v -=9.8 km/h,t=3.11 min. (2)如图2，当船顺流行驶，与水流成锐角时，t=αsin ||5.01v ,|v 1|sin α＜|v 1|.(3)如图3，当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时,t=||5.01v =3(min)， 即当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短. 备选习题11.河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为____________.解析：由速度的合成及向量的平行四边形法则，得静水速度大小为26221022=+m/s. 答案：262m/s12.一艘船以3 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h ，求船实际航行速度的大小和方向.思路分析：如右图，设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度.表示水流速度，以AD 、AB 为邻边作ABCD,则AC 就是船的实际航行速度.解：在Rt△ABC 中，||=3 km/h,| BC |=3 km/h,∴|AC |=.233322=+=tan∠CAB=33=1，∴∠CAB=45°. 即船实际航行的速度的大小为23km/h.方向总与河岸的夹角为45°.13.一架飞机从A 地向西北飞行200 km 到达B 地后，又从B 地向东飞行2100km 到达C 地，再从C 地向南偏东60°飞行250km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移.解：如右图，根据题意，可作出四边形ABCD ，依题得，△ABC 是等腰Rt△，斜边AB=200，AC=2100.在Rt△CAD 中，∠DCA=60°,CD=250,DA=650,||=650,∠DAC=30°,即∠ADE=30°.14.如右图，重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？解：小球受力如右上图所示，重力为G ，斜面弹力N 2（垂直于斜面），木板弹力N 1（垂直于木板），其中N 1和N 2合力大小恒为G ，方向向上，N 2方向始终不变，随着木板的转动，N 1的大小在不断变化.|N 1|=θαsin sin ||G ,当sin θ取最大值1时，|N 1|min =|G|sin α，此时θ=2π.15.如右图，有两条相交成60°的公路xx′,yy′，其交点为O ，甲、乙两辆汽车分别在xx′,yy′上行驶，起初甲离O 点30 km ，乙离O 点为10 km ，后来两车均用60 km/h 的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶. (1)起初两车的距离是多少？（2）t 小时后两车的距离是多少？解：（1）连结A 、B ，设甲、乙两车最初的位置为A 、B ，则 ||2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cos60°=700.故||=710（km ）.(2)连结P 、Q ，设甲、乙两车t 小时后的位置分别为P 、Q ，则||=60t ，=60t. 当0≤t≤21时，|PQ |2=（30-60t ）2+（10+60t ）2-2（30-60t ）（10+60t ）cos60°; 当t ＞21时，|PQ |2=（60t-30）2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120°. 上面两式可统一为：|PQ |2=10 800t 2-3 600t+700, 即|PQ |=107361082+-t t .。