数学北师大版八年级上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数

应用二元一次方程组——里程碑上的数教学目标1．会应用二元一次方程组解决数学问题．2．能归纳应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．教学重点用二元一次方程组解决数学问题．教学难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.教学过程一、情景导入 感受新知小明爸爸骑着摩托车带着小明在马路上匀速行驶，下面是小明每隔1h 看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到里程碑上的数吗？12：00 是一个两位数，它的两个数字之和为7.13：00 十位与个位数数字与12：00时所看到的正好互换了．14：00 比12：00时看到的两位数中间多了个0.12：00－13：00与13：00－14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？二、自学互研 生成新知【自主探究】活动：师生合作完成下面问题的学习与探究．问题：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数． 为了帮助学生理清思路，分析各数之间的关系，教师可以引导学生分析：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为________；在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为________．为了让学生有一个清晰的解题过程，展示如下：解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2178，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，99x －99y ＝2178，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，x －y ＝22，解这个方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝23.所以这两个两位数分别是45和23. 思考讨论：经历前面一系列的解决二元一次方程组的应用题，你认为列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同学们交流．归纳总结：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为：审、找、设、列、解、验、答．【师生活动】①明了学情：关注学生对根据实际问题建立数学模型的掌握情况；②差异指导：对学生在探究中产生的疑惑及时引导与点拨；③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑，达成共识．三、典例剖析 再探新知【合作探究】例：某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，去时他共用了4.5 h ，原路返回共用了4.25 h ，求去时上坡路长和下坡路长．解：设去时上坡路长为x km ，下坡路长为y km ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝18. 答：去时上坡路长为24 km ，下坡路长为18 km.四、课堂小结 回顾新知通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？请谈一谈你的想法和同学们一起分享！五、检测反馈 落实新知(2018年永州中考)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，x ＝1.5y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝20. 答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．六、课后作业 巩固新知(见学生用书)。

5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。

5 应用二元一次方程组——里程碑上的数●情景导入 小勋爸爸骑着摩托车带着小勋在公路上匀速行驶．(课件出示)如图是小勋每隔1 h 看到的里程情况．问题：同学们，你能确定小勋在9：00时看到的里程碑上的数吗？【教学与建议】教学：创设问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题时，反映了“数学来源于生活”，学习数学是为了更好地“服务于生活”．建议：引导学生审清题意，特别注意给出的条件，比如：匀速行驶，两数字和为7，正好互换，中间多了个0等．●置疑导入 填空：(1)一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为__10b ＋a __；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，则用代数式表示为__10a ＋b __．(2)一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为__100b ＋a __．(3)有两个两位数a 和b ，如果将a 放在b 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为__100a ＋b __；如果将a 放在b 的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为__100b ＋a __．【教学与建议】教学：通过置疑，让学生学会如何用代数式表示多位数．建议：小组讨论交流，对发现的问题及时解决．命题角度1 列二元一次方程组解数字问题解决数字问题，可以用代数式表示原数或新数，根据题意列出方程组．【例1】(1)一个两位数的个位数字与十位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的新的两位数，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，所列的方程组正确的是(B)A ．{x ＋y ＝8，xy ＋18＝yxB ．{x ＋y ＝8，x ＋10y ＋18＝10x ＋yC ．{x ＋y ＝8，10x ＋y ＋18＝yxD ．{x ＋y ＝8，10（x ＋y ）＝yx(2)一个三位数，十位上的数比个位上的数大2，百位上的数是十位上数的2倍．如果把百位上的数与个位上的数对换，那么可以得到比原来小495的三位数，求原三位数．解：设原三位数个位数为x ，则十位数为x ＋2，百位数为2(x ＋2).由题意，得100×2(x ＋2)＋10(x ＋2)＋x －495＝100x ＋10(x ＋2)＋2(x ＋2)，解得x ＝1，∴x ＋2＝3，2(x ＋2)＝6，∴原三位数为631.命题角度2 行程问题解决行程问题要抓住时间、路程、速度之间的关系．弄清题意，找出等量关系，正确列出方程组．【例2】(1)从甲地到乙地的路有一段上坡路，一段下坡路．如果上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，那么从甲地走到乙地需要4.5 h ，从乙地走到甲地需要4.25 h ．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？解：设甲地到乙地上坡路程为x km ，下坡路程为y km.由题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得x ＝24，y ＝18. 答：上坡路24 km ，下坡路18 km.(2)甲、乙两地相距360 km ，一艘轮船往返于甲、乙两地，顺水行船用18 h ，逆水行船用24 h ，若设该船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，则可列方程组为__{18（x ＋y ）＝360，24（x －y ）＝360 __．高效课堂 教学设计1．用二元一次方程组解决数字问题和行程问题．2．归纳用方程组解决实际问题的一般步骤．3．让学生学会借助图表分析问题，感受化归思想．▲重点用二元一次方程组解决数学问题．▲难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)请同学们认真观察这些图片，图片上显示的都是里程碑，里程碑上隐藏着许多数学知识，同学们想知道吗？那就让我们一起探索吧！◆活动2 实践探究 交流新知【探究问题】小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1 h 看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？自主探究：匀速行驶是什么含义？每个小时行驶的路程一样吗？如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么(1)12：00时小明看到的数可表示为__10x ＋y __，根据两个数字之和是7，可列出方程__x ＋y ＝7__；(2)13：00时小明看到的数可表示为__10y ＋x __，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是__(10y ＋x )－(10x ＋y )__；(3)14：00时小明看到的数可表示为__100x ＋y __，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是__(100x ＋y )－(10y ＋x )__；(4)12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？ 解：根据以上分析，得方程组{x ＋y ＝7，（100x ＋y ）－（10y ＋x ）＝（10y ＋x ）－（10x ＋y ）.化简得{x ＋y ＝7，y ＝6x .解这个方程组，得{x ＝1，y ＝6. 答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.问题1：十进制数一般用字母如何表示？【归纳】两位数：a 1a 2＝10a 1＋a 2；三位数：a 1a 2a 3＝100a 1＋10a 2＋a 3；四位数：a 1a 2a 3a 4＝1 000a 1＋100a 2＋10a 3＋a 4，问题2：列二元一次方程组的一般步骤是什么？【归纳】审、找、设、列、解、验、答．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】教材P 121例题【方法指导】设较大的两位数为x ，较小的两位数为y .在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为__100x ＋y __；在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为__100y ＋x __．为了让学生有一个清晰的解题过程，展示如下：解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意，得{x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2 178，化简，得{x ＋y ＝68，99x －99y ＝2 178， 即{x ＋y ＝68，x －y ＝22，解这个方程组，得{x ＝45，y ＝23. 所以这两个两位数分别是45和23.【例2】某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，去时他共用了4.5 h ，原路返回共用了4.25 h ，求去时上坡路长和下坡路长．【方法指导】行程问题中路程、速度、时间之间的关系．解：设去时上坡路长为x km ，下坡路长为y km.根据题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得{x ＝24，y ＝18.答：去时上坡路长为24 km，下坡路长为18 km.◆活动4随堂练习1A．24 B．42 C．51 D．152．一个两位数，数字之和为7，若原数加45，等于此两位数交换其数位上的数的位置后得到的新数，则原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出的下列方程组中正确的是(C) A．{10x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x B．{10x＋y＝7，x＋y＋45＝y＋xC．{x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x D．以上都不对3．某船顺流航行48 km用了4 h，逆流航行32 km用了4 h，求水流速度和船在静水中的速度．解：设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.根据题意，得{4（x＋y）＝48，4（x－y）＝32，解得{x＝10，y＝2.答：船在静水中速度为10 km/h，水流速度为2 km/h.◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课的主要收获是什么？用二元一次方程组解决问题的关键是什么？教学说明：会列方程组解决数字问题和行程问题，体会模型思想．作业：课本P121随堂练习，P122习题5.6中的T2、T3、T4.给予学生独立思考的空间有助于学生思维的发展．而各组围在黑板前去讨论、探究，从而列方程，解方程，使每个学生都能积极参与到活动中．以小组为单位解决问题增强了学生的小组荣誉感，每个学生都想积极争做最好．同时也利于教师去观察学生分析问题的能力，了解他们解决问题的方向．。