2.3.1简单的轴对称图形线段(备份)

简单的轴对称及利用轴对称进行设计（基础）知识讲解撰稿：常春芳责编：康红梅【学习目标】1．理解轴对称变换，能按要求作出简单平面图形经轴对称后的图形；能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.2. 探索等腰三角形的性质定理以及判定定理，能熟练运用它们进行推理和计算．3. 会作线段的垂直平分线和角的平分线，探索线段垂直平分线和角平分线的性质定理与判定定理，能用它们解决几何计算与证明题.4．积累探究图形性质的活动经验，发展空间观念，同时能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．【要点梳理】要点一、作轴对称图形和对称轴1.做轴对称图形可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形.要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点.2.对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点二、等腰三角形的性质及判定1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．要点诠释：（1）性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．（2）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴．2.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点五、利用轴对称性质进行简单设计欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美.【典型例题】类型一、作轴对称图形及对称轴1、已知如下图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．【思路点拨】分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′．即可得到△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．【答案与解析】解：【总结升华】作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题．2、画出如图中的各图的对称轴．【思路点拨】根据轴对称图形的性质，找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点，作这个线段的垂直平分线就是这个图形的对称轴．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查了对称轴的画法．解答此题要明确对称轴所具有的性质：对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．举一反三：【变式】在下图中，画出△ABC 关于直线MN 的对称图形.【答案】△为所求.'''A B C类型二、等腰三角形的性质与判定3、已知：如图，△ABC 中，∠ACB＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD＝∠FCD．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ ，45ACB ∠=︒∴45ACB DAC ∠=∠=︒∴ AD ＝CD∵ ，BAD FCD ∠=∠ ∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD ＝FD.∵ ∠FDB＝90°， ∴ .45FBD BFD ∠=∠=︒ ∵ ，45ACB ∠=︒ ∴ .90BEC ∠=︒ ∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD ，求出∠FBD=∠BFD=45°．举一反三：【变式】如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△ ,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴类型三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理4、如图，△ABC 中，∠BAC=110°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，E 、G 分别为垂足．（1）求∠DAF 的度数；（2）如果BC=10cm ，求△DAF的周长．【思路点拨】1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C ；根据垂直平分线性质，DA=BD ，FA=FC ，则∠EAD=∠B ，∠FAC=∠C ，得出∠DAF=∠BAC ﹣∠EAD ﹣∠FAC=110°﹣（∠B+∠C ）求出即可．（2）由（1）中得出，AD=BD ，AF=FC ，即可得出△DAF 的周长为BD+FC+DF=BC ，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）设∠B=x ，∠C=y ．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴110°+∠B+∠C=180°，∴x+y=70°．∵AB 、AC 的垂直平分线分别交BA 于E 、交AC 于G ，∴DA=BD ，FA=FC ，∴∠EAD=∠B ，∠FAC=∠C ．∴∠DAF=∠BAC ﹣（x+y ）=110°﹣70°=40°．（2）∵AB 、AC 的垂直平分线分别交BA 于E 、交AC 于G ，∴DA=BD ，FA=FC ，∴△DAF 的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm ）．A B C D E F G【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用.举一反三【变式】如图，D是线段AB，BC的垂直平分线的交点，若∠ABC=50°，则∠ADC的大小是（ ）Ａ．100° Ｂ．115° Ｃ．130° Ｄ．150°【答案】A；5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．举一反三【变式】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（ ）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】Ｂ；类型四、角平分线性质定理及其逆定理6、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．【思路点拨】作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得OD=OE，OF=OE，∴OD=OE=OF．【答案与解析】证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，∵BM为△ABC的角平分线，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD=OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．同理可证：OF=OE．∴OD=OE=OF．即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．正确作出辅助线是解答本题的关键．举一反三【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ）①PA=PC②BP平分∠ABC③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①② B．①④ C．③② D．③④【答案】Ｃ；7、已知如图：AD、BE是△ABC的两条角平分线，相交于P点求证：P点在∠C的平分线上．【思路点拨】首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线上．【总结升华】本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键．类型五、利用轴对称性质进行设计8、如图所示，请你用三种方法，把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使各个图形成为轴对称图形，并分别画出其对称轴所在的位置．【思路点拨】根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图．【答案与解析】解：如图所示．．【总结升华】本题考查了轴对称图形的性质及其作图的方法，做这些题时找对称轴及对称点是关键．。

简单的轴对称图形 ------线段学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质； 2、掌握用尺规做线段的垂直平分线。

学习重点：线段垂直平分线的性质的应用 一、 知识链接;1、 角是轴对称图形，它的对称轴是2、 角角平分线的性质 （1） 文字语言描述: （2） 几何语言描述：二、 学习过程： （一）学法指导： 1、动手操作课本第7页的“做一做”；2从课本7—9页中找出线段中垂线的定义及性质（并用3分钟记忆）； 3、 完成下列导学案。

（二）线段的垂直平分线1、线段是轴对称图形，它有 条对称轴，在下图中画出对称轴2、线段的垂直平分线的性质（1（2∵ OC 垂直平分∴ AC=BC3、若 OC 上有任意一点D ，则可知 =4、巩固练习：(1)如图（1）∠ABC=80°, ∠A=40°,AB 的垂直平分线交AC 于点D.则∠DBC= （2）如图(2)中，△ABC 中，DE 垂直平分AC ，AE=3，△ABC 的周长为13，则△ABC 的周长为（三）阅读课本第8页”做一做”，用尺规做线段的垂直平分线 1、已知：线段AB求做: 线段AB 的垂直平分线做法：(1)分别以点 和点 为圆心，以 为半径画弧，两弧相交于点 和点(2)连接 ，则直线 就是AB 的垂直平分线 2、练习巩固如图，分别作出线段AB 和BC 的垂直平分线，相交于点P ，哪些线段是相等的写出来三、 当堂练习1、在△ABC 中，AB=6,CD 垂直平分EO2、如图，在△ABC 中，ED 是BC 边上的中垂线，交AB 于E 交BC 于点D ， 若∠A=73°，∠ACE=24°.求∠B 的度数3、求作一点P ，使PC=PD,并且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等，并说明理由BO。

简单的轴对称图形（1）——线段教学反思济宁十三中初二数学宋伟和着新教育实验的节拍，乘着“新课程实施推进周”活动的一叶扁舟，我惴惴地执教了鲁教版七年级上册2.3简单的轴对称图形（1）——线段一课。

这是今年刚刚改过的教材，由于对教材、对课标的理解与领悟受限，我在第一次独立备课中纠结万分，我最大的感受，一是教材对于线段垂直平分线的尺规作图的问题涉及较多，如果在课上，放手给孩子们去操作，会耗掉很多时间，这也与课程标准的要求有一些距离；二是对于在较复杂图形中，运用垂直平分线性质定理解决问题这个既是重点又是难点的地方，却只字未提，只在课后习题中出现了一题，我得如何设计“阶梯”，以便于学生能乘“梯”而上，理顺出明确的思路，类化问题的解决方法，能见一题，会一类；同时，得以什么样的方式来呈现该问题才能既利于发展学生的思维，又能规范学生解题格式。

在经历了多次个人备课，与组内老师集体研讨，又与共同执教者王东老师反复商议后，基本确定了五环节的问题设计（见导学案定稿），又结合我班的学生实际和各环节要达到的目标，大致确定出每环节的学生活动方式：是独学，还是二人对学，是三人小组检测还是六人组内或组间交流合作亦或展开竞争。

在温故互查之后，我设计了一个小游戏，其目的，一方面是温顾——已知一点和对称轴，找该点的对称点；另一方面是知新——已知两点，确定两点（或两点所在线段）的对称轴，来引入线段的垂直平分线。

在问题导学环节，在探究出线段的垂直平分线性质定理，写出数学符号语言后，师追问“结合前面所学的知识，你能解释其中的道理吗？”，引导学生三人组内交流见解，组长负责汇报交流结果（用SAS证三角形全等或用轴对称的性质解释问题）。

此处这样处理的意图是夯实垂直平分线性质定理，以便于今后“遇垂直平分，直接得线段相等”！下面是尺规作图，作已知线段的垂直平分线，采用的是先独学课本，仿照课本尺规画图，如遇问难，可以向大小组长求助，接先来老师引领，再演示一遍，目的一方面，回顾作图步骤；另一方面，演示所取半径不超过给定线段一半时的做法，追问此时不能成功作图的原因，强化对“半径大于给定线段长度一半”的理解，并强调画图勿忘结论。

简单的轴对称图形——线段及中垂线执教人：王喆教学目标：1、会画线段的对称轴。

（知识与技能）2、能说出线段垂直平分线的含义。

3、能用文字语言和符号语言表达线段垂直平分线的性质，并能进行简单的计算和说理。

4、让学生动手折叠，自己找到线段的中垂线。

（过程与方法）5、通过测量与动画演示，让学生归纳出“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距 离相等”的结论。

6、培养学生的学习兴趣。

（情感态度与价值观）7、让学生自己发现结论，体验成功的乐趣。

重点：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

难点：中垂线性质的应用。

学情分析：本节课是在学习“生活中的轴对称”之后，学生对生活中图片的轴对称性有体验，知道轴对称图形中对应线段、对应角均相等的事实，但是对数学中抽象的几何图形的轴对称性是初次接触，好在是图形并不复杂，结论也叫容易找到，因此应用探究启发式学习方法较适宜。

教学流程：一、创设情境，引出问题。

观察：蝴蝶是轴对称轴图形，它沿着中间一条直线MN 对折后，MN 两侧的部分互相重合，若A 、B 是蝴蝶翅膀上的两个对称点，连结AB 与MN 相交于点O 。

问题1：OA 与OB 是否重合？问题2：AB 与MN 的位置关系如何？ 问题3：若P 是MN 上一动点，则PA 与PB 的大小关系是什么？ 二、动手操作，探索结论。

（一）探究垂线的含义1、操作：学生拿出事先准备好的蝴蝶，标出相应的字母，动手折叠。

2、表述：回答问题1，2。

（强化符号语言的表述。

）3、归纳：线段是轴对称图形，它的对称轴是垂直并且平分这条线段的直线，这条直线叫做这条线段的垂直平分线或中垂线。

4、练习：（1）如图，直线AB 是线段CD 的中垂线，则下列说法中错误的是（ ） A 、∠AOC=∠COB=900 B 、AB ⊥CD C 、AO=BO D 、CO=DO （2）用直尺、量角器画△ABC 三边的中垂线。

（二）探究中垂线的性质1、问题：我们已经知道，线段是轴对称图形，其对称轴是它的中垂线。

第五章生活中的轴对称简单的轴对称图形──线段石室蜀都中学中学刘仁平一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过生活中的轴对称图形，对轴对称图形的特点及对称轴有所了解，并能通过折纸动手制作轴对称图形。

在本章前面几节课中，又学习了轴对称现象，对轴对称和轴对称图形的概念有了进一步的了解，具备了动手操作的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些折纸活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了从数学活动中积累数学经验的过程；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析（1）知识与技能1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮助我们认识简单的轴对称图形。

经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质．3．应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题．4．尺规作图。

（2）过程与方法体会轴对称在生活中的广泛运用和丰富的文化价值。

在学习中，首先要养成善于观察的习惯，从不同的情境中，通过思考、分析，总结共性，学会学习。

（3）情感态度与价值观1．培养学生的抽象思维和空间观念，结合教学进行审美教育，让学生充分感知数学美，激发学生热爱数学的情感。

2．结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。

3．通过小组折叠协作活动，培养学生协作学习的意识和研究探索的精神。

三、教学设计分析按照学生的认识规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以实验发现法为主，直观演示法为辅。

教学中，精心设计了一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，诱导学生思考、操作，教师适时地演示，激发学生探求知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，从而培养学生的思维能力。

指导学生通过折纸活动探索线段垂直平分线的性质，再通过解决适当的实际问题来培养学生的分析能力和应用意识．本节课设计了如下教学环节：第一环节探索研究，充分发挥学生的主体作用探索1：探索线段的对称性：线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？活动内容:拿出准备好的印有线段AB的纸，折一折，你能找到它的对称轴吗？找到了几条？问题思考：你找到的对称轴有怎样的特点，与线段AB具有怎样的关系？注意事项：鼓励学生在操作中尽量运用自己的语言描述说明。

深圳实验分层课课练 班级 姓名 月 日1简单的轴对称图形概念1：1．定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言：∵MN ⊥AB 且平分AB ，点P 在MN 上（已知）∴PA=PB （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） 2．定理：和一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．几何语言：∵PA=PB ，AQ=BQ （已知）∴PQ 是线段AB 的垂直平分线3．三角形三边的三条垂直平分线相交于一点，这一点叫三角形的外心，它的位置可能在三角形的内部、外部或边上，它到三角形三个顶点的距离相等．概念2：1．定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．几何语言：∵点P 在∠AOB 的平分线上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD= ( ) ．2．定理：到角两边距离相等的点，一定在角的平分线上． 几何语言：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点P 在OC 上，PD=PE ，∴OC 平分∠ ( ) ．3．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心（三角形内接圆的圆心），它到三角形三条边的距离相等．概念3：等腰三角形的基本方法是：1、从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；2、从角入手，证明一个三角形的两个角相等判定定理1：两个角相等的三角形是等腰三角形 几何语言：在△ ABC 中，∵∠B=∠C （已知）∴AB=AC （等角对等边）3、实际解题中的常用技巧是，构造等腰三角形，常用的构造方法有：(1)“角平分线+平行线”构造等腰三角形；(2)“角平分线+垂线”构造等腰三角形；(3)“角平分线+中线”构造等腰三角形；(4) 用“垂直平分线”构造等腰三角形；(5) 用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．概念4：性质定理1：等腰三角形的两个底角相等几何语言：在△ ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合几何语言：（1）∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）Array∴BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形性质）（2）∵AB=AC，BD=DC（已知）∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形性质）（3）∵AB=AC，AD⊥BC于D（已知）∴BD=DC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形性质）2。