简单的轴对称图形

§7.2.2 简单的轴对称图形（二）教学目标1.等腰三角形是轴对称图形.2.等腰三角形的性质.3.等边三角形的轴对称性及性质.教学重点等腰三角形的轴对称性及其有关性质.教学难点等腰三角形的“三线合一”的性质.教学过程Ⅰ.巧设现实情景，引入新课［师］上节课我们探讨了简单图形——线段.角的轴对称性，知道线段和角是轴对称图形.除线段和角外，我们还研究过三角形，那大家想一想：三角形是轴对称图形吗？Ⅱ.讲授新课［师］什么是等腰三角形、等边三角形呢？我们共同来回忆一下.［师生共析］三角形的三边，有的各不相等，有的有两边相等，有的三条边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形（scalence triangle）；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle），三条边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle） 也叫正三角形.（如图7－11）图7－11在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.等边三角形是特殊的等腰三角形.即底边和腰相等的等腰三角形.［师］有了上述的概念后，同学们来想一想.（出示投影片§7.2.2 A）1.等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴.2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？［生甲］等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两条腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便可知道：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.……［师］接下来大家来剪一个等腰三角形，然后进行折叠，找出它的对称轴.［师］很好，大家看屏幕：（电脑演示等腰三角形的折叠过程，显示“三线合一”，底角相等）由此我们得到了等腰三角形的性质（师生共同总结，然后出示投影片§7.2.2 C）等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.等腰三角形的两个底角相等.［师］我们讨论了等腰三角形的性质，那等边三角形有哪些性质呢？大家来画一个等边三角形，然后剪下来，做一做（出示投影片§7.2.2 D）（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出它的对称轴.（2）你能发现它的哪些特征？（学生操作，教师指导）Ⅲ.课堂练习（一）课本P195随堂练习Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形和等边三角形的轴对称性.由此我们得到了等腰三角形和等边三角形的性质.等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合，即三线合一.它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.等腰三角形的两底角相等.等边三角形是特殊的等腰三角形，根据其特殊性，再由等腰三角形的性质及三角形的内角和性质，可以得出等边三角形的内角均为60°大家应灵活应用这些性质.Ⅴ.课后作业：课本P228习题7.3 1、2、3、4.课后反思：。

简单的轴对称图形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．2．已知等腰三角形周长为12，一边长为5，则它另外两边差的绝对值是______．3．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为____．5．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为40°，则这个三角形的底角为______．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】一．填空题（共1小题）1．如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各角的度数．2．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，求∠B的度数．知识点3 等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC．（1）求∠APO+∠DCO的度数；（2）求证：点P在OC的垂直平分线上．2．在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=____（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=____（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：_________（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．知识点4 等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．知识点5线段的垂直平分线1.定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.3.判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.【典例】1.关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴；④线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；⑤到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.其中，正确的说法有（）A.3个B. 4个C. 5个D. 2个【方法总结】1.本题考查了垂直平分线的定义，该直线需要满足两个条件：条件1，直线和线段垂直；条件2，直线经过线段的中点.2.本题还需要熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定.2.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点，若△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长为______．【方法总结】本题考查了垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出相等的线段，再将题中给出的三角形周长表示出来，建立线段之间的关系，进而求解出待求的线段长.【随堂练习】1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=___．2．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．3．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．。

轴对称现象及简单的轴对称图形知识梳理1．轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2．轴对称：对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，两个图形的对应点叫做对称点。

3．轴对称的性质(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等；（3）对应角相等4．利用轴对称的性质作图5．等腰三角形定义及性质定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形性质：两边相等，两底角相等，底边上的“三线合一”。

判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形（2）有两个角相等的三角形也是等腰三角形6．等边三角形定义及性质定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。

性质：三边相等，三个角相等都是60°，三边上的“三线合一”判定：（1）三边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）有两个角等于60°的三角形是等边三角形（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形7．垂直平分线的概念及性质（1）概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线的垂直平分线，简称中垂线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

8．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

9．垂直平分线及角平分线的画法例题精讲考点1．轴对称图形与成轴对称例1．下列图形中，轴对称图形是（）A．（1），（2） B．（1），（4） C．（2），（3） D．（3），（4）（34）1变式1．下列语句中：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④轴对称图形的两个对应点一定在对称轴的两侧.正确的有（）A．1个 B．2 C．3 D．4变式2．将一正方形纸片按图1中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（）变式3．小华在镜中看到身后墙上的钟如下，你认为实际时间最接近8点的是（）A B C D考点2．方案设计例2．如图，是由三个阴影小正方形组成的图形，请在三个网格中各补画出一个有阴影的小正方形，使阴影组成的图形为轴对称图形变式1．如图，把图中的某两个小方格图上阴影，使整个图形是以线段所在直线为对称轴的轴对称图形。

AB CD 简单的轴对称图形---（等腰三角形，等边三角形）一、选择题 济宁附中李涛1、 等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为（ ）A. 100°B. 40°C. 70°D. 70°或40°2、 等腰三角形的一个角为100°，则它的底角为（ ）A. 100°B. 40°C. 70°D. 100°或40°3、如图，在等腰三角形ABC 中，顶角∠A=36°．若BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个4、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，若BD+CE=5，则线段DE 的长为（ ）A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 85、如图所示．△ABC 中，∠B=∠C ，D 在BC 上，∠BAD=50°，AE=AD ，则∠EDC 的度数为（ ）A ． 15°B ． 25°C ． 30°D ． 50°6、如图，△ABC 的面积为1cm2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ． 0.4 cm2B ． 0.5 cm2C ． 0.6 cm2D ． 0.7 cm2二、选择题： 1、（1）已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于11，则它的周长为__________。

（2）已知等腰三角形一边长等于5，一边长等于7，则它的周长为__________。

2、如右图，∠A=200，∠C=400，∠ADB=800，则∠DBC=_ _，图中等腰三角形有_ 个。

3、如下图△ABC 中 AB=AC ，D 是BC 的中点，则AD BC,若∠B=35°,则∠CAD= ，∠BAC= 。

课题§9.2简单的轴对称图形第1课时教学目标：知识与技能目标1、能认识线段和角都是轴对称图形,并且线段的垂直平分线的概念,掌握线段和角的特殊性质.2、通过线段和角进一步认识轴对称图形及轴对称的知识,探究其特殊性质.过程与方法目标1、通过动手动脑，学会用自己的语言概括出线段和角的特殊性质。

2、鼓励学生从大胆实践,不断探索,总结归纳,得出结论。

情感与态度目标1、通过实践与探索,发现规律,总结归纳,尝试成功的喜悦。

2、培养学生合作学习。

教学重点与难点：⏹理解线段和角圆是轴对称图形,它们的对称轴;掌握和运用线段和角的特殊性质。

（重点）⏹能正确地运用线段和角的特殊性质。

（难点）教学方法：自主探究式法教学过程：一、揭示学习目标通过动手与探索,能识别线段和角是轴对称图形,能找出其对称轴;掌握与运用线段和角的特殊性质来解决实际问题。

二、创设情境，引入新课请看下列图形。

（出示课件：山水倒影图）提出：你发现了它的对称轴是什么吗？请回答。

接着给出线段和角的图形提出它们不还是轴对称图形吗？如果是，它们的对称轴是什么？小组讨论、交流（请与同伴交流并用自己的语言来描述。

）（3分钟后）最后让学生谈谈自己的发现。

点出课题：今天我们学习最简单的轴对称图形——线段和角（板书）三、指导学生自学（分两次看书自学）第一次看书：1、请大家先自学课本P71~72试一试之前的内容，并思考下列问题（5分钟）：⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是什么？⑵你是如何理解线段的垂直平分线？⑶线段的垂直平分线具有什么特殊的特征？⑷你能独立完成例1吗？2、点拨、矫正，检查学习结果⑴、课件展示；⑵、学生试做例1；⑶教师点评；⑷完成专项训练一、二第二次看书：（5分钟）1、请大家自学课本P72试一试到732、点拨、矫正，检查学习结果⑴、课件展示；⑵、教师点评；⑶完成专项训练三3五、课后练习：（出示课件）如图，直角三角形ABC中∠C=900，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，DE是AB的垂直平分线，DE=3㎝，BD=5㎝，求AC的长。