昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案教案资料

昆明理工大学数值分析考试题（07）一．填空（每空3分，共30分）1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有 位有效数字。

2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。

3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。

4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。

5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为 。

6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范围应为 。

7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。

（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。

）二．推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。

（12分）（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。

请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。

（8分）（三）利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。

（8分）（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。

（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+⎰。

（10分）（六）对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１） 用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。

数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。

下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。

以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。

以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。

根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。

要求精确到小数点后三位。

解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。

昆明理工大学数学分析历年考研真题集(2016～2020)本真题集由考途学者倾情汇编，仅供研友学习！真题集内容:2020年昆明理工大学数学分析考研真题2018年昆明理工大学数学分析考研真题2017年昆明理工大学数学分析考研真题2016年昆明理工大学数学分析考研真题2020年昆明理工大学数学分析考研真题考生答题须知1．所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。

请考生务必在答题纸上写清题号。

2．评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。

3．答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。

4．答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。

1、（15分）设为非空有上界的数集.证明：当且仅当，其中和分别表示的上确界和最大值.2、（15分）求下列极限3、（15分）已知函数在点处连续，计算和.4、（15分）证明函数在点处可微当且仅当函数在点处可导.5、（15分）利用微分中值定理证明：，其中.6、（15分）求幂级数的收敛域与和函数.7、（15分）求曲线在点处的切线方程.8、（15分）证明在点连续且偏导数存在，但在此点不可微.9、（15分）计算曲线积分，其中是由和所围成的闭曲线.10、（15分）设某流体的流速为（为常数），求单位时间内从球面的内部流过球面的流量.2018年昆明理工大学数学分析考研真题一、计算及判断（每小题5分，共20分）1、设函数arctan ()x y f e =，求微分dy ；2、求极限1321lim 242n n n→∞-⋅⋅⋅ ；3、设函数1,77(),711(1)sin ,11x x f x x x x x x ⎧-∞<<-⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<<+∞-⎩，指出其间断点及类型，并说明理由；4、求函数()arctan f x x =在0x =的左、右导数．二、证明下列各题（每小题5分，共20分）1、用X ε-定义证明lim sin0x xπ→+∞=；2、叙述函数极限0lim ()x f x +→存在的归结原则；3、运用归结原则证明01lim cos x x+→不存在；4、应用拉格朗日中值定理不等式：aab a b b a b -<<-ln ，其中b a <<0．三、（10分）证明：若函数f 在R 连续，且()()xaf x f t dt =⎰，则()0f x ≡．四、（10分）证明：若数列{}n na 收敛，且级数11()n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1nn a ∞=∑收敛．五、计算或证明下列各题（每小题5分，共35分）1、求极限221lim nn i n n i →∞=+∑；2、求导数32x x d dx ⎰；3、证明瑕积分130arctan 1x dx x -⎰发散;4、求极限00lim πα→⎰；5、求函数()2xf x π-=在(0,2)π上的傅里叶展开式；6、计算第一型曲线积分Lyds ⎰，其中L 为单位上半圆周221x y +=；7、计算第一型曲面积分SzdS ⎰⎰，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.六、（10分）证明函数1,()1x f x x ⎧=⎨-⎩为有理数，，为无理数在]1,0[上有界但不可积．七、（10分）求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,00 ,),(22222233y x y x y x y x y x f 在原点的偏导数)0,0(x f 与)0,0(y f ,并证明),(y x f 在点)0,0(是不可微的．八、（10分）利用适当的坐标变换计算二重积分{}()sin(),(,)0,0Dx y x y dxdy D x y x y x y ππ+-=≤+≤≤-≤⎰⎰．九、（10分）设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程)()()(2y f x f xy f +=在点)1,1(的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数?十、（10分）用高斯公式计算第二型曲面积分22()Syzdydz x z ydzdx xydxdy +++⎰⎰，其中22:4()S y x z =-+，在0x z 面右侧部分内侧.十一、（5分）请举例说明：在有理数集内，单调有界定理一般都不成立.2017年昆明理工大学数学分析考研真题一、计算下列各题（每小题6分，共30分）1、设函数sin ()x y f e =，求微分dy ；2、求极限22011lim()sin x x x→-；3、求函数()arctan f x x =在0x =的左、右导数；4、指出函数||sin )(x xx f =的间断点，并说明其类型;5、求不定积分二、证明下列各题（每小题7分，共28分）1、用N ε-定义证明0n →∞-=；2、应用柯西收敛准则，证明数列2sin1sin 2sin 222n n na =+++ 收敛；3、设f 是定义在R 上的函数，且对任何12,x x R ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，若(0)1f '=，证明：对任何x R ∈，有()()f x f x '=；4、应用凹凸性证明不等式：()lnln ln ,,02x yx y x x y y x y ++≤+>.三、计算下列各题：（5分×3=15分）1、求无穷积分2x xe dx +∞-⎰的值；2、将函数1()1f x x =+展成1x -的幂级数；3、求函数22222(,)()x y f x y x y x y =+-在点(0,0)的重极限和累次极限.四、（10分）证明狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 0,1)(在]1,0[上有界但不可积.五、计算或证明下列各题：（6分×5=30分）1、设f 为连续可微函数，求()()xad x t f t dt dx '-⎰；2、求函数u xyz =在点(5,1,2)A 的梯度以及沿着从该点到点(9,4,14)B 的方向AB上的方向导数；3、、计算第二型曲线积分Lydx ⎰，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；4、0sin x e xdx α+∞-⎰在00[,](0)a a +∞>上一致收敛；5、221SdS x y+⎰⎰，其中S 是柱面222x y R +=被平面0,z z H ==所截取的部分；六、（10分）证明：函数2222222,0(,)0,0x yx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)点连续且偏导数存在，但不可微.七、（10分）求表面积一定而体积最大的长方体.八、（10分）用高斯公式计算曲面积分22()Syzdydz x z ydzdx xydxdy +++⎰⎰，其中22:4()S y x z =-+，在xoz 面右侧部分外侧.九、（7分）用定义证明1()f x x=在(0,1)内不一致连续.2016年昆明理工大学数学分析考研真题一、（20分）求下列极限（每小题4分，共20分）(1)sin(!)lim;1n n n →∞+(2)lim ;n →∞⎛⎫⋅⋅⋅+(3)22001limsin();tan x e x t dt x →⎰(4)x (5)0ln(1arcsin )limarcsin x x x→+二、（20分）求下列导数或微分（每小题5分，共20分）(1)设25(5)(4)(4),(2)(4)x x y x x x +-=>++求;dy dx (2)已知(),x f x x =求();df x (3)设(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩求2.t dydx π=(4)设(,),x yu f y z=且f 具有连续的偏导数，求.du 三、（8分）求下列积分（每小题4分，共8分）(1)1;⎰(2)21.1dx x +∞-∞+⎰四、（40分）按要求计算下列曲线积分、曲面积分和重积分（每小题8分，共40分）(1)计算第一型曲线积分(),Lx y ds +⎰其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形.(2)利用格林公式计算第二型曲线积分(sin )(cos 1),x x ABe y y dx e y dy -+-⎰其中AB 为由(,0)a 到(0,0)经过圆22x y ax +=上半部分的路线.(3)用变量变换求二重积分,x y x yDedxdy -+⎰⎰其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围成的区域.(4)计算第一型曲面积分,SxyzdS ⎰⎰其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.(5)利用高斯公式计算第二型曲面积分222Sx dydz y dzdx z dxdy++⎰⎰Ò其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧.五、（10分）按要求完成下列各题（每小题5分，共10分）(1)设1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,.证明函数项级数31()n D x n∞=∑在),(+∞-∞上一致收敛；(2)用间接方法求非初等函数20()xt F x e dt -=⎰在0=x 处的幂级数展开式.六、（10分）求2()f x x x =+在x ππ-<<上的傅里叶级数，并应用它推出2211.6n n π∞==∑七、（8分）叙述函数()f x 在区间I 上无界的定义，并应用它证明31()f x x=在区间(0,1)上无界.八、（8分）用定义证明22lim(610) 2.x x x →-+=九、（9分）按柯西准则叙述极限lim n n a →∞存在的充要条件，并应用它证明222111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+存在.十、（9分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，证明存在(0,1),ξ∈使得11(1)2((0)().24f f f f ξ''-+=十一、（8分）证明函数z =在点(0,0)连续但偏导数不存在.。

数值分析A 试题2007.1第一部分:填空题10⨯51.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分解成TA LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________，请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx f x ae =中的参数:a = ___________ b =___________4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =,迭代方法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________,其收敛阶为___________6。

设()s x = 3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________ b =___________ 7。

要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________9。

用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =,希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________,此时该方法是几阶的：___________10。

数值分析考试卷及详细答案解答姓名班级学号⼀、选择题1.()2534F,,,-表⽰多少个机器数(C ).A 64B 129C 257D 2562. 以下误差公式不正确的是( D)A ．()()()1212x *x *x *x *εεε-≈+B ．()()()1212x *x *x *x *εεε+≈+C ．()()()122112x *x *x *x *x x *εεε?≈+ D ．()()()1212x */x *x *x *εεε≈-3. 设)61a =, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪⼀个在数值计算上将给出a 较好的近似值？(D )A6)12(1+ B 27099- C 3)223(- D3)223(1+4. ⼀个30阶线性⽅程组, 若⽤Crammer 法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30!B 30×30×30!C 31×30×31!D 31×29×29!5. ⽤⼀把有毫⽶的刻度的⽶尺来测量桌⼦的长度, 读出的长度1235mm, 桌⼦的精确长度记为（ D ）A 1235mmB 1235-0.5mmC 1235+0.5mmD 1235±0.5mm⼆、填空1.构造数值算法的基本思想是近似替代、离散化、递推化。

2.⼗进制123.3转换成⼆进制为1111011.01001。

3.⼆进制110010.1001转换成⼗进制为 50.5625 。

4. ⼆进制0101.转换成⼗进制为57。

5.已知近似数x*有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。

6. ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是 0.693 。

7.31415926x .π==，则131416*x .=，23141*x .=的有效数位分别为5 和3 。

8.设200108030x*.,y*.==-是由精确值x y 和经四舍五⼊得到的近似值，则x*y*+的误差限 0.55×10-3 。

《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。

例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。

解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑（2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。