二次函数图象和性质练习课 讲义

辅导讲义_⼆次函数的图像和性质.doc课题⼆次函数的图像和性质教学容⼀、⼆次函数概念：1．⼆次函数的概念：⼀般地，形如y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做⼆次函数。

这⾥需要强调：和⼀元⼆次⽅程类似，⼆次项系数a 0 ，⽽ b ，c 可以为零．⼆次函数的定义域是全体实数．2.⼆次函数 y ax2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于⾃变量x 的⼆次式， x 的最⾼次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是⼆次项系数，b是⼀次项系数， c 是常数项．⼆、⼆次函数的基本形式1. ⼆次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。

a 的符号开⼝⽅向a 0向上a 0向下2.y ax2 c 的性质：上加下减。

a 的符号开⼝⽅向a 0向上a 0向下23. y a x h的性质：左加右减。

a 的符号开⼝⽅向顶点坐标0，00，0顶点坐标0，c0，c顶点坐标对称轴性质x 0 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；x0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 有最⼩值 0 ．x 0 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x 0 时， y 随y 轴0 时， y 有最⼤值 0 ．x 的增⼤⽽增⼤；x对称轴性质x 0 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；x 0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 有最⼩值c．x 0 时， y 随x的增⼤⽽减⼩；x 0 时， y 随y 轴x 的增⼤⽽增⼤；x 0 时， y 有最⼤值c．对称轴性质a 0 h，0 x h 时， y 随x的增⼤⽽增⼤； x h 时， y 随向上X=hx 的增⼤⽽减⼩；x h 时， y 有最⼩值 0 ．a 0 h，0 x h 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x h 时， y 随向下X=hx 的增⼤⽽增⼤；x h 时， y 有最⼤值 0 ．4. y a x h 2k 的性质：a 的符号开⼝⽅向顶点坐标对称轴性质a 0 h，k x h 时， y 随x的增⼤⽽增⼤； x h 时， y 随向上X=hx 的增⼤⽽减⼩；x h 时， y 有最⼩值 k ．a 0 h，k x h 时， y 随x的增⼤⽽减⼩； x h 时， y 随向下X=hx 的增⼤⽽增⼤；x h 时， y 有最⼤值 k ．三、⼆次函数图象的平移1. 平移步骤：⽅法⼀：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，k ；k ，确定其顶点坐标⑵保持抛物线 y2h，k 处，具体平移⽅法如下：ax 的形状不变，将其顶点平移到向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2+k y=ax2向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0)【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移|k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2y=a (x-h)2+k 向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位2.平移规律⽅法⼀：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”．⽅法⼆：⑴ y ax2 bx c 沿y轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y ax2 bx c 变成y ax 2 bx c m （或 y ax 2 bx c m ）⑵ y ax2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2 bx c 变成y a( x m)2 b(x m) c （或 y a(x m) 2 b( x m) c ）四、⼆次函数 y a x2k 与 y ax2 bx c 的⽐较h从解析式上看， y a x2k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配⽅可以得h2 b，k到前者，即 y a x b 4ac b2 ，其中 h 4ac b 2 ．2a 4a 2a 4a 五、⼆次函数 y ax2 bx c 图象的画法五点绘图法：利⽤配⽅法将⼆次函数y ax2bx c 化为顶点式⽅向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图顶点、与 y 轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点y a ( x h)2 k ，确定其开⼝.⼀般我们选取的五点为：2h ，c 、与 x 轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下⼏点：开⼝⽅向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、⼆次函数 y ax2 bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开⼝向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2 ．2a 2a 4a当 x b时， y 随x的增⼤⽽减⼩；当x b 时， y 随x的增⼤⽽增⼤；当x b 时， y 2a 2 a 2a 2有最⼩值4ac b ．4a2. 当a 0 时，抛物线开⼝向下，对称轴为x b ，顶点坐标为 b，4ac b2 ．当x b 时，2a 2a 4a 2ab时， y 随x的增⼤⽽减⼩；当x b时， y 有最⼤值4ac 2y 随x的增⼤⽽增⼤；当x b ．2a 2a 4a七、⼆次函数解析式的表⽰⽅法1. ⼀般式： y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数，a 0 ）；2. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ，h，k为常数，a 0 ）；3. 两根式： y a (x x1)( x x2 ) （a 0， x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何⼆次函数的解析式都可以化成⼀般式或顶点式，但并⾮所有的⼆次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以⽤交点式表⽰．⼆次函数解析式的这三种形式可以互化.⼋、⼆次函数的图象与各项系数之间的关系1.⼆次项系数 a⼆次函数y ax2bx c 中， a 作为⼆次项系数，显然a0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开⼝向上， a 的值越⼤，开⼝越⼩，反之 a 的值越⼩，开⼝越⼤；⑵当 a 0 时，抛物线开⼝向下， a 的值越⼩，开⼝越⼩，反之 a 的值越⼤，开⼝越⼤．总结起来， a 决定了抛物线开⼝的⼤⼩和⽅向， a 的正负决定开⼝⽅向， a 的⼤⼩决定开⼝的⼤⼩．2.⼀次项系数 b在⼆次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b 0时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．2a⑵在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴 xb0 ，概括的在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab2a说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 c⑴当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上⽅，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下⽅，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯⼀确定的．⼆次函数解析式的确定：根据已知条件确定⼆次函数解析式，通常利⽤待定系数法．⽤待定系数法求⼆次函数的解析式必须根据题⽬的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．⼀般来说，有如下⼏种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，⼀般选⽤⼀般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最⼤（⼩）值，⼀般选⽤顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，⼀般选⽤两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选⽤顶点式．九、⼆次函数图象的对称⼆次函数图象的对称⼀般有五种情况，可以⽤⼀般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y ax 2 bx c ；y a x h2ya x h 2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 k ；2. 关于 y 轴对称y 2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y 2bx c ；ax ax y a x h2ya x h 2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 k ；3. 关于原点对称y ax 2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是yax 2 bx c ；22y a xhk关于原点对称后，得到的解析式是ya xhk；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2 y ax2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c b ；2ay a2k ．k 关于顶点对称后，得到的解析式是x h5.关于点 m，n 对称2k 关于点22n ky a x h m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m根据对称的性质，显然⽆论作何种对称变换，抛物线的形状⼀定不会发⽣变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或⽅便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开⼝⽅向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开⼝⽅向，然后再写出其对称抛物线的表达式．⼗、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程：1.⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系（⼆次函数与x 轴交点情况）：⼀元⼆次⽅程ax2 bx c 0 是⼆次函数 y ax2 bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：①当24 ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0 ，B x2，0 ( x1 x2 ) ，其中的 x1，x2是⼀元b⼆次⽅程 ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离 AB x2 x1 b2 4ac .a②当0 时，图象与 x 轴只有⼀个交点；③当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在x 轴的上⽅，⽆论x 为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0 时，图象落在x 轴的下⽅，⽆论x 为任何实数，都有y 0 ．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴⼀定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3.⼆次函数常⽤解题⽅法总结：⑴求⼆次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为⼀元⼆次⽅程；⑵求⼆次函数的最⼤（⼩）值需要利⽤配⽅法将⼆次函数由⼀般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断⼆次函数y ax2bx c 中 a ，b， c 的符号，或由⼆次函数中 a ，b， c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷⼆次函数的图象关于对称轴对称，可利⽤这⼀性质，求和已知⼀点对称的点坐标，或已知与x轴的⼀个交点坐标，可由对称性求出另⼀个交点坐标.0 抛物线与x 轴有⼆次三项式的值可正、⼀元⼆次⽅程有两个不相等实根两个交点可零、可负0 抛物线与x 轴只⼆次三项式的值为⾮负⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数根有⼀个交点0 抛物线与 x 轴⽆⼆次三项式的值恒为正⼀元⼆次⽅程⽆实数根 .交点⑸与⼆次函数有关的还有⼆次三项式，⼆次三项式ax 2 bx c(a0) 本⾝就是所含字母 x 的⼆次函数；下⾯以 a 0 时为例，揭⽰⼆次函数、⼆次三项式和⼀元⼆次⽅程之间的在联系：⼆次函数图像参考：y=2x2y=x2y=2x 2y=2(x-4) 2x 2 y=2y=2(x-4) 2-3y=2 x 2+2y=2 x2y=2 x 2-4y=-2(x+3) 2y=3(x+4) 2x 2 y= -2y= -x 2y=-2x 2⼗⼀、函数的应⽤y=-2x 2 y=-2(x-3) 2y=3x 2y=3(x-2) 2【例题精讲】⼆次函数图像和性质常考考点：考点 1、考查⼆次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为⾃变量的⼆次函数y (m 2) x2m 2m 2 的图像经过原点，则m的值是考点 2、综合考查正⽐例、反⽐例、⼀次函数、⼆次函数的图像，习题的特点是在同⼀直⾓坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y kx b 的图像在第⼀、⼆、三象限，那么函数y kx 2bx 1 的图像⼤致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D考点 3、考查⽤待定系数法求⼆次函数的解析式，有关习题出现的频率很⾼，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知⼀条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为 x 5，求这条抛物线的解析式。

课题：22.1.3二次函数k h x a y +-=2)(的图象教学目标：1、会用描点法画二次函数y=a(x-h)²+k 的图象，并通过图象认识函数的性质.2、能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 教学过程：重点：二次函数y=a(x-h)²+k 的性质.难点：把实际问题转化为数学问题.教学过程设计 一．复习导入1填表：抛物线 开口方向 对称轴顶点坐标+1-1二次函数y=ax²+k 对称轴为 __________，顶点坐标为 ____________ K>0时，y=ax² ___________ y=ax²+k K<0时，y=ax² ___________ y=ax²+k 2填表 抛物线开口方向 对称轴 定点坐标 y=2x ²y=2(x-1)².y=2(x+1)².二次函数y=ax²+k 对称轴为--------------顶点坐标为 -----------h<0时, y=ax² ----------- y=a(x-h)²--，25.0x y -=25.0x y -=25.0x y -=h>0时，y=ax² ------- ------y=a(x-h)²让学生复习已学习的知识，再学习新知识 ，达到新旧 知识的链接。

二．学习新知例题：画出函数 的图像，指出它的对称轴，开口方向，顶点坐标①列表②描点 ③连线x… … ……观察图象可得： 抛物线2)1(221+--=x y 的开口方向 ， 对称轴是 ， 顶点坐标是 ； 当 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小．抛物线2)1(221+--=x y 可以看成是抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到．★你还有其他的平移方法吗？1)1(212-+-=x y 1)1(212-+-=x y学生画出图像，并讨论图像有什么特点： 归纳：1．抛物线k h x a y +-=2)(有如下特点： （1）当a >0时，开口 ，当a <0时，开口 ． （2）对称轴是直线 ．（3）顶点坐标是 ．2．一般地，抛物线k h x a y +-=2)(与2ax y =的形状 ，位置 ； 把抛物线 2ax y = 向 向 平移，可以得到抛物线k h x a y +-=2)(平移的方向、距离要根据 、 的值来决定 给学生时间让他们记住这些特点，并能运用这些特点去完成下列题目。

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >（2）0a <j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<j yxOcj y xOc2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．(2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1的图象交于点P （1，m ） （1）求a ，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时该表达式y 随x 的增大而增大？ （3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【思路点拨】（1）把点P （1，m ）分别代入二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1即可求出未知数的值； （2）把a 代入二次函数y=ax 2与即可求出二次函数表达式； 根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值． （3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P （1，m ）在y=2x ﹣1的图象上∴m=2×1﹣1=1代入y=ax 2 ∴a=1（2）二次函数表达式：y=x 2因为函数y=x 2的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； （3）y=x 2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性． 举一反三：【变式1】二次函数2y ax =与22y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ． 【答案】2.【变式2】（•山西模拟）抛物线y=﹣x 2不具有的性质是（ ）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点 【答案】A.2．已知y=(m+1)x 2m m+是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax 2（a≠0）的图象性质来解答. 【答案与解析】由题意，2210m m m ⎧+=⎨+⎩＞，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=22x .【总结升华】本题中二次函数还应该有m+1≠0的限制条件，但当10m +＞时，一定存在m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质3．求下列抛物线的解析式： （1）与抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则||a 相同，再由开口方向可确定a 的符号，由顶点坐标可确定c 的值，从而确定抛物线的解析式2y ax c =+． 【答案与解析】（1）由于待求抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为12， 又顶点坐标是（0，-5），故常数项5k =-，所以所求抛物线为2152y x =-． （2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为21y ax =+，又∵该抛物线过点（3，-2），∴912a +=-，解得13a =-． ∴所求抛物线为2113y x =-+． 【总结升华】本题考察函数2(0)y ax c a =+≠的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4．在同一直角坐标系中，画出2y x =-和21y x =-+的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线21y x =-+向________平移________个单位得到抛物线2y x =-；(2)抛物线21y x =-+开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线21y x =-+，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答. 【答案与解析】函数2y x =-与21y x =-+的图象如图所示：(1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【总结升华】本例题把函数21y x =-+与函数2y x =-的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数2(0)y ax c a =+≠与2(0)y ax a =≠的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．2(0)y ax c a =+≠可以看作是把2(0)y ax a =≠的图象向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位得到的． 举一反三：【变式】函数23y x =可以由231y x =-怎样平移得到？【答案】向上平移1个单位.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1.关于函数y=2x 的图象,则下列判断中正确的是( ) A.若a 、b 互为相反数,则x=a 与x=b 的函数值相等； B.对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应； C.对任一个实数y,有两个x 和它对应； D.对任意实数x,都有y ＞0.2.下列函数中，开口向上的是（ ）A.23y x =- B.212y x =-C. 2y x =-D.216y x = 3.把抛物线2y x =向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．A ．21y x =+ B ．2(1)y x =+ C ．21y x =- D ．2(1)y x =-4.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ）A.25y x = B.212y x =-C. 2y x =D.213y x = 5.在同一坐标系中，作出22y x =，22y x =-，212y x =的图象，它们的共同点是（ ）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6.（•黄陂区校级模拟）抛物线y=2x 2+1的对称轴是（ ） A ．直线x=B ． 直线x=﹣C ． y 轴D ． x 轴二、填空题7.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________， 当x ＞0时，y 随x 的增大而________．8.若函数y ＝ax 2过点(2，9)，则a ＝________．9.已知抛物线y ＝x 2上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ，则△AOB 的面积为________．10．（•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ． 11.函数2y x =，212y x =、23y x =的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12.若对于任意实数x ，二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则a 的取值范围是____________． 三、解答题13．已知2(2)mmy m x +=+是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求m 的值；(2)画出函数的图象． 14. 已知抛物线2y ax =经过A （-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B （-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．（春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A. 2．【答案】D ；【解析】开口方向由二次项系数a 决定，a ＞0，抛物线开口向上；a ＜0，抛物线开口向下. 3．【答案】A ； 【解析】由抛物线2y x =的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为21y x =+． 4．【答案】B ；【解析】根据抛物线2(0)y ax a =≠的图象的性质，当a ＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y 值随x 值的增大而增大，所以答案为B. 5.【答案】C ；【解析】y ＝2x 2，y ＝-2x 2，212y x =的图象都是关于y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)． 6.【答案】C ；【解析】∵抛物线y=2x 2+1中一次项系数为0， ∴抛物线的对称轴是y 轴． 故选C ．二、填空题 7．【答案】下 ； y 轴； (0，0)； 减小； 8．【答案】94； 【解析】将点(2，9)代入解析式中求a. 9．【答案】 1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则1121122AOB A S AB y ==⨯⨯=△.10．【答案】43-； 【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-．故答案为：43-. 11．【答案】23y x =，2y x =，212y x =． 【解析】先比较12，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y ＝3x 2，y ＝x 2，212y x =． 12．【答案】a ＞-1；【解析】二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0. 三、解答题 13.【解析】解：(1)∵2(2)mmy m x +=+为二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴ 2220m m m ⎧+=⎨+>⎩，∴ 122m m m ==-⎧⎨>-⎩或，∴m=1.(2)由(1)得这个二次函数解析式为23y x =，自变量x 的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14.【解析】解：（1）∵抛物线2y ax =经过A （-2，-8），∴-8=4a ，∴a=-2，抛物线的解析式为：22y x =-.（2）当x=-1时，y=-2()21⨯-=-2≠-4，∴点B （-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即226x -=-，得3x =∴此抛物线上纵坐标为-6-6）和（-6）. 15.【解析】解：（1）将x=1，y=b 代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax 2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．(2)抛物线的解析式为y=-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y 轴)． (3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y=- 2与抛物线y=-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O(0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩,，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴A(，-2)，，-2)．∴，高=|-2|=2．∴122AOBS =⨯=。

二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质函数二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）图象0a >0a <开口方向 向上 向下对称轴直线2b x a=-直线2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性在对称轴的左侧，即当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值 抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值，抛物线有最高点，当2bx a=-时，y 有2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1. 抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？(4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 【答案与解析】(1)由抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)可得m ＝3．∴ 抛物线解析式为223y x x =-++，如图所示．(2)由2230x x -++=得11x =-，23x =．∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ 2223(1)4y x x x =-++=--+，∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，举一反三：【变式】（•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5… 由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x 2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值2. 分别在下列范围内求函数223y x x =--的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3． 【答案与解析】∵ 2223(1)4y x x x =--=--，∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，4y =-最小值．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．(2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数223y x x =--(2≤x ≤3)的图象是 抛物线223y x x =--的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，232330y =-⨯-=最大值；当x ＝2时，222233y =-⨯-=-最小值．【总结升华】先求出抛物线223y x x =--的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x ＝3时，0y =最大值；x ＝2时，3y =-最小值．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用3.（•梅州）对于二次函数y=﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和 （2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【解析】解：y=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，①正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1，②错误；③当y=0，则x （﹣x+2）=0，解得：x 1=0，x 2=2， 故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确； ④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当0＜x ＜2时，y ＞0，④正确． 故选：C ．【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．4. 一条抛物线2y ax bx c =++经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；x y（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线2y =的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是4x =． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得1,42,3.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴ 所求抛物线的解析式为21234y x x =-+-． x -2 0 2 4 6 8 10 y-8-31-3-8描点、连线，如图所示：（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10，观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形， 然后运用勾股定理求得．举一反三：【变式】已知二次函数2y ax bx c =++（其中a >0，b >0，c <0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个 在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （•南昌）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.A ．只能是x=﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x=2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧2．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过点(2,0)A -，(0,0)O ，1(3,)B y -，2(3,)C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）．A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定3．小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0a <；②1c >；③0b >；④0a b c ++>；⑤0a b c -+>．你认为其中信息正确的有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的 是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 25．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h第5题 第6题6．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值-1，有最大值0 C ．有最小值-1，有最大值3 D ．有最小值-1，无最大值 二、填空题7．把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a+b+c ＝________．8．如图所示，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c ＞0； ②a+b+c ＜0；③2a-b ＜0；④284b a ac +>中正确的是________（填写序号）．9．（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．10．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____.11．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___ __.三、解答题13．（•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．14．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q.(1)求点B和点C的坐标；(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x取值范围.(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.(1)求此抛物线的解析式；(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x 2满足：﹣2＜x 2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D ．2.【答案】A ；【解析】由于抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为1x =-，根据抛物线对称性知当3x =-和1x =时，其函数值相等，∵ 0a <，开口向下，当2x >-时，y 随x 增大而减小，又213-<<，∴ 12y y >．3.【答案】C ；【解析】由图象知0a <，1c >，02b a->，∴ 0b >，当1x =时，0a b c ++>， 当1x =-时，0a b c -+<，∴ ①②③④正确．4.【答案】B ；【解析】由表可知1＜x 1＜2，∴ 0＜y 1＜1，3＜x 2＜4，∴ 1＜y 2＜4，故y 1＜y 2.5.【答案】A ；【解析】由顶点(n ，k)在(m ，h)的上方，且对称轴相同，∴ m ＝n ，k ＞h.6.【答案】C ；【解析】观察图象在0≤x ≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3.二、填空题7．【答案】11 ；【解析】将235y x x =-+向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得237y x x =++．∴ a ＝1，b ＝3，c ＝7.8．【答案】②④；【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，故①是错误的；当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则02b a ->， ∵ 0a >，∴ 0b <，故20a b ->，故③是错误的；∵ 0a >，240b ac ->，∴ 284b a ac +>，故④是正确的．9．【答案】1；【解析】∵y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD=AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．10．【答案】-3；【解析】设抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x 1、x 2，则x 2- x 1=1，△ABC 的面积为1得c=2,由根与系数关系化为123x x +=±，即=3b a -±，由20b a -＞得=3b a-，3b =-. 11．【答案】(2，4)； 【解析】若抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x 2+kx-2k 得y=x 2+k （x-2），x-2=0，解得x=2,代入y=x 2+k （x-2），y=4,所以过点(2，4).12．【答案】 34； 【解析】又因为函数图象经过，所以，代入即可求得. 三、解答题13.【答案与解析】解：（1）当y=2时，则2=x ﹣1，解得：x=3，∴A （3，2），∵点A 关于直线x=1的对称点为B ，∴B （﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx+c 得：解得：∴y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴14.【答案与解析】(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2)把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)；(2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y)==∵点M运动到B点上停止，∴，∴()；(3)存在. BC==①若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2∴ BM=1 ∴OM=3-1=2∴∴QM=所以Q的坐标为Q(2，)；②若BQ=BD=2∵△BQM∽△BCO，∴==∴=∴ QM=∵=∴=∴BM=∴ OM=所以Q的坐标为Q(，).15.【答案与解析】(1)直线与坐标轴的交点，.则解得此抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.设，则.化简得.当，得或. 或当时，即，此方程无解.综上所述，满足条件的点的坐标为或.。

二次函数图像与性质复习讲义1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数c bx ax y ++=2可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.3.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.4.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. （2）抛物线的顶点、对称轴：①a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.②抛物线()k h x a y +-=2的顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.5.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.6.几种特殊的二次函数的图像特征如下：7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 8.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程 02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,，()22121x x x x AB -=-=()a a ac b a ca b x x x x ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=4442221221xyO1 1O xy3二次函数的图像1.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ） A.y=x 2-x-2B.y=121212++-x C.y=121212+--x xD.y=22++-x x2.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定4.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m = B ．k n = C ．k n >D ．00h k >>，5.已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③ ④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：111-O xy11 1- Oxy 1211O1xyac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B. 3C. 4D. 57.小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>；（5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（ ） A ．0c > B ．20a b +=C ．240b ac -> D ．0a b c -+>9.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 则下列关系式不正确的是（ ） A ．a ＜0B. abc ＞0C. c b a ++＞0D. ac b 42-＞010.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ． ①②B ． ①③④C ． ①②③⑤D ． ①②③④⑤OxyA图5x = 2BxyO11.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞013.已知二次函数c bx ax y ++=2 (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．014.已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞015.如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点 A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3）D ．（4，3）16.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数a bx y +=的 图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限OyxO1 －117.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．ab ＜0B ．ac ＜0C ．当x ＜2时，函数值随x 的增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 的增大而减小D ．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。