《1.3.1推出与充分条件、必要条件》同步练习3

1.3.1 推出与充分条件、必要条件(二)一、基础过关1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <04．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α5．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、能力提升7．已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是____________．8．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件． 将所有正确命题的序号填在横线上________．9．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的__________条件．10．已知命题p ：x －5x －3≥2；命题q ：x 2－ax ≤x －a .若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．11．若p 是r 的充分不必要条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充要条件，q 是s 的必要条件，则(1)s 是p 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？12. 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13．命题p ：－2<m <0,0<n <1；命题q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．答案1．A 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 8．②④9．必要不充分10．解 ∵p ：x －5x －3≥2，∴x －1x －3≤0，即1≤x <3. 又∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0.(1)当a <1时，a ≤x ≤1；(2)当a ＝1时，x ＝1；(3)当a >1时，1≤x ≤a .∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．设q 对应的集合为A ，p 对应的集合为B ，则A ⊆B .当a <1时，A ⃘B ，不合题意；当a ＝1时，A B .符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3.综上，符合条件的a ∈[1,3)．11．解 (1)由题意知，p 、q 、r 、s 之间的关系如图．∵p ⇒r ⇔s ，s ⇔rD ⇒/p ，∴p ⇒s ，sD ⇒/p .∴s 是p 的必要不充分条件．(2)∵r ⇔s ⇒q ，∴r ⇒q .又∵q ⇒r ，∴r 是q 的充要条件．12. 证明 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根)∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0.∴方程一定有两不等实根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a <0，∴方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac <0)∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0，综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.13．解 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1， 有0<x 1＋x 2<2且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－m <2，0<n <1，即－2<m <0,0<n <1，故有q ⇒p .反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12<0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以pD ⇒/q .综上所述，p 是q 的必要不充分条件．。

1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识梳理知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的条件，q是p的条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件学习案例题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1由充分条件、必要条件求参数范围例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2(1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x<－1”，则实数a的取值范围是________．(2)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．命题角度2探求充要条件例3求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件．反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， ∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0， 此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．达标检测1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．参考答案知识点一充分条件与必要条件1．充分必要2．充分不必要必要不充分知识点二 充要条件1．充分且必要 学习案例题型一 充分、必要、充要条件的判断例1 解 (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)因为m >0⇒方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1＋4m >0，即方程有实根，方程x 2＋x －m ＝0有实根，即Δ＝1＋4m ≥0⇏m >0，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)p 是q 的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．跟踪训练2 (1)【答案】 (2，＋∞)【解析】 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)【答案】 [－1,5]【解析】 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1， 所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立， 等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4. 跟踪训练3 【答案】 －4或0【解析】 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0. 达标检测1．【答案】 C【解析】 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．【答案】 A【解析】 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．【答案】 A【解析】 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．【答案】 (－∞，－3]【解析】 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．【答案】 充要【解析】 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2.(2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a. 令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2.∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．。

作业三推出与充分条件、必要条件一、选择题(每小题5分,共10分)1.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选A.若p: l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.2.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解题提示】小集合推出大集合.【解析】选A.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为A点,而B点也在圆上, S△OAB=·sin∠AOB=sin∠AOB,因此∠AOB必为直角,所以S△OAB=的充要条件是k=±1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设a,b都是非零向量,则下列四个条件:①a=-b;②a∥b;③a=2b;④|a|=|b|,其中可作为使成立的充分条件的有__________.【解析】⇔a与b共线且同向⇔a=λb且λ>0,只有③满足.答案:③4.(2018·广州高二检测)设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m-2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是____________.【解析】由题意知函数f(x)=|log2x|=要使f(x)在区间(m-2,2m)内有定义且不是单调函数,则0≤m-2<1<2m,所以2≤m<3.答案:2≤m<3三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围.【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).依题意,得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}(a>0),所以解得a≥2,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,即(-∞,2).6.(2018·宝鸡高二检测)已知集合A=,B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得y=+.因为x∈,所以y∈.所以A=.由|x-m|≥1,解得x≥m+1或x≤m-1.所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.因为命题p是命题q的充分条件,所以A⊆B.所以m+1≤或m-1≥2,解得m≤-或m≥3.故实数m的取值范围是∪[3,+∞).。

1.(2009年天津卷)设x ∈R ，则“x ＝1”是“x 3＝x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2009年安徽卷)“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件4．(2009年福建质检)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2010年中山一中模拟)设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝ {x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．(理科)(2009年济南模拟)已知命题p ：|2x －3|>1，命题q ：log 12(x 2＋x －5)<0，则綈p是綈q 的________条件．6．(文科)函数f ()x ＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上为单调函数的充分条件是________．7．已知p ：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0x －10≤0 ，q ：{}x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若q 是p 的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是__________________．8．(2009年龙岩一中月考)设p ：“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”，q ：“1＜a ＜2” 则p是q 的________条件．9．(2010年厦门模拟)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p 是q 成立的________条件．10．(理科)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0()m >0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．10．(文科)已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0()m >0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．参考答案1．A 2.A 3.B 4.A 5.B 6．充分不必要6．a ≤1(或a ≥2) 7.[9，＋∞) 8.必要不充分 9.充分不必要 10．解析：依题有：綈q ⇒綈p ，綈p ⇒/ 綈q ，即：p ⇒q ，q ⇒/ p . p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2⇒p ：－2≤x ≤10；设f ()x ＝x 2－2x ＋1－m 2≤0()m >0 p ⇒q ，q ⇒/ p ，∴[]－2，10{}x |f ()x ≤0.⇒①⎩⎨⎧ f ()－2<0f ()10<0 ⇒m 2>81，∵m >0，∴m >9；②⎩⎨⎧f ()－2＝0f ()10<0⇒m ∈∅；。

【高二数学学案】1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件一、学习目标：学会判断充分条件、必要条件，充要条件及既不充分也不必要条件。

二、自学课本思考以下问题。

1．当命题“如果p ，则q ”经过推理论证断定其是真命题时，我们就说由p 可以推出q ，符号如何表达？读作什么？2．充分条件与必要条件的定义是什么？3．如果p 可以推出q ，则称p 是q 的 条件，q 是p 的 条件。

4．命题“如果p ，则q ”真，与哪几种形式的表述讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已？5．充分且必要条件的概念是什么？三、达标练习(A) 1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (A) 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(A) 3．“a >1”是“a1<1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件四、典型例题（A ）例1．在下列各命题中，试判定p 是q 成立的什么条件：（1）p ：两个三角形全等 q ：两个三角形相似（2）p ：42=a q ：2=a（3）p ：B A ⊆ q ：A B A =（A ）变式1：用充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件填空：（1）x 为自然数是x 为整数的（2）x>3是x>5的 （3）x=3是0322=--x x 的（4）042=-x 是02=-x 的（5）两个三角形的三条边对应相等是这两个三角形全等的 （6）a=0是ab=0的 (A)例2．以下满足q p ⇔的是（ ）A ．p ：同旁内角相等； q ：两直线平行B ．p ：0=∆； q ：关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根C ．p ：四边形的两条对角线互相平分；q ：四边形是正方形D ．p ：2>a 且2<b q ：b a >（B ）变式2：已知p ：,0)3(:,1|32|<-<-x x q x 则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件五、作业(A)1．设R x ∈，则2>x 的一个必要不充分条件是( ) A ．1>x B.1<x C.3>x D.3<x (A)2．已知条件P ：41≤≤x ，条件q ：12<-x ，则p 是⌝q 的( )A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既非充分也非必要条件 (B)3．“23cos -=α”是“Z k k ∈+=,652ππα”的（ ） A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 (B)4．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (A) 5．0≥x 是x x ≤2的 条件. (A)6．下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是（1）3:62:2+++=>-<m mx x y q m m p ；，或有两个不同的零点（2）()()()x f y q x f x f p ==-:1:；是偶函数 （3）A C B C q A B A p U U ⊆=::；(A)7．判断下列命题是不是真命题：（1）b a =是b a =的必要条件； （2）02=-x 是042=-x 的必要条件；（3）b a >是22b a >的充分条件； （4）今天为星期一是明天为星期二的充要条件； （5）两个三角形的两组对应角分别相等是这两个三角形相似的充要条件； (C) 8．已知p ：325≥-x ，q ：05412≥-+x x ，则p ⌝是q ⌝成立的什么条件？⊂ ≠ ⊃ ≠ 【高二数学学案】1.3.2 命题的四种形式一、学习目标：会写命题的四种形式，会判断相应命题的真假。

课后导练基础达标.设集合{＜≤}{＜≤}，那么“∈”是“∈”的( ).充分而不必要条件.必要而不充分条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件解析：易见，则“∈”“∈”，但有“∈”“∈”.故选.答案：.设∈，则＞的一个必要不充分条件是( )＞＜＞＜解析：＞＞,但＞＞.答案：.条件：“直线在轴上的截距是在轴上截距的倍”，条件：“直线的斜率为”，则是的( ) .充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分又不必要条件解析：由成立可知不一定成立，但成立，也成立.故是的必要不充分条件.答案：.对任意实数、、，在下列命题中，真命题是( ).“＞”是“＞”的必要条件.“”是“”的必要条件.“＞”是“＞”的充分条件.“”是“”的充分条件解析：＞＞,例如＜＜＜时.有＞但＜;反之，＞＞,例如＞＞＜时不成立.答案：.“α”是“απ，∈”的( ).必要不充分条件.充植槐槐匾跫?.充要条件.既不充分也不必要条件解析：∵α,∴απ或απ.∴ααπ,反之由απα.答案：.函数∈［∞)是单调函数的充要条件是.解析：若≥，设＜、∈(∞）.()()()()()＞.∴()＞().∴()是单调函数,即≥是()为单调函数的充分条件.若()()()()＞,∵＞＞,∴此时必有≥,即≥是()为单调函数的必要条件.故答案是≥..设、都是的充分条件，是的充分必要条件，是的必要条件，是的充分条件，那么是的条件，是的条件.解析：由题意可画出图形：由图形可看出是的充分条件，是的充要条件.答案：充分充要.“α”是α的.解析：“∵απ”，α不一定为,αα,∴α为α的必要不充分条件.答案：必要不充分条件.已知：：＞：＞，则是的什么条件.解：:｜｜＞.所以＞,或＜,所以＞,或＜,所以≤≤.因为:＞.所以＞.即＞,或＜.所以≤≤(如图所示）.所以是的充分非必要条件..已知、、均为实数，证明＜是关于的方程有一正根和一负根的充要条件.证明：（）充分性：若＜.则Δ＞.方程有两个相异的实根，设为、.∵＜,∴·＜,即、的符号相反，方程有一个正根和一个负根.()必要性：若方程.有一个正根和一个负根，设为、，不妨设＜＞,则＜,∴＜.由（）（）知＜是方程有一个正根和一个负根的充要条件.。

1.3.1推出与充分条件、必要条件一、选择题1．(2009·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查任意角的三角函数值． “α＝π6＋2k π(k ∈Z )”⇒“cos2α＝12”，“cos2α＝12”“α＝π6＋2k π”(k ∈Z )因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z )，∴选A. 2．(2009·湖南)对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件． ∵a ＋b ＝0，∴a ＝－b .∴a ∥b .反之，a ＝3b 时也有a ∥b ，但a ＋b ≠0.故选A.3．(2009·福建，7)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2[答案] B[解析] 本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础知识．易知选项A 、C 、D 推不出α∥β，只有B 可推出α∥β，且α∥β不一定推出B ， B 项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B.4．(2009·浙江，2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本小题主要考查不等式的性质及充要条件．当a>0且b>0时，a＋b>0且ab>0；当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，∴a>0，且b>0.故选C.5．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0<x<5，x∈R}，则( )A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件[答案] A[解析] P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0<x<5，x∈R}，x∈P⇒x∈Q.但x∈Q x∈p，∴x∈P是x∈Q的充分不必要条件．故选A.6．.(2010·福建文，8)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查充分必要条件问题．当x＝4时，|a|＝42＋32＝5当|a|＝x2＋9＝5时，解得x＝±4.所以“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．7．(2010·广东理，5)“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的( )A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件[解析] 一元二次方程式x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，∴m ≤14，故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0”有实数解的充分不必要条件．8．a <0是方程ax 2＋1＝0有一个负数根的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] ①∵a <0，ax 2＋1＝0⇒x 2＝－1a>0.∴ax 2＋1＝0有一个负根． ∴充分性成立．②若ax 2＋1＝0有一个负根， 那么x 2＝－1a>0，可是a <0.∴必要性成立．故选B.9．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 充分性：当a ＝1时，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0垂直；必要性：若直线x ＋y ＝0和x －ay ＝0垂直，由－1·1a＝－1，∴a ＝1，故选C.10．(2009·山东)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力． 由已知m ⊂α，若α⊥β则有m ⊥β，或m ∥β或m 与β相交；反之，若m ⊥β， ∵m ⊂α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β. ∴α⊥β是l ⊥β的必要不充分条件．故选B. 二、填空题11．条件甲：“a >1”是条件乙：“a >a ”的__________条件． [答案] 充要[解析] a >1⇒a >a 成立反之：a >a 时即a 2－a >0解得a >1.12．“lg x >lg y ”是“x >y ”的______________条件． [答案] 充分不必要[解析] 由lgx >lgy ⇒x >y >0⇒x >y 充分条件成立．又由x >y 成立，当y ＝0时，lgx >lgy 不成立，必要条件不成立． 13．不等式ax 2＋ax ＋a ＋3>0对一切实数x 恒成立的充要条件是________． [答案] a ≥0[解析] ①当a ＝0时，原不等式为3>0，恒成立； ②当a ≠0时，用数形结合的方法则有⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a (a ＋3)<0⇒a >0.∴由①②得a ≥0.14．函数y ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________． [答案] b ≥0[解析] 对称轴为x ＝－b2，要使y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈[0，＋∞)上单调， 只需满足－b2≤0，即b ≥0.三、解答题15．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p4.要想使x <－p 4时x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，－p4≤－1⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．16．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解析] 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}． 解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}依题意：p ⇒q ，但是q 不能推出p ，说明A B .于是有⎩⎨⎧a >01＋a ≤101－a ≥－2(说明“1＋a ≤10”与“1－a ≥－2”中等号不能同时取到)解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.17．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.[解析] 充分性：∵∠A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2，于是方程x 2＋2ax ＋b 2＝0可化为x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0， 即x 2＋2ax ＋(a ＋c )(a －c )＝0， ∴[x ＋(a ＋c )][x ＋(a －c )]＝0，∴该方程有两个根x 1＝－(a ＋c )，x 2＝－(a －c )， 同样，另一方程x 2＋2cx －b 2＝0也可化为x 2＋2cx －(a 2－c 2)＝0，即x 2＋2cx －(a －c )(a ＋c )＝0， ∴[x ＋(c ＋a )][x ＋(c －a )]＝0，∴该方程有两个根x 3＝－(a ＋c )，x 4＝－(c －a )， 可以发现x 1＝x 3， ∴这两个方程有公共根．必要性：设β是两方程的公共根，则⎩⎨⎧β2＋2aβ＋b 2＝0 ①β2＋2cβ－b 2＝0 ②，由①＋②得：β＝－(a ＋c )或β＝0(舍去)， 将β＝－(a ＋c )代入①并整理可得：a 2＝b 2＋c 2， ∴∠A ＝90°.18．求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析] 由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax 2＋2x ＋1＝0判定是一元一次方程还是一元二次方程．(1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求；(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4－4a ≥0从而a ≤1；又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的根为x 1·x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1·x 2＝1a.①因而方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根、一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤11a<0⇒a <0；②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1－2a<01a >0⇒0<a ≤1，综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 (
D ) 既不充分也不必要条件（2020年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））
2．2,2.x y >⎧⎨
>⎩是4,4.
x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件； 3．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B Ø是
)A B U =U （C
（A ） 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件(2020山东理)
4．条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
A ．既不充分也不必要条件
B ．充要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件(2020上海文)。

人教A版（2019）必修第一册《1.4 充分条件与必要条件》同步练习一、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）“a>1”是“|a|>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.（5分）已知z1，z2为复数．若命题p：z1−z2>0，命题q：z1>z2，则p是q成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.（5分）已知函数f(x)=e x−7，则“m>2”是“f(m)>0”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5.（5分）若α：(x−1)(x+3)⩾0，β：x−1⩾0，则α是β的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+1是a n=2n−1成立的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8.（5分）“等式sin(α+γ)=sin(2β)成立”是“α、β、γ成等差数列”的()A. 充分而不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分又不必要条件<1，q：m<x<m+2，若p是q的必要不充分条件，则m的9.（5分）已知命题p：1x取值范围是()A. [0,2]B. [−2,1]C. (−∞,−2]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[2,+∞)10.（5分）设x ∈R ，则“sin x =13”是“cos2x =79”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非非必要条件11.（5分）已知函数f (x )=12ax 2−2ax +lnx ,则f (x )在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是( )A. a ∈(−∞,−18) B. a ∈[1,+∞) C. a ∈(−∞,0]D. a ∈(−∞,−1)12.（5分）设a ,b 是空间两条直线，则“a ,b 不平行”是“a ,b 是异面直线”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件13.（5分）“椭圆x 24+y 2m=1的离心率为12”是“m =3”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知命题p ：a ⩽x ⩽a +1，命题q ：x 2−4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．15.（5分）“x +y ≠3”是“x ≠1或y ≠2”的 ______ 条件．(从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写)16.（5分）已知p:−2⩽x ⩽11，q:1−3m ⩽x ⩽3+m(m >0)，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围__________.17.（5分）已知命题p ：x <−1或x >3，命题q ：x <3m +1或x >m +2，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是______．18.（5分）已知命题p ：x 2−(2a +4)x +a 2+4a <0，命题q ：(x −2)(x −3)<0，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ______ ． 三 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知p ：A ={ x |2a ⩽x ⩽a 2+1}，q ：B ={ x |[x −(1+3a )](x −2)⩽0}.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．20.（12分）已知命题p ：实数m 满足m 2−7am +12a 2<0(a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m−1+y 22−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，且非q 是非p 的充分不必要条件，求a 的取值范围．21.（12分）在①A ∪B =B ；②“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件；③A ∩B =∅，这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合A ={x|a −1⩽x ⩽a +1}，B ={x|x 2−2x −3⩽0}.(1)当a=3时，求A∪B；(2)若___，求实数a的取值范围．22.（12分）已知p：关于x的方程4x2−2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集，q：1−m⩽a⩽1+m，m>0.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．23.（12分）设命题p：2x2−3x+1⩽0，命题q：x2−(2a+1)x+a(a+1)⩽0，若p 是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A;【解析】解：|a|>0，解得a≠0．“a>1”⇒“|a|>0”，反之不成立．∴“a>1”是“|a|>0”的充分不必要条件．故选：A．|a|>0，解得a≠0.“a>1”⇒“|a|>0”，反之不成立．即可判断出关系．该题考查了不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D;【解析】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=π2，β=3π2，故选：D．根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．此题主要考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．3.【答案】B;【解析】解：因为z1，z2为复数．若z1−z2>0成立，根据虚数不可以比较大小可得为z1，z2为实数或虚部相等的两个复数，无法得到z1>z2，若z1>z2成立，则z1，z2为实数，则可得z1−z2>0成立，故p是q的必要不充分条件，故选：B.根据虚数不可以比较大小进行分析即可．此题主要考查充分、必要条件的判断，考查复数的相关知识，逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】A;【解析】解：若f(m)>0，则m>ln7，因为e2>2.72>7，所以ln7<2，所以“m>2”是“f(m)>0”的充分不必要条件．故选：A．根据不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．这道题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A;【解析】解：由(x−1)(x+3)⩾0，解得x⩽−3或x⩾1，由x−1⩾0，解得x⩾1，则由α不能推出β，但由β能推出α，故α是β的必要不充分条件，故选：A.直接根据充分条件和必要条件的定义即可判断．此题主要考查了充分必要条件的定义，属于基础题．6.【答案】A;【解析】此题主要考查了祖暅原理、充分必要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．利用祖暅原理知：A、B在等高处的截面积恒相等，可得：A、B的体积相等．根据两个命题互为逆否命题，有相同的真假性，即可判断出p与q的关系．解：设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等．若A、B在等高处的截面积恒相等，由祖暅原理可得：A、B的体积相等．因此可得：A、B的体积不相等，必有：A、B在等高处的截面积不恒相等．即p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．7.【答案】D;【解析】解：由题意知，当n=1时，a1=s1=1+1=2，当n⩾2时，a n=s n−s n−1=(n2+1)−[(n−1)2+1)]=2n−1，经验证当n=1时不符合上式，∴a n={22n−1(n=1 n⩾2).a n={22n−1(n=1n⩾2)成立不能推出a n=2n−1成立；反之，a n=2n−1成立也不能推出a n={22n−1(n=1 n⩾2).故选D.先根据关系式：a n={s1n=1s n−s n−1n⩾2，进行求解数列{a n}的通项公式a n，注意验证n=1时是否成立．最后看求出的通项公式与a n=2n−1谁能推出谁即可．此题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断、数列通项公式和前n项和公式之间的关系式，即a n ={s 1n =1s n −s n−1n ⩾2，注意验证n =1时是否成立，这是容易忽视的地方．8.【答案】C;【解析】解：由α、β、γ成等差数列，可得2β=α+γ.∴等式sin (α+γ)=sin (2β)成立． 反之不成立：由sin (α+γ)=sin (2β)可得：α+γ=2β+2kπ或α+γ=π−2β+2kπ，k ∈Z ．∴“等式sin (α+γ)=sin (2β)成立”是“α、β、γ成等差数列”的必要非充分条件． 故选：C ．由α、β、γ成等差数列，可得2β=α+γ.可得等式sin (α+γ)=sin (2β)成立．反之不成立． 此题主要考查了等差数列的性质、三角函数方程、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C;【解析】解：p ：由1x <1，得x <0或x >1，命题q ：m <x <m +2， 若p 是q 的必要不充分条件， 则(m,m +2)⫋(−∞,0)∪(1,+∞)， 故m +2⩽0或m ⩾1，“=“不同时成立， 解得：m ⩽−2或m ⩾1，综上：实数m 的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞). 故选：C.分别求出关于p ，q 的不等式，根据p 是q 的必要不充分条件，结合集合的包含关系得到关于m 的不等式，解出即可．此题主要考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．10.【答案】A;【解析】解：①当sin x =13时，则cos2x =1−2sin 2x =79，∴充分性成立，②当cos2x =79时，则cos2x =1−2sin 2x =79，∴sin 2x =19，∴sin x =±13，∴必要性不成立，综上，sin x =13是cos2x =79的充分不必要条件． 故选：A.利用二倍角公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 此题主要考查了二倍角公式的应用、简易逻辑的应用，属于基础题．11.【答案】D;【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ax−2a+1x =ax2−2ax+1x,令g(x)=ax2−2ax+1,若f(x)在(2,4)上不单调,则g(2)g(4)<0,解得a<−18,故f(x)在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是a∈(−∞,−1).故选D.12.【答案】B;【解析】此题主要考查了异面直线的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由a，b是异面直线⇒a，b不平行．反之不成立，可能相交．即可判断出结论．解：由a，b是异面直线⇒a，b不平行．反之不成立，可能相交．∴“a，b不平行”是“a，b是异面直线”的必要不充分条件．故选：B．13.【答案】B;【解析】解：由椭圆x 24+y2m=1的离心率为12，①当焦点在x轴上时，a=2，b=√m，c=√4−m，∴√4−m2=12，∴m=3，②当焦点在y轴上时，a=√m，b=2，c=√m−4∴√m−4√m =12，∴m=163，综上，m=3或m=163，故椭圆x 24+y2m=1的离心率为12是m=3的必要不充分条件．故选：B.讨论焦点在x轴上和焦点在y轴上，利用离心率公式解得m值，即可判断出结论．此题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】解：由x2−4x<0解得0<x<4，因为p是q的充分不必要条件，命题p：a⩽x⩽a+1，所以{a>0,a+1<4,解得0<a<3，∴实数a的取值范围是(0,3).;【解析】此题主要考查了充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由不等式x2−4x<0解得0<x<4，根据p是q的充分不必要条件，列不等式组得出a的取值范围.15.【答案】充分不必要; 【解析】这道题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用逆否命题的等价性将条件转化为容易判断的条件关系是解决本题的关键．利用逆否命题的等价性，将条件转化为x =1且y =2是x +y =3的条件关系，进行判断即可．解：根据逆否命题的等价性可知，题干条件可转化为x =1且y =2是x +y =3的条件关系，当x =1且y =2时，有x +y =3成立．但x +y =3，比如x =2，y =1时，满足x +y =3，但此时x =1且y =2不成立． ∴x =1且y =2是x +y =3成立的充分不必要条件． 即x +y ≠3是x ≠1或y ≠2的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要．16.【答案】[8,+∞);【解析】因为q 是p 的必要不充分条件，即p ⇒q ，但，即{1−3m ⩽−23+m ⩾11，即m ⩾8，故实数m 的取值范围是[8,+∞).17.【答案】[-23，1）或（-23，1];【解析】解：p ：x <−1或x >3， 命题q ：x <3m +1或x >m +2， 若p 是q 的充分非必要条件，则(−∞,−1)∪(3,+∞)⊊(−∞,3m +1)∪(m +2,+∞)， 故{3m +1⩾−1m +2⩽3“=“不同时成立，解得：−23⩽m <1，或−23<m ⩽1， 则实数m 的取值范围是[−23,1)或(−23,1]， 故答案为：[−23,1)或(−23,1]．分别求出关于p ，q 的不等式，根据p 是q 的充分非必要条件结合集合的包含关系得到关于m 的不等式组，解出即可．此题主要考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．18.【答案】[-1，2];【解析】解：由x2−(2a+4)x+a2+4a<0，解得：a<x<a+4，故p：a<x<a+4；由(x−2)(x−3)<0，解得：2<x<3，故q：2<x<3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则{2⩾a3⩽a+4，解得：−1⩽a⩽2，故答案为：[−1,2]．分别求出p，q为真时的x的范围，根据q是p的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．该题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．19.【答案】解：A={x|2a≤x≤a2+1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}．①当3a+1≥2，即a≥13时，B={x|2≤x≤3a+1}；②当3a+1＜2，即a＜13时，B={x|3a+1≤x≤2}．∵p是q的充分条件，∴A是B的子集，于是有{(a≥13a2+1≤3a+12a≥2)或{(a＜13a2+1≤22a≥3a+1)解得1≤a≤3，或a=-1．故a的取值范围为{a|1≤a≤3，或a=-1}．;【解析】求出p，q的等价条件，利用p是q的充分条件，即可求实数a的取值范围．此题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．20.【答案】解：由m2-7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a由x 2m−1+y22−m=1表示焦点在y轴上椭圆可得：2-m＞m-1＞0，∴1＜m＜32即命题q：1＜m＜32由非q为非p充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件从而有：{3a ≥14a ≤32∴13≤a ≤38; 【解析】根据命题p 、q 分别求出m 的范围，再根据非q 是非p 的充分不必要条件列出关于m 的不等式组，解不等式组即可该题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，椭圆的定义等相关知识，要求对基础知识有比较好的把握．属简单题21.【答案】解：（1）当a=3时，A={x|2≤x≤4}，B={x|x 2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}， 所以A ∪B={x|-1≤x≤4}； （2）选①A ∪B=B ，可得A ⊆B ，则-1≤a -1＜a+1≤3，解得0≤a≤2，即a 的取值范围是[0，2]； 选②“x ∈A”是“x ∈B”的充分不必要条件，可得A ⫋B ，则{a −1≥−1a +1≤3（等号不同时取得），解得0≤a≤2，即a 的取值范围是[0，2]；选③A∩B=∅，可得a+1＜-1或a-1＞3，解得a ＜-2或a ＞4， 即a 的取值范围是（-∞，-2）∪（4，+∞）．; 【解析】(1)由代入法求得集合A ，由二次不等式的解法可得B ，再由并集的定义可得所求集合； (2)选①，可得A ⊆B ，即有a 的不等式组，解不等式可得所求范围；选②，可得A ⫋B ，即有a 的不等式组，解不等式可得所求范围；选③，可得a +1<−1或a −1>3，解不等式可得所求范围．此题主要考查集合的运算和包含关系、充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.【答案】解：对于p ，依题意，知Δ=（-2a ）2-4×4（2a+5）=4（a 2-8a-20）≤0， 解得-2≤a≤10， 令P={a|-2≤a≤10}．对于q ，令Q={a|1-m≤a≤1+m ，m ＞0}． 由题意知P ⫋Q ，∴{1−m ≤−21+m ≥10，解得m≥9．∴实数m 的取值范围是{m|m≥9}． 故答案为：[9，+∞）．; 【解析】问题转化为：条件p 解出的a 的取值集合是条件q 中a 的取值集合的真子集，可解决此题． 此题主要考查集合间子集关系应用、充分及必要条件的应用，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．⩽x⩽123.【答案】解：解2x2−3x+1⩽0，得12⩽x⩽1}，命题p：A={ x|12解x2−(2a+1)x+a(a+1)⩽0，得a⩽x⩽a+1命题q：B={ x|a⩽x⩽a+1}，∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，∴a+1⩾1且a⩽1，2∴0⩽a⩽1．;2【解析】该题考查了充分必要条件，考查二次不等式的解法以及集合的包含关系，是一道基础题．分别求出关于p，q的集合A，B的范围，根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求出a的范围即可．。

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件一、选择题1．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.2．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的命题个数为()①若f(x)是周期函数，则f(x)＝sin x；②若x>5，则x>2；③若x2－9＝0，则x＝3.A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①中，周期函数还有很多，如y＝cos x，所以①中p不是q的充分条件；很明显②中p 是q的充分条件；③中，当x2－9＝0时，x＝3或x＝－3，所以③中p不是q的充分条件．所以p是q的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a，b为非零向量，则“a⊥b”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 C解析|a＋b|2＝|a－b|2⇔a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b⇔a·b＝0.4．已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：ax＋by＋c＝0，则a2＋b2＝c2是圆O与直线l相切的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( )A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1 答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1. f (x )的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．若f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＝1D ．λ1λ2＝－1答案 C解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B .综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .四、探究与拓展14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．。

课后导练基础达标1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B2.设x ∈R ，则x>2的一个必要不充分条件是（ ）A.x>1B.x<1C.x>3D.x<3 答案：A3.条件p:“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍”，条件q:“直线l 的斜率为-2”，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.充要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：B4.对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是…( )A.“ac ＞bc”是“a ＞b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac ＞bc”是“a ＞b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 答案：B5.“cosα＝23-”是“α=2kπ+65π,k ∈Z ”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A6.函数y=x 2+bx+c,x ∈［0,+∞)是单调函数的充要条件是______________.答案：b≥07.设p 、r 都是q 的充分条件,s 是q 的充分必要条件,t 是s 的必要条件,t 是r 的充分条件,那么p 是t 的____________条件,r 是t 的__________条件.答案：充分 充要8．“tanα=1”是α=4π的______________. 答案：必要不充分条件 9．已知:p:|5x-2|>3;q:5412-+x x >0,则⌝p 是⌝q 的什么条件. 解：p:|5x-2|＞3,所以5x-2＞3，或5x-2＜-3,所以x ＞1,或x ＜-51, 所以p:-51≤x≤1. 因为q:5412-+x x ＞0. 所以x 2+4x-5＞0.即x ＞1,或x ＜-5.所以q:-5≤x≤1(如下图所示)所以p 是q 的充分非必要条件.综合运用10.求函数f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件.解析：若a 2+b 2=0,即a=b=0,此时f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x),∴a 2+b 2=0是f(x)为奇函数的充分条件.又若f(x)=x|x+a|+b 为奇函数，即f(-x)=-f(x),∴(-x)|-x+a|+b=-x|x+a|-b,则必有a=b=0,即a 2+b 2=0,∴a 2+b 2=0是f(x)为奇函数的必要条件.∴a 2+b 2=0是f(x)为奇函数的充要条件.11.设p ：x 2-x-20>0,q:2||12--x x <0,则p 是q 的什么条件？ 解析:p:x 2-x-20＞0,化简p:x ＞5或x ＜-4. q:2||12--x x ＜0, 化简q:-1＜x ＜1或x ＜-2或x ＞2.作数轴易得p ⇒q 但q p.∴p 是q 的充分不必要条件.拓展探究12.设a 、b ∈R ，已知命题p ：a=b;命题q:（2b a +）2≤222b a +,则p 是q 成立的什么条件？ 解析：充分性：当a=b 时，22a a b a +=+=a, 即(2b a +)2=a 2. 又222b a +=222a a +=a 2, ∴(2b a +)2=222b a +.故当a=b 时，(2b a +)2≤222b a +. 必要性：当(2b a +)2≤222b a +, 展开得42a -2ab +42b ≥0,即(a-b)2≥0a=b.∴p:a=b;q:(2b a +)2≤222b a +,p 是q 的充分不必要条件.。

课后训练1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“x∈[1，2］，x2－a≤0"为真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤53．直线l1，l2的斜率存在且分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( ）条件．A．充分不必要B．既不充分也不必要C．必要不充分D．充要5．设｛a n｝是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（)条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．已知集合A为数集，则“A∩{0,1｝＝｛0}”是“A＝｛0｝”的__________条件．8．设a，b,c为实数，“a＞0，c＜0"是“函数f（x）＝ax2＋bx ＋c有两个零点”的__________条件．9．已知p:A＝｛x|x2＋4x＋3＞0},q：B＝｛x｜｜x|＜a｝,若p 是q的必要不充分条件,求a的取值范围．10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0，①x2＋2mx＋m2－m－1＝0，②求方程①②的根都是整数的充要条件．参考答案1。

答案：B 由题意知甲乙丙丁，故命题丁是命题甲的必要不充分条件．2.答案：C3。

答案:B 当k1＝k2时,直线l1，l2可能平行也可能重合；当l1∥l2时，k1＝k2.故选B。

4。

答案：A5.答案：C 因｛a n}是首项大于零的等比数列，故a1＜a2数列{a n｝是递增数列,数列｛a n}是递增数列a1＜a2，所以“a1＜a2”是数列{a n}是递增数列的充要条件．6。

高中数学充分条件和必需条件同步精练湘教版选修 2-131 设x∈R，则“x＝1”是“x＝x”的 () ．B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件2 已知α，β表示两个不一样的平面，m为平面α内的一条直线，则“α ⊥β ”是“ m⊥ β ”的() ．A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件3“x＞0”是“x≠0”的 () ．A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件4 若a与b－c都是非零向量，则“a· b＝ a· c”是“ a⊥(b－c)”的() ．A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件5已知，b 都是实数，那么“2＞2”是“a＞”的() ．a ab b A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件2 211121122＞ 0 的解集同样，命题q：a＝b＝6 设命题p：关于x的不等式a x＋b x＋c＞ 0 与a x＋b x＋c a b22c1，则命题 q 是 p 的__________条件．c2x－1227 已知p： |1 －3 | ≤2，q：x－ 2x＋ 1－m≤0( m＞0)，且p 是q 的充分而不用要条件，则实数的取值范围是 __________．m8已知数列 { a n} 的前n项和S n＝p n＋q( p≠0，且p≠1) ，则数列 { a n } 为等比数列的充要条件为__________ ．9 已知方程x2＋(2 k－1) x＋ k2＝0，求使方程有两个大于 1 的实根的充要条件．10已知数列 { a n} 的前n项和S n＝aq n＋b( a≠0，q≠0，q≠1) ，求证：数列 { a n} 为公比为q的等比数列的充要条件是 a＋b＝0.参照答案1.分析：当 x＝1时，必有 x3＝ x，但当 x3＝ x 时， x∈{0,1，－1}．应选A.答案： A2.分析：由平面与平面垂直的判判定理知假如m为平面α内的一条直线，m⊥ β，则α⊥ β，反过来则不必定成立．因此“α⊥ β ”是“ m⊥ β ”的必需而不充分条件．答案： B3.分析：由“ x＞0”可知“ x≠0”，故为充分条件；但“ x≠0”时可以有x＜0，故为不用要条件，应选 A.答案： A4. 分析：依据数目积的运算律，由a ·＝·?·－·＝ 0?·( －)＝0? ⊥(－b ac a b a c a b c a bc)，应选 C.答案： C5. 分析：方法一：a2＞b2＋－＞，＞b? a －＞，因此2＞b2a＞ b，且 a＞? ( a b)( a b)0a b0ab a2＞ b2，故“ a2＞ b2”是“ a＞ b”的既不充分也不用要条件．方法二： ( 特值法 ) 取a＝－ 1，b＝ 0 满足a2＞b2但a＜b，又取a＝ 0，b＝－ 1，满足a＞b但a2＜ b2，故“ a2＞ b2”是“ a＞ b”的既不充分也不用要条件．应选 D.答案： D6. 分析：假设a1b1＝c1＝－ 1，即a1＝－a2，b1＝－b2，c1＝－c2，a＝b c222∴a1x2＋ b1x＋c1＞0? a2x2＋ b2x＋c2＜0.∴解集不一样，即q p；当 a ＝ a ＝0，b ＝2， c＝4，b＝ 4，c＝ 8 时，解集同样，121122但a1q.无心义，即 pa2∴p 是 q 的既不充分也不用要条件．答案：既不充分也不用要7.分析：解不等式|1 －x－1| ≤2，得3{ x| －2≤x≤10}，22解不等式 x －2x＋1－ m≤0得1－ m≤ x≤1＋ m( m＞0)．即条件 p： A＝{ x|－2≤ x≤10}，条件q：B＝{ x|1－m≤ x≤1＋ m}；“p 是q 的充分而不用要条件”等价于“q是p 的充分而不用要条件”，∴ B A.∴1－ m≥－2，且1＋m≤10( 注意：两式不可以同时取等号) ，解得m≤3，由 m＞0知，所求的 m的取值范围为{ m|0＜ m≤3}．答案： (0,3]8.分析：充分性：当 q＝－1时， a1＝ p－1；当 n≥2时， a n＝ S n－S n－1＝ p n－1( p－1)，当 n＝1时，上式也成立．于是 a n＝ p n－1( p－1)( n∈N＋)．na n＋1p ( p－1)又 a n ＝p n－1( p－1)＝p，即数列 { a n} 为等比数列．必需性：当n＝1时， a1＝ S1＝p＋ q.n－1当 n≥2时， a n＝ S n－S n－1＝ p( p－ 1) ．∵ p≠0，且 p≠1，a n＋1p n( p－1)∴a n ＝p n－1( p－1)＝p.a2∵{a n}为等比数列，∴a1＝a n＋1a n＝ p.p( p－1)∴p＋q＝ p，即 p－1＝ p＋ q，故 q＝－1.答案： q＝－19.解：设方程的两个实根为x1， x2，使x1， x2都大于1的充要条件是＝(2 k－ 1) 2－ 4k2≥0，( x1－1) ＋ ( x2－ 1)>0 ，( x1－ 1) · ( x2－ 1)>0 ，即1k≤4，x1＋ x2－2>0，x1x2－( x1＋ x2)＋1>0.1k≤，4由根与系数的关系得－ (2 k－ 1) － 2>0，2k ＋(2 k－1)＋1>0，解得 k＜－2.因此所求的充要条件为k＜－2.10.证明：(1)先证a＋b＝0是数列{a n}为公比为q 的等比数列的充分条件，即证a＋b＝0?数列 { a n } 为公比为q的等比数列．∵a＋ b＝0，∴ S n＝ aq n＋ b＝ aq n－a.∴a n＝ S n－ S n－1＝( aq n－ a)－( aq n－1－ a)＝ a( q－1) q n－1( n＞1)．a n ＋1a ( q － 1) q n∴a n ＝ a ( q － 1) q n － 1＝q ( n ＞1) ．又∵ a 1＝ aq － a ， a 2＝aq 2－ aq ，2( －1)qa a q ∴a 1＝ a ( q －1) ＝q . ∴数列 { a n } 为公比为 q 的等比数列．(2) 再证＋ ＝ 0 是数列 { n } 为公比为q 的等比数列的必需条件，即证数列 { n } 为公比为 q 的等a b a a比数列 ? a ＋b ＝ 0.∵数列 { a n } 为公比为 q 的等比数列，1 (1 － n )11naqa a∴ S n ＝ 1－ q＝ 1－ q －1－ q q .又∵ S n ＝ aq n ＋ b ，a 1a 1∴ a ＝－ 1－ q ， b ＝1－ q .∴ a ＋ b ＝0.综上可得，数列 { a n } 为公比为 q 的等比数列的充要条件是a ＋b ＝ 0.。