江苏省涟水县第一中学高中数学二项式定理教学案理(无答案)苏教版选修2_3

二 项 式 定 理一、教学目标：知识与技能：能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神二、教学重点、难点重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即一知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程一温故知新⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二 探究新知二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a b -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++三应用巩固例1．展开41(1)x+． 解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =- 61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，（2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r rr r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C x x --=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数 解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =． （四）课堂练习：1求()623a b +的展开式的第3项2求()632b a +的展开式的第3项 n 33)x21x (-1项 4求()732x x +的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数5用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5(2- 6化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x3x 2(----+ 7．()5lg x x x +展开式中的第3项为610，求x ． 8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项 答案：1 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+== 32311(2rn r r n r r r r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 4展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5 （1）552(510105a a a a a b =++；（2）515328x =+- 6 （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x --+--=+7 ()5lg x x x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C x x ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8 nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n n n C - 五、小结1二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、作业1课堂检测七、课后记教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

《1.5.1二项式定理》教学设计一、课题分析二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，定理的证明是计数原理的应用。

定理的探索过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决问题的一般方法。

是培养学生数学探究能力的极好的载体。

二、学情分析认知分析：学生的认知结构中已经有了二项式的平方、立方的有关知识，初步具备了乘方、多项式运算、组合数等相关的知识储备，能够在教师的引导之下通过小组探究，理解并掌握本节课对二项式定理的推理演绎过程。

能力分析：学生能够运用所学的知识解决简单问题——求组合数，但归纳演绎能力有待于进一步提高。

三、教学目标1．知识目标了解二项式定理的推理过程，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能正确运用它们解决有关问题2．能力目标培养学生理解分析、归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力3．情感目标通过二项式定理探究过程激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，使学生体会数学中发现、分析和解决问题的一般方法四、教学重难点重点：了解二项式定理的推理，会灵活运用二项式定理难点：二项展开式的获得五、教学过程设计本节课应属于概念操作的课型，因此，授课中务必要解决以下几个问题：（1）为什么要使用二项式定理？（2）什么是二项式定理？（3）二项展开式是怎么获得的？（4）什么时候使用二项式定理？（5）怎样正确使用二项式定理及其通项公式？基于此，本节课设计了以下几个环节（一） 创设情境 引入课题师（幻灯片上打出图片）：同学们知道他是谁？是的，他就是牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他不仅是一位物理学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上第一个伟大的发现就是我们今天要学习的内容---二项式定理（板书课题），今天就让我们沿着大数学家牛顿的足迹重温他探索发现二项式定理的历程，牛顿是怎么样发现二项式定理的？情景导入：1664年冬，年仅22岁的牛顿研读沃利斯博士《无穷算术》，他发现：()2222a b a ab b +=++ ()3322333a b a a b ab b +=+++ ()4a b +=_____________________………………………………（提问）研究展开后有多少项，每一项是什么样的，每一项的系数是多少（二）自主探究 建构概念提问，引导学生观察、讨论用组合数的方法重新得到()2a b +、()3a b +、()4a b +的展开式于是猜出：011()......n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++ 师：这仅仅是猜想，数学是严密的，猜想的结论需要证明，我们如何证明？生：要说明三点：一是项数，二是项的形式，三是项的系数师：可是那么多项一项一项地说明是不是很麻烦？你有简单的办法吗？提示一下，这么多项你能不能用一个统一的式子表示出来？比如：选r 个b 时，对应的式子是什么？生：r n r r n C a b -（老师补充完整上式）师：我们发现r 取不同的值，它可以表示展开式中不同的项，我们把它叫做通项。

2.排列（1）（理科）教学目标：1．正确理解排列的意义，并能借助树形图写出所有的排列．2．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想． 教学重点：排列及排列数的概念．教学难点:排列的概念以及排列数公式的推导．教学过程：一、问题情境1．问题情境．问题一 高二（1）班准备从甲、乙、丙这3名同学中选2人分别担任正、副班长，有多少种不同的选法？问题二 从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？上面两个问题有什么共同特点？能否对上面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？ 二、学生活动排列问题：从3个不同的元素a ，b ，c 中任取2个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？方法一 运用分步计数原理：可知共有3×2＝6种不同排列；方法二：用树形图排出所有的排列．由此可写出所有的排法：ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb ．所以共有6种．三、建构数学1．一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列（arrangement ）．2．我们把从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元n n －1n －m ＋1 n －2 第1位 第2位 第3位 第m 位素中取出m 个元素的排列数，用符号A nn 表示．3．排列数公式及其推导：排列数公式： A (1)(2)(1)m n n n n n m ＝－－…－＋（m ，n ∈N *，m ≤n ）． 说明 当n ＝m 时，即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n (n －1) (n －2)…2·1＝n !（叫做n 的阶乘）．四、数学应用例1.计算：（1）35A ；（2）55A ；（3）410A ；（4）435A ．例2.求证：!A ()()!m n n n m n m ＝＞－．例3.求证：11A A (2)--m m n n n n m ＝≥≥．课堂练习1．计算：（1）412A；（2）66A ；（3）4399A A －；（4）812712A A ．2．计算下表中的阶乘数，并填入表中: n 2 3 4 5 6 7 8 n !3．18×17×16×…×9×8等于（ ）．A ．818AB ．918AC ．1018AD ．1118A 4．求证：11A A A -+m m m n n n m ＋＝．五、回顾反思要点归纳与方法小结：1．排列及排列数的概念；2．排列数公式；3．推导排列数公式的方法：构造分步步骤，运用分步计数原理．排列（1）作业1、四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有 种。

二项式定理 （理科） 学习目标: 1.掌握二项式定理及其简单应用．2．展示二项式定理的推导过程，培养类比、归纳及理性思维的能力．教学重点：二项式定理的发现、理解和初步应用．教学难点：二项式定理的证明．教学过程：一、复习回顾1、组合数公式：mn C = =2、⑴=m n C ；⑵=+m n C 1 二、自学自悟情境：由多项式的乘法法则可以知道：222()2a b a ab b ＋＝＋＋323223()()()33a b a b a b a a b ab b ＋＋＋＝＋＋＋＝问题1 能写出()na b ＋的展开式吗？三、互学互评展示讨论，寻求解决问题1的思路．引导学生，由 1()a b a b ＋＝＋22222()2a b a ab ba b a ab b ＋＝＋＋＋＝＋＋3232222223()()()a b a b a b a a b ab ab ba b a b a b ＋＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＝322333a a b ab b ＋＋＋ ()4b a +=就展开式的项数、每项的构成等进行研究，探究规律，进而得到猜想：()n b a +=( )n a +( )b a n 1-+( )22b a n -+…+( )n b问题2 上述猜想中各项的系数如何确定？四、精讲点拨1．对猜想的展开式中的二项式系数，引导学生分析2()a b ＋、3()a b ＋、4()a b ＋展开过程，发现其形成规律．2．011222()C C C C C ---L K n n n n r n r r nn n n n n n a b a a b a b a b b ＋＝＋＋＋＋＋＋(n ∈N *)，右边的叫做()n a b ＋的二项展开式，共有n ＋1项，其中C -r n r r n ab 叫做第r ＋1项，也叫通项，用T r ＋1表示．C rn （r ＝0，1，…，n ）叫做第r 项的二项式系数．问题3第r 项的二项式系数和第r 项的系数有什么区别？五、活学活用 例1 展开下列各式：41(1)x＋．练习:做达标检测第1题例2 求7(12)x ＋的展开式中第4项的二项式系数和系数．练习: 做达标检测第2题,第3题例3 求61()2x x－的二项展开式中的常数项．练习:做达标检测第4题,第5题,第6 题六、达标检测1、利用二项式定理展开下列各式：（1）5)1(x +；（2）4)2(x -2、7)2(y x -的展开式中第3项的二项式系数是 ，7)2(y x -的展开式中第3项的系数是3、10)1(-x 的展开式中含5x 的项的系数是4、93)2(x x +的展开式的第k 项为 (*,101N k k ∈≤≤)5、()621x -的展开式中含2x 的项为 6、求6)1(x x +的展开式中的常数项。

1.3 组合（1）（理科）教学目标：1．理解组合的意义．2．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问 题．3．了解组合数的意义，理解排列数mn A 与组合数C mn 之间的联系，掌握组合 数公式，能运用组合数公式进行计算． 教学重点：组合的概念和组合数公式． 教学难点：组合数公式的推导． 教学过程： 一、问题情境思考下面两个问题：问题一 高二（1）班准备从甲、乙、丙这3名同学中选2名学生代表，有多少种不同的选法？问题二 从1，2，3这3个数字中取出2个数字，能构成多少个不同的集合？以上两个问题与上一节的排列问题有什么区别？有什么联系？ 二、学生活动组合问题 从3个不同的元素a ，b ，c 中任取2个，共有多少种不同的选 法？用树形图画出所有选法：它们是ab ，ac ，bc ，所以共有3种． 三、建构数学1．组合：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号C mn 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发 由于排列是先．．．．组合再排列．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系．如下：由列表可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素，共有34C 个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A种方法．由分步计数原理得：34A ＝34C ·34A ，所以 334433A C A ＝． （2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数A mn ，可以分如下两步：①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C mn ；②求每一个组合中m 个元素的全排列数A mm ，根据分步计数原理得：A mn ＝C m n ·A mm ．（3）组合数的公式：A (1)(2)(1)C A !m mn nmm n n n n m m －－…－＋＝＝或!C !()!mn n m n m ＝－(n ，m ∈N *，且m ≤n )． 四、数学应用例1． 计算：（1）29C ；（2）58C ；（3）735C ．练习:下列问题是排列问题还是组合问题？（1）从9学生中选出4名参加一个联欢会，共有多少种不同的选法？ （2）北京、上海、天津，广东这4只足球队举行单循环赛，共有多少场比赛？ （3）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共有多少个不同的分数？（4）空间有8个点，其中任何4个都不共面，从这8个点中任意选取4个作为顶点构成一个四面体，共有多少个四面体？例2．甲、乙、丙、丁4只足球队举行单循环赛，（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有的冠亚军的可能．例3．计算或化简：（1）315C ；（2）197200C ；（3）3468C C ÷ （4）21C C -+⋅n n n n ．五、回顾反思要点归纳与方法小结：1．组合只取元素，排列既取元素又排顺序；排列问题可看成先取元素，后排顺序． 2．组合数公式的推导过程．1.3 组合（1）（理科）作业1．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为 。

构造思维搭载体，突破教学难点--------二项式定理教学设计与思考1、背景描述笔者最近参加了学校组织的青年教师根本功大赛，讲授了“二项式定理〞这节课，在备课过程中，收集了大量的资料，在同组老师悉心帮助下，进行了深入研究。

二项式定理为苏教版选修2-3 第一章第5节第1课时，是在计数原理之后学习的一个重要应用，然而从知识的长远来看，它是开启微分学的一把钥匙，也是对于多项式乘法和知识的开发和拓展，开拓学生的视野，了解辉煌的数学史，激发学生学习的数学兴趣。

本节课的重点是二项式的定理发现，形成过程，二项式定理的简单应用。

难点在于二项式系数的生成。

就二项式定理这一内容而言，就是一个展开式，毕业后初次遇到这个课题，笔者竟一时想不起具体的公式，然后看到了问题是=？，理性的思考了下这个问题，应该是用从特殊到一般，归纳推理的解决方案。

所以笔者就想假设干年后学生大概也是跟我相差无几，那么本节课能留给学生什么呢？我想培养学生一种解决问题的能力作为重要，所以课上的重点是二项式定理的形成过程。

对于突破二项式系数的生成这一难点，可以构造思维搭载体，帮助学生建立系数生成的过程，理解二项式系数生成的本质者打算采用探究式教学的方法，主要采用对话和引导的方式，本节课力图表达“过程〞和其中蕴含的数学思想方法，以，的展开式为知识的生长点，要得到的展开式，再加上刚学过的推理证明，学生自然会想到用特殊到一般，归纳猜测的方法，归纳猜测展开式，再加以证明。

在推测一般展开式的规律时，可以猜测说出，项数，项的结构特征，系数规律难以发现，思路受阻后，教师启发学生转换思维角度，重新审视问题，构造思维的搭载体，把观察结论的规律转换为探寻多项式乘法的形成过程规律，以为例，分析每项的产生及得到每一项的方法数，引出用组合数表示展开式各项的系数，突破教学难点，在二项式定理的发现过程中，积极调动学生的思维，留给学生充分的思维量，让学生自主发现二项式定理的形成。

2、片段实录1.创设情境激发兴趣师：恩格斯说：“牛顿由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学。

1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案一、教学目标1.掌握二项式定理的定义和公式2.能熟练运用二项式定理解决实际问题3.培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力二、教学重难点1.二项式定理的定义和公式2.应用二项式定理解决实际问题三、教学内容和方法（一）教学内容1.二项式定理的定义和公式2.二项式系数的基本性质3.应用二项式定理解决实际问题（二）教学方法1.导入新知识，激发学生的学习兴趣。

2.讲究启发式教学，培养学生自学的能力。

3.把握适当的课堂氛围，使学生生动、活泼、轻松学习。

4.多结合实例讲解，使学生感受到知识的实用性。

（三）教学流程1.导入本节课的内容是二项式定理。

请同学们思考一道数学题：（1）(x+y)2=x2+2xy+y2，其中y是多少？2.讲解提示同学们用二项式定理计算题目中的多项式。

3.巩固（1）求(a+b)2; （2）求(a−b)2。

4.练习(1)用二项式定理展开(x+y)3(2)计算(2+3)4−(2−3)45.总结二项式定理是我们在中学数学中常见的一个定理。

这个定理不仅在数学中很重要，在实际生活中也非常有用，可以解决很多生活问题。

四、教学评估1.教师观察学生在课堂上的表现、回答问题的能力和继续发展的兴趣。

2.学生提交的练习和作业。

五、教学反思1.教学方法灵活多变，要充分体现学生的听课积极性。

2.多布置练习和作业，提高学生的学习热情。

3.评估学生的学习情况，及时调整授课内容。

《二项式定理》教学设计【教材分析】二项式定理是高中数学选修2-3第一章第五节的内容，此前学生已经具备了排列组合相关知识，本节课的形成过程其实是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。

运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

【学情分析】本节课之前，学生已经熟练掌握了完全平方公式，3次方和4次方的公式也可以通过多项式的展开法则进行展开，但是更高次的二项展开学生会感觉异常麻烦，通过本节课的学习,学生应该对二项式的展开有一个更深的认识。

【教学目标】1知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。

2过程与方法：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。

3情感态度价值观：（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。

（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美以及自己获取知识的喜悦。

【教学重难点】重点：二项式定理的内容及应用。

难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。

【教学方法】本节课的教法采用启发式教学，并以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，通过教师引导，使学生从熟悉的多项式乘法入手，利用组合的有关知识加以分析、归纳，探索出二项展开式的规律，培养学生观察、联想、归纳能力和从特殊到一般的数学思想方法。

【教学过程】（一）引出新知通过展示“杨辉三角之美”，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使得学生对本节课的内容有更强的求知欲，也为下节课二项式定理与“杨辉三角”的关系做铺垫，引出课题《二项式定理》，并开门见山的讲出二项式定理所研究的内容是n b(+的展开式。