九年级数学： 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步练习

24.1.3 弧、弦、圆心角（时间：40分钟）一、选择题（本题包括4小题，每小题只有1个选项符合题意）1. 下列图形中表示的角是圆心角的是( )2. 在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧与的关系是( )A. =2B. >2C. <2D. 不能确定3. 已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是( )A. ∠AOB=∠A′O′B′B. ∠AOB>∠A′O′B′C. ∠AOB<∠A′O′B′D. 不能确定4. 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,则与的关系是( )A. =B. >C. <D. 不能确定二、填空题（本题包括3小题）5.一条弦把圆分成1∶3两部分,则弦所对的圆心角为____.6.如图,AB是☉O的直径,==,∠COD=40°,则∠AOE的度数为____.7.如图,=,若AB=3,则CD=____.三、解答题（本题包括4小题）8. 如图所示,AB是☉O的弦,C,D为弦AB上两点,且OC=OD,延长OC,OD,分别交☉O于点E,F.试证:=.9. 如图,AB,CD,EF都是☉O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.10. 如图,已知OA,OB是☉O的半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点,求证:MC=NC.11. 如图,∠AOB=90°,C,D是的三等分点,AB分别交OC,OD于点E,F.试找出图中相等的线段(半径除外).(1)错因: .(2)纠错:____________________________________________________________.12如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α= _________ 度．解答题13.如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．14.如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求 PC2+PB2的值15.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.(1)求证：CF=BF(2)若CD=6，CA=8，求AE的长24.1.3 弧、弦、圆心角参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.故选A.2.【答案】A【解析】在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,可得选项A正确.3.【答案】D【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB和∠A′O′B′的大小关系.点睛:本题主要考查了弦与其所对的圆心角的关系，本题的易错点就是认为“相等的弦所对的圆心角才相等”，从而选择A，而忽略了这一命题成立的前提是“在同圆和等圆中”.4.【答案】A【解析】本题考查圆心角、弧和HL定理的知识，解题的关键是熟练地掌握相关的性质和定理；先根据HL 定理证明Rt△COD≌Rt△COE，得∠COD=∠COE；再根据圆心角与弧之间的关系由∠COD=∠COE得出弧AC和弧BC的关系即可.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠CDO=∠CEO=90°,∵CD=CE,CO=CO,∴△COD≌△COE,∴∠COD=∠COE,∴=.二、填空题5.（2分）【答案】90°【解析】∵一条弦把圆分成1：3两部分，∴劣弧的度数=360°÷4=90°，∴弦所对的圆心角为90°．考点：圆心角、弧和所对弦的关系．6.（2分）【答案】60°【解析】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；根据,==，可得到∠COB=∠COD=∠DOE=40°；根据∠COB+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°，即可得到∠AOE的度数.∵==,∴∠BOC=∠DOE=∠COD=40°,∴∠AOE=180°-3×40°=60°.7.（2分）【答案】3【解析】根据已知条件,=,可求出=，然后根据相等的弧所对的弦想等可求出CD的长．∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.三、解答题8.【答案】证明见解析【解析】根据等腰三角形的性质由OC=OD得∠OCD=∠ODC，由OA=OB得∠A=∠B，再根据三角形外角性质得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠B+∠BOD，利用等量代换得到∠AOC=∠BOD，然后根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可得到结论．证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵AO=OB,∴∠A=∠B.∴∠OCD-∠A=∠ODC-∠B,即∠AOC=∠BOD,即∠AOE=∠BOF.∴=.点睛:本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．9.【答案】证明见解析【解析】根据三个圆心角相等得到其对顶角相等，然后根据相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等即可证得结论．在☉O中,∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是☉O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴==,∴AC=EB=DF.10.【答案】证明见解析【解析】连接OC，根据C是的中点，易得到，由同圆中等弧对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOC；由OA=OB，M，N分别为OA，OB的中点可得OM=ON，由边角边定理可以判断△MOC≌△NOC，从而可得到MC=N C. 证明:连接OC.∵C为的中点,∴=,∴∠MOC=∠NOC.又∵M,N分别是OA,OB的中点,∴OM=OA,ON=OB,∴OM=ON.又∵OC=OC,∴△OMC≌△ONC,∴MC=NC.点睛:本题考查三角形全等的判定方法,弧与圆心角之间的关系，解题的关键是灵活运用三角形全等的判定方法及在等圆或同圆中相等的弧所对的圆心角相等这些定理；11.【答案】(1) AE,BF不是圆的弦,不能直接利用等弧对等弦(2)10【解析】先根据OA⊥OB可知∠AOB=90°，再由C，D为弧AB的三等分点可求出∠AOC的度数；由三角形内角和定理求出∠OCD的度数，根据三角形外角的性质得出∠OEF及∠OFE的度数，得OE=OF，CE=DF；根据三角形内角和定理即可得出∠AEO的度数；连接AC，BD，可得出CD=AE=BF，可得EF∥CD，所以EF<CD.即可得解.解：∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠AOC=∠BOD=30°，∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，∴OE=OF，∴CE=DF；连接AC，BD，∵OC=OD，OE=OF，∴EF∥CD，∴EF＜CD，∵C，D是弧AB 的三等分点，∴AC=CD=BD，∵∠AOD，∴△ACO≌△DCO．∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC．故AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD∴CD=AE=BF.故答案为：OE=OF，CE=DF，CD=AE=BF.点睛: 本题考查的是圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理等知识．解答本题的关键是求出△ACO≌△DCO，根据全等三角形对应边相等的性质得解．在同圆或等圆中,相等的圆心角或相等的弧所对的弦相等,不要认为所对的线段相等.12.【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形的外角性质；勾股定理；垂径定理．【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OB A=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．解：连接OA．OB、OC、OD，∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1，∴OA2+OB2=AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．解答题13.【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE=2AD，∵，∴，∴AB=2AD．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．14.【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°又∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB,同理AP=AE,又∵∠CAB=∠PAE=90°,∴∠CAP=∠BAE,∴△CPA≌△BAE,∴CP=BE,在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,∴PB2+BE2=PE2,∴CP2+PB2=PE2=4.15.【分析】（1）利用互余的性质得出，利用圆周角定理得出，然后得出，即可证明结论；（2）利用勾股定理得出AB的长，然后根据直角三角形的面积得出CE的长，然后利用勾股定理可求出(1)证明： AB 是⊙O 的直径 ABCE ABC CAB ACB ⊥=∠+∠∴=∠∴ 009090 BCECAB BCE ABC ∠=∠∴=∠+∠∴090 C 是的中点BF CF DBC BCE CDBCAB CDB DBC =∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴(2) C 是的中点 ∴BC=CD=6在Rt △ABC 中，由勾股定理得 52410861022=⨯=∴∙=∙=+=CE BC AC CE AB BC AC AB 又 在Rt △ACE 中 ,AE=532。

24．1.3 弧、弦、圆心角01 基础题知识点1 圆心角的概念及其计算 1．下面图形中的角是圆心角的是(D)A B C D2．已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝60°. 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 3．下列说法正确的是(B)A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C ．弦相等，圆心到弦的距离相等D ．圆心到弦的距离相等，则弦相等4．(兰州中考)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝(A)A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．(教材P85练习T2变式)(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是(A)A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°6．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(D) ①AB ︵＝CD ︵；②BD ︵＝AC ︵；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AOC.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为(C)A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°8．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由如下： ∵AB ，DE 是⊙O 的直径， ∴∠AOD ＝∠BOE. ∴AD ︵＝BE ︵.∵AD ︵＝CE ︵，∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.9．如图，M 为⊙O 上一点，OD ⊥AM 于点D ，OE ⊥BM 于点E.若OD ＝OE ，求证：AM ︵＝BM ︵.证明：连接OM. ∵OD ⊥AM ，OE ⊥BM ，∴AD ＝MD ，ME ＝BE ，∠ODM ＝∠OEM ＝90°.在Rt △DMO 和Rt △EMO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OE ，OM ＝OM ，∴Rt △DMO ≌Rt △EMO(HL)． ∴DM ＝EM.∴AM ＝BM. ∴AM ︵＝BM ︵.易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B)A ．AB>CDB ．AB ＝CDC ．AB<CD D ．不能确定 02 中档题11．如图，已知A ，B ，C 在圆O 上，D ，E ，F 是三边的中点．若AB ︵＝AC ︵，则四边形AEDF 的形状是(B)A ．平行四边形B ．菱形C ．正方形D ．矩形12．已知⊙O 中，M 为AB ︵的中点，则下列结论正确的是(C)A ．AB ＞2AM B ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定13．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME ⊥AB 于点E ，NF ⊥AB 于点F.在下列结论中：①AM ︵＝MN ︵＝BN ︵；②ME ＝NF ；③AE ＝BF ；④ME ＝2AE. 正确的有①②③．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.解：(1)△AOC 是等边三角形． 理由：∵AC ︵＝CD ︵， ∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形．(2)证明：∵∠AOC ＝∠COD ＝60°， ∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD)＝60°. ∵OD ＝OB ，∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB ＝60°.∴∠ODB ＝∠COD ＝60°. ∴OC ∥BD.15．(教材P84例3变式)如图，A ，B ，C 为圆O 上的三等分点． (1)求∠BOC 的度数；(2)若AB ＝3，求圆O 的半径长及S △ABC .解：(1)∵A ，B ，C 为圆O 上的三等分点， ∴AB ︵＝BC ︵＝AC ︵.∴∠BOC ＝13×360°＝120°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ， ∵A ，B ，C 为圆O 上的三等分点， ∴AB ＝AC ＝BC ＝3， 即△ABC 是等边三角形． ∴∠BAO ＝∠OBA ＝30°.则AD ＝32，故DO ＝32，OA ＝3，即圆O 半径长为 3.∴S △ABC ＝3×12×DO·AB ＝934.03 综合题16．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，连接AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝BF ＝CD.证明：连接AC ，BD. ∵C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝DB ︵. ∴AC ＝CD ＝DB. 又∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝13∠AOB ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°. ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. 在△AOC 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝180°－∠AOC 2＝180°－30°2＝75°.∴∠AEC ＝∠ACO.∴AE ＝AC. 同理BF ＝BD. ∴AE ＝BF ＝CD.。

24.1.3 弧、弦、圆心角同步练习一、选择题1.下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB 的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图24-1-3-1A.3∶2B.5∶2C.5∶2D.5∶43.半径为R 的⊙O 中，弦AB=2R ，弦CD=R ，若两弦的弦心距分别为OE 、OF ，则OE ∶OF 等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0二、填空题1．如图2,已知O 中,AB BC =,且:3:4AB AMC =,则AOC ∠=______.2．（2008襄樊市）如图3，⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25°，则∠AOB 的度数为 ．3．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE,∠C=035，则BE 的度数为三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）4．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DE ，求证⌒AE =⌒EF =⌒FB5．如图，在⊙o 中，AB BC CD ==，OB ，ＯＣ分别交ＡＣ，ＢＤ于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =9．如图所示，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，作AD ，BC 于E ，F ，•延长BA交⊙O 于G ，求证：GE EF =．参考答案一、选择题1．B 2．C 3. D .二、填空题4．1445.506．035三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．证明：如图，连接OE 、OF ，∵D 是半径、OB 的中点OB ⊥DF ，∴OD=12OF,∴∠OFD=030,即∠FOD=060， 同理∠EOA=060,∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,∴⌒AE =⌒EF =⌒FB8．证明：如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =,∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD ， ∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≅,∴OE OF =9．证明：连接AF ，则AB=AF ，所以∠ABF=∠AFB ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，所以∠DAF=∠AFB ，∠GAE=∠ABF ，所以∠GAE=∠EAF ，所以GE EF =．。

24.1.3弧、弦、圆心角同步练习一．选择题1．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（）A．1B．C．D．2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O 的半径为（）A．B．C．D．4．如图：AB为半圆的直径，AB＝4，C为OA中点，D为半圆上一点，连CD，E为的中点，且CD∥BE，则CD的长为（）A．B．C．D．5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM＝ON；③P A＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是（）A．∠AON＝∠DOM B．AN＝DM C．OM＝DM D．OM＝ON8．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD二．填空题9．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝．10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O 的半径长为．12．如图，在⊙O中，，∠1＝30°，的度数为．13．如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数．14．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD＝40°，则∠AOE＝．15．如图，AB为⊙O的直径，△P AB的边P A，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为度．三．解答题16．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．17．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．参考答案1．解：∵弦AC＝BD，∴，∴，∴∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE；连接OA，OD，∵AC⊥BD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE＝45°，∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，∵OA＝OD，∴AD＝R，∵AD＝，∴R＝1，故选：A．2．解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，∴∠AOC＝×75°＝50°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．3．解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠BOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．4．解：如图，连接EO并延长与DC的延长线相交于点K，连接BD交OE于点H，∵E为弧AD中点，∴OE⊥AD，BH＝DH，∵BE∥CD，∴∠EBH＝∠KDH，∠E＝∠K，∴△BHE≌△DHK（AAS），∴BE＝KD＝2x，EH＝KH，∵BE∥CD，∴△KCO∽△EBO，∴，∵AB是半圆⊙O的直径，AB＝4，C为OA的中点，∴，∴KO＝1，KC＝x，∴KE＝KO+OE＝1+2＝3，∴EH＝KH＝1.5，OH＝0.5，∵BE2﹣EH2＝BH2＝BO2﹣OH2，∴4x2﹣1.52＝22﹣0.52，解得：x＝，∴CD＝KD﹣KC＝2x﹣x＝x＝，故选：B．5．解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．6．解：如图连接OB、OD；∵AB＝CD，∴＝，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝MB，CN＝ND，∴BM＝DN，∵OB＝OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM＝ON，故②正确，∵OP＝OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，∵AM＝CN，∴P A＝PC，故③正确，故选：D．7．解：∵AB＝CD，OA＝OD，OB＝OC，∴△OAB≌△ODC（SSS），∠AOB＝∠DOC，∵OM⊥CD，ON⊥AB，∴OM＝ON，DM＝CM，AN＝NB，∴AN＝DM，∵OA＝OD，ON＝OM，∴Rt△AON≌Rt△DOM（HL），∴∠AON＝∠DOM，∴A，B，D正确，故选：C．8．解：∵，∴，∴，∴AC＝BD，故选：C．9．解：连接OC，∵AC∥DE，∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，∵∠A＝∠ACO，∴∠1＝∠2．∴CE＝BE＝3．10．解：连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．故答案为120°．11．解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，∵∠DOC＝90°，∴∠DOR＝90°，∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，∴∠DAM＝45°，∵DM⊥AM，DA＝2，∴DM＝AM＝，∴MR＝2，DR＝，∵2OD2＝DR2，∴OD＝故答案为12．解：∵在⊙O中，，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°，∴的度数为30°，故答案为：30°13．解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°14．解：∵，∠COD＝40°，∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝60°．故答案为60°．15．解：连接OC、OD，∵＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，OB＝OD，∴△AOC和△BOD都是等边三角形，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠P＝60°，故答案为：60．16．证明：（1）∵AB＝CD，∴＝，即+＝+，∴＝，∴AC＝BD；（2）∵＝，∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．17．（1）证明：连接AD，∵点D是的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝BD，在△CAD和△BAD中，，∴△CAD≌△BAD（SAS），∴∠ACD＝∠ABD，∴∠DCE＝∠DBF，在△CED和△BFD中，，∴△CED≌△BFD（ASA），∴DF＝DE；（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠DBF＝∠ACD，∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝90°，∴∠ECD＝∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直径，∵CD＝BD＝6，CE＝8，∴DE＝＝10，∴EB＝10+6＝16，在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，解得x＝12，∴AB＝12，在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，∴AD＝＝6，∴⊙O的半径为3．。

24.1.3弧、弦、圆心角同步测试一．选择题（共10小题）1．如图所示，AB是⊙O直径，CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，则下列结论正确的是（）A．＝＝B．＝＜C．＝＞D．＜＜2．已知，如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是（）A．AB＝CDB．＝C．△AOB≌△CODD．△AOB、△COD都是等边三角形3．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对4．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定5．下列说法中正确的有（）①直径相等的圆一定是等圆；②两个半圆一定是等弧；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对的弦相等；⑤相等的圆心角所对的弦相等．A．①②③B．①③④C．①④⑤D．①④6．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．＝B．＞C．＜D．无法确定7．如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角α为（）A．75°B．45°C．60°D．30°8．已知AB是⊙O的直径，弧AC的度数是30°．如果⊙O的直径为4，那么AC2等于（）A．B．C．D．29．如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°10．下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A．①③B．②④C．①④D．②③二．填空题（共5小题）11．已知圆O的半径为5，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝．12．如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD，若∠COD＝120°，则∠BOD＝°．13．如图，AB是直径，＝＝，∠BOC＝50°，∠AOE的度数是．14．如图，AB是⊙O的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA相等的线段是；与相等的弧是．15．如图，AD为直径，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，O为圆心，那么（1）弧AB所对的圆心角是；（2）弧BD所对的圆心角是．三．解答题（共3小题）16．如图，已知⊙O中，点A，B，C，D在圆上，且AB＝CD，求证：AC＝BD．17．已知，如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，连结BC，AD，求证：AE＝CE．18．如图，在⊙O中，弦AB∥弦CD，∠A＝28°，∠B＝45°，＝3，求的度数．参考答案1．解：连接AC，OC，OD，BD，∵CM是AO的垂直平分线，DN是OB的垂直平分线，∴AC＝OC，BD＝OD，∵OC＝OD＝OA＝OB，∴△AOC，△BOD是等边三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，∵AB是⊙O直径，∴∠COD＝60°，∴＝＝，故选：A．2．解：∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，＝，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，∴ABC成立，则D不成立，故选：D．3．解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．故选：D．4．解：连接BM．∵M为的中点，∴AM＝BM，∵AM+BM＞AB，∴AB＜2AM．故选：C．5．解：①直径相等的圆一定是等圆，本小题说法正确；②两个半径相等的半圆一定是等弧，本小题说法错误；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本小题说法错误；④等弧所对的弦相等，本小题说法正确；⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本小题说法错误；故选：D．6．证明：连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴＝．故选：A．7．解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．8．解：如图，连接OC．过点C作CD⊥OA于点D．∵⊙O的直径为4，∴AB＝4，∴OA＝OC＝2．∵弧AC的度数是30°，∴∠COD＝30°，∴CD＝1，∴OD＝＝，则AD＝2﹣，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∴AC2＝AD•AB＝（2﹣）×4＝8﹣4．故选：C．9．解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝70°，∵D是的中点，∴∠DAC＝∠ABC＝35°．10．解：圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确；在同圆和等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦相等，所以②错误；③在同圆和等圆中，两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等，所以③错误；在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变，所以④正确．故选：C．11．解：如图，∵OA＝OB＝5，AB＝5，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°．故答案为60°．12．解：∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∵∠COD＝120°，∴∠C＝∠D＝30°，∵AB∥CD，∴∠BOD＝∠D＝30°，故答案为30．13．解：∵＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝180°﹣3×50°＝30°．故答案为30°．14．解：∵AB是⊙O的直径，∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°；又∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△OAC、△OCD、△BOD是全等的等边三角形；∴OA＝AC＝OC＝CD＝OD＝BD＝OB；∴，故答案为：AC，OC，CD，OD，BD，OB；、．15．解：（1）弧AB所对的圆心角是∠AOB＝60°；（2）弧BD所对的圆心角是∠BOD＝120°．故答案为60°，120°．16．解：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD．17．证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AD＝BC，在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB，∴AE＝CE．18．解：连接AE，DE，∵∠A＝28°，＝3，∴∠AED＝3∠A＝84°，∠ADE＝∠B＝45°，∴∠EAD＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝51°，∴的度数是102°．。

圆24.1.3弧、弦、圆心角课时同步练习练一、选择题1．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③ 相等的圆心角所对的弧相等．④在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么弦也相等。

其中真命题的是（ ）A ．①②B ． ②④C ． ①②④D ． ①②③ 2． 在o 中，2AB CD =，那么（ ）A ． 2AB CD =B ．2AB CD >C ．2AB CD <D ．AB 与CD 的大小关系不定。

3．（山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）E BAA 、2个B 、3个C 、4个D 、5个二、填空题4．如图5,已知O 中,AB BC =,且:3:4AB AMC =,则AOC ∠=______.5．（2008襄樊市）如图6，⊙O 中OA ⊥BC ，∠CDA=25°，则∠AOB 的度数为 ．6．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE,∠C=035，则BE 的度数为三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DE ，求证⌒AE =⌒EF =⌒FB8．如图，在⊙o 中，AB BC CD ==，OB ，ＯＣ分别交ＡＣ，ＢＤ于Ｅ、Ｆ，求证OE OF =24.1.3弧、弦、圆心角课时练马新华一、选择题1．A 2．C 3. D .二、填空题4．1445.506．035 三、解答题（本题共2小题，每题10分，共20分）7．证明：如图，连接OE 、OF ， ∵D 是半径、OB 的中点OB ⊥DF ，∴OD=12OF,∴∠OFD=030,即∠FOD=060，同理∠EOA=060,∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,∴⌒AE =⌒EF =⌒FB8．证明：如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =,∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD ，∴1,,2BF CE AC OB AC OC BD ==⊥⊥,∴Rt OBF Rt OCE ≅,∴。

人教版数学九年级上册第二十四章圆 24.1.3 弧、弦、圆心角 同步测试一、选择题1. 下面四个图中的角，为圆心角的是( )A B C D2. 在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是( ) A. 圆心到这两条弦的距离相等 B. 这两条弦所对的圆心角相等 C. 这两条弦所对的弧相等D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分 3. 如果两个圆心角相等，那么( ) A. 这两个圆心角所对的弦相等 B. 这两个圆心角所对的弧相等 C. 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D. 以上说法都不对4. 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，则在①AB ＝CD ，②AC ＝BD ，③∠AOC ＝∠BOD ，④AC ︵＝BD ︵说法中，正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第4题 第5题5. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( ) A. 51° B. 56° C. 68° D. 78°6. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，若BC ＝CD ＝DA ＝4cm ，则⊙O 的周长为( )A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm第6题 第7题7. 如图所示，在⊙O 中，弦AB ＞CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M ，N 分别为垂足，那么OM ，ON 的大小关系是( )A. OM ＞ONB. OM ＝ONC. OM ＜OND. 无法确定 8. 在⊙O 中，M ，N 分别为弦AB ，CD 的中点，如果OM ＝ON ，那么在结论：①AB ＝CD ；②AB ︵＝CD ︵；③∠AOB ＝∠COD 中，正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 9. 在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为2，则弦AB 所对的圆心角的度数为 度.10. 如果⊙O 的半径为R ，则⊙O 中60°的圆心角所对的弦长为 ，120°的圆心角所对的弦长为 .11. 弦AB 分圆为1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角等于 .12. 如图，AC 是⊙O 的直径，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，若∠BAC ＝52°，则∠AOD ＝ .第12题 第13题13. 如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝2，点A 在⊙O 上，AN ︵的度数为60°，点B 为AN ︵的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则P A ＋PB 的最小值为 .14. 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠AOC ＝100°，求∠BOD 的度数.15. 如图所示，已知在⊙O 中，AC ︵＝BC ︵，D ，E 分别为半径OA ，OB 的中点，你认为CD 和CE 有何关系？为什么？16. 如图所示，⊙O 1和⊙O 2为两个等圆，O 1A ∥O 2D ，O 1O 2与AD 相交于点E ，AD 与⊙O 1和⊙O 2分别交于点B ，C .求证：AB ＝CD .17. 如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.18. 如图所示，以等边三角形ABC 的边BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点E ，判断BD ︵，DE ︵，EC ︵之间的大小关系，并说明理由.19. 如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F . 求证：AE ＝BF ＝CD .20. 如图，已知P 是直径AB 上的一点，EF ，CD 是过点P 的两条弦，∠CPB ＝∠EPB ，试说明： (1)弦CD 与EF 相等吗？为什么？ (2)DE ︵与CF ︵相等吗？为什么？1. D2. D3. D4. D5. A6. D7. C8. D9. 60 10. R R 11. 90° 12. 104° 13.14. 解：∵︵AB ＝︵CD ，∴︵AB ＋︵BC ＝︵CD ＋︵BC ，即︵AC ＝︵BD，∴∠BOD ＝∠AOC ＝100°.15. 解：CD ＝CE .理由：连接CO ，∵AO ＝BO ，D ，E 分别为AO ，BO 的中点，∴DO ＝EO .∵︵AC ＝︵BC ，∴∠DOC ＝∠EOC .又OC ＝OC ，∴△DOC ≌△EOC ，∴CD ＝CE .16. 证明：∵O 1A ∥O 2D ，∴∠A ＝∠D .∴∠AO 1B ＝∠DO 2C .又∵⊙O 1和⊙O 2为两个等圆，∴AO 1＝BO 1＝CO 2＝DO 2，∴△AO 1B ≌△CO 2D .∴AB ＝CD .17. 解：连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB ，且OM ＝21OA ，ON ＝21OB ，∴OM ＝ON .在Rt △CMO 与Rt △DNO 中，OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，∴∠COM ＝∠DON ，∴︵AC ＝︵BD. 18. 解：︵BD ＝︵DE ＝︵EC.理由：连接DO ，EO ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴在△DOB 中，OD ＝OB ，∴∠BDO ＝∠DBO ＝60°，∴∠DOB ＝60°.同理在△EOC 中，∠OEC ＝∠OCE ＝60°，∴∠EOC ＝60°，∴∠DOE ＝180°－∠BOD －∠EOC ＝60°，∴︵BD ＝︵DE ＝︵EC .19. 证明：连接AC ，BD .∵C ，D 是︵AB 的三等分点，∠AOB ＝90°，∴︵AC ＝︵CD ＝︵DB ，∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝30°，∴AC ＝CD ＝DB .又∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°.在△AOC 中，OA ＝OC ，∴∠ACO ＝2180°－30°＝75°，∴∠AEC ＝∠ACO ，∴AE ＝AC .同理BF ＝BD ，∴AE ＝BF ＝CD .20. 解：(1)CD ＝EF .理由：过点O 作OM ⊥EF ，ON ⊥DC ，垂足分别为M ，N ，∵∠EPB ＝∠CPB ，∠OMP ＝∠ONP ＝90°，OP ＝OP ，∴△OPM ≌△OPN (AAS )，∴OM ＝ON ，连接OE ，OC ，∵OE ＝OC ，由勾股定理得EM ＝NC ，∴由垂径定理得EF ＝2EM ，CD ＝2NC ，∴CD ＝EF . (2) ︵DE ＝︵CF .理由：∵CD ＝EF ，∴︵CD ＝︵EF ，∴︵CD －︵DF ＝︵EF －︵DF ，∴︵CF ＝︵DE ，即︵DE ＝︵CF .。

弧、弦、圆心角1．若AB ︵，CD ︵是同一圆上的两段弧，且AB ︵＝CD ︵，则弦AB 与弦CD 之间的关系是( C )A ．AB ＜CD B ．AB ＞CDC ．AB ＝CD D ．不能确定【解析】 同圆或等圆中等弧所对的弦相等．2．如图24－1－27所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 为( C )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°【解析】 易知∠EOB＝180°－60°＝120°.∵C ，D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD＝∠DOE，∴∠COE ＝23∠EOB ，∴∠COE ＝23×120°＝80°.故选C.图24－1－27图24－1－28图24－1－293．如图24－1－28，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D ，延长OD 交⊙O 于E ，则下列说法错误的是( D )A ．AD ＝BDB ．∠AOE ＝∠BOE C.AE ︵＝BE ︵D ．OD ＝DE【解析】 由垂径定理得A ，C 正确．又由AE ︵＝BE ︵得∠AOE＝∠BOE，故B 正确，故选D.4．如图24－1－29，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD＝( D ) A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 【解析】 ∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－110°＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠A ＝∠D＝70°.∴∠AOD ＝180°－∠A－∠D＝180°－70°×2＝40°.故选D.5．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为( B ) A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CD C ．AB ＞2CD D ．不能确定【解析】 如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，则有AB ︵＝CE ︵，∴AB ＝CE.∵CD＋DE ＝2CD ＞CE ＝AB ，∴AB ＜2CD.6．如图24－1－30，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD＝( B ) A ．105° B ．120° C ．135° D ．150°图24－1－30图24－1－317．如图24－1－31所示，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA＝∠DOB＝60°，那么与线段OA 相等的线段有__OC ，OD ，OB ，AC ，CD ，DB__；与AC ︵相等的弧有__CD ︵和DB ︵__． 8．如图24－1－32，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝42°，则∠B＝__69°__． 【解析】 ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－42°)＝69°.图24－1－32图24－1－339．如图24－1－33，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是__67.5°__．【解析】因为OD平分∠BOC，所以∠BOD＝12∠BOC＝12×90°＝45°.因为OA＝OD，所以∠A＝∠D.又因为∠BOD＝∠A＋∠D＝2∠A，所以∠A＝12∠BOD＝12×45°＝22.5°，所以∠AEO＝90°－22.5°＝67.5°.10．如图24－1－34所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE ⊥OB，CD＝CE，则AC与CB的大小关系是__AC＝CB__．图24－1－34图24－1－3511．如图24－1－35，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，以C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为__70__度．【解析】连接CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝90°－∠B＝55°.∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA＝55°，∴∠ACD＝180°－2∠A＝70°.12．如图24－1－36，AB ，BC ，AC 都是⊙O 的弦，且∠AOB＝∠BOC.求证：(1)∠BAC ＝∠BCA；(2)∠ABO＝∠CBO.图24－1－36 【解析】 (1)在⊙O 中，有圆心角∠AOB＝∠BOC，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB ＝BC ，在△ABC 中，AB ＝BC ，则∠BAC＝∠BCA.(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论． 证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC， ∴AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA. (2)∵OB＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO， 同理得∠CBO＝∠BCO，∠CAO ＝∠ACO. 又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO ＝∠BCO， ∴∠ABO ＝∠CBO.13．如图24－1－37所示，已知AB 为⊙O 的直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N.求证：AC ︵＝BD ︵.图24－1－37第13题答图【解析】 证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明．证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD. 又OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ， ∴∠COA ＝∠DOB，∴AC ︵＝BD ︵.14．如图24－1－38所示，A ，B ，C 为⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，连接AB ，BC ，CA.(1)试确定△ABC 的形状； (2)若AB ＝a ，求⊙O 的半径．图24－1－38第14题答图解： (1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，∴AB ＝BC ＝CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC 为等边三角形． (2)如图，连接OA ，OB ，OC ，过O 作OE⊥BC，垂足为E.∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)， ∴∠AOB ＝∠BOC＝∠COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)． 又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA ＝360°(周角的定义)， ∴∠BOC ＝120°.又∵OB＝OC ，OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠C OE ＝60°，BE ＝EC ＝12BC ＝12AB ＝12a(等腰三角形三线合一)．∴∠OBE ＝90°－∠BOE＝30°.∴OE ＝12OB.根据勾股定理得BE 2＋OE 2＝OB 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB 2＝OB 2， 解得OB ＝33a(负值已舍)，即⊙O 的半径为33a. 15．如图24－1－39，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点．连接AB ，AD ，AF ，求证：AB ＋AF ＝AD.【解析】 连接OB ，OF ，得到等边△AOB，△AOF ，据此并结合圆的性质，即可推理出AB ＝AF ＝AO ＝OD ，从而得到AB ＋AF ＝AD.图24－1－39解：连接OB ，OF.∵A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，又∵OA＝OB ，OA ＝OF ，∴△AOB ，△AOF 是等边三角形，∴AB ＝AF ＝AO ＝OD ，∴AB ＋AF ＝AO ＋OD ＝AD.16．已知如图24－1－40，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为多少？图24－1－40第16题答图【解析】 利用圆的对称性，找到AP ＋BP 取最小值时的P 点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．解：作A 关于MN 的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接BA′交MN 于P ，连接PA ，则PA ＋PB 最小，此时PA ＋PB ＝PA′＋PB ＝A′B，连接OA ，OA ′，OB.∵AN ︵＝13MN ︵，∴∠AON ＝∠A′ON＝60°.∵AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝12∠AON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°，∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2， 即AP ＋BP 的最小值是 2.。

24.1.3弧、弦、圆心角一、夯实基础1、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧 AB 与CD 关系是（ ） A ．弧AB=2弧CD B.弧AB<2弧CD C.弧AB>2弧CD D ．不能确定2、⊙O 中，如果弧AB=2弧AC ，那么下列说法中正确的是（） A. AB=AC B. AB=2AC C. AB ＞2AC D. AB<2AC3、在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的14，圆的半径为12，则圆心角∠AOB=________，弦AB 的长为________.4、如图，在⊙O 中，弧AB=弧AC ，∠B=70°，则∠A=______________.BC A5、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是圆的_________．二、能力提升6、已知：如图所示，AD=BC 。

求证：AB=CD 。

7、在圆O 中，︒=∠=⋂⋂60ACB AC AB求证：∠AOB=∠BOC=∠AOCABCO8、已知，CD 为圆O 直径，以D 为圆心，DO 为半径画弧，交圆O 于A 、B 。

ABD1O 2C9、圆O 中弦AB 、CD 相交于E ，且AB=CD ，求证：DE=BE12．已知如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为多少？四、中考链接1．（xx ·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O 中， =，∠AOB=40°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°2. （xx•贵港，第9题3分）如图，AB 是⊙O 的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）A．51° B．56°C．68°D．78°答案1、【答案】A2、【答案】D3、【答案】90°；1224、【答案】40°5【答案】1 66、证明：∵弧AD=弧BC，弧AC=弧AC，∴弧AD+弧AC=弧BC+弧AC，∴弧DC=弧AB，∴AB=DC.7、证明：∵弧AB=弧AC，∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°；∴AB=AC=BC；∴∠AOC=∠AOB=∠BOC。