大学生毕业论文：正项级数敛散性判别

浅谈正项级数与交错级数敛散性的判别方法摘要：级数的敛散性在数学分析占有比较重要的版块，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

数项级数敛散性的判别是一个重要而有趣的数学课题。

本文在已有文献的基础上，先对数项级数各种重要的敛散性判别方法作简单、系统的归纳，然后在已有判别方法的基础上推广了几种新的判别方法，这些推广的新的判别法降低了原判别法的使用要求，使其更具一般性，适应性更广。

关键词：正项级数；交错级数；敛散性On the Positive Series and Alternating Series Criterion for Convergence andDivergenceAbstract: Convergence and Divergence of Series in mathematical analysisplays the more important pages, determine the convergence of series as a series of issues are often the most important issue. Convergence and Divergence of a number of the discriminant is an important and interesting mathematical topics. In this paper, based on the literature, the first of several series of various important Criterion for Convergence and Divergence of a simple system of induction, then discrimination method has been popularized on the basis of several new discrimination method, which promotion of the new Criterion Criterion reduce the use of the original request, to make it more general, wider adaptability.Keywords:Positive series; Alternating series; Convergence and divergence1 引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。

X X师范学院本科生毕业论文正项级数敛散性判别方法的研究院（系）数学科学学院专业数学与应用数学研究方向数学分析学生姓名 XXX学号 *******XXXX指导教师姓名 XXX指导教师职称副教授2012年6月1日摘要在本文中，研究对象是常见的几种判别正项级数敛散性的方法。

通过了解正项级数定义及性质的理论的基础上，我们目前的研究焦点是判定正项级数的方法筛选，并进行了详细的介绍和研究，包括比试判别法（达朗贝尔判别法），根试判别法（柯西判别法），积分判别法，拉贝判别法。

在介绍了各种测定方法的原理，给出了相应的例子。

通过实践教学我们关于正项级数敛散性的判断更加熟练，达到融会贯通的效果。

关键词:正项级数；敛散性；比式判别法；根式判别法AbstractIn this paper, the research object is the several common judging the convergence and divergence of positive series method. Through the understanding of positive term series definition and the nature on the basis of the theory, for our current study focus determination of positive term series method for screening, and carried out a detailed introduction and research including the ratio test, the root test, integral method, and Labelle method. After the introduction of the various methods for determining the theorem, given the corresponding example. Through practice teaching us about the convergence and divergence of positive term series judge more s killed, achieve together effect.Key words: positive series;convergence; the ratio test; the root test.目录第一章引言 (1)第二章正项级数的基础知识 (1)2.1正项级数的定义 (1)2.2正项级数敛散性的一般判别方法 (2)第三章正项级数敛散性的特殊判别法 (2)3.1比式判别法 (2)3.2根式判别法 (3)3.3积分判别法 (5)3.4拉贝判别法 (6)第四章总结 (8)参考文献 (10)谢辞 (11)第一章引言十七世纪人们主要将级数用于微积分，计算一些特殊量，如π、e和三角函数、对数函数；以及用级数将隐函数f x，y =0表示成y对x的函数。

《正项级数判别法的知道及其应用》毕业论文目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1正项级数相关概念 (2)1.1正项级数的定义 (2)1.2正项级数敛散性判别的充要条件 (2)2正项级数敛散性判别法 (2)2.1判别级数发散的简单方法 (2)2.2比较判别法 (3)2.2.1定理及其极限形式 (3)2.2.2活用比较判别法 (3)2.3柯西判别法 (4)2.3.1定理及其极限形式 (4)2.3.2活用柯西判别法 (5)2.4达朗贝尔判别法 (5)2.4.1定理及其极限形式 (5)2.4.2活用达朗贝尔判别法 (6)2.5积分判别法 (6)2.5.1定理 (6)2．5.2活用积分判别法 (6)2.6拉贝判别法 (6)2.6.1定理及其极限形式 (7)2.6.2活用拉贝判别法 (7)2.7其他判别法 (8)3判别方法的比较 (9)3.1不同方法的比较及应用 (10)3.2判别正项级数敛散性方法的总结 (11)致谢 (12)参考文献 (12)正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学 xx 指导教师 xx摘要：正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 关键词：正项级数；收敛；方法；比较；应用Positive Series Convergence Criterion of Comparison and ItsApplicationMathematics and Applied Mathematics LiQinglinTutor LiPingrunAbstract ：Positive series is a series of important theoretical component and its convergence is the core issue of series theory .Although positive series convergence judgment methods more ,there still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency. Key words: positive series ; convergence; methods; compar e ；application引言 我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明，然后举几个简单应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢? 这就是本文所要讨论的.1 正项级数相关概念1.1正项级数的定义如果级数1nn x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,nx n ≥= 则称此级数为正项级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,从而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理1 正项级数∑∞=1n nu 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.例 级数221ln (1)(1)n n nn n n∞=⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦∑是正项级数。

┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊正项级数的敛散性判别xxx（x x x数学与统计学院x x x班 x x x x 邮编）摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其最基本的性质.本文主要探讨正项级数∑∞=1nnu)0(>nu的各种敛散性判别法,主要有柯西积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法以及一种优于达朗贝尔的判别方法.探讨了它们的证明过程及应用这些方法解决相关的实例,并对正项级数敛散性判别的方法进行了总结.关键词：正项级数；敛散性；判别法中图分类号：O122.71引言：级数是数学分析中的重要组成部分之一,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基础的一种级数.证明正项级数的敛散性是正项级数最重要的性质之一,而在解决级数的问题时多半也要涉及到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容,也是十分重要的内容之一,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要地位.2正项级数的基本概念2.1定义所谓无穷级数，就是指有一列无穷多个数.,,,,321nuuuu，将此数列依次用加号连接起来，写成+++++nuuuu321，就称为无穷级数，记为∑∞=1nnu，其中n u 称为通项或者第n 项.∑∞=1n n u 仅仅是一种形式上的相加，为了回答这种形式上的相加是否具有“和数”及这个“和数”的确切意义，我们首先令 112123123,,,s u s u u s u u u ==+=++….,1231n n k k s u u u u u ∞==+++=∑,......这样对任何一个无穷级数∑∞=1n nu，我们总可以做出一个数列1(1,2,3)n k k s u n ∞===∑并称n s 为级数∑∞=1n n u 的n 次部分和（简称部分和）称数列为{}n s 级数的部分和数列.级数就是无限多个数的和.若级数的每一项n u 的符号都是正,则称级数∑∞=1n n u 是正项级数.若级数∑∞=1n n u 的部分和数列{}n s 收敛于有限值s ，即s s n n =∞→lim =s u nk k n =∑=∞→1lim .则称级数∑∞=1n n u 收敛，收敛于s ,记为.也1n n u s ∞==∑称为级数的和数.若部分和数列{}n s 发散，则称级数∑∞=1n nu发散.当级数收敛时，又称121n n kn n k n u s s uu u ∞++=+=-==++∑为级数的余和.2.2正项级数收敛的基本定理设正项级数∑∞=1n n u (0,1,2,)n u n ≥=的部分和为n s ，显然部分和数列{}n s 为单调增加的，也就是123n s s s s ≤≤≤≤，我们已经知道，如果这个数列具有上界，那么他的极限存在.如果这个数列没有上界，那么它发散到+∞.由此我们得到了正项级数收敛的基本定理.正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界. 正项级数∑∞=1n n u 发散到正无穷⇔它的部分和数列{}n s 无上界.基本判别定理解决了级数的一个收敛问题,它不必研究s s n n =∞→lim ,而只需粗略地估计n s 的值当∞→n 时是否保持有界就可以了,这样就避开了n s 中冠以┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊n的复杂表达式.它是判断正项级数收敛（或发散）的最基本方法,但是我们在具体应用时却不大方便.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——比较判别法及其极限形式，柯西判别法（又称根式判别法）及其极限形式，达朗贝尔判别法（又称比值判别法）及其极限形式，柯西积分判别法.3几个比较重要的级数在正项级数敛散性的判别中往往需要一个用于比较的因子,用这个因子的敛散性来判断一个级数收敛还是发散.常用的比较因子有三个——几何级数、调和级数、p-级数.下面简单介绍一下这三个级数及它们敛散性的证明,便于后期能够更好地应用.3.1 几何级数(等比级数)讨论几何级数1211n nnar a ar ar ar∞--==+++++∑的敛散性,其中ra,0≠是公比.解：1）当0≠r时，已知几何级数的n项部分和+++++=-12nnarararas（i）当,01r<<时,几何级数的部分和存在极限,且.11limlimrararasnnnn-=--=∞→∞→.因此,当01r<<时,几何级数收敛,其和是ra-1,即111nknkas arr-===-∑.（ii）当1>r时,.1limlim∞=--=∞→∞→rarasnnnn因此,当1>r时,几何级数发散.2）当1=r时,有两种情况:(ⅰ)当1=r时,几何级数是)0(≠a,+++++aaaa.naaaasnn=+++=个∞==∞→∞→nasnnnlimlim即几何级数的部分和数列{}n s发散.（ⅱ）当1-=r 时,几何级数是 .)1(1 +-++-+--a a a a a n{,,0,,是偶数是奇数n n a n s =即几何级数的部分和数列{}n s 发散. 于是,当1=r 时,几何级数发散.综上所述,几何级数∑∞=-11n n ar ,当1<r 时收敛,其和是ra-1,即几何级数收敛于ra-1，当1≥r 时发散. 3.2调和级数证明调和级数 +++++=∑∞=n nn 13121111是发散的.证明： 设调和级数∑∞=11n n的n 项部分和是n s ,即.131211n s n ++++= 由于已知.1]ln )1211[(lim .)ln 1211(lim =+++=-+++∞→∞→n nc n n n n 或（欧拉常数）即当∞→n 时,调和级数的部分和ns n 131211++++= 与n ln 是等价无穷大,即调和级数∑∞=11n n发散.3.3 P-级数讨论p-级数 +++++=∑∞=pp p n p n n13121111的敛散性,其中p 是任意实数（该级数又称为广义调和级数）.解：1）当1=p 时,广义调和级数就是调和级数∑∞=11n n,已知调和级数发散,即p-级数发散.2）当1<p 时,+∈∀N n ,有n n p 11≥.已知调和级数∑∞=11n n发散,根据比较判别法可知,当1<p 时p -,级数发散. 3）当1>p 时,2≥∀n ,有]1)1(1[11111-----<p p p n n p n .于是,N n ∈∀,有┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊1111)11(111)1)1(131212111(111)1)1(1(11)3121(11)2111(1111312111111111111111-=-+<--+=--++-+--+=---++--+--+≤++++=-------------pppnpnnpnnpppnsppppppppppppppppn即p-级数的部分和数列{}n s有上界,从而p-级数收敛.综上所述,当1≤p时p-级数发散;当1>p时p-收敛.在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数.4几种常用的级数敛散性判别的方法4.1正项级数的比较判别法由以上给出的基本定理，我们可以得到一个判别级数敛散性的基本方法.4.1.1比较判别法若两个正项级数1nnu∞=∑和1nnv∞=∑之间成立着关系：存在常数0c>，使(1,2,)n nu cv n≤=，或在某项以后（即存在N，当n N>时）成立以上关系式，那么：（i）当级数1nnv∞=∑收敛时，级数1nnu∞=∑也收敛.（ii）当级数1nnu∞=∑发散时，级数1nnv∞=∑也发散.证明：设级数1nnu∞=∑和1nnv∞=∑的部分和分别是n U和n V，于是有n nU cV≤成立，当1nnv∞=∑收敛时，n V有界，于是n U也必有界，得知1nnu∞=∑收敛.当1nnu∞=∑发散时，nU无上界，于是nV也没有上界，故1nnv∞=∑发散.为了使比较判别法能更方便地应用，我们给出比较判别法的极限形式.4.1.2比较判别法的极限形式设正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑ ，若有lim(0)nnu l l v =<<+∞，那么这两个级数同时收敛或同时发散.证明：利用极限存在的定义，我们可以很容易地证明上诉结论.为此，取2lε=，则存在N ，当n N >时，有()()22n n nl l l v u l v -<<+ 再利用比较判别法便证明了此结论.当 0l =时 即lim 0nn u v =，1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑为两正项级数，取01ε=，则在正整数N ，当n N >时，有01nnv u ε<=即01n n u v <<，于是()n n u v n N <>，又1nn v∞=∑收敛，则根据比较判别法有1n n u ∞=∑.若1n n v ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑可能收敛可能发散.例如：11n n ∞=∑发散，21lim 01n n n→∞=，但211n n∞=∑收敛.11n n∞=∑发散，1lim 01n n n→∞=，但11n n∞=∑发散. 当l =+∞时，因为lim nn nu v →∞=+∞，级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是正项级数.取01G =，则存在正整数N ，当n N >时，有01nn u G v >=.于是()n n u v n N >>，若1n n u ∞=∑收敛，则由比较法，得1n n v ∞=∑收敛；若1n n v ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑发散，若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑的敛散性不一定.比较判别法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键.┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊几何级数∑∞=-11nnar和p-级数∑∞=11npn常用来充当比较判别法中的级数∑∞=1nnv.例1：判别下列级数∑∞=+1222n nn的敛散性.分析这是一个典型的例题，通项222+nn是关于n的一个有理分式.应注意分母和分子中n的最高幂次之差，通项为关于n的一个有理分式的级数和相应的p-级数有相同的敛散性.本题中这一差数为1，故应和1p=的p-级数∑∞=11nn 做比较.解：nnnnnnn1322222222⋅=++≥+，而级数∑∞=⋅1)132(nn与∑∞=11nn有相同的敛散性，即同时发散，又∑∞=11nn发散，故由比较判别法，级数∑∞=+1222n nn是发散的.例2：用比较判别法的极限形式判别实例1中的级数∑∞=+1222n nn的敛散性.解：因为2122lim2=+∞→nnnn，故由比较判别法得知此级数发散.利用比较判别法，要将判定的级数与几何级数比较，于是我们可以建立以下两个很有用的判别法——柯西判别法和达朗贝尔判别发.4.2正项级数的柯西判别法4.2.1柯西判别法设1nnu∞=∑为正项级数，若从某一项起（即存在N,当n N>时）成立着1nnu q≤<（q为某确定的常数），则级数1nnu∞=∑收敛；若1nnu≥，则1nnu∞=∑发散.证明：若当n N>时成立1nnu q≤<，那么有nnu q≤而级数1(1)nnq q∞=<∑是收敛的，再根据比较判别法得知1nnu∞=∑亦收敛；若当n N>时成立1nnu≥，那么有1nu≥，因此级数的一般项nu不趋于0，故级数1nnu∞=∑发散.4.2.2柯西判别法的极限形式对于正项级数1n n u ∞=∑，设lim n n n r u →∞=那么当1r <时，此级数必为收敛，当1r >时为发散，而当1r =时，此级数的敛散性需要进一步判定.证明：i ）当1r <时，由于1r <，总可以选取适当小的一个正数0ε使01r ε+<，再按上下限的定理，在数列{}n u 中只有有限多个数的n 次根大于或等于0r ε+，既是当n N >时有01nn u r ε≤+<应用以证明的柯西判别法，此处0q r ε=+，立即得知，级数1n n u ∞=∑收敛.ii)当1r >时，由于1r >，则总可以取适当小的一个正数0ε使01r ε->.再由上下限定理，在数列中将有无穷多个数，它的n 次根大于或等于0r ε-，即是说，将有无穷多个这样的n u （记为n u (1,2,3,)k =）使得()01k nn u r ε>->于是，级数1n n u ∞=∑的一般项n u 必不趋于0，即此级数发散.iii ）1r =时，我们举例说明级数11n n ∞=∑和211n n∞=∑这两个级数的r 都等于1，但前者发散，后者收敛，因此当1r =时，此判别法失效. 例3： 证明级数 +++++n n13121132收敛.分析 当级数的通项中含有n n 或类似的表达式时，通常采用柯西判别法判别级数的敛散性.证：因为011→==nn u nn n n ()n →∞故由柯西判别法得知所给级数收敛.┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊例4：判别级数∑∞=1ln32nnn的敛散性.解: 由于123232lim32limlimlnln>====∞→∞→∞→nnnnnnnnnnu,所以根据柯西判别法的推论知,级数∑∞=1ln32nnn发散.4.3正项级数的达朗贝尔判别法4.3.1达朗贝尔判别法设1nnu∞=∑为正项级数，若从某一项起成立着11nnuqu-≤<（q为确定的数n N>），则级数1nnu∞=∑收敛，若11nnuu-≥,()n N>则级数1nnu∞=∑发散.证明：我们假设从第二项起，即2n≥有11nnuqu-≤<，并且1u>，故21121nn n nu qu q u q u---≤≤≤由于1q<，所以级数111nnu q∞-=∑收敛，再由比较判别法知级数1nnu∞=∑也收敛. 若从某一项起n N>，11nnuu-≥，则对一切n N>，皆有11n n Nu u u--≥≥≥>于是当n→∞时，级数1nnu∞=∑的一般项n u将不趋于0，故此极限发散.为了在实际应用中更方便，下面给出其极限形式.4.3.2达朗贝尔判别法的极限形式对于正项级数1nnu∞=∑，当1lim1nnnuru→∞-=<时，级数1nnu∞=∑收敛.当1lim1nnnuru→∞-=>时，级数1n n u ∞=∑发散.而当1r =时，级数1n n u ∞=∑的敛散性须进一步判定.证明：i ）当1r <时，由于1r <，于是总可以找到一个适当小的数0ε，使01r ε+<.再按照上下限定理，在数列1n n u u -⎧⎫⎨⎬⎩⎭中除去优先多个数外，其余数都小于0r ε+.也就是说，存在自然数N ，当n N >时，有011nn u r u ε-<+< 成立，应用已经证明的达朗贝尔判别法，这里01q r ε=+<，故级数1n n u ∞=∑收敛.ii ）当1r >时，由于1r >，那么我们总可以找到一个适当小的正数0ε使01r ε->，在根据上下限定理，在数列1n n u u -⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，除去有限多个数外，其余数都大于0r ε-，也就是存在自然数N ,当n N >时，有011nn u r u ε->-> 应用达朗贝尔判别法，级数1n n u ∞=∑发散.iii ）当1r =时，级数1n n u ∞=∑的敛散性需要进一步地判定.在此我们用两个例子来加以说明11n n ∞=∑和211n n ∞=∑ 这两个例子的1r =，但前者发散，而后者收敛. 例5： 判别级数∑∞=1!n n n n 的敛散性. 解: 由于11])11(1[lim )1(lim ]!)1()!1([lim lim11<=+=+=++=∞→∞→+∞→+∞→en n n nn n n u u n n n n nn n n n n ,所以┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊根据达朗贝尔判别法的推论知,级数∑∞=1!nnnn收敛.说明：当正项级数的一般项nu具有积、商、幂的形式,且nu中含有!n、!!n、na以及形如)()2)((nbababa+++ 的因子时,用达朗贝尔判别法比较简便.当正项级数的一般项nu为n次方形式,用柯西判别法比较方便.因⇒=+∞→quunnn1lim qunnn=∞→lim这就说明凡能用比较判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比较判别法更有效.但反之不能.由于达朗贝尔判别法有时会失效，下面介绍一种优于达朗贝尔的判别方法. 4.4定理：对于正项级数1nnu∞=∑，如果3313212lim lim limn n nn n nn n nu u uu u uρ++→∞→∞→∞++===则当13ρ<时，级数1nnu∞=∑收敛；当13ρ>时，级数1nnu∞=∑发散.在证明这个定理前要先给出一个引理4.4.1引理1nnu∞=∑（1）和1nnv∞=∑（2）是两正项级数，如果从某一项起下列不等式33313132321122,,,n n n n n nn n n n n nu v u v u vu v u v u v++++++++≤≤≤成立，则（2）收敛蕴含着（1）收敛；级数（1）发散蕴含着级数（2）发散.证明：取一自然数n，使0032p n n=->，设引理中的不等式n n≥恒成立，注意到引理中的三个不等式都可化为3232n i nn i nu uv v-+-+≤()00,2,i n n=±≥令max in i piuKv≤<⎧⎫=⎨⎬⎩⎭则1）当n n p≤<时，显然有nnuKv≤.2）当n p ≥时，我们可以将n 写成132n n i =-+()0,2i =±的形式，其中01n n ≤，若1n p <则有11113232n i n n n n i n u u u K v v v -+-+=≤≤；若1n p ≥，则1n 可表示为1232n n i =-+ ()0,2i =±的形式，使 2n p <，若2n p <还不成立，则将此过程一次继续下去，经过有限次后，我们可以将1k n -表示成()1320,2k k n n i i -=-+=±的形式，其中0k n n p ≤<，反复使用不等式3232n i nn i nu u v v -+-+≤()00,2,i n n =±≥，于是我们得到下面的式子：1111k k n n n n n n u u u K v v v --≤≤≤于是对于0n n ≤，nnu K v ≤恒成立.由级数的比较判别法就证明了引理的结论. 下面证明定理4.4证：1）当13ρ<时，取0ε>，使得13r ρε+=<成立.根据定理的假设，存在自然数N ，当n N >时，有313n n u r u ρε<+=<，31113n n u r u ρε++<+=<，32213n n u r u ρε++<+=<， 取一实数1s >，使1133s r <<.令1n s v n =，则级数11n sn v n ∞==∑收敛，且 31111lim lim 313sn s n n n v n v n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭，32221lim lim 323sn s n n n v n v n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 故当n 充分大以后应有：311n n v r v ++>，322n n vr v ++>即 313111n n n n v u r v u ++++>> ，323222n n n n v u r v u ++++>>且3313n ns n n v u r v u ->>，根据引理知级数1n n u ∞=∑收敛. 2）当13ρ>时，取0ε>，使得13ρε->成立.根据定理假设，存在自然数'N ，当'n N >时，有┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊313nnuuρε>->，31321211,33n nn nu uu uρερε++++>->>->，令12nvn=-，则321323nnv nv n-=<-，31111313nnv nv n++-=<-，322133nnv nv n++==因此，33313132321122,,n n n n n nn n n n n nu v u v u vu v u v u v++++++++>>>于是由引理及级数312nn∞=-∑发散知级数1nnu∞=∑也发散.说明：当13ρ=时，此方法失效.推论：对于级数1nnu∞=∑，如果1lim1nnnuu+→∞=，且3lim nnnuuρ→∞=，则当13ρ<时级数1nnu∞=∑收敛；当13ρ>时级数1nnu∞=∑发散.例6：讨论级数1lnsnnn∞=∑的敛散性.解：因为1ln(1)(1)lim lim1lnsnn nnsnu nnun+→∞→∞++==，故不能用达朗贝尔的判别法来判别其敛散性.但是我们可以观察到()()1ln11lim lim1lnsnn nnsnnunun+→∞→∞++==，()ln33limlnsnsnnnn→∞根据推论知：当1s<时级数1lnsnnn∞=∑发散；当1s>时，级数1lnsnnn∞=∑收敛；当1s=时，可由积分判别法知级数1lnsnnn∞=∑发散.4.5正项级数的柯西积分判别法设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分同时收敛或同时发散.证明：由假设)(x f 为[),1+∞上非负减函数，则对任何正数A ，)(x f 在[]1,A 上可积，从而有⎰--≤≤n n n f dx x f n f 1)1()()(， ,3,2=n依次相加，得∑⎰∑∑-====-≤≤11122)()1()()(m n mmn mn n f n f dx x f n f若反常积分收敛，则对m ∀，有⎰⎰∑+∞=+≤+≤=111)()1()()1()(dx x f f dx x f f n f S mmn m .于是，知 级数 ∑)(n f 收敛.反之，若级数∑)(n f 收敛，则对任意正整数)1(>m ，有 ∑∑⎰=≤=≤-=-S n f n f S dx x f m n m m)()()(1111.又因)(x f 为[),1+∞上非负减函数，故对任何1>A ，有 S S dx x f n A<≤≤⎰1)(0, 1+≤≤n A n .故知，反常积分⎰+∞1)(dx x f 收敛.同理可证它们同时发散. 例7： 判别级数∑∞=131n n的敛散性. 分析:因为将n 换成连续变量x ,即是31x ，显然函数31x在),1[+∞是单调减少的正值函数,所以可以用积分判别法.解:将原级数∑∞=131n n换成积分形式dx x ⎰+∞131,由于21210)21()21(lim 21121213=+=---=-=+∞→+∞∞+⎰p x dx x p ,┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊即dxx⎰+∞131收敛,根据积分判别法可知,级数∑∞=131nn也收敛.5判别正项级数敛散性方法的总结综上所述,判别正项级数的敛散性的方法多种多样,本文介绍的主要有比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、柯西积分判别法,以及一种优于达朗贝尔的判别方法.但是我们在判别正项级数的敛散性时要选用合适的方法.也就是说一种判别方法并不是对所有的正项级数都适用.对用给定的正项级数，我们可以按下列顺序进行判别：1）首先观察其通项是否趋于零，如果通项不趋于零，则级数发散.2）如果通项趋于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较判别法、达朗贝尔判别法法、柯西判别法或优于达朗贝尔的判别法.3）极其特殊的情况下，也可以用级数的部分和数列来判断级数的敛散性. 总结了正项级数敛散性的判别法和解题思路后，我们就能更好地掌握如何选择正项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果..参考文献[1]陈传璋等.数学分析（第二版）下册[M].北京：高等教育出版社.1983,11.[2]徐春.正项级数敛散性的一种判别法[J].四川轻化工学院学报.2000,06(2):60-63.[3]王艳天.正项级数敛散性的判别法[J].电大理工.2008,03(1):66-67.[4] 郝一凡，李浩志.正项级数拉贝判别法的等价形式[J].数学通报.1993,(1):22-23.[5]李春江.级数收敛的判别方法[J].科学实践.255-256.[6]王晖东，刘笑颖.拉贝判别法的推广[J].大学数学.2011,08(4):165-169.[7] 龙小胖，姜志诚.正项级数的两个新的判别法[J].井冈山师范学院学报.2000,12(6):5-7.[8]汪遐昌.正项级数敛散性判别法的一个定理[J].成都师专学报∙理科版.1995,(1):11-12.[9]武秀美.正项级数收敛的新判别方法[J].解题方法与技巧.1989,(3):5-6[10] 邵益新.正项级数收敛的微分判别法[J].无锡教育学院学报.1999,12(4):77-78.[11]潘红，储亚伟.正项级数收敛性判别的几种新方法[J].博士 专家论坛.4-7.[12]尹委红.对正项级数敛散性判别法应用性的探讨.2010,5(7):7-9.[13] 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There are five methods: Cauchy integral criterion method, comparative criterion method, d’Alembert criterion method, and the method which is better than d’Alembert’s criterion. It analyses the process of proving and solving examples in using those methods. Finally, it summaries the positive series of convergence criterion in the identification.Keywords: positive terms; convergence; criterion┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊。

数项级数敛散性的判别法毕业论文关于数项级数敛散性的判别法摘要：级数是数学分析中的主要内容之一.我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种,如柯西(Cauchy)判别法、达朗贝尔（D ’Alembert ）判别法、拉阿贝(Raabe)判别法、高斯(Gauss)判别法、狄里克莱(Dirichlet)判别法、莱布尼兹(Leibniz)判别法、阿贝尔(Abel)判别法等.对数项级数敛散性判别法进行归纳,使之系统化. 关键词：数项级数; 正项级数 ; 变号级数; 敛散性; 判别法1引言 设数项级数++++=∑∞=n n na a a a211的n 项部分和为:12n S a a =+++1nni i a a ==∑若n 项部分和数列{}n S 收敛,即存在一个实数S,使lim n n S S →∞=.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和.可见，无穷级数是否收敛，取决于lim n n S →∞是否存在.从而由数列的柯西(Cauchy )收敛准则,可得到级数的柯西(Cauchy )收敛准则[1]:数项级数1nn a ∞=∑收敛0,N N ε+⇔∀>∃∈,对,n N p N +∀>∀∈有12n n n p a a a ε++++++<.2 正项级数敛散性判别法设数项级数1nn a ∞=∑为正项级数(na ≥0).则级数的n 项部分和数列{}nS 单调递增,由数列的单调有界公理,有定理2.1[1]正项级数1n n u ∞=∑收敛⇔它的部分和数列{}n S 有上界.由定理2.1可推得 定理2.2[2]：设两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑,存在常数c 0>及正整数N ，当n ＞N 时有n u ≤c n v ,则（i ）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数1n n v ∞=∑也收敛；（ii ）若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散.一般常及其极限形式:定理2.2’（比较判别法的极限形式）[2]：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑是两个正项级数且有limnn nu v →∞=λ， （i ）若0＜λ＜＋∞，则两个级数同时敛散；（ii ）若 λ＝0，级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；（iii ）若 λ＝＋∞，级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑也发散.由比较判别法可推得:定理2.3（达朗贝尔判别法也称比值判别法，D ’Alembert ）[3]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，则有（i ）若存在0＜q ＜１及自然数N ，使当n ≥N 时有1n n u u +≤q ，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1n n u u +≥１，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.3’（达朗贝尔判别法也称比值判别法的极限形式）[3]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，（i ）若lim n →∞1n n u u +＝r ＜１，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若lim n →∞1n nu u +＝r ＞１则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.4（柯西判别法也称根式判别法）[4]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，则有（i ）若存在0＜q ＜１及自然数N ，使当n ≥N n n u ≤q ，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数列的子列{}i n n n u ≥１，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.4’（根式判别法的极限形式）[5]：设1n n u ∞=∑是一个正项级数，（i ）lim n →∞n n u ＝r ＜１，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）lim n →∞n n u r ＞１，则级数1n n u ∞=∑发散.注意：在比值判别法和根式判别法的极限形式中，对r=1的情形都未论及.实际上，当lim n →∞1n nu u +=1或lim n →∞n n u 时，无法使用这两个判别法来判别敛散性.如级数11n n ∞=∑和211n n ∞=∑，都有11lim lim 111n n nn n n→∞→∞+==+， 2221(1)lim lim 111n n n n n n→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 1lim 1nn n =，211n n n=.但前者发散而后者收敛.此外，定理2.3和定理2.4中关于收敛的条件1n nu u +≤q n n u ≤q ＜１也不能放宽到1n n u u +n n u ＜１.例如，对调和级数11n n∞=∑，有 1n n u u +=1nn +n n u 1n n但级数却是发散的.对于严格正项级数,比较判别法、比式判别法及根式判别法用上（下）极限形式更为方便. 定理2.5[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若∑∞=1n n b 是收敛的严格正项级数,使+∞<∞→nnn b a lim ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若∑∞=1n n b 为发散的严格正项级数,使0lim >∞→nnn b a ,(可取)∞+,则级数∑∞=1n n a 发散. 定理2.6[2]设∑∞=1n n a 为严格正项级数.10若1lim1<=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 收敛. 20若1lim1>=+∞→q a a nn n ,则级数∑∞=1n n a 发散.定理2.7[2]设∑∞=1n n a 为正项级数,且q a n n n =∞→lim ,则10当1<q 时,级数∑∞=1n n a 收敛.20当1>q 时,级数∑∞=1n n a 发散.我们知道,广义调和级数(p-级数)∑∞=11n pn当1>p 时收敛,而当1≤p 时发散.因此,取p-级数作为比较的标准,可得到较比式判别法更为精细而又应用方便的判别法,即定理2.8（拉阿贝判别法，Raabe ）[3]：设∑∞=1n n u 是正项级数并记11,n n n u R n u +⎛⎫=- ⎪⎝⎭（i ）若存在1q >及自然数N ，使当n ≥N 时有,n R q ≥则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若存在自然数N ，使当n ≥N 时有1,n R ≤则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.8’（拉阿贝判别法的极限形式）[8]：设1n n u ∞=∑是正项级数且有r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→1lim 1， 则 (1)当1>r 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1<r 时，则级数1n n u ∞=∑发散.考虑到级数与无穷积分的关系,可得 定理2.9（积分判别法）[4]：设函数()f x 在区间),1[+∞上非负且递减，)(n f u n =，1,2,n =，则级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.证：由于0)(≥x f ,知⎰=xdt t f x F 1)()(单调递增.因此极限⎰+∞→+∞→=xx x dt t f x F 1)(lim)(lim 存在)(x F ⇔在),1[+∞有界.(充分性)设⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在,则存在0>M ,使M dt t f x x≤+∞∈∀⎰1)(),,1[级数∑∞=1n n u 的部分和)()2()1(21n f f f u u u S n n +++=+++=⎰⎰⎰-++++≤nn dt t f dt t f dt t f f 13221)()()()1(M f dt t f f n+≤+=⎰)1()()1(1.即部分和数列有上界.所以级数∑∞=1n n u 收敛.(必要性)设正项级数∑∞=1n n u 收敛,则它的部分和有上界,即存在+∈∀>N n M ,0有M S n ≤.从而对),1[+∞∈∀x ,令1][+=x n ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰-+++=≤n n nxdt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 1322111)()()()()(M S n f f f n ≤=-+++≤-1)1()2()1( . 故极限⎰+∞→xx dt t f 1)(lim存在.由此我们得到两个重要的结论[6]： （1）p 级数11p n n ∞=∑收敛⇔1;p > （2）级数21ln pn n n∞=∑收敛⇔ 1.p > 证：两个结论的证法是类似的，所以下面只证明结论（1） 在p 级数一般项中，把n 换为x ，得到函数()f x =1(1).p x x≥ 我们知道，这个函数的广义积分收敛⇔ 1.p >因此根据正项级数的广义积分判定法，结论（1）成立.还是以p-级数为比较标准,可得定理2.10（阶的估计法）[3]：设1n n u ∞=∑为正项级数⎪⎭⎫⎝⎛=p n n O u 1)(∞→n ,即n u 与p n 1当∞→n 是同阶无穷小.则(1)当1>p 时,级数1n n u ∞=∑收敛；(2)当1≤p 时,级数1n n u ∞=∑发散.把比较判别法和比式判别法结合,又可得定理2.11（比值比较判别法）[7]：设级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数且存在自然数N ，使当n≥N 时有11n n n nu v u v ++≤, 则有（i ）若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑也收敛；（ii ） 若1n n u ∞=∑发散，则1n n v ∞=∑也发散.证：当n ≥N 时，由已知有12121111n N N n N N n n N N N n N N n Nu u u u v vv v u u u u v v v v +++++-+-=≤=. 由此可得,.N N n n n n N Nu vu v u v v u ≤≤ 再由比较判别法即知定理结论成立. 较比式判别法更为精细的判别法是定理2.12[3]（高斯判别法，Gauss ）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足 11,ln ln n n u u v o u n n n n n λ+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或者1λ=，1u >或者1,1u v λ==>，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ） 若1λ<或者1λ=，1u <或者1,1u v λ==<，则级数1n n u ∞=∑发散.定理2.12’[9]（高斯推论）：设1n n u ∞=∑是正项级数且满足211,n n u uO u n n λ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则有（i ）若1λ>或1λ=，1u >，则级数1n n u ∞=∑收敛；（ii ）若1λ<或1λ=，1u ≤，则级数1n n u ∞=∑`发散.3 一般项级数敛散性判别法我们经常遇到一些级数，它们并不是都为非负，如交错级数等，对于这一类的级数我们不能再套用上述的正项级数的判别法来判断它们的敛散性了.根据柯西收敛原理，级数1n n u ∞=∑收敛的充分必要条件是：对任给的0ε>，存在N ，只要n N >，对任意正整数p ，有12.n n n p u u u ε++++++<在研究一般项级数的判别法前我引进绝对收敛与条件收敛的概念. 定义[4]：若级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑是绝对收敛的；若级数1n n u ∞=∑收敛，但级数1n n u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑是条件收敛的.由柯西收敛准则,有 定理3.1[4]若级数∑∞=1||n n u 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛.要判别级数∑∞=1||n n u 敛散性,可用上述介绍的正项级数敛散性的判别方法去判断.定理3.2[6]（分部求和判别法）:对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果极限lim n n n A p →∞存在,那么下面两个级数有相同的收敛性:1,nn n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑这个判别法的特点是:把因子1,2,,,n u u u 分离出来,求出部分和n A ,再研究级数11()n n n n A pp ∞+=-∑的收敛性(前提是极限lim n n n A p →∞存在.)证明：先分析级数1n n n u p ∞=∑的部分和.为此分析乘积k k u p ;用增减项的办法,可以看出,11111()()k k k k k k k k k k k k u p A A p A p A p p A p -----=-=---.由此得到1111()()k k k k k k k k k u p A p A p A p p ----=---.让k 从1变到n,对等式的各项求和,110011()(0,0)nnkk n n k k k k k up A p A p p A p --===--==∑∑.这个等式可以改写为1111()nn kk n n k k k k k up A p A p p -+===--∑∑.(这叫做阿贝尔分部求和公式.)现在令n →∞,考察极限1lim nk k n k u p →∞=∑.由阿贝尔分部求和公式可以看出:因为极限lim n n n A p →∞存在,所以1lim n k k n k u p →∞=∑存在111lim ()n k k k n k A p p -+→∞=⇔-∑存在.这个结论的级数语言是:111()k k n n n n n up A p p ∞∞+==⇔-∑∑收敛收敛. 这样就证明完成了证明.对于最特殊的变号级数—交错级数,有定理 3.3[10]（莱布尼兹判别法）:对于交错级数,如果一般项的绝对值组成的数列单调递减趋向于0(当n →∞),那么交错级数收敛.对于一般项级数,则有定理3.4[10]（狄利克雷判别法）: 对级数1,n n n u p ∞=∑用n A 表示级数1n n u ∞=∑的部分和,即 1nn k k A u ==∑.如果{}n A 是有界数列,并且数列{}n p 单调递减趋向于0,那么级数1,n n n u p ∞=∑收敛.证明: 由条件可知, lim n n n A p →∞=0.因此根据分部求和判别法, 下面两个级数有相同的收敛性: 1,n n n up ∞=∑11().n n n n A p p ∞+=-∑ 以下只需验证:后一个级数是绝对收敛的.实际上,数列{}n A 是有界的,不妨设()n A A n ≤∀.这样一来,11()()n n n n n A p p A p p ++-≤-.另外,1111111()lim ()lim()nn n k k n n n n k pp p p p p p ∞+++→∞→∞==-=-=-=∑∑ 因此根据控制收敛判别法,级数11()n n n n A p p ∞+=-∑收敛.定理3.5(阿贝尔Aebel 判别法)[4]设数列}{n a 单调有界,级数∑∞=1n n b 收敛,则级数∑∞=1n n n b a 收敛.主要参考文献：[1]刘玉琏,傅沛仁等. 数学分析讲义(第三版). 北京: 高等教育出版社, 2003[2]罗仕乐 . 数学分析续论 . 韶关学院数学系选修课程. 2003.8[3]李成章,黄玉民. 数学分析（上册）.北京: 科学出版社,1999.5[4]邓东皋, 尹小玲. 数学分析简明教程.北京: 高等教育出版社, 2000.6[5]张筑生. 数学分析新讲.北京: 北京大学出版社, 2002.2[6]丁晓庆. 工科数学分析（下册）.北京: 科学出版社,2002.9[7]R.柯朗, F.约翰. 微积分和数学分析引论.北京: 科学出版社, 2002.5[8]朱时. 数学分析札记 .贵州: 贵州教育出版社, 1996.5[9][美] 约翰鲍逊等,邓永录译. 现在数学分析基础.广东:中山大学出版社, 1995.2[10] 王昆扬. 数学分析专题研究.北京: 高等教育出版社, 2001.6The law of differentiating about the fact that several items of progression disappear and dispersingLiu Xianyang(Department of Mathematics，Shaoguan University，00 mathematics and applied mathematics undergraduate course. ,Shaoguan 512005，GuangDong)Abstract:One of the main content while analyzing that progression is mathematics. That the several a item ofprogressions of study disappear and disperse to differentiate law have a lot of kinds we, If Cauchy differentiate law, D'Alembert differentiate law, Raabe differentiate , Gauss differentiate law, Dirichlet differentiate law, Leibniz differentiate law, Abel differentiate law, etc. law. That items of progression disappear and disperse to differentiate law sum up, systematize it logarithm.Keywords：Several items of progression ; A progression ; Turn into number progression ; Hold back the scattered quality ; Differentiate law ization.。

函数项级数敛散性的判别方法及其应用毕业论文函数项级数敛散性的判别方法及其应用Discrimination Methods of Convergence and Divergence of Series of Functions and ItsApplication专业:数学与应用数学作者:指导老师:二○一五年五月摘要本文介绍了函数项级数敛散性判别法，如柯西判别法、阿贝尔判别法、达朗贝尔判别法和它们的极限形式，以及多种特殊函数项级数敛散性的判别方法. 然后介绍了这些判别法在实际解题中的应用. 本文探究和总结了一些判别函数项级数敛散性的方法, 为今后处理函数项级数敛散性的判别提供理论基础.关键词: 函数项级数; 一致收敛; 判别法;0 引言函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理. 最后用一些实际例题来验证这些判别法.1 预备知识设12,,,,n f f f 为一列定义在同一数集D 上的函数,称为定义在D 上的函数列.该函数也可简单地写作()n f x 或 n f ,1,2,...n =.定义[1]1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总存在某一正整数N ,使得当n N >时,对一切x D ∈,都有()()n f x f x ε-<, 那么称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ,记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞,x D ∈.设{()}n u x 为定义在数集D 上的一个函数列,则D x x u x u x u n∈++++,)()()(21称为定义在D 上的函数项级数,简记为()n u x ∑,并称1()(),,1,2,...nn k k s x u x x E n ==∈=∑为函数项级数的部分和函数列.定义[1]2 若函数项级数)(1x u n n ∑∞=的部分和函数列{})(x S n 在数集D 上一致收敛于)(x S ,则称函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛于)(x S 或称)(1x u n n ∑∞=在D 上一致收敛.2 函数项级数敛散性的判别方法定理]1[1（柯西一致收敛准则）函数项级数)(x u n ∑在数集D 上一致收敛的充要条件：对于任意的正数ε,总存在个某正整数N ,使得当N n >时,对一切D x ∈和一切正整数p 都有 |)()(x s x s n p n -+|<ε或 |)()()(21x u x u x u p n n n ++++++ |<ε.柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间I 上形如++++=∑)()()()()()()()(2211x v x u x v x u x v x u x v x u nnnn（2.1）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件为0o ε∃>，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1.这里最关键的是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，然后凑出o ε，此类型题目也有一个简便方法，即取1=p 能适用于许多题型．这种做法比较实用，优先考虑．推论2 函数列(){}x u n 在数集D 上非一致收敛于0，那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．推论3[]9 如果函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，并在区间D 中存在点列{}n x ，使()0lim ≠∞→n n n x u ，有函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛． 定理2[1]（M 判别法）设定义在数集D 上的函数项级数()x u n ∑, ∑M n 为收敛的正项级数,如果对一切D x ∈,有(),,2,1, =≤n x M u n n 那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.定理3[1]（阿贝尔判别法）设 (1))(x u n ∑在区间I 上一致收敛; (2)对于每一个)}({,x v I x n ∈是单调的；(3))}({x v n 在I 上一致有界,即对任意I x ∈和正整数n ,存在正数M ,使,|)(|M x v n ≤那么原级数在I 上一致收敛. 定理4[1]（狄利克雷判别法）（1）∑)(x u n 的部分和函数列)()(1x u x U nk k n ∑== )2,1( =n 在I 上一致有界；（2）对于每一个{})(,x v I x n ∈是单调的； （3）在I 上)(0)(∞→⇒n x v n , 则级数(2.1)在I 上一致收敛.定理5（比式判别法） 设()n u x 是定义在数集D 上的函数列,且()0n u x >, ,2,1=n 记)()()(1x u x u x q n n n +=，存在正整数N 和实数M q ,使得()1n q x q ≤<,()N u x M ≤对任意的N n >, x D ∈成立,那么函数项级数1()n n u x ∞=∑在D 上一致收敛.此定理的极限形式为：设)(x u n 为数集D 上的正函数列,)()()(1x u x u x q n n n +=,因为lim ()()1n n q x q x q →∞=≤<,且)(x u n 在D 上一致有界,则函数项级数)(1x un n∑∞=在D 上一致收敛.定理6[5]（根式判别法）设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列,若存在正整数N ,使1|)(|<≤q x u nn ,对∀Nn > ,D x ∈ 成立，那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛.该定理的极限形式为：设)(1x u n n ∑∞-为数集D上的函数列，()1n q x q =≤<,对D x ∈∀成立,有函数项级数在D 上一致收敛定理7[5](对数判别法) 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,若存在ln ()lim()ln n n u x p x n→∞-=那么(1)若对∀x D ∈,()1p x p >>，则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 非一致收敛；(2)若对∀x D ∈,()1p x p <<，则函数项级数)(1x u n n ∑∞=在D 上非一致收敛；定理8（端点判别法）设()n u x 在[,]a b 上单调(1,2,...)n =，若(),()n n u a u b ∑∑绝对收敛，则()n u x ∑在[,]a b 绝对且一致收敛。

关于正项级数敛散性判定方法的总结比较1. 引言1.1 介绍正项级数是数学中一个非常重要的概念，它在数学分析、实变函数论等领域都有着广泛的应用。

正项级数的收敛性质对于理解数学问题、解决实际问题都有着重要的意义。

在研究正项级数的收敛散性判定方法时，我们可以利用一些常用的方法来对其进行分析和求解。

在数学中，我们经常会遇到各种各样的级数，如调和级数、几何级数等。

这些级数的收敛性质可能相差甚远，有些级数可能收敛，而有些级数可能发散。

我们需要通过一些方法来判断一个级数是否收敛。

对于正项级数而言，有一些常用的判定方法，如比较判别法、根值判别法、积分判别法、对数判别法等。

本文将重点介绍正项级数的收敛散性判定方法，通过比较这些方法的特点和适用范围，帮助读者更好地理解正项级数的收敛性质。

希望本文能够为相关领域的研究者提供一些帮助，并为未来的研究工作提供一定的参考。

1.2 研究意义正项级数是数学中重要的研究对象，对其收敛和发散性进行判定具有重要的理论和实际意义。

正项级数的收敛性判定可以帮助我们了解无穷级数的性质，进一步推导出一些重要的数学定理和结论。

正项级数在实际问题中的应用十分广泛，比如在概率论、统计学、物理学等领域都有着重要的应用价值。

通过对正项级数的收敛性进行准确判断，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

研究正项级数的收敛性判定方法，可以拓展数学领域中的知识体系，丰富数学理论的内涵，推动数学学科的发展。

深入研究正项级数的收敛性判定方法具有重要的研究意义和实际应用价值。

1.3 研究现状正项级数是数学中重要的概念，其收敛性对于分析问题的解决具有重要的意义。

关于正项级数的收敛性判定方法，已经有许多经典的理论成果，这些方法在实际问题的解决中发挥着重要作用。

在研究现状方面，正项级数的收敛性已经得到了深入的研究和总结。

目前常用的级数收敛判定方法有比较判别法、根值判别法、积分判别法和对数判别法。

这些方法各有特点，能够适用于不同类型的正项级数，为研究者提供了多种选择。

正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。

判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。

一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。

2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。

二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。

三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。

四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。

五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。

这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。

同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。

唐山师范学院本科毕业论文题目正项级数敛散性的探究年级11数本1班专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2015年 4月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师胡洪池的指导下独立撰写完成的. 如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为 , 本人愿意承担由此产生的各种后果 , 直至法律责任 , 并愿意通过网络接受公众的监督 . 特此郑重声明 .毕业论文（设计）作者（签名）：2015年4 月28 日目录标题 ..................................................................1中文摘要 ..............................................................1 1引言 (1)2正项级数敛散性的基础判别法 (1)3正项级数其他一些判别法的探究 (3)3.1 以 p 级数1为比较级数建立的其他判别法 (3)n 1n p3.2以级数n15 2n(ln n) p为比较级数建立的其他判别法.......................4一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较. (8)4.1 以 p 级数n 11为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较8 n p4.2以 p 级数1建立的判别法与以等比级数aq n建立的判别法的比较 (9)n 1n p n04.3以级数1p为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较 . (10)2 n(ln n)n4.4以级数1p建立的判别法与以 p 级数12 n(ln n)n 1 np建立的判别法的比较 . 11 n5比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系 (12)6结束语 (14)参考文献 .............................................................15致谢 .................................................................16外文页 ...............................................................17正项级数敛散性的探究摘要：本文将通过回顾梳理关于正项级数的基础判别法，进一步讨论通过变换比较级数得到几个其他的使用范围更广的判别法，并且通过比较这些正项级数的判别法的应用范围及使用条件来得到他们之间强弱性的结论 , 最终给出判别正项级数敛散性的判别法在强弱比较上的一般结果：找不到收敛的最慢的级数，也就是说无最终判别法.关键字：正项级数敛散性判别法强弱比较To explore The Convergence and Divergenceof Positive Term SeriesAbstract This article will comb through the review on the basis of positiveseries discriminant method,further discussion by comparing transformationseries to get a few other criterion used is wider,and by comparing the criterionof positive series application scope and conditions of use to get the conclusionof weak sex between them,finally gives discriminant criterion of in positiveseries divergence on strength more general results:can not find the slowconvergence of the series,that is said,no final criterion.Key words Positive term series Convergence and divergenceDiscriminance Weak sex comparative1引言数项级数是数的加法从有限和到无限和的自然推广，判断级数敛散性的问题是级数的首要问题.其中正项级数尤为重要和特殊，在研究其他数项级数的敛散性问题时，常常归结为研究正项级数的敛散性 . 通过研究我们知道正项级数的敛散性判别法基本上都是用某些已知敛散性的正项级数作为比较级数来建立的，并且得到结论：相应于敛散速度慢的标准级数的判别法比相应于敛散速度快的标准级数的判别法使用范围更广. 甚至于，即使是以同一正项级数为比较级数的两个判别法的强弱性也不尽相同 . 并且，每种判别法又都有它的局限性，即判别法失效的问题. 在比较级数的选择上，通过研究我们知道，没有收敛的最慢的收敛级数，所以任何判别法都只能解决一部分级数收敛的问题，因此可以不断的发现新的，相对使用范围更广的判别正项级数敛散性的方法，我将结合自己对近年来人们提出的正项级数的判别法及其强弱性的简单理解和思考，对其做一个深入的探讨和总结.2正项级数敛散性的基础判别法基础判别法指的是通过比较通项来判敛的比较原则；以等比级数为比较级数建立的比式判别法、根式判别法；以及通过广义积分建立的积分判别法.定理 2.1( 比较原则 ) ：设u n 和 v n 是两个正项级数， 如果存在某正数 N ，（ 1）对一切 n N都有 u n v n ，则（ 1）若级数 v n 收敛，则级数u n 也收敛；（2）若级数u n 发散，则级数v n也发散 .推论：设u n 和v n 是两个正项级数，若 limu nl ，则：nv n（1） 当 0 l时，级数u n 和 v n 同时收敛或同时发散；（2） 当 l =0 时且级数 v n 收敛时，级数u n 也收敛； （3）当 l =且级数v n 发散时，级数u n 也发散 .利用级数收敛的定义已经知道了等比级数aq n ( a 0) 的敛散性，接下来的两个判别n 0法是以等比级数为比较级数建立的判别法.定理 2.2（比式判别法） ：设u n 为正项级数， 且存在某正整数 N 0 及常数 q(0 q 1) ，u n 1q ，则级数 u n 收敛 .（ 2）若对一切 n N 0 成 （ 1） 若对一切 n N 0 ，成立不等式u n立不等式u n 11，则级数u发散 .u nn推论：若u n 为正项级数，且 limu n 1q ，则（ 1）当 q 1时，级数u n 收敛；nu n（ 2）当 q 1 时，级数u n 发散 .定理 2.3 （根式判别法）：设u n 为正项级数，且存在某正数 N 0 及常数 l , （1）若对一切 n> N 0 ，成立不等式nu n l 1 ，则级数u n 收敛；（ 2）若对一切 n> N 0 ，成立不等式 n u n 1，则级数u n 发散 .推论：设u n 为正项级数， 且 lim n u nl ，则（ 1）当 l 1时，级数u n 收敛；（ 2）n当 l1时，级数u n 发散 .尽管比式判别法和根式判别法都是以等比级数为标准级数建立起来的，但是通过研究我们知道若 limu n 1q ，则必有 lim n u nq ，即说明根式判别法较之比式判别法更有效.nu nn2 ( 1)n如例：讨论级数2n的敛散性 .如果用根式判别法，有lim nu n lim n2 ( 1)n1，可知该级数时收敛的；若用比22nn31u 2n3 ，而 lim u 2 n 11，因此比式判别法式判别法，有 limlim22mlim 22 m 1nu2n 1n12nu 2nn3 622m 122m对于此问题失效了 .但是，这两个判别法仍有局限性，当出现“q 1 ”和“ l 1 ”时，这两个判别法就失效了 . 例如考察1 和 1这两个级数， 不论用比式判别法的极限形式还是根式判别法的nn 21是发散的，1时收敛的 .极限形式，可以发现他们的极限都是1，然而nn 2接下来的判别法是利用非负函数的单调性和积分的性质， 以反常积分为比较级数建立的积分判别法 .定理 2.4 （积分判别法）：设f (x) 为 1，上非负减函数，那么正项级数f (n) 与反常积分（fx ）dx 同时收敛或同时发散 .13 正项级数其他一些判别法的探究在上一节中，已经介绍了一些判别正项级数敛散性的基础判别法. 在这一节中，将继续通过变换比较级数的思想，再得到一些其他的判别正项级数敛散性的判别法.3.1 以 p 级数1 为比较级数建立的其他判别法n 1n p对于 p 级数1，设 f ( x)1 1 f ( x) 在n pp ，则 f (n)p ，可见不论 p 取何值，函数n 1xn1，上是一个非负减函数 . 那么由积分判别法可知：1p 与1 1p dx 是同时收敛或同n 1nx时发散的 . 由于无穷积分1p 1时发散 . 所以 p 级数11x p dx 当 p 1时是收敛的，当 n 1n p当 p1时收敛；当 p1时发散 .这一节中介绍三个以 p 级数为比较级数建立的判别法， 分别是拉贝判别法、 对数判别法和双比值判别法 .定理 3.1.1: （拉贝判别法） ：设u n 为正项级数， 且存在某正整数 N 0 及常数 r ，（ 1）若对一切 n> N 0 ，成立不等式 （n1-u n1） r>1，则级数 u n 收敛；（ 2）若对一切 n> N 0 ，u n成立不等式 （u n 1） 1 ，则级数 u n 发散 .n 1-u n推论：设u 为正项级数，且极限（1-un 1）=r 存在，则（ 1）当 r1 时，级nlim nu nn数u n 收敛；（ 2）当 r 1时，级数 u n 发散 .例 3.1.1：讨论级数1 3 （2n 1）1 的敛散性 .2 4 (2n)2n 1解：因为un 1n 1(2n)!! ( 2n 1)!! 2n 1n 1(2n 1)!! ( 2n 2)!! 2n 3u nn 1(2n 1) 2n( 6n 5)3 2)(2n 3)(2n 2)(2n3)2(2n所以由拉贝判别法可知级数收敛.ln1定理 3.1.2（对数判别法）：设正项级数a n 若 lima n q ，当 q 1 时，级数 a nln nn 1nn 1收敛；当 q1时，级数a n 发散 .n 1证明：当 q1时，可取0 ，使 q10 ，故存在自然数N ，使得当 n N 时，ln1a n 111 0，由此推知a n1(nN) ，从而a n 收敛， 同理可有0 ，故n1ln na nnn 1以考虑当 q1的情况 .推论：设正项级数a n ，且 lim n ln a nl ，则（ 1）当 l1时，级数收敛；（ 2）n 1nan 1当 l1时，级数发散 .证明：当 l 1 时，则存在 p1，使得 lp 1，由 lim n lna nl 知对 =l p0 存na n 1N 时，有 na nl l p pn在正整数 N ，使得当 n，由数列单调递增且() 11an 1nn1趋于 e 知对一切正整数n 有 1 e . 于是当 n N 时有 nnpppa n1 1n1 1a n 1 n n p ，而级数 n p 当 p 1时收a n 1nna nn 1(n 1) pn 1敛，所以级数n 1a n 收敛 .例 3.1.2 ：讨论级数n!( x 0) 的敛散性 .n 1 (x 1)( x 2) ( x n)解：anx n 1 1x ， lim n ln a nlim nln 1xx ，由对数判别a n 1n 1n 1 na n 1 nn 1法知当 x 1 时级数收敛；当x 1时级数发散；当 x1 时，由于级数1 是发散的，n 1所以原级数发散 .定理 3.1.3 （双比值判别法） ：设正项级数a n ，若 lima2 nlima2 n 1 l ，则当 l1n 1na nnan 12时级数a n 收敛；当 l1 时级数a n 发散 .2n 1n 1证明：当 l1 ，使得 l1 ，根据极限定义， 应有正整数 N ，时，可以选取正数r22使得当 nN 时，有a 2 nlr1 与 a2 n 1 lr1 ，又因为 0 r 1 ，可选a n2 a n 122实数 s 1，使得 r111b n112s 2 ，令 b nn s，则n 1n 1 n s，（因为s 1，级数n 1n s收s敛）且 imlb 2n 1iml n 11s，由极限的基本性质， 对充分大的 n 有b 2 n 1r 成立， nb n1n2n1 2b n1又因为 0r1b2 n 1b2 n 1 ra 2 n 1 2s，故有s ，对充分大的 n ，有下面的不等式成立an 1b n2bn 1和b2n1 ra2n，那么可知级数a n 收敛 .b n2sa nn 1例 3.1.3 ：讨论级数n 2的敛散性 .n 1e na2 n(2n)2 e n44解：e 2 n n 2 e 2 n n e ( 2 1) na n1 2 2 1a 2n 1(2n 1)2 e n 12 12 1 nnnan 12n121 n11 1e(n 1)1e 2n 1 n 1121nnenn故lima2 nlima2 n 11，由双比值判别法知级数收敛 .na n na n 123.2 以级数1为比较级数建立的其他判别法n 2n(ln n) p111p 取何值，对于级数n 2n(ln n) p ，设 f ( x)x(ln x) p，则f (n)n(ln n) p，可见不论函数 f ( x)1在 1，上都是非负减函数， 那么由积分判别法可知，1 与x(ln x) pn 2n(ln n) p1则1p dx 同时收敛或同时发散x(ln x)dx1p dx limu1x(ln x) 1x(ln x) pu. 令 t ln x ，此时无穷积分的上下限分别为0 和 ln u ，limln u dtlim(ln u)1 pt p1 p，此时 ln u 是趋向于uu的，所以当p时无穷积分1 p dx 收敛于 0，当 p 1 时1 p dx 发散，当11x(ln x)1x(ln x)p 1时，无穷积分也是发散的，所以，当p 1时级数1收敛，当 p 1时级数 n 2 n(ln n) p1发散 .n 2n(ln n) p本节中给出的三个常用的判别法，都是以1为比较级数建立起来的，它们分n 2n(ln n) p 别是新判别法、高斯判别法和拟对数判别法.定理 3.2.1 （新判别法）：设给定正项级数a n ，如果n 2lim ln n a n 1 lim ln n a n 1 1 r ln 2 2a 2 nln 2 2a 2 n 1 nnlim ln na n1 lim ln n a n11 r ln2 2a 2 nln 22a2 n 1nn，，则当 r 1时级数a n 收敛；当 r 1时级数a n 发散 .n 2n 2该定理的证明过程十分冗长复杂，由于篇幅所限，这里不再赘述.例 3.2.1：讨论级数1的敛散性 .( 1)nn 2ln(ln n )n3n证明：a n 3 ln ln( 2n)1 32 nln n2a 2 n1 ， n 为奇数；a n1 ln ln( 2n )1 32nln n2a 2 n11ln( 2n )1， n 为偶数 .an 12a 2 n 1an 12a2 n 1最终得到12n 12(n 31) 12n 12(n 31)limln na n n ln 2 2a 2n2n 1 n lnln n1 1，n 为奇数；1 1 ln ln( 2n )2n 1 n 1 ln n1，n 为偶数 .1limln nan 11 ln 3 且n ln 2 2a 2n 1limln na n1 limln nan 11 ln 3 ，由定理 3.2.1 nln 22a 2 nnln 22a 2 n1可知级数收敛 .定理 3.2.2 （高斯判别法）：设正项级数a n ，如果 lim (ln n) n 1an 11r，n 2na n则当 r1时，级数a n 收敛；当 r1时，级数a n 发散 .n 1n 1证明：若 r 1，则存在 s 1，使 rS 1，且存在自然数 N ，当 nN 时，有(ln n)n 1an 11s ，即an 11 11. 另外，记 b n 1 (s m 1) ，a na nnn(ln n)n(ln n) m则 b n 11 11 o1 ，故 an 1b n 1 ，从而由 b n 收敛，推知a n 收敛 .b nnn(ln n) n ln na nb n n 2 n2例 3.2.2 ：讨论级数10) 的敛散性 .( xn 1 (x 1)( x 2) ( x n)解：因为 n 1a n1n 1n 1nx，所以a nx n1x n1n 1an 11nx 1(x 1) n x1，这样的话a nx n 1x n 1lim (ln n) n 1a n 11lim (ln n)( x1)nx 1，由高斯判别法可知级数na nnxn11( x 0) 收敛.n 1 (x 1)( x 2) (x n)1ln定理 3.2.3 （拟对数判别法） ：设a n 是正项级数， 如果 lim na nq ，则当 q 1ln(ln n)n 2n时级数收敛；当q 1 时级数发散 .证明：当 q 1时，可取0 ，使得 q 1，由极限的保号性可知，存在自然数N ，1ln11当 nN 时，总有na n1，即 lnln(ln n) 1 ，所以(ln n) 1 ，由此ln(ln n)na nna n1，从而由1的收敛性及比较判别法知a n 收敛 . 当 q 1可得 a n2 n(ln n)1n(ln n)1nn 2ln1na n11时，存在自然数N ，对一切 n N 总有1于是 a n，而发散，n ln n n 2nln nln(ln n)从而a n 发散 .n 2例 3.2.3 ：讨论级数1(a1)的敛散性 .n 2na ( 1) nln(ln n)1)n解： lim(( ln(ln n)) ln a ln a ，由拟对数判别法，当a e 时 ln a 1 ，级数nln(ln n)1(a1) 收敛；当 a e 时 lna1 ，级数1( a 1) 发散 .( 1)nln(ln n)2na ( 1)nln(ln n )n 2nan4 一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较在上一节中，分别以 p 级数1和级数1 作为比较级数，又给出了判别正n 1 npn 2 n(ln n) p项级数敛散性的拉贝、对数、双比值、高斯、拟对数判别法以及新的判别法，自然会让人思 考这些新判别法相互之间的强弱关系，在这一节中，将具体给出这些判别法间强弱性的比较.4.1 以级数1 为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较n 1n p4.1.1 双比值判别法与拉贝判别法的比较命题 4.1.1 ：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用双比值判别法来判断，但反过来不成立，由此说明双比值判别法要强于拉贝判别法. 如下例：例 4.1.1 ：设有正项级数2 n ( 1) n，讨论其敛散性 .n 1解： lima 2 n( 1) n，且 lima 2n 1( 1)n 1lim 2 n 1 0 lim 2n 1 0 所以由双比值判别法知正na nn2nan 1n2n项级数2 n ( 1)n收敛 . 但是a n 12( 1)n 1 ，当 n 为奇数时，值为1，当 n 为偶数时，值a 28为 2，故极限 lim n 1a n 1不存在，因此不能用拉贝判别法来判断敛散性.na n4.1.2 对数判别法与拉贝判别法的比较命题 4.1.2 ：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用对数判别法判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于拉贝判别法. 如下例：例 4.1.2 ：设有正项级数3 ( 1)nln n，讨论其敛散性 .n 11ln( 1)nln n ln 3解： lima nlim，故级数3 ( 1)nln n收敛 . 但是，ln nln nln 3 1nnn1当 n 为奇数时，a n 12 lnn ；当 n 为偶数时，a n2 ln nn 11n1.故有33a na nlim n 1an 1，且 lim n1an 1，可见用拉贝判别法并不能判别级数n a nna n3 ( 1)nln n的敛散性 .n 14.1.3 对数判别法与双比值判别法的比较命题 4.1.3 ：能用双比值判别法判别的正项级数也一定能用对数判别法来判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于双比值判别法. 如下例：n例 4.1.3 ：讨论级数a ln n ( 1) (a 1) 的敛散性 .n 1解：当 n 为奇数时，a 2 naa n aln 2n ( 1)2 na ln 2 2 ；当 n 为偶数时，ln n ( 1)na 2n a a n aln 2 n ( 1)2 nln n ( 1)n aln 2. 故 lim a 2 n 不存在，从而双比值判别法失效，但是 n a nln 1ln aln n 1(ln n ( 1)n ) ln a ，由对数判别法可知：当lima na时，limlimenln n n ln nnln nln a 1 ，级数a ln n ( 1)n(a1) 收敛；当 a e 时， ln a 1 ，级数 a ln n ( 1)n (a 1) 发n1n 1散；当 ae时，a ln n ( 1)ne ln n ( 1)n为调和级数，故级数发散 .n 1n 1可见，例 4.1.3 是例 4.1.2 的一般形式， 但是不论用双比值判别法还是拉贝判别法都无法解决，显示出对数判别法的优越性.4.2 以 p 级数1 建立的判别法与以等比级数 aq n 建立的判别法的比较n 1 n pn 0关于两个正项级数敛散快慢比较的问题（同收敛或同发散），在许多著作中，通常都有这样一个定义：设正项级数a n 和b n 都收敛，如果 lim a n0 ，就称b n 比a n 收敛较慢；b nn设正项级数a n 和b n 都发散，如果 lim b n0 ，就称b n 比a n 发散较慢 .a nn所以，根据这个定义，我们来比较一下等比级数和p 级数的收敛快慢：设 a n rn1 ，则 lima nlimn plimpn p 1，如此连续， b np1 n1 n1nnb n n(r ) n ( r) ln(r )使用洛必达法则，可以发现该极限值为 0，那么，由上述定义可是， p 级数要比等比级数收敛较慢， 这样便说明了以 p 级数为比较级数建立起来的拉贝判别法， 要比以等比级数为比较级数建立的比式、根式判别法更加优越. 但是，尽管以 p 级数为比较级数建立的拉贝判别法相对比式判别法和根式判别法的使用范围变得广泛了，但当出现“r 1 ”时仍不能判断敛散性，所以，拉贝判别法也是有它的局限性的.1 3 （2n 1）s如例：讨论级数，当 s 1,2,3 时的敛散性 .2 4 (2n)1 3 (2n 1)(2n 1)s先用比式判别法： limu n12 4 (2n)(2n 2)2n 1snu n1 3 (2n 1)2n 22 4(2n)s，此时无论 s 为1,2,3 中的何值，该极限都是1，那么比值判别法失效了 .再用拉贝判别法：当s 1 时， n 1u n 1 n 1 2n 1n 1，级数发散；u n2n 22n 22un 12n 12n(4n 3)当 s1，所以可知此时拉贝判别法失 2 时， n 1n 1( 2n 2)2 u n2n 233，由拉贝判别法效；当 s 3时， n 1u n 1n 12n 1 n(12n 2 18n7)u n2n 2( 2n 2)32可知该级数收敛 .4.3 以级数1为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较n 2 n(ln n)p4.3.1 新判别法与高斯判别法的比较在第三节中，介绍了一种以级数1为比较级数建立的新判别法，这里我们把 n 2n(ln n) p命题 4.2.1 ：凡是能用高斯判别法判别敛散性的正项级数都能用这种新方法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知新判别法要强于高斯判别法. 如下例：例 4.2.1 ：讨论级数1的敛散性 .( 1)nn 2ln(ln n )3nna nn 1 11 ln ln( n 1)证明：由于3n 1 nln n，当 n 为奇数时；a n 1 na nn 1 1 1 ln ln(ln n)3 n 1 nln n，当 n 为偶数时 .a n 1 n因此可求得：lim (ln n) na n 1 1 且 lim (ln n) na n 1 1a na n 1n1n于是可见高斯判别法已经失效，但是， a n 3ln ln( 2n) 1 32 nln n2a 2 n1 ， n 为奇数；a n1 ln ln( 2n )1， n 为偶数 .1 3 2nln n2a 2 n11ln( 2n )a n 12a2 n 1a n 1 2a 2 n 1最终得到1 2n 1 32(n 1)12n 12(n 31)limln na n n ln 2 2a 2nln， n 为奇数；2n 1 n1ln n11 1 ln ln( 2n )2n 1 n 1 ln n1， n 为偶数 .1limln nan 11 ln 3 且n ln 2 2a 2n1limln na n1 limln nan 11 ln 3 ，由定理 4.2.1 可知级数收敛 .n ln 2 2a 2 nnln 2 2a 2 n14.3.2 ：拟对数判别法和高斯判别法的比较命题 4.2.2 ：能用对数判别法判别敛散性的正项级数也一定能用拟对数判别法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知拟对数判别法要强于对数判别法. 如下例：例 4.2.2：讨论正项级数1的敛散性 .n 2n 5( 1) nln(ln n)解：由于 ( 1)nln(ln n ) ln 5ln 5 1，由拟对数判别法知级数1limln(ln n)( 1) nln(ln n )nn2n 5收敛 .当 n 为奇数时，a nn 2 lnln n ；当 n 为偶数时，a n 1n 2 lnln n1ln( n 1)ln( n 1) ，n 3 3a n1a n n 1因此， lim (ln n) n 1a n11且 lim (ln n) n 1a n 11，可见，用高斯na nna n可见，例 4.2.2 是例 3.2.3 的一种特殊情况，它又一次说明了拟对数判别法的优越性.4.4 以级数1 建立的判别法与以 p 级数1 建立的判别法的比较n 2 n(ln n) pn 1 n p我们探讨 p 级数1 和级数 1 的收敛快慢：n 1 n p n 2 n(ln n) p设b n1， c n1，就 qp 1 的情形证明，先假设 qN ，于是有n p n(ln n) pb n n(ln n)q(ln n)qq(ln n)q 1 n 1，不断使用洛必达法则可得limlimplimp 1limp 2nc nnnnn n( p 1) n该极限为 0；若 qp 1 ，而 q N，此时有 0b n lim (ln n) qlim (ln n) q1limp 1p 10 ，nc nnn nn同样可求得极限为 0，这就说明了级数1 比 p 级数1收敛较慢 . 这样便说明了n2 n(ln n) pn1 np1p 级以级数 n 2 n(ln n) p 为比较级数建立的新判别法、高斯判别法和拟对数判别法，要比以 数1 为比较级数建立的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法要更加优越 .n 1 n p5 比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系在前面的讨论中，给出了以等比级数为比较级数建立的比式判别法，根式判别法；以p级数1为比较级数给出的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法；还有以级数n 1n p1为比较级数给出的新判别法， 高斯判别法和拟对数判别法 . 并且，将他们之间的n2 n(ln n)p强弱关系进行了比较，得到了一系列有用的结论，从中知道，由于级数 1比 p 级n 2 n(ln n) p数1 收敛的速度较慢，而 p 级数1比等比级数收敛的速度又慢，所以以级数 n 1 n p n 1 n p1 为比较级数建立的判别法相对于其他判别法使用范围更广，但并不是用这三个 n 2n(ln n) p判别法可以解决所有正项级数的敛散性问题， 这一节来讨论比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系 .1p 1时级数是考察级数n 1nln n(ln ln n) p，同样可以通过积分判别法说明这个级数当收敛的；当 p1时级数发散. 下面我们说明这个级数比级数1n 2n(ln n) p收敛速度较慢：设 a n1( p 1)，b n1q (q 1)，则n(ln n)p n ln n(ln ln n)lim a n n ln n(ln ln n)qlim(ln ln n) q，令 t ln n ，则 t，原式为b nlimn(ln n)p(ln n)p1n n n(ln t)q p(ln t )q 11p(ln t)q1lim lim t lim如此一直使用洛必达法则，便可t p 1( p 1)t p2( p1)t p1t t t得到这个极限为0，所以级数1要比级数1收敛速度慢 . 如果以n1n ln n(ln ln n)p n 2 n(ln n)p1级数n 1n ln n(ln ln n) p为比较级数得到了新的判别法，那么新的判别法一定比高斯判别法，拟对数判别法更优越 .沿此思路继续下去，级数1所建立的判别法使用范围便会更n1nln nln ln n(ln ln ln n)p广，这一过程可以一直继续下去. 下面我们证明没有收敛的最慢的级数：设a n是收敛的最慢的正项级数，构造级数a n，其中 r n 1是a n的第 n 1个rn 1n 1余式，即r n 1 a n a n 1 a n 2，正项级数a n是收敛的，由积分中值定理，有rn 1n 1rn 1 2 r n 1r nr n n dx a n a n rn , r n 1，故有xrn 12r k 1r k 2 r0r n 2 r0 (n)k 1n a n可见级数 2r k 1r k收敛，由比较原则可知，级数也收敛 .r n 1k1n 1其次，由 lim a n lim rn 10 可知级数a n较a n收敛的慢.a nn nn 1r n 1rn 1同理可证，也没有发散的最慢的正项级数. 这样，便说明了如果正项级数的判别法时以某一个收敛的级数为比较级数建立的，那么无论它的使用范围再广泛，也有它不能判别的正项级数，只有那些级数的通项收敛于0 的速度比这一作为标准的级数收敛于0 的速度快时，判别法才有效，但是，如上面讨论，我们可以沿这一思路，不断得到使用范围更广泛的新判别法，以解决更多的问题.6结束语以上对正项级数的讨论便是我本篇论文的全部内容，文章系统地梳理总结了一系列判别正项级数的判别法，它们有严格的分类标准，为我们提供了更多的思考解决正项级数敛散性问题的方法，另外，这些判别法的使用范围也不尽相同，通过对比以同一比较级数、不同比较级数建立的判别法，得到了它们之间强弱性的关系，并且得到了比较级数的收敛速度于正项级数判别法强弱性的关系，说明了不存在收敛的最慢的级数这一事实. 再去解决正项级数敛散性的问题，选择判别法时，便有了优先考虑，先主后次的指导方法.参考文献：[1]华东师范大学数学系编著 . 数学分析第四版 [M]. 北京 : 高等教育出版社， 2010[2]复旦大学数学系编著 . 数学分析第二版 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2006[3]刘红玉 . 正项级数敛散性判别法的综合探究[J] ．安徽广播电视大学学报， 2013.9[4]杨钟玄 . 正项级数敛散性的又一新判别法[J]. 贵州师范大学学报， 2005.11[5]杨钟玄 . 对正项级数敛散性判别法的关系的一些探讨[J]. 新疆大学学报， 2002.8[6]高军 . 谈谈几种正项级数敛散性判别法的比较[J].数学通报， 1994.12[7]丁勇 . 几种正项级数敛散性判别法的比较[J] ．数学通报， 1998.11[8]朱江红，高红亚 . 几种正项级数敛散性判别法的强弱性比较[J]. 沧州师范专科学校学报，2004.6[9]李铁烽 . 正项级数敛散性的一种新的比值判别法[J]. 数学通报， 1990.1[10]俞文辉 . 级数的收敛速度与正项级数判别法的关系[J]. 江西科技师范学院学报， 2005.8致谢本论文的研究工作是在胡洪池老师的精心指导和帮助下完成的. 无论是论文题目的选择还是论文的结构框架与文字推敲, 胡老师始终都给予细心的指导, 提出了宝贵的意见. 这些都使得本人深受启发、受益匪浅 . 在这个过程中胡老师一丝不苟的作风, 严谨求实的态度, 踏踏实实的精神对我影响深远 . 使我学到了扎实、宽广的专业知识, 树立了远大的学术目标 , 掌握了基本的研究方法.在此我要向胡老师致以衷心的感谢和深深的谢意.本论文的顺利完成 , 离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助 . 在此 , 向所有关心和帮助过我的老师、同学和朋友表示由衷的谢意 .最后 , 衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位专家、老师.。

正项级数收敛收敛判别法摘 要：级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数敛散性的方法很多，判别正项级数敛散性的方法很多，本文主要讨论了正项级数的判别本文主要讨论了正项级数的判别法一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤并阐述一些正项级数判别的新方法. 关键词：正项级数、收敛、判别法Abstract : Higher Mathematics series i s is is an an an important part of important part of t eaching, teaching, teaching, The series of The series of positive terms is an important series Part, Positive identification of Convergence and Divergence of many ways, This paper discusses the positive series of distinguishing a number number of of of sub-features, sub-features, sub-features, and and and determine determine determine the the the positive positive positive series series series for for for convergence convergence convergence of of of the the general steps. and presents a number of positive series of new methods of identification.Key words : Positive series; Convergence; Discriminance;引言数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广..但在作加法运算时，许多有限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变..首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果..也就是说，一个级数可能是收敛或发散的能是收敛或发散的..因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题. .教材和很多文献已经给出了关于级数敛散性的判别方法，但实际应用中往往会遇到这样的问题：对于一个给定级数，应采用哪种判别法才能快速而又简洁的判定它的敛散性呢？即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握判定它的敛散性呢？即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握..本文就这一问题做了一些总结和讨论一问题做了一些总结和讨论..1 正项级数的定义和收敛的充要条件1.1正项级数的定义如果级数1n n u ¥=å中各项均有0n u ³,这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数..1.2 正项级数收敛的充要条件如果级数1n n u ¥=å中，部分和数列{}n S 有界，即存在某正数M ，对0,n ">有{}n S M<. 2 正项级数判别法2.1 比较判别法【【 1 1】】设n u å和n v å是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对一切n>N 都有n u n v £，那么，那么(1) 若级数n v å收敛，则级数n u å也收敛；也收敛； (2) 若级数n u å发散，则级数n v å也发散. 比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式： 设n u å和nvå是两个正项级数.若lim n nnu l v ®¥=，则，则（1）当0l <<+¥时，n u å和n v å同时收敛或同时发散；同时收敛或同时发散； （2）当0l =时，若级数nvå收敛，则级数nuå也收敛；也收敛；（3）当l =+¥，若级数n v å发散，则级数n u å也发散. 2.2 比式判别法【２】设为n u å正项级数，且存在某正整数0N 及常数(01)q q << （1） 若对一切0n N >，成立不等式1n nu q u +£，则级数nu å收敛；收敛；（2）若对一切0n N >，成立不等式11n nu u +³，则级数nu å发散. 比式判别法的极限形式比式判别法的极限形式 若为n u å正项级数，则正项级数，则 （1）当1lim1n n n u u +®¥<时，级数nu å收敛；收敛；（2）当1lim1n n nu u +®¥³时，级数nu å发散. 2.3 根式判别法【【22】】设为n u å正项级数，且存在某正整数0N 及常数l（1） 若对一切0n N >，成立不等式1nn u l £<，则级数n u å收敛；收敛；（2） 若对一切0n N >，成立不等式1nn u ³，则级数n u å发散；发散；根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式: :设n u å是正项级数，且lim n n nu l ®¥=，则，则 （1） 当1l <时，则级数n u å收敛；收敛； （2） 当1l >时，则级数n u å发散. 2.4 积分判别法设()f x 为[1,)+¥上非负递减函数，那么正项级数()f n å与反常积分1()f x dx +¥ò同时收敛或同时发散.2.5 Raabe 判别法【 1】设naå为正项级数(0)na >，且则111(),()n n a lo N a n n+=++®¥ （1）当1l >时，级数n a å收敛；（收敛；（22）当1l <时，级数n a å发散. 1) 11++对数第二判别法的证明对数第二判别法的证明(1)当1l >时，则存在1p >，使1l p >>，由1lim lnn nn a n la ®¥+=知，对0l p e =->存在正整数N ，使得当n N >时，有时，有1()n n a l l p p a +>--=，即ln1p n n a ea +>. 由数列1(1)n n ìü+íýîþ单调递减且趋于e 知对一切正整数n有1(1)ne n +<于是当n N >时有时有11111(1)(1)(1)pn n p pnn n n a a an n a n ++éù>+=+Û<+êúëû而无穷级数11p n n¥=å，当时1p >收敛，故由引理3知当1l >时，级数n a å收敛收敛. . (2)当1l <时,存在正数1,2p p ，使1l p q <<<，由1l i m l nn n n a n la ®¥+=知，对0l p e =->存在正整数1N ，使得当1n N >时，时， 有1n n a a +< ()l p l p +-=，即ln ln 1p p n n q q nnn n a e ea +<< 根据qe e <且1lim (1)nne n®¥+=知，存在正整数2N ，得当2n N >时有时有 1(1)n qen+>. 取{}12max ,N N N =，则当n N >时有ln ln 1p p n n q q nnn n a e ea +<<11111(1)(1)n n n n a n n a n +éù<+=+Û>êúëû而调和级数1nå是发散的，故由引理3知当1l <时，级数n a å发散. 2.5.3 第二对数判别法和Raabe 判别法的等价性既然第二对数判别法和既然第二对数判别法和Raabe Raabe Raabe判别法都是以判别法都是以判别法都是以p p 一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什么内在的必然的联系呢那么它们之间有什么内在的必然的联系呢??下面我们将证明第二对数判别法和Raabe Raabe判别法是等价的．我们有：判别法是等价的．我们有：判别法是等价的．我们有：定理定理 数列数列n a 是正数列，则1lim lnn n n a n l a ®¥+=充要条件是111(),()n n a lo n an n +=++®¥. 证明证明 （充分性）若111(),()nn a lo n an n +=++®¥.由引理1有11()11ln ln 1()(),()11()n n lo a l l n n o o n l a n n n no n n ++éù<=++<+®¥êúëû++ 111()ln (),()11()n nn n l no a a n n n l no n l a ao n n+++Þ<<+®¥++ 对上式取极限，可得1lim lnn n n a n l a ®¥+=. （必要性）若1lim lnn n n a n l a ®¥+=，有,1ln(0,)n n n n a n l n a e e +=+®®¥，于是有，于是有,11ln (0,),exp()n n n n n n n a a l l n a n n a n ne e e ++=+®®¥Þ=+，(0,)n n e ®®¥ 1lim exp()1lim (1)n n nn n l an n n l a ne ®¥®¥+éù+-êúëûÞ-==1111(1),(0,),11(),()nn n nn n n n n a a a l l n l n o n a a a n n n ne e e+++Þ-=+®®¥Þ==++=++®¥由定理可知，第二对数判别法是由定理可知，第二对数判别法是Raabe Raabe Raabe判别法的等价变形，因而将第二对数判别法的等价变形，因而将第二对数判别法称为判别法称为Raabe Raabe Raabe对数判别法更合理一些．对数判别法更合理一些．对于有的正项级数有对于有的正项级数有Raabe Raabe Raabe对数判别法对数判别法是很方便的是很方便的. .应用举例应用举例 例1 1!2!!2!n n u n ++=分析：本题无法使用根式判别法与比式判别法，本题无法使用根式判别法与比式判别法，因此选择比较判别法进行判因此选择比较判别法进行判断.!10,()!(1)(2)(1)(2)(21)(2)n n n n u n n n n n n n n <£=<®¥++-且级数11(21)(2)n n n ¥=-å收敛收敛所以级数收敛所以级数收敛. . 例2112(1)(1)(1)nn n a a a a ¥=+++å分析：分析：本题无法使用根式判别法、本题无法使用根式判别法、本题无法使用根式判别法、比式判别法，比式判别法，比式判别法，或比较判别法以及其他的判或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断别法进行判断，因此选用充要条件进行判断11211211(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n n n u a a a a a a ¥=-=-++++++å111212111(1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n n n n a S a aa a a a ¥¥====-<++++++åån S 单调递增且有界单调递增且有界所以级数收敛所以级数收敛. . 例3 1ln n p u n n=分析：本题分母含有ln n 的表达式，优先选择积分判别法的表达式，优先选择积分判别法2(1)nnnn u +-T所以1n n u ¥=å收敛时，212nn n u ¥=å也收敛也收敛. .命题1（隔项比值法）设正数列{}n u 单调递减，且单调递减，且2limn n nu u r®¥=.若12r <，则级数1n n u ¥=å收敛收敛.. 证明证明 当当21lim2n n nu u r ®¥=<时，有22lim21nn nuu r ®¥=<.现取现取2,kn k N=Î，就有，就有112.222222lim21lim212kk kkk kn n u u u u r r ++®¥®¥=<Þ=<上式正是正项级数上式正是正项级数12220222kkk k k u u u k u k ¥==++++å第k+1项与第k 项之比的极限，由比式判别法的极限形式可知212nn n u ¥=å收敛，收敛，再由引理可知1n n u ¥=å收敛收敛. .例1 1 判断正项级数判断正项级数21ln n n n¥=å的收敛性的收敛性. .证明证明 因为221ln(1)limlim1ln (1)n n n nu n n u nn +®¥®¥+==+可见比式判别法失效，现2ln n n ìüíýîþ单调递减，改用隔项比值法求解单调递减，改用隔项比值法求解. .222ln(2)11limlimln 42(2)n n n nu n n u nn ®¥®¥==<由此可知级数21ln n n n¥=å收敛收敛. .命题2 设正数列{}n a 单调递减，且2lim n n na na r ®¥=，若12r <，则正项级数1n n a ¥=å收敛收敛证明证明 记222,2,kkk k k k u a v u k N ==Î，由引理可知n a å与k u å同时收敛同时收敛ku å与kv å同时收敛，故na å与kv å同时收敛，在2l i m n n na na r®¥=中令22kn =k N Î，就有，就有1122221222(2)2222222222k kk kk kkkkn naaa u naaua+++===11122211..222k k k k k ku vu v +++==再令n ®¥即得证. 例2 证明级数的221ln n n n¥=å收敛性收敛性证明证明 设21ln n u n n=，因为正数列{}n u 单调递减，且有单调递减，且有222222ln 11lim limln 42n n n nu n n nu n nr ®¥®¥===<由命题2知221ln n n n¥=å收敛收敛. . 4 总结与展望数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分，级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，在实际生活中的运用也较为广泛，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断. 判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，则根据其特点选择适用的方法，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、如比值判别法、如比值判别法、根式判根式判别法.当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法判别法.当无法使用根式判别法时，当无法使用根式判别法时，通常可以选用比式判别法，通常可以选用比式判别法，通常可以选用比式判别法，当比式判别法也无法使用当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种正项级数收敛性判断的方法虽然较多，正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，但使用起来仍有一定的技巧，但使用起来仍有一定的技巧，根据不根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，比较这些方法的不同特点，比较这些方法的不同特点，总结出一些典总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径. 由于时间仓促，由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，本文尚有许多不足之处，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，欢迎大家提出意见和建议，欢迎大家提出意见和建议，同时希同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解. 参考文献[1] 陈欣 关于数项级数求和的几种特殊方法关于数项级数求和的几种特殊方法 .[J] . .[J] . .[J] . 武汉工业学院学报，武汉工业学院学报，2002，4. [2] 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法数学分析原理与方法 [M] [M].北京：科学出版社，2008，5 [3] 吴良森等编著. 数学分析习题精解数学分析习题精解 [M] . 北京：科学出版社，2002，2. [4] 胡洪萍胡洪萍 数列与级数敛散性判别定理[J] 西安联合大学学报，西安联合大学学报，200420042004，，2[5] B.A 卓里奇编著，蒋锋等译. 数学分析数学分析 [M].北京高等教育出版社，2006，12 [6] 夏学启. 贝努利数的简明表达法贝努利数的简明表达法 [J] . [J] . 芜湖职业技术学院学报，芜湖职业技术学院学报，2006，2 [7] 周应编著. 数学分析习题及解答数学分析习题及解答 [M] . [M] . 武汉：武汉大学出版社，武汉：武汉大学出版社，2001，8 [8] 陈纪修，于崇华，金路编著. 数学分析下册数学分析下册 [M][M] . 北京：高等教育出版社，2000，4 。

本科生毕业论文(设计)题目（中文）：正项级数敛散性的判断及其应用（英文）：The Convergence Tests and Applicationfor Series of Positive Terms学生姓名：学号：系别：专业：指导教师：起止日期：2011年 5月 8 日作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议.除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果.对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明.本声明的法律结果由作者承担.本科毕业论文（设计）作者签名：年月日目 录摘 要 ...............................................................................................................................I 关键词 .............................................................................................................................I Abstract ...........................................................................................................................I Key words .......................................................................................................................I 1 前言 ............................................................................................................................ 1 2 比较判别法及其推广 (3)2.1 以等比级数为比较对象而得的判别方法 ...................................................... 4 2.2 以p 级数∑∞=11n pn为比较对象而得的判别方法 ............................................... 9 2.3 以()11ln pn n n ∞=∑为比较对象的判别法 (14)2.4 库默判别法 .................................................................................................... 16 2.5 三个结论 ........................................................................................................ 18 3 积分判别法 .............................................................................................................. 20 4导数判别法 ............................................................................................................... 22 5 两种一般项级数收敛性的方法 (23)5.1 阿贝尔判别法 ................................................................................................ 23 5.2 狄利克雷判别法 ............................................................................................ 24 6 结束语 ...................................................................................................................... 25 参考文献 ...................................................................................................................... 26 致 谢 ............................................................................................................................ 28 附录 (29)正项级数敛散性的判断及其应用摘要正项级数是一类重要级数,而敛散性问题级数理论的一个基本问题.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法，一些著名的判别法如柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法、库默判别法、高斯判别法可由比较判别法得到；简单介绍了它们强弱性关系；给出了典型例题验证上述判别法的有效性.关键词正项级数；判别法；敛散性The Convergence Tests and Applicationfor Series of Positive TermsAbstractPositive terms series is an important kind of series, and convergence and divergence are the basic problem for them. This paper has summarized a variety of convergence judge methods for positive terms series, including comparison principle and its extension, integrated judge method and its extension, derivate judge method and judge methods of general series, some famous tests such as Cauchy Test, D’Alembert Test, Kummer Test and Gauss Test come from Comparison principle; given a brief introduction of their week and strong relationship of convergence, set examples for identifying the effectiveness of these judge methods.Key wordspositive terms series; judge methods; convergence1 前言历史上，人们曾把无穷个实数相加12n u u u +++ 看成无穷个数的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在《庄子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：2311112222n ++++ ， 从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”111111-+-+-的和是多少？如果写成()(11)11(11)00-+-+-=++其结果是0.如果写成1(11)(11)(11)100------=---其结果是1.两个结果完全不同.因此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”？如果存在,“和”是多少？十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前n 项和形成一个数列12341,0,1,0,S S S S ==== ，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平均数01122+=为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然111111-+-+- 是一个数，记为S ，由于11(1111)1111S S -=--+-+=-+-+= ，即为1S S-=，得12S =.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：23111q q q q++++=- ，把1q =-代入得到111+112=--+ ，他用同样的讨论得到其他的一些结果.例如把2q =-代入得112483=-+-+ ，而这些结果现在看起来都是荒谬的.后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数---正项级数.定义在区间I 的函数项级数()1n n u x ∞=∑，当在I 内任意取定一点0x 时, 便得到一个数项级数.自然,对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass 判别法(M 判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性.近年来新的有效的判别法不断被提出，比如高斯判别法、对数判别法、比值判别法[]2],[3],[4的推广等，这些新的判别法克服了经典判别法的一些缺点，判别范围更广、更有效.本文介绍了正项级数敛散性判断的多种方法.文章分为四部分内容：比较判别法及其推广，积分判别法，导数判别法及两种一般项级数的判断方法.比较判别法是正项级数敛散性重要的判断方法，分别以等比级数、p 级数及()11ln pn n n ∞=∑为比较对象，得到了达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法、高斯判别法等，上述三级数通项级数通项收敛于零的速度依次变慢，因此所得判断方法范围更广泛. 2 比较判别法及其推广引理2.1[]1（比较判别法） 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 为正项级数,且存在某正整数N ，当N n >时，都有n n v u ≤，(1)若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)若级数∑∞=1n n u 发散,则级数∑∞=1n n v 发散.引理2.2[]1（比较判别法推论） 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 为正项级数,当n充分大后,有n n n n v v u u 11++≤或11++≥n n n n v vu u ,(1)若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)若级数∑∞=1n n u 发散,则级数∑∞=1n n v 发散.引理2.2是比较判别法的一个推广.其改进是当n 充分大以后,只要0→n u 的速度快于0n v →,就可得到相应的结论.改进的条件n n n n v v u u 11++≤，亦即11n n n nu u v v ++≤，意味随着项数n 的增大两级数对应项之比越来越小即可,并不要求始终有严格意义上的n n v u ≤.引理2.3[]2（比较判别法的推广） 两个正项级数∑∞=1n n a 和1n n b ∞=∑，存在正整数N ，当N n >时，不等式n n n n b b a a 22≤，n n n n b b a a 1212++≤成立，若1n n b ∞=∑收敛时，则∑∞=1n n a 收敛；若∑∞=1n n a 发散时，则1n n b ∞=∑发散.推论2.1[]3 两个正项级数∑∞=1n n a 和1n n b ∞=∑，存在正整数N ，当Nn >时，不等式()110,1,2,1kn i kn in na bi k a b ++++≤=- 成立，若1n n b ∞=∑收敛时，则∑∞=1n n a 收敛；若∑∞=1n n a 发散时，则1n n b ∞=∑发散.2.1 以等比级数为比较对象而得的判别方法定理2.1[]1（达朗贝尔判别法或比值判别法） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及常数q ()10<<q ，(1)若对一切0N n >，不等式q u u n n ≤+1成立，则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)若对一切0N n >，不等式11≥+n n u u 成立，则级数∑∞=1n n u 发散.推论2.2[]1（达朗贝尔判别法的极限形式） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且1limn n nu q u +→∞=，则 (1)当1<q 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1>q 或∞=q 时，级数∑∞=1n n u 发散.推论2.3[4]设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ,(1)若对一切0N n >，不等式1nn n u q e u +⎛⎫≥> ⎪⎝⎭成立，则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)若对一切0N n >,不等式1nn n u e u +⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，则级数∑∞=1n n u 发散. 证明 当0N n >时，1nn n u q e u +⎛⎫≥> ⎪⎝⎭，由于q e >，取()1q e αα=>两边取对数有1ln 1nn u q u α+≥=>，由达朗贝尔判别法知∑∞=1n n u 收敛，当0N n >时，由1nn n u e u +⎛⎫< ⎪⎝⎭可得11nn u u +<，由达朗贝尔判别法知∑∞=1n n u 发散. 例2.1 讨论级数()()()()()()()1111110,0,0!11n n n n n αααβββαβγγγγ∞=++-++-+>>>++-∑的敛散性.解 令()()()()()()1111!11n n n u n n αααβββγγγ++-++-=++- ，则()()()()111111lim lim lim 11n nn n n n n n n n n n n u e e n n e u n n e e n n γγαβαβγγαβαβ+--→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎡⎤++⎛⎫⋅⎝⎭⎝⎭====⎢⎥ ⎪++⋅⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以,当11γαβ+-->时，即0γαβ-->时，∑∞=1n n u 收敛，故原级数收敛；当11γαβ+--<时，即0γαβ--<时，∑∞=1n n u 发散，故原级数发散.例2.2 讨论级数1!nn n n n e∞=∑的敛散性.解 令!nn n nu n e =，()()1111!!111nnnn n n n n n nn n e u n e H u n e n n ++⎡⎤⎢⎥⎡⎤+⎛⎫⎢⎥==⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥+⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则 ()()()20001ln 111lim ln lim 1ln 1lim1ln 11ln 1lim lim 11lim 212n n n n x x x n n H n n n nx x x x x x x →∞→∞→∞→→→⎛⎫+ ⎪⎝⎭-⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+--+====+. 则12lim n n H e e →∞=<，由推论2.3得级数1!nn n n n e∞=∑发散. 在例2.2中有()1111n nn u en u n +=→→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由达朗贝尔判别法无法判断.而由推论2.3的证明知，当0N n >时，1nn n u q e u +⎛⎫≥> ⎪⎝⎭，有1ln 1n n u q u α+≥=>，由1nn n u e u +⎛⎫< ⎪⎝⎭可得11nn u u +<，故推论2.3优于达朗贝尔判别法.定理2.2[]1（柯西判别法） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数l ,(1)若对一切0N n >，不等式1<≤l u nn 成立，则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)若对一切0N n >，不等式1≥n n u 成立，则级数∑∞=1n n u 发散.推论2.4[]1（柯西判别法的极限形式） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且n l =.则(1)当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散.定理2.3[]2 设∑∞=1n n u 为正项级数，若2211limlim n n n n n n u uu u ρ+→∞→∞+==，则当21<ρ时，∑∞=1n n u 收敛;当21>ρ时，∑∞=1n n u 发散.证明 当21<ρ时，取0>ε，使()121><=+s r sερ，则 212n s n u r u ρε<+=<，21112n s n u r u ρε++<+=<.取snn b 1=，则21111lim lim 212sn s n n n b n b n +→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭，21lim lim 22sn s n n n b n b n →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭，由极限保号性得r b b n n >++112， 2nn b r b >，故112112++++>n n n n u u b b ，n n n n u u b b 22>，而∑∞=1n n b 收敛，由引理2.3知∑∞=1n n u 收敛；当21>ρ时，由2211lim lim n n n n n n u uu u ρ+→∞→∞+==，对任意的0ε>当n 充分大时，有2n n u u ρερε-<<+与211n n u u ρερε++-<<+，取11-=n b n ，则2111limlim 22n n n n b n b n +→∞→∞+==，211lim lim 212n n n nb n b n →∞→∞-==-，对任意的0ε>当n 充分大时，有2111122n n b b εε++-<<+与21122n n b b εε-<<+，取1202ρε-<<，则当n 充分大时，有22n n n n b u b u <，212111n n n n b u b u ++++<，由引理2.2知∑∞=1n n u 发散. 例2.3 判断正项级数21ln n nn ∞=∑的敛散性. 解 ()()212ln 1lim lim 11ln n n n nn n a a n n +→∞→∞+==+，故由达朗贝尔判别法无法判断，而()()222ln 211lim lim 422ln n n n n n n a a n n →∞→∞==<，()()()()221211ln 2111lim lim 4221ln 1n n n n n n a a n n +→∞→∞+++==<++，由定理2.3得21ln n nn∞=∑收敛. 推论2.5[]3 设∑∞=1n n u 为正项级数，若()1lim0,1,21kn in nu i k u ρ-+→∞==- ,当k 1<ρ时，∑∞=1n n u 收敛，当1k ρ>时，∑∞=1n n u 发散.推论2.6[]3 设∑∞=1n n u 为正项级数，若1lim1n n n u u +→∞=且2lim n n nuu ρ→∞=，则当21<ρ时，∑∞=1n n u 收敛；当21>ρ时，∑∞=1n n u 发散.例2.4 判断级数()1!0nn x n x n ∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 令!nn x a n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1lim lim 11n n n n nn a x x a e n +→∞→∞→∞==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当x e >时，由达朗贝尔判别法，级数发散；当x e <时，由达朗贝尔判别法，级数收敛；当x e =时，由stirling公式，()12!01nnn n e e θθ⎫=<<⎪⎭，且()222242412222!22!nnnn nnn n n nn nx n x n e x n e n e e x n x n e n e n a a θθθ-⎛⎫⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⎪⎭⎛⎫⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭即2lim 1nn na a →∞=>，由推论2.5知级数发散.推论2.7[]3 设∑∞=1n n u 为正项级数，且1limn n nu u ρ+→∞=，若1<ρ,则2211limlim 0n n n n n n u u u u +→∞→∞+==；若1>ρ，则2211lim lim n n n n n n u uu u +→∞→∞+==+∞. 推论2.7说明定理2.3更优于达朗贝尔判别法，对于一些正项级数其通项收敛于零的速度慢于等比级数，可以用定理2.3和它的推论进行判断.2.2 以p 级数∑∞=11n pn为比较对象而得的判别方法 定理2.4[]1（拉贝判别法） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数r ,(1)若对一切0N n >，不等式111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+r u u n n n 成立，则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)若对一切0N n >，不等式111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n 成立，则级数∑∞=1n n u 发散. 推论2.8[]1（拉贝判别法的极限形式） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且极限r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim 存在，则(1)当1>r 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1<r 时，级数∑∞=1n n u 发散.例2.5 讨论级数()()1321242sn n ⎡⎤⋅-⎢⎥⋅⎣⎦∑ 当时的敛散性.解 无论1,2,3s =哪一值，都有1lim1n n na a +→∞=，所以用达朗贝尔判别法无法判断.现在用拉贝判别法讨论，当1s =时，由于()121111122222n n u n n n n n u n n +⎛⎫+⎛⎫-=-=→<→∞ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以级数是发散的.当2s =时，由于()()()21243211112222n n n n u n n n n u n n +⎡⎤+⎛⎫+⎛⎫-=-=<→∞⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 由推论3知级数发散，当2s =时，()()()23131218721311122222n n n n n u n n n n u n n +++⎡⎤⎛⎫+⎛⎫-=-=→>→∞⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以级数收敛.推论2.9[]5（拉贝判别法的等价形式） 设∑∞=1n n u 为正项级数，且r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→1lim 1， 则(1)当1<r 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1>r 时，级数∑∞=1n n u 发散.定理2.5[]6 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数s ,(1)若对一切0N n >，不等式1ln 1nn u n s u +≥>成立，则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式1ln 1nn u n u +<成立，则级数∑∞=1n n u 发散.证明 (1)由1ln 1n n u n s u +≥>，可得111ln ln 1ln 1sn n u s s u n n n +⎛⎫⎛⎫≥≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()111111ss n n su n u n n +⎛⎫≥+=⎪⎝⎭+，而()111>∑∞=s n n s 收敛，由引理2.2得∑∞=1n n u 收敛.(2)由1ln1n n u n u +<得111ln ln 1n n u u n n +⎛⎫<<+ ⎪⎝⎭，即111111+=+<+n n nu u n n，而∑∞=11n n 发散，由引理2.2得∑∞=1n n u 发散. 例2.6 讨论级数1!nn n n n e∞=∑的敛散性.解 令!nn n n u n e=，而()()()1111!1!111n n n n n nn n e u n en u n e n n ++++=⋅=→→∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则用达朗贝尔判别法无法判断，现用定理2.5考虑.()()10201lim lnlim ln lim 1ln 1111ln 11ln 111lim lim 1ln 1lim 01n n n n n n n x x u e n n n n u n n n x n x x nx x x→∞→∞→∞+→∞→→⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭-+-==-+==< 则当n 充分大时有1ln 1n n u n u +<，由定理2.5得1!nnn n n e∞=∑发散. 定理2.6[]7 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ,(1)若对一切0N n >，不等式1ln1ln nu q n ≥>成立，则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)若对一切0N n >，不等式1ln1ln nu n ≤成立，则级数∑∞=1n n u 发散. 证明 (1)由1ln1ln n u q n ≥>可得1ln ln ln q nq n n u ≥=，即q n n u 1≤，而()111>∑∞=q n n q 收敛，由引理2.2得∑∞=1n n u 收敛.(2)由1ln1ln n u n ≤得1n u n ≥，由引理2.2得∑∞=1n n u 发散. 例2.7讨论级数21n ∞=.解令2n u =，则()21lnln 2ln ln ln n u n n n n n==-→+∞→∞，则存在正整数1M >，使1ln1ln n u M n >>，由定理2.6得级数21n ∞=. 定理2.7[]8 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ，(1)若对一切0N n >，不等式111lnln1ln(1)ln n nu u q n n +-≥>+-成立，则级数∑∞=1n nu 收敛;(2)若对一切0N n >，不等式111lnln 1ln(1)ln n nu u n n +-≤+-成立，则级数∑∞=1n n u 发散.证明 (1) 由111lnln1ln(1)ln n n u u q n n +-≥>+-得111ln ln 1ln 1qn n u q u n n +⎛⎫⎛⎫≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()qq qn n n n n u u 111111+=⎪⎭⎫⎝⎛+≥+，而()111>∑∞=q n n q 收敛，由引理2.2得∑∞=1n n u 收敛.(2) 由111lnln1ln(1)ln n nu u n n +-≤+-，得11l n l n1n n u u n +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，即111111+=⎪⎭⎫⎝⎛+≥+n nn u u n n而11n n ∞=∑发散，由引理2.2得∑∞=1n n u 发散. 例2.8 设()()ln 11ln ln n na n n =>，讨论级数1n n a ∞=∑的敛散性.解()()()()ln 11ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln nnn a n nn n n n n n n-=⋅⎡⎤⎣⎦==→+∞→∞⎡⎤⎣⎦，则存在正整数1M >，当n 充分大时，有1ln1ln na M n>>，由定理2.6可得1nn a∞=∑收敛.2.3 以()11ln pn n n ∞=∑为比较对象的判别法定理2.8[]9（高斯判别法） 设∑∞=1n n u 为正项级数满足1111ln ln n n u p o u n n n n n +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()∞→n ， 则(1)当1>p 时，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)当1<p 时，级数∑∞=1n n u 发散.证明 取()1ln n sv n n =，()()()111ln ln 1ln 11ln 111111ln ln ln 111111111ln ln ln ln 111ln l s ss n sn sn n n v n n v n n n n n n s o o n n n n n n n n n n s o n n n n +⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥==+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=+++n n ⎛⎫⎪⎝⎭而111ln ln n n n n u v p s o u v n n n n ++-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.当1>p 时，取p s <<1,则存在正整数N ，当n N >时，110n n n n u v u v ++->，所以11n n n n u v u v ++>，而()()111ln s n s n n ∞=>∑收敛由引理2.2得级数1n n u ∞=∑收敛;当1<p 时，取1s p >>，可得110n n n n u vu v ++-<，所以11n n n n u v u v ++<，而()()111ln s n s n n ∞=<∑发散，由引理2.2得级数∑∞=1n n u 发散. 定理2.9[]9 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ,(1)若对一切0N n >，不等式1ln 111n n u n n q u +⎡⎤⎛⎫--≥>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦成立，则级数∑∞=1n nu收敛;(2)若对一切0N n >，不等式1ln 111n n u n n u +⎡⎤⎛⎫--≤⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦成立，则级数∑∞=1n nu发散.定理2.10[]8 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ，(1)若对一切0N n >，不等式1ln1ln ln nnu q n ≥>成立，则级数∑∞=1n n u 收敛；(2)若对一切0N n >，不等式1ln1ln ln nnu n <成立，则级数∑∞=1n n u 发散. 定理2.11[]8 设∑∞=1n n u 为正项级数，且存在某正整数0N 及正常数q ，(1)若对一切0N n >，不等式()111lnln11ln ln(1)ln ln n n n u nu q n n+-+≥>+-成立，则级数∑∞=1n n u 收敛;(2)若对一切0N n >，不等式()111lnln11ln ln(1)ln ln n n n u nu n n+-+≤+-成立，则级数∑∞=1n nu发散.2.4 库默判别法定理2.12[]10（库默判别法） 设∑∞=1n n u ，∑∞=1n n a 为正项级数，(1)若存在正数α，使得() ,,2,111=≥-++n a a u u n n n nα，则级数∑∞=1n n u 收敛；(2)若级数∑∞=11n na 发散且 () ,,2,1011=≤-++n a a u u n n n n，则级数∑∞=1n n u 发散.证明 (1)由α≥-++11n n n na a u u 得 0111>≥-+++αn n n n n u a u a u ，则{}n n a u 单调递减，且0>n n a u ，所以{}n n a u 收敛，故()∑∞=++-111n n n n n a u a u 收敛，由引理2.1知，级数∑∞=1n n u 收敛；(2)由011≤-++n n n n a a u u 得1111++≤n n n na a u u，而∑∞=11n n a 发散，由引理2.2知级数∑∞=1n n u 发散.例2.9讨论级数n ∞=的敛散性.解令1n n n u ∞∞===∑，而1lim1n n n nu u +→∞==， 故由达朗贝尔判别法无法判断，现用库默判别法讨论.令11n n n a ∞∞===∑()112220n n n n u a a u n ++-=-=+=-→>→∞,故级数1n ∞=收敛.2.5 三个结论定理2.13[]1 设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则21n n u ∞=∑收敛.证明 设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则lim 0n n u →∞=，取1ε=，则存在正整数N ，当n N >时，有01n u <<，所以有201n n u u <<<，由引理2.1，21n n u ∞=∑收敛.推论2.10[]10 设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则()12,3k n n u k ∞==∑ 收敛.证明 当2=k 时，由定理2.13，若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则21n n u ∞=∑收敛；当k m =时，设1m n n u ∞=∑收敛，则当1k m =+时，当n N >时，有01n u <<，所以10m mnn u u +<<，由引理2.1得11m n n u ∞+=∑收敛.由数学归纳法得对一切正整数k ，1k n n u ∞=∑收敛.定理2.14[]1 设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则1n ∞=.证明 12n n u u ++≤，而∑∞=1n n u 收敛，由引理2.1，1n ∞=.推论2.11[]1 设正项级数∑∞=1n n u 收敛，则)11,2n k N ∞== 收敛,其中N 是正整数.证明由均值不等式()121,2n n n ku u uk Nk++++++=，而∑∞=1nnu收敛，则∑+++++kuuuknnn21收敛，由引理2.1得)11,2nk N∞== 收敛.定理 2.15[]1设正项级数21nna∞=∑，21nnb∞=∑收敛，则级数1n nna b∞=∑和()21n nna b∞=+∑收敛.证明由不等式()222n n n na b a b≤⋅∑∑∑，()()()11122222n n n na b a b⎡⎤+≤⋅⎣⎦∑∑∑，由定理2.1得1n nna b∞=∑与()21n nna b∞=+∑收敛.例2.10讨论级数10021ln11cosnnnn∞=⎛⎫+-⎪⎝⎭∑的敛散性.解级数21lnnnn∞=∑与111cosnn∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑收敛，则级数21ln11cosnnnn∞=⎛⎫+-⎪⎝⎭∑收敛.由推论2.14，得级数10021ln11cosnnnn∞=⎛⎫+-⎪⎝⎭∑收敛.例2.11讨论级数()()2211ln ln1pnpn n∞=>+⎤⎦敛散性.解令()()2211lnn pn nu pn n∞∞===>∑∑，级数∑∞=1nnu是收敛的正项级数，由定理2.14，1n∞=()()22111ln ln 1pn n p n n ∞==∞=>+⎤⎦∑，故()()2211ln ln 1pn p n n ∞=>+⎤⎦∑收敛.例2.12 讨论级数()1ln 12221ln nn nn ∞+=∑的敛散性.解 令()ln 2121ln n n n n a n ∞∞===∑∑，12221ln n n n b n n∞∞===∑∑，则()2ln 211ln n nn n a n ∞∞===∑∑，()22221ln n n n b n n ∞∞===∑∑，()1ln 122221ln n n nn n a b nn ∞∞+===∑∑，而22n n a ∞=∑，22n n b ∞=∑收敛，由定理2.15得()1ln 122221ln n n nn n a b nn ∞∞+===∑∑收敛.3 积分判别法引理3.1[]1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充要条件是：部分和数列{}n S 有界，即存在某正整数M ，对一切正整数n 有M S n <.定理3.1[]1 设f 为[)+∞,1上非负递减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分dx x f ⎰+∞1)(同时收敛或同时发散.例3.1 讨论级数()21ln pn n n ∞=∑的敛散性.解 由定理3.1知级数与反常积分()2ln pdx x x +∞⎰具有相同的敛散性，而()()()22ln =ln ln pppInn d x dx duu x x x +∞+∞+∞=⎰⎰⎰， 当1p >时收敛，当1p ≤时发散.故当1p >时级数收敛，当1p ≤级数时发散.定理 3.2[]11 设函数()x f 是单调递减的正值函数，如果存在充分大的N ，当N x >时，有()()x f e f e x x ρ<，则当01ρ<<时，级数∑)(n f 收敛；若()()x f e f e x x ≥，级数∑)(n f 发散.证明 当N x >时，有()()x f e f e x x ≥，对任意正数1n x x x -<，有()()dx x f dx e f e nn nn x x x x xx⎰⎰--<11ρ，变量替换后得()()dx x f dx x f nn nx n x x x e e ⎰⎰--≥11ρ.取如下序列{}n x ， ,,,,,112321-====n x n x e x e x e x x ，故上述积分变为()()()111,2,3,n nnn x x xx f x dx f x dxn ρ+-≥=⎰⎰故有()()() ,3,2,111=≥⎰⎰+n dx x f dx x f e x x n nρ故有()()()()∞→∞→≥=⎰∑⎰⎰=+n dx x f n dx x f dx x f enk x x x k kn当1111ρ所以dx x f ⎰+∞1)(发散，由引理2.1知∑)(n f 发散.若()()x f e f e x x ρ<，则()()()()1111221nkk ennx x ex k k f x dx f x dx f x dx f x dx ρ-===<<<+∞-⎰∑∑⎰⎰⎰,由比较判别法，dx x f ⎰+∞1)(收敛，由定理3.1知∑)(n f 收敛.推论 3.1[]11 设函数()x f 是单调递减的正值函数，又设()()limx x x e f e f x λ→+∞=，则当1<λ时，级数∑)(n f 收敛；当 1>λ时，级数∑)(n f 发散.例3.2 讨论级数()()11ln ln ln pqn n n n ∞=∑的敛散性.解 令()()()1ln ln ln pqf x x x x =，且()()()()1limlim ln ln ln x x p qqp x x e f e x x x f x --→+∞→+∞=，当10p ->，即1p <，或当1p =，0p q -<时，()()l i m01x x x e f e f x →+∞=<，则级数()()11l n l n l pqn n n n ∞=∑收敛；当1p q ==时，()()lim1x x x e f e f x →+∞=+∞>，则级数发散.4导数判别法定理4.1[]12（导数极限判别法） 设∑)1(nf 为正项级数，)(x f 是一连续实函数，若级数∑)1(nf 收敛，则()00f =.定理 4.2[]12 设∑)1(nf 为正项级数，)(x f 是一连续实函数且在x =处二阶可导，则级数∑)1(n f 收敛的充分必要条件是0)0()0(='=f f .证明 必要性.由定理4.1 得0)0(=f .设(0)(0,)f a a '=≠∞，a xx f xf x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00，由归结原理得a n n f n =⎪⎭⎫ ⎝⎛→11lim 0，取a <<ε0，当n N >时，ε<-⎪⎭⎫⎝⎛a nn f 11，即1a f n n ε-⎛⎫>⎪⎝⎭，而11n n∞=∑发散，由比较判别法，得∑)1(nf 发散;当+∞=')0(f ，+∞==-='→→xx f x f x f f x x )(lim )0()(lim)0(00，由归结原理得+∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛→nnf n 11lim 0.对任意正整数M ，存在正整数N ，当n N >时，Mnn f >⎪⎭⎫ ⎝⎛11，即n M n f >⎪⎭⎫ ⎝⎛1，由比较判别法，得∑)1(n f 发散，与条件矛盾，故0)0(='f .充分性 对于任意的01α<<有()()()()()111+00000()()1lim lim lim 0lim 0111+x x x x f x f f x f x x f x xx x ααααααα--→→→→''-'''====++， 于是由归结原理011lim01x f n n α→+⎛⎫⎪⎝⎭=，而()1110n nαα∞+=>∑收敛，故∑)1(n f 收敛. 例4.1 判断级数11sin n n∞=∑的敛散性.解 级数11sin n n∞=∑为正项级数，()sin f x x =为连续二阶可导函数，且(0)10f '=≠,由定理4.2知11sinn n∞=∑发散. 例4.2 判断级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑为正项级数，()1cos f x x =-为连续二阶可导函数，且0)0()0(='=f f ，由定理4.2知111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.5 两种一般项级数收敛性的方法 5.1 阿贝尔判别法定理 5.1[]1(阿贝尔判别法) 若{}n a 为单调有界数列，且n b ∑收敛，则n n a b ∑收敛.例5.1 讨论级数()311ln 1ln n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性. 解 1ln 1n ⎧⎫⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为单调递减有界数列，且()311ln n n ∞=∑收敛，由阿贝尔判别法知级数()311ln 1ln n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛. 例5.2 讨论级数211nn n⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解 数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调有界，且211n n ∞=∑收敛，由阿贝尔判别法知211nn n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛. 5.2 狄利克雷判别法定理 5.2[]1 (狄利克雷判别法) 若数列{}n a 为单调递减，且lim 0n n a →∞=，又级数n b ∑的部分和有界，则n n a b ∑收敛.例5.3 讨论2sin12ln n n nπ∞=∑的敛散性. 解21cos cos sinsin 1661212ln ln 2ln 2ln 2ln n n n n n n n n nππππ-≥==-. 因为1ln n当n →∞时单调下降趋于零，又121sin sin31212cos62sin 2sin1212k n kπππππ∞=+-=≤∑，，由狄利克雷判别法知级数1cos6ln n n n π∞=∑收敛.而级数21ln n n∞=∑发散，故级数2sin12ln n n nπ∞=∑发散. 判断一般项级数收敛性的方法，也适用于正项级数.若正项级数可以看成两级数通项乘积的形式，则可利用上述两种方法判断之. 6 结束语级数理论是数学分析的重要组成部分，无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性是级数重要性质.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若不为0，则发散，若为0，则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法等.同时，根据条件选择积分判别法或导数判别法等.由此，我们可以得到正项级数的判别法是多种多样的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此对正项级数的判别法的探讨无穷无尽.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点选择适宜的方法进行判断，能够节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.本文归纳正项级数收敛性判断的一些典型方法，收集了一些典型例题.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性的判断，也可以推广到函数项级数的敛散性判别中.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006:6-16.[2] 李铁烽.正项级数判敛的一种新的比值判别法[J].北京：数学通报,1990, (1) :46 - 47.[3] 龙艳.关于正项级数收敛性判断的一个推广[J].长春师范学院学报, 2009,28(6):1-3.[4] 冯江浪.关于一些特殊正项级数敛散性的判别法[J].中国科技信息,2009,(1):25.[5] 唐翠娥级数敛散性的拉阿贝判别法的推广[J],大学数学，2005,21(2):132-134.[6] 宋文青，滕厚山.基于p级数判敛的正项级数敛散性判别方法[J].高等数学研究,2005,8 (3):18-19.[7]马爱华.正项级数敛散性Raabe判别法的几种等价形式[J],临沂师范学院学报2006,24(3)83-84.[8]曾亮，两类正项级数敛散性判别法的改进及推广[J].河北北方学报,2010,26(5):14-17.[9]姬小龙,王锐利.正项级数的Gauss指标判别法[J],数学的实践与认识.2008,38(11):207-209．[10] 潘红,储亚伟.正项级数收敛性的集中新方法[J].科技信息,2008,(6):4-7.[11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006:448-452.[12] 刘玉璞.导数在正项级数敛散性判定中的应用[J]. 高等数学研究，1994,(2)：13-14.[13] 谭宝军.关于正项级数收敛的一个命题[J].辽宁师专报,2007,9(1): 28-29.致谢四年时光飞逝，大学即将毕业，在这里我要向怀化学院数学系的老师同学们，尤其是我的指导老师吴红英老师表示诚挚的感谢！在写作过程中您对我进行了细心地指导，悉心地点拨，不仅使我接受了新的思想观念，激发了学习兴趣，而且提高了收集整理材料和自学能力，掌握了新的数学思想.另外，感谢校方提供了使我能够独立完成一个课题的机会，并在这个过程中给予我们各种方便，使我们在即将离校的最后一段时间里，能够更多学习一些实践应用知识，增强了我们实践能力和动手能力，提高了独立思考的能力.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的成果来答谢曾经关心、帮助和支持过我的所有领导、老师、同学、和朋友.学无止境.明天，将是我终身学习另一天的开始！附录命题[]13 正项级数∑)(n f 满足()x f 单调递减且连续()1≥x ，该级数收敛的充要条件是()()lim 01x xf x x →∞=≥. 此定理不成立，反例 讨论级数11ln ln ln n n n n ∞=∑的敛散性. 解 由定理3.2，级数发散；由上定理令()1ln ln ln f x x x x=，而 ()1lim lim lim 0ln ln ln ln ln ln x x x x xf x x x x x x→+∞→+∞→+∞===， 则级数收敛.矛盾.命题不成立.。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1正项级数相关概念 (1)1.1定义 (1)1.2收敛的充要条件 (1)2正项级数敛散性判别法 (2)2.1判别级数发散的简单方法 (2)2.2比较判别法 (2)2.3柯西判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5积分判别法 (5)2.6拉贝判别法 (5)2.7其他判别法 (6)3判别方法的比较 (7)3.1不同方法的比较及应用 (7)3.2判别正项级数敛散性方法的总结 (8)致 (8)参考文献 (8)正项级数敛散性判别法的比较及其应用数学与应用数学云炳指导教师郭英新摘要：正项级数是级数容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍.关键词：正项级数收敛性判别法比较应用Positive Series Convergence Criterion of Comparison and ItsApplicationMathematics and Applied Mathematics ZhaoYunbingTutor GuoYingxinAbstract：Positive series is a series of important theoretical component and its convergence is the core issue of series theory .Although positive series convergence judgment methods more ,there still have to use the skills, summarized convergence of positive series to determine some of the typical method to compare the different characteristics of these methods, summed up the typical positive series, according to the characteristics of different subject analysis to determine to choose suitable methods to judge, to maximize savings in time and increase efficiency.Key words:positive series ; convergence; methods; compare；application引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础容,也是一个十分重要的容,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用.1.正项级数相关概念1.1定义如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥=则称此级数为正项级数1.2收敛的充要条件定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔它的部分和数列{}n s 有上界.证明 由于),2,1(0 =>i u i ,所以{}n s 是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理),从而本定理得证.由正项级数敛散性的基本判别定理可以推导出正项级数敛散性常用判别定理——积分判别法、比较判别法、柯西判别(又叫根值判别法)、达朗贝尔判别法(又叫比值判别法).2 正项级数敛散性判别法2．1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数∑∞=1n nu收敛,,,,0N p N n N N ∈∀>∀∈∃>∀⇔+ε有ε<++++++p n n n u u u 21.取特殊的1=p ,可得推论:若级数∑∞=1n n u 收敛,则0lim =∞→nn u .定理2 该推论的逆否命题:若0lim ≠∞→nn u ,则级数∑∞=1n n u 发散.2．2 比较判别法定理及其极限形式 定理 3 (比较判别法) 有两个正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n nv,且N n N N ≥∀∈∃+,,有n n cv u ≤,c 是正常数.1）若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞=1n n u 也收敛;2）若级数∑∞=1n n u 发散,则级数∑∞=1n n v 也发散.比较判别法的极限形式 有两个正项级数∑∞=1n n u 与)0(1≠∑∞=n n n v v ,且 k v u nnn =∞→lim).0(+∞≤≤k1）若级数∑∞=1n n v 收敛,且+∞<≤k 0,则级数∑∞=1n n u 也收敛;2）若级数∑∞=1n n v 发散,且+∞≤<k 0,则级数∑∞=1n n u 也发散.例1 设ln (1)nn p n a n =-，讨论1n n a ∞=∑的敛散性。

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目：对正项级数敛散性判别法应用性的探讨目 录摘要 ............................................................................................................................................................... I Abstract : ..................................................................................................................................................... I I 1 1 引言引言 .......................................................................................................................................................... 3 2正项级数相关概念................................................................................................................................ 3 2.1 定义 . (3)2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数敛散性判别的充要条件 ............................................................................................... 3 2.3 三个重要比较级数三个重要比较级数....................................................................................................................... 4 2.3.1 几何级数............................................................................................................................. 4 2.3.2 2.3.2 调和级数调和级数........................................................................................................................... 5 2.3.3 P-2.3.3 P-级数级数. (5)3 3 正项级数敛散性判别法正项级数敛散性判别法 (6)3.1 判别发散的简单方法判别发散的简单方法 ................................................................................................................... 6 3.2 比较判别法 . (7)3.2.1 3.2.1 定理及其推论定理及其推论................................................................................................................... 7 3.2.2 3.2.2 活用比较判别法活用比较判别法............................................................................................................... 9 3.2.3 3.2.3 归纳总结归纳总结....................................................................................................................... 11 3.3 柯西判别法与达朗贝尔判别法柯西判别法与达朗贝尔判别法............................................................................................... 12 3.3.1 3.3.1 柯西判别法柯西判别法................................................................................................................... 12 3.3.2 3.3.2 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法........................................................................................................... 13 3.3.3 3.3.3 比值判别法和根值判别法失效的情况比值判别法和根值判别法失效的情况....................................................................... 15 3.4 拉贝判别法. (17)3.5 积分判别法............................................................................................................................... 19 3.6 两种新方法............................................................................................................................... 20 3.7 判别正项级数敛散性方法的总结判别正项级数敛散性方法的总结 ........................................................................................... 23 4 4 在判别级数敛散性中的作用在判别级数敛散性中的作用 (23)4.1 证明负项级数的敛散性证明负项级数的敛散性 ........................................................................................................... 23 4.2 证明变号级数绝对收敛证明变号级数绝对收敛 ........................................................................................................... 24 4.3 证明函数级数收敛证明函数级数收敛 ................................................................................................................... 25 5 5 结束语结束语 .................................................................................................................................................. 26 致谢 (27)参考文献参考文献:: (27)对正项级数敛散性判别法应用性的探讨尹委红尹委红（重庆三峡学院数学学院数学与应用数学专业2006级 重庆万州重庆万州 404000 404000 404000））摘要:正项级数是级数内容中的一种重要级数,它的敛散性是其基本性质.本文主要探讨正项级数å¥=1n n u )0(>nu 的各种敛散性判别法,主要有积分判别法、比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法.探讨了它们的证明过程及应用其解决相关的例题.并简单介绍了它们之间的关系,如强弱性的比较,不同形式的n u 适合用哪种方法来证明其敛散性更为简单.最后介绍了正项级数敛散性判别法在判别级数敛散性中的作用.关键词: 正项级数;判别法;敛散性Positive Series Convergence Criterion of applicabilityYIN Wei-hong (Grade 2006, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 ) Abstract : Series is a series of positive content is an important series,convergence and Divergence of its basic nature of its. This paper discusses the positive series all Convergence Criterion, There are Integral Test, Comparison Tests, Cauchy Criterion, Criterion big Lambert, Rabe Criterion. Discussed their certification process and application of relevant examples of its solution. solution. And And And briefly briefly briefly describes describes describes the the the relationships relationships relationships between between between them, them, them, such such such as as as comparison comparison comparison of of of the the strength strength of of 、suitable suitable for for for different different different forms forms forms of of n u which which method method method to to to prove prove prove its its its convergence convergence convergence and and divergence easier. Finally, Introduced the positive series Convergence Criterion of Convergence and Divergence in the identification of the role. Keywords : positive series; criterion; convergence 1 引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分级数是数学分析这门学科中的一个重要部分级数是数学分析这门学科中的一个重要部分,,而正项级数又是级数中最简单从而也是级数中最基本的一种级数数中最基本的一种级数..证明级数的敛散性是级数的一种重要性质证明级数的敛散性是级数的一种重要性质,,解决级数的问题多半要设计到讨论级数的敛散性设计到讨论级数的敛散性..由于正项级数在级数中的基础地位由于正项级数在级数中的基础地位,,所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容是级数的一个基础内容,,也是一个十分重要的内容也是一个十分重要的内容,,故正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要的作用有着重要的作用. .2正项级数相关概念2.1 定义设有数列{}n u ,即 .,,,,321 n u u u u 将此数列的项依次用加号连接起来,即+++++n u u u u 321 或 å¥=1n n u ，称为数值级数，称为数值级数,,其中n u 称为级数的第n 项或通项项或通项..级数就是无限多个数的和数就是无限多个数的和..若级数的每一项n u 的符号都是正的符号都是正,,则称级数å¥=1n n u 是正项级数是正项级数..取级数前n 项的和为n s ,即 n n u u u s +++= 21 或 å==nk nn us 1, ,称为级数的称为级数的n 项部分和项部分和. .若一级数的部分和数列{}ns收敛收敛,,设s s nn =¥®lim 或 s unk kn =å=¥®1lim,则称此级数收敛则称此级数收敛,,s 是级数的和是级数的和,,表为表为 +++++==å¥=n n nu u u u us 3211.若部分和数列{}n s 发散发散,,则称该级数发散级数发散,,此时级数没有和此时级数没有和. .2.2 正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增加,,从而有正项级数敛散性的基本判别定理数敛散性的基本判别定理: :定理1 正项级数å¥=1n n u 收敛Û它的部分和数列{}n s 有上界有上界. .证明证明 由于由于),2,1(0 =>i u i,所以{}ns是递增数列是递增数列..而单调数列收敛的充要条件是该ra-ar{,,0,,是偶数是奇数n n a n s =即部分和数列即部分和数列{}n s 发散发散. .于是于是,,当1=r 时,几何级数发散几何级数发散. .综上所述综上所述,,几何级数å¥=-11n nar,当1<r 时收敛时收敛,,其和是ra -1,当1³r 时发散时发散. .2.3.2 调和级数证明调和级数 +++++=å¥=nnn 13121111是发散的是发散的.. 证明 设和调和级级数å¥=11n n的n 部项部分分和是n s ,即.131211ns n ++++= 由于已知.1]ln )1211[(lim .)ln 1211(lim =+++=-+++¥®¥®n nc n nn n 或（欧拉常数）即当¥®n 时,调和级数的部分和ns n 131211++++= 与n ln 是等价无穷大是等价无穷大,,即调和级数å¥=11n n发散发散. .2.3.3 P-级数讨论p-p-级数级数 +++++=å¥=ppppn pn n13121111的敛散性的敛散性,,其中p 是任意实数是任意实数..（该级数又称为广义调和级数）数又称为广义调和级数）解：解：11）当1=p 时,广义调和级数就是调和级数å¥=11n n,已知调和级数发散已知调和级数发散,,即p-p-级数发级数发散.2）当1<p 时,+Î"N n ,有nnp11³.已知调和级数å¥=11n n发散发散,,根据比较判别法可知根据比较判别法可知,,当1<p 时,p-,p-级数发散级数发散级数发散. .3）当1>p 时,2³"n ,有]1)1(1[11111-----<p p p n n p n .于是于是,,N n Î",有1111)11(111)1)1(131212111(111)1)1(1(11)3121(11)2111(1111312111111111111111-=-+<--+=--++-+--+=---++--+--+£++++=-------------p pp np n n p n n p p p n s p p p p p p p p p p p p p pppn即p-p-级数的部分和数列级数的部分和数列{}n s 有上界有上界,,从而p-p-级数收敛级数收敛级数收敛. .综上所述综上所述,,当1£p 时,p-,p-级数发散级数发散级数发散;;当1>p 时,p-,p-收敛收敛收敛. .在正项级数敛散性的证明中常借助于这三个级数敛散性为桥梁来判断其它级数的敛散性,所以必须要熟练掌握这三个级数所以必须要熟练掌握这三个级数. .3 正项级数敛散性判别法3.1 判别发散的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数å¥=1n n u 收敛,,,,0N p N n N N Î">"Î$>"Û+e 有e<++++++pn n n uuu21.取特殊的1=p ,可得推论可得推论::若级数å¥=1n n u 收敛收敛,,则0lim =¥®n n u .定理2 该推论的逆否命题该推论的逆否命题该推论的逆否命题::若0lim ¹¥®n n u ,则级数å¥=1n n u 发散发散. .例1 快速判断级数å¥=+12215n n n 的敛散性的敛散性. .解解: : 由于由于05115lim22¹=+¥®n n n ,从而根据定理2可知可知,,该级数发散该级数发散. . 如果0lim ¹¥®nn u ,则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散;;如果0lim =¥®n n u ,则不能判断级数是否收敛能判断级数是否收敛,,因为存在级数满足0lim =¥®n n u 的发散级数，如å¥=11n n；也存在级数满足0lim =¥®n n u 的收敛级数，如å¥=121n n.显然该逆否命题只使用于满足0lim ¹¥®nn u 的发散级数的发散级数. .3.2 比较判别法 3.2.1 定理及其推论定理3 (比较判别法) 有两个正项级数有两个正项级数å¥=1n n u 与å¥=1n n v ,且N n N N ³"Î$+,,有n n cv u £,c 是正常数是正常数. .1 1）若级数）若级数å¥=1n n v 收敛收敛,,则级数å¥=1n n u 也收敛也收敛; ;2 2）若级数）若级数å¥=1n n u 发散发散,,则级数å¥=1n n v 也发散也发散. .证明证明 因为有定理若去掉、因为有定理若去掉、增添或改变级数å¥=1n n u 的有限项的有限项,,则不改变级数å¥=1n n u 的敛散性,因此因此,,不妨设+Î"N n ,有 c cv u n n ,£是正常数是正常数..设级数å¥=1n n u 与å¥=1n n v 的n 项部分和分部是n A 与n B ,由上述不等式由上述不等式,,有.)(212121n n n n n cB v v v c cv cv cv u u u A =+++=+++£+++=1）若级数å¥=1n n v 收敛收敛,,根据定理1,1,数列数列{}n B 有上界有上界,,从而数列{}n A 也有上界也有上界,,再根据定理1,1,级数级数å¥=1n n u 收敛收敛. .2）若级数å¥=1n n u 发散发散,,根据定理1,1,数列数列{}n A 无上界无上界,,从而数列{}n B 也无上界也无上界,,再根据定理1,1,级数级数å¥=1n n v 发散发散. .推论 有两个正项级数有两个正项级数å¥=1n n u 与)0(1¹å¥=n n n v v ,且 k v u nn n =¥®lim).0(+¥££k1 1）若级数）若级数å¥=1n n v 收敛收敛,,且+¥<£k 0,则级数å¥=1n n u 也收敛也收敛; ;2 2）若级数）若级数å¥=1n n v 发散发散,,且+¥£<k 0,则级数å¥=1n n u 也发散也发散. .证明证明 1 1 1）若级数）若级数å¥=1n nv 收敛收敛,,且+¥<£k 0,由已知条件由已知条件,,Nn NN ³"Î$>$+,,00e ,有0||e <-k v u nn 或0e +<k v u nn ,即N n ³",有n n v k u )(0e +<,根据定理2,2,级数级数å¥=1n n u 也收敛.2.2）若级数）若级数å¥=1n nv 发散发散,,且+¥<<k 0，由已知条件，由已知条件,,N n N N k ³"Î$<<$+,,0:00e e ,有 0||e <-k v u n n或n nv u k <-0e )0(0>-e k ,即N n ³",有n n u k v 01e -£,根据定理2,级数å¥=1n n u 也发散也发散..若级数å¥=1n nv 发散发散,,且+¥=k ,由已知条件由已知条件,,,,,0N n N N M ³"Î$>$+有M v u n n >,即N n N N ³"Î$+,,有n n u M v 1<,根据定理2,2,级数级数å¥=1n n u 也发散也发散. . 从比较判别法的内容从比较判别法的内容从比较判别法的内容,,我们可以得出以下几点启示我们可以得出以下几点启示: : （1）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断）比较判别法只适用于正项级数敛散性的判断; ; （2）比较判别法重在“比较”）比较判别法重在“比较”,,是利用两个正项级数的通项结构来比较的是利用两个正项级数的通项结构来比较的;;要求必须掌握等比级数握等比级数,,调和级数调和级数,p-,p-,p-级数的敛散性级数的敛散性级数的敛散性,,因为比较判别法的比较对象常常就是上述三种级数.（3）要证明某一个级数å¥=1n n u 收敛收敛,,需要找一个通项比nu 大的收敛的整形级数å¥=1n nv ,即n n cv u £,也就是需要将所求的级数通咯级数项放大也就是需要将所求的级数通咯级数项放大; ;（4）要证明某一个级数å¥=1n n u 发散发散,,需要找一个通项比n u 小的发散的正项级数å¥=1n n v ,即n n u cv £,也就是需要将所求的级数通项缩小也就是需要将所求的级数通项缩小. .比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法比较判别法提供了一个判别级数敛散的简单方法::只须拿一个已知敛散性的级数和要判别的级数作比较便能得出结论别的级数作比较便能得出结论..常用的作为比较的级数有等比级数、调和级数、p-p-级数级数级数,,因此因此,,正项级数比较判别法的关键是正项级数比较判别法的关键是::如何选取比较对象如何选取比较对象,,放大或缩小所求级数的通项放大或缩小所求级数的通项. .3.2.2 活用比较判别法(1) (1) 当所求级数的通项中出现关于当所求级数的通项中出现关于n 的有理式时的有理式时,,比较对象常常选取p-p-级数或调和级数级数或调和级数级数或调和级数. .例1 1 判别级数判别级数å¥=+1)1(1n n n 的敛散性的敛散性. .分析分析分析: : : 考虑通项考虑通项)1(1+n n ，分子n 的最高幂是0（只有常数1 ),1 ),分母分母n 的最高幂是2,这时通项接近2201nnn =,原级数也接近于级数å¥=121n n,这是12>=p 的收敛的p-p-级数级数级数,,那么原级数也一定收敛原级数也一定收敛. .事先知道级数是收敛的事先知道级数是收敛的,,就把通项放大就把通项放大,,放大为一个收敛的级数通项放大为一个收敛的级数通项,,这个级数一般就是å¥=121n n,至多差一个系数至多差一个系数. .解: : 因为因为21)1(1nn n <+（分母缩小（分母缩小,,分数放大）,又由于å¥=121n n 收敛收敛..则由此比较判别法则由此比较判别法,,原级数å¥=+1)1(1n n n 也收敛也收敛. .例2 2 判别级数判别级数å¥=+1421n nn 的敛散性的敛散性. .分析分析: : : 考虑通项考虑通项421nn +,分子n 的最高幂是1,1,分母分母n 的最高幂是4,4,这时通项接近这时通项接近341n n n=,原级数也接近于级数å¥=131n n,这是13>=p 的收敛的p-p-级数级数级数,,那么原级数也一定收敛收敛. .解: : 因为因为3444122221nnn nn n nn ==+£+（分子放大（分子放大,,分数放大）,又由于å¥=131n n 收敛收敛,,则由比较判别法较判别法,,原级数å¥=+1421n nn 也收敛也收敛. .例3 3 判别级数判别级数å¥=--+12521n n n n 的敛散性的敛散性. .分析分析: : : 考虑通项考虑通项5212--+n n n ,分子n 的最高幂是1,1,分母分母n 的最高幂是2,2,这时通项接近，这时通项接近，n nn 2122=,原级数也接近于级数å¥=11n n ,至多差一个系数至多差一个系数. . 解: : 因为因为52152221222--+£--<=n n n n n n n n n （分子缩小（分子缩小,,分母放大分母放大,,分数缩小）分数缩小）,,又由于å¥=11n n是发散的是发散的,,则由比较判别法则由比较判别法,,原级数也是发散的原级数也是发散的. . (2) (2) 当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,,利用不等式选取适当的比较对象利用不等式选取适当的比较对象. .主要用到下面两个式子主要用到下面两个式子::当0>x 时,.1)11ln(11,sin x x xx x £+£+<例4 4 判别级数判别级数nn n3sin21på¥=的敛散性的敛散性. .分析: 考虑当0>x 时,x x <sin ,则p p p p p n n nn n n n )32(323sin 2,33sin =×<<,而p nn )32(1å¥=是公比132||<=q 的收敛级数的收敛级数,,故原级数收敛故原级数收敛. . 例5 5 判别级数判别级数å¥=+1221ln n n n 的敛散性的敛散性. . 分析分析: : : 由于有不等式由于有不等式22221)11ln(1lnn n n n £+=+,而å¥=121n n 是收敛的级数是收敛的级数,,故原级数也收敛收敛. .(3) (3) 当所求级数的通项放大、缩小不方便时当所求级数的通项放大、缩小不方便时当所求级数的通项放大、缩小不方便时,,可采用比较判别法的推论可采用比较判别法的推论. .利用比较判别法的推论时要注意利用比较判别法的推论时要注意::（1）把要求的级数当作å¥=1n n u ,另找一个正项级数（往往找调和级数、p-p-级数或等比级数级数或等比级数级数或等比级数),),),作作å¥=1n n v ;（2）重点考察极限结果1,1,因为因为1在0与¥之间.例6 6 判别级数判别级数å¥=+-12114n n n 的敛散性的敛散性. . 分析分析: : : 考虑通项考虑通项1142+-n n ,分子n 的最高幂为1,1,分母分母n 的最高幂为2,2,通项接近通项接近n n n 12=,因此就把级数å¥=11n n 作å¥=1n n v . 解: : 由于由于414l i m ]1114[l i m222=+-=+-¥®¥®n n n n n n n n ,又因为å¥=11n n是发散的是发散的,,则原级数也发散则原级数也发散. .例7 7 另解上面的例另解上面的例5. 分析分析: : : 我们前面已经讨论过该题我们前面已经讨论过该题我们前面已经讨论过该题,,若忘记前面的不等式若忘记前面的不等式,,而此题的通项又不易进行放大、缩小缩小,,可用推论可用推论..把)11ln(2n+作为n u ,再找一个n v .观察到n u 中,有对数函数)11ln(2n+出现,考虑用第二重要极限e nnn =+¥®)11(lim ,取.12n v n =解: : 因为因为1)11ln(lim ]1)11ln([lim2222=+=+¥®¥®n n n nnn,又å¥=121n n 收敛收敛,,故原级数也收敛故原级数也收敛. .3.2.3 归纳总结判断正项级数å¥=1n n u “ 敛散性的一般步骤：敛散性的一般步骤：(ⅰ) ) 检查通项。

一、 正项级数敛散性的判别设∑∞=1n n u 是正项级数，若 0lim ≠∞→n n u ,则∑∞=1n n u 发散。

若0lim =∞→n n u ,则∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散。

可按照下面的思路判别其敛散性。

(1)如果通项n u 包含有n ！之类的因子，或关于n 的若干因子连乘形式，则用比值判别法，即ρ=+→∞n n n u u 1lim ，则当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。

如果nn n u u 1lim+∞→不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用比值判别法，如果∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；或者适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，如果∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。

(2)如果通项n u 包含有n 或关于n 的函数为指数的因子，则用根值判别法，即ρ=∞→n lim nn u ，则当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。

如果n lim n n u →∞不易计算，或不存在，或存在为1，则适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用根值判别法，如果∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u 收敛；或者适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，如果∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。

(3)当n u 不是以上情形时，寻找∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的常用公式和麦克劳林展开式，得到)0(~>C nCu n α，等价的通项，两级数应具第八讲 常数项级数敛散性的判别有相同的敛散性。

所以当1>α时∑∞=1n n u 收敛；当1≤α时∑∞=1n n u 发散。