【高考总复习】高中数学(理)课时作业3-2含答案(新人教版)

一、填空题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是________．解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－tan ⎝⎛⎫x －π4， 要使y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 有意义，即y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4有意义，则x －π4≠k π＋π2，x ≠k π＋3π4(k ∈Z)．答案： {x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R} 2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．解析：∵y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54， 又－1≤sin x ≤1.∴－12≤sin x ＋12≤32， ∴0≤⎝⎛⎭⎫sin x ＋122≤ 94， 因此－54≤y ≤94－54＝1. 答案：⎣⎡⎦⎤－54，1 3．(2011年安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成 立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是________． 解析：因为当x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z.因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin (π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin (2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，函数f (x )的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 4．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R.若f (x )≥1，则x 的取值范围为________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1，得2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6(k ∈Z)， 解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z)． 答案：2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z) 5．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.以下说法正确的是________． ①函数的周期为π4②函数的图象的一条对称轴为直线x ＝π3③函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上为减函数④函数是偶函数解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的周期为π， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的周期为π2，∴①不正确． 当x ＝π3时，y 有最大值1，∴②正确， 当x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π6时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤7π6，3π2， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上递减且y ＜0，∴y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6上递增，故③不正确，④显然不正确．答案：②6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2 x 的最小正周期是________． 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2 x ＝22sin 2x －22 cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2， 周期T ＝2π2＝π.答案：π7．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)．(1)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________； (2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上递增，则ω的取值范围是________． 解析：(1)由题意知T 4≤π3，T ＝2πω，∴2ω≥3，ω≥32， ∴ω的最小值等于32. (2)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 又∵y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上递增， ∴⎩⎨⎧ －π2≤－ωπ3π2≥ωπ4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ ω≤32，ω≤2，∴0＜ω≤32. 答案：(1)32 (2)0＜ω≤328．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝ ________.解析：因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，得x 0＝－π6. 答案：－π69．设定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．解析：∵6cos x ＝5tan x ，∴6cos 2x ＝5sin x ，∴6sin 2x ＋5sin x －6＝0，∴sin x ＝－32(舍)或sin x ＝23.故填23.答案：23二、解答题10．(2011年重庆)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，求函 数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．解析：f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x＝a 2sin 2x －cos 2x . 由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2. 11．已知函数f (x )＝2a sin x cos x －2a (sin x ＋cos x )＋a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－ 5,1]，求a 和b 的值．解析：设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x ·cos x ＝t 2－1，且t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤π4，3π4，∴t ∈[1，2]， ∴原题等价于函数y ＝at 2－2at ＋b .在t ∈[1，2]上的值域为[－5,1]．∵a ＝0时不合题意，∴a ≠0，∴二次函数图象的对称轴为t ＝22， (1)当a ＞0时，二次函数在[1，2]上递增，∴y max ＝a (2)2－2a ×2＋b ＝b ，y min ＝a －2a ＋b ＝(1－2)a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，(1－2)a ＋b ＝－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝62＋6；(2)当a ＜0时，二次函数在[1，2]上递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝(1－2)a ＋b ＝1，y min ＝b ＝－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ＝－(62＋6)综上，a ＝62＋6，b ＝1或a ＝－(62＋6)，b ＝－5.12．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及最小值． 解析：(1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π4)，T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π解得k π－58π≤x ≤k π－π8， 函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－58π，k π－18π(k ∈Z)． 由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π解得k π－18π≤x ≤k π＋38π， 函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－18π，k π＋38π(k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴cos (2x ＋π4)∈⎣⎡⎦⎤－1，22.∴f (x )∈[－2，1]． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为1，当x ＝38π时，f (x )的最小值为－ 2.。

课时作业2 离子反应离子方程式一、单项选择题(本题包括6个小题，每小题只有1个选项符合题意)1．将NaCl溶于水配成1mol·L－1的溶液，溶解过程如图所示。

下列说法正确的是( )A.a离子为Cl－，b离子为Na＋B.溶液中含有N A个水合Na＋C.溶液中存在NaCl⇌Na＋＋Cl－D.NaCl溶解过程需要在容量瓶中进行2．下列说法正确的一组是( )①不溶于水的盐都是弱电解质②可溶于水的盐都是强电解质③0.5mol·L－1一元酸溶液中H＋浓度为0.5mol·L－1④强酸溶液中的H＋浓度不一定大于弱酸溶液中的H＋浓度⑤电解质溶液导电的原因是溶液中有自由移动的阴、阳离子⑥熔融的电解质都能导电A．①③⑤⑥B．只有④⑤C．②④⑤⑥D．只有③⑥3．下列说法正确的是( )A.三氧化硫的水溶液能导电，所以三氧化硫是电解质B.自由移动离子数目多的电解质溶液导电能力一定强C.NaHSO4在水溶液及熔融状态下均可电离出Na＋、H＋、SO2－4 D.NH3属于非电解质，但其水溶液能够导电4．下列物质在指定条件下电离方程式书写正确的是( )A.Na2CO3溶于水：Na2CO3===Na＋2＋CO2－3B.Al(OH)3酸式电离：Al(OH)3===H＋＋AlO－2＋H2OC.NaHS溶于水HS－的电离：HS－＋H2O⇌H2S＋OH－D.NaHSO4加热熔化：NaHSO4(熔融)===Na＋＋HSO－45．下列A～D四组反应中，其中Ⅰ和Ⅱ可用同一个离子方程式表示的是( )6.下列离子方程式书写错误的是( )A．Fe2(SO4)3溶液和Ba(OH)2溶液反应：Fe3＋＋SO2－＋Ba2＋＋3OH－4===Fe(OH)3↓＋BaSO4↓B．石灰石溶于盐酸中：CaCO3＋2H＋===Ca2＋＋CO2↑＋H2OC．碳酸氢钠溶液与硝酸反应：HCO－＋H＋===H2O＋CO2↑3D．氧化铁与稀硫酸反应：Fe2O3＋6H＋===2Fe3＋＋3H2O二、不定项选择题(本题包括4个小题，每小题有1个或2个选项符合题意)7．某学生利用如图所示装置对电解质溶液导电性进行实验探究。

一、选择题1．若f ( x) 是 R 上周期为 5的奇函数，且知足 f (1)＝1， f (2)＝2，则 f (3)－f (4)＝() A．－ 1B．1C．－ 2D．2分析：由 f ( x)是R上周期为5的奇函数知：f (3)＝f (－2)＝－ f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－ f (1)＝－1，∴f (3)－ f (4)＝－1，选A.答案： Ax4 ＋ 12．函数f ( x) ＝2x的图象 ()A．对于原点对称B．对于直线y＝x对称C．对于x轴对称D．对于y轴对称4x＋1x－x分析：∵ f ( x)＝2x＝2＋2 ，∴ f (－x)＝2－x＋2x＝ f ( x)，∴函数 f ( x)为偶函数，其图象对于y 轴对称，应选 D.答案： D3．若a，b是非零向量，且a⊥ b，| a|≠|b|，则函数 f ( x)＝( xa＋b)·(xb－ a)是() A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数分析：∵ a⊥ b，| a|≠|b|，22∴ a· b＝0， a － b ≠0，则 f ( x)＝( a·b) x2＋( b2－ a2) x－a·b＝( b2－a2) x.又 b2－ a2≠0， f (－ x)＝－ f ( x)，∴ f ( x)是一次函数且是奇函数．答案： A4． (2012年重庆高考)已知 f ( x)是定义在R 上的偶函数，且以 2为周期，则“ f ( x)为[0，1] 上的增函数”是“ f ( x)为[3，4]上的减函数”的()A．既不充足也不用要的条件B．充足而不用要的条件C．必需而不充足的条件D．充要条件分析：∵ f ( x)为偶函数， f ( x)为[0，1]上的增函数∴f ( x)为[－1，0]上的减函数∵周期 T ＝2∴f ( x)为[3，4]上的减函数反之也建立∴为充要条件．答案： D5．(2011 年安徽 ) 设f (x) 是定义在 R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝ 22－，则f(1) ＝()x xA．－ 3B．－ 1 C．1D． 3分析：法一：∵ f ( x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时， f ( x)＝2x2－ x，∴f (1)＝－ f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，应选 A.法二：设x＞0，则－ x＜0，∵ f ( x)是定义在R 上的奇函数，且x≤0时， f ( x)＝2x2－ x，∴ f (－x)＝2(－x)2－(－ x)＝2x2＋ x，又 f (－ x)＝－ f ( x)，∴ f ( x)＝－2x2－x，∴ f (1)＝2－2×1－ 1＝－ 3，应选 A.答案： A二、填空题6．( 湖南省浏阳一中2012 届高三第一次月考) 函数f ( x) 知足f ( x) ·f ( x＋2) ＝ 13，若f (0) ＝ 2，则 f (2 010)＝________．13答案：27． (2011 年广东 ) 设函数f ( x) ＝x3cos x＋ 1. 若f ( a) ＝ 11，则f ( －a) ＝ ________．分析：令 g( x)＝f ( x)－1＝x3cos x，∵g(－x)＝(－ x)3cos(－ x)＝－ x3cos x＝－ g( x)，∴ g( x)为定义R上的奇函数．又∵ f ( a)＝11，∴ g( a)＝ f ( a)－1＝10， g(－a)＝－ g( a)＝－10，又 g(－a)＝ f (－a)－1，∴ f (－ a)＝g(－ a)＋1＝－9.答案：－ 98． (2011 年浙江 ) 若函数f (x) ＝x2－ |x＋| 为偶函数，则实数＝ ________．a a分析：由题意知，函数 f ( x)＝ x2－| x＋ a|为偶函数，则 f (1)＝ f (－1)，∴1－|1＋ a|＝1－| － 1＋a| ，∴a＝ 0.答案： 09．已知定义在R上的奇函数 f ( x)知足 f ( x－4)＝－ f ( x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程 f ( x)＝ m( m＞0)在区间[－8，8]上有四个不一样的根x1， x2， x3， x4，则 x1＋ x2＋ x3＋x4＝________．- 2 -分析：由 f ( x－4)＝－ f ( x) ? f (4－ x)＝ f ( x)，故函数图象对于直线x＝2对称，又函数 f ( x)在 [0 ，2] 上是增函数，且为奇函数，故 f (0)＝0，故函数 f ( x)在(0，2]上大于0，依据对称性知函数 f ( x)在[2，4)上大于0，同理推知函数 f ( x)在(4，8)上小于0，故在区间(0，8) 上方程f ( x) ＝m( m＞ 0) 的两根对于直线x＝2对称，故此两根之和等于4，依据f ( x－ 4)＝－f () ?f(x－8) ＝－f(－4)＝(x)，函数f( ) 以 8 为周期，故在区间 ( － 8，0) 上方程x x f xf ( x)＝m( m＞0)的两根对于直线x＝－6对称，此两根之和等于－ 12，综上四个根之和等于－ 8.答案：－ 8三、解答题ax2＋110．设f ( x) ＝bx＋c是奇函数 ( a、b、c∈Z) ，且f (1) ＝ 2，f (2) ＜ 3. 求a、b、c的值．ax2＋1分析：∵ f ( x)＝bx＋c是奇函数，ax2＋1ax2＋1∴f (－x)＝－bx＋c＝－ f ( x)＝－bx＋c.∴b(－x)＋ c＝－( bx＋ c)≠0.∴c＝0.a＋1b＝2，由 f (1)＝2， f (2)＜3，得4a＋ 12b＜3.4a＋ 1消去 b，得a＋1＜3，解得－1＜ a＜2.又 a∈Z，∴ a＝0或 a＝1.1若 a＝0时， b＝2?Z，若 a＝1时， b＝1.∴ a＝1， b＝1，c＝0.11．已知函数 f ( x)的定义域为R，且知足 f ( x＋2)＝－ f ( x)．(1)求证： f ( x)是周期函数；11(2)若 f ( x)为奇函数，且当0≤x≤1时， f ( x)＝2x，求使 f ( x)＝－2在[0，2 009]上的所有 x 的个数．分析： (1) 证明：∵f ( x＋ 2) ＝－f ( x) ，∴f ( x＋4)＝－ f ( x＋2)＝－[ f ( x)]＝f ( x)，∴f ( x)是以4为周期的周期函数．1(2) 当 0≤x≤1时，f ( x) ＝2x，设－ 1≤x≤0，则有0≤－x≤1，11∴f (－x)＝2(－ x)＝－2x.∵ f ( x)是奇函数，∴ f (－ x)＝－ f ( x)，－ 11∴－ f ( x)＝2 x，即 f ( x)＝2x.1故 f ( x)＝2x(－1≤ x≤1)又设 1<x<3，则－ 1<x－ 2<1，1∵f ( x－2)＝2( x－2)，设∵ f ( x－2)＝－ f (2－ x)＝－ f ((－ x)＋2)＝－[－ f (－ x)]＝－ f ( x)，1∴－ f ( x)＝2( x－2)，1∴ f ( x)＝－2( x－2)(1< x<3)12x（－1≤ x≤1）∴f ( x)＝1－（ x－2）（1<x<3）21由 f ( x)＝－2，解得 x＝－1.∵ f ( x)是以4为周期的周期函数．1故 f ( x)＝－2的全部 x＝4n－1( n∈Z)令 0≤4n－1≤2 009 ，1 1 005则≤ n≤，42又∵ n∈Z，∴ 1≤n≤ 502( n∈Z) ，上共有 502 个x使f ( x) ＝－1∴在 [0 ， 2 009]2.12．函数y＝f ( x)(x≠0)是奇函数，且当 x∈(0，＋∞ ) 时是增函数，若 f (1)＝0，求不等式1f [ x( x－)]＜0的解集．2分析：∵ y＝ f ( x)是奇函数，∴ f (－1)＝－ f (1)＝0.又∵ y＝f ( x)在(0，＋∞)上是增函数，∴ y＝ f ( x)在(－∞，0)上是增函数，1若 f [ x( x－2)]＜0＝ f (1)，1x（ x－2）＞0∴1x（ x－2）＜11即 0＜x( x－2) ＜1，11＋17 1－17解得2＜x＜4或4＜x＜0.10 若f [ x( x－2)] ＜ 0＝f ( －1) ，1x（ x－2）＜0∴1x（ x－）＜－121由 x( x－2)＜－1，解得 x∈?.∴原不等式的解集是11＋ 171－ 17{ x| 2＜x＜4或4＜ x＜0}。

(单独成册)一、选择题1．(2010年广东卷)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X＞4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585解析：正态曲线关于μ＝3对称， P (X ＞4)＝1－0.68262＝0.1587，故选B.答案：B2．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40% 解析：由于数学成绩平均分为90，即正态分布曲线关于x ＝μ＝90对称，由P (ξ＜60)＝0.1知P (ξ＞120)＝0.1，故P (90≤ξ≤120)＝1－0.22＝0.4.答案：D3．设随机变量X ～N (μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P (|x －μ|＜3σ)将会( )A ．单调增加B ．单调减少C ．保持不变D ．增减不定解析：服从正态分布的随机变量X ，不论μ，σ怎么变化， P (|x －μ|＜3σ)总等于0.997 4. 答案：C4．设两个正态分布N (μ1，σ12)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：由概率密度曲线的性质可知N(μ1，σ12)、N(μ2，σ22)的密度曲线分别关于直线x＝μ1、x＝μ2对称，因此结合所给图象知μ1＜μ2，且N(μ1，σ12)的密度曲线较N(μ2，σ22)的密度曲线“高瘦”，因此σ1＜σ2，选A.答案：A5.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84解析：根据正态分布曲线的对称性，得P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.答案：A二、填空题6．(山东省济南市2012年3月高三高考模拟)随机变量ξ服从正态分布N(40，σ2)，若P(ξ＜30)＝0.2，则P(30＜ξ＜50)＝________．答案：0.67．设离散型随机变量X～N(0，1)，则P(X≤0)＝________；P(－2＜X＜2)＝________．解析：由已知，得μ＝0，σ＝1，∴P(x≤0)＝1 2，P(－2＜x＜2)＝P(μ－2σ＜x＜μ＋2σ)＝0.9544.答案：12；0.95448．(2011年湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝________．解析：因为μ＝2，所以P (ξ<4)＝1－p (ξ≥4)＝0.8，可知P (ξ≥4)＝P (ξ≤0)＝0.2，所以P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12×(1－2×0.2)＝0.3. 答案：0.39．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)等于________．解析：∵ξ～N (0，1)， ∴正态曲线关于y 轴对称． ∴P (－1＜ξ＜0)＝P (0＜ξ＜1) ＝12－P (ξ＞1)＝12－p . 答案：12－p三、解答题10．设X ～N (5，1)，求：(1)P (6＜X ＜7)；(2)P (X ≥8)． 解析：(1)由已知μ＝5，σ＝1. ∵P (4＜X ＜6)＝0.682 6. P (3＜X ＜7)＝0.954 4. ∴P (3＜X ＜4)＋P (6＜X ＜7) ＝0.954 4－0.682 6 ＝0.271 8.如图：由正态曲线的对称性可得P (3＜X ＜4)＝P (6＜X ＜7)， ∴P (6＜X ＜7)＝0.271 82＝0.135 9. (2)∵μ＝5，σ＝1.∴P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.997 4， 即P (2＜X ＜8)＝0.997 4，∴P (X ≤2)＋P (X ≥8)＝1－0.997 4＝0.002 6. 又P (X ≤2)＝P (X ≥8)， ∴P (X ≥8)＝0.002 62＝0.001 3.11．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X (单位：小时)，已知X ～N (1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1 000小时的概率为99.74%，问灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？ 解析：∵X ～N (1 000，302)， ∴μ＝1 000，σ＝30.∴P (1 000－3×30＜X ≤1 000＋3×30) ＝P (910＜X ≤1 090)＝99.74%.∴灯泡的最低寿命应控制在910小时以上．12．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N (10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg 的概率是多少？解析：因为大米的质量服从正态分布N (10，0.12)，要求质量在9.8～10.2 kg 的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解． 由正态分布N (10，0.12)知，μ＝10，σ＝0.1. 所以质量在9.8～10.2 kg 的概率为 P (10－2×0.1＜X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4.。

2022年高考数学(理科)模拟试卷(二)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2022年北京)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{0,1,2}C ．{－1,0,1}D ．{－1,0,1,2} 2．已知z 为纯虚数，且z (2＋i)＝1＋a i 3(i 为虚数单位)，则复数a ＋z 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2022年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温状况，绘制了一年中月平均最高气温存平均最低气温的雷达图M2-1.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均气温高于20 ℃的月份有5个图M2-1 图M2-24．已知平面对量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．55．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－17．(2022年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.138．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为53，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1B.x 218－y 232＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 264＝1 9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2(x ≤0)，x ＋1x＋a (x >0)的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]10．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y －2≥0，则x ＋y ＋3x ＋2的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤2，52 B.⎣⎡⎦⎤54，52 C.⎣⎡⎦⎤45，52 D.⎣⎡⎦⎤54，2 11．在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13 B.2π C.12 D.2312．对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x )称为M 函数： (ⅰ)对任意的x ∈[0,1]，恒有f (x )≥0；(ⅱ)当x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1时，总有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立．则下列四个函数中不是M 函数的个数是( )①f (x )＝x 2；②f (x )＝x 2＋1；③f (x )＝ln(x 2＋1)；④f (x )＝2x －1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必需作答．第22～23题为选考题，考生依据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．14．(2022年天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的开放式中x 7的系数为________．(用数字作答) 15．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．16．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)(2022年浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．18．(本小题满分12分)(2022年云南统测)某市训练与环保部门联合组织该市中学参与市中同学环保学问团体竞赛，依据竞赛规章，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中学校学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参与竞赛．(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为大事A ，求大事A 的概率P (A )； (2)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．(本小题满分12分)(2022年浙江)如图M2-4，在三棱台ABC -DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ； (2)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值．图M2-420．(本小题满分12分)(2022年山东)如图M2-5，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M .(ⅰ)求证：点M 在定直线上；(ⅱ)直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．图M2-521．(本小题满分12分)设函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x (a <0)． (1)争辩f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，函数y ＝f (x )与g (x )＝13x 3＋12x 2＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．请考生在第(22)(23)两题中任选一题作答．留意：只能作答在所选定的题目上．假如多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求|MA |·|MB |的值．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－4时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若f (x )≤|x －3|的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围．2022年高考数学(理科)模拟试卷(二)1.C 解析：由A ＝{x |－2<x <2}，得A ∩B ＝{－1,0,1}．故选C. 2．D 解析：设z ＝b i(b ∈R )且b ≠0，则(2＋i)·b i ＝1＋a i 3，即－b ＋2b i ＝1－a i ，所以a ＝2，b ＝－1，则a ＋z ＝2－i ，对应的点为(2，－1)，所在象限为第四象限．故选D.3．D 解析：由图可知平均最高气温高于20 ℃的月份有3个，所以不正确．故选D. 4．C5．B 解析：∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x.由y ′≤0解得0<x ≤1.故选B.6．C 解析：当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S ＝－1＋0＝－1，i ＝4，∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.7．C 解析：该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3)，圆柱体毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm 3)，所以切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)．所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027.故选C.8．A 解析：连接AF 2，BF 2，由双曲线的对称性知，四边形AF 1BF 2是平行四边形，则|BF 1|＝|AF 2|，所以|AF 2|－|AF 1|＝2a .所以2a ＝6，a ＝3，又由于离心率为53，所以c a ＝53.所以c ＝5.所以b 2＝c 2－a 2＝16，即b ＝4，所以该双曲线的标准方程为x 29－y216＝1.故选A.9．D 解析：当a <0时，f (x )min ＝f (a )≠f (0)，所以a ≥0；x >0，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，∵f (x )min ＝f (0)，∴2＋a ≥f (0)＝a 2.解得－1≤a ≤2.∴0≤a ≤2.10．B 解析：依据题意作出不等式组所表示的可行域如图D193阴影部分，即△ABC 的边界及其内部，又由于x ＋y ＋3x ＋2＝1＋y ＋1x ＋2，而y ＋1x ＋2表示可行域内一点(x ，y )和点P (－2，－1)连线的斜率，由图可知k PB ≤y ＋1x ＋2≤k PC ，依据原不等式组解得B (2,0)，C (0,2)．所以0＋12＋2≤y ＋1x ＋2≤2＋10＋2⇒14≤y ＋1x ＋2≤32⇒54≤x ＋y ＋3x ＋2≤52.故选B.图D19311．A 解析：x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，cos x 的值介于0到12之间， 利用三角函数性质解得x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎦⎤π3，π2，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为p ＝2×⎝⎛⎭⎫π2－π3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.12．A 解析：(ⅰ)在[0,1]上，四个函数都满足； (ⅱ)x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1； 对于①，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝(x 1＋x 2)2－(x 21＋x 22)＝2x 1x 2≥0，满足；对于②，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝[(x 1＋x 2)2＋1]－[(x 21＋1)＋(x 22＋1)]＝2x 1x 2－1<0，不满足．对于③，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－[ln(x 21＋1)＋ln(x 22＋1)] ＝ln[(x 1＋x 2)2＋1]－ln[(x 21＋1)(x 22＋1)] ＝ln (x 1＋x 2)2＋1(x 21＋1)(x 22＋1)＝ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1，而x 1≥0，x 2≥0，∴1≥x 1＋x 2≥2x 1x 2.∴x 1x 2≤14.∴x 21x 22≤14x 1x 2≤2x 1x 2. ∴x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥1.∴ln x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1x 21x 22＋x 21＋x 22＋1≥0，满足； 对于④，f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)] ＝(2x 1＋x 2－1)－(2x 1－1＋2x 2－1)＝2x 12x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 1－1)(2x 2－1)≥0，满足．故选A.13.3－1 解析：由直线方程y ＝3(x ＋c )⇒直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3或2π3，且过点F 1(－c,0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3，即F 1M ⊥F 2M .∴在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，F 2M ＝3c .∴由椭圆的第肯定义可得2a ＝c ＋3c ，∴c a ＝21＋3＝3－1.14．－56 解析：开放式通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r ，令16－3r ＝7，r ＝3，所以x 7的(－1)3C 38＝－56.故答案为－56.15.35解析：如图D194，连接DF ，图D194 则AE ∥DF .∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，∴cos ∠D 1FD ＝⎝⎛⎭⎫52a 2＋⎝⎛⎭⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35. 16．63 解析：设等比数列{a n}的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1.依据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a (1－q 2)1－q＝3，a (1－q 4)1－q ＝15，解得q 2＝4，a1－q ＝－1.所以S 6＝a (1－q 6)1－q＝(－1)(1－43)＝63.17．解：(1)由正弦定理，得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B . 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B . 于是，sin B ＝sin(A －B )， 又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π. 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B . 因此，A ＝π(舍去)或A ＝2B . 所以A ＝2B .(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19.故cos A ＝－19，sin A ＝4 59.cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.18．解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以大事A 的概率为635(2)随机变量X 的全部可能取值为1,2,3,4.由已知得P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)．所以随机变量X 的分布列为：X1 2 3 4P 114 37 37 114随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.19．解：(1)延长AD ，BE ，CF 相交于点K ，如图D195.图D195由于平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCK ， 因此，BF ⊥AC .又由于EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK . 又AC ∩CK ＝C ，所以BF ⊥平面ACFD . (2)方法一，过点F 作FQ ⊥AK ，连接BQ . 由于BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以，∠BQF 是二面角B -AD -F 的平面角．在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝3 1313.在Rt △BQF 中，FQ ＝3 1313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34.所以，二面角B -AD -F 的平面角的余弦值为34.方法二，如图D196，延长AD ，BΕ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．图D196取BC 的中点O ，则KO ⊥BC .又平面BCFΕ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC .以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz . 由题意，得B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0，3)，A (－1，－3,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32.因此， AC →＝(0,3,0)，AK →＝(1,3，3)，AB →＝(2,3,0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0.取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0.取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n ||m ·||n ＝34. 所以，二面角B -AD -F 的平面角的余弦值为34.20．解：(1)由题意知，a 2－b 2a ＝32，可得a ＝2b .由于抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12， 所以a ＝1，b ＝12，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)(ⅰ)设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x . 所以直线l 的斜率为m .因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx －m 22，x 2＋4y 2＝1，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝x 1＋x 22＝2m 34m 2＋1.将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1).由于y 0x 0＝－14m ，所以直线OD 的方程为y ＝－14mx .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标为y M ＝－14，即点M 在定直线y ＝－14上．(ⅱ)由(ⅰ)知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m22.所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22. 又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22(4m 2＋1)， 所以S 1＝12|GF |m ＝14m (m 2＋1)，S 2＝12|PM |·|m －x 0|＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1)，所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2.令t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝－1t 2＋1t＋2.当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取得最大值94，此时m ＝22，满足Δ>0， 所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14，因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.21．解：(1)f ′(x )＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ＝x (ax ＋2a ＋1)e x (a <0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2－1a.①当a ＝－12时，f ′(x )＝－12x 2e x ≤0，f (x )在(－∞，＋∞)上递减；②当－12<a <0时，x 1<x 2，f (x )在(－∞，0)上递减；在⎝⎛⎭⎫0，－2－1a 上递增，在⎝⎛⎭⎫－2－1a ，＋∞上递减； ③当a <－12时，x 2<x 1，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2－1a 上递减；在⎝⎛⎭⎫－2－1a ，0上递增，在(0，＋∞)上递减． (2)当a ＝－1时，函数 y ＝f (x )与g (x )＝13x 3＋12x 2＋m 的图象有三个不同的交点，等价于－m ＝(x 2－x ＋1)e x＋13x 3＋12x 2有三个不同的根． 设h (x )＝(x 2－x ＋1)e x ＋13x 3＋12x 2h ′(x )＝x (x ＋1)(e x ＋1)，函数h (x )在(－∞，－1)上递增，在(－1,0)上递减，在(0，＋∞)上递增， h (x )极大值＝h (－1)＝3e ＋16，h (x )微小值＝h (0)＝1，当－3e －16<m <－1时，方程－m ＝(x 2－x ＋1)e x ＋13x 3＋12x 2有三个不同的根．22．解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x . 故它的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，一般方程为y ＝33x －2 33. M (5，3)在直线l 上，过点M 作圆的切线，切点为Τ， 则|MT |2＝(5－1)2＋3－1＝18，由切割线定理． 可得|MT |2＝|MA |·|MB |＝18.23．解：(1)当a ＝－4时，f (x )≥6，即|x －4|＋|x －2|≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，4－x ＋2－x ≥6或⎩⎪⎨⎪⎧ 2<x <4，4－x ＋x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x －4＋x －2≥6，解得x ≤0，或x ≥6.所以解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)． (2)原命题等价于f (x )≤|x －3|在[0,1]上恒成立， 即|x ＋a |＋2－x ≤3－x 在[0,1]上恒成立，即－1－x ≤a ≤1－x 在[0,1]上恒成立，即－1≤a ≤0.。

课时作业(三)1．4×5×6×…(n－1)·n等于( )A．A4n B．A n－1nC．n！－4! D．A n－3n答案 D解析原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.2．m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( )A．A20m B．A21mC．A20m＋20D．A21m＋20答案 D解析m＋20最大，共21个数相乘．3．5A35＋4A24等于( )A．107 B．323C．320 D．348答案 D解析原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.4．A2n＋1与A3n的大小关系是( )A．A2n＋1>A3n B．A2n＋1<A3nC．A2n＋1＝A3n D．大小关系不确定答案 D解析A3n－A2n＋1＝n(n－1)·(n－2)－(n＋1)n＝n(n2－4n＋1)＝n[(n－2)2－3]．∵n≥3，∴n＝3时，n[(n－2)2－3]<0.即A3n<A2n＋1.n≥4时，n[(n－2)2－3]>0，即A3n>A2n＋1，因而选D.5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( )A．6种B．30种C．360种D．A56种答案 D解析问题为6选5的排列即为A56.6．公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有( )A ．15种B ．24种C ．360种D ．480种答案 C7．把15人分成前、中、后三排，每排五人，则共有不同的排法种数为( ) A.A 1515A 33B ．A 515·A 510·A 55·A 33 C ．A 1515 D ．A 515·A 510答案 C 解析⎭⎪⎬⎪⎫前中后―→前中后，本质为一排！ 8．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( )A ．A 88 B ．A 48 C ．A 44A 44 D ．2A 44答案 C9．用数字1,2,3,4,5这五个数字分别作为一个对数的底数和真数，可得到不同的对数值( )A ．20个B ．12个C ．13个D ．25个答案 C解析 真数不为1时，有A 24个，真数为1时，有1个．10．从单词“windows”中选3个不同的字母排成一排，含有“n ”的不同排列的个数为( )A ．21B ．60C ．126D ．210答案 B解析 A 36－A 35＝60或3×A 25＝60.11．某一条铁路线有30个车站、其中大站有5个，如果快车只停靠大站、慢车每站都停，试问铁路局要为这条线路准备________种车票．答案 890解析 分两类：A 25＋A 230＝20＋30×29＝890.12．化简：1n ！－1n ＋1！＋1n －1！＝________.答案n 2＋2nn ＋1！13．解下列方程或不等式： (1)A 42x ＋1＝140A 3x ； (2)A x 9>6A x －29.解析 (1)根据原方程，应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3，解得x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)． ∵x ≥3，两边同除以4x (x －1)， 得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)， 即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝543(因x 为整数，应舍去)．∴原方程的解为x ＝3. (2)解原不等式即9！9－x ！>6·9！9－x ＋2！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，即(11－x )(10－x )>6，x 2－21x ＋104>0， (x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13. 但2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}． 14.将6名腰鼓队员排成一个三角形阵，如右图，有多少种不同的排法？ 答案 720种解析 本题实质上相当于6人站成一排，故共有A 66＝6！＝720种不同站法．15．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解析 由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即 (n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14.所以原有车站14个，现有车站16个．►重点班选做题16．若S＝A11＋A22＋A33＋A44＋…＋A100100，则S的个位数是( ) A．8 B．5C．3 D．0答案 C解析A n n(n≥5)的个位数恒为0.17．下列等式中不正确的是( )A．n！＝n＋1！n＋1B．A m n＝n A m－1n－1C．A m n＝n！n－m！D．A m－1n－1＝n－1！m－n！答案 D解析由排列数公式，得A m－1n－1＝n－1！n－m！，选D.18．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.答案 2解析(1＋4＋5＋x)·A44＝288，解得x＝2.。

课时作业32 等比数列及其前n 项和1．已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( A ) A ．4 B ．2 C.12 D.14 解析：由题意知2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2. 设{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 3＝1， 得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)， 所以a 1＝a 3q 2＝4. 2．(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( D ) A ．3 B ．5 C ．9 D ．25 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D. 3．(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( C ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1， 由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立， 则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－3，q ＝－2， 故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( A ) A ．－ 3 B ．－1 C ．－33 D. 3 解析：依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D ) A.32f B.322f C.1225f D.1227f 解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D. 6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A ) A ．2n ＋1－2 B ．2n ＋1 C ．2n 2－ 2 D ．2n ＋22－ 2 解析：因为点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上， 所以a n －2·a n －1＝0. 又因为a n ＞0，所以a n a n －1＝2(n ≥2)． 又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以所求的S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 7．(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( B ) A ．210 B ．220 C ．216 D ．215 解析：因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B. 8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( D ) A ．S n ＝2T n B ．T n ＝2b n ＋1 C ．T n ＞a n D ．T n ＜b n ＋1 解析：由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3， 由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1， 设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1， 当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3， 当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2， 数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1， 由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1. 9．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为 4 . 解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝22， 所以a 2 017＝a 2 018q ＝22q ，a 2 019＝a 2 018q ＝22q ， 则有1a 2 017＋2a 2 019＝2q ＋222q ＝2q ＋22q ≥2 2 q ×2q ＝4，当且仅当q 2＝2， 即q ＝2时取等号，故所求最小值为4. 10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝ 3 . 解析：由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)， 又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)， 可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2， 又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值； (2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． 解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1， 即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78. (2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．12．(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1. 解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立． 所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1. 由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列， 可得2a 3＝3a 2＋2， 即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q ＞0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1. 所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43. 因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)， 所以1＋q 2(k －1)＞q k －1(k ∈N *)． 于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1， 故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n 3n －1.13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D ) A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507 B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 解析：由题意可知b ＝12a ，c ＝12b ， ∴b a ＝12，c b ＝12. ∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12. ∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a ＋b ＋c ＝50， 又易知a ＝4c ，b ＝2c ，∴4c ＋2c ＋c ＝50， ∴7c ＝50，∴c ＝507，故选D. 14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜t ，则实数t 的取值范围为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1， 又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n (n ＋1)2 . 解析：由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1， ∴a n ＋1＝b n b n ＋1， 当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∵b n ＞0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1， ∴{b n }成等差数列， 由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92， ∴b 1＝2，b 2＝322， ∴公差d ＝22， ∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝(n ＋1)22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n (n ＋1)2. 16．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3， 即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12. 又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明：由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数. 当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. 当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. 故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.。

第一章第课时一、选择题(每小题分，共分)．下列问题中：()本不同的书分给位同学，每位一本；()位同学互通一次电话；()位同学互通一封信；()个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有( )．个．个．个．个解析：由排列与顺序有关，可知()()是排列，()()不是排列，故选.答案：．(·桂林市高二期末测试)×××…××等于( )．．．．解析：由排列数公式知，选.答案：．在，，，四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法( )．种．种．种．种解析：这是一个排列问题，即从四个不同元素中选出两个元素的排列数，由公式知＝×＝，故选.答案：．已知＝，则等于( )．．．．解析：由已知得(－)＝，即－－＝，∴＝或＝－(舍去)，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．从，，，，五个元素中每次取出三个元素，可组成个以为首的不同的排列，它们分别是.解析：画出树形图如下：可知共个，它们分别是，，，，，，，，，，，.答案：，，，，，，，，，，，．(·江苏省徐州市高二期末测试)用这四个数字能组成没有重复数字的三位数个．(用数字表示)解析：这是一个排列问题由排列数公式可知，可组成＝××＝(个)没有重复数字的三位数．答案：三、解答题(每小题分，共分)．判断下列问题是否是排列问题：()某班共有名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？()从到十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？()会场有个座位，要求选出个座位安排个客人就座，有多少种不同的方法？()某班有名学生，假期约定每人通电话一次，共需通电话多少次？解析：()是．选出的人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题．()是．任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关．()是．“入座”问题同“排队”一样，与顺序有关，故选个座位安排位客人是排列问题．()不是．通电话一次没有顺序，故不是排列问题．．()从四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？()由四个数字共能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．解析：()由题意作树形图，如图．故所有的两位数为，共有个．()直接画出树形图．由上面的树形图知，所有的四位数为：.共个四位数．。

一、选择题1．设，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：观察a 、c 可比较幂函数y ＝在(0，＋∞)为增函数，∵35>25，∴a >c ，再比较b 、c .利用指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x 在R 上为减函数．而35>25，∴c >b ，∴a >c >b .选A. 答案：A2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( ) A.10B ．10C ．20D ．100解析：由2a ＝m ，得a ＝log 2m ；同理b ＝log 5m ，又1a ＋1b＝2， ∴1log 2m ＋1log 5m ＝lg 2＋lg 5lg m ＝1lg m＝2. 故m ＝10，故选A.答案：A3．设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系式中一定成立的是( )A ．3c ＞3bB ．3b ＞3aC ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析：画出f (x )的图象如图所示：∵c ＜b ＜a ，f (c )＞f (a )＞f (b )．∴c ＜0，a ＞0，∴3c ＜1，3a ＞1，∴f (c )＝|3c －1|＝1－3c ，f (a )＝|3a －1|＝3a －1，又f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1，即3a ＋3c ＜2.答案：D4．(2012年泰安二模)设2x ＝5y ＝m ，且1x ＋1y＝2，则m 的值是( ) A ．±10 B.10 C ．10 D ．100解析：∵2x ＝5y ＝m ，∴x ＝log 2m ，y ＝log 5m∴1x ＋1y＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10. 答案：B5．(2011辽宁)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上可知x ≥0.答案：D二、填空题6．已知集合P ＝{x |lg x >0，x ∈R}，Q ＝{x |2x <4，x ∈R}，则P ∩Q ＝________．解析：∵lg x >0，∴x >1，∴P ＝{x |x >1}．∵2x <4，∴x <2，∴Q ＝{x |x <2}．∴P ∩Q ＝{x |1<x <2，x ∈R}．答案：{x |1<x <2，x ∈R}7．若f (x )＝a －x 与g (x )＝a x －a (a ＞0且a ≠1)的图象关于直线x ＝1对称，则a ＝________． 解析：函数f (x )＝a －x 上任意一点(x 0，y 0)关于直线x ＝1对称的点为(2－x 0，y 0)，即有g (2－x 0)＝a 2－x 0－a ＝f (x 0)＝a －x 0，故a ＝2.答案：28．(2011天津)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2ab .∵log 2a ＋log 2b ≥1.∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab ≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a ＋9b 的最小值为18.答案：189．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2log 3（x 2－1），x ≥2.则不等式f (x )>2的解集是________． 解析：当x <2时，2e x －1>2，∴e x －1>1，∴x －1>0，∴x >1，∴1<x <2，当x ≥2时，log 3(x 2－1)>2，∴x 2－1>9，∴x 2>10，∴x <－10或x >10.又∵x ≥2，∴x >10.综上，f (x )>2的解集为：(1，2)∪(10，＋∞)．答案：(1，2)∪(10，＋∞)三、解答题10．已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ， 由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0； 解得2x ＝1±2.∵2x ＞0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)．∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1，2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]．故m 的取值范围是[－5，＋∞)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋1 （0＜x ＜c ）2c －x 2＋1 （c ≤x ＜1）满足f (c 2)＝98. (1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )＞28＋1. 解析：(1)依题意0＜c ＜1，∴c 2＜c ，∵f (c 2)＝98， ∴c 3＋1＝98，c ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1 ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，2－4x ＋1 ⎝⎛⎭⎫12≤x ＜1， 由f (x )＞28＋1得 当0＜x ＜12时，12x ＋1＞28＋1，∴24＜x ＜12， 当12≤x ＜1时，2－4x ＋1＞28＋1，∴12≤x ＜58. 综上可知，24＜x ＜58， ∴f (x )＞28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |24＜x ＜58. 12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m 、n 同时满足下列条件：①m ＞n ＞3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)∵x ∈[－1，1]，∴⎝⎛⎭⎫13x∈⎣⎡⎦⎤13，3. 设t ＝⎝⎛⎭⎫13x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3， 则φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a ＜13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a ＞3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a . ∴h (a )＝⎩⎨⎧289－2a 3 ⎝⎛⎭⎫a ＜13，3－a 2 ⎝⎛⎭⎫13≤a ≤3，12－6a （a ＞3）. (2)假设满足题意的m 、n 存在，∵m ＞n ＞3，∴h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数．∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，∵m ＞n ＞3，∴m ＋n ＝6，但这与“m ＞n ＞3”矛盾．∴满足题意的m 、n 不存在．。

一、选择题1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法．(或A27＝42)答案：422．(2012年太原质检)如右图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有()A．20种B．18种C．16种D．17种解析：问题可转化为分离的4个区域，用3条线段将其连接起来，不同的连接方案有多少种？如右图分别连接A、B、C、D四点的线段共有6条，任意选3条有C36种连接方法，其中A－B－C，A－B－D，A－C－D，B－C－D四种情况不合题意应舍去．∴共有C36－4＝20－4＝16(种)．答案：C3．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒解析：所有不同的闪烁共有A55＝120种．每次闪烁时间5秒，共5×120＝600 s，每两次闪烁之间的间隔为5 s，共5×(120－1)＝595 s，总共就有600＋595＝1195 s.答案：C4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选项共有()A．30种B．35种C．42种D．48种解析：法一：分类讨论：要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法：A类2门，B 类1门或A类1门，B类2门，即C23C14＋C13C24＝30.法二：任选3门有C37种选法，3门全为A类的或B类的有C34＋C33＝5，所以两类课程中各至少选一门的选法有C37－C34－C33＝30.答案：A5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15解析：当两个位置相同时，C42×1＝6，当仅一个位置相同时，C41×1＝4，当都不相同时，仅1种．∴N＝6＋4＋1＝11.故选B.答案：B二、填空题6．(2011年湖北)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)解析：由对立事件的概率公式可得所求概率P＝1－C227C230＝28145.答案：281457．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．解析：个位、十位、百位上的数字之和为偶数，有两种情况：一是三个数字都为偶数；二是两个奇数和一个偶数．再注意千位上不能放0，即可求得所求．答案：3248．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：把6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，共有14C 26·C 24·C 12＝14×15×6×2＝45种方法， 再将这四组安排到四个不同场馆，共有45×A 44＝45×24＝1 080种不同方法．答案：1 0809．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．解析：设四位同学为甲、乙、丙、丁，由题意知上午可以测“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”，下午可以测“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”，因为“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”上午中各测一人，所以上午的安排方式中A 44＝24(种)，不防设甲上午测上“台阶”，乙测“立定跳远”，丙测“身高与体重”，丁测“肺活量”，下午测时，甲如果测“握力”，则乙、丙、丁的测法有“身高与体重”、“肺活量”、“立定跳远”或是“肺活量”、“立定跳远”、“身高与体重”2种测试方式，甲如果测的是“立定跳远”，则乙、丙、丁的测试有“台阶”、“肺活量”、“身高与体重”或“身高与体重”、“肺活量”、“台阶”或“肺活量”、“台阶”、“身高与体重”3种测试方式，同理，甲如果测“身高与体重”与“肺活量”时也各有3种方式．∴所有的安排方式有24×(2＋3×3)＝264(种)．答案：264三、解答题10．某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语，若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中3个队要安排会英语的导游，2个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有多少种？解析：依题意，导游中有5人只会英语，3人只会日语，一人既会英语又会日语． 按只会英语的导游分类：①3个英语导游从只会英语人员中选取，则有A 35×A 24＝720(种)．②3个英语导游从只会英语的导游中选2名，另一名由既会英语又会日语的导游担任，则有C 25A 33·A 23＝360(种)．故不同的安排方法共有A 35×A 24＋C 25×A 33×A 23＝1 080(种)．所以不同的安排方法共有1 080种．11．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A 34＝24(种)．(2)∵总的排法数为A 55＝120(种)，∴甲在乙的右边的排法数为12A 55＝60(种)． (3)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；若分配到2所学校有C 27×2＝42(种)；若分配到3所学校有C 37＝35(种)．∴共有7＋42＋35＝84种方法．法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C 69＝84种不同方法．所以名额分配总数为84种．12．有4个不同的小球，4个不同的盒子，现要把球全部放进盒子内．(1)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？(2)恰有2个盒子不放球，共有多少种方法？解析：(1)将4个不同的球分为3组，放到4个不同的盒子中的3个盒子里，共有C 24A 34＝144种方法．(2)若两个盒子中各有两球有C 24C 22A 22A 24种方法， 若两个盒子中一盒一个另一盒3个有C 34A 24种方法，根据分类计数原理共有⎝⎛⎭⎫C 24C 22A 22＋C 34 A 24＝84种不同的方法.。

一、选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( ) A ．{x |x ≠π4，x ∈R} B ．{x |x ≠－π4，x ∈R} C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R} D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R} 解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎪⎫x －π4， 要使y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 有意义，即y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4有意义，则x －π4≠k π＋π2，x ≠k π＋3π4(k ∈Z)． 答案：D2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1，1].⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1 .⎣⎡⎦⎤－1，54 解析：∵y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋122－54， 又－1≤sin x ≤1.∴－12≤sin x ＋12≤32，∴0≤⎝⎛⎭⎫sin x ＋122≤ 94， 因此－54≤y ≤94－54＝1，故选C. 答案：C3．(2011年安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)B.⎣⎡⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 解析：因为当x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6恒成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin (π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin (2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6，函数f (x )的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)，故选C. 答案：C4．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R.若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≥1，得2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6(k ∈Z)，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z)，故选A. 答案：A5．(2012年广东省肇庆高中毕业班第一次模拟)已知函数f (x )＝(cos 2x cos x ＋sin 2x sin x )sin x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝(cos 2x cos x ＋sin 2x sin x )sin x ＝cos x sin x ＝12sin 2x ， ∴函数f (x )是最小正周期为π的奇函数．答案：A二、填空题6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2 x 的最小正周期是________． 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2 x ＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2， 周期T ＝2π2＝π. 答案：π7．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)．(1)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________； (2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上递增，则ω的取值范围是________． 解析：(1)由题意知T 4≤π3，T ＝2πω， ∴2ω≥3，ω≥32， ∴ω的最小值等于32. (2)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎥⎤－π2，π2上递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－π2≤－ωπ3π2≥ωπ4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ω≤32，ω≤2，∴0＜ω≤32. 答案：(1)32 (2)0＜ω≤328．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0，0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________．解析：因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得x 0＝－π6. 答案：－π69．设定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．解析：∵6cos x ＝5tan x ，∴6cos 2x ＝5sin x ，∴6sin 2x ＋5sin x －6＝0，∴sin x ＝－32(舍)或sin x ＝23.故填23. 答案：23三、解答题10．(2011年重庆)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值． 解析：f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x＝a 2sin 2x －cos 2x . 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎣⎢⎡⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2. 11．已知函数f (x )＝2a sin x cos x －2a (sin x ＋cos x )＋a ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5，1]，求a 和b 的值．解析：设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x ·cos x ＝t 2－1，且t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，3π4， ∴t ∈[1，2]，∴原题等价于函数y ＝at 2－2at ＋b .在t ∈[1，2]上的值域为[－5，1]．∵a ＝0时不合题意，∴a ≠0，∴二次函数图象的对称轴为t ＝22， (1)当a ＞0时，二次函数在[1，2]上递增，∴y max ＝a (2)2－2a ×2＋b ＝b ，y min ＝a －2a ＋b ＝(1－2)a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，（1－2）a ＋b ＝－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝62＋6； (2)当a ＜0时，二次函数在[1，2]上递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝（1－2）a ＋b ＝1，y min ＝b ＝－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ＝－（62＋6） 综上，a ＝62＋6，b ＝1或a ＝－(62＋6)，b ＝－5.12．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及最小值． 解析：(1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π4)，T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π解得k π－58π≤x ≤k π－π8， 函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－58π，k π－18π(k ∈Z)．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π解得k π－18π≤x ≤k π＋38π， 函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－18π，k π＋38π (k ∈Z)． (3)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4， ∴cos (2x ＋π4)∈⎣⎡⎦⎤－1，22. ∴f (x )∈[－2，1]．∴当x ＝0时，f (x )的最大值为1，当x ＝38π时，f (x )的最小值为－ 2.。

一、填空题1．(2011年广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ( )。

A.34 B.23 C.35D.12解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.答案：A2．(2011年辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B.14 C.25D.12解析：P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 22C 25＝110. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝110410＝14.答案：B3．(2011年湖北)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为()\A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析：可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864. 答案：B4．设随机变量X ～B (6，12)，则P (X ＝3)＝( )。

A.516 B.316 C.58D.38解析：P (X ＝3)＝C 36(12)3·(12)3＝516.答案：A5．某产品使用寿命超过5 000小时的为一级品，现已知某一大批产品中的一级品率为0.2，从中任抽出5件，5件中恰有两件为一级品的概率为( )。

2013年高考数学总复习 高效课时作业3-2 理 新人教版一、选择题1．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C.19D.53解析：cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝89－1＝－19.答案：B2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1 ＝22＋2－222＋1＝45，故选D.答案：D3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°解析：注意到sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， 且0°<11°<12°<80°<90°，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°，选C. 答案：C4．(2012年河北省唐山市高三第二次模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－1010B.1010C ．－31010D.31010解析：因为tan α＝2，α为第三象限， 所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－31010，故选C. 答案：C5．若cos 2αsin （α－π4）＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72解析：依题意得cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 因此sin α＋cos α＝12，选C.答案：C 二、填空题6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________．解析：∵tan α＝－12，∴sin 2αcos 2α＝14， ∴4sin 2α＝cos 2α， ∴4(1－cos 2α)＝cos 2α， ∴cos 2α＝45，∵α为第二象限的角，∴cos α＝－255.答案：－2557．(2011年重庆)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________． 解析：由已知，得sin α＝－1－cos 2α＝－45，因此，tan α＝43.答案：438．(2011年江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 解析：因为r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8. 答案：－89．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝________． 解析：∵2k π＋π<α<2k π＋3π2，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π. 又cos 2α＝－35，∴2α的终边在第二象限， ∴sin 2α＝45，∴tan 2α＝－43.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－431＋43＝－17. 答案：－17三、解答题10．已知3cos 2(π＋x )＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1.求6sin x ＋4tan 2x －3cos 2(π－x )的值．解析：由条件3cos 2x ＋5sin x ＝1，即3sin 2x －5sin x －2＝0， ∴sin x ＝－13或sin x ＝2(舍去)，∴cos 2x ＝1－sin 2x ＝89，∴tan 2x ＝18，∴6sin x ＋4tan 2x －3cos 2(π－x ) ＝6sin x ＋4tan 2x －3cos 2x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89 ＝－256.11．如果sin α·cos α＞0，且sin α·tan α＞0.化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋cos α2·1＋sin α21－sinα2.解析：由sin α·tan α＞0，得sin 2αcos α＞0，cos α＞0.又sin α·cos α＞0，∴sin α＞0， ∴2k π＜α＜2k π＋π2(k ∈Z)，即k π＜α2＜k π＋π4(k ∈Z)．当k 为偶数时，α2位于第一象限；当k 为奇数时，α2位于第三象限；∴原式＝cos α2·（1－sin α2）2cos2α2＋cos α2·（1＋sin α2）2cos2α2＝cos α2·1－sin α2|cos α2|＋cos α2·1＋sin α2|cos α2|＝2cosα2|cos α2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （α2在第一象限时），－2 （α2在第三象限时）.12．已知f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan ()α＋5πtan （－α－π）·sin （α－3π）(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解析：(1)f (α)＝cos α（－sin α）tan α（－tan α）（－sin α）＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－25 6.∴f (α)＝256.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

专题一 函数与导数 第1课时1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e2．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)3．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1200＋275x 3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时总利润最大．( )A ．10B ．25C ．30D ．404．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32 C ．2 D ．3 5．(2022年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )(导学号 58940254)A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6．(2022年新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(导学号 58940255) (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．7．(2021年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝x 3－3x .(导学号 58940256) (1)争辩f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，求实数m 的取值范围； (3)设函数h (x )＝e x －e x ＋4n 2－2n (e 为自然对数的底数)，假如对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)≤h (x 2)恒成立，求实数n 的取值范围．8．(2022年北京)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)专题一 函数与导数第1课时1．B 解析：由于f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，所以f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1.解得f ′(1)＝－1.故选B.2．C 解析：由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在x >0上有解，即x ＝－a ，所以a <0.故选C.3．B 解析：设单价为q ＞0，由题意q 2＝kx，当x ＝100时，q ＝50，∴k ＝q 2x ＝502×100＝250 000.∴q 2x＝250 000，q ＝500x .∴总利润y ＝xq －C (x )＝x ·500x －⎝⎛⎭⎫1200＋275x 3.令y ′＝500·12 x －275·3x 2＝0，解得x ＝25.当0＜x ＜25时，y ′＞0，当x ＞25时，y ′＜0，∴当x ＝25时，总利润最大．4．C解析：f ′(x )＝x 2＋2ax －b在[－1,3]上有f ′(x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(3)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，6a －b ≤－9.设⎩⎪⎨⎪⎧u ＝2a ＋b ≥1，v ＝b －6a ≥9.设a ＋b ＝mu ＋n v ＝m (2a ＋b )＋n (－6a ＋b )＝(2m －6n )a ＋(m ＋n )b ，对比参数：2m －6n ＝1，m ＋n ＝1，解得m ＝78，n ＝18，∴a ＋b ＝78u ＋18v ≥2.则a ＋b 的最小值为2.5．C 解析：a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .若a ＞0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．则a ＜0，由图象结合f (0)＝1＞0知，此时必有f ⎝⎛⎭⎫2a ＞0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1＞0， 化简，得a 2＞4.又a ＜0，所以a ＜－2.故选C.6．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.令g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0，(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0，得 x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1.故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在x ∈(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0. 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．7．解：(1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1). 由于当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． (2)方法一，由(1)知，g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增， 在(－1,1)上单调递减，所以g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝2－m ，在x ＝1处取得微小值g (1)＝－2－m .由于g (x )在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫－32≤0，g (－1)＞0，g (1)＜0，g (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧98－m ≤0，2－m ＞0，－2－m ＜0，18－m ≥0.解得98≤m ＜2.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫98，2.方法二，要函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，就是要方程g (x )＝f (x )－m ＝0在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个实根，也就是只要函数y ＝f (x )和函数y ＝m 的图象在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个不同的交点． 由(1)知，f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减； 所以f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝2，在x ＝1处取得微小值f (1)＝－2.又f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f (3)＝18. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫98，2.(3)对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)≤h (x 2)恒成立，等价于当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )max ≤h (x )min 成立.由(1)知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝－118，f (2)＝2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值f (x )max ＝2.h ′(x )＝e x －e ，令h ′(x )＝0，得x ＝1. 由于当x ＜1时，h ′(x )＜0；当x ＞1时，h ′(x )＞0；所以h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增． 故h (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值h (x )min ＝h (1)＝4n 2－2n . 所以4n 2－2n ≥2.解得n ≤－12，或n ≥1.故实数n 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 8．解：(1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22，或x ＝22. 由于f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为 f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)． 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)．整理，得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的状况如下：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)g ′(x ) ＋－＋ g (x )t ＋3 t ＋1所以g (0)当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0，且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，由于g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0，所以g (x )分别在区间(－1,0)，(0,1)和(1,2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和(1，＋∞)和(0,1)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)和(0,1)上恰有1个零点．综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。

一、选择题1．(2011年天津)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为 ( ) A ．－154 B.154C ．－38 D.38 解析：在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C 6r⎝⎛⎭⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C 6r ⎝⎛⎭⎫126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，可得含x 2的项的系数是 C 61⎝⎛⎭⎫125(－2)＝－38，故选C. 答案：C 2．(2011年课标全国)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：对于⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，可令x ＝1得1＋a ＝2，故a ＝1.(2x －1x)5的展开式的通项T r ＋1＝C 5r (2x )5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C 5r 25－r ×(－1)r ×x 5－2r ，要得到展开式的常数项，则x ＋1x 的x 与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的1x相乘， x ＋1x 的1x与⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的x 相乘， 故令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得r ＝2，从而可得常数项为C 53×22×(－1)3＋C 52×23×(－1)2＝40.答案：D3．二项展开式(2x －1)10中x 的奇次幂项的系数之和为( )A.1＋3102B.1－3102C.310－12 D ．－1＋3102解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，两式相减可得，a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102，故选B. 答案：B4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数为( )A ．297B ．207C ．252D ．－45解析：∵(1＋x )10＝C 100x 0＋C 101x 1＋C 102x 2＋C 103x 3＋C 104x 4＋C 105x 5＋…＝1＋10x ＋45x 2＋…＋252x 5＋…∴(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数为252－45＝207.答案：B5．设⎝⎛⎭⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则 展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．－210D ．210解析：由题意知，M ＝4n ，N ＝2n ，由M －N ＝240可解得n ＝4，所以展开式中x 的系 数为C 4252(－1)2＝150，故选B.答案：B二、填空题6．(2011年浙江)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ， 则a 的值是________．解析：对于T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a x 12r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ， B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.答案：27．(2011年安徽)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝ ___________________.解析：(x －1)21的展开式的通项为T r ＋1＝C r 21x21－r ·(－1)r .由题意知a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案：08．(2011年山东)若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.答案：49．(2011年广东)x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数是________．(用数字作答) 解析：原问题等价于求⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数，(x －2x)7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x7－2r ， 令7－2r ＝3得r ＝2，∴x 3的系数为(－2)2C 27＝84，即x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数为84. 答案：84三、解答题10．已知(x x ＋23x)n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．解析：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·(23x)r ＝C r n 2r x 9n －11r 6(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 0n 20＋C 1n ·22＋C 2n ·22＝129， ∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，∴n ＝8.故T r ＋1＝C r 82r x 72－11r 6(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6＝0，∴72－11r ＝0，∴r ＝7211∉N ， ∴展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则72－11r 6＝1， ∴72－11r ＝6，∴r ＝6，∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 6826x ＝1 792x .11．已知数列{a n }满足a n ＝n ·2n －1(n ∈Z *)，是否存在等差数列{b n }，使a n ＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋ b 3C 3n ＋…＋b n C n n 对一切正整数n 成立？并证明你的结论．解析：假设存在等差数列{b n }使等式a n ＝b 1C 1n ＋b 2C 2n ＋b 3C 3n ＋…＋b n C n n 对一切正整数n 成立．当n ＝1时，得1＝b 1C 11，所以b 1＝1；当n ＝2时，得4＝b 1C 12＋b 2C 22，所以b 2＝2；当n ＝3时，得12＝b 1C 13＋b 2C 23＋b 3C 33，所以b 3＝3，…所以可猜想等差数列{b n }的通项为b n ＝n .证明：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋n C 2n －1＋…＋n C n －1n －1＝n ·2n －1.12．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解析：根据二项式系数的性质，列方程求解n .系数绝对值最大问题需要列不等式组求解． 由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大． 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大．∵T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10·210－r ≥C r －110·211－r ，C r 10·210－r ≥C r ＋110·29－r ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r ，解得83≤r ≤113. ∵r ∈Z ，∴r ＝3，故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。