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探究椭圆的生成方式刘桂芹 天津蓟县第一中学一、背景分析在学习椭圆之后，学生对曲线与方程有了一定的了解；基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线的方程.一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材.通过学习，从书本的例题以及习题中的一些轨迹方程的求解中发现了许多生成椭圆的方法，除了椭圆的定义之外还有很多其它方法，如圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成的轨迹是椭圆.学生对椭圆已有一定的感性认识.归纳例题、习题是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识进行探究，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，在探究过程中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神，开阔学生知识应用视野.二、课堂生成1．创设情境 提出问题【师】同学们，前一段时间我们学习了求曲线的轨迹方程的方法，下面我们一起求解几个这类问题.教师给出2个问题 （1）将圆422=+yx上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程.（2）设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-,求点M 的轨迹方程.提问：通过求出方程，判断所求轨迹是什么曲线. 2．实践操作 获得感知【生】学生开始动手求解教师提出的问题.按照求曲线的轨迹方程的一般步骤进行实践操作.进而得出轨迹方程分别是（1）1422=+yx(2))5(191002522±≠=+x yx【师】请同学们观察以上轨迹方程，得出轨迹是什么曲线？【生】学生回答轨迹是椭圆，理由是它们均符合椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by ax .【师】椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.椭圆的标准方程除应用定义推导方法外，你还有得到椭圆其他方法吗？刚才的推导过程给同学们怎样的启示？【生】学生开始议论，对这个问题产生浓厚兴趣.提出大胆猜想生成椭圆的方式可以从圆的纵坐标的变换和一个动点到两个定点连线的斜率之积两个角度考虑.【师】既然同学们产生了猜想，那就让我们一起来验证大家的猜想. 3．讨论探究 科学论证【师】将圆422=+y x 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的31、43、2倍，所得的曲线的方程又如何.计算出结果后，共同讨论探究将圆的纵坐标进行怎样的变换，可以得到椭圆？【生】学生通过仔细计算得出相应曲线方程194422=+yx、149422=+yx、116422=+yx.教师引导学生讨论得出结论：将圆的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短可以得到椭圆.【师】通过计算曲线的方程形如)0(12222>>=+b a by ax 或)0(12222>>=+b a bx ay仍然是椭圆的标准方程.生成椭圆的方式之一是将圆的纵坐标进行伸缩变换.【生】把学生分为两组，分别做“设点B A ,的坐标分别为)0,5(),0,5(-，直线相交于点M ，且它们的斜率之积是2-、 31-并结合求得的结果让学生进行总结：你得到了什么结论？【师】最后向学生展示结论：当两条直线斜率之积是负常数时，动点M 的轨迹是椭圆。
案例分析：椭圆定义推导案例分析：椭圆定义推导案例分析：椭圆定义推导教学中，许多老师往往比较重视将教科书上的知识教给学生，忽视让学生领略知识的发生发展过程，忽视情意教学目标，忽视学生主体地位，学生的学习过程大多停留在理解，记忆，复述，重现知识的阶段，而奢谈学生思维能力的培养，心理素质的发展，个性品质的健全。
心理学理论认为：知识的获得是一种学生主动的认知活动，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的参与者。
人本主义教育观认为：成长的可能性是学生与生俱有的，而教育最重要，最根本的目的即在于将这种可能性转化为现实，培养学生成为“完整的人”。
在解析几何中，圆锥曲线是这块内容中的重点、难点和考点。
根据教材的安排，双曲线、抛物线的定义和性质的给出都是类比于椭圆的定义、性质。
因此，椭圆的定义、标准方程、性质的教学是这一内容的重中之重，而标准方程又是根据椭圆的定义得出，所以椭圆的定义推出显得至关重要。
现把这一教学片段展示如下：教师：在生活中，哪些事物是呈椭圆形的。
学生1：鸡蛋，橄榄球……还有个别学生2：没有画圆的圆。
教师微笑：大家说的都很对，椭圆是一个很美的图形，我想大家看了下面的几个场景就有此感觉了。
（演示课件：花卉的瓣，倒影在水面上的拱桥，美国白宫，地球运动轨迹等）（黑板上书写课题：椭圆定义及其标准方程）教师：椭圆的形状很美，它在生活中应用很广泛，从上面我们可以看到它用在建筑、天文学上，因此我们很有必要对椭圆进行研究。
我们看到椭圆的形状是一个压扁了的圆，那我们一起回忆圆的定义。
学生3：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。
教师：我们是怎样画圆的呢？同学们画画看。
（课前教师要求学生每人准备一块硬纸板，并发给每一位学生两颗图钉几颗及一根定长细绳子）学生：（动手画圆）教师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹。
”行不行。
学生齐声地：行教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？学生：（动手画椭圆）教师：（现场用几何画板制作课件：作椭圆）教师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活中找到了它的应用，下面我们能否根据上面圆的定义给出椭圆的定义？学生4：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。
一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解椭圆的基本概念和定义；（2）掌握制作椭圆的基本步骤和技巧；（3）学会运用椭圆制作工具和材料。
2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、操作等活动，培养学生的观察能力和动手能力；（2）引导学生运用几何知识解决实际问题，提高学生的空间想象力和几何思维能力；（3）培养学生的团队合作精神，提高学生的沟通能力和协作能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养学生对几何美学的认识；（2）培养学生严谨、细致、求实的科学态度；（3）培养学生的创新意识和实践能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）椭圆的基本概念和定义；（2）制作椭圆的基本步骤和技巧。
2. 教学难点：（1）正确运用椭圆制作工具和材料；（2）在制作过程中保持椭圆的几何性质。
三、教学准备1. 教师准备：（1）椭圆的相关知识PPT；（2）制作椭圆的工具和材料（如：铅笔、直尺、圆规、橡皮筋、硬纸板等）；（3）示范制作椭圆的步骤和技巧视频。
2. 学生准备：（1）准备制作椭圆的工具和材料；（2）预习椭圆的相关知识。
四、教学过程1. 导入新课（1）教师简要介绍椭圆的定义和几何性质；（2）提问：同学们，你们知道如何制作一个椭圆吗？2. 新课讲授（1）教师演示制作椭圆的步骤和技巧，并讲解每个步骤的注意事项；（2）学生跟随教师操作，尝试制作椭圆；（3）教师巡视指导，纠正学生的操作错误。
3. 课堂练习（1）学生独立完成制作椭圆的练习；（2）教师选取部分学生的作品进行展示和点评；（3）总结制作椭圆的技巧和方法。
4. 总结与拓展（1）教师引导学生总结制作椭圆的步骤和技巧；（2）拓展：探讨椭圆在生活中的应用，如建筑设计、机械制造等。
5. 课后作业（1）学生回顾制作椭圆的过程，总结经验教训；（2）课后完成制作椭圆的实践作业，提高自己的动手能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的参与度、合作意识、动手能力等；2. 作业完成情况：检查学生的实践作业，评价其制作效果和技巧掌握程度；3. 学生反馈：收集学生对本节课的反馈意见，为后续教学提供改进方向。
探究椭圆轨迹形成的若干方法作者：黄春妮来源：《新课程·中学》2014年第08期摘要：借助几何画板探究了椭圆轨迹形成的四种方法：定义法、压缩法、参数方程法、代数法。
关键词：椭圆；轨迹；几何画板一、定义法1.作图步骤：（1）在x轴上任取一点F1，并作关于y轴的对称点F2；（2）以F1为圆心作圆，在圆上任取一点P，连结PF2，并作线段PF2的垂直平分线交直线PF1于点M；（3）选中点P和点M，作轨迹。
2.操作说明：拖动点P可观察轨迹形成过程，拖动点F1或F2可改变曲线的类型（由椭圆变成双曲线）。
3.典型例题：在⊙C：（x+1）2+y2=25内有一点A（1，0），Q为圆周上任一点，AQ的垂直平分线与QC连线的交点为M，求点M的轨迹方程。
4.使用说明：将点F1移到（-1，0）点，那么F2即为A，可将标签进行修改，再拖动圆上控制点将圆F1的半径调为5即可。
二、压缩法1.作图步骤：（1）以原点为圆心画圆O；（2）在圆O上任取以点P，过P作x轴的垂线；垂足为Q，在线段PQ上按需要的比例取点M；（3）选定点P和点M，作轨迹。
2.操作说明：运动点P可演示轨迹椭圆形成的过程，拖动点M可改变椭圆的形状。
3.典型例题：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，当点P在圆上运动时，求线段PQ的中点M的轨迹是什么？变式：若点M为线段PQ上其他任意位置呢？4.使用说明：将点M移到相应比例的位置即可。
三、参数方程法1.作图步骤：（1）以原点为圆心画两个半径不同的圆；（2）在大圆O上任取点P，过P 作x轴的垂线，垂足为Q，连接OP交小圆O为点R，过R作线段PQ的垂线，垂足为M；（3）选定点P和点M，作轨迹。
OR）的旋转角，不是OM的旋转角。
4.使用说明：可直观地类比圆的参数方程与椭圆参数方程中参数的不同意义。
四、代数法2.操作说明：拖动点P可观察轨迹生成过程；拖动点C控制定值m，反映不同的轨迹。
椭圆的生成算法原理椭圆是数学中一个重要的几何图形，其形状类似于拉伸的圆，具有许多特殊的性质和应用。
椭圆的生成算法是指通过一系列步骤和公式来确定椭圆上各个点的坐标，即生成椭圆的过程。
下面将详细介绍椭圆的生成算法原理。
椭圆的生成算法主要有两种，一种是解析生成算法，另一种是数值生成算法。
1. 解析生成算法：解析生成算法是通过椭圆的几何性质以及数学公式来确定椭圆上各个点的坐标。
椭圆的数学定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和恒定的点的集合，这个距离之和被称为椭圆的焦距。
椭圆的生成算法可以通过以下步骤来实现：（1）确定椭圆的中心点坐标：椭圆的中心点坐标是椭圆坐标系的原点，可以通过给定的椭圆中心点位置来确定。
（2）确定椭圆的长轴和短轴长度：椭圆的长轴和短轴是确定椭圆形状的关键参数，可以通过给定的椭圆长轴长度和短轴长度来确定。
（3）确定椭圆的旋转角度：椭圆可以绕着中心点旋转一定角度，旋转角度可以通过给定的旋转角来确定。
（4）根据椭圆的数学公式确定椭圆上各个点的坐标：椭圆的数学公式为：x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度，θ是点P在椭圆上的极角。
通过以上步骤，椭圆的生成算法能够确定椭圆上任意给定角度的点的坐标。
2. 数值生成算法：数值生成算法是通过数值计算的方法来确定椭圆上各个点的坐标。
常用的数值生成算法有Bresenham算法和中点画圆法。
（1）Bresenham算法：Bresenham算法是一种通过离散化的方法来绘制椭圆的生成算法。
该算法通过遍历椭圆的象限来确定椭圆上各个点的坐标，并在每个象限内使用Bresenham画线算法来绘制曲线。
（2）中点画圆法：中点画圆法是一种通过迭代计算的方法来绘制椭圆的生成算法。
该算法通过以椭圆的中心点为起点，按照逆时针方向遍历椭圆的一个象限，根据一个决策参数来确定椭圆上各个点的坐标。
这两种数值生成算法能够准确地绘制椭圆，适用于计算机图形学等领域。
从数学史看教材中椭圆定义和方程的推导椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何、物理、天文学等领域。
作为数学中的基础知识，椭圆在初中、高中以及大学数学课程中都有着重要的地位。
然而，在教材中椭圆的定义和方程往往被过于简化，不足以完全展现其数学意义和历史意义。
因此，本论文旨在从数学史的角度出发，对教材中椭圆的定义和方程进行具体的推导和分析，并结合历史上的实际问题加深理解。
二、定义的推导椭圆的定义最初可以追溯到古希腊时期。
当时，希腊人发现了一条特殊直线，被称为焦点，以及一条特殊几何形状，被称为轴。
根据轴和焦点的定义，椭圆可以定义为平面上所有到两个给定焦点的距离之和等于定值的点构成的集合。
如下图所示：其中，F1和F2是两个焦点，2a表示轴的长度，2c表示焦距的长度，P是椭圆上的某个点。
根据椭圆的这一定义，可以推导出椭圆的方程。
对于椭圆上的任意一点P(x,y)，有：$$PF_1+PF_2=2a$$根据焦距的定义，可以得到：$$PF_1+PF_2=2\\sqrt{c^2+x^2}$$因此，椭圆的方程为：$$(\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2})=1，a^2=b^2+c^2$$其中，a和b分别表示椭圆轴的长度，c表示焦距的长度。
三、历史问题的应用除了在数学中的应用，椭圆也在历史上有着广泛的应用。
在18世纪末，法国科学家拉格朗日就将椭圆引入到天文学中，利用椭圆轨道证明了开普勒行星运动定律。
在19世纪，德国天文学家开普勒就利用椭圆轨道研究了彗星的运动。
此外，椭圆还应用于火箭、卫星等领域的轨道设计中。
这些应用都充分体现了椭圆在现实生活中的重要性。
下面，结合历史上的实际问题，具体应用椭圆的定义和方程。
1.天文学：彗星的轨道研究开普勒是将椭圆轨道引入天文学中的先驱。
他发现，行星绕太阳的轨道并不是圆形的，而是椭圆形的。
椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图形学软件中最常见的生成算法之一。
在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为(x – x0)2 / a2+ (y – y0)2 / b2 = 1，其中(x0, y0)是圆心坐标，a 和b是椭圆的长短轴，特别的，当(x0, y0)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为x2 / a2 + y2 / b2 = 1。
在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。
为了简化，我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。
在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：图（1）椭圆的对称性中心在原点。
焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。
因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。
在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求解的方式。
本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。
1、中点画椭圆法中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：x2 / a2 + y2 / b2 = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：F(x, y) = b2x2 + a2y2 - a2b2 = 0 （方程 1）无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。
举个例子，如果某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。
生成椭圆的五种平面几何条件我们以焦点在x 轴上的椭圆为例探究其产生的主要的平面几何条件： １．由两定点生成椭圆（椭圆的定义）：椭圆方程2a +=（220a c >>）． 若动点(,)M x y 到定点1(,0)F c -、2(,0)F c 距离之和为定值2a ，其中220a c >>，则动点M 的轨迹是椭圆．根据这个定义，椭圆方程为：2a =（220a c >>）．可以进一步导出椭圆的标准方程为22221x y a b+=，其中222b a c =-．２．由一定点与定直线生成椭圆（推导标准方程过程中的副产品）：ca x c=- （0a c >>）． 根据椭圆的定义可知椭圆上的点(,)M x y 满足方程：2a =，将左边的一个根式移到右边并两边平方可得2a cx -=，可以变形为ca x c=-，表示(,)x y 与2(,0)F c 的距离，2a x c-表示(,)x y 与直线2a x c =的距离，因此当点(,)M x y 满足椭圆到定点2(,0)F c 与到定直线2a x c =距离之比为定值c a 时，得到点(,)M x y 的轨迹方程为22221x y a b+=．３．用一个圆生成椭圆：椭圆方程：22()()1xy ab+=(a b ≠)把22221x y a b +=变形为22()()1x y a b +=，设椭圆上任意一点00(,)M x y ，则2200()()1x y a b +=，令0x x a =，0yy b=，则221x y +=，注意到0x ax =，0y by =，即把圆221x y +=上的点的横坐标变为原来的a 倍，同时纵坐标变为原来的b 倍，其中a b ≠，则得椭圆22221x y a b+=．４．利用两个圆生成椭圆：椭圆方程： cos ,sin .x a y b θθ=⎧⎨=⎩把22221x y a b+=变形为22()()1x y a b +=，联想22cos sin 1θθ+=， 于是利用三角换元cos x aθ=，sin ybθ=， 即cos x a θ=,sin y b θ=，其中cos x a θ=可以看作圆222x y a +=上点的横坐标，sin y b θ=可以看作圆222x y b +=上点的横坐标，于是以两个同心圆为基础可以作出椭圆，作法如下： 如图1，作射线OA 交圆222x y a +=于A ，交圆222x y b +=于B ，过A 作AN x ⊥轴于N ，过B 作BM AN ⊥轴于M ，则M 的坐标为(cos ,sin )a b θθ，显然M 在椭圆22221x y a b+=上．５．利用两直线的交点生成椭圆：椭圆方程： 2200y y b x a x a a --⋅=--+，或2200y b y b b x x a-+⋅=---（１） 把22221x y a b +=变形为22221y x b a =-，22222y a x b a -=，在x a ≠±的条件下，又可变为22222y b a x a =-，即2200y y b x a x a a --⋅=--+，这表明椭圆上的点(,)x y 与长轴端点连线的斜率之比为定值22b a -．即当我们过定点(,0)a 、(,0)a -作两条直线，其斜率之积为22b a -时，交点M 在椭圆22221x y a b+=上． （2）把22221x y a b +=变形为22221x y a b =-，22222x b y a b -=，在0x ≠的条件下，又可变为22222b b y a x -=，即2200y b y b b x x a -+⋅=---，这表明椭圆上的点(,)x y 与短轴端点连线的斜率之比为定值22b a -．即当我们过定点(0,)b 、(0,)b -作两条直线，其斜率之积为22b a -时，交点M 在椭圆22221x y a b+=上．。
几何画板中椭圆的几种构造方法温州中学 陈晓龙在教学中本人发现利用几何画板可以有很多方法来构造椭圆的图象，于是把几种画法整理如下：椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和为定值2a （2a ＞|F 1F 2|）的点的轨迹。
椭圆的构造方法一：（1）以O 为圆心，2a 为半径作圆，在圆上任取一点P ，在圆内任取一点A ； （2）连接PO 、PA ，作PA 的中垂线与PO 交于点M ，连接MA ；（3）将点M 定义为“追踪点”，选中点P ，让点P 在圆上任意转动可得到点M 的轨迹为以O ，A 为焦点长轴长为2a 的椭圆 。
理由：图中的MP=MA ，所以OM+MA=OM+MP=OP=圆的半径，符合椭圆的第一定义。
椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca 2的距离的比是常数ac (a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。
点F是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。
常数e ＝ac (0<e <1)是椭圆的离心率。
椭圆的构造方法二：（1）取点F 和直线L ，（点F 不在L 上）。
过点F 作一条直线，在直线上取一点P ；（2）以F 为圆心以FP 为半径作圆，度量FP 的长度，取参数e=0.8(可改为其他小于1的正数)，计算FP/e ；（3）过P 点作直线L 的垂线，交L 于M 点，以M 为圆心，以FP/e 为半径做圆，交垂线于N 点，过N 作L 的平行线，交圆F 于A ，B 两点；（4）追踪A ，B 两点，让P 在直线PF 上任意移动可得椭圆方程。
理由：不管P 点在何位置，总可以保证A ，B 点到F 点距离与他们到直线L 的距离之比为0.8，所以构造方法二依据的是椭圆的第二定义。
椭圆的构造方法三：1．以坐标原点O 为圆心，分别以a 、b(a>b>0)为半径画两个圆;2．在大圆上取一点A ，连接OA 与小圆交于点B ；3．过点A 作AN 垂直于Ox 轴，垂足为N ；作BM 垂直于AN ，垂足为M ；4．分别选中点M 和点A ，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。
从数学史看教材中椭圆定义和方程的推导作者：王丙森来源：《新课程研究·上旬》2017年第12期【摘要】从数学史的角度研究高中数学，对认识、理解数学教育具有启发意义。
揭示数学概念、法则、结论的发展和本质，追求数学发展的历史足迹，能够使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会到其中蕴含的思想方法。
本文从圆锥曲线历史中，找到椭圆概念与现在教材的联系，同时介绍了椭圆的推导方法，通过在历史上对椭圆知识的处理，感受现今高中教材中对椭圆设置的合理性，感受数学的历史对高中数学的影响。
【关键词】数学史；高中数学；椭圆的定义；椭圆方程的推导；圆锥曲线中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）34-0114-02在人教A版高中数学教材选修2-1，第二章“圆锥曲线与方程”，第2.2节“椭圆”的教材中，用绳子画椭圆，由画法归纳出椭圆的定义，然后推导椭圆的标准方程，这种方式非常简洁，由此推理得出相关结论，也符合数学知识的逻辑体系。
但是教材没有给出为什么“用平面截圆锥得到不同的截口是圆锥曲线”与“用绳子固定两端画图形得出椭圆定义”的关系；而且椭圆标准方程推导过程中，由于运算特别复杂，又没有相对简单的计算方法，让学生不困在烦琐的计算中，激发学生学习的兴趣。
为解决这个问题，我们可以从圆锥曲线的数学史中找到椭圆概念与现今教材中定义的联系及答案。
圆锥曲线在公元前4世纪就已经闪亮登场了，古希腊的欧几里得（约公元前325-公元前265）著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的许多性质做了系统地总结。
尽管此书已经失传，但是上面已经作出现在椭圆的常见定义﹕截面定义﹕椭圆是一个圆锥与不过其顶点且与其所有母线相交于同一叶上的一个平面相截而得到的平面曲线。
第二定义﹕平面上到一个定点与一条定直线距离之比为定值（小于1）的点的轨迹为椭圆。
直到17世纪法国数学家洛必达在《圆锥曲线分析》中才抛弃了古希腊人的定义方法，给出了椭圆的第一定义﹕平面上到两个定点距离之和为定值的点的轨迹为椭圆，与我们现在的教材相仿。
椭圆的形成及定义的应用作者：吴秀芝来源：《考试周刊》2013年第106期摘要：椭圆中涉及数学思想方法：数形结合的思想、函数与方程思想、分类讨论的思想、化归思想等都有所体现，同时，定义法、待定系数法、参数法、设而不求等方法也经常用到，因此教师在授课时要有意识地培养学生运用数学思想方法解题的能力.关键词：椭圆形成定义应用圆锥曲线是解析几何的核心内容，大纲要求：了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想；圆锥曲线是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，也是高考常见新颖题的板块，各种解题方法都得到了很好的体现和充分的展示.平面向量与解析几何的融合，提高了题目的综合性，形成了题目多变，解法灵活的特点，充分体现了高考中以能力立意为主旨的命题方向.从近两年的高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线于圆的位置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点.学习中想要深化对椭圆知识的理解最首先要理解定义进而突现性质，下面将对椭圆形成的几种形式及其应用做说明.一、椭圆形成的几种形式1.如图1，点P是圆上的任意一点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，M是PQ上一定点，当点P运动时，M的轨迹是椭圆.思路：采用相关点法设M坐标为（x，y），利用QM，QP的比例关系求出点P的坐标再把点P的坐标代入圆的方程即可.2.如图2，圆O的半径为R，A是圆内一个定点，P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线和半径相交于OP点M，当点P在圆上运动时点M的轨迹是椭圆.分析：如图，因为点M在线段PA的垂直平分线MN上，所以有|MO|+|MA|=|OM|+|MP|=|OP|.所以点M的轨迹是以O，A为焦点，长轴长等于|OP|的椭圆.在高考命题中，主要考查两类问题：一是根据题设条件，求出表示圆锥曲线的方程；二是通过方程，研究圆锥曲线的性质.综合考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力，以及在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.下面我们通过典型例题展示根据椭圆的定义及其性质的重要作用.二、椭圆定义的应用例1：已知动点P（x，y）满足方程■+■=6，求动点P的轨迹.分析：要注意椭圆定义中的限制条件，只有|PF■|+|PF■|>|F■F■|时动点的轨迹才是椭圆.而此方程表示点P（x，y）到点A（1，1）和点P（x，y）到点B（3，4）的距离和等于6，即|PA|+|PB|=6，而A，B两点之间的距离|AB|=■=5例2：如图3，把椭圆■+■=1的长轴AB分成8等份，过每一个分点分别作x轴的垂线交椭圆上半部分于P■，P■，P■，P■，P■，P■，P■七个点，F是椭圆的一个焦点，求|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|的值.解：如图：根据对称性可得|P■F|=|P■F′|，根据定义|P■F|+|P■F′|=2a，因此|P■F|+|P■F|=2a，同理|P■F|+|P■F|=2a，|P■F|+|P■F|=2a，|P■F|=a.所以：|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|=7a.本题充分体现了椭圆对称性与第一定义的完美结合.圆锥曲线题型特征是，当拿到题目后基本都有思路，但其繁杂的解题过程会是很多同学中途止步，所以他不仅仅是教给我们一种方法，而是对我们意志品质的训练——不能只具备一双慧眼，更应具有锲而不舍和坚韧不拔的精神.总之，椭圆是高考的热点内容，高考中常以小题形式考查椭圆的几何性质，大题中则多以考查待定系数法求椭圆方程和直线与椭圆位置关系为主的中高档试题；要紧扣椭圆的定义，认识椭圆的几何特性及机械作图法；要紧扣椭圆的标准方程的结构，参量，推断椭圆的几何性质，学会讨论的方法.从动点的轨迹观察椭圆与其他二次曲线的区别与联系，学生在解决分析与椭圆相关问题时，注意用数形转化、数形结合的思维方式，从而使圆锥曲线的学习达到更高的层次.。
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椭圆第一定义推导过程嘿，小伙伴们！今天咱们来一起探索一下椭圆第一定义的推导过程，这可是个超级有趣的数学之旅哦！我记得我上学的时候，一看到椭圆这个图形，就觉得它像个被压扁的圆，哈哈。
当时就想啊，这椭圆到底是怎么来的呢？这里面肯定藏着不少奇妙的秘密。
咱们先想象一个场景。
有个小工匠，他要做一个特殊形状的盘子。
这个盘子不能是圆的，而是有点长又有点扁的那种椭圆形状。
那他该怎么确定这个形状呢？这就跟咱们要推导的椭圆第一定义有关啦。
我们先在平面内取两个定点，咱们就叫这两个定点为F₁和F₂吧。
这两个点就像是两个小柱子，稳稳地立在平面上。
然后呢，咱们再找一根绳子，这根绳子的长度是固定的哦，设为2a（a是一个正数）。
咱们把这根绳子的两端分别系在F₁和F₂这两个“小柱子”上。
现在，想象有个小蚂蚁，它可聪明啦。
小蚂蚁就趴在这根绳子上，然后它开始慢慢移动。
小蚂蚁在移动的时候，它到F₁和F₂这两个点的距离之和始终等于这根绳子的长度2a。
这时候，小蚂蚁走过的轨迹就是一个椭圆啦。
咱们来具体推导一下这个过程。
设小蚂蚁所在的位置为点P。
那么根据小蚂蚁的运动规则，|PF₁|+|PF₂| = 2a。
咱们再从坐标的角度来看。
把F₁和F₂放在坐标轴上，假设F₁（-c，0），F₂（c，0）（这里c是一个正数，而且c < a哦，要是c ≥ a，那这个轨迹就不是椭圆啦，这就像盖房子，材料的长度得合适才能盖出想要的形状，要是材料长度不对，房子就盖歪啦）。
点P的坐标设为（x，y）。
根据两点间距离公式，|PF₁| = √[(x + c)² + y²]，|PF₂| = √[(x - c)² + y²]。
因为|PF₁|+|PF₂| = 2a，所以√[(x + c)² + y²]+√[(x - c)² + y²] = 2a。
这时候，咱们的推导就有点小复杂啦。
咱们要把这个式子进行变形。
计算机图形学课程设计题目名称: 椭圆生成算法的研究2012 年 1 月椭圆生成算法的研究摘要作为计算机图形学中基本几何元素之一的椭圆，其生成算法在几乎所有计算机图形学相关领域都要用到，尤其在计算机辅助设计中经常涉及。
因此，研究椭圆生成对计算机图形系统十分重要。
目前，已有大量的文献讨论了如何高效生成误差小的椭圆。
文献一中方法之一在扫描转换的同时复制椭圆宽度数个像素，这种方法比较简单，但造成椭圆切线斜率接近-1处显得很细。
文献一中方法之二扫描转换两个同心的椭圆，内椭圆的两个半径分别为a-w/2，b-w/2 ；外椭圆的两个半径为a +w/2 ,b + w/2；然后填充它们间的间隙，在微分几何中有一个结论：沿着垂直椭圆弧的方向，将此椭圆上的点移动w/2的距离所形成的曲线与原椭圆同心的椭圆，而是由一个8次方程所描述的曲线，因此这种算法也有较大误差，特别是a 的值接近于w时。
然而，对这样8次函数进行扫描转换，计算量非常大。
圆弧绘制生成宽椭圆算法与椭圆中点扫描转换算法复杂度相当，且生成的椭圆效果较好，视觉感受不到明显缺陷。
本文主要对计算机图形学、椭圆的生成算法的具体实现及其应用进行综述，并简要讨论。
关键词：计算机图形学椭圆生成算法并行生成算法宽椭圆1 一种宽椭圆生成算法计算机辅助设计领域常涉及宽椭圆生成，宽椭圆生成算法的优劣直接影响 设计效果。
为了生成一个圆心在原点的标准宽椭圆，每次用单像素宽的椭圆中点扫描转换算法，得到一个单像素宽椭圆上的一个点，填充一个以该点为中心，椭圆宽为直径的圆弧，扫描转换结束后，生成一个无明显视觉缺陷的第一象限12宽椭圆。
作为计算机图形学中基本几何元素之一的椭圆，其生成算法在几乎所有计算机图形学相关领域都要用到，尤其在计算机辅助设计中经常涉及。
因此，研究椭圆生成对计算机图形系统十分重要。
目前，已有大量的文献讨论了如何高效生 成误差小的椭圆。
椭圆的扫描转换法[1]就是其中之一，该算法基于Da Silva 的算法[2]，运用二阶偏差分Pitteway[3]，Van Aken[4]、KAppel[5]等所用的一些技术，该算法生成的椭圆都是单像素宽的，而现实中更多时候要生成宽椭圆，宽椭圆一般定义为沿着垂直两半径为a 、b 的椭圆弧的两方向，将此椭圆上的点移动2w 的距离所形成的两条曲线中间部分，为了生成宽椭圆，文献一中方法之一在扫描转换的同时复制椭圆宽度数个像素，这种方法比较简单，但造成椭圆切线斜率接近-1 处显得很细。
