上海市位育中学2015届高三下学期零次考试数学试题 Word版含答案

位育中学2014学年第一学期期中考试试卷高 一 数 学一、填空题：(每小题3分，共36分)1、设全集}42|{<<-=x x U ，集合}41|{<<-=x x A ，则A C U =_________2、不等式02312≤++x x 的解集是_________3、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),[,),(,)(2a x x a x x x f ，若4)2(=f ，则a 的取值范围是_________4、满足}5,4,3,2,1,0{}1,0{≠⊂⊆P 的集合P 的个数是_________5、命题“已知R y x ∈,，若2≠+y x ，则0≠x 或2≠y ”是_________命题(填“真”或“假”)6、函数xx x x f -+=||)1()(0的定义域是_________7、若不等式02<++q px x 的解集是}|{p x q x <<，则=+22q p _________ 8、若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ，则a =_________ 9、已知集合}2,1{-=A ，}01|{>+=mx x B ，且B B A = ，则实数m 的取值范围是_________10、设函数2)(-=x x f ，若不等式m x f x f +>+|)(||)3(|对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是_________ 11、已知b a ,均为正数，且14122=+b a ，则21b a +的最大值为_________ 12、满足不等式||(0,)x A B B A -<>∈R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，若2-+b a 的b a +邻域是一个关于原点对称的区间，则ba 41+的取值范围是_________二、选择题：（每小题3分，共12分）13、设b a >，R c ∈，则下列不等式中恒成立的是 ( )(A)ba 11< (B)22b a > (C)||||c b c a > (D)1122+>+c bc a14、下面四组函数中，)(x f 与)(x g 表示同一函数的是 （ ） (A)1)(=x f ，0)(x x g =(B)||)(x x f =，2)(t t g =(C)x x f =)(，2)()(x x g = (D)x x f =)(，2)(x x g =15、设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合M 使得M A ⊆且)(M C B U ⊆”是“φ=B A ”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分条件又非必要条件16、集合},42|{Z k k x x A ∈+==ππ，},24|{Z k k x x B ∈+==ππ之间关系是 ( ) (A)B A = (B)B A ⊆(C)B A ⊇ (D)φ=B A三、解答题：（共52分）17、(8分)已知集合}02|{2=--=px x x A ，}0|{2=++=r qx x x B ，若}5,1,2{-=B A ，}2{-=B A ，求r q p ++的值18、(10分)已知集合}0161|{2有解不等式≤++=ax x a P ， 集合}044|{2恒成立对任意实数不等式x ax ax a Q <-+=，求Q P19、(10分)解关于x 的不等式：12)1(<--x x m20、(12分)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

2014学年高三化学试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟2015.2 相对原子质量：H—1 C—12 O—16 N—14 S—32 Fe—56 Cu—64 Al—27 Mg—24 第Ⅰ卷（共66分） 一、选择题（每小题2分，共10分。

每小题只有一个选项符合题意。

） A．CCl4可擦去圆珠笔油渍 B．C．D．焙制面包下列表示氮原子结构的化学用语中，对核外电子运动状态描述正确且能据此确定电子能级的是 A． B． C．1s22s22p3 D． A．B．C．D．CO2转化为具有类似SiO2结构的原子晶体，下列关于CO2原子晶体的说法正确的是 A．CO2B．CO2原子晶体转化为分子晶体是物理变化 C．CO2CO2分子晶体具有相同的物理性质 D．CO2的原子晶体中，每个碳原子周围结合四个氧原子，每个氧原子周围结合两个碳原子 下列对化学反应的认识错误的是 A．会引起化学键的变化B．会产生新的物质 C．必然引起物质状态的变化D．必然伴随着能量的变化二、选择题（每小题3分，共36分。

每小题只有一个选项符合题意。

）A．B．C．P、S、ClD．A．B．C．D．在实验室里将1.12 L H2S(g)通入1L某浓度的烧碱溶液中，恰好完全反应，测得溶液pH=10（体积变化忽略不计），正确的推断是（NA代表阿伏加德罗常数） A．硫化氢分子数目约为0.05NA个 B．原烧碱溶液中约含溶质0.1NA个 C．反应后溶液中约含OH- 1×10-4NA个 D．反应后溶液中约含S2- 0.05NA个通过汽车尾气排气管加装催化装置，可有效减少CO和NO的排放，催化装置内发生的反应为：NOx＋CO → N2＋CO2。

下列关于此反应的说法中，的是 A．N2B. 当x＝2时，每生成mol N2，转移电子数为mol C．等物质的量N2和CO2中，共价键的个数比为34 D．氧化剂与还原剂的物质的量之比为11时，NOx中氮元素的化合价为＋2价VA族A．单质还原性：丁>丙>甲B．C．原子半径：丁>丙>乙 D．乙、丙、丁的最高价氧化物对应的水化物能相互反应 向含有下列微粒的溶液中分别加入少量NaOH固体、少量浓盐酸或少量高锰酸钾溶液，都能使该微粒浓度下降的是 A．B．C．HCO3- D．常温下，浓度均为0.1mol/L的三种溶液：①CH3COOH溶液 ②NaOH溶液 ③CH3COONa溶液，下列说法中的是（忽略混合前后溶液体积变化） A溶液的pH值：②＞③＞① B水电离出的c(OH－：③＞①＞② C①和②等体积混合后的溶液：cCH3COOH)+ c(CH3COO-)＝01mol/L D．②和③等体积混合后的溶液：cNa+)+ c(H+)＝cOH-)+c(CH3COO-) 某温度下，2 L密闭容器中加入4 mol A和2 mol B发生反应：3A(g)＋2B(g) 4C()＋2D(g)。

2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U AB =ð ．2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ．5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．10.设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．11.在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．13.已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．14.在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532C ．112D ．13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 18．设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，C 3A =千米，C 4B =千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是C A B ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形CD AB 的面积为S .（1）设()11,x y A ，()22C ,x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明11212S x y x y =-； （2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，()00f =，()4f πT =. （1）验证()sin3xh x x =+是以π6为周期的余弦周期函数； （2）设b a <．证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程()cos 1f x =在[]0,T 上得解”的充要条件是“0u +T 为方程()cos 1f x =在[],2T T 上有解”，并证明对任意[]0,x ∈T 都有()()()f x f x f +T =+T .上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题） 1.}{1,4 2.1142i + 3.16 4.4 5.2 6.3π7.2 8.120 9.32yy x =± 10.4 11.45 12.0.2 13.8 14. 1615-二、（第15至18题） 题号 15 16 17 18 代号BDBA三、（第19至23题）19. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A 1(2，0，1)、C 1(0，2，1)、E(2，1，0)、F （1，2,0）、C （0、2、0）、D （0,0,1）.因为)0,2,2(11-=C A，(1,1,0)EF =-， 所以11//EF AC ， 因此直线1AC与EF 共面， 即，1A 、1C 、F 、E 四点共面.设平面EF C A 11的法向量为(,,)n u v w =， 则n ⊥EF ，n ⊥1FC ，又(1,1,0)EF =-，1FC =(1,0,1)-,故0,u .0,u v v w u w -+=⎧==⎨-+=⎩解得取u=1，则平面EF C A 11 的一个法向量n =(1,1,1).又1(0,2,1)CD =-, 故111515||CD n CD n ⋅=-⋅因此直线1CD 与平面FE C A 11所成的角的大小1515arcsin . 20. 解：（1）138t =， 设乙到C 时甲所在地为D ，则AD=158千米。

【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ．3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ．5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ． 4C ．D ．13、设,mn R∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A ． 1⎡-+⎣B ． (),113,⎡-∞++∞⎣C ． 22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣14、直线143x y+=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ．16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D ，且CD =P 的方程．17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【上海市位育中学2015学年第一学期高二数学学科期末考试卷】 一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ． 【答案：1 】2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ． 【答案：220x y +-= 】3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．解析：直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=的普通方程为21x =和22(1)1x y -+=，圆心到直线的距离为11122-=，所以弦长为=】4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ． 【答案：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭】 5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．【答案：221205x y -= 解析：设双曲线2222:1x y C a b-=的半焦距为c ，则210,5c c ==．又∵C 的渐近线为b y x a =±，点(2,1)P 在渐近线上，∴12ba=⋅，即2a b =．又222c a b =+，∴a b ==C 的方程为221205x y -=． 】6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ． 【答案：2 】7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ． 【答案：32】 8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ． 【答案：6解析：∵12(6,0),(6,0)F F -，由角平分线的性质得1122824AF MF AF MF ===， 又122236,6AF AF AF -=⨯=∴=． 】9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ． 【答案：[]3,6解析：设(,9)A a a -，则圆心M 到直线AC 的距离sin45d AM =︒，由直线AC 与圆M有公共点，则d r ≤，即2d ≤36a ≤≤．】 10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案：22222a b a b+ 解析：设()cos ,sin P OP OP θθ，cos ,sin 22Q OQ OQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于,P Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP θθ=+ ①，222221sin cos a b OQ θθ=+ ②， ①＋②得22221111a bOPOQ+=+，于是当OP OQ ==OP OQ ⋅达到最小值22222a b a b +． 】 二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．） 11、在复平面内，复数2334ii-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案：B 】12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ． 4C ．D ．【答案：C解析：设抛物线方程为22y px =，焦点F ，则23,22pMF p =+=∴=，∴24y x =，OM ===】13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ） A ．1⎡⎣B ．(),113,⎡-∞++∞⎣C ．22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案：D圆心为(1,1)，半径为1．直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足1=，即212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，设m n z+=，即21104z z --≥，解得2z ≤-2z ≥+】 14、直线143x y +=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个【答案：B解析：直线与椭圆的交线长为5．直线方程34120x y +-=．设点(4cos ,3sin )P θθ．点P 与直线的距离12cos sin 15d θθ+-=，当02πθ≤≤时，121)5d ≤，1)3PAB S ∆≤<，即此时没有三角形面积为3；当22πθπ<≤时，121)5d ≤，1)PAB S ∆≤，即此时有2个三角形面积为3．选B ．】三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．） 15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ． 【解：设,(,)z x yi x y R =+∈，则222222444()44z x yi x y z z x yi x y i z x y x y x y zz ⎛⎫-+=+=++=++- ⎪+++⎝⎭∵4z R z +∈，∴2240y y x y-=+，又22z -=，∴22(2)4x y -+=， 联立解得，当0y =时，4x =或0x =（舍去0x =，因此时0z =），当0y ≠时，11x z y =⎧⎪=±⎨=⎪⎩，综上所得1234,1,1z z z ===．】16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D，且CD =P 的方程． 【解：直线AB 的斜率为1k =，AB 中点坐标为(1,2)， 所以直线CD 的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=． 设圆心(,)P a b ，则由P 在CD 上得30a b +-= ①．又由直径CD =22(1)40PA a b =∴++= ②．由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩，∴圆心(3,6)P -或(5,2)P -，∴圆P 的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．】17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值． 【解：（1）由已知得2,1a b ==，∴c ==，∴椭圆G 的焦点坐标为(．（2）由题意知，1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点,A B的坐标分别为,1,⎛⎛⎝⎭⎝⎭，此时AB当1m =-时，同理可得AB 当1m >时，设切线方程为()y k x m =-，由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=． 设,A B 两点两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则222121222844,1414k m k m x x x x k k-+==++， 又由l 于圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以AB === 由于当1m =±时，AB =所以(][),11,AB m =∈-∞-+∞．因为2AB m m==≤+，当且仅当m =2AB =，所以AB 的最大值为2．】18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ． （1）当2pa =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解：依题意，可设直线MN 方程为1122,(,),(,)x m y a M x y N x y=+，则有1112(,),(,)M a y N a y --．由22x my a y px =+⎧⎨=⎩消去x 可得2220y mpy ap --=，从而有121222y y mp y y ap +=⎧⎨=-⎩ ①于是21212()22()x x m y y a m p a +=++=+ ②又由2211222,2y px y px ==可得()()221221222244y y ap x x a p p -=== ③（1）如图1，当2p a =时，点,02p A ⎛⎫⎪⎝⎭即为抛物线的焦点，l 为其准线2p x =-， 此时1112,,,22p p M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并由①可得212y y p =-． 证法1：1112(,),(,)AM p y AN p y =-=-，∴22211120AM AN p y y p p ⋅=+=-=，即11AM AN ⊥． 证法2：∵1112,AM AN y y k k p p =-=-，∴11212221AM AN y y p k k p p==-=-，即11AM AN ⊥．（2）存在4λ=，使得对任意的0a >，都有22134S S S =成立，证明如下：证明：记直线l 与x 轴的交点为1A ，则1OA OA a ==．于是有11111121111231112211(),221,211(),22S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y =⋅=+=⋅=-=⋅=+ ()222221212122213121212121244()()()4a y y y y a y y S S S x x a x x a y y x a x a y y ⎡⎤+--⎣⎦==⎡⎤+++⎣⎦++， 由①、②、③代入上式化简可得22134S S S =，所以对任意的0a >，都有22134S S S =恒成立．】 四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．【解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，所以有 2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=． （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且O A O B ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4280k x kmx m +++-=，则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>，12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++．要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k--+=++，所以223880m k --=，所以223808m k -=≥，又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，所以283m ≥，即m ≥或3m ≤-． 因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =，222228,3813318m m r r m k ====-++，所求的圆为2283x y +=，此时圆的切线方程y kx m =+都满足3m ≥3m ≤-；而当切线斜率不存在时，切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为,33⎛± ⎝⎭或⎛ ⎝⎭满足OA OB ⊥． 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．AB ===①当0k≠时，AB = 因为221448k k ++≥，所以221101844kk <≤++AB <≤，当且仅当2k =±“=”；②当0k =或k 不存在时，3AB =；综上，AB 的取值范围是,3⎡⎢⎣．。

位育中学高二年级数学（零次考试卷）一、填空题：（每题3分，共36分）1. 用辅助角公式可化简为2. 已知全集U=R，集合，则=3. 若数列的递推公式为，则4. 等差数列中，，则5. 在中，已知则6. 在中，已知,则形状是7. 不等式解集为8. 已知则角＝9. 函数单调递增区间10. 若函数，是定义域为上的偶函数，则的值域为11. 若数列的满足，且，则数列中最小值是12. 在等差数列中有如下结论：若其中，则有，将上述结论类比到等比数列中可得：二、选择题：（每题4分，共16分）13. 设集合，若，则（）（A）（B）（C） (D)14. 下列命题成立的是（）(A) 若存在,则与都存在(B) 若与都存在,则存在(C)若存在,则与都存在(D) 若与都存在,则存在15. 某命题与自然数有关,如果当该命题成立,那么可推到时命题也成立,现为了推得当时该命题不成立,那么需已知（）(A)时命题不成立 (B)时命题成立(C)时命题不成立 (D)时命题成立16. 若数列前项和为，则数列（）(A)是等比数列，且不是等差数列。

(B)是等差数列，且不是等比数列。

(C)可以是等差数列也可以是等比数列。

(D)可能是等比数列，且不可能是等差数列。

三、解答题17. 已知：，试用表示。

18. 已知数列。

（1）求；（2）求数列的前n项和19. 工程技术中经常用到二个函数，一个叫双曲正弦，另一个叫双曲余弦，它们有着与三角学中的正弦函数与余弦函数形式类似的许多运算公式。

如两倍角双曲正弦的公式为：（１）试证：（２）类比其它三角公式，写出一个与上述双曲函数有关的运算公式，并加以证明。

220．已知函数的定义域为，且，点P是图像上的任意一点，过点P分别作直线和轴的垂线，垂足分别是,N，M。

（１）求的值；（２）是否是定值，若是求出定值，若不是说明理由；（３）求四边形OMPN面积最小值。

21．某县位于沙漠地带，为治理沙漠，该县重视植树造林，到2004年底该县绿化率为40%，从2005年起，原有沙漠面积的20%将要被绿化，同时原有绿化面积的5%将被沙漠化，该县全县面积为,2004年底的绿化面积为，从2005年起经过年后绿化面积为。

位育中学2014学年第二学期高二零次考试数学卷一、填空题（每题3分，共36分）1、若集合{|||<1}M x x =，20.5{|(43)}N x y x x -==-，则M N =____________． 2、若函数()log (a f x x =+为奇函数，则a =____________． 3、已知x ,y 为实数，且x +y =4,则y x 33+的最小值为____________． 4、方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解集为____________． 5、在三角形ABC 中，已知3sin 5B =，5cos 13A =，则cos C =____________． 6、在等比数列{}n a 中，39196a a =，5735a a +=，则公比q =____________． 7、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n n a n a n -=-，则2n nSS =____________． 8、已知||1a = ，||2b = ，且()(2)a b a b λλ+⊥- ，a 与b的夹角为60︒，则λ=____________．9、已知直线L 过(2,-1)100y ++=的夹角为60︒，则L 的方程为____________． 10、若关于x1mx =+有且仅有一个实数解，则实数m 的取值范围是________． 11、抛物线22(0)x py p =->上各点到直线34120x y +-=的最短距离为1，则p =____________．12、连接双曲线2221x y -=上任意四个不同点组成的四边形可能的情况是____________． 1) 矩形 2) 菱形 3) 平行四边形4) 等腰梯形5) 正方形二、选择题（每题4分，共16分）13、函数22sin cos y x x x =--的最小正周期和最大值分别( )A．max 2,T y π== B．max ,T y π==C ．max ,3T y π==D ．max ,1T y π==14、直线4x +y =4,mx +y =0和2x -3my =4不能构成三角形，则m 的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．515、设F 为抛物线24y x =的焦点，A ,B ,C 为抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=( ) A ．9B ．6C ．4D ．316、100122100333a a a x =+++ ，其中12100,,,a a a 每一个值都是0或2这两个值中的某一个， 则x 一定不属于( ) A ．[0,1)B ．(0,1]C ．12[,)33D ．12(,]33三、解答题（本大题共五题，满分48分）17、（本题9分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--(a >0,且a ≠1)．(1) 讨论()f x 的奇偶性与单调性；(2) 求()f x 的反函数；(3) 若1113f -=（），解关于x 的不等式113f x -<（）．18、（本题9分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售辆为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．(1) 写出本年度的年利润y 与投入成本增加比例x 的函数；(2) 为使本年度的年利润y 比上年有所增加，问投入成本增加的比例应该在什么范围内？19、（本题9分）已知向量(1,1)m =，向量m 与向量n 的夹角为135︒，且1-=⋅n m ．(1) 求n ；(2) 若n 与(1,0)q = 的夹角为2π，2(cos ,2cos )2C p A = ，其中∠A ,∠B ,∠C 为三角形三内角，2B π=，求||p n + ．20.（本题9分）已知12(20),(20)F F -，，，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ．(1) 求轨迹E 的方程；(2) 若直线L 过2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点．设点M (m ,0)，问是否存在实数m 使得 直线L 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．21.（本题12分）已知数列{}n a 满足条件：121,(0)a a r r ==>，且1{}n n a a +是公比为q (q >0)的等比数列．设212(1,2,)n n n b a a n -=+= ．(1) 求出使不等式*11223()n n n n n n a a a a a a n ++++++>∈N 成立q 的取值范围；(2) 求n b 和1limn nS →∞，（其中n S 为{}n b 的前n 项和）； (3) 设19.221r =-，12q =，求数列212log {}log n nb b +的最大项和最小项的值．位育中学2014学年第二学期高二零次考试数学答案一、填空题1.)1,43()0,1( -2.223.184.5.65166.212±±或 7.4 8.31±- 9.13231--=-=x y y 或 10.),1(}0{)1,(+∞--∞ 11.95612.(1)(2)(3)(4)(5) 二、选择题13.D 14.C 15.B 16.C 三、解答题17、)11(11log )()1(<<--+=x xxx f a,于是)()(x f x f -=-故)(x f 为奇函数 当a>1时，)(x f 单调递增，时，当10<<a )(x f 单调递减。

2014学年第二学期高一数学零次考试试题一、填空题：（每小题3分，共36分）1．不等式0121>+-x x 的解集是______________ 2．已知1313)(+-=x x x f ，则)21(1-f =______________ 3．已知)(x f 的定义域为]3,3[-，则)1(2-x f 的定义域为______________4．函数x x y 21-+=的值域为______________5．如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是______________6．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，x x f lg )(=，则不等式0)(>x f 的解集是______________7．函数11+-=x y 的单调区间是______________ 8．不论a 为何值，函数22)1(a a y x -⋅-=的图像恒过一定点，这个定点的坐标是______ 9．已知幂函数)()(322Z m x x f m m∈=--为偶函数，且在),0(+∞上是减函数，则)(x f 的解析式是______________10．设a =3log 2，b =7log 3，则56log 42可以用a 、b 表示为______________11．设有两个命题：(1)不等式m x x >-+|1|||的解集为R ；(2)函数x m x f )37()(--=是减函数。

如果这两个命题中有且仅有一个命题是真命题，则m 的取值范围是_________12．在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗。

若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______________二、选择题：（每小题4分，共16分）13．“81=a ”是“对任意的正数x ，有12≥+xa x ”的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件14．若0>ab ，则下列不等式中不一定成立的是 ( )(A)ab b a 222-≥+ (B)2≥+a b b a (C)ab b a ≥+2 (D)2)2(b a ab +≤15．函数43)(2--=x x x f 的定义域是],0[m ，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是 ( ) (A)]4,0( (B)]4,23[ (C)]3,23[ (D)),23[+∞16．若函数))((R x x f y ∈=满足)()2(x f x f =+，且]1,1(-∈x 时，||)(x x f =，则函数)(x f y =的图像与函数||log 5x y =的图像交点个数为 ( ) (A)2 (B)6 (C)8 (D)多于8三、解答题： 17．(8分)已知函数⎩⎨⎧<-≥+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，求方程10)(=x f 的解集18．(10分)已知0>a 且1≠a ，求使方程)(log )(log 222a x ak x a a -=-有解的k 的取值范围19．(10分)为了缓解交通压力，上海修建了一条专用地铁，用一列火车作为公共交通车，如果该列火车每次拖4节车厢，则每日能来回16趟；如果该列火车每次拖7节车厢，则每日能来回10趟。

2014学年第一学期位育中学期中考试高三数学试题一、 填空题（每题4分，共56分）1. 已知i 为虚数单位，复数12,2,z a i z i =+=-且12,z z =则实数a 的值为__________________.2. 方程2cos 21x =的在[)0,x π∈上解是__________________.3. 不等式11111x x+<-的解为_____________________.4. 已知函数2log ,0().2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩若1(),2f a a ==则_________________. 5. 已知复数122,2,z m i z i =+=-若12z z 为实数，则实数m 的值为___________________. 6. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos ,c A a C -=则cos A =_______________.7. 若函数[]2()23,0,f x x x x m =-+∈的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为__________________. 8. 要使函数k y x x =+在[)2,x ∈+∞上有最小值2,2kk +则的取值范围是______________. 9. 非零向量a 、b 夹角为060,且1,a b -=则a b +的最大值为__________________. 10. 已知等差数列{}n a 的公差2,d = n S 表示{}n a 的前n 项和，若数列{}n s 是递增数列，则1a 的取值范围是_________.11. ()()()sin f x x x θθ=++-为偶函数，则θ的值为____________. 12. 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和,则lim n →∞n S =______.13.已知数列{}n b 的各项都是正整数，且135,,2n n n nn k b b b b b ++⎧⎪=⎨⎪⎩n+1为奇数为偶数，k 是使b 为奇数的正整数 若存在*m N ∈，当n m >且b n 为奇数时，n b 恒为常数α，则α=_________.14. 对于定义在R 上的函数(),f x 有下述命题： ①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点A （1,0）对称； ②若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ③若对,x R ∈有(1)(),f x f x -=-则2是()f x 的一个周期； ④函数(1)(1y f x y f x=-=-与的图像关于直线1x =对称。

位育中学2015学年第一学期零次考试高三数学试卷2015-9-2_____班，_____号，姓名_____________一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．函数)1lg(252-+--=x x x y 的定义域为______________．2．若双曲线221x y m-=的一个焦点为(2,0)F ，则实数m =______________．3．在五个数字1，2，3，4，5中随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是______．4．二项式6x⎛⎝的展开式中的常数项为______________．5．已知1lim 0nn a a →∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是______________． 6．已知点(2,4),(4,6)A B --，若2AB BC =，则点C 的坐标为______________． 7．等比数列}{n a 中，19693=a a ，3575=+a a ，则公比q =______________． 8．对一切实数x 都有032>+++a ax ax ，那么实数a 的取值范围是______________． 9．过点(1,4)且和抛物线24y x =有且仅有一个公共点的直线有______________条． 10．函数2sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈的递减区间是______________．11．已知)cos(3)sin()(αα-++=x x x f 的最小正周期为______________．12．某企业开发了一个受政府扶持的新项目，得到政府无息贷款50万元购买了一套设备，若该设备在使用过程中第一天维护费用是101元，…，第n 天的维护费用是100+n 元，设使用m 天后，平均每天消耗的设备费用（总设备费用=购置费+维护费）最低，则m =_________． 13．已知定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且满足1(3)()f x f x +=-，若当32x -≤≤-时，x x f 2)(=，则=)5.113(f ______________．14．设n a a a a ,,,,321 是各项均不为零的等差数列(4≥n )，且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则da 1的所有可能的值是______________． 二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．若集合{|,}3n A x x n ==∈Z ，1{|,}3B x x n n ==±∈Z ，2{|,}3C x x n n ==±∈Z ，则下列结论正确的是（ ）A ．BC ≠B ．A B ⊆C ．B C A =⊆D ．A C ⊆16．如果函数x y a b =+的图像经过第二、三、四象限，则（ ）A ．1,1a b >>-B ．1,1a b ><-C ．01,1a b <<>-D ．01,1a b <<<-17．设函数)(x f y =的反函数为)(1x fy -=，且)12(-=x f y 的图像过点)1,21(，则)(1x f y -=的图像必过点（ ） A ．)1,21(B ．)21,1(C ．)0,1(D ．)1,0(18．已知数列{}n a 的通项为1122133n n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下列表述正确的是 （ ）A ．最大项为0，最小项为2081-B ．最大项为0，最小项不存在C ．最大项不存在，最小项为2081-D ．以上答案都不对三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）第1小题6分，第2小题6分．矩形ABCD 的边长AB =4，AD =6，P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA =3，PB =5，PD =求 (1) 点P 到平面ABCD 的距离；(2) 点C 到平面PAB 的距离．20．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．已知点A,B,C 的坐标分别为A(3,0),B(0,3),(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈．(1) 若||||AC BC =，求角α的值；(2) 若1AC BC ⋅=-，求22sin sin21tan ααα++的值．21．（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分．设x ,y ∈R ，i ,j 为直角坐标平面内x ,y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-，且||||8a b +=．(1) 求点M (x ,y )的轨迹C 的方程；(2) 过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A ,B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得||||OP AB =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由．22．（本题满分16分）第1小题6分，第2小题4分，第3小题6分．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--（a >0且a ≠1）．(1) 讨论f (x )的奇偶性与单调性； (2) 求f (x )的反函数f -1(x )；(3) 若11(1)3f -=，解关于x 的不等式f -1(x )<m （m ∈R ）．23．（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．定义：如果数列{a n }的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n }为“三角形数列”．对于“三角形数列”{a n }，如果函数y =f (x )使得b n =f (a n )仍为一个“三角形数列”，则称y =f (x )是数列{a n }的“保三角形函数”，（n ∈N *）．(1) 已知{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，若f (x )=k x,（k >1）是数列{a n }的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2) 已知数列{c n }的首项为2010，S n 是数列{c n }的前n 项和，且满足4S n +1-3S n =8040，证明{c n }是“三角形数列”；(3) 根据“保三角形函数”的定义，对函数h (x )=-x 2+2x ,x ∈[1,A ]，和数列1,1+d ,1+2d ，（d >0）提出一个正确的命题，并说明理由．位育中学2015学年第一学期零次考试高三年级数学 试卷（答案）2015-9-2一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）解：(1) 由已知易得：PA⊥ AB ，PA ⊥ PD ，∠PAD =60︒，∵ AB ⊥ AD ，AB ⊥ PA ，∴ AB ⊥ 平面PAD ， 2分作PH ⊥ AD ，垂足为H ， 则AB ⊥ PH ，PH ⊥ 平面ABCD ， 4分∴ 点P 到平面ABCD 的距离PH =； 6分 (2) 由平面PA B 外直线CD //AB ，得CD //平面PAB ， 8分 ∵ PD ⊥ AB ，PD ⊥ PA ，∴ PD ⊥ 平面PAB ，10分 故点C 到平面PAB 的距离等于点D 到平面PAB 的距离PD = 12分20．（本题满分14分）解：(1) (cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-，2分 由||||AC BC =，化简可得sin α =cos α，又3(,)22ππα∈，∴ 54πα=；6分PDC BA(2) 由1AC BC ⋅=-，可得2sin cos 3αα+=，52sin cos 9αα=-， 10分 ∴ 22sin sin 22sin cos (sin cos )52sin cos 1tan sin cos 9ααααααααααα++===-++．14分21．（本题满分14分）解：(1) 由||||8a b +=8，2分设F 1(0,-2)、F 2(0,2)，则|MF 1|+|MF 2|=8，点M 的轨迹C 是以F 1、F 2为焦点，长轴长2a =8的椭圆， 4分∵ a =4，c =2，∴ 22212b a c =-=，∴ 轨迹C 的方程是2211612y x +=；6分(2) 由OP OA OB =+知四边形OAPB 是平行四边形， 欲使||||OP AB =，只需OA OB ⊥，8分显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y =kx +3， 由方程组223,1,1612y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22(34)18210k x kx ++-=，10分设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，则1221834k x x k +=-+，1222134x x k ⋅=-+， 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=，而2121212121212(3)(3)(1)3()9x x y y x x kx kx k x x k x x +=+++=++++， ∴ 222221(1)54903434k k k k +--+=++，整理得2516k =，k = 故存在直线l:3y =+，满足条件． 14分22．（本题满分16分）解：(1) 1()log (11)1a xf x x x+=-<<-2分 ∵对任意x ∈(-1,1)，都有f (-x )+f (-x )=0，∴f (x )是奇函数； 4分 当a >1时，f (x )单调递增，当0<a <1时，f (x )单调递减；6分 (2) 11()()1x x a f x x a --=∈+R10分(3) 由11(1)3f -=，得a =2，121()()21x x f x x --=∈+R13分解不等式2121x x m -<+，得当m ≥1时，x ∈R ；当-1<m <1时，21log 1mx m+<-；当m ≤-1时，无解 16分23．（本题满分18分）解：(1) 显然1n a n =+，12n n n a a a +++>对任意正整数n 都成立，即{a n }是三角形数列．∵k >1，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<，由12()()()n n n f a f a f a +++>，得12n n n k k k +++>，解得k <，∴当k ∈时，f (x )=k x是数列{a n }的“保三角形函数”； 4分(2) 由4S n +1-3S n =8040，得4S n -3S n -1=8040（n ≥2)，两式相减，得13(2)4n n c c n +=≥，由c 1=2010，4S 2-3S 1=8040，得c 2=1507.5，2134c c =满足上式，∴134n n c c +=，132010()4n n c -=7分显然12n n n c c c ++>>，∵1112332132010()2010()2010()44164n n n n n n c c c +-+++=+=⨯>∴{c n }是“三角形数列”；10分(3) 探究过程：函数数h (x )=-x 2+2x ,x ∈[1,A ]是数列1,1+d ,1+2d ，（d >0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：1︒是“三角形数列”，∴1+1+d >1+2d ，即0<d <1； 12分 2︒数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ；14分3︒h (1),h (1+d ),h (1+2d )是“三角形数列”，由于h (x )=-x 2+2x ,x ∈[1,A ]是单调递减函数，∴h (1+d )+h (1+2d )> h (1)，解得0d <<18分。

位育中学2014学年第一学期零次考试高 三 物 理（本卷测试时间为120分钟，满分150分）一、单项选择题（共16分，每小题2分。

）1．关于力学单位制，下列说法中正确的是（ ） （A ）kg 、N 、m/s 都是导出单位 （B ）kg 、m 、N 是基本单位（C ）在国际单位制中，质量的基本单位是kg ，也可以是g （D ）在国际单位制中，牛顿第二定律的表达式可以写成F ＝ma2．伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，从而创造了一种科学研究的方法．利用斜面实验主要是考虑到（ ） （A ）实验时便于测量小球运动的速度 （B ）实验时便于测量小球运动的路程 （C ）实验时便于测量小球运动的时间（D ）斜面实验可以通过观察与计算直接得到落体的运动规律3．如图，横坐标v 表示分子速率，纵坐标f （v ）表示各等间隔速率区间的分子数占总分子数的百分比，图中曲线能正确表示某一温度下气体分子麦克斯韦速率分布规律的是（ ）（A ）曲线① （B ）曲线 （C ）曲线③ （D ）曲线④4．如图所示，由基本门电路组成的四个电路，其中能使小灯泡发光的是 （ ）5．电磁波已广泛运用于很多领域，下列关于电磁波的说法符合实际的是（ ），（A ）电磁波不能产生衍射现象（B ）电磁波在真空中传播，且都是横波（C ）常用的遥控器通过发出紫外线脉冲信号来遥控电视机 （D ）光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值可能不同6．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，在t ＝0到t ＝t 1的时间内，它的v -t 图像如图所示，在这段时间内（ ）（A ）甲、乙两汽车的位移相同（B ）汽车乙的平均速度等于（v 1＋v 2）/2 （C ）汽车甲的平均速度比乙的大（D ）汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大7．某同学用单色光进行双缝干涉实验，在屏上观察到如图甲所示的条纹，仅改变一个实验条件后，观察到的条纹如图乙所示，他改变的条件可能是（）（A ）减小光源到单缝的距离（B ）减小双缝之间的距离（C ）减小双缝到光屏间的距离 （D ）换用频率更高的单色光源8．分别置于a 、b 两处的长直导线垂直纸面放置，通有大小相等的恒定电流，方向如图所示，a 、b 、c 、d 在一条直线上，且ac=cb=bd 。

2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为．2．（4分）方程2cos2x=1的在x∈[0，π）上解是．3．（4分）不等式：≤1的解集是．4．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=．5．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=2﹣i，若为实数，则实数m的值为．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．7．（4分）已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是．8．（4分）要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上有最小值2+，则k的取值范围是．9．（4分）已知非零向量的夹角为60°，且，则的最大值是．10．（4分）已知等差数列{a n}的公差d=2，S n表示{a n}的前n项和，若数列{s n}是递增数列，则a1的取值范围是．11．（4分）f（x）=sin（x+θ）+cos（x﹣θ）为偶函数，则θ的值为．12．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=．13．（4分）已知数列{b n}的各项都是正整数，且b n+1=，若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则a=．14．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则2是f（x）的一个周期；④函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）16．（5分）设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（）A．a+b≤2cd B．a+b≥2cd C．|a+b|≤2cd D．|a+b|≥2cd17．（5分）设函数，若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]18．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于（）A．13 B．C．5 D．三、解答题19．（12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n （1≤n≤30、n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数 f （n）图象中的点位于斜率为5和﹣3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．21．（14分）已知n∈N*，数列{d n}满足，数列{a n}满足a n=d1+d2+d3+…+d2n；数列{b n}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实根．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第a n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2013项和．22．（16分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+2=（2+cosnπ）（a n﹣1）+3，n∈N*．（1）求数列{a n}前20项的和S20；（2）求通项公式a n；（3）设{a n}的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共56分）1．（4分）已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为±2．【解答】解：z1=a+i，z2=2﹣i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+（﹣1）2=5，整理a2=4，∴a=2或﹣2，故答案为：±2．2．（4分）方程2cos2x=1的在x∈[0，π）上解是或．【解答】解：方程2cos2x=1，即cos2x=，∵x∈[0，π），∴2x∈[0，2π），∴2x=，2x=，故该方程在x∈[0，π）上解为x=，或x=，故答案为：或．3．（4分）不等式：≤1的解集是{x|﹣1≤x≤0} ．【解答】解：不等式：≤1化为x（x+1）﹣（﹣1）≤1，即x2+x≤0，解得﹣1≤x≤0．因此不等式的解集为{x|﹣1≤x≤0}．故答案为：{x|﹣1≤x≤0}．4．（4分）已知函数f（x）=若f（a）=，则a=﹣1或．【解答】解：当a＞0时，log2a=∴a=，当a≤0时，2a==2﹣1，∴a=﹣1．∴a=﹣1或．故答案为：﹣1或．5．（4分）已知复数z1=m+2i，z2=2﹣i，若为实数，则实数m的值为﹣4．【解答】解：复数z1=m+2i，z2=2﹣i，===，∵为实数，∴m﹣4=0，即m=﹣4故答案为：﹣4．6．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：7．（4分）已知f（x）=x2﹣2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是[1，2] ．【解答】解：通过画二次函数图象观察图象，欲使得闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，区间[0，m]的右端点必须在抛物线顶点的右侧，且在2的左侧（否则最大值会超过3）∴知m∈[1，2]．答案：[1，2]8．（4分）要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上有最小值2+，则k的取值范围是（﹣∞，4] ．【解答】解：函数y=x+，可得y′=1﹣=．当k≤0时，y′在x∈[2，+∞）上恒为正数，函数y=x+在x∈[2，+∞）上是增函数，x=2时函数取得最小值2+，满足题意．当k＞0时，x2﹣k=0，解得x=，要使函数y=x+在x∈[2，+∞）上s是增函数，函数的最小值2+，可得，解得0＜k≤4，综上k∈（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]．9．（4分）已知非零向量的夹角为60°，且，则的最大值是．【解答】解：∵非零向量的夹角为60°，且，∴，即，则，∴，当且仅当||=||=1时取等号．∴||===，∴1＜2||||+1≤3，∴1＜||≤．∴的最大值是．故答案为：．10．（4分）已知等差数列{a n}的公差d=2，S n表示{a n}的前n项和，若数列{s n}是递增数列，则a1的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：若数列{s n}是递增数列，即是说，对于任意的正整数n，都有Sn＜Sn+1成立，移向即为a n+1＞0，∴a1+2n＞0，a1＞﹣2n．只需要a1大于﹣2n的最大值即可．当n=1时，﹣2n取得最大值﹣2，所以a1＞﹣2，a1的取值范围是（﹣2，+∞）故答案为：（﹣2，+∞）11．（4分）f（x）=sin（x+θ）+cos（x﹣θ）为偶函数，则θ的值为kπ﹣（k ∈Z）．【解答】解：∵f（x）=sin（x+θ）+√3cos（x﹣θ）f（x）=sinxcosθ+cosxsinθ+√3cosxcosθ+√3sinxsinθf（﹣x）=﹣sinxcosθ+cosxsinθ+√3cosxcosθ﹣√3sinxsinθ∵f（x）是偶函数，f（x）=f（﹣x）∴cosθ+√3sinθ=0化简得：2sin（θ+）=0∴θ+=0+kπ，（k∈Z）解得∴θ=kπ﹣，（k∈Z）故答案为θ=kπ﹣，（k∈Z）12．（4分）在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则s n=4πr2．【解答】解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°cos30°）cos30°，…，即内切圆半径组成以r为首项，为公比的等比数列∴圆的面积组成以πr2为首项，为公比的等比数列∴S n==4πr2故答案为：4πr2．13．（4分）已知数列{b n}的各项都是正整数，且b n+1=，若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则a=1或5．【解答】解：若存在m∈N*，当n＞m且b n为奇数时，b n恒为常数a，则b n=a，b n+1=3a+5，b n+2==a，∴（3﹣2m）a=﹣5，∵数列{b n}的各项均为正整数，∴当m=2时，a=5，当m=3时，a=1．故答案为：1或514．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：①若f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；③若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则2是f（x）的一个周期；④函数y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．其中正确的命题是①②③④．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：①若f（x）是奇函数，则其对称中心是（0，0）由于f（x﹣1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，则f（x﹣1）关于（1，0）对称．故①是正确的．②由于f（x）的图象可以由f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到，又由于函数f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即f（x）为偶函数．故②也正确．③由于若对x∈R，有f（x﹣1）=﹣f（x），则f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=﹣（﹣f（x））=f（x），所以2是f（x）的一个周期．故③也正确．④由于f（x）=f（﹣x）时f（x）为偶函数，其对称轴是y轴即x=0，而f（1﹣x）=f（﹣（x﹣1））且f（x﹣1）的图象可以由f（x）的图象向右平移1个单位得到，所以f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=1对称．故④也正确．故正确的是①②③④．二、选择题（每题5分，共20分）15．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．16．（5分）设a，b，c，d∈R，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（）A．a+b≤2cd B．a+b≥2cd C．|a+b|≤2cd D．|a+b|≥2cd【解答】解：由题意可得ab=1，c+d=2由于a，b，c，d的正负不确定A：例如a=﹣2，b=﹣，c=﹣8，d=10，此时a+b＞2cd，故A错误B：例如a=﹣2，b=﹣，c=1，d=1，此时a+b＜2cd，故B错误由于ab=1＞0，则a，b同号，|a+b|=|a|+|b|=2，当cd＜0时，c+d＞0＞2cd当cd＞0时，由c+d=2可知，c＞0，d＞0，则可知cd=1∴|a+b|≥2cd综上可得，|a+b|≥2cd17．（5分）设函数，若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【解答】解：当x＞2时，y=2x+a＞4+a当x≤2时，y=x+a2≤2+a2∵f（x）的值域为R，∴a2+2≥a+4解不等式可得，a≥2或a≤﹣1故选：A．18．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于（）A．13 B．C．5 D．【解答】解：作出f（x）的图象由图知，只有当f（x）=1时有两解；∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实数解x1，x2，x3，∴必有f（x）=1，从而x1=1，x2=2，x3=0．故可得x12+x22+x32=5．故选C．三、解答题19．（12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f （n）与时间n （1≤n≤30、n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数 f （n）图象中的点位于斜率为5和﹣3的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．（Ⅰ）求f （n）的表达式，及前m天的销售总数；（Ⅱ）按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过400件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该款服装将不再流行．试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过10天？请说明理由．【解答】解：（I）根据题意，设f（n）=，（n∈N*）而f（1）=2，∴5+a=2，即a=﹣3．又5m+a=﹣3m+b，∴b=8m+a=8m﹣3，∴f（n）=．（n∈N*）由f（m）=57得m=12．∴f（n）=（n∈N*）前12天的销售总量为5（1+2+3++12）﹣3×12=354件．（II）第13天的销售量为f（13）=﹣3×13+93=54件，而354+54＞400件，∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行．设第x天的日销售量开始低于30件（12＜x≤30），即f（x）=﹣3x+93＜30，解得x＞21．∴从第22天开始日销售量低于30件．∵21﹣13=8，∴该服装流行的时间不超过10天．20．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…（2分）∴sin∠POQ=，得P点坐标为（，1），∴A=1，=4（2﹣），∴ω=．…（5分）由f（）=sin（+φ）=1 可得φ=，∴y=f（x）的解析式为f（x）=sin（x+）．…（6分）（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求得g（x）=sin x，…（7分）h（x）=f（x）g（x）=sin（x+）sin x=+sin xcos x=+sin=sin（﹣）+．…（10分）当x∈[0，2]时，∈[﹣，]，∴当，即x=1时，h max（x）=．…（12分）21．（14分）已知n∈N*，数列{d n}满足，数列{a n}满足a n=d1+d2+d3+…+d2n；数列{b n}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实根．（Ⅰ）求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，…，第a n项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2013项和．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴a n=d1+d2+d3+…+d2n=…（3分）因为b2，b4为方程x2﹣20x+64=0的两个不相等的实数根．所以b2+b4=20，b2•b4=64…（4分）解得：b2=4，b4=16，所以：…（6分）（Ⅱ）由题知将数列{b n}中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c n}中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1=2，b2=4公比均是8，…（9分）T2013=（c1+c3+c5+…+c2013）+（c2+c4+c6+…+c2012）=…（12分）22．（16分）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=ax2﹣2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：①得②得（舍去）∴a=1，b=0…（4分）∴g（x）=x2﹣2x+1，…（5分）（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即k…（9分）设，∴，∴k≤（t﹣1）2∵（t﹣1）2min=0，∴k≤0…（11分）（3）f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0，即|2x﹣1|++﹣3t﹣2=0．令u=|2x﹣1|＞0，则u2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）记方程①的根为u1，u2，当0＜u1＜1＜u2时，原方程有三个相异实根，记φ（u）=u2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，或．…（16分）∴时满足题设．…（18分）23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+2=（2+cosnπ）（a n﹣1）+3，n∈N*．（1）求数列{a n}前20项的和S20；（2）求通项公式a n；（3）设{a n}的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）（2）当n是奇数时，cosnπ=﹣1；当n是偶数时，cosnπ=1．所以，当n是奇数时，a n=a n+2；当n是偶数时，a n+2=3a n．+2又a1=1，a2=2，所以a1，a3，…，a2n﹣1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a2，a4，…，a2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以，a n =．（3）由（2），得S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）=3n+n2﹣1，S2n﹣1=S2n﹣a2n=3n+n2﹣1﹣2×3n﹣1=3n﹣1+n2﹣1．所以，若存在正整数m、n，使得S2n=mS2n﹣1，则m===1+≤1+=3．显然，当m=1时，S2n=3n+n2﹣1≠1×3n﹣1+n2﹣1=S2n﹣1；当m=2时，由S2n=2S2n﹣1，整理得3n﹣1=n2﹣1．显然，当n=1时，31﹣1≠12﹣1；当n=2时，32﹣1=22﹣1，所以（2，2）是符合条件的一个解．当n≥3时，3n﹣1=（1+2）n﹣1=1+C n﹣11×2+C n﹣12×22+…≥1+2C n﹣11+4C n﹣12=2n2﹣1＞n2﹣1．当m=3时，由S2n=3S2n﹣1，整理得n=1，所以（3，1）是符合条件的另一个解．综上所述，所有的符合条件的正整数对（m，n），有且仅有（3，1）和（2，2）两对．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

………外…………………内…………绝密★启用前上海市位育中学2015-2016学年高二下学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面2．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．175B ．275C ．375D ．4754．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：总体均值为2，总体方差为3 D ．丁地：中位数为2，众数为3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是___________．6．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5：3：2，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取_________个个体．7．圆柱的高为1，侧面展开图中母线与对角线的夹角为60°，则此圆柱侧面积是_________．8．若对任意实数x ，都有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a =________9．设地球O 的半径为R ，P 和Q 是地球上两地，P 在北纬45°，东经20°，Q 在北纬45o ，东经110°，则P 与Q 两地的球面距离为__________。

资料概述与简介 2014学年第二学期位育中学零次考试试卷 高三年级　语文学科 考试时间150分钟；总分150分 一阅读 80分 （一）阅读下文，完成第1—6题。

（18分） 文学与人生（节选）朱光潜 ①从前中国人有“文以载道”的说法，后来有人嫌这看法的道学气太重，把“诗言志”一句老话抬出来，以为文学的功用只在言志；释志为“心之所之”，因此，言志包涵一切心灵活动在内。

文学理论家于是分文学为“载道”“言志”两派，仿佛以为这两派是极端，绝不相容——“载道”是“为道德教训而文艺”，“言志”是“为文艺而文艺”。

其实这问题的关键全在“道”字如何解释。

如果释“道”为狭义的道德教训，载道就显然小看了文学。

文学没有义务要变成劝世文或是修身科的高头讲章。

如果释“道”为人生世相的道理，文学就决不能离开“道”，“道”就是文学的真实性。

（甲）志为心之所之，也就要合乎“道”，情感思想的真实本身就是“道”，所以“言志”即“载道”，根本不是两回事。

（乙）哲学科学所谈的是“道”，文艺所谈的仍然是“道”，所不同者哲学科学的道是抽象的，是从人生世相中抽绎出来的，好比从盐水中所提出来的盐；文艺的道是具体的，是含蕴在人生世相中的，好比盐溶于水，饮者知咸，却不辨何者为盐，何者为水。

（丙）用另一个比喻来说，哲学科学的道是客观的、冷的、有精气而无血肉的；文艺的道是主观的、热的,通过作者的情感与人格的渗沥，精气与血肉凝成完整生命的。

（丁） ②我常感觉到，与其说“文以载道”，不如说“因文证道”。

《楞严经》记载佛有一次问他的门徒从何种方便之门，发菩提心，证圆通道。

几十个菩萨罗汉轮次回答，有人说声音，有人说颜色，有人说香味，大家总共说成二十五个法门（六根、六尘、六识、七大，每一项都可成为证道之门）。

读到这段文章，我心里起了一个幻想，假如我当时在座，轮到我起立作答时，我一定说我的方便之门是文艺。

我不敢说我证了道，可是从文艺的玩索，我窥见了道德一斑。

文艺到了最高的境界，从理智方面说，对于人生世相必有神光的观照与彻底的了解，如阿波罗凭高远眺，华严世界尽成明镜里的光影，大有佛家所谓万法皆空，空而不空的景象；从情感方面说，对于人世悲欢好丑必有平等的真挚的同情，冲突化除后的谐和，不沾小我利害的超脱，高等的幽默与高度的严肃，成为相反者之同一。

2014学年第二学期位育中学零次考试高三数学试题一、填空题（每题4分，共56分）1.(理) 在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为．(文) 为虚数单位，复数的虚部是_________．2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是_________．3．若，则方程的解为___________．4.已知虚数、满足和（其中），若，则．5. 在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，该数能被5 整除的概率是 .6．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是_______．7．已知是双曲线右支上的一点，、分别是圆和上的点，则的最大值等于．8．已知数列{}的通项公式为，则+++的最简表达式为__________________.9 ．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________.10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、与直线所围成的图形的面积为_______.11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数不是5．正确的命题是________．12．已知集合，对于它的非空子集，将中每个元素都乘以后再求和，称为的非常元素和，比如的非常元素和为．那么集合的所有非空子集的非常元素和的总和等于 ． 13．已知是内部一点，，记、、的面积分别为、、，则________.14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.则：的正交点列为二、选择题（每题5分，共20分） 15．已知集合，则集合的非空真子集数为 （ ）（A ）14 （B ） 512 （C ）511 （D ）510 16．函数的图像大致为 （ ）17．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（ ） （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 18. 正方体的棱长为2，动点、在棱上.动点、分别在棱、上，若，，，(大于零)，则四面体的体积（ ）与都有关 与有关，与无关与有关，与无关与有关，与无关三、解答题19．（本题12分, 第（1）题6分，第（2）题6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB=BC =BB =，求：（1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．20．（本题14分, 第（1）题6分，第（2）题8分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC BA21．（本题14分, 第（1）题6分，第（2）题8分） 在平面直角坐标系中，已知点、，是动点，且直线与的斜率之积等于.（1）求动点的轨迹方程； （2）设直线与分别与直线相交于点、，试问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本题16分, 第（1）题4分，第（2）题6分,第（3）题6分）定义：若各项为正实数的数列{}n a满足*1N )n a n +=∈，则称数列{}n a 为“算术平方根递推数列”. 已知数列{}n x 满足*0N ,n x n >∈，且19,2x =点1(,)n n x x +在二次函数2()22f x x x =+的图像上.(1)试判断数列{}21n x +*(N )n ∈是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； (2)记lg(21)n n y x =+*(N )n ∈，求证：数列{}n y 是等比数列，并求出通项公式n y ；(3)从数列{}n y 中依据某种顺序自左至右取出其中的项123,,,n n n y y y ，把这些项重新组成一个新数列{}n z ：123123,z ,z ,n n n z y y y === .(理科)若数列{}n z 是首项为111()2m z -=、公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为1663，求正整数k m 、的值．(文科) 若数列{}n z 是首项为111()2m z -=，公比为*1(,N )2k q m k =∈的无穷等比数列，且数列{}n z 各项的和为13，求正整数k m 、的值．23、（本题18分, 第（1）题4分，第（2）题6分,第（3）题8分）已知函数，为常数，且.（1）证明函数的图象关于直线对称； （2）当时，讨论方程解的个数； （3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.2014学年第二学期位育中学零次考试高三数学试题答案一1、(理)4π(文)12 2、；3、或；4、5、9256、；7、10；8、；9、直线；10、1；11、①②③；12、2560；13、1：2：3；14、二 15 D 16D 17A 18D 三19，解：（1）因为11//B C BC ，所以1A C B ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. ………………1分因为BC ^AB,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1B CA B⊥. ………………3分在1Rt A BC 中,11tan A BACB BC∠==所以1ACB ∠=5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分 （2）因为11B C //平面1ABC 所以11B C 到平面1A BC 的距离等于1B 到平面1ABC 的距离 ………………8分 设1B 到平面1A BC 的距离为d ， 因为1111B A BC A BB C V V --=，所以11111133A BCB BC S d S A B ∆∆⨯=⨯ ………………10分可得5d =………………11分直线11B C 与平面1A BC 的距离为5． ………………12分 20，解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-.……………………3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设QA=x ，CQA α∠=，DQB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455663t t ≤+<+=，74118183t t ∴-≤+-<，当7418180t t ≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x =时取得，故点Q 应选在距A6-km 处.………………14分21，解：（1）设点的坐标为，由题意得 ……3分化简得.故动点的轨迹方程为……6分（2）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是的面积……8分又直线的方程为，，点到直线的距离.于是的面积……10分当时，得又，所以=， ……12分解得，因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.…14分解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以……8分所以即 ，……12分解得 ，因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为…14分22，解(1)答：数列{}21n x +是算术平方根递推数列. 理由：1(,)n n x x + 点在函数2()22f x x x =+的图像上，21122,n n n x x x ++∴=+ 21121441n n n x x x +++=++即，2121(21)n n x x ++=+.又*0,N n x n >∈，∴*121n x n N ++=∈．∴数列{}21n x +是算术平方根递推数列. 证明(2) *1lg(21),21N n n n y x x n +=++=∈ ，112n n yy +∴=. 又1119lg(21)1()2y x x =+== ,∴数列{}n y 是首项为11y =,公比12q =的等比数列.1*11(),N 2n n y y n -∴=⋅∈.(理)(3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数，1116216312m k -∴=- ． 化简，得116631622k m -+=．若13m -≥，则1166316631663++16222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！ 12m ∴-≤.又101m -=或时，116631622k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 166316,264,624kk k ∴=-==解得. 3,6.m k =⎧∴⎨=⎩(文) (3)由题意可知，无穷等比数列{}z n 的首项1112m z -=,公比*1(N )2k k m k m ∈、且、为常数， 11121312m k -∴=- ．化简，得113122k m -+=． 若13m -≥，则1131313++1222828k m k -+≤≤<.这是矛盾！12m ∴-≤.又101m -=或时，113122k m -+>,∴ 12,3m m -==即. 131,24,224kk k ∴=-==解得. 3,2.m k =⎧∴⎨=⎩23，（1）设点为上任意一点，则，所以，函数的图象关于直线对称. ……4分（2）当时，……8分如图，当时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解；当时，方程有2个解. ……9分 综合上述，当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解. ……10分（3）因，所以，当，.若，即，；若，即，.当，同理可得，，；，.所以，……14分从而有四个解：.……16分又，，所以只有是二阶周期点. …18分。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 . 9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分） 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N . （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，【提示】由正弦函数的有界性可得，对任意πsin 3OB θ⎛+ ⎝(4OB =cos OP OR O ∠31212OA d x y =1,=得21x =13kx1221mx x kx k -1212k m x x k -=222k m+42(4k S ++k 无关，(21212m k +【考点】椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系。

2015-2016学年上海市位育中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=．2．直线关于直线x=1对称的直线方程是．3．直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．4．若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是．5．已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．6．若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=．7．在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．8．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．9．已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．10．椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．13．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）14．直线L： +=1与椭圆E： +=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．16．已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．17．已知椭圆G： +y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．18．过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年上海市位育中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=1．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为直线2x+my﹣6=0的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：12．直线关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣2=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】本题求对称直线方程，先求斜率，再求对称直线方程上的一点，然后求得答案．【解答】解：直线关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为，且过（2，0）点，所求直线方程为：x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0．3．直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，然后由直线和圆的位置关系求得弦长．【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x﹣1）2+y2=1．如图，∴弦AB的长为．故答案为：．4．若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而可得斜率的取值范围，由正切函数的性质可得．【解答】解：直线y=sinθ•x+2的斜率为sinθ，设直线的倾斜角为α，则ta nα=sinθ∈[﹣1，1]∴α∈[0，]∪[，π）；故答案为：[0，]∪[，π）．5．已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：6．若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=2．【考点】复数求模．【分析】把|z1+z2|=2两边平方求得2z1z2，进一步求出，开方得答案．【解答】解：由|z1+z2|=2，得，即2z1z2=4，∴，∴|z1﹣z2|=2．故答案为：2．7．在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在X轴上，则a等于．【考点】椭圆的参数方程；直线的参数方程．【分析】化参数方程为普通方程，利用两曲线有一个公共点在x轴上，可得方程，即可求得结论．【解答】解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：8．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为69．已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为[3，6] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆的方程化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A（a，9﹣a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y﹣7=x﹣2，M到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立．【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a；①当a≠2时，k AB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=，直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即≤，化简得a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6；②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2即x﹣y+5=0，M到它的距离d==＞，这样点C不在圆M上，还有x+y﹣9=0，显然也不满足条件，综上：A点的横坐标范围为[3，6]．故答案为：[3，6]．10．椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin （θ±），由P、Q在椭圆上，即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin （θ±），由P、Q在椭圆上，得：=+，①=+，②①+②，得+=+，∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|•|OQ|最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵==．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．12．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．13．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选D14．直线L： +=1与椭圆E： +=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设出P1的坐标，表示出四边形P1AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P1AB的最大值，利用6√2﹣6＜3判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P，【解答】解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴S max=6．=×4×3=6为定值，∵S△OAB的最大值为6﹣6．∴S△P1AB∵6﹣6＜3，∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B．三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，x，y∈R，根据复数及模的运算，建立方程组，求出x，y即可求出z．【解答】解：设z=x+yi，x，y∈R，则z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z﹣2|=2，∴（x﹣2）2+y2=4，联立解得，当y=0时，x=4或x=0 （舍去x=0，因此时z=0），当y≠0时，，z=1±，∴综上所得z1=4，z2=1+i，z3=1﹣i．16．已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）直接用点斜式求出直线CD的方程；（2）根据条件得知|PA|为圆的半径，点P在直线CD上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆P的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2），…∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…又直径|CD|=，∴∴（a+1）2+b2=40 ②…由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…17．已知椭圆G： +y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【考点】圆锥曲线的最值问题；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）利用椭圆G： +y2=1．直接求解即可．（2）由题意推出|m|≥1．通过当m=1时，求出|AB|=；当m=﹣1时，|AB|=；当|m|＞1时，设切线方程为y=k（x﹣m），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理弦长公式以及圆的圆心到直线的距离等于半径，转化求解|AB|，利用基本不等式求出最值即可．【解答】（本题12分）解：（1）由已知椭圆G： +y2=1．得a=2，b=1，∴c=，∴椭圆G的焦点坐标为（），（）．（2）由题意椭圆G： +y2=1．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G 于A，B两点．知，|m|≥1．当m=1时，切线l的方程为x=1，点A、B的坐标分别为（1，）（1，﹣），此时|AB|=；当m=﹣1时，同理可得|AB|=；当|m|＞1时，设切线方程为y=k（x﹣m），由得（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0．设A，B两点两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，又由l于圆x2+y2=1相切，得，即m2k2=k2+1．所以|AB|==，由于当m=±1时，|AB|=，所以|AB|=，m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．因为|AB|==，当且仅当m=时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2．18．过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】（1）当a=时，如图所示，设M，N．则，，．由题意可设直线MN的方程为my+=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系．只要证明=0即可．（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．设M，N．则M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2），不妨设y1＞0．设直线MN：my+a=x，与抛物线方程联立得到根与系数的关系，用坐标分别表示S1，S2，S3．利用S22=λS1⋅S3成立即可得出λ．【解答】解：（1）当a=时，如图所示，设M，N．则，，．则=（﹣p，y1）•（﹣p，y2）=p2+y1y2．（*）设直线MN的方程为my+=x，联立，化为y2﹣2pmx﹣p2=0．∴．代入（*）可得=p2﹣p2=0．∴AM1⊥AN1；（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．设M，N．则M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2），不妨设y1＞0．设直线MN：my+a=x，联立，化为y2﹣2pmy﹣2pa=0．∵△＞0成立，∴y1+y2=2pm，y1y2=﹣2pa．S1==，同理S3=，．∴S1S3====pa2（pm2+2a）．==a2（4p2m2+8pa）=4pa2（pm2+2a），∴4pa2（pm2+2a）=λpa2（pm2+2a），解得λ=4．故存在λ=4，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A 、B 且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率及过点过M （2，），N （，1）列出方程组求出a ，b ，由此能求出椭圆E 的方程．（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx +m ，与椭圆联立，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB |的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E ：（a ，b ＞0）过M （2，），N （，1）两点，∵，解得：，∴，椭圆E 的方程为…（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且，设该圆的切线方程为y=kx +m ，解方程组，得x 2+2（kx +m ）2=8，即（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8=0，则△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣8）=8（8k 2﹣m 2+4）＞0，即8k 2﹣m 2+4＞0，…．，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以，又8k2﹣m2+4＞0，∴，∴，即或，∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，…而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且…..∵，∴，=，…①当k≠0时∵，∴，∴，∴，当且仅当时取”=”…②当k=0时，…．③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，…综上，|AB|的取值范围为，即：…2017年3月21日。

位育中学2015学年第一学期零次考试试卷 高 二 数 学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________ 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________5、若等比数列}{n a 满足nn n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________6、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________ 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________ 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________ 10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________ 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________ 12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________二、选择题(每题3分，共12分) 13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的 （ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无 穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,， 使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是 （ ） (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈) 时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为 （ ）(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n =三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列， (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域； (2)求)(x f 的单调区间19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界， 已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否 为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围位育中学2015学年第一学期零次考试试卷 高 二 数 学 2015.9.2一、填空题(每题3分，共36分) 1、若α是第二象限角，且135sin =α，则αtan 的值为__________125- 2、已知全集R U =，}1|2||{>-=x x A ，则A C U =_________]3,1[ 3、函数)25(log )(21x x f -=的定义域是________)25,2[4、已知定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f 的最小正周期为23π，则)415(π-f 的值为___________225、若等比数列}{n a 满足nn n a a 91=⋅+，则数列}{n a 的公比=q __________36、若21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 的取值范围是___________21>a 7、若函数)(x f y =的图像经过点)1,0(P ，则函数)4(+=x f y 的反函数的图像经过的定点坐标是___________)4,1(-8、对任意实数x ，)(x f 均取42,2,14+-++x x x 三者中的最小值，则)(x f 的最大值是___________38 9、如果要使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值是___________2197π10、若一个直角三角形的三个内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为___________215arcsin- 11、已知y x ,都为正数，且4=+y x ，若不等式m yx >+41恒成立，则实数m 的取值范围是________)49,(-∞12、设}{n a 是公比为q 的等比数列，首项6411=a ，对于*N n ∈，n n a b 21log =，若当且仅当4=n 时，数列}{n b 的前n 项和取得最大值，则q 的取值范围为___________)4,22(二、选择题(每题3分，共12分)13、“b c a b -=-”是“c b a ,,成等差数列”的 （ ）C(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D) 非充分非必要条件14、函数)(x f y =的图像与直线1=x 的公共点有 ( )C (A)0个 (B)1个 (C)至多1个 (D)至少1个15、有四个命题：（1）对于任意的βα,，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+； （2）存在这样的βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（3）不存在无 穷多个βα,，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+；（4）不存在这样的βα,， 使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+，其中假命题的个数是 （ ）C (A)1 (B)2 (C) 3 (D) 416、已知ABC ∆的三边分别是c b a ,,，且c b a ≤≤（*,,N c b a ∈），若当n b =(*N n ∈) 时，计满足条件的所有三角形的个数为n a ，则数列}{n a 的通项公式为 （ ）B(A)12-=n a n (B) 2)1(+=n n a n (C) 12+=n a n (D) n a n = 三、解答题(共52分)17、(10分) 已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设数列}2{n a的前n 项和为n S ，求10S 解：(1)设数列}{n a 的公差为d ，由9123a a a =，得d d 81)21(2+=+得1=d ，所以，n a n =(2)204622210210=+++= S18、(10分)已知函数)22cos(3sin cos )(22x x x x f +--=π，(1)求)(x f 的周期和值域；(2)求)(x f 的单调区间解： )62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f(1)周期π=T ，值域为]2,2[- (2)递增区间为]6,3[ππππ+-k k (Z k ∈)， 递减区间为]32,6[ππππ++k k (Z k ∈) 19、(10分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1102++-=n n S n (*N n ∈)，(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T解：(1)⎩⎨⎧≥-==2,2111,10n n n a n ；(2) ⎩⎨⎧≥+-≤++-=6,51105,11022n n n n n n T n20、(10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ，(1)若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆ 的面积解：(1)由面积公式和余弦定理得：2=a ，2=b(2)由题意得：A A B A B 2sin 2)sin()sin =-++（，即 A A A B cos sin 2cos sin =当0cos =A 时，2π=A ，6π=B ，334=a ，332=b 当0cos ≠A 时，A B sin 2sin =，即a b 2=，又abc b a C 2cos 222-+=，故332=a ，334=b ，所以ABC ∆的面积332sin 21==C ab S 21、(12分)定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意的D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤|)(|成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为)(x f 的上界，已知函数xxa x f )41()21(1)(+⋅+=，（1）当1=a 时，先求函数)(x f 在)0,(-∞上的值域，再判断函数)(x f 在)0,(-∞上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数)(x f 在),0[+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围解：(1) 当1=a 时，)(x f 在)0,(-∞上的值域为），（∞+3 故不存在常数0>M ，使M x f ≤|)(|成立，所以)(x f 在)0,(-∞上不是有界函数(2)由题意得：3|)(|≤x f 在),0[+∞上恒成立，则3)(3≤≤-x f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+⋅+-≥+⋅+3)41()21(13)41()21(1x x x x a a变形得xxx xa )21(22)21(24-⋅≤≤-⋅-在),0[+∞上恒成立 根据函数的单调性，由分离参数法得：实数a 的取值范围为]1,5[-。