三角形的定义
三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。
三角形中的主要线段
三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。
这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点：
（1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。
（2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
（3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的按边分类
三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下：
等边三角形是等腰三角形的一种特例。
判定三条边能否构成三角形的依据
△ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知：
△③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a
△定理：三角形任意两边的和大于第三边。
△由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c
△故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。
从而得到推论：
三角形任意两边的差小于第三边。
上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。
判定三条边能否构成三角形
对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。
在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。
证明三角形的内角和定理
除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路：
方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，
运用平行线的性质，可得∠B＝∠2，
∠C＝∠1，从而证得三角形的内角
和等于平角∠DAE。
方法2 如图，在△ABC的边BC上任取
一点D，过D作DE‖AB，DF‖AC，
分别交AC、AB于E、F，再运用平行
线的性质可证得△ABC的内角和等于
平角∠BDC。
三角形按角分类
根据三角形的内角和定理可知，三角形的任一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角。
三角形按角可分类如下：
根据三角形的内角和定理可有如下推论：
推论1 直角三角形的两个锐角互余。
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
同时我们还很容易得到如下几条结论：
（1）一个三角形最多有一个直角或钝角。
（2）一个三角形至少有两个内角是锐角。
（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则，若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°，这与定理矛盾）。
(4) 三角形有六个外角，其中两两是对顶角相等，所以三角形的三个外角和等于360°。
全等三角形的性质
全等三角形的两个基本性质
（1）全等三角形的对应边相等。
（2）全等三角形的对应角相等。
确定两个全等三角形的对应边和对应角
怎样根据已知条件准确迅速地找出两个全等三角形的对应边和对应角？其方法主要可归结为：
（1）若两个角相等，这两个角就是对应角，对应角的对边是对应边。
（2）若两条边相等，这两条边就是对应边，对应边的对角是对应角。
（3）两个对应角所夹的边是对应边。
（4）两个对应边所夹的角是对应角。
由全等三角形的定义判定三角形全等
由全等三角形的定义知，要判定两个三角形全等，需要知道三条边，三个角对应相等，但在应用中，利用定义判定两个三角形全等却是十分麻烦的，因而需要找到能完全确定一个三角形的条件，以便用较少的条件，简便的方法来判定两个三角形的全等。
判定两个三角形全等的边、角、边公理
内容：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（即SAS）。
这个判定方法是以公理形式给出的，我们可以通过实践操作去验证它，但验证不等于证明，这点要区分开来。
公理中的题设条件是三个元素：边、角、边，意指两条边和这两条边所夹的角对应相等。不能理解成两边和其中一个角相等。否则，这两个三角形就不一定全等。
例如在△ABC和△A′B′C′中，
如右图，AB=A′B′，∠A=∠A′，
BC=A′C′，但是△ABC不全等于
△A′B′C′。
又如，右图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠B=∠B′，AC＝A′C′，但△ABC和△A′B′C′不全等。
原因就在于两边和一角对应相等不是
公理中所要求的两边和这两条边的夹
角对应相等的条件。
说明：从以上两例可以看出，SAS≠SSA。
判定两个三角形全等的第二个公理
内容：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（即ASA）。
这个公理也应该通过画图和实验去进一步理解它。
公理强调了两角和这两角的夹边对应相等，这里实质上包含了一个顺序关系。千万不能理解成为在其中一个三角形中是两角和其夹边，而在另一个三角形中却是两角和其中一角的对边。
如右图，在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB＝A′C′，
但这两个三角形显然不全等。原因就是
没有注意公理中“对应”二字。
公理一中的边、角、边，其顺序是不能改变的，即SAS不能改为SSA或ASS。而ASA
公理却能改变其顺序，可改变为AAS或SAA，但两个三角形之间的“对应”二字不能变。同时这个公理反映出有两个角对应相等，实质上是在两个三角形中有三个角对应相等，故在应用过程中只须注意有一条对应边相等就行了。
由公理二可知，有一个锐角与一条边对应相等的两个直角三角形全等
判定两个三角形全等的边、边、边公理
公理：三条边对应相等的两个三角形全等（即边、边、边公理）。
边、边、边公理在判定两个三角形全等时，其对应边就是相等的两条边。
这个公理告诉我们，只要一个三角形的三边长度确定了，则这个三角形的形状就完全确定了。这就是三角形的稳定性。
判定两个三角形全等
通过以上三个公理的学习，可以知道，在判定两个三角形全等时，无需根据定义去判定两个三角形的三角和三边对应相等，而只需要其中三对条件。
三个角和三条边这六个条件中任取三个条件进行组合。无非有如下情况：
（1）三边对应相等。
（2）两边和一角对应相等。
（3）一边和两角对应相等。
（4）三角对应相等。
HL公理
我们知道，满足边、边、角对应相等的两个三角形不一定全等。
但是，对于两个直角三角形来说，这个结论却一定成立。
斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为HL）。这个公理的题设实质上也是三个元素对应相等，其本身包含了一个直角相等。这种边、边、角对应相等的两个三角形全等成立的核心是有一个角是直角的条件。由于直角三角形是一种特殊的三角形，所以过去学过的四种判定方法对于直角三角形照常适用。
