高考数学仿射变换习题汇编

利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。

平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。

因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。

解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。

例1 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。

求证：1=++CFPFBE PE AD PD . [2]C图1证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。

P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，DC DP BD D P AD PD '''==，所以BCP P AD PD '''=， 同理 BC C P BE PE ''=，BCBP CF PF '=， 所以1''''''=++=++BCBP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。

（梅涅劳斯定理 ）[3]分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 。

其逆命题亦成立 。

NBAL'(L)A'C B AMMNA'L C图2（1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。

如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则1''-=⋅⋅=⋅⋅LBL A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。

（2）证明逆命题成立证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=⋅⋅NBANMA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。

x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) （其中）与过点
A2,0, B 0,1 的直线有只且只有1个公共点 T
，且
椭圆的离心率 e 3 ． 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（ Ⅱ ） 设 F1, F2 分 别 为 椭 圆 的 焦 点 ， M 为 线 段 AF2 的 中 点 ， 求 证 ：
ATM AF1T ． 解析： （Ⅰ）如下图
当椭圆的内接四边形的面积 2ab 时， 其对应的圆内接四边形的面积就是 2ab 1 2 ，
ab 由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为 2 ，
而这样的内接正方形有无数个，
还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，
故选 D．
【例
4】（2014 年高考全国新课标
1 卷理第
20
题）已知点 A0, 2 ，椭圆 E ：
解析：
在伸缩变换
:
x
y
x a y b
下，椭圆（如下图）变成圆，
（Ⅰ）由伸缩变换性质知 kAB
a b
k
AB
a b
, kOP
a b
kOP
a 2b
，
又在椭圆中 P 为 AB 的中点，则在单位圆中 P 为 AB 的中点，
则 OP
AB ，故 kABkOP
a2 2b2
1，
即 a2 2b2 ，
又因为直线 x y 3 0 过椭圆的右焦点，
bk． a
性质 3：线段 AB 中点 E 变成线段 AB 中点 E ．
性质 4：直线与曲线的位置关系保持不变．
性质 5：直线 AB 上线段成比例，则变成直线 AB 上对应的线段仍成比例．
性质
6：
S

2025年新高考数学模拟试题（卷二）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合{}2{Z14},40A x x B x x x =∈-≤<=-≤∣∣，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}0,1,2,3D ．()0,42．已知复数z =z 的共轭复数为（）A ．22i-B ．22i+C ．11i44-+D ．11i44--3．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（）A ．12小时B ．78小时C ．34小时D ．23小时4．若π13πtan sin123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．5-C ．9D ．55．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中4x 的系数为（）A ．120B ．135C ．140D ．1006．已知函数13x y m-=+（0m >且1m ≠）图像恒过的定点A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，若关于t 的不等式253a b t t +≥++恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[]6,1-B ．[]1,6-C ．(][),16,-∞-⋃+∞D ．(][),61,-∞-⋃+∞7．已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，A 是E 的右支上一点，若=AF a ，OA b =，则E 的离心率为（）A ．2B ．2C D 8．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，()()0f x f x +-=，对任意,()0x ∈+∞，都有()()f x f x x '>，且()12f =，则不等式22[(1)]24f x x x -<-+的解集为（）A ．(,0)(2,)-∞+∞ B ．()0,2C ．()1,3D ．(,1)(3,)-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数()()2sin 2(0)f x x ωϕω=+>，以下正确的是（）A ．若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B ．若()()124f x f x -=，且12minπ2x x -=，则1ω=C ．当0,N ϕω=∈时，()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调，则1ω=.D ．当π12ϕ=时，若对任意的x 有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则ω的最小值为5810．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N ，P 分别是线段11C D ，线段1C C ，线段1A B 上的动点，且110MC NC =≠.则下列说法正确的有（）A ．1⊥MN AB B ．直线MN 与AP 所成的最大角为90°C ．三棱锥1N D DP -的体积为定值D ．当四棱锥11P D DBB -体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为9π11．已知圆22:(1)(1)4M x y +++=，直线:20+-=l x y ，P 为直线l 上的动点，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法正确的是（）A ．四边形MAPB 面积的最小值为4B ．线段AB 的最小值为C ．当直线AB 的方程为0x y +=时，APB ∠最小D ．若动直线1//l l ，1l 且交圆M 于C 、D 两点，且弦长CD ∈，则直线1l 横截距的取值范围为2,0)(4,2)⋃-第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.13．过点()1,P a 作曲线ln y x x =的切线，若切线有且只有两条，则实数a 的取值范围是___________.14．已知函数()f x 定义域为(0,)+∞，(1)e f =，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，当21x x >时，有()()21121212e e x xf x f x x x x x ->-（e 是自然对数的底）.若(ln )2e ln f a a a >-，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和23n n n S a +=.(1)求2a ，3a ，及{}n a 的通项公式；(2)证明：12311112na a a a ++++< .16．（15分）某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图．若将日销售额在(]16,18的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在(]18,20的加盟店评定为“五星级”加盟店．(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额(),6.25X N μ ，其中μ近似为（1）中的样本平均数，根据X 的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数（结果精确到整数）；(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设Y 为抽取的“五星级"加盟店的个数，求Y 的概率分布列与数学期望.参考数据：若()2,X N μσ ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．17．（15分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为12,A BC 的面积为2(1)求点1C 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AAAB =，平面1A BC ⊥平面11A B BA ，求二面角A BD C --的正切值．18．（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 的右焦点F 且垂直于长轴的弦AB 的长为1，焦点F 与短轴两端点构成等边三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()P的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点E 在x 轴上且对任意直线l ，直线OE 都平分MEN ∠（O 为坐标原点）．①求点E 的坐标；②求EMN 的面积的最大值．19．（17分）已知函数()e 1xf x x =-．(1)若直线e 1=--y kx 与曲线()y f x =相切，求k 的值；(2)若()0,x ∀∈+∞，()ln f x x ax >-，求a 的取值范围．2025年新高考数学模拟试题（卷二）(解析版)第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

B． [kπ − π , kπ + 3π ](k ∈ Z )
8
8
C． [kπ + π , kπ + 5π ](k ∈ Z )
8
8
D． [kπ − 3π , kπ + π ](k ∈ Z )
8
8
2．（2020•龙岩一模）函数 f (x) = cosωx(ω > 0) 在区间[0, π ] 上是单调函数，且 f (x) 的图象

D． −1
5．（2020•五华区校级模拟）若 θ
∈
π (
,
π
)
，
sin
2θ
=
4
2 ，则 cosθ = (
)
42
9
A． 1
3
B． 2
3
C． 2 2
3
D． 8
9
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6．（2020•番禺区模拟）已知α ∈ (0, π ), 2sin 2α −1 = cos 2α ，则 cosα = (
成的一个大正方形．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中
较大的锐角为θ ，那么 cos2 θ = (
)
2
A． 3
10
B． 3
5
C． 7
10
D． 4
5
4．（2020•五华区校级模拟）函数 f (x) = sin2 x − cos2 x + 2 3 sin x cos x 的最小值为 ( )
再向左平移 t(t > 0) 个单位，所得函数 g(x) 关于 x = π 对称，则 t 的最小值为 (
)
3
A． π
3
B． π

和是 4．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若椭圆 C1 的方程为 + =1（m＞n＞0），椭圆 C2 的方程为 + =λ
（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆 C2 是椭圆 C1 的λ倍相似椭圆．已知椭圆 C2 是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆．若 过椭圆 C 上动点 P 的切线 l 交椭圆 C2 于 A，B 两点，O 为坐标原点，试证明当切线 l 变化时|PA|=|PB| 并研究△OAB 面积的变化情况．
k PQ
2kPQ
；令
PQ 倾斜角为
， PQ 中点为 M
， OM
2 cos
，
PM QM 1 2 cos 2
，
故
SOPQ 2 cos 1 2 cos 2
2 cos 2 1 2 cos 2 1 ，
2
当 仅 当 2 cos 2 1 2 cos 2 cos 2 时 ， 等 号 成 立 ， 此 时
坐标拉伸秒杀椭圆问题（一）
秒杀秘籍：利用伸缩法解决椭圆问题
x2 a2

y2 b2
1
x x x x



y

a b
y

y

b a
y
x'2 y'2

a2
拉伸后点的坐标变化：A（
x0
,
y0
）→
A'(x0 ,
a b
y0 )
,横坐标不变，纵坐标拉伸
a b
倍。
斜率的变化：如图纵坐标拉 伸了 a 倍，故 k ' a k
2．x2+y2=1 经过伸缩变换
，后所得图形的焦距（ ）
A．4 B．2

高几复习题1． 求仿射变换，它使点)1,1(,)1,1(,)0,0(-依次变成点)7,3(,)5,2(,)3,2(-．解：设所求仿射变换式为 '11121'21222x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩将三对对应点坐标分别代入上式，解得 仿射变换式为⎪⎩⎪⎨⎧++-='+-='36422121y x y y x x（注：不共线的三对对应点唯一确定仿射变换）2． 求仿射变换，它使直线012=-+y x 上每一点都不动，且将点)1,1(-变成点)2,1(-．解：设所求仿射变换式为 '11121'21222x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎨=++⎩在直线012=-+y x 上任取两点，将三对对应点坐标分别代入上式，解得仿射变换式为 ''22133222x x y y x y ⎧=+-⎪⎨=--+⎪⎩432102,03,0,02=+=-=-=-y x y x y x y x 1）求证四直线共点； 2）求 ),(3421l l l l ． 解：1）易见，四直线都通过原点，所以它们共线．2)可以用斜率计算得32))(())((),(132423143421=----=k k k k k k k k l l l l思考斜率不存在怎么解决？（见下题）4．已知四点)1,8,1(),5,0,3(),2,1,1(),1,2,1(D C B A ---． 1）证明：D C B A ,,,四点共线； 2）求交比(,)AC BD ．解：⑴ 因为 0181211121,053211121=--=---所以 D C B A ,,,四点共线．⑵ 设B A D BA C 21λλ+=+=经计算：32221=-=λλ．所以 3),(21-==λλCD AB ， 从而 (,)1(3)A C B D=--=43210,0,02211,021*********==+-=+-=-+x x x x x x x x x x 1）求证四直线共点； 2）求 ),(3421l l l l ．解： 1）∵00111111201112211112==--－－－∴ 4321l l l l 、、、共点． 2）设31124122l l l l l l λλ=+=+、， 经计算 1212λλ=1=-、3∵ 1123422(,)3l l l l λλ==-∴ 23),(1),(43213421-==l l l l l l l l ．6．求一维射影对应式，使直线l 上坐标为2,1,0的三点依次对应于l ' 上坐标为2,0,1--的三点；并求l 上无穷远点的对应点的坐标．解：设所求一维射影对应式为： ⎩⎨⎧+=+=222121'2212111'1x a x a x x a x a x ρρ将三对对应点的齐次坐标()()0, 11, 1→-，()()1, 10, 1→，()()2, 12, 1→-依次代入对应式，得⎩⎨⎧+-=-=21'221'14344x x x x x x ρρ ，将l 上的无穷远点()0 ,1代入上式，得对应点齐次坐标为)3 ,4(-.7．求二维射影变换⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=32132122112'36'4'xx x x x x x x x x ρρρ的不变点和不变直线．解：1）特征根：2,321-==u u （二重）．2）不变点：)0 , 1 , 1( , 31 =u , )1 , 0 ,0( , 22 -=u ．3）不变直线：]0 , 1 , 6[ , 31-= u ， 即 0621=-x x]0 , 1 , 1[ , 2--= ２u ， 即 021=-x x ．（计算方法及过程见课件例题）8．求二维射影变换⎪⎩⎪⎨⎧++='++='++='32133212321122322xx x x x x x x x x x x ρρρ的不变元素．解：1）特征值：125,1λλ==　（二重）．2）不变点：15,(1,1,1)λ= ， 21λ=，不变点列： 02321=++x x x ．3）不变直线：15,[1,2,1]λ= ， 即 02321=++x x x ，21λ=，0321=++u u u ，即以)1,1,1( 为束心的一个不变线束．9．已知有心二次曲线Γ :022********32221=++-++x x x x x x x x x ， （1） 求Γ的一个自极三点形ABC ，且)1,1,0(A ； （2）求Γ的一对共轭直径方程，其中一直径平行于0:321=++x x x l ．解：（1）解：(1) A 的极线a ：0321=--x x x ，在A 的极线上取点B Γ∉)1 , 0 , 1(, 则B 的极线 b ：0321=+-x x x , 取a 、b 的交点C )0 , 1 , 1(, 则ABC 为自极三点形 ．(2) 由1||l l ,则l '1l 上的无穷远点为)0,1,1(-∞P , 所以1l 的共轭直径2l 方程为 021=-x x ;易得直径方程为1l : 0321=-+x x x10．在仿射平面上，已知二次曲线Γ的方程为05222233231222121=+-+--x x x x x x x x x1）证明Γ为双曲线；2）求Γ的一对共轭直径，使其中一条直径平行于直线0321=+-x x x ．解：1） ∵8-=A 且 0233<-=A ，∴Γ为双曲线。

高等几何习题集习题1.11．证明：任一三角形都有一个内切椭圆，其切点为三边的中点，中心为三角形的重心；同时有一个外接椭圆以三角形的重心为中心。

2．平行于平行四边形ABCD 对角线AC 作一直线与AB 、BC 交于点E 、F ，证明：三角形AED 和CDF 的面积相等。

3．在椭圆的内接三角形的顶点作切线构成外切三角形，证明：如果这两上三角形有两对边平行，则第三对边也平行。

4．过三角形ABC 内任一点P 作DE//BC ，交AB 、AC 于E 、E ，作FG//CA 交BC 、BA 于F 、G ，作HK//AB 交BC 、CA 于H 、K ，证明：=++ABHK CA FG BC DE 常数。

5．设X 、Y 是三角形ABC 的边AB 、CA 上的动点，满足BX ：XA=CY ：Y A 。

证明：BY 与CX 的交点在一条定直线上。

6．设D 、E 、F 各是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且DE//AB ，DF//CA ，证明：CD E BFD AEF S S S ∆∆∆⋅=2。

7．将三角形的每边三等分，将每个分点与三角形的对顶点相连，这六条直线构成一个六边形，证明：此六边形的三双对顶点的连线共点。

8．在三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点D 、E 、F 使BD ：DC = CE ：EA = AF ：FB = 1 ：n 。

设AD 交BE 于L ，BE 交CF 于K ，CF 交AD 于M ，证明：1122++-=n n n S S ABC LKM )(∆∆ 。

9．设点D 、E 、F 分别位于三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上，且BD ：DC=CE ：EA=AF ：FB ，三线AD 、BE 、CF 构成三角形PQR ，证明：三角形ABC 、DEF 和PQR 具有共同的重心。

10．过椭圆的弦AB 的中点C 任作二弦PQ 和ST ，PS 、QT 分别交AB 于M 、N ，证明：MC=CN 。

利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）；性质3变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。

例1（2008年全国卷Ⅱ第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点⑴若DFED ，求k的值；6⑵求四边形AEBF面积的最大值。

分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理．．．．．求得D’点的坐标，再反求出D点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF 与四边形A ’E ’B ’F ’的面积关系，由于四边形A ’E ’B ’F ’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。

解：依题设得椭圆的方程为1y 4x 22=+作仿射变换，令x ’=2x ，y ’=y ，则得仿射坐标系x ’O ’y ’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x ’2+y ’2=1，点A 、B 、D 、E 、F 分别变换为点A ’、B ’、D ’、E ’、F ’，且E ’F ’为圆的直径，E ’F ’=2，A ’(1,0)，B ’(0,1) ⑴根据性质1 ∵DF 6ED = ∴''''F D 6D E = ∴E ’D ’=712 D ’F ’=72∵E ’D ’·D ’F ’=A ’D ’ ·D ’B ’ A ’D ’+D ’B ’=A ’B ’=2∴A ’D ’=724 D ’B ’=723或A ’D ’=723D ’B ’=724∴''''B D 34D A =或''''B D 43D A =由定比分点公式可得：D ’(7374,)或D ’(7473,)∴D 点坐标为(7378,)或(7476,) ∴k=83或k=32⑵设四边形AEBF 的面积为S ，四边形A ’E ’B ’F ’的面积为S ’，E ’F ’与A ’B ’的夹角为θ，则S ’=θ⋅⋅sin ''''B A F E 21=θsin 2≤2（当θ=2π时取“=”号，此时F ’ (2222,)）由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr 2=π 根据性质3有π=π'S 2S ，故S=2S ’∴S ≤22当且仅当F 坐标为(22222,)，即k=21时取“=”号说明：由上述证明过程可知，当D ’为A ’B ’中点是时四边形A ’E ’B ’F ’的面积取到最大值，根据性质1，当D 为AB 中点时四边形AEBF 的面积取到最大值。

第 1讲 仿射变换知识与方法在椭圆()222210x y a b a b+=>>中，我们运用坐标变换x xa y yb '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则可以得到圆222x y a ''+=，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：①仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；②需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.典型例题【例1】设直线l 与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于A 、B 两点，则AOB 的面积的最大值为_______.【解析】解法1：当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x t =()0a t a t −<<≠且 联立22221x tx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，所以2221222AOBb a t t abSt a −+==≤⋅=，当且仅当222a t t−=，即2t =时取等号，所以()max 2AOB ab S =当直线l 斜率存在时，设其方程为()0y kx m m =+≠，设()11,A x y ，()22,y B x ， 联立22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22222222220a k b x kma x a m a b +++−=，判别式()()()2242222222222222444k m a a k b a m a b a b a k m b ∆=−+−=−+①，所以12AB x x =−=，原点O 到直线l 的距离d =，从而1122AOBSAB d =⋅==2222222222ab a k m b m aba kb −++≤⋅=+ 当且仅当22222a k m b m −+=时取等号，此时22222a k b m +=，代入①知22240a b m ∆=>，故()max 2AOB abS =，综上所述，AOB 的面积的最大值为2ab . 解法2：作变换x x a y y b '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆222x y a ''+=，如图，因为21sin sin 22A OB a SO A O B A O B A O B '''''''''''''=⋅⋅∠=∠， 所以当90A O B '''∠=︒时，A O B S '''∠取得最大值22a ，因为a S S b '=，所以bS S a'=，从而AOB S的最大值为222a b aba ⋅=.【答案】2ab 【例2】已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A 、B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则直线PA 、PB 的斜率之积为_______.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为14−，其推导方法是设点P 的坐标，运用点P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA 、PB 的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '+=，如图，在圆O '中，显然A B ''是直径，所以P A P B ''''⊥，从而1P A P B k k ''''⋅=−， 又2P A PA k k ''=，2P B PB k k ''=，所以41P A P B PA PB k k k k ''''⋅=⋅=−，故14PA PB k k ⋅=−.【答案】14−【例3】已知过点11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆22:142x y C +=交于A 、B 两点，若M 恰好为AB 的中点，则直线l 的方程为_______.【解析】解法1：如图1，由中点弦结论，12OM AB k k ⋅=−，而1OM k =，所以12AB k =−，从而直线l 的方程为111222y x ⎛⎫−=−− ⎪⎝⎭，即2430x y +−=解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变换成圆22:4O x y '''+=，如图2，在圆O '中，M '仍为A B ''中点，所以O M A B ''''⊥，且122M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，所以直线O M ''的斜率为，从而直线A B ''的斜率为2，故直线A B ''的方程为1222y x ⎫''−=−−⎪⎝⎭，即24x y ''+−=，将x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入可得024x −=，即2430x y +−=，所以直线AB 的方程为2430x y +−=【答案】2430x y +−=【例4】已知椭圆22:12x C y +=的A 、B 两点满足直线OA 、OB 的斜率之积为12−，其中O为原点，点P 在射线OA 上，且2OP OA =，若PB 与椭圆交于另一点Q ，则BP BQ=_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图，则O A OA k ''=，O B OB k ''=，由题意，所以21O A O B OA OB k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O A O B ''''⊥，显然O P ''=O B ''=，O Q ''=，所以P B ''==，作O G P B '''⊥于G ，则O P O B O G P B ''''⋅'=''，B G '=O B O Q ''''=，所以G 为B Q ''的中点，从而25B Q B G ''''==，故52B P B Q ''=''，所以在变换前的图形中，52BP BQ =.【答案】52【反思】在椭圆()222210x y a b a b +=>>中，若涉及到了两直线的斜率之积为22b a−，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为1−，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.强化训练1.（★★★★）已知椭圆22:14x C y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于M 、N 两点，则四边形AMBN 的面积的最大值是_______.【解析】解法1：如图1，()0,1A ，()2,0B ，所以A 、B 两点到直线MN的距离分别为1d =，2d =y kx =代入2214x y +=化简得：()22144k x +=，解得：x =以MN =AMBN 的面积()122121122k S MN d d ⎛⎫+=⋅+=+====≤=当日仅当14k k =，即12k =时取等号，所以四边形AMBN 的面积的最大值是 解法2：作变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，则椭圆C 变成圆22:4O x y '''+=，如图2，显然4M N ''=，由图可知A '和B '到直线M N ''的距离之和在A B M N ''''⊥时取得最大值，且最大值为A B ''=A M B N ''''的面积S '的最大值为11422M N A B '''⋅=⨯⨯= 因为2S S '=，所以四边形AMBN的面积的最大值是【答案】2.（★★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右顶点分别为A 和B ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，过原点O 作PA 、PB 的平行线与椭圆C 交于M 、N 两点，则MON 的面积为_______.【解析】解法1：如图1，由图形的对称性，不妨假设M 在第一象限，N 在第二象限， 由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，设()0OM k k k =>，则13ONk k =−，联立2213y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()22133k x +=，解得：x =，所以M x =，故M y =M ，同理可得N ⎛⎫ ⎝，所以2MONS⎛⎫== ⎝. 解法2：作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:3O x y '''+=，如图2，变换前，由椭圆的第三定义，13PA PB k k ⋅=−，又OM PB k k =，ON PA k k =，所以13OM ON k k ⋅=−，变换后，O M OM k ''=，O N ON k ''=，所以31O M O N OM ON k k k k ''''⋅=⋅=−，从而O M O N ''''⊥，故1322M O N S'''==，又3M O N MONS S'''=，所以MONS=【答案】23.（★★★★）已知椭圆22:12x C y +=上有点2P ⎝⎭，过P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆C 于另外两点M 、N ，则直线MN 的斜率为_______.【解析】作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '+=，如图1中，作PQ x ⊥轴交椭圆C 于Q ，则在图2中，P Q x '''⊥轴，由题意，在图1中，MPQ NPQ ∠=∠，所以在图2中，M P Q N P Q ''''''∠=∠，所以M Q N Q ''''=，故Q '是M N ''的中点，从而O Q M N ''''⊥，在图1中，由对称性可得2Q ⎛ ⎝⎭，所以在图2中，2Q '⎝⎭，从而O Q k ''=，所以3M N k ''=，又M N MN k ''=，所以6MN k =.4.（★★★★）已知A 、B 、C 是椭圆22:12x E y +=上的三个动点，则ABC 的面积的最大值为_______.【解析】作变换x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆E 变成圆22:2O x y '''+=，如图，显然当A B C '''的面积取得最大值时，应有C D A B '''⊥，且C D O D O C ''''=+设(0O D d d '=≤，则C D d '=，A B ''==所以((1122A B C S A B C D d d ''''''=⋅=⨯=+， 从而()()()()23221233A B C S dd ddd ddd '''=−+=−+=++41327344d d d d ⎛⎫++≤⋅= ⎪ ⎪⎝⎭故A B C S'''≤，当且仅当3d d =时取等号，此时，d =，所以A B C '''，又2A B C ABCS S'''=，所以ABC 的面和的最大值为4.2.5.（★★★★）设A 、B 两点在椭圆22:12x C y +=上，且AB 的中点为12Q ⎫⎪⎪⎝⎭，若椭圆C 外的点P 满足PA 、PB 的中点都在椭圆C 上，则直线OP 的斜率为_______. 【解析】不难发现A 为上顶点，B 为右顶点，作变换x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，则椭圆C 变成圆22:2O x y '''+=，如图在图2中，22Q ⎛' ⎝⎭，且P A ''和P B ''的中点都在圆O '上，所以点P '在A B ''的中垂线y x ''=上，显然原点O '也在直线y x ''=上，从而直线O P ''的斜率为1，因为O P OP k ''=，所以2OP k =.6.（★★★★）已知直线:20l x +−=与椭圆22:12x C y +=相交于点T ，O 为原点，平行于OT 的直线l '与直线l 相交于点P ，与椭圆C 相交于A 、B 两点，若2PT PA PB λ=⋅，则λ=_______.【解析】解法1：联立222012x x y ⎧+−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，因为l '与直线l 平行，所以可设:l x m '=+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,O x y ，联立20x m x ⎧=+⎪⎨−=⎪⎩解得：)24m y −=，所以)024m y −=，从而0PT y =−=−=，故2238PT m =))10201222344m m PA PB y y y y y y ⎛⎫⎛⎫−−⋅=−−=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，联立2212x mx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：22420y m ++−=①,因为1y 、2y 是方程①的两根，所以()()2212424y m y y y y ++−=−−②， 在②中令)24m y −=可得())))22122222242416444m m m m m y y ⎛⎫−−−−⋅++−=−− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得：))21222448m m m y y ⎛⎫⎛⎫−−−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，从而238mPA PB ⋅=，所以2PT PA PB =⋅，故1λ=.解法2：作变换联立222012x x y ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩解得：1x =，y =所以2T ⎛ ⎝⎭，直线OT 的斜率为2，从而变换后，()1,1T '，直线O T ''和直线A B ''的斜率为1，直线P T ''的斜率为1−， 从而P TP T PT x x P T x x ''−==''−，又由变换过程知P P x x '=，T T x x '=，所以2PT P T =''，同理可得，PA P A ==''，PB P B ==''， 所以2234PT P T ''=，34PA PB P A P B ''''⋅=⋅，从而22PT P T PA PB P A P B ''=''''⋅⋅， 在图2中，由切割线定理，2P T P A P B ''''''=⋅，所以21P T P A P B ''=''''⋅，故21PTPA PB=⋅，因为2PT PA PB λ=⋅，所以21PTPA PBλ==⋅.【答案】1【反思】本题改编自2016年四川高考的解析几何大题，可以看到，运用放射变换，问题可以轻松解决。

1、举一个例表明两回透视仿射之积仍为透视仿射；举一个例表明两回透视仿射之积不是透视仿射。

求透视仿射之积仍为透视仿射的充要条件。

若以到方向以以表示到，则易知是透视仿射。

仿此，若，，如前所设，则和最后一条直线】2、两相交平面间的透视仿射有对应轴，一般仿射在什么条件下有对应轴？的乘积将平面上的点对应，若是自对应点的轨迹，即当3、经过和两点的直线被直线截于点，求单比。

，上，所以有+3（有,4、证明直线将两点和的联线段分成的比是。

，则分比，于是，在直线上，故5、仿射变换满足什么条件是透视仿射？6、在仿射变换下，下列图形的对应图形是什么？（1）菱形；（2）正方形；（3）梯形；（4）等腰三角形。

7、证明两条平行线段之比经仿射变换后保持不变。

与是平面内的平行线段，与是它们在平面因此，作交于于是8、证明两条平行直线经过仿射变换仍为平行直线。

是它们的仿射像，因此只要求证与不平行而相交于一点，且设为上又在和是相交而不平行了。

这与假设矛盾，所以反证了9、讨论仿射坐标系与笛氏坐标系的异同点。

10、证明单比在仿射变换下保持不变。

变为共线三点（1）（2）由（1）式得代入（2）式得：。

11、求仿射变换的不变点和不变直线。

则的象=,或者或者12、给定两个仿射变换：，，求两个乘积和的表达式，从所得结果得出结论。

即变换的乘积，一般与因子的顺序有关。

，显然13、欧氏几何学里的圆在仿射变换下，变成怎样的图形?14、试证对于任意已知三角形可以作出与它成透视仿射的等边三角形。

ABC为边，作出下的等边15、证明运动变换的上述4条性质。

（或写成向量形式（，在运动变换下的像分别为，16、三角形的每边分成三等份，将每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的联线共点。

17、设施椭圆的一对共轭直径，证明面积。

18、证明线段的中点是仿射不变性，角平分线不是仿射不变性。

，的中线，，，。

由于，不平分19、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

1．（2014•新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．2.（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．3．（2016•北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．4．（2016•四川）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．5．（2015•新课标II）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．6．（2014•湖南）如图，O为坐标原点，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F 2F4|=﹣1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．7．（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．8.（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．。

在仿射坐标系下 , 设 A B = a, A C = b, 则 B ( a, 0) , C ( 0, b ) , A ( 0, 0 ) . xA + xC xD = = 0, 1+ y A + yC b yD = = . 1+ 3 1 b 其中 = 2 . 于是 D ( 0 , 3 ) . 下面来求点 H 的坐标 xH = xB + x C = a + 0= a , 1+ 1+ 2 3
x 2 y 2 + 2 = 1. 那么圆上所有的点都仿射 a2 b 到椭圆上 , 根据仿射变换的定义: 保持单比不 变性 , 原来 M 为 X Y 中点 , 仿射到椭圆上 M 为 X Y 中点. 因 此此定理 在椭圆上 仍然成 立. 下面我们来利用仿射坐标系解决一道平 面几何的题目: 例4 知S 如 图 4 ( 1) , 2, 求 S A BC 中, DC =
不变量) , 两个封闭图形面积之比是仿射不变 量. 性质 2 不变量. 下面我们由一道高考题引出仿射变换: 例1 ( 2007 年江苏 10 题) 在平面直角 0, y 0} , 则平面区域 B = A } 的面积为 ( ( C) 1 . 2 ( D) 1 . 4 ) 坐标系 x Oy 中 , 已知平面区域 A = { ( x , y ) | x+ y 1, 且 x {( x + y, x - y )| x , y ( A) 2. ( B) 1. 两个三角 形面积之 比是仿射
2 A D, BH = 2H C , AH 与 BD 相交于点 P , 已
AB C = P AB 面积 .
( 1) 图 4
( 2)
解
如图 4( 2) 建立仿射坐标系.
[ 1]

1.中规中举---点差法 2.合情推理---类比法
kMN kOP ?
解题方法研究
方法二： （端点相减法处理弦中点问题）
2 2 x12 y12 x2 y2 一般地，若设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 2 2 1 ， 2 2 1 ， a b a b
解题方法研究
确定函数的最值点，通常有两种可以考虑的途径．其一是 分析函数的单调性（常常运用导数） ，其二是运用不等式．下面 分别进行说明．
途径一： （分析函数单调性） 设 f (m) (12 m2 )(4 m)2 （其中 0 m2 12 ） ，则求导得
f (m) 2m (4 m) 2 2(4 m)(12 m 2 ) 4(4 m)(m2 2m 6) 4(4 m)( m 1 7)( m 1 7)
b2 3 1 3 ， 2 ，故 k AB ． 2 2 a 4
命题背景探源
x2 y 2 容易求得椭圆 C 的方程为 1 ，下面通过仿射变换来探求该 4 3
问题的本质． 在仿射变换下，点平分线段这一性质保持不变，故由垂径定理知，在 变换之后的图形中 AB OP．另一方面，△APB 面积最大当且仅当变换之 后对应的△APB 面积最大．通过上述的分析，我们发现原问题的实质是： P 为圆 O 外一点，弦 AB 垂直于直线 OP，求△APB 面积的最大值．
x3
x1 x2 4km , 2 2 3 4k
y3 kx3 m
3m ． 2 3 4k
由 P、O、M 三点共线可知， y3
1 3 x3 ．又因为 m 0 ，所以 k ． 2 2
y N
y
N

仿射变换与双曲线的标准方程22221x y a b 相比椭圆的标准方程22221x y a b在形式上极为接近圆的标准方程222x y r ．在这一讲，我们着重讲述利用仿射变换将椭圆变换为圆，再利用圆的良好几何性质解决问题的方法．对椭圆的标准方程22221x y a b ，我们需要在y 轴进行伸缩变换x x b y y a得到方程22221x y a a ．伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系、平行和直线共点关系等等，但是伸缩变换会改变线段的长度，这需要引起充分的注意．【备注】仿射变换（Affine Transform ）是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness ，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness ，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化．仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation ）、缩放（Scale ）、翻转（Flip ）、旋转（Rotation ）和错切（Shear ）．【备注】在伸缩变换①下，椭圆方程2222:1x y E a b变为圆222:E x y a ，椭圆上的点 00,P x y 变为00,a P x y b，因此过圆E 上一点P 的圆的切线方程为:l 200a x x y y a b 该直线通过伸缩变换①就可以得到过椭圆E 上一点P 的椭圆的切线方程22002:a l x x y y a b即00221x x y ya b典型例题例1（2010年上海）已知椭圆22x y ⑴设直线l 【解析】 ⑴ 作仿射变换，椭圆方程变为222x y a ，则121k k∴C D O E ，根据垂径定理，E 是弦C D 的中点于是E 是CD 的中点．⑵如下图，求作点1P 、2P 的步骤为：1．以O 为圆心，椭圆的长轴长a 为半径作圆；2．过O 作射线，使Ox 轴正方向到该射线的角为 ，射线与圆交于Q ；3．过圆与y 轴正向的交点作y 轴的垂线，过圆与x 轴负向的交点作x 轴的垂线，两条垂线交于点P ；4．连结P Q ，取其中点N ；认识仿射变换5．连结ON ，过N 作与ON 垂直的直线，交圆于点1P 、2P ； 6．过点1P 、2P 作x 轴的垂线，交椭圆于点1P、2P 即为所求． 证明：这样作图相当于作了纵轴方向上的伸缩变换22b y y a，容易证明线段P Q 与12P P互相平分，而坐标轴方向上的伸缩变换不改变线段的比例，因此PQ 与12PP 互相平分．这样就有12121222PQ PN PP PP PP PP【备注】题⑴说明弦中点问题中由点差法得到的结论可以看做是椭圆的“垂径定理”；题⑵利用仿射变换完成纯几何．．．作图，注意椭圆的参数方程在仿射变换图形下获得了确切的几何意义．练习1（2012年湖北理）设A 是单位圆221x y 上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA （0m ，且1m ）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标．【解析】 曲线C 的方程为2221y x m．当01m 时，曲线C 为焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为,0；当1m 时，曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标为 0,．通过仿射变换可以将椭圆内接三角形变为圆内接三角形，它们之间存在固定的比例关系．而求解圆内接三角形的面积运算量要低很多．例2（2012年人大附开学考试）已知直线【解析】作仿射变换x x y，则直线l 是椭圆22334y x即2213944x y 的切线． 设O 到直线l 的距离为d ，23944d ≤（∵直线l 的斜率存在）12AOB A O B S d△△利用仿射变换处理面积问题等号当且仅当23 2d 时取得．因此AOB△．练习2（2010年朝阳一模文）已知椭圆22162x y中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标 1，AB．当ABC△的面积最大时，求直线AB的方程．B'A'O【解析】将椭圆通过仿射变换x xy y变成圆226x y，则A B C ABCS△△，1A Bk，C 坐标为,．∵直线OC ∥直线A B ，∴A B C OA BS S△△设直线A B 的方程为0x y m，则O到直线A B ，A B12OA BS△3≤∴当232m，即mOA BS△取得最大值3，此时直线A B 的方程为0xy．因此OABS△AB的方程为0x ．练习3（2011年顺义二模）已知椭圆2214xy的左、右顶点分别记为A、B．过A斜率为1的直线交椭圆于另一点S，在椭圆C上的T满足：TSA△的面积为15．试确定点T的个数．【解析】将椭圆通过仿射变换12x xy y变成圆224x y，则225S AT SATS S△△．AS ：22y x，即240x y∴圆心到直线ASAS∴T 到直线AS的距离为25142，∴在优弧上存在两个T 点2 T 点．综上，点T 的个数也即点T 的个数是2．练习4 （2010年宣武一模文）直线:220l x y 与椭圆2214y x 的交点为A 、B ．求使PAB 的面积为12的点P 的个数；【解析】 2．练习5（2011年西城二模）设直线l 与椭圆2219x y 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC △面积的最大值．【解析】 如图，将坐标系原点平移至C ，则椭圆方程变为22319x y 即22690x x y ．设直线AB 的方程为x my a ，则联立直线方程与椭圆方程有22690x my x x y a ，即266910y m yx a x a而12121y y x x ，∴6910a ，35a ，因此35CD ． 将椭圆通过变换3x x y y变为圆229x y ，则13ABC A B C S S △△O (O')B'A'D (D')C (C')∵35C D ，3O C ，∴3153435A B C O A B S C D S O D△△设O 到A B 的距离为d，1122O A B S A B d d △∴当且仅当29d 时，O A B S △取得最大值92于是13128ABC O A B S S △△≤，即ABC △面积的最大值为38．例3（2011年辽宁）如图，已知椭圆的短轴为MN ，且1C 、C 这四点按纵坐标从大到小依次为【解析】 ⑴ 设2MN a ，则椭圆1C ：2222211e x y a a ；椭圆2C ：2222211e x y a a ；231e 4BC AD．⑵对椭圆1C 作仿射变换x x y ，则1C ：222x y a ；对椭圆2C 作仿射变换x x ，1y y ，则2C ：222x y a ．BO AN EO EN BO AN k k∥211e EO EN k k设点 cos ,sin E a a （0π ），则sin cos EO k，sin cos 1EN k利用仿射变换处理弦长问题∴设cos 1cos EO EN k y k，则cos 1cos y ， 1cos 1,11y 因此 ,02,y BO AN ∥2121e，∴当0<e时，不存在；当e 时，存在．利用仿射变换可以将一些题目中“平凡”的条件转化为对解题很有利的“特殊”条件，比如：① 利用仿射变换可以改变斜率，从而可以使得某些与椭圆相关的平行四边形转化为矩形，从而简化问题；② 利用仿射变化可以将椭圆变为圆，从而可以使某些与椭圆相关的平行四边形转化为菱形，从而简化问题． 例422x y【解析】 作仿射变换，椭圆方程变为224x y ，且OM ON ．（理科）四边形OM P N 为正方形，于是OP M N∴P 点的轨迹方程为圆228x y ， 因此P 点的轨迹方程为228x，即22184x y ．∴存在符合题意的点1F 、2F ，坐标为 2,0 ．（即椭圆的两个焦点） （文科）四边形OM P N 为矩形，OP M N ∴P 点的轨迹方程为圆2220x y ，因此P 点的轨迹方程为2220x，即2212010x y ．∴存在符合题意的点F ，坐标为,0．（即椭圆的右焦点）． 练习1（2011年海淀一模）设直线:l y kx m （12k ≤）与椭圆22143x y 相交于A 、B 两点，以线利用仿射变换凸显隐藏几何条件段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．求OP 的取值范围．【解析】 用仿射变换椭圆转化为圆，于是平行四边形OAPB 变为菱形OA P B ，由12AB k ≤得A B k ≤．根据菱形的对角线互相垂直，于是OP k ≥，因此1P x ≤．也就是说，1P P x x ≤ 于是22222231344P P P P Px x OP x y x133,4因此OP的取值范围是,．练习2（2012年海淀一模理）已知直线1l ：1y kx m 与椭圆G ：2212x y 交于A 、B 两点，直线2l ：2y kx m （12m m ）与椭圆G 交于C 、D 两点，且AB CD ，如图所示．⑴ 证明：120m m ；⑵ 求四边形ABCD 的面积S 的最大值．【解析】 考虑用仿射变换．⑴ ABCD 为椭圆内接平行四边形，作仿射变换后变为圆内接平行四边形，为矩形．因此对角线为直径，也就是说椭圆内接平行四边形的对角线互相平分于原点，于是120m m ；⑵ 圆内接矩形当且仅当矩形为正方形时面积最大，最大值为4，于是椭圆内接平行四边形面积．【备注】也可以看作相关直线问题⑴ 设直线y kx m 与椭圆交于两点A 、B ，则联立直线与方程，有22212102k x kmx m∴22AB k22k∴AB CD 等价于2212m m ，又12m m ，∴12m m ，即120m m⑵ 由①，AB 与CD 关于原点对称，四边形ABCD 为对称中心在原点的平行四边形．不妨设10m ，则4ABCD OABS S△21422k22211221412m k m k≤（当且仅当22112m k时取得等号）． ∴四边形ABCD 的面积S 的最大值是例5Q【解析】 如图，将椭圆22182x y通过仿射变换2x x y y变成圆228x y ，则 2,2M 过M 作x 轴的垂线，垂足为H ，交圆228x y 于点N ，则易知 2,2N ． ∵ 2,2N ，∴OM ON ，又OM A B ∥，∴ON A B 根据垂径定理，N 平分弧A B ，于是M N是A M B 的平分线．于是22MP M P M Q MQ k k k k ，又MH PQ ，∴MPQ △是等腰三角形，证毕．【备注】（2012年密云一模理）如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点 3,1M ．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （0m ），且交椭圆于A 、B 两不同点．⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 求m 的取值范围；⑶ 求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．【解析】 ⑴ 221182x y ；⑵ 设直线l ：13y x m （0m ），则 2,00,2m ；⑶ 视为连线垂直问题的推广或用仿射变换均可解决．练习6（2011年四中高二期中考试）已知点 2,1M 是椭圆22182x y 上一点，直线102y x m m 与椭圆相交于A 、B 两点．求MAB 的内心的横坐标．【解析】 考虑到图形的特点与求解的问题，考虑使用仿射变换将椭圆转化为圆加以解决．在圆中，容易证明M Q 是B MA 的平分线；于是MQ 是BMA 的平分线．因此MAB 的内心的横坐标为M 的横坐标，也就是2．例6（201122x y【解析】 ⑴ 如图，作仿射变换x x y yC 变为圆C ：223x y ．∴32OP Q OPQ S S△△ 设O 到直线P Q 的距离为d ，则1322d ，解得d 于是P Q ，OP OQ ，因此2212x y ，2221x y 而222211223x y x y ，∴22221212x x x x 3，2222121223y y y y 2 ．综合⑵设PQ 的斜率为k ，则OM 的斜率为23k，OM PQ OM P Q333 设2249k m k ，则43m ≥．3OM PQ 52≤．⑶∵ODE ODG OEG S S S△△△32OD E OD G OE G S S S △△△∴在圆C 中，D E 、D G 、E G 所对的圆心角均为90 因此，不存在满足题意的三角形．练习7（2013北京昌平二模理）如图，已知椭圆22221x y a b （0a b ）的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ． ⑴求此椭圆的方程；⑵设P 是此椭圆上异于A B ，的任意一点，PH x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ ． 连接AQ 并延长交直线l 于点,M N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．【备注】设AQ 与椭圆交于点R ，则NR 与椭圆相切，此题与⑵均可以利用仿射变换解决．例7已知椭圆22143x y上的两点A 、点．设直线PB 与椭圆相交于D ，证明：直线利用仿射变换将问题转化为几何问题【解析】 将椭圆通过伸缩变换为圆，则需证明：若点A 、B 为关于圆的直径HG 对称的两点，HG 所在直线上的一点P 与B 点的连线交圆于D ，则AD 与PH 交于定点E ．证明如下：如图，连结AG 、GD ，设PA 与圆交于C ．HG PDBECA∵G 为弧CD 和弧AB 的中点，∴AG 、DH 分别是A 和BDG 的平分线 而DG DH ，∴DG 是EDP 的平分线．于是AE DE EGAP DP GP，因此2AE DE EG AP DP GP ， 而AE DE EG EH （相交弦定理），AP DP AP CP PG PH （切割线定理） 于是EG EH EG EG PG PH PG PG ，即EG PGEH PH ．∵PG PH 为定值（在本例中为13），∴EG EH 为定值，E 为定点（在本例中 1,0E ）．练习8 设直线l ：y kx m 与椭圆2212x y 相交于M 、N 两点，F 是椭圆的右焦点，直线FM 与直线FN 的斜率互为相反数．求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．【解析】 直线l 过定点 2,0．本质与例题相同．练习9（2010年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22195x y 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点 9,T m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点 11,M x y 、 22,N x y ，其中0m ，10y ，20y ．设9t ，求证：直线MN 必过x 轴的一定点（其坐标与m 无关）．【解析】 如下左图所示，利用坐标变换x xa y y b可以把椭圆22221x y a b 变换圆222x y a ，由于伸缩变换不改变共线以及线段长度的比，于是问题就转化为如下右图所示的：已知以AB 为直径圆O ，T 为与AB 垂直的圆外直线上任意一点，连结AT 、BT 与圆O 分别交于M 、N ．求证MN 恒过定点D ．x法1连结AN 、MB 并延长交于点T ，容易知道T 与T 在同一条垂直于AB 的直线上（B 为ATT △的垂心）CT'T对ABT △的割线MN ，根据梅涅劳斯定理有1AD BM T NDB MT NA ；而AM 、NB 、T T 交于一点，根据赛瓦定理有1BM T N ACMT NA CB；于是1AD CB DB AC，即AD ACDB BC 为定值，因此D 为定点． 法2CT NM A BOD 设4AC a ，TAC ，NAC ，则4cos aAT，2cos AM a ，2cos a BT ，2cos BN a ，AN AD ADN MDB AD AD DM AN AM MB MD AM DM DB MD DB MB BNADM NDB BN DB△∽△△∽△而AN AT ANT BMT BM BT △∽△，于是22824AD AT AM a DB BT BN a．法3PCD O BA M NT 设2MOC ，2NOC ，则OC 到OP 的角为 ，以O 为极点，OC 为极径，那么直线MN 的方程为 cos ,d O MN ，即 cos cos AB 于是ODcos cos AB cos cos sin sin cos cos sin sin AB1tan tan 1tan tan AB而12TAC MAB MOB ，12NAB NOB ，∴tan TC AC ，tan tan BCBTC TC因此11BC AC OD AB BC AC，于是点D 为定点．。

第五章 正交变换和仿射变换习题5.1 1.证明变换的乘法适合结合律，即 123123()().σσσσσσ=证明：设:,1,2,3.i S S i σ→=，显然都是S 的变换，对任给a S ∈，有123123123[()]()[()()][(())],a a a σσσσσσσσσ== 123123123[()]()()[()][(())],a a a σσσσσσσσσ==因此 123123[()]()[()](),a a σσσσσσ= 从而 123123()().σσσσσσ= 2.求出平面上对直线y x =的反射公式。

解：在直角坐标系中，设点(,)P x y 关于直线y x =的对称点是(,)P x y '''，则,P P '的中点在直线y x =上，且PP '与直线垂直，因此有：,22()()0,x x y yx x y y ''++⎧=⎪⎨⎪''-+-=⎩ 得到,,x y y x '=⎧⎨'=⎩即平面上对直线y x =的反射公式：01.10x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.设平面上直线l 的方程0Ax By C ++=，求平面对于直线l 的反射的公式。

解：在直角坐标系中，设点(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点是(,)P x y '''，则,P P '的中点在直线0Ax By C ++=上，且PP '与直线垂直，因此有：0,22()()0,x x y y A B C x x B y y A ''++⎧++=⎪⎨⎪''---=⎩ 解此方程得到平面对于直线l 的反射的公式：222222221[()22],1[2()2].x B A x ABy AC A B y ABx A B y BC A B⎧'=---⎪⎪+⎨⎪'=-+--⎪⎩+4.设12,l l 是平面上两条平行直线，而12,σσ分别是平面对于直线12,l l 的反射，证明12σσ是一个平移。

专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点132M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________. 7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．专题15利用仿射变换轻松解决圆锥曲线问题综合练1．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______.记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______.Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______.2．过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB 面积最大值为_______.3．已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 4．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =−，,AD DF AE EQ λμ== （,λμ是非零实数），求22λμ+=______________.5．已知椭圆C ：2214x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点12M ⎛ ⎝⎭对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为______________.7．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.8．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．9．12,F F 分别是椭圆于2214xy +=的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围；(2)设()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =≥与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值.10．已知圆1F ：22(1)16x y ++=，定点2(1,0)F ，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）四边形EFGH 的四个顶点都在曲线C 上，且对角线EG 、FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=−，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值．参考答案：1． 12−4 2 1【分析】作伸缩变换，将椭圆变为圆，根据三角形面积公式求得当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，进而依次计算可得.【详解】作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩此时椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，当OM ON '⊥'时，1sin 2M ON S OM ON M ON ''=''''△∠最大，并且最大为21222⨯=，此时1122OM ON OM ON OM ON k k k k ''''⎫⎫⋅=⋅=⋅=−⎪⎪⎭⎭，MON M ON S ''=△△ 由于OM ON '⊥'，1212'''',''x y OM ON y x =⎧=∴⎨=⎩， ∴2222221212114x x x x x y +='+'='+'=，22222222122212222y y x y y y '+''+'+=+===， 因为OP OM ON λμ=+，所以222222OP OM ON OM ON λμλμ=++⋅ ()222244,1λμλμ∴=+∴+=.故答案为：12−4；2；1.2．32##1.5【分析】利用仿射变换，将椭圆变换为圆，利用圆的性质求出A OB ''△面积的最大值，从而可求出AOB 面积最大值【详解】作变换2x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y ''+=，()1,0F '， 由于1OF '=<=，因此AB OF '''⊥时面积最大， 此时11122A OB S OF A B'''''=⋅⋅=⨯⨯=△ 那么322AOB A OB S S ''==△△，故答案为：323．92##4.5【分析】作变换''x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案.【详解】作变换'''x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 22sin 2sin 333A B C A B C A B C SR R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B Cπ===时取等，所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此24A B C S '''===，又因为ABC A B C S bS a'''=，∴3922ABC A B C b SS a '''===. 故答案为：92.4．1【分析】设()()1100,,,P x y D x y ，由AD DP λ=以及111020,y kx y k x ==解出11111x y ==，代入椭圆方程求出2λ；同理可得2μ；进而求出22λμ+的值．【详解】解法1：可得点()A ，设()()1100,,,P x y D x y ，则111020,y k x y k x ==， 由AD DP λ=可得()()010010,x x x y y y λλ=−=−，即有0101x y y λλ+==， 111k x y =，0202111y k x k x λλλλ⎛++∴== ⎝⎭，两边同乘以1k，可得211121112k x k k x x λλ⎛⎫⎛⎫=−=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11111x y ==，将()11,P x y 代入椭圆方程可得221112k λ=+，由AE EQ μ=可得22221121212k k k μ==++，可得221λμ+=； 故答案为：1．解法2：作变换''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为222x y '+'=，))21QP OQ OP OQ OP OQ k k k k OP OQ ''⋅=⋅=⋅=−⇒'⊥'，设,P A O Q A O αβ∠''=∠''=，则124P A Q P A Q παβ+=∠'''=∠'''=，,,2cos ,2cos cos cos R RD PE Q A P R A Q R αβαβ''=''=''=''=，∴22cos 1cos 2AD A D A P D P DP D P D P λαα''''−''====−=''''， 22cos 1cos 2AE A E A Q E Q EQ E Q E Q μββ''''−''====−=''''，∴22222222cos 2cos cos 2cos 2cos 2sin 212πλμαβαααα⎛⎫+=+=+−=+= ⎪⎝⎭.故答案为：1．5．124⎛− ⎝⎭或124⎛− ⎝⎭. 【解析】先利用点差法可求出直线AB的斜率为6−，即可得出直线方程，代入椭圆方程可求出A ，B 坐标，设出点P ，则可表示出P A ，PB 中点坐标，代入椭圆方程即可求出点P 坐标.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， A ，B 是椭圆C 上两点，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121204x x x x y y y y +−++−=，1,24M ⎛⎝⎭是AB 中点，则)121204x x y y −−=，即1212y y x x−=−， 故直线AB斜率为AB 方程为12y x⎫=−⎪⎝⎭，即y x =+， 将直线方程代入椭圆得220x x −−=，解得121,2x x =−=， 则可得(),2,0A B ⎛− ⎝⎭， 设(),P m n ，则P A 中点为12,24m n ⎛− ⎝⎭，PB 中点为2,22m n +⎛⎫⎪⎝⎭，PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则()(()22222111616+21164n m m n ⎧−⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，P ∴的坐标为⎝⎭或⎝⎭.故答案为：⎝⎭或⎝⎭. 【点睛】本题考查中点弦问题，解题的关键是先利用点差法求出直线斜率，进而求出A ,B 坐标，再结合题意求解. 6．02⎛ ⎝⎦， 【分析】利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为M N P Q ''''、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.【详解】作仿射变换，令,ax x y y b''==，可得仿射坐标系x O y '''，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222x y a ''+=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c −、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于M N P Q ''''、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形O P Q '''的面积为M N P Q ''''、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到即可.当c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形O P Q '''面积的最大值在弦P Q ''与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02⎛ ⎝⎦，.故答案为：02⎛ ⎝⎦，. 7．(1)2214x y +=；2；(2)证明见解析.【分析】(1)由顶点可求a 和b ，由c =c ，则椭圆C 的方程可求，离心率为c e a=可求；(2)设0(P x ，0)y ，求出PA 、PB 所在直线方程，得到M ，N 的坐标，求得||AN ，||BM ．由1||||2ABNM S AN BM =⋅⋅，结合P 在椭圆上求得四边形ABNM 的面积为定值．（1）由题可知2a =，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e =（2）设0(P x ，0)y ，则02PA y k x =−，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =−−， 取0x =，得0022M y y x =−−； 001PB y k x −=，PB 所在直线方程为0011y y x x −=+，取0y =，得01N x x y =−． 0000022||2211N x y x AN x y y −−∴=−=−=−−，00000222||1122M y x y BM y x x +−=−=+=−−． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x −−+−=⋅⋅=⋅⋅−− ()()()()()2222000000000000000000000022242444484111212222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +−+−++++−−+=−⨯=⨯=⨯−−+−−+−−()0000000042211422222x y x y x y x y +−−=⨯=⨯=+−−． ∴四边形ABNM 的面积为定值2．【点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关； (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.8．（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【详解】试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（Ⅰ）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；第（Ⅱ）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.试题解析：（Ⅰ）由已知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组得22312(182)0x x b −+−=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆−，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（Ⅱ）由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠， 由方程组1{23y x m y x =+=−+，， 可得223{21.3m x m y =−=+， 所以P 点坐标为（222,133m m −+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ，. 由方程组22163{12x y y x m +==+，， 可得2234(412)0x mx m ++−=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆−，由>0∆，解得22m −<<. 由②得212124412=,33m m x x x x −+−=.所以123m PA x =−−，同理223m PB x =−−， 所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=−−−− 21212522(2)(2)()433m m x x x x =−−−++ 225224412(2)(2)()43333m m m m −=−−−−+ 2109m =. 故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把MA MB ⋅用12,x x 表示出来，并代入1212,x x x x +的值，这种方法是解析几何中的“设而不求”法，可减少计算量，简化解题过程．9．(1)[]2,1−(2)【分析】（1）由题意可知1F 、2F 的坐标，设(,)P x y ，表示出1PF ，2PF ，代入向量的数量积可得2121(38)4PF PF x ⋅=−，由二次函数的性质计算可得.（2）设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立直线与椭圆方程消去y 整理可得22(14)4k x +=，解方程可求1x ，2x ，根据点到直线的距离公式可求，点E ，F 到直线AB 的距离1h ，2h ，代入四边形AEBF 的面积为121||()2S AB h h =+，结合基本不等式可求面积的最大值.(1)解：由题意可知2a =，1b =，2c a =−∴1(F ，2F ，设(,)P x y ，∴1(3,)PF x y =−−，2(3,)PF x y =−，∴2212(,),)3PF PF x y x y x y ⋅=−−⋅−=+−222113(38)44x x x =+−−=− 由椭圆的性质可知，22x −≤≤204x ∴≤≤，∴238214x −−≤≤，故1221PF PF −≤⋅≤，即[]122,1PF PF ⋅∈−. (2)解：设11),(E x kx ，22),(F x kx ，联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理可得22(14)4k x +=，∴1x =2x(2,0)A ，(0,1)B ，∴直线AB 的方程为：220x y +−=，根据点到直线的距离公式可知，点E ，F 到直线AB 的距离分别为1h =2h ∴12h h +||AB ∴∴四边形AEBF 的面积为1211||()22S AB h h =+==221=，当且仅当14k k =即12k =时，上式取等号，所以S 的最大值为.10．（1）22143x y +=；（2）证明详见解析，定值为 【分析】（1）利用椭圆的定义即可得到P 点的轨迹C 的方程；（2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，求出四边形EFGH 的面积，即可证明结论. 【详解】（1）因为P 在线段2F A 的中垂线上，所以2PF PA =． 所以2112124PF PF PA PF AF F F +=+==>，所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，且1c =，2a =，所以b =故轨迹C 的方程22143x y +=． （2）不妨设点E 、H 位于x 轴的上方，则直线EH 的斜率存在，设EH 的方程为 y kx m =+，11(,)E x y ，22(,)H x y ．联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++−=， 则122834km x x k +=−+，212241234m x x k −=+．① 由121234EG FH y y k k x x ⋅==−， 得221212121212()()()34kx m kx m k x x km x x m x x x x +++++==−．② 由①、②，得222430m k −−=．③设原点到直线EH的距离为d =，12|EH x x =−42EOH EFGH S S EH d ==⋅△四边形．④ 由③、④，得EFGH S =四边形，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此类问题一般要涉及根与系数的关系，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.。