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等腰三角形性质及判定
等腰三角形是指三边长度相等的三角形，也叫等腰三角形或等边三角形。
1、等腰三角形的性质：
（1）它的三条边的长度都相等；
（2）它的三个内角都相等，都是60°；
（3）它的两个锐角相等，都是锐角；
（4）它的外角和根据余弦定理可以得到的内角和的和是180°；
（5）它的任意一条腰的垂直平分线为它的直径；
（6）它的面积等于其底边的平方除以4 。
2、等腰三角形判定：
（1）通过量角度来判定：当用角度尺量得到三角形的三个内角值相等，则该三角形为等腰三角。
（2）求外围三角形的周长之和是否相等：三边之和相等的三角形就是等腰三角形。
（3）根据余弦定理：利用余弦定理，设已知任意三角形的两边长度和其夹角，可直接求出另一条边长度，如果当三边长度均相同时，则该三角形即是等腰三角形。
一. 本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二. 教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。
（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。
（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。
三. 重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四. 教学过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
《等腰三角形的判定定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解等腰三角形的定义及其判定定理，并能熟练应用判定定理判断三角形是否为等腰三角形。
2. 学会使用作图工具在平面内作等腰三角形。
3. 培养学生利用几何语言表述问题的能力及分析问题的逻辑思维。
二、作业内容作业一：知识回顾与练习1. 复习等腰三角形的定义：有两边相等的三角形为等腰三角形。
2. 掌握等腰三角形的判定定理：若一个三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边也相等。
3. 练习题：选择或填空题，涉及等腰三角形的定义及判定定理的应用。
作业二：作图练习1. 利用直尺和圆规绘制一个已知边长的等腰三角形。
2. 利用给定的条件（如两角相等）绘制一个等腰三角形。
3. 使用所学的判定定理在练习题中识别并标记等腰三角形的关键特征。
作业三：应用问题解决1. 收集生活中的等腰三角形实例，并尝试用所学知识解释其特点。
2. 完成一道涉及等腰三角形性质的实际应用题，如计算面积、求高或求边长等。
三、作业要求1. 每位学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 作业一和作业二需用黑色或蓝色笔书写，保持字迹清晰、整洁。
作图部分需使用直尺和圆规，保证图形规范。
3. 作业三中应用问题解决部分需提供足够的信息和数据支撑自己的解答过程和结果，并提供相关思考和感悟。
4. 请家长检查孩子的作业并签名确认孩子是否独立完成作业，若有不清晰的地方可向老师咨询。
四、作业评价1. 教师根据学生的答题情况和作图质量进行评价，对正确答案给予肯定和鼓励，对错误答案进行纠正并指导改正。
2. 评价标准包括知识点的掌握程度、解题思路的清晰度、作图的规范性以及应用问题的解决能力等方面。
3. 对于表现优秀的学生给予表扬和奖励，对于需要改进的学生给予指导和鼓励。
五、作业反馈1. 教师将作业批改后，将学生的错误和问题汇总，并在课堂上进行讲解和指导。
2. 对于普遍存在的问题进行重点讲解和演示，帮助学生巩固知识点和提高解题能力。
等腰三角形的性质与判定【知识梳理】1．等腰三角形的概念：有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个 相等，也能够说成 ．． (3)等腰三角形是 图形．3．等腰三角形的判定：(1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．【例题讲解】例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．例5 相关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否准确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．总结：图3是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的．相关的题组练习．（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相对应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d ）．推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e ）．（5）如图6，若BD ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，作DF ∥AC 交BC 于F ．求证：BC 的长等于△DEF 的周长．【课后巩固】1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则DCBAED CBADCB A 3334∠C =__________．2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x－6）cm ，且周长为17cm ，则第三边的长为________．4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ．5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．EDCB A8．如下列图，△MNP 中，∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 ．9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC上的点，•AE =•2cm ，•且DE •∥BC ，•则AD =______10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ． 求证：AH =2BD ． 12．△ABC 为非等腰三角形，分别以AB 、AC 为 向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°． 求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ．13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE = 14．如图，AB AC =，30BAD ∠=，且AD AE =．求EDC ∠的度数．15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求证：△ABC 是等腰三角形．18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数． E D C B AP QM N G 35E M DCB A36。
一. 本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二. 教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。
（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。
（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。
三. 重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四. 教学过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。
说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C ∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。
说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。
浙教版数学八年级上册《2.4 等腰三角形的判定定理》教学设计2一. 教材分析等腰三角形的判定定理是八年级上册浙教版数学的重点内容。
学生通过学习等腰三角形的判定定理，能更好地理解三角形的性质，并为后续学习其他图形的性质打下基础。
本节课的内容包括等腰三角形的定义、性质和判定方法，以及等腰三角形的应用。
通过本节课的学习，学生能掌握等腰三角形的判定方法，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形的性质和判定方法，对图形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于等腰三角形的判定定理，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力有待提高，因此需要通过大量的图形和实际问题来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能理解等腰三角形的定义和性质，掌握等腰三角形的判定方法，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等腰三角形的性质和判定方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的定义、性质和判定方法。
2.教学难点：等腰三角形的判定方法的运用和理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过展示实物和图形，引发学生的兴趣和好奇心，激发学生的学习动机。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探究，培养学生的逻辑思维能力。
3.实例教学法：通过分析实际问题，让学生理解和掌握等腰三角形的判定方法。
4.小组合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、投影仪、实物模型等。
2.教学素材：等腰三角形的图片、实际问题、练习题等。
3.教学设计：教学课件和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示等腰三角形的实物和图形，引导学生观察和思考等腰三角形的特征。
浙教版数学八年级上册《2.4 等腰三角形的判定定理》教案6x一. 教材分析《2.4 等腰三角形的判定定理》是浙教版数学八年级上册的教学内容。
这部分内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等知识的基础上进行教授的。
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，它有两边相等，两个角也相等。
本节课的主要内容是让学生掌握等腰三角形的判定定理，并能够运用定理判断一个三角形是否为等腰三角形。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的性质等知识。
但是，对于等腰三角形的判定定理，学生可能还没有完全理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握等腰三角形的判定定理。
三. 教学目标1.让学生掌握等腰三角形的判定定理。
2.培养学生运用等腰三角形的判定定理解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极思考的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的判定定理。
2.教学难点：如何运用等腰三角形的判定定理判断一个三角形是否为等腰三角形。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索等腰三角形的判定定理。
2.通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
3.运用实例讲解，帮助学生理解和掌握等腰三角形的判定定理。
4.采用练习题巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括等腰三角形的判定定理的讲解和实例展示。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念、三角形的分类和三角形的性质。
然后，提出本节课的学习目标，即掌握等腰三角形的判定定理。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现等腰三角形的判定定理，并进行讲解。
讲解过程中，可以通过举例、画图等方式，帮助学生理解和掌握判定定理。
3.操练（10分钟）学生分组合作，运用等腰三角形的判定定理判断一些给定的三角形是否为等腰三角形。
等腰三角形性质定理和判定定理
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）
等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
等腰三角形的判定：
有两条腰相等的三角形是等腰三角形
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边.
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一.
4.;等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定1有两条边相等的三角形是等腰三角形
2有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）3顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形（4所有的等边三角形为等腰三角形）。
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理：1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。
再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。
将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。
化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得∠A=90°-∠B/2同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得∠A=90°-∠C/2将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。
2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。
证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是∠B和∠C的平分线。
由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。
再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。
假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。
根据∠BCD和∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。
而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。
代入已知条件，得到2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。
由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。
所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。
从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。
二、判定定理：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。
课题：2.4等腰三角形的判定定理
学习目标：
1、经历等腰三角形的判定方法的发现过程.
2、掌握等腰三角形的判定方法：在同一个三角形中，等角对等边.
3、会用等腰三角形的判定方法判定等腰三角形. 学习重点：等腰三角形的判定方法．
学习难点：例2中等腰三角形的性质与判定方法的综合运用．
一、课前预习： 1、如图1，已知∠α和线段a . （1）作△ABC ，使BC=a ，∠B =∠C =∠α. （2）测量边AB ，AC 的长度，AB 等于AC 吗？
2、如图2，△ABC 是直角三角形，∠C=90°.用两个这样的直角三角形 拼成一个等腰三角形.你有几种拼法？请在下面画出来.
图2
C
A
B
等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.简单地说，在同一个三角形中，等角对等边.
如图3，在△ABC 中，∠B=∠C ，则△ABC 是等腰三角形.试说明理由.
练习1.
在△ABC 中, 已知∠A=40°,∠B=70°,判断△ABC 是什么三角形,为什么?
二、探究新知：
图3
C
B
A
提示：要说明两条线
段相等我们有哪些方法？怎样添加辅助线
a 图1
1、例题选讲：
例1，如图4，某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度，他选择河流北岸上的一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方向河流南岸上的B点插一小旗作标志，沿B点南偏西60°方向走一段距离到达C 点时，测得∠ACB为30°.这时，地质专家测得BC的长度，就可以知道河流的宽度AB.你知道为什么吗？
30°60°
图4D
C A B
例2，如图5，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E，判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由.
E
图5D
C
A
B
例3.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
请你自己给出证明.
有一个角是毅的等腰三角形是等边三角形
练习2.
（1）如图6，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，∠1=∠2，
说明△ABC 是等腰三角形的理由.
2
1E
D
图6
C B
A
（2）如图7，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O . 若∠BEO=∠CDO ，BE=CD ，问△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由.
O
E
图7
D
C
A
B
（3）如图，△ABC 是等边三角形，点D ，E ，F 在边AB ，BC ，CD 上，且AD=BE=CF ， △DEF 是等边三角形吗？请说明理由。
三、课堂小结：
1、等腰三角形的判定方法.
2、通过角相等来说明线段相等也是一种常用的方法，但前提是要在同一个三角形中.
四、课后作业： A 组：1、如图，上午8时，一艘船从A 处出发，以15海里/时 的速度向正北方向航行，9时45分到达B 处.从A 处测得灯塔
26°
52°
C
B
A
第1题图
北
F
E
D
C
A
B
C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，
求B处到灯塔C的距离.
2、如图所示，已知等腰△ABC，AB=AC=20cm，AB的中垂线交另
一腰于点D，△BCD的周长为30cm，则BC的长为cm.
B组：3、如图，P是等腰△ABC的底边BC上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线与点R，则AR与AQ相等吗？请说明理由.
4、如图，已知△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于点G，则DG与GE相等吗？请说明理由.
*5、把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗？请画出示意图说明剪法.
第2题图
E
D
C
A
B
P
B C
A
Q
R
第3题图
G
第4题图
E
D
C
A
B
第5题图
36°
C
B
A。
