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2024河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质(讲义）考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式探究问题202223解答题10（1）抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标；（2）函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离定抛物线性质探究：(1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标；(2)求平移的最短距离点移动最小距离20212510（1）已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题；（2）二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式；（3）抛物线与动线段交点问题定抛物线性质探究：(1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶(2)求抛物线解析式，求对称轴(3)求横坐标最大值与最小值的差点横坐标最大值与最小值的差20192612（1）平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系；（2）直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值；（3）平均数→中点，函数图象上点的性质；（4）直线与抛物线交点个数问题含参抛物线（y=-x2+bx）性质探究：(1)求直线、对称轴、交点坐标(2)求点与直线距离最大值(3)求两点间距离(4)求“美点”的个数美点的个数20162612（1）反比例函数k的几何意义；（2）抛物线与x轴交点坐标，对称轴；（3）二次函数性质求最值，分类讨论思想；（4）反比例函数图象与抛物线交点问题含参抛物线（y=-12(x-t)(x-t+4)）性质探究：(1)求反比例函数k的值(2)求两点间距离，两直线间距离(3)求最高点坐标(4)求参数取值范围抛物线与双曲线交点问题20152511（1）求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标；（2）抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性；（3）抛物线与线段交点问题（x轴），分类讨论思想含参抛物线（y=-(x-h)2+1）性质探究：(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标(2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小(3)求参数h值抛物线与线段交点问题典例精讲例(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.例题图(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB 恰好有一个交点，求n的取值范围．(4)若原抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离，点F的坐标.选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想方法总结知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式解题方法：对称轴：①解析式已知，直接代入x=－2；②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x=x+y2顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式；②顶点式：直接得到顶点坐标；③交点式：化为顶点式求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得1.平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）；②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确定平移方式，通常通过顶点来确定；2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范围的两端点的x值分别代入求解即可.练习(2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－12x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.练习题图(1)当k＝－1时．①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤12k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.练习题图(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x 轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．练习2(2022河北逆袭诊断卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－12x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.(1)当m＝1时，求抛物线的解析式及点P的坐标；(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；(3)当抛物线与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，解得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)，∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，∴点B的坐标为(4，6).∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，得＝2，16＋4＋＝6，得＝－3，＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；(3)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14，∵将抛物线沿x轴平移n个单位长度，得到抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可设抛物线解析式为y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2＝(x－32＋n)2－14，通过图象可知，①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－32＋n)2－14＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为0＜n≤3；②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，将B (4，6)代入抛物线解析式，得(52＋n )2－14＝6，解得n 1＝－5，n 2＝0(舍去)，∴n 的取值范围为－5≤n ＜0.∴n 的取值范围为－5≤n ＜0或0＜n ≤3.(4)由(1)得，抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14∵顶点坐标为(32，-14)，32代入直线解析式y ＝32＋2=72，顶点坐标为(32，72)，∴平移距离=14+72=154，∴平移后抛物线y ＝(x －32)2+72，联立＝(－32)2+72＝+2，解得x ＝52x ＝32当＝32时，交点为平移后抛物线顶点坐标(32，72)当＝52时，交点F 坐标为(32，92).课堂练兵解：(1)①对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，92)；【解法提示】∵k ＝－1，∴y ＝－12x 2－x ＋4＝－12(x ＋1)2＋92x ＝－1，顶点坐标为(－1，92).②由①得，抛物线y ＝－12x 2－x ＋4的对称轴为直线x ＝－1，12＜0，∴当－2≤x ≤－1时，y 随x 的增大而增大，当－1＜x ≤1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，抛物线有最大值为92，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴当x ＝1时，抛物线有最小值，最小值为52，∴当－2≤x ≤1时，抛物线的最大值为92，最小值为52，9－5＝2；(2)k的值为－22或436.【解法提示】设直线x＝12k交抛物线于点P，抛物线的顶点为R，∵y＝－12x2＋kx＋4＝－12(x－k)2＋12k2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为(k，12k2＋4)，当x＝12k时，y＝－12×(12k)2＋k×12k＋4＝38k2＋4，∴P(12k，38k2＋4).当k＜0时，如解图①，当x≤12k时，最高点为R(k，12k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，12k2＋4－6＝2，解得k＝－22或k＝22(舍去)；当k≥0时，如解图②，当x≤12k时，抛物线的最高点为P(12k，38k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，38k2＋4－6＝2，解得k＝436或k＝－436(不符合题意，舍去).综上所述，k的值为－22或436.解图②解图①课堂小练练习1解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝14，∴抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2.∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令1(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，∵点A在y轴上，∴AB＝2；(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2，∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－h)2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，－14（6－ℎ）2＋＝3ℎ＝8＝4.将点D(6，3)，F(12，0)代入，可得－14（12－ℎ）2＋＝0，解得∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－8)2＋4.当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，则2.5＝14(x－4)2＋2，解得x＝4±2，或2.5＝－14(x－8)2＋4，解得x1＝8＋6，x2＝8－6(不合题意，舍去)，∴小车到出发点A的水平距离为4＋2或4－2或8＋6；(3)由抛物线y＝－14(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，设M(d，0)(8＜d＜12)，∴点P(d，－14(d－8)2＋4)，则S P＝d－8，PM＝－14(d－8)2＋4，∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－14(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－14(d－10)2＋9，∵8＜d＜1214＜0，∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)练习2解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵点P为抛物线的顶点，∴点P的坐标为(1，－2)；(2)∵抛物线y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴顶点P在直线y＝－2上，∵点Q 的横、纵坐标都不小于0，∴点Q 在线段AB 上，如解图，当点Q 与点B 重合时，线段PQ 的值最小，过点C ，D 分别作PQ 所在直线的垂线，垂足分别为E ，F ，∵点B 的坐标为(4，0)，∴x ＝－－2m 2＝m ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－8x ＋14，＝x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，可得x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，解得x 1＝15＋334，x 2＝15－334，∴CE ＋DF ＝x 1－x 2＝332，∴S △PCD ＝S △PBC ＋S △PBD＝12PB ·CE ＋12PB ·DF ＝12PB ·(CE ＋DF )＝12×2×332＝332；解图(3)m 的取值范围为－2≤m ＜2或4－2＜m ≤4＋2.【解法提示】分两种情况讨论：①当抛物线过点A时，可得m2－2＝2，解得m＝2或m＝－2，当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2，＝x2－4x＋2＝－12x＋2，可得x2－4x＋2＝－12x＋2，解得x1＝0或x2＝72，∵x2＝72＜4，∴两交点都在线段AB上，∴－2≤m＜2；②当抛物线过点B时，可得(4－m)2－2＝0，解得m＝4＋2或m＝4－2，∴4－2＜m≤4＋ 2.。
