2013北京房山高三二模(理)数学精彩试题

北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）12或（D ）25 【答案】 C【KS5U 解析】{}25250,0,{1,2}2N x x x x x x x ⎧⎫=-<∈=<<∈=⎨⎬⎩⎭Z Z ，因为,M N ≠∅，则1a =或2a =，选C.2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“//a b ”是“2k =-”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【KS5U 解析】因为//a b ，所以2140k⨯-=，即24k =，所以2k =±。

所以“//a b ”是“2k =-”的必要不充分条件，选B.3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，1PA PB ==，则ABC∠=( )（A ）70︒（B ）60︒（C ）45︒（D ）30︒【答案】B【KS5U 解析】连结AO ，则因为PA 为切线，所以2PA PB PC =，所以3312PC BO PC PB ==-=-=，，即圆的半径为1，在直角三角形PAO 中12AO PO =，所以30P ∠=，60AOB ∠=，所以AOB ∆为正三角形，所以60ABC ∠=，选B.4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（ ）（A ）(2,)3π- （B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π- （D ）4(2,)3π-【答案】A【KS5U 解析】因为点P 的直角坐标为(1,，，所以2ρ==，设极角为 θ，则tan θ=23k k Z ππ-∈，，（因为点P 在第四象限）所以点P 的极坐标(2,2)3k k Z ππ-∈，，选A.5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为（ ）（A ）5（B ）6 （C ）7 （D ）8【答案】C【KS5U 解析】第一次循环，044,112s n =+==+=；第二次循环，44212,213s n =+⨯==+=；第三次循环，124324,314s n =+⨯==+=；第四次循环，244440,415s n =+⨯==+=； 第五次循环，404560,516s n =+⨯==+=；第六次循环，604684,617s n =+⨯==+=；第七次循环，满足条件，输出7n =，选C.6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( ) （A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -< 【答案】D【KS5U 解析】当0x <时，0x ->，所以2()21()f x x x f x -=--=。

房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （文科）本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、 选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题B. p ∨q 是假命题C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题【答案】A【解析】若﹁p ∨q 是假命题，则p ⌝，q 都为为假命题，所以p 为真命题，q 为为假命题，所以p ∧q 是假命题，选A.2.下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是A. 1y x =-B. tan y x =C. 2y x=- D. 3y x = 【答案】D【解析】A,为非奇非偶函数.BC,在定义域上不单调。

选D.3.为了得到函数lg 10x y =的图象，只需把函数lg y x =的图象上 A. 所有点向右平移1个单位长度B. 所有点向下平移1个单位长度C. 所有点的横坐标缩短到原来的110（纵坐标不变） D. 所有点的纵坐标缩短到原来的110（横坐标不变） 【答案】B【解析】因为lglg lg10lg 110x y x x ==-=-，所以只需把函数lg y x =的图象上所有点向下平移1个单位长度，所以选B.4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A. 4B. 5C. 35D. 454.设平面向量(1,2),(2,)a b y ==- ，若a //b ，则2a b - 等于A. 4B. 5C. 35D. 45【答案】D【解析】因为a //b ，所以2(2)0y -⨯-=，解得4y =-。

所以(2,4)b =-- ，即2b a =- 。

所以222441245a b a -==+= ，选D.5.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点(,)x yA.都在函数1y x =+的图象上B.都在函数2y x =的图象上C.都在函数2x y =的图象上D.都在函数12x y -=的图象上 【答案】C【解析】开始：x=1，y=2，进行循环：输出（1，2），x=2，y=4，输出（2，4），x=3，y=8，输出（3，8），x=4，y=16，输出（4，16），x=5，y=32，因为 x=5＞4，退出循环，则输出的所有点（1，2），（2，4），（3，8），（4，16）都在函数2x y =的图象上,所以选C.6.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的 最大值是A. 342B. 17C. 32D. 172【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD ，其中A （1，1），B （5，1），57(,)22C ,D （1，2），因为M 、N 是区域内的两个不同的点，所以运动点M 、N ，可得当M 、N 分别与对角线BD 的两个端点重合时，距离最远，因此|MN|的最大值是22(51)(12)17BD =-+-=|,选 B.7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为336俯视图侧（左）视图正（主视图）A ．9182+ B. 1893+ C. 1832+ D. 9 【答案】A【解析】视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长分别为32,32,3，其中斜侧面的高为32。

2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{2, 3, 4}，则∁U(A∩B)等于（）A.⌀B.{0, 1}C.{0, 1, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}2. 在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，则z1⋅z2=()A.1B.2C.−iD.i3. 在极坐标系中，圆心为(1,π2)，且过极点的圆的方程是（）A.ρ＝2sinθB.ρ＝−2sinθC.ρ＝2cosθD.ρ＝−2cosθ4. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”的值，则判断框内可以填入（）A.k≤10B.k≤16C.k≤22D.k≤345. 设a=212，b=313，c=log32，则（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b6. 对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A.m⊥n，n // αB.m // β，β⊥αC.m⊥β，n⊥β，n⊥αD.m⊥n，n⊥β，β⊥α7. 已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（）A.√34B.√32C.√3D.2√38. 已知函数f(x)＝x−[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f(x)＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A.[−1,−12)∪(14,13] B.(−1,−12]∪[14,13)C.[−13,−14)∪(12,1] D.(−13,−14]∪[12,1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x¯甲和x¯乙，则x¯甲________x¯乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）(2x−1)5的展开式中x3项的系数是________．（用数字作答）在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，则AB=________；△ABC的面积是________．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则CD=________．在等差数列{a n}中，a2=5，a1+a4=12，则a n=________；设b n=1a n2−1(n∈N∗)，则数列{b n}的前n项和S n=________．已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A(x1, y1)，B(x2, y2)．(Ⅰ)若x1=13，求x2；(Ⅱ)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．如图1，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：BC⊥平面PBD；（2）证明：AM // 平面PBC；（3）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为√34？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．如图所示，椭圆C:x2+y2m=1(0<m<1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（1）若点P的坐标为(95, 4√35)，求m的值；（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．已知函数f(x)=23x3−2x2+(2−a)x+1，其中a∈R．（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间[2, 3]上的最大值和最小值．已知集合S n={(x1, x2, ..., x n)|x1, x2, ..., x n是正整数1, 2, 3, ..., n的一个排列}(n≥2)，函数g(x)={1,x>0−1,x<0.对于(a1, a2,…a n)∈S n，定义：b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，i∈{2, 3, ..., n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列；排列a1，a2，…，a n为排列b1，b2，…，b n的母列．（1）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）证明：若a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（3）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，定义变换τ：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列a1，a2，…，a n变换为各项满意指数均为非负数的排列．参考答案与试题解析2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出∁U(A∩B)．【解答】∵A∩B＝{0, 1, 2, 3}∩{2, 3, 4}＝{ 2, 3 }，全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∩B)＝{0, 1, 4}，2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1−i，再利用复数的乘法运算法则即可得出．【解答】解：∵在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，∴z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=(1+i)(1−i)=12−i2=1+1=2．故选B．3.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】先在直角坐标系下求出圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．【解答】∵在极坐标系中，圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+(y−1)2＝1，即x2+y2−2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k<33，或者k≤22．故选C．5.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】通过a，b的6次方，判断a与b的大小，判断c的大小范围，即可判断大小关系．【解答】解：因为a=212=√2>1，b=313，因为a6=8，b6=9，所以b>a，因为c=log32∈(0, 1)，所以b>a>c．故选D．6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．【解答】解：A、“m⊥n，n // α”，如正方体中AB⊥BC，BC // 平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；B 、“m // β，β⊥α”，如正方体中A′C′ // 面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m ⊥α，故B 不正确；C 、根据m ⊥β，n ⊥β，得m // n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，故D 正确；D 、“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB ，AB ⊥面BCC′B′，面ABCD ⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m ⊥α，故D 不正确． 故选：C ． 7. 【答案】 B【考点】 抛物线的求解 【解析】如图，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上．根据抛物线的对称性，设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，由抛物线方程和正六边形的性质建立关于x 1、x 2和p 的方程组，解之可得2p =√3，由此即可得到抛物线焦点到准线的距离． 【解答】解：由题意，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上， 设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，可得{x 1+√3=x 2①2px 1=1②2px 2=4③，由②、③消去p 得x 2=4x 1，代入①可得x 1+√3=4x 1， 所以x 1=√33，代入②得2p =√3，根据抛物线的性质，可得焦点到准线的距离是p =√32故选：B8. 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】由已知中函数f(x)＝x −[x]，可画出满足条件的图象，结合y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线，数形结合可得方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点，进而得到实数k 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝x −[x]的图象如下图所示：y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线若方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点 由图可得：当y ＝kx +k 过(2, 1)点时，k =13， 当y ＝kx +k 过(3, 1)点时，k =14， 当y ＝kx +k 过(−2, 1)点时，k ＝−1， 当y ＝kx +k 过(−3, 1)点时，k =−12，则实数k 满足 14≤k <13或−1<k ≤−12．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】 >【考点】 茎叶图 【解析】由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小． 【解答】解：由茎叶图，甲班平均身高为(151+153+165+167+170+172)÷6=163 乙班平均身高为(150+161+162+163+164+172)÷6=162<163． 则 x ¯甲>x ¯乙．故答案为：>． 【答案】 80【考点】二项式定理的应用 【解析】先求得二项展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得(2x −1)5的展开式中x 3项的系数． 【解答】解：在(2x −1)5的展开式中，通项公式为T r+1=C 5r⋅(2x)5−r ⋅(−1)r ，令5−r =3，求得r =2，故(2x −1)5的展开式中x 3项的系数是C 52⋅23⋅(−1)2=80， 故答案为80． 【答案】 3,3√32 【考点】正弦定理三角形求面积【解析】根据余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC cos B，建立关于边AB的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，∴由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosπ3，即7=AB2+22−2×2×AB cosπ3，化简整理得AB2−2AB−3=0，可得AB=3（舍去−1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=12BC⋅AB sin B=12×2×3×sinπ3=3√32故答案为：3，3√32【答案】125【考点】与圆有关的比例线段【解析】由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．再利用AD⊥PD得到OC // AD．利用平行线分线段成比例即可得出．【解答】解：设圆的半径为R．连接OC．∵PD与半圆O相切于点C，∴PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．．∵PC=4，PB=2，∴42=2×(2+2R)，解得R=3．又∵AD⊥PD，∴OC // AD．∴PCCD =POOA．∴4CD =2+33，解得CD=125．故答案为125．【答案】2n+1,n4(n+1)【考点】等差数列的性质【解析】由条件利用等差数列的通项公式求得首项和公比，即可得到等差数列{a n}的通项公式．把数列{b n}的通项公式求出来，再用裂项法进行数列求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a2=5，a1+a4=12可得{a1+d=52a1+3d=12，解得{a1=3d=2，故a n=3+(n−1)2=2n+1．∵b n=1a n2−1=14n(n+1)=14[1n−1n+1]，∴数列{b n}的前n项和S n=14[1−12+12−13+13−14+...+1n−1n+1]=14[1−1n+1]=n4(n+1)，故答案为2n+1，n4(n+1)．【答案】(1,43]【考点】基本不等式【解析】由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为c=1+1ab−1即可得出．【解答】解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ab≥2√ab，化为√ab(√ab−2)≥0，∴√ab≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4, +∞)．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=abab−1=ab−1+1ab−1=1+1ab−1．∵ab≥4，∴1<1+1ab−1≤43，∴1<1+1ab−1≤43．∴c的取值范围是(1,43]．故答案为(1,43]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】（1）由三角函数定义，得x1＝cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23．所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．（2）依题意得y1＝sinα，y2=sin(α+π3)．所以S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．依题意S1＝2S2得sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α＝−2[sin2αcos2π3+cos2αsin2π3]＝sin2α−√3cos2α，整理得cos2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【考点】任意角的三角函数 两角和与差的三角函数 【解析】(Ⅰ)由三角函数定义，得 x 1＝cos α=13，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再根据x 2=cos (α+π3)，利用两角和的余弦公式求得结果．(Ⅱ)依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)，分别求得S 1 和S 2 的解析式，再由S 1＝2S 2 求得cos 2α＝0，根据α的范围，求得α的值． 【解答】（1）由三角函数定义，得 x 1＝cos α，x 2=cos (α+π3)．因为 α∈(π6,π2)，cos α=13，所以 sin α=√1−cos 2α=2√23． 所以 x 2=cos (α+π3)=12cos α−√32sin α=1−2√66． （2）依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)． 所以 S 1=12x 1y 1=12cos α⋅sin α=14sin 2α， S 2=12|x 2|y 2=12[−cos (α+π3)]⋅sin (α+π3)=−14sin (2α+2π3)．依题意S 1＝2S 2 得 sin 2α=−2sin (2α+2π3)，即sin 2α＝−2[sin 2αcos 2π3+cos 2αsin2π3]＝sin 2α−√3cos 2α，整理得 cos 2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【答案】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个， 则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有C 31⋅C 21⋅C 11种，基本事件的个数为1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11，然后代入等可能事件的概率公式可求 （2）随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，分别求出X 取各个值时的概率即可求解随机变量X 的分布列及期望【解答】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个， 则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20． P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14． 所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．【答案】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ， ∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘． 又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3． 又∵ AB // CD ，AB =14CD ，∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下：∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)．∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34． 【考点】直线与平面垂直的判定 异面直线及其所成的角直线与平面平行的判定【解析】（1）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC ⊥BD ，利用线面垂直的性质定理可得BC ⊥PD ，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ // CD ，MQ =14CD ．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM // BQ ，利用线面平行的判定定理即可证明． （3）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出． 【解答】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ，∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘． 又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3． 又∵ AB // CD ，AB =14CD ， ∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下： ∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)． ∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34． 【答案】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)，所以点M 的坐标为(25，2√35)． 由于点M 在椭圆C 上，所以 425+1225m =1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)． 因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34， 当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立． 所以m 的取值范围是(0,12−√34]． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的定义【解析】（1）由题意知M 是线段AP 的中点，由中点坐标公式可得M 坐标，代入椭圆方程即可得到m 值；（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m =1，①由中点坐标公式可用M 坐标表示P 点坐标，由OP ⊥OM得OP →⋅OM →=0②，联立 ①②消去y 0，分离出m 用基本不等式即可求得m 的范围；【解答】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)， 所以点M 的坐标为(25，2√35)． 由于点M 在椭圆C 上，所以425+1225m=1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34， 当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立． 所以m 的取值范围是(0,12−√34]． 【答案】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2， 所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增， 所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以 当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减， 所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ． 综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ； 当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ； 当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 导数求函数的最值 【解析】（1）求导数，把a =2代入可得f(1)=−13，f ′(1)=−2，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可； （2）由△=8a ，分a ≤0，当a >0两大类来判断，其中当a >0时，又需分0<a ≤2，2<a <8，a ≥8，三种情形来判断，综合可得答案． 【解答】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0． （2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ． （2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增， 所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以 当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减， 所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ． 综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ； 当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ； 当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ． 【答案】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】（1）由b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，g(x)={1,x>0−1,x<0及“生成列”与“母列”的定义可求得当n=6时排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，由满意指数的定义可知a i的满意指数，从而可证得且a k≠a′k，于是可得排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，⇒b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用a i的满意指数b i≤i−1，可知整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，从而可使结论得证．【解答】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．第21页共22页◎第22页共22页。

北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科）第I 卷 选择题(共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上.1。

已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）12或（D ）25【答案】C【KS5U 解析】{}25250,0,{1,2}2N x x x x x x x ⎧⎫=-<∈=<<∈=⎨⎬⎩⎭Z Z ，因为,MN ≠∅,则1a =或2a =，选C 。

2.如果(1,)a k =，(,4),b k =那么“//a b "是“2k =-”的( ）(A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件(C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【KS5U 解析】因为//a b ，所以2140k⨯-=，即24k =,所以2k =±.所以“//a b ”是“2k =-”的必要不充分条件,选B 。

3。

如图，PA 是圆O 的切线,切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=（ )（A ）70︒(B)60︒（C)45︒（D ）30︒【答案】B【KS5U 解析】连结AO ，则因为PA 为切线，所以2PAPB PC =，所以3312PC BO PC PB ==-=-=，，即圆的半径为1，在直角三角形PAO 中12AO PO =，所以30P ∠=,60AOB ∠=，所以AOB ∆为正三角形，所以60ABC ∠=，选B.4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-。

若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是（ ）(A ）(2,)3π- （B)4(2,)3π (C)(1,)3π- (D ）4(2,)3π-【答案】A【KS5U 解析】因为点P 的直角坐标为(1,3)，，所以132ρ=+=，设极角为 θ，则tan 3θ=-23k k Z ππ-∈，，（因为点P 在第四象限）所以点P 的极坐标(2,2)3k k Z ππ-∈，，选A 。

房山区2013年高考第二次模拟试卷数 学 （理科）本试卷共4页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.若﹁p ∨q 是假命题，则 A. p ∧q 是假命题 B. p ∨q 是假命题 C. p 是假命题D. ﹁q 是假命题2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. 1y x =-B. tan y x =C. 3y x =D. 2log y x =3.如图，,,,A B C D 是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与DC 的 延长线交于点E .若110BCD ︒∠=，则DBE ∠= A. 75︒ B. 70︒ C. 60︒ D. 55︒4.设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a //b ，则2-a b 等于A. 4B. 5C.D.5.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是C.D.1726.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =A. 12n -B. 21n -C. 13n -D. 1(31)2n -7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的表面积为 A．9+B. 18+C. 18+D. 98.定义运算a b ⎡⎢⎣ c d ⎤⎥⎦x ax cy y bx dy +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，称x a y b '⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣ c d ⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为将点(),x y 映到点(),x y ''的 一次变换.若x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦＝2p ⎡⎢⎣ 1q -⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦把直线y kx =上的各点映到这点本身，而把直线 y mx =上的各点映到这点关于原点对称的点.则,,,k m p q 的值依次是A.1,2,3,3k m p q ==-==B. 1,3,3,2k m p q ====-C.2,3,3,1k m p q =-===D. 2,1,3,3k m p q =-===二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在复平面内，复数(2)i i -对应的点的坐标为 .10.直线l 的参数方程为1312x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线l 的斜率为 .11.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B = . 12.若21()n x x+展开式中的二项式系数和为64，则n 等于 ，该展开式中的常数项为 . 13.抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2F ，则抛物线C 的方程为 ，若点P 在抛物线C 上运动，点Q 在直线50x y ++=上运动，则PQ 的最小值等于 .14.在数列{}n a 中，如果对任意的n N ∈*，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,，则该数列不是比等差数列； ②若数列{}n a 满足123-⋅=n n a ，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差0=λ；俯视图侧（左）视图③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π. （Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16.（本小题满分14分）如图, ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ， DE AF //，3DE DA AF ==. (Ⅰ) 求证：AC ⊥BE ；(Ⅱ) 求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置， 使得//AM 平面BEF ，证明你的结论.17.（本小题满分13分）小明从家到学校有两条路线，路线1上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线2上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34,45． （Ⅰ）若小明上学走路线1，求最多遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若小明上学走路线2，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．FEDCB A18.（本小题满分13分）已知函数2()()x af x x x a e =+-（0a >）.（Ⅰ）当1=a 时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当5x =-时，()f x 取得极值.① 若5m ≥-，求函数()f x 在[],1m m +上的最小值；② 求证：对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12|()()|2f x f x -≤.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点A ．直线2y x m =+交椭圆C 于B ,D （不与点A 重合）两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明 理由．20.（本小题满分13分）设3>m ，对于项数为m 的有穷数列{}n a ，令k b 为)(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c ． （Ⅰ）若5m =，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c ；（Ⅱ）是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{}n c 的个数；若不存在，请说明理由．房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案数 学 （理科） 2013.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1A 2C 3B 4D 5B 6C 7A 8B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. (1,2) 10.23-12. 6,1513. 22,y x =①② 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. 15（本小题满分13分）（Ⅰ）由最小正周期为π可知 22==Tπω， ………………2分由1()62f π=得 1sin()32πϕ+=，又0ϕπ<<，333πππϕπ<+<+所以 536ππϕ+=2πϕ=， ………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()sin(2)cos 22f x x x π=+=所以()cos 2sin[2()]cos 2sin 242g x x x x x ππ=⋅-+=1sin 42x =…………………………………………………………………9分解24222k x k ππππ-≤≤+得(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ……………………………12分 所以函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈. …………………………………………………13分16（本小题满分14分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………1分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE , …………………3分 从而 AC ⊥BE ……………………4分(Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示. …………5分 设3=AD ，可知1,3==AF DE . ……………………6分则)0,0,0(D ,(3,0,0)A ，)1,0,3(F ，)3,0,0(E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， 所以)1,3,0(-=，)2,0,3(-=， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则0BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即⎩⎨⎧=-=+-．023,03z x z y ， 令3=z ，则=n )3,1,2(. …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量， (3,3,0)CA =-，所以147,cos ==><CA n ………………………………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为147. …………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD上一个动点，设(,,0)(0M t t t ≤≤.则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， ……………11分即0)3(2=+-t t ，解得2=t . ……………13分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. ……………14分17（本小题满分13分）（Ⅰ）设走路线1最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=． ………………2分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2．341(=0)=(1)(1)4520P X -⨯-=，34347(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=，343(=2)=455P X ⨯=． ………………………………8分随机变量X 的分布列为：………………………………………………9分173310122020520EX =⨯+⨯+⨯=． ………………10分（Ⅲ）设选择路线1遇到红灯次数为Y ，则1(3,)2Y B ，所以13322EY =⨯=． ………………12分 因为EX EY >，所以选择路线1上学最好． ………………13分18（本小题满分13分）（Ⅰ）211'()()(21)(12)x x xa a af x x x a e x e x x a e a a=+-++=++ …………1分当1=a 时，'()(3)x f x x x e =+解()0f x '>得0x >或3x <-, 解()0f x '<得30x -<< ……………2分 所以()f x 单调增区间为(,3)-∞-和(0,)+∞，单调减区间为(3,0)-………3分（Ⅱ）①当5x =-时，()f x 取得极值， 所以1'(5)(5)(512)0xa f a e a-=--++=解得2a =（经检验2a =符合题意） ……………4分()1'()52x f x x x e =+所以函数()f x 在(),5-∞-，()0+∞递增，在()5,0-递减. ……5分当51m -≤≤-时，()f x 在[],1m m +单调递减，12min ()(1)(3)m f x f m m m e+=+=+………………6分当10m -<<时 01m m <<+()f x 在[],0m 单调递减，在[]0,1m +单调递增，min ()(0)2f x f ==-. ………………7分当0m ≥时，()f x 在[],1m m +单调递增，2min ()()(2)(1)mf x f m m m e ==+- ……………………8分综上，()f x 在[],1m m +上的最小值12min 2(3),51,()2,10,(2)(1),0.m mm m e m f x m m m e m +⎧+-≤≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+-≥⎩ ……………………9分②令'()0f x = 得0,5x x ==-（舍） 因为(2)0,(0)2,(1)0f f f -==-= 所以max min ()0,()2f x f x ==- ……………11分所以，对任意12,[2,1]x x ∈-，都有12max min |()()|()()2f x f x f x f x -≤-= ……………13分19（本小题满分14分） （Ⅰ） ace ==22， 22211a b +=，222c b a +=∴2=a ，2=b ，2=c∴22142x y +=． ------------------------------------------3分 （Ⅱ）设11(,)B x y ，22(,)D x y ，由22+142y x m x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2220x m ⇒+-= ∴282m 0∆=-> 22m ⇒-<<12,x x += ① 2122x x m =- ②----------------------5分12BD x =-= --------------------8分设d 为点A 到直线BD ：=+2y x m 的距离，∴d =分∴12ABD S BD d ∆==≤分当且仅当m =(2,2)∈-时等号成立∴当m =时，ABD ∆分20（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意，创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{}n c 有6个，3，5，1，2，4； ……………………………………………………………2分 3，5，1，4，2； 3，5，2，1，4； 3，5，2，4，1； 3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；………………………………………………………………4分 （Ⅱ）存在数列{}n c 的创新数列为等比数列． 设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个，所以m e m =．若}{n e 为等比数列， 设公比为q ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以1≥q ．……………7分 当1=q 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, 当1>q 时，}{n e 为增数列，符合条件的数列只能是m ,,2,1 ， 又m ,,2,1 不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个．………………………………………………………………8分（Ⅲ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列，设数列{}n c 的创新数列为}{n e ，因为m e 为前m 个自然数中最大的一个， 所以m e m =．若}{n e 为等差数列，设公差为d ，因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ，所以0≥d ．且*N d ∈当0=d 时，}{n e 为常数列满足条件，即为数列m m m ,,, （或写通项公式),,2,1(m n m e n ==）， 此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个排列，共有11m m A --个数列；………………………………………11分当1=d 时，符合条件的数列}{n e 只能是m ,,2,1 ，此时数列{}n c 是m ,,2,1 ， 有1个；当2≥d 时，)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 21-++=m m e 又3>m02>-∴m m e m >∴这与m e n =矛盾，所以此时}{n e 不存在.综上满足条件的数列{}n c 的个数为111m m A --+个（或回答1)!1(+-m 个）． ……………………………………………13分。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】3：三角函数一、选择题1．（2013北京东城高三二模数学理科）已知3sin()45x π-=,那么sin 2x 的值为 （ ）A ．325B ．725C ．925D ．1825【答案】B 2237sin 2cos(2)cos 2()12sin ()12()244525x x x x πππ=-=-=--=-⨯=,选B.2．（2013北京丰台二模数学理科）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-【答案】C因为函数的周期是π，所以2T ππω==，解得2ω=，排除A,B.当12x π=时，sin(2)sin11232y πππ=⨯+==为最大值，所以sin(2)3y x π=+图象关于直线12x π=对称，选C.（2013北京房山区二模数学理科试题）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ,,.326a b A π===,,，则tan B = .由正弦定理得32sin sin6Bπ=，解得1sin 3B =.因为a b >，所以B A <,即cos B ==,所以sin tan cos B B B ===3．（2013北京顺义二模数学理科）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且5,4,31cos ==∠=b B A π,则=C sin __________,ABC ∆的面积=S __________.由1cos 3A =得sin A =.所以s i n s i n ()s i n c o s c o s s iC B C B CB C =+=+13==.由正弦定理sin sin a bA B =得20sin sin 3b a A B =⋅==，所以ABC ∆的面积为1sin2S ab C =120523=⨯⨯=4．（2013北京西城高三二模数学理科）在△ABC 中,2BC =,AC =,3B π=,则AB =______;△ABC 的面积是______.【答案】3由余弦定理得2222cos3AC AB BC AB BC π=+-⋅，即2742AB AB =+-，所以2230AB AB --=，解得3AB=或1AB =-，舍去。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于 （ ）A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.18x =，解得0.018x =，选C.2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4yx a =+,则a 的值是_______. 【答案】0.9样本数据的平均数1(123) 1.54x =++=，1(1245)34y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各6据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙。

4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma n D ．2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间[]0,π上随机取一个数x,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 由1tan cos 2x x ≥g 得1sin 2x ≥，解得566x ππ≤≤，所以事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为52663πππ-=，选C. 二、填空题7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】112π-画出关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域，如图．。

2013北京模拟：解析几何综合【高三二模题组】1、（2013昌平二模，文19）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>(0,1)（I ）求此椭圆的方程；（II ）已知定点(1,0)E -，直线2y kx =+与此椭圆交于C 、D 两点，是否存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过点E ，如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

2、（2013昌平二模，理19）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率2e =，F 为椭圆的左焦点，且1AF BF ⋅= （I ）求此椭圆的方程；（II ）设P 是此椭圆上异于A ，B 的任一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q ，使得HP PQ =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为MB 中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系。

3、（2013丰台二模，文理19）已知椭圆22:14x C y +=，其短轴端点分别为A ，B （如图），直线AM ，BM 分别于椭圆交于E ，F 两点，其中1(,)2M m 满足0m ≠，m ≠（文理I ）求椭圆C 的离心率e ；（文理II ）用m 表示E ，F 两点的坐标；（文III ）证明直线EF 与y 轴交点的位置与m 无关； （理III ）若△BME 面积是△AMF 面积的5倍，求m 的值。

4、（2013海淀二模，文19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于A ，B ，且直线:30l x y +-=上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值。

5、4、（2013海淀二模，理19）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点（I ）求椭圆M 的方程；（II ）若直线y kx =交椭圆C 于A ，B ，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求△AOB （O 为原点）面积的最大值。

北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(理科)第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x M N a ==-<∈≠∅Z 如果则等于 （ ）（A ）1 （B ）2（C ）12或（D ）25【答案】C【解析】{}25250,0,{1,2}2N x x x x x x x ⎧⎫=-<∈=<<∈=⎨⎬⎩⎭Z Z ，因为,M N ≠∅ ，则1a =或2a =，选C.2.如果(1,)a k = ，(,4),b k =那么“//a b ”是“2k =-”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为//a b ，所以2140k ⨯-=，即24k =，所以2k =±。

所以“//a b ”是“2k =-”的必要不充分条件，选B.3.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,BC 两点，1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒（C ）45︒（D ）30︒【答案】B【解析】连结AO ，则因为PA 为切线，所以2PA PB PC = ，所以3312PC BO PC PB ==-=-=，，即圆的半径为1，在直角三角形PAO 中12AO PO =，所以30P ∠= ，60AOB ∠= ，所以AOB ∆为正三角形，所以60ABC ∠=，选B.4.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 （ ）（A ）(2,)3π- （B ）4(2,)3π （C ）(1,)3π- （D ）4(2,)3π-【答案】A【解析】因为点P 的直角坐标为(1,，，所以2ρ==，设极角为 θ，则tan θ=23k k Z ππ-∈，，（因为点P 在第四象限）所以点P 的极坐标(2,2)3k k Z ππ-∈，，选A.5.执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 （ ）（A ）5（B ）6 （C ）7 （D ）8【答案】C【解析】第一次循环，044,112s n =+==+=；第二次循环，44212,213s n =+⨯==+=； 第三次循环，124324,314s n =+⨯==+=；第四次循环，244440,415s n =+⨯==+=；第五次循环，404560,516s n =+⨯==+=；第六次循环，604684,617s n =+⨯==+=；第七次循环，满足条件，输出7n =，选C.6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0,120,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等式成立的是( ) （A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -< 【答案】D【解析】当0x <时，0x ->，所以2()21()f x x x f x -=--=。

北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科） 2013.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2,3}A =，{2,3,4}B =，那么()U A B = ð （A ）{0,1} （B ）{2,3} （C ）{0,1,4} （D ）{0,1,2,3,4}2．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= （A ）1 （B ）2 （C ）i - （D ）i3．在极坐标系中，圆心为(1,)2π，且过极点的圆的方程是（A ）2sin =ρθ （B ）2sin =-ρθ （C ）2cos =ρθ （D ）2cos =-ρθ4．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤ （D ）34k ≤5．设122a =，133b =，3log 2c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）c a b << 6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α （B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α （D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知正六边形A B C D E F 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A 4（B 2（C （D ）8．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程()f x kx k =+有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（A ）111[1,)(,]243-- （B ）111(1,][,)243-- （C ）111[,)(,1]342-- （D ）111(,][,1)342-- 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据 的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 10．5(21)x -的展开式中3x 项的系数是______．（用数字作答）11．在△A B C 中，2B C =，A C =，3B π=，则A B =______；△A B C 的面积是______．12．如图，A B 是半圆O 的直径，P 在A B 的延长线上，P D 与半圆O 相切于点C ，A D P D ⊥．若4P C =，2P B =，则C D =______．13．在等差数列{}n a 中，25a =，1412a a +=，则n a =______；设*21()1n n b n a =∈-N ，则数列{}n b 的前n项和n S =______．14．已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xO y 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ；（Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△A O C 的面积为1S ，△B O D 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．16．（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图1，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）证明：⊥BC 平面PBD ； （Ⅱ）证明：A M ∥平面PBC ；（Ⅲ）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43？若存在，找到所有符合要求的点N ，并求C N 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）如图，椭圆22:1(01)yC x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得O P O M ⊥，求m 19．（本小题满分14分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最大值和最小值．20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数1,0,()1,0.x g x x >⎧=⎨-<⎩对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列；排列12,,,n a a a 为排列12,,,n b b b 的母列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列；（Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，定义变换τ：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（理科）2013.5参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．C ； 7．B ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9． >； 10．80； 11．3，2； 12．125； 13． 21n +，4(1)n n +； 14． 4(1,]3．注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1co s x =α，2co s()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1co s 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21co s()co s 3226x π=+==αα-α．（Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin ()3y π=+α．所以 111111co s sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分 2221112||[co s()]sin ()sin (2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα． ……………9分依题意得 2sin 22sin (2)3π=-+αα，整理得 cos 20=α． ………………11分 因为62ππ<<α， 所以23π<<πα，所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ， ………………1分则 2334A 1()A 4P A ==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为14． ………………4分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20． ………………5分1(0)4P X ==， 2224A 1(5)A 6P X ===，222344A 11(10)A A 6P X ==+=， 122234C A 1(15)A 6P X ⋅===，3344A 1(20)A 4P X ===． ………………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分11111051015201046664E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分17．（本小题满分14分） 【方法一】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，222B D BC CD +=，所以 BD BC ⊥． ………………1分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC 上一点Q ，使:1:4P Q P C =，连结M Q ，B Q ． ………………5分由左视图知 4:1:=PD PM ，所以 M Q ∥C D ，14M Q C D =． ………………6分在△B C D 中，易得60C D B ︒∠=，所以 30A D B ︒∠=．又 2=BD ， 所以1A B =， A D =又因为 A B ∥C D ，CD AB 41=，所以 A B ∥M Q ，A B M Q =．所以四边形A B Q M 为平行四边形，所以 A M ∥B Q ． ………………8分 因为 ⊄AM 平面PBC ，B Q ⊂平面PBC ，所以 直线A M ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段C D 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分因为 ⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． 所以 )3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(M C B A D ．设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以)3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有 ||4||||A MB N A M B N ⋅= ， ………………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得 0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分故点N 位于D 点处，此时4C N =；或CD 中点处，此时2C N =， 有AM 与BN 所成角的余弦值为43．………………14分【方法二】（Ⅰ）证明：因为⊥PD 平面ABCD ，DC DA ⊥，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz D -．在△B C D 中，易得60C D B ︒∠=，所以 30A D B ︒∠=，因为 2=BD ， 所以1A B =， A D =由俯视图和左视图可得：,0,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,1,3(),0,0,3(),0,0,0(P M C B A D所以 )0,3,3(-=BC ，)0,1,3(=DB ．因为 0001333=⋅+⋅+⋅-=⋅DB BC ，所以BD BC ⊥． ………………2分 又因为 ⊥PD 平面ABCD ，所以 PD BC ⊥， ………………3分 所以 ⊥BC 平面PBD ． ………………4分（Ⅱ）证明：设平面PBC 的法向量为=()x,y,z n ，则有 0,0.P C B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n因为 )0,3,3(-=BC ，)4,4,0(-=PC ，所以440,30.y z y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1=y ，得=n )1,1,3(． ………………6分因为 )3,0,3(-=AM ，所以 ⋅AM =n 03101)3(3=⋅+⋅+-⋅． ………………8分因为 ⊄AM 平面PBC ， 所以 直线A M ∥平面PBC ． ………………9分 （Ⅲ）解：线段C D 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为43．证明如下：………10分设 )0,,0(t N ，其中40≤≤t ． ………………11分 所以 )3,0,3(-=AM ，)0,1,3(--=t BN ．要使AM 与BN 所成角的余弦值为43，则有43=， ………………12分所以43)1(332|3|2=-+⋅t ，解得0=t 或2，均适合40≤≤t ． ………………13分故点N 位于D 点处，此时4C N =；或CD 中点处，此时2C N =， 有AM 与BN 所成角的余弦值为43． ………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段A P 的中点，因为(1,0)A -，9(55P ， 所以 点M的坐标为2(55．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分解得 47m =． ………………5分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 22001y x m+=，且011x -<<．① ………………6分因为 M 是线段A P 的中点，所以 00(21,2)P x y +． ………………7分 因为 O P O M ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．② ………………8分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-． ………………10分所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………12分当且仅当02x =-+时，上式等号成立．所以 m的取值范围是1(0,24-． ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-． ………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--，即 6350x y +-=． ………………4分 （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………6分（ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得112x =-，或212x =+．()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,12-∞-，(1)2++∞；单调减区间为(122-+．………………8分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增，所以()f x 在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ………………10分② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--． ………………11分因为 14(3)(2)3f f a -=-，所以 当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-． ………………12分③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =-．………………14分综上，当2a ≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -；当1423a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --，最大值是73a -；当1483a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是533a --723a -；当8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--； ………………2分排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5． ………………3分（Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' ．从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=， ，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=， ，11k k b b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分 由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21k b l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k k b b '≠．所以排列12,,,n a a a 和12,,,n a a a ''' 的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- ． ………………9分进行一次变换τ后，排列12,,,n a a a 变换为1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,n b b b ''' ． 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-22k b =-≥． ………………11分因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为i a 的满意指数1i b i ≤-，其中1,2,3,,i n = ，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n nn -++++-= ，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ………………13分。