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《数值分析》课程教学大纲学分：3分理论学时：16学时实践学时：16学时一、课程性质与教学目标数值分析是数学与应用数学专业的一门专业必修核心课程，它主要内容是介绍近代计算机常用的计算方法及其基础理论．数值分析是数学与现代电子计算机紧密结合的一个近代数学分支，它直接为现代工程技术和科学研究服务．科学计算已成为与理论分析、科学实验并驾齐驱的科学研究方法．让学生熟练掌握所规定的主要算法以及基本理论；学会各种主要算法的程序编写及上机实现；根据教程中所介绍的基本理论和原理，初步学会简单理论论证，以达到有一定分析问题和解决问题的能力．二、基本要求通过本课程的学习，使学生掌握算法和误差等概念，了解误差的来源以及在近似计算中的传播规律，了解算法的稳定性及其注意事项，并能估计一些简单误差．掌握拉格朗日插值公式，理解曲线拟合方法．掌握机械求积公式、牛顿-柯特斯公式．掌握非线性方程求根的迭代公式的构造，理解牛顿法．掌握线性方程组的迭代公式：雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式．掌握解线性方程组的消去法、追赶法．掌握计算微分方程的欧拉方法和改进的欧拉方法．三、主要教学方法讲授、讨论与实验相结合四、理论教学内容第1章引论【授课学时】2学时【基本要求】掌握算法、误差和有效数字等概念，了解误差的来源以及在近似计算中的传播规律，了解算法的稳定性及其注意事项，并能估计一些简单误差．．【教学重难点】教学重点：算法和误差等概念．教学难点：误差在近似计算中的传播规律．【授课内容】数值计算方法，误差的种类及其来源，绝对误差和相对误差，有效数字及其与误差的关系，误差的传播与估计，算法的数值稳定性及其注意事项．第2章插值方法【授课学时】4学时【基本要求】掌握拉格朗日插值公式，曲线拟合方法．【教学重难点】教学重点：拉格朗日插值公式，曲线拟合方法．教学难点：曲线拟合方法．【授课内容】插值概念，拉格朗日插值公式，曲线拟合方法．第3章数值积分与数值微分【授课学时】2学时【基本要求】掌握机械求积公式，牛顿-柯特斯公式．【教学重难点】教学重点：机械求积公式，牛顿-柯特斯公式．教学难点：牛顿-柯特斯公式．【授课内容】数值积分基本概念，插值型数值积分公式．第4章方程(组)的数值解法【授课学时】6学时【基本要求】掌握方程求根的迭代公式的构造，理解牛顿法，掌握解线性方程组的迭代公式：雅可比迭代公式和高斯－塞德尔迭代公式，掌握解线性方程组的消去法、追赶法．【教学重难点】教学重点：方程求根的迭代公式的构造，解线性方程组的迭代公式：雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式，解线性方程组的消去法．教学难点：牛顿方法，高斯－塞德尔迭代公式，解线性方程组的消去法．【授课内容】根的搜索，迭代法、牛顿法．第5 章微分方程的数值解法【授课学时】2学时【基本要求】掌握计算常微分方程的欧拉方法和改进的欧拉方法．【教学重难点】教学重点：计算常微分方程的欧拉方法．教学难点：改进的欧拉方法．【授课内容】欧拉方法．五、实验教学内容项目1 插值方法【实验类型】验证【实验学时】4学时【实验目的】加深对拉格朗日插值，曲线拟合方法的理解和应用．【实验内容摘要】拉格朗日插值，曲线拟合方法．【实验基本要求】（1）能完成两点、三点的拉格朗日插值程序的编写；（2）能完成多项式的曲线拟合．【主要仪器设备名称及规格、型号】计算机安装有Matlab或C++软件项目2 数值积分【实验类型】设计【实验学时】4学时【实验目的】加深对数值积分公式的理解．【实验内容摘要】梯形公式、辛普生公式的程序设计，并比较误差．【实验基本要求】（1）能完成梯形公式、辛普生公式的程序设计；（2）能根据计算结果比较误差判断精度．【主要仪器设备名称及规格、型号】计算机安装有Matlab或C++软件项目3 非线性方程求根【实验类型】验证【实验学时】2学时【实验目的】实现牛顿方法程序的编写．【实验内容摘要】牛顿迭代法【实验基本要求】能在计算机上用牛顿方法求解非线性方程．【主要仪器设备名称及规格、型号】计算机安装有Matlab或C++软件．项目4 线性方程组的迭代法和直接法【实验类型】综合【实验学时】4学时【实验目的】加深对线性方程组的迭代法和直接法的理解．【实验内容摘要】雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法，高斯消去法．【实验基本要求】（1）会用雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、高斯消去法设计程序；（2）能根据计算结果比较方法的优缺点．【主要仪器设备名称及规格、型号】计算机安装有Matlab或C++软件．项目5 微分方程的数值解法【实验类型】设计【实验学时】2学时【实验目的】加深对欧拉方法的理解和应用．【实验内容摘要】欧拉方法．【实验基本要求】要求根据微分方程的设计程序．【主要仪器设备名称及规格、型号】计算机安装有Matlab或C++软件．六、考核方式考核类型：考试考核形式：闭卷七、主要参考资料1、《数值计算方法及其程序实现》吴开腾等编科学出版社，2015年2、《计算方法—算法设计及其MATLAB实现》王能超主编华中科技大学出版社，2010年．3、《数值分析简明教程第二版》王能超主编高等教育出版社，2003年．4、《计算方法》易大义主编浙江大学出版社，2002年．5、《数值分析》黄铎主编科学出版社，2000年．6、《数值分析与实验学习指导》蔡大用主编清华大学出版社，2001年．7、网络资源链接/eol/homepage/course/layout/page/index.jsp?courseId=1029 7编写人（签字）：数值分析课程小组审核人（签字）：二级学院负责人（签字）：。
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
计算方法华中科技大学数学系教材张诚坚, 高健, 何南忠. 计算方法. 北京：高等教育出版社,1999年参考书¾李庆扬, 易大义, 王能超. 现代数值分析, 北京：高等教育出版社¾Richard L. Burden & J. Douglas Faires .Numerical Analysis(Seventh Edition), 北京：高等教育出版社, 2001¾徐士良．C常用算法程序集(第二版)．北京：清华大学出版社，1996期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。
解答题共7个题，分数约占70％。
期末考试主要考核：基本概念；基本原理；基本运算。
必须带简易计算器。
总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%§1绪论第1节数值算法概论第2节预备知识与误差第1节数值算法概论1. 引言数值计算已经是计算机处理实际问题的一种关键手段。
它使各科学领域从定性分析阶段走向定量分析阶段，从粗糙走向精密。
2. 计算机数值方法的研究对象与特点计算问题x I n∫+ =15dxxx n 11nx I dx =∫011615 , ln5n n n n I I I I −==−1615 , ln I I I I ==−误差的传播与积累丽的北京就刮起台风来了？！3 数值算法计算方法的主要任务:1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.数值算法有四个特点:1.目的明确算法必须有明确的目的,其条件和结论均应有清楚的规定2.定义精确对算法的每一步都必须有精确的定义3.算法可执行算法中的每一步操作都是可执行的4.步骤有限算法必须在有限步内能够完成解题过程例如给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法算法构造如下:N取记数器置零=S.1=,0⇒+,.21+N⇒SNNS.3<N10000若2,，否则转.4输出SN,一、误差的种类及来源1模型误差在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.2观测误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有误差.3截断误差由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差.第2节预备知识与误差在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因误差与有效数字有效数字用科学计数法，记(其中）若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n 位有效数字，精确到。
Euler法和预估校正法求解初值问题摘要在数学与计算科学中，Euler法是一种一阶数值方法，通常用于对给定初值的常微分方程（初值问题）的求解。
Euler法的基本思想是迭代，就是逐次替代，然后求出所要求的解，并达到一定的精度。
Euler法思想是简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大，因此Euler法一般不用于实际计算。
为提高精度，需要在Euler法的基础上进行改进，即为预估校正法。
预估校正法的精度为二阶，思想是采用区间两端的函数值的平均值作为直线方程的斜率。
预估校正法先用Euler法求出预报值，再利用梯形公式求出校正值，局部截断误差比Euler法低了一阶，较大程度地提高了计算精度。
并编写MATLAB程序实现两种数值解法，通过作图对比其精度，加深对两种方法的认识。
关键字：Euler法，预估校正法，MATLAB软件EULER METHOD AND FORECAST CORRECTION METHOD FOR SOLVING INITIAL V ALUE PROBLEMSABSTRACTIn mathematics and computer science, the Euler method is a numerical method. It is usually used to solve the equations of the given initial value(initial value problems),Euler’s basic method is iterative, that is to say, the ideal is successive substitution, then, find out the required solution and achieved a certain accuracy. Euler method simply means take as the starting point of the next step to calculate the tangent of the end point, when numbers increase, errors due to the accumulation of more and more big. So, the Euler method is generally not used for practical calculation. In order to improve the accuracy, we need to be on the basis of Euler method was improved, the forecast correction method. Forecasts for the second order correction method of the precision, using the average value of a function as a linear equation at each end of the range of the slope. Forecast correction method with Euler method first predicted value, using trapezoid formula to find the correction, the local truncation error lower than the Euler method, greatly improve the calculation accuracy. By write MATLAB program to realize two methods, and through comparing the drawing accuracy, deepen understandingof the two methods.Key words: Euler method, forecast correction method, MATLAB目录1 欧拉法 (1)1.1 Euler方法简介 (1)1.1.1 Euler格式 (2)1.1.2欧拉方法的误差估计 (2)2 预估校正法 (6)2.1预估校正法简介 (6)2．1.1预估校正法 (6)2.2.2 预估校正法的误差估计 (6)3.实例以及结果分析 (4)3.1Euler法与预估校正法的Matlab实例及实现......................3.1.1 实例1的求解及Matlab实现 (7)3.1.2 实例2的求解及Matlab实现.............................3.1.3实例3的求解及Matlab实现............................. 参考文献.. (10)附录 (11)Euler 法1.1 Euler 方法一阶常微分方程的初值问题,其一般形式为0'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩ （1） 我们知道，只要函数f （x,y ）适当光滑----譬如关于y 满足Lipschitz 条件(,)(,);f x y f x y L y y -≤-理论上就可以保证初值问题（1）的解()y y x =存在且唯一。
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-===而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x =又1'()n f x nx-= , 1||n p nx nx C n x-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02nr x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.6101.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈ **24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C VRππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 。
《计算方法》课程教学大纲课程代码：030232002课程英文名称：Numerical Calculation Methods课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：测控技术与仪器大纲编写（修订）时间：2011.5一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标《计算方法》是为测控技术与仪器专业学生开设的一门培养具有科学计算能力的必修课。
主要讲授数值计算中所涉及的计算误差理论、各种数值计算方法、以及数值算法设计基础等基本知识。
在科学技术理论方法和实验方法之后，科学计算已成为科学研究的第三种方法。
学习和掌握常用的计算机数值方法已成为现代科学教育的重要内容。
通过本课程的学习，使学生了解和掌握这门课程所涉及的各种常用的数值计算公式、数值方法的构造原理及适用范围，为今后利用计算机去有效解决实际问题打下理论和技术基础。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求1、基本知识：掌握高等数学、线性代数、计算机基础、程序设计方法等基础知识；2、基本能力：掌握计算方法中的计算误差理论、常用数值计算方法和基本原理、数值算法的设计方法，数值算法的程序设计以及上述理论和方法在实际计算问题中的应用。
学习本课程要求学生受过较严格的数学及计算机基础知识训练，要有一定的理论联系实际和分析问题解决问题的能力，熟练使用计算机。
3、基本技能：掌握计算机基础知识和操作技能、数值计算程序设计方法、数值算法设计等基本技能。
（三）实施说明（1）教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和算法设计思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性；注意培养学生提高利用标准、规范及手册等技术资料的能力。
讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。
（2）教学手段：本课程属于专业必修课，在教学中采用课堂讲授、讨论、多媒体和实际问题分析解决相结合的多种教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。
第一章习题解答3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。
解：设=()u f x ，()()()()()()||||||||||()||()||||()||()||||r r rx e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ=≈==≤()||10.2(())||()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x xδδδδ==⋅⋅==4、长方体的长宽高分别为50cm ，20cm 和10cm ，试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1cm 2。
解：设2()S xy yz zx =++{}[]{}(,,)(,,)(,,)()||()||()||()(,,)(,,)(,,)||||||max (),(),()2()2()2()max (),(),()1S x y z S x y z S x y z e S e x e y e z x y zS x y z S x y z S x y z e x e y e z x y z y z z x x y e x e y e z ∂∂∂≤++∂∂∂⎛⎫∂∂∂≤++ ⎪∂∂∂⎝⎭=+++++<{}[]11max (),(),()2()2()2()4()110.0031254(502010)320e x e y e z y z z x x y x y z <=+++++++===++测量误差小于0.00625时其表面积的误差不超过1cm 2。
7、计算61)1.414≈。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
（1（2）3(3- （3（4）99- 解：计算各项的条件数'()(())||()xf x cond f x f x =111.41461(),(())| 3.5147(1)x f x c o n d f x x ===+ 3221.414()(32),(())|49.3256x f x x c o n d f x ==-=331.41431(),(())| 1.4557(32)xf x c o n d f x x ===+ 441.414()9970,(())|4949x f x x c o n d f x ==-= 由计算知，第三种算法误差最小。
第四版数值分析习题第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设j x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)()(0,1,,);nkkj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x Ca b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x . 11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x xϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005. 16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果. 22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.27.求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图.31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8. 1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值. 11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法; (2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式. 12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析4-2%hermite insertfunction y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0);m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:nh=1.0;a=0.0; for j=1:n if j~=ih=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end endyy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); endy(k)=yy; end%lagrange insertfunction y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end ends=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end1Exp 对连续函数215)(x x f +=在区间[-5， 5]上取等距节点n i ni x i ,1,0105=+-=.试作出)(x f ，10次Lagrange 插值多项式)(10x L 及当1=h 时Hermite 插值多项式，观测Runge 现象.解：建⽴名为1Runge的M ⽂件名，其内容如下： x=[-5:1:5];y=5./(1+x.^2); x0=[-5:0.01:5];y0=lagrange(x,y,x0); plot(x0,y0,'--r'); hold on;y1=5./(1+x0.^2); plot(x0,y1,'-b'); hold on;y2=interp1(x,y,x0,'spline'); plot(x0,y2,'-.g');legend('lagrange','function','spline',2); 运⾏结果如下：§4.4 三次样条插值Hermite 三次插值多项式)(x H h ，只有当被插函数在所有节点处的函数值和导数值都⼀知时，才能使⽤，⽽且)(x H h 在内节点处的⼆阶导数⼀般不连续，本节介绍的三次样条插值将克服这⼀缺陷.通过介绍我们将发现，它只是⽐Lagrange 多两个边界条件，但却在内节点处有⼀阶、⼆阶连续导数，因⽽⽐)(x H h 更光滑.⼀、定义：在区间],[b a 上给定⼀个分划：b x x x x a n =<<<<= 210.若函数)(x s 满⾜：（1）),2,1,0)(()(n i x f x s i i ==（2）)(x s 在每个⼩区间],[1+i i x x 上是三次多项式（3）)(x s 在],[b a 上有连续的⼆阶导数则称)(x s 为三次样条插值函数.注意：当)(x s 是],[1+i i x x 上的次数不超过m 次的多项式，且)(x s 在],[b a 上有1-m 次连续导数，则称)(x s 是区间],[b a 上的m 次样条插值多项式.⼆、次样条插值的定解条件从三次样条插值函数的定义可知，)(x s 在每个⼩区间],[1+i i x x 上的表达式为)(x s =∈+++x d x c x b x a ii i i 23],[1+i i x x其中系数i a ，i b ，i c ，i d 待定，使它们满⾜：（1）插值和连续条件共n 2个 ??+=-=)0()0()()(i i i i x s x s x f x s（2）1-n 个内节点处的⼀阶导数连续的条件 )0()0(+'=-'i i x s x s（3）1-n 个内节点处的⼆阶导数连续的条件 )0()0(+''=-''i i x s x s共计24-n 个条件，⽽需确定n 4个系数.因此如果要唯⼀确定三次样条函数)(x s 还必须附加两个条件，通常的情况是给出区间端点上的性态，称为边界条件.常⽤的边界条件有三种：第⼀种：已知两端点的⼀阶导数值：)()(00x f x s '='，)()(n n x f x s '=' 第⼆种：已知两端点的⼆阶导数值：)()(00x f x s ''=''，)() (n n x f x s ''='' 特别如：='')(0x s 0)(=''n x s 时，称为⾃然边界条件. 第三种：周期条件：)0()0(0-'=+'n x s x s ，)0()0(0-''=+''n x s x s其中，函数值的周期条件为：)0()0(0-=+n x s x s ，由已知)()(0n x f x f =确定.这三种边界条件都有它们的实际背景和⼒学意义.2Exp 已知函数)(x f 的三个点处的值为1)1(=-f ，0)0(=f ，1)1(=f在区间[-1，1]上，求)(x f 在⾃然边界条件下的三次样条插值多项式.解：这⾥三个点将区间[-1，1]分成两个⼦区间[-1，0]及[0，1]，要求在每个区间上进⾏三次样条插值，故设：)(x s =∈+++=-∈+++=]1,0[)(]0,1[)(11213110020300x d x c x b x a x s x d x c x b x a x s 由插值条件及连续条件：1)1(0=-s ，0)0(0=s ；0)0(1=s ，1)1(1=s 代⼊可得=+++===+-+-10011111100000d c b a d d d c b a=+++=+-+-)2(1)1(1111000c b a c b a 由内节点处的⼀、⼆阶导数连续条件：)0()0(10s s '='，)0()0(10s s ''=''，且 )(0x s '=002023c x b x a ++ )(1x s '=112123c x b x a ++ 由)0()0(10s s '='?10c c = （3） )(0x s ''=0026b x a +，)(1x s ''=1126b x a +及)0()0(10s s ''='' ? 10b b = （4）最后由⾃然边界条件=-'')1(s 0)1(=''s=+=+-)6(026)5(0261100b a b a不难由（1）-（6）解出： 2110=-=a a ，2310==b b ，10c c ==010==d d ，所以 )(x s =∈+-=-∈+=]1,0[2321)(]0,1[2321)(231230x x x x s x x x x s三、三弯矩算法上⾯的解题过程实际上⽤的是⽤待定系数法求解⼀个n 4阶线性⽅程组，当n 较⼤时计算⼯作量是相当⼤的.下⾯我们介绍⼀种只需解不超过1+n 阶线性⽅程组的⽅法——三弯矩算法.假设在节点b x x x x a n =<<<<= 210处的函数值为0y ，1y ，…，n y ，要求三次样条插值函数)(x s 的表达式.注意到)(x s 在每个⼩区间],[1+i i x x 上是三次多项式，因此)(x s ''在此⼩区间上是⼀次多项式，如果)(x s ''在⼩区间],[1+i i x x 的两个端点上的值能知道，设i i M x s ='')(，11)(++=''i i M x s ，则)(x s ''的表达式可以写成： )(x s ''=i i ih x x M -+1+iii h x x M -+1（⽤端点处的线性插值表⽰)(x s ''）其中，i i i x x h -=+1.将)(x s ''积分两次)(x s '=?''dx x s )(=?-+--++dx h x x M h x x M iii i i i)(11 =i i i h x x M 2)(21+--+ii i h x x M 2)(21-++i c ~)(x s =?'dx x s )(=i i i h x x M 6)(31+--+i i i h x x M 6)(31-++x c i ~+i d ~=i i i h x x M 6)(31-++ii i h x x M 6)(31-++i i i h x x -+1α+i i i h x x -β将插值条件)()(i i x f x s =，)()(11++=i i x f x s 代⼊上式得到i α=)(i x f -i i i i h x x M 6)(31-+=)(i x f -62i i h Mi β=)(1+i x f -i11-++=)(1+i x f -621i i h M +所以，)(x s =i i i h x x M 6)(31-++ii i h x x M 6)(31-++[)(i x f -62i i h M ]i i h x x -+1+[)(1+i x f -621i i h M +]i i h x x -∈x ],[1+i i x x ，1,,2,1,0-=n i上式中诸i M 都是未知的，要将它们求出，可以对上式求⼀阶导数，得)(x s '=i i i h x x M 2)(21+--+ii i h x x M 2)(21-++i i i h x f x f )()(1-++)(61i i iM M h -+=i i i h x x M 2)(21+--+ii i h x x M 2)(21-++],[1+i i x x f +)(61i i i M M h -+其中，],[1+i i x x f 为⼀阶均差.利⽤)(x s '在内节点处的连续性 )0(+'i x s =],[1+i i x x f -)2(61i i iM M h ++ )0(1-'+i x s =],[1+i i x x f +)2(61i i iM M h ++ 或等价于：)0(-'i x s =],[1i i x x f -+)2(61-+i i iM M h 由)0(+'i x s =)0(-'i x s 得],[1i i x x f -+)2(61-+i i i M M h =],[1+i i x x f -)2(61i i i M M h++ 若记=-=+=+=+----],,[6111111i i i i i ii i iih h µλµ 则上式可以简单地表⽰成1-i i M µ+i M 2+i i i d M =+1λ（1,,2,1-=n i ）这是关于弯矩1-i M ，i M ，1+i M 的线性⽅程，称之为三弯矩⽅程.可以看出，⽅程组中含有0M ，1M ，…，n M 共1+n 个变量，但只有1-n 个⽅程，所以另外两个⽅程应由边界条件得到.可以证明：第⼀边界条件：-'==+'-==+---],[)((62))(],[(621110100010n n n n n n n x x f x f h d M M x f x x f h d M M相应⽅程组的矩阵形式为：--2122121111n n λµλµ -n n M M M M 110 =?-n n d d d d 110第⼆边界条件：)(00x f M ''=，)(n n x f M ''= 相应⽅程组的矩阵形式为：--11221222n n λµλµλ -121n M M M =??????----n n n M d d M d 112111λµ 第三边界条件：1M n λ+1-n n M µ+n M 2=n d ~，n M M =0其中，-=-=+=+=----]),[],[(6~111001011n n n n i n i i n x x f x x f d h h h hh h µλµ相应⽅程组的矩阵形式为：--2222112211n n n n µλλµλµµλ -n n M M M M 110 =??-n n dd d d ~110将上⾯三个⽅程组写成统⼀的形式d AM =，注意到0,>i i λµ，1=+i i λµ，其中的系数阵A 是三对⾓或仅⽐三对⾓多两个元素的严格对⾓占优阵，因此各⽅程组的解存在唯⼀，可以⽤追赶法求解.将求出的弯矩值代⼊到)(x s 的表达式中即可得到三次样条插值多项式)(x s .3Exp 对于给定的插值条件求出满⾜边界条件1)0(='s ，2)3(='s 的三次样条插值函数.解：记00=x ，11=x ，22=x ，33=x ；0)(0=x f ，1)(1=x f ，1)(2=x f ，0)(3=x f 计算⼆阶差分：注意到：01x x -=12x x -=123==-h x x ，所以 21==i i λµ 2,1=i三次样条插值函数为)(x s =i i i h x x M 6)(31-++ii i h x x M 6)(31-++[)(i x f -62i i h M ]i i h x x -+1+[)(1+i x f -621i i h M +]i i h x x -=6)(31x x M i i -++6)(31i i x x M -++[)(i x f -6i M ])(1x x i -++[)(1+i x f -61+i M ])(i x x -因)(x s 满⾜第⼀边界条件，故0d =))(],[(60100x f x x f h '-=0)11(6=-?（)(0x f '=)0(f '=1)0(='s ） 3d =]),[)((611n n n n x x f x f h ---'=18))1(2(6=--?（)(n x f '=)3(f '=2)3(='s ） 1d =6],,[210x x x f =3)21(6-=-?，2d =6],,[321x x x f =3)2 1(6-=-?.所以，关于0M ，1M ，2M ，3M 的⽅程组为：2121221002122100123210M M M M =????--18330解得 0M =0.2667，1M =-0.5333，2M =-4.1333，3M =11.0667当∈x [0，1]时： )(x s =610.26673)1(x -+61（-0.5333）3)0(-x +（0-?610.2667）)1(x -+[1-?61（-0.5333）])0(-x =0.044453)1(x --0.088883x -0.0445)1(x -+1.08888x 当∈x [1，2]时：)(x s =61（-0.5333）3)2(x -+?61（-4.1333）3)1(-x +[0-?61（-0.5333）])2(x -+[1-?61（-4.1333）])1(-x=-0.088883)2(x --0.688883)1(-x +1.08888)2(x -+1.68888)1(-x 当∈x [2，3]时：)(x s =?61（-4.1333）3)3(x -+?6111.06673)2(-x +[0-?61（-4.1333）])3(x -+[1-?6111.0667])2(-x=-0.688883)3(x -+1.844453)2(-x +1.68888)3(x --1.84445)2(-xMatlab 中，⼀维插值的调⽤格式是：)'',0,,(1int 0method x y x erp y =这⾥y x ,是已知数据并且是长度相同的向量；0x 是包含⽤于插⼊的点；method ⽤于指定所使⽤的插值⽅法，0y是相应的插值⽅法与0x对应的数据.对于⼀维插值，插值的⽅法有以下四种：（1）nearest——最近点插值法.（2）linear——线性插值法.（3）spline——样条插值法.（4）cubic——⽴⽅插值法.Exp已知函数在插值点的函数值为：40，0.8，0.6，1，0.2，0.1，-0.2，-0.7，-0.9，-0.3试利⽤Matlab中⼀维插值命令，画出临近插值，线性插值，样条插值，⽴⽅插值的图形，并⽐较插值效果. 解：在Matlab编辑窗内建⽴⼀个名为interp1.m的⽂件，其内容为%interp1:⼀维插值cleary=[0,0.8,0.6,1,0.2,0.1,-0.2,-0.7,-0.9,-0.3];x=length(y)-1;x1=0:0.1:length(y)-1;y1=interp1(x,y,x1,'nearest');y2=interp1(x,y,x1,'linear');y3=interp1(x,y,x1,'spline');y4=interp1(x，y,x1,'cubic');plot(x,y,'ok',x1,y1,':r',x1,y2,'-b',x1,y3,'--m',x1,y4,'--c')。
数值分析刘立新西安电子科技大学推荐教材及参考资料•李庆扬，王能超，易大义编，《数值分析》（第四版武汉华中科技大学出版社年四版），武汉：华中科技大学出版社，2006•沈剑华主编，《数值计算基础》（第二版），同济大学出版社，2004年济大学出版社其值教材•其他数值分析教材2课程要求先修课程和后续课程：修先修课程：高等数学，线性代数，计算机语言等。
后继课程：数值代数，数值逼近，最优化方法等。
课程评分方法：•平时成绩（20%）考•考试（80%）3建立各种数学问题的数值计算算法的方法和理论通俗地本课程的任务•建立各种数学问题的数值计算算法的方法和理论。
通俗地讲，就是为各种实际问题提供有效的数值近似解方法。
提供在的理论的计算•计算机上实际可行的、理论可靠的、计算复杂性好的各种常用算法。
学习的目的、要求•会套用、修改、创建公式•编制程序完成计算4课程内容•第一章绪论第章•第二章插值与逼近•第四章数值积分与数值微分•第五章常微分方程数值解法•第六章方程求根•第七章线性方程组的解法51第1 章绪论6本章内容111.1 光波的特性1.1 数值分析的对象与特点1.2 光波在介质界面上的反射和折射1.2 误差来源与误差分析的重要性1.3 误差的基本概念1.3 光波在金属表面上的反射和折射1.4数值运算中误差分析的方法与原则7本章要求•主要内容：算法的基本概念，误差的基本概念。
主容•基本要求–(1) 了解数值计算的研究对象与基本特点以及科学计算的重要性；的要性；–(2) 理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念；(3)了解数值计算中应注意的些问题。
–了解数值计算中应注意的一些问题•重点、难点–重点：数值计算方法的含义；重点数值计算方法的含义–难点：误差的理解。
81.1 数值分析的对象与特点11什么是数值分析?什么是数值分析•“数值分析”就是研究在计算机上解决数学问题的数值方法及其理论；数值算构计算公式算步•数值算法的构造：计算公式和算法步骤；算法的理论分析误差分析、收敛性、稳定性等•算法的理论分析：误差分析、收敛性、稳定性等。
高等数值分析48课时教案
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
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