(完整版)三角形的外角习题及答案

三角形的外角（习题)➢ 例题示范例1：已知：如图,点E 是直线AB ，CD 外一点,连接DE 交AB 于点F ,∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ,需要考虑同位角、内错角、同旁内角．因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E (三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中,∠1是它的一个外角,∠1=115°,∠A =40°,∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBA2. 已知:如图，在△ABC 中,∠BAC =50°,∠C =60°，AD ⊥BC ,BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．DC EA BFF BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°,则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图,已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°,∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ,∠BDC =70°，求∠C 的度数．解:如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD(_____________________）∵∠A =40°，∠BDC =70° （_____________________)∴∠ABD =_______-________=________—________ =________(_____________________）∵BD 平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______=__________（_____________________）∴∠C =180°-∠A —∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________)第4题图DCAB7.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F,∠A=60°，∠E=55°,求∠B的度数．8.已知:如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．➢思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．(2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余,由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角,考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________________________________．E DCBA2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期,内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理,而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容,用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的:首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”,“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实,而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：(1）从任意点到任意点作直线是可能的．(2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．(5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1)跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．(5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理,推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】➢巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°(已知）∴∠ABD=∠BDC—∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-60°=80°(三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行,内错角相等)∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线(已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD—∠A=110°—60°=50°（等式的性质）8.解:如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°(已知)∴∠ABD=∠BDC—∠A=60°-45°=15°(等式的性质)∵BD平分∠ABC（已知)∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°(角平分线的定义)∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC(两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）➢思考小结1.(1)同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。

初一数学三角形的外角试题1.已知，如图，点是中边上的一点，点是边延长线上一点，说明：．【答案】见解析【解析】本题主要考查的是三角形外角与内角的关系. 由于∠DCB是△DCE的一个外角，所以∠DCB＞∠CDE；又因为∠ADB是△BCD的一个外角，所以∠ADB＞∠DCB，故∠ADB＞∠CDE．证明：∵∠DCB是△DCE的一个外角∴∠DCB＞∠CDE∵∠ADB是△BCD的一个外角∴∠ADB＞∠DCB∴∠ADB＞∠CDE2.已知，如图，中，的平分线与的平分线交于点，若，求的度数．【答案】【解析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形内角及外角平分线的性质. 根据三角形外角的性质和角平分线的性质表示出两角和的一半，用180°减去两角和的一半即可．∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∵CD是外角∠ACE的角平分线，∴∠DCE=∠ACD=∠ACE，∵∠D=∠DCE-∠DBC=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）=∠A=×80°=40°．∴∠D的度数是40°．3.已知，如图，在中，是高和的交点，观察图形，试猜想和之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．【答案】．证明见解析【解析】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理. 由于∠DOE是△AOE的外角，故∠DOE=∠OAE+∠AEO=∠OAE+90°=∠OAE+∠ADC，即∠C+∠DOE=∠OAE+∠ADC+∠C=180°解：∠C+∠DOE=180°．∵AD，BE是△ABC的高（已知），∴∠AEO=∠ADC=90°（高的意义），∵∠DOE是△AOE的外角（三角形外角的概念），∴∠DOE=∠OAE+∠AEO（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和）=∠OAE+90°（∠AEO=90°）=∠OAE+∠ADC（∠ADC=90°）∴∠C+∠DOE=∠OAE+∠C+∠ADC=90°+90°=180°．另法：在四边形CEOD中，∠C+∠EOD+90°+90°=360°，则∠C+∠EOD=180°．4.如图所示，已知AB∥CD，∠A=55°，∠C=20°，则∠P= ；O【答案】35°【解析】本题主要考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系.∵AB∥CD，∠A=55°∴∠AOC=∠A=55°∵∠C=20°∴∠P=∠AOC-∠C=55°-20°=35°5.如图所示，∠A +∠B+∠C+∠D+∠E= ；【答案】180°【解析】本题主要考查了三角形的外角和内角和定理因为∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠E，所以∠A +∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°6.如图所示，已知AB∥CD，则（）A．∠1=∠2+∠3 .B．∠1=2∠2+∠3C．∠1=2∠2-∠3D．∠1=180°-∠2-∠3【答案】A【解析】本题主要考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系.因为AB∥CD，所以∠ABD=∠3，因此∠1=∠2+∠ABD=∠2+∠3；7.若一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则与之相邻的三个外角的度数之比为（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．3∶4∶5D．5∶4∶3【答案】D【解析】本题主要考查了三角形内角和定理及内角与外角的关系. 先根据三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3及三角形内角和定理求出三个内角的度数，再分别求出其对应的外角度数即可设三角形三个内角分别为，则，解得，所以三角形三个内角分别为30°，60°，90°，与之相邻的三个外角的度数分别为150°，120°，90°，故选D8.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.【答案】不合格【解析】本题主要考查了三角形内角和定理. 连接AD，利用三角形内角与外角的关系求出此零件合格时∠BDC的度数与已知度数相比较即可．解：如图，连接AD并延长至E，则∠CDE=∠C+∠CAD，∠BDE=∠B+∠BAD，所以∠BDC=∠CDE+∠BDE=∠C+∠CAD+∠B+∠BAD=21°+32°+90°=143°≠148°，所以这个零件不合格.9.图中（）是△ABC的外角．A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【答案】C【解析】本题考查的是三角形外角的定义根据三角形外角的定义解答．根据三角形外角的定义可知，∠3是此三角形的外角．故选C．10.如图，△ABC中，D是BC上一点，F是BA延长线上一点，连接DF交AC于E，且∠B=42°，∠C=59°，∠DEC=47°，求∠F的度数．【答案】【解析】本题考查的是三角形内角和定理、外角定理、对顶角相等由∠B=42°，∠C=59°，根据三角形的外角定理即可求得∠FAE，再根据对顶角相等求得∠AEF，最后根据三角形内角和定理即可求得∠F的度数．∠B=42°，∠C=59°，∠FAE=∠B+∠C=101°，∠DEC=47°，∠AEF=47°，∠∠FAE∠AEF。

初中数学：三角形的外角检测题(含答案)总分100分时间40分钟一、选择题(每题5分)1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】C【解析】试题分析：三角形的一个外角和与它相邻的内角互补，当外角小于与它相邻的内角时，所以这个内角是钝角.解：如下图所示，∠ACD<∠ACB，∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACB>90°.∴△ACB是钝角三角形.故应选C.考点：三角形的外角2、已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4，则它的最大内角的度数为( )A.90°B.110°C.100°D.120°【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的三个外角的度数比为2:3:4，设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据三角形外角和是360°列方程求出x的值，求出每个外角的度数，根据外角的度数求出三角形的内角度数.解：设三角形的三个外角是2x、3x、4x，根据题意可得：x+3x+4x=360°，解得：x=40°，∴三角形最小的外角的度数是2x=80°，∴三角形最大的内角的度数是180°-80°=100°.考点：三角形外角的性质3、已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的一个外角是120°，求出三角形的一个内角是60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形判定结果.解：如下图所示，∵∠ACD=120°，∴∠ACB=60°，又∵△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等边三角形.故应选C.考点：1.三角形外角的性质；2.等腰三角形的判定.二、填空题(每题8分)4、如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA 到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是______【答案】∠1>∠2>∠3【解析】试题分析：根据三角形外角大于与它不相邻的任何一个内角.解：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1>∠2，∵∠2是△AEF的外角，∴∠2>∠3，∴∠1>∠2>∠3.考点：三角形外角的性质5、△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）。

11.2.2三角形的外角一、单选题1.三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定2.如图，AB//CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C=50∘，则∠AED=.3.如图，在ΔABC中，EF//BC，∠ACG是ΔABC的外角，∠BAC的平分线交BC于点D,记∠ADC=α,∠ACG=β，∠AEF=γ，则α、β、γ三者间的数量关系是.4.将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是.5.如图，几条线段首尾顺次连接，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠E的度数为.6.下列命题中，属于假命题的是( )A.三角形中至少有一个角大于60∘B.如果三条线段长分别为4cm，6cm，9cm，那么这三条线段能组成三角形C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和D.如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形7.在△ABC中，∠A=60∘，∠C=2∠B，则∠C的度数为.8.如图，在ΔABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为.9.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形二、填空题10.如图，BE平分∠ABC，CE平分ΔABC外角∠ACD，若∠E=25°，则∠A度数为______.11.如图，将∠BAC沿DE向∠BAC内折叠，使AD与A′D重合，A′E与AE重合，若∠A=30∘，则∠1+∠2的度数为__________. 12.如图所示的折线图形中，α+β的度数为__________. 13.如图，四边形纸片ABCD中，∠A=75∘,∠B=65∘,将纸片折叠，使点C，D分别落在AB边上的点C′,D′处，折痕为MN，则∠AMD'+∠BNC'的度数是__________. 三、解答题14.如图，在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠DAE的度数．15.如图，将ΔABC分别沿AB，AC翻折得到ΔABD和ΔAEC，线段BD与AE交于点F，连接BE． (1)如果∠ABC=16°，∠ACB=30°，求∠DAE的度数； (2)如果BD⊥CE，求∠CAB的度数．11.2.2三角形的外角1.【答案】A;【解析】略2.【答案】B;【解析】该题考查了平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质，掌握好基本性质及定义的解答该题的关键． 根据平行线的性质得出∠CAB=180∘−∠C=130∘，根据角平分线的定义得出∠CAE=12∠CAB=65∘，根据∠AED是ΔACE的外角，得出∠AED=∠C+∠CAE=115∘，即可得出结果． 解：∵AB//CD，∴∠C+∠CAB=180∘， ∴∠CAB=180∘−∠C=130∘，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CAB=65∘，∵∠AED是ΔACE的外角，∴∠AED=∠C+∠CAE=115∘，故选B．3.【答案】B;【解析】解：∵EF//BC， ∴∠γ=∠B， 由三角形的外角性质得，∠α=∠B+∠BAD=∠γ+∠BAD， ∠β=∠α+∠CAD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠α−∠β=∠γ−∠α， ∴∠β=2α−∠γ. 故选：B. 根据两直线平行，同位角相等可得∠γ=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠α、∠β，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后整理即可得解． 此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解答该题的关键．4.【答案】B;【解析】解：∵∠EDC=45°， ∴∠ADF=135°， ∵∠AFE是ΔADF的一个外角， ∴∠AFE=∠A+∠ADF=30°+135°=165°， 故选：B. 根据邻补角的概念求出∠ADF，再根据三角形的外角性质计算即可． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．5.【答案】B;【解析】解：∵如图可知∠BGD=∠C+∠B，∠GFE=∠E+∠A， 又∵∠BGD=∠D+∠GFD， ∴∠B+∠C=∠D+∠GFD， 又∵∠GFE+∠GFD=180°， ∴∠E+∠A+∠B+∠C−∠D=180°， 又∵∠D=28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠E=180°+28°=208°. 故选：B. 首先求出∠C+∠B=∠D+∠GFD，然后证明出∠A+∠B+∠C+∠E−∠D=180°，最后结合∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 此题主要考查了三角形内角的外角，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠E+∠B−∠D=180°，此题难度不大．6.【答案】A;【解析】 该题考查命题与定理，解答该题的关键是熟练掌握三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，属于中考常考题型． 根据三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可一一判断． 解：A、错误． B、正确．理由：4+6>9． C、正确．角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． D、正确．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形．故选A．7.【答案】C;【解析】略8.【答案】A;【解析】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠ACE=∠A+∠ABC， 即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A， ∴2∠1=2∠3+∠A， ∵∠1=∠3+∠D， ∴∠D=12∠A=12×30°=15°． 故选：A． 先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可． 该题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．9.【答案】D;【解析】略10.【答案】50°;【解析】解：∵∠E=25°， ∴∠ECD−∠EBD=∠E=25°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBD=12∠ABC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=12∠ACD， ∴∠A=∠ACD−∠ABC=2×(∠EBD−∠ECD)=2×25°=50°， 故答案为：50°. 根据三角形的外角性质得到∠ECD−∠EBD=∠E=25°，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 此题主要考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答该题的关键．11.【答案】60∘;【解析】解：∠A′DA=180∘−∠1,∠A′EA=180∘−∠2,∠A′=∠A=30∘. ∵∠A′+∠A′DA+∠A+∠AEA′=360∘, ∵30∘+180∘−∠1+30∘+180∘−∠2=360∘,∴∠1+∠2=60°.12.【答案】85°;【解析】解：∠1=a+70∘,∠2=β+65∘,∵∠1+∠2+140∘=360∘. ∴a+70∘+β+65∘+140∘=360∘,∴α+β=85∘. 13.【答案】80∘;【解析】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠C+∠D=220°，∠MD′B=∠D， ∠NC′A=∠C，∴∠MD′B+∠NC′A=220°，∵∠MD′B+∠NC′A+∠D′MN+∠C′NM=360°,∴∠D′MN+∠C′NM=140°，∵∠A+∠B+∠AMD′+∠D'MN+∠BNC'+∠C'NM=360°,∴140∘+140∘+∠AMD'+∠BNC'=360°, ∴∠AMD°+∠BNC'=80∘.14.【答案】解：在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°， ∴∠BAC=180°-20°-110°=50°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=12∠BAC=25°， ∴∠AEC=∠B+∠BAC=20°+25°=45°， ∵AD⊥BD于点D， ∴∠D=90°， ∴∠DAE=90°-∠AED=90°-45°=45°．;【解析】 先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线定义得出∠BAE的度数，再由三角形外角的性质求出∠AEC的度数，进而得出答案． 此题主要考查的是三角形内角和定理．熟悉定理与性质并准确识图，理清图中各角度之间隐含的关系是解决本题的关键．15.【答案】解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD， ∴△AEC≌△ABC，△ABD≌△ABC． ∴∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°， ∠EAC=∠BAD=∠BAC=180°-30°-16°=134°， ∵∠DAC=360°-∠BAD-∠BAC， ∴∠DAC=360°-134°-134°=92°， ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=134°-92°=42°； （2）∵BD⊥CE， ∴∠5=90°， ∴∠DBC+∠ECB=90°． ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠DBC+∠ECB=2∠3+2∠1=90°． ∴∠3+∠1=45°， 在△ABC中，∠CAB=180°-（∠3+∠1）=180°-45°=135°．;【解析】 (1)由折叠的性质可得∠2=∠1=30°，∠4=∠3=16°，由周角的性质和外角性质可求解； (2)由三角形内角和定理可求解． 该题考查了翻折变换，三角形的内角和定理，外角性质，灵活运用折叠的性质是本题的关键．。

三角形的外角（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，则∠A +∠B =______，∠ACD =________，由此你得到∠A +∠B _______∠ACD （填“>”、“<”或“=”）．AD CB➢ 知识点睛1. 三角形的__________________组成的角，叫做三角形的外角．2. 三角形外角定理：三角形的外角等于_________________________________________．已知：如图，∠1是△ABC 的一个外角． 求证：∠1=∠A +∠B ．ABCD 12证明：如图，∵∠A +∠B +∠2=180° （___________________________） ∠1+∠2=180°（___________________________）∴∠1=∠A +∠B （___________________________）➢ 精讲精练1. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，∠B =70°，∠BAD =60°，则∠ADC =_______．CB D AFEC DBA第1题图 第2题图2. 如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，∠A =60°，∠ACD =35°，∠ABE =20°，则∠BDC =______，∠BEC =_______．3. 如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，∠C =67°，∠CBD =33°，DE 平分∠ADB ，交AB 于点E ，则∠ADE =_______．EABDCE D CBA第3题图 第4题图4. 如图，AC ∥ED ，∠C =25°，∠B =35°，则∠E=_______．5. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=______．α6. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上一点，FE 的延长线交BC 的延长线于点G ．若∠A =45°，∠ADE =60°，∠CEG =40°，则∠EGH =______．A F DBCEGH第6题图OFE D C BA第6题图 第7题图7. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，BF平分∠ABC 交AC 于点F ，AE ，BF 相交于点O ．若∠BAC =50°，∠C =70°，则∠DAC =_____，∠AED =_____，∠BOE =_________．8. 如图，在△ABE 中，D 是BE 上一点，C 是AE 延长线上一点，连接CD ．若∠A =80°，∠B =35°，∠BDC =140°，求∠C 的度数．解：如图，∵∠BEC 是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴_____=_____+_____（______________________________） ∵∠A =80°，∠B =35°（已知） ∴∠BEC =_____+______ =______（等量代换）∵__________________________（外角的定义）∴∠BDC =_____+_____（______________________________） ∵∠BDC =140°（已知） ∴∠C =______-______ =______-______=______（___________________）9. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，点E 在BA 的延长线上，AD 平分∠EAC ．求证：AD ∥BC ．A B CD EE DA10.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC=∠B+2∠E．EAB C D11.如图，BE是∠ABC的平分线，AB∥CE，∠A=50°，∠E=30°，求△ABC的外角∠ACD的度数．AEB C D【参考答案】➢课前预习1.120°，120°，=➢知识点睛1.一边与另一边的延长线2.和它不相邻的两个内角的和三角形的内角和等于180°平角的定义等式的性质➢精讲精练1.130°2.50°3.95°，80°4.60°5.75°6.145°7.20°，85°，55°8.解：如图，∵∠BEC是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠BEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=80°，∠B=35°（已知）∴∠BEC=80°+35°=115°（等量代换）∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠BEC+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC=140°（已知）∴∠C=∠BDC-∠BEC=140°-115°=25°（等式的性质）9.证明：如图，∵∠EAC为△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠B=∠C（已知）∴∠EAC=∠C+∠C=2∠C（等量代换）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠EAC =2∠DAC （角平分线的定义） ∴∠C =∠DAC （等量代换）∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行） 10. 证明：如图，21EDBA∵∠BAC 为△ACE 的一个外角（外角的定义）∴∠BAC =∠1+∠E （三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∵∠2为△BCE 的一个外角（外角的定义）∴∠2=∠B +∠E （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和）∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线的定义） ∴∠1=∠B +∠E （等量代换） ∴∠BAC =∠B +∠E +∠E=∠B +2∠E （等量代换）11. 解：如图，∵AB ∥CE （已知）∴∠ABE =∠E （两直线平行，内错角相等） ∵∠E =30°（已知） ∴∠ABE =30°（等量代换） ∵BE 是∠ABC 的平分线（已知） ∴∠ABC =2∠ABE=2×30°=60°（角平分线的定义）∵∠ACD 是△ABC 的一个外角（外角的定义）∴∠ACD =∠A +∠ABC （三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和） ∵∠A =50°（已知） ∴∠ACD =50°+60°=110°（等量代换）。

三角形的外角习题及答案三角形是几何学中重要的一个概念，其性质和角度关系是我们学习的基础知识之一。

在这篇文章中，我将介绍一些与三角形外角相关的习题，并给出详细的答案解析。

一、基本概念回顾在开始解题之前，我们先来回顾一下有关三角形外角的基本概念。

对于任意一个三角形ABC来说，顶点A的外角定义为：外角A = 角BAC的补角外角A与角BAC的和为180度，即：外角A + 角BAC = 180度这个性质将会是我们解题的基础。

二、习题一题目：已知三角形ABC中，角A的外角为85度，求角BAC的度数。

解析：根据外角的定义，外角A与角BAC的和为180度。

所以我们可以列出等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件，可得：85度 + 角BAC = 180度然后解方程，得到：角BAC = 180度 - 85度 = 95度所以角BAC的度数为95度。

三、习题二题目：在三角形ABC中，角BAC的度数为45度，外角A为120度，求角B的度数。

解析：同样地，我们可以利用外角的定义来解题。

根据外角的性质，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：120度 + 45度 = 180度化简可得：外角A = 180度 - 45度 = 135度由于外角A是角B的补角，所以我们有等式：外角A + 角B = 180度带入已知条件，得到：135度 + 角B = 180度解方程可得：所以角B的度数为45度。

四、习题三题目：在三角形ABC中，角B的度数为55度，外角A的度数为145度，求角C的度数。

解析：同样地，我们可以利用外角的性质来解题。

根据外角的定义，我们可以得到等式：外角A + 角BAC = 180度带入已知条件得：145度 + 角BAC = 180度解方程可得：角BAC = 180度 - 145度 = 35度所以角BAC的度数为35度。

由于角BAC是角C的补角，所以我们有等式：角BAC + 角C = 180度带入已知条件，得到：35度 + 角C = 180度解方程可得：所以角C的度数为145度。

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)如图，已知//AB CD ，72A ∠=︒，58C ∠=︒，则E ∠=________．【答案】14︒【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等以及三角形的外角和定理计算即可．【详解】∵//AB CD ，72A ∠=︒,58C ∠=︒∴72DFE A ∠=∠=︒∴根据三角形外角定理725814E DFE C ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：14︒．【点睛】平行线的性质以及三角形的外角定理是解决本题的关键．82．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于_____．【答案】165°【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠1，根据三角形外角的性质求出∠2，根据邻补角的概念计算即可．【详解】解：∠1＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故答案为：165°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键.83．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．【答案】110°【解析】【分析】先延长直线，然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【详解】解：如图：延长直线：∵a 平移后得到直线b ，∴a ∥b ，∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，∴∠2-∠3=∠5=110°故答案为：110°．【点睛】本题考查平移问题，解答本题的关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质求角．84．如图，A ABC CB =∠∠，AD ，BD ，CD 分别平分ABC ∆的外角EAC ∠，内角ABC ∠，外角ACF ∠．以下结论：①//AD BC ；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 平分ADC ∠；⑤12BDC BAC ∠=∠．其中正确的结论有______________．（把正确结论序号填写在横线上）【答案】①②③⑤【解析】【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC ，∠EAC=2∠EAD ，∠ACF=2∠DCF ，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC ，∠EAC=∠ABC+∠ACB ，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【详解】解：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAC=2∠EAD ，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB ，∠ABC=∠ACB ，∴∠EAD=∠ABC ，∴AD ∥BC ，∴①正确；∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴②正确；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC=12∠EAC，∠DCA=12∠ACF，∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD）=180°-12（∠EAC+∠ACF）=180°-12（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）=180°-12（180°+∠ABC）=90°-12∠ABC，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-12∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠CBD=12∠ABC，∵CD平分∠ACF，∴∠DCF=12∠ACF，∴∠DCF-∠CBD=12∠ACF-12∠ABC∵∠BAC=∠ACF-∠ABC ∠BDC=∠DCF-∠CBD∴∠BDC=12∠BAC，⑤正确.故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考察学生的推理能力，有一定的难度．85．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____．【答案】45°【解析】【分析】反向延长DE交BC于M，如图，先根据平行线的性质求出∠BMD的度数，进而可得∠CMD的度数，然后利用三角形的外角定理解答即可．【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图，∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝75°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．86．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=32°，则∠2的度数为________【答案】28°【解析】【分析】添加辅助线后，根据平行线的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：延长直角边与直线相交，如图：∵两直线平行∠=∠=︒∴3132∵三角板是含30角的直角三角板∠=︒-︒=︒∴4903060∠=∠-∠=︒-︒=︒．∴243603228故答案是：28︒【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，题目较为简单，添加适当的辅助线是解题的关键．∠+∠+∠+∠+∠的度数为______度．87．如图，A B C D E【答案】180【解析】【分析】延长BD交AC于点G，先由三角形外角的性质得出∠CFG=∠EDF+∠E，∠CGF=∠A+∠B，再由三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：延长BD交AC于点G，∵∠CFG 是∵DEF 的外角，∠CGF 是∵ABG 的外角，∴∠CFG=∠EDF+∠E ，∠CGF=∠A+∠B ，∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠EDF+∠E=180°．故答案为：180．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．88．如图，已知DC 是ABC ∆中ACB ∠的外角平分线，则DCA ∠__________B （填“>”、“<”或“=”）【答案】>【解析】【分析】根据三角形的外角性质、角平分线的定义解答．【详解】解：DCE ∠是DCB ∆的一个外角，DCE B ∴∠>∠， DC 是ABC ∆中ACB ∠的外角平分线，DCE DCA ∴∠=∠，DCA B ∴∠>∠，故答案为：＞．【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．89．已知60ABC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，过点D 作//DP AB ，如果3PBD ABC ∠=∠，则DPB ∠=_______．【答案】40︒或100︒【解析】【分析】结合题意由点P 得位置不同画出相应的图形，再根据平行线的性质、角的倍分计算、三角形外角性质或三角形内角和定理即可求得答案．【详解】解：①当点P 在ABC ∠内部时，如图：∵60ABC ∠=︒，3PBD ABC ∠=∠∴20PBD ∠=︒∵//DP AB∴60PDC ABC ∠=∠=︒∴40DPB PDC PBD ∠=∠-∠=︒；②当点P 在ABC ∠外部时，如图：∵60ABC ∠=︒，3PBD ABC ∠=∠∴20PBD ∠=︒∵//DP AB∴60PDB ABC ∠=∠=︒∴180100DPB PDB PBD ∠=︒-∠-∠=︒；∴综上所述，40DPB ∠=︒或100DPB ∠=︒．故答案是：40︒或100︒【点睛】本题考查了根据已知条件画图、平行线的性质、角的倍分计算、三角形外角性质、三角形内角和定理以及分类讨论的思想方法，注意此题不要漏解．90．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=39°，则∠β的度数为_______．【答案】51°【解析】【分析】先根据三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠1，再根据两直线平行线同位角相等求出∠2，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠β的度数．【详解】解：如图，由直角三角板可知∠B=30°，∠A=60°，由直尺可知EF∥GH．∵∠B=30°，∠α=39°，∴∠1=∠B+∠α=69°，∵EF∥GH，∴∠2=∠1=69°，∵∠A=60°，∴∠β=180°-∠2-∠A=180°-69°-60°=51°，故答案为：51°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握相关定理，并且能正确识图完成角度之间的转换是解决此题的关键．。

人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)已知△ABC、△DEF是两个完全一样的三角形，其中∠ACB=△DFE=90°，△A=△D=30°.（1）将它们摆成如图①的位置（点E、F在AB上，点C在DF上，DE与AC相交于点G).求∠AGD的度数.（2）将图①的△ABC固定，把△DEF绕点F按逆时针方向旋转n°.①当△DEF旋转到DE△AB的位置时（如图2），n = ；②若由图①旋转后的EF能与△ABC的一边垂直，则n的值为 .【答案】（1）150°；（2）①60，②60或90或150.【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和与外角的性质可得∠DEA=∠DFE+∠D，∠AGD=∠A+∠DEA；（2）①根据平行线的性质可得∠EFA=∠E；②此题要分情况讨论：当EF∠AC时；当EF∠AB时；当EF∠BC时分别进行计算．试题解析：（1）∠∠DFE=90°，∠D=30°，∠∠DEA=30°+90°=120°，∠∠A=30°，∠∠DGA=120°+30°=150°；（2）∠∠∠DFE=90°，∠D=30°，∠∠E=60°，∠DE∠AB，∠∠E=∠EFA=60°，∠n=60，故答案为60；②当EF∠AC时，n=180-90-30=60，当EF∠AB时，n=90，当EF∠BC时，n=360-30-90-90=150，故答案为60或90或150．【点睛】本题主要考查了三角形内角与外角，以及三角形内角和，平行线的性质，关键是注意要考虑全面，不要漏解．92．如图，在△ABC中，点D在BC 上，点E 在AC 上，AD交BE于F. 已知EG∥AD交BC于G, EH⊥BE交BC于H，∠HEG = 50°.（1）求∠BFD的度数.（2）若∠BAD=∠EBC，∠C=41°，求∠BAC的度数.【答案】（1）∠BFD=40°；（2）∠BAC=99°．【解析】（1）根据垂直的定义可得∠BEH=90°，然后求出∠BEG=40°，再根据两直线平行线，同位角相等可得∠BFD=∠BEG；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．试题解析：（1）∠EH∠BE，∠∠BEH=90°，∠∠HEG=50°，∠∠BEG=40°，又∵EG∠AD，∠∠BFD=∠BEG=40°；（2）∠∠BFD=∠BAD+∠ABE，∠BAD=∠EBC，∠∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=40°，∠∠C=41°，∠∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-41°=99°．93．已知：如图，在△ABC中，△A＝90°，点D、E分别在AB、AC上，DE△BC，CF与DE的延长线垂直，垂足为F．（1)求证：△B＝△ECF ；（2）若△B＝55°，求△CED的度数．【答案】（1）见解析；(2) 145°【解析】【分析】（1）先由DE∠BC得出∠B=∠ADE，再根据∠A=90°得出∠ADE+∠AED=90°．由∠F=90°可知∠ECF+∠CEF=90°．由对顶角相等可知∠AED=∠CEF，故∠ADE=∠ECF，由此可得出∠B=∠ECF；（2）由（1）可知∠B=∠ECF=55°，故∠CED=∠F+∠ECF=90°+55°=145°．【详解】证明：（1）∠DE∠BC，∠∠B=∠ADE．∠∠A=90°，∠∠ADE+∠AED=90°．∠∠F=90°，∠∠ECF+∠CEF=90°．∠∠AED=∠CEF，∠∠ADE=∠ECF，∠∠B=∠ECF；（2）∠由（1）可知∠B=∠ECF=55°，∠∠CED=∠F+∠ECF=90°+55°=145°．94．如图，△ABC的角平分线相交于P，△A=m°,（1）若△A=40°,求△BPC 的度数；（2）设△ABC 的外角△CBD 、△BCE 的平分线相交于Q ， 且△A=m °，求△BQC 的度数（3）设△ABC 的外角△CBD 、△BCE 的n 等分线相交于R ，且△A=m °，△CBR=1n △CBD ，△BCR=1n△BCE ，求△BRC 的度数【答案】（1）110°（2）90°+12m ° （3）1n n ×180°-mn（此结果形式可以不同，只要正确皆可） 【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可； （2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可． 试题解析：解：（1）∠∠A =40°，∠∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°．∠BP 、CP 是角平分线，∠∠ABC =2∠PBC ，∠ACB =2∠PCB ，∠∠PBC +∠PCB =12（∠ABC +∠ACB ）==12×140°=70°，∠∠P =180°－70°=110°．（2）∠∠DBC =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∠∠DBC +∠BCD =2∠A +∠ABC +∠ACB =∠A +180°=m +180°．∠BQ ，CQ 是角平分线，∠∠DBC =2∠QBC ，∠BCE =2∠BCQ ，∠∠QBC +∠BCQ =12（∠DBC +∠ECB ）=12（m +180°）=90°+12m ．在△BCQ 中，∠Q =180°－（∠QBC +∠BCQ ）=180°-（90°+12m ）=90°-12m ．（3）由（2）得：∠DBC +∠BCD =m +180°，∠RBC +∠BCR =1n（∠DBC +∠ECB ）=1n （m +180°）．在△BCR 中，∠R =180°－（∠RBC +∠BCR ）=180°-1n （m +180°）=1180n mn n-⨯- ． 点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．95．认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题．探究1：如图(1)在△ABC 中，O 是△ABC 与△ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现△BOC=90°+12△A，理由如下：△BO和CO分别是△ABC和△ACB的角平分线，△△1=12△ABC，△2=12△ACB．△△1+△2=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A）=90°-12△A．△△BOC=180°-（△1+△2）=180°-（90°-12△A）=90°+12△A探究2：如图(2)中，O是△ABC与外角△ACD的平分线BO和CO的交点，试分析△BOC与△A有怎样的关系？请说明理由．【答案】∠BOC=12∠A.【解析】试题分析：根据提供的信息，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；试题解析：解：结论：∠BOC=12∠A．理由如下：∠BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∠∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACD．又∠∠ACD是∠ABC的一外角，∠∠ACD=∠A+∠ABC，∠∠2=1 2（∠A+∠ABC）=12∠A+∠1．∠∠2是∠BOC的一外角，∠∠BOC=∠2﹣∠1=12∠A+∠1﹣∠1=12∠A，即∠BOC=12∠A．点睛：本题考查了三角形外角的性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．96．已知直线12l l//，直线3l与1l、2l分别交于C、D两点，点P是直线3l上的一动点，（1）如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有312∠+∠=∠这一相等关系？试说明理由；（2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．【答案】（1）∠3+∠1=∠2成立．（2）∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2．【解析】试题分析：（1）∠3+∠1=∠2成立，理由如下：过点P作PE∥1l，利用两直线平行内错角相等得到1AEP ∠=∠， 根据1l ∥2l ，得到PE ∥2l ，再利用两直线平行内错角相等，根据2BPE APE ∠+∠=∠，等量代换即可得证；（2）∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2，理由为：过P 作PE ∥1l ，同理得到3BPE ∠=∠， 根据2BPE APE ∠-∠=∠， 等量代换即可得证；试题解析：(1)∠3+∠1=∠2成立，理由如下： 过点P 作PE ∥l 1， ∴∠1=∠AEP ， ∵l 1∥l 2， ∴PE ∥l 2， ∴∠3=∠BPE ， ∵∠BPE +∠APE =∠2， ∴∠3+∠1=∠2；(2)∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3−∠1=∠2，理由为： 过P 作PE ∥l 1， ∴∠1=∠APE ， ∵l 1∥l 2， ∴PE ∥l 2， ∴∠3=∠BPE ， ∵∠BPE −∠APE =∠2， ∴∠3−∠1=∠2.97．图中的两个图形是五角星和它的变形．(1)如图1是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；(2)图1中的点A向下移到BE上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD＋∠B ＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？证明你的结论．【答案】见解析【解析】3．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星形状，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°；（2）图（1）中的点A向下移到BE上时（如图（2））五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；试题分析：通过作辅助线，并利用三角形内角和定理及三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）求解．试题解析：解：（1）连接CD，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如图1：∵∠COD=∠BOE（对顶角相等），∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换），∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°．（2）无变化．理由如下：连接CD，得线段CD，并设BD和CE交于点O，如图2：∵∠COD=∠BOE（对顶角相等），∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代换），∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠CAD+∠ACE+∠ADB+∠ECD+∠BD C=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°．故∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E等于180°没有变化．98．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与FA交于点E，求∠E的度数．【答案】∠E＝45°.【解析】试题分析：设∠ABC=x°，再根据三角形外角的性质得出∠BAD=∠B+∠C=90°+x°，根据AF平分外角∠BAD可知∠DAF=12∠BAD=12（90°+x°），根据对顶角的性质得出∠EAG=∠DAF=12（90°+x°），根据BE平分∠ABC可知∠CBE=12∠ABC=12x°，故可得出∠AGE的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．试题解析：解：设∠ABC=x°．∵∠BAD是△ABC的外角，∠C=90°，∴∠BAD=∠ABC+∠C=90°+x°．∵AF平分外角∠BAD，∴∠DAF=12∠BAD=1 2（90°+x°），∴∠EAG=∠DAF=12（90°+x°）．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=12x°，∴∠AGE=∠BGC=90°﹣∠CBE=90°﹣12x°．∵∠E+∠EAG+∠AGE=180°，即∠E+12（90°+x°）+90°﹣12x°=180°，解得：∠E=45°．点睛：本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．99．如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D＝46°，求∠BCD的度数．【答案】见解析【解析】试题分析：根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．试题解析：解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∵∠D=46°，∴∠A=44°．∵∠BCD=∠A+∠B，∴∠BCD=44°+28°=72°．100．小红在数学课上学习了角的相关知识后，立即对角产生了浓厚的兴趣.她查阅书籍发现两个有趣的概念，三角形中相邻两条边的夹角叫做三角形的内角；三角形一条边的延长线与其邻边的夹角，叫做三角形的外角.小红还了解到三角形的内角和是180°，同时她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.于是，爱思考的小红在想，三角形的内角是否也具有类似的性质呢？三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？①尝试探究：（1）如图1，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？解：数量关系：∠l+∠2=180°+∠A理由：∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角∴∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠4∴∠1+∠2=360°-(∠3+∠4)∵三角形的内角和为180°∴∠3+∠4=180°-∠A∴∠l+∠2=360°-(180°-∠A)=180°+∠A小红顺利地完成了探究过程，并想考一考同学们，请同学们利用上述结论完成下面的问题.②初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=________；（3）如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，则∠P 与∠A有何数量关系？________________.（直接填答案）③拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，则∠P与∠1、∠2有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由.）【答案】（2）50°（3）∠A+2∠P=180°（4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°，理由见解析.【解析】试题分析：（2）根据（1）即可得出结论；（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，再由三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论；（4）延长线段BA、线段CD交于点Q，由（3）可知：∠Q+2∠P=180°．由（1）可知：∠1+∠2=180°+∠Q，整理即可得出结论．试题解析：解：（2）由（1）知：∠l+∠2=180°+∠C，∠∠2－∠C=180°－∠1=180°－130°=50°；（3）由（1）知：∠DBC+∠ECB=180°+∠A．∠∠P=180°－(∠PBC+∠PCB)=180°－12（∠DBC+∠ECB）=180°－12（180°+∠A）=90°－12∠A，∠∠A+2∠P=180°；（4）解：数量关系：∠1+∠2+2∠P=360°．理由如下：如图，延长线段BA、线段CD交于点Q，由（3）可知，∠Q+2∠P=180°．由（1）可知，∠1+∠2=180°+∠Q，∠(∠1+∠2-180°)+2∠P=180°，∠∠1+∠2+2∠P=360°．点睛：本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质．熟记有关定理结论是解答本题的关键．。

三角形的外角（习题）例题示范例1：已知：如图，点E 是直线AB ，CD 外一点，连接DE 交AB 于点F ，∠D =∠B +∠E ． 求证：AB ∥CD ．D CEA B F①读题标注 ②梳理思路要证AB ∥CD ，需要考虑同位角、内错角、同旁内角．因为已知∠D =∠B +∠E ，而由外角定理得∠AFE =∠B +∠E ，故∠D =∠AFE ，所以AB ∥CD ． ③过程书写 证明：如图，∵∠AFE 是△BEF 的一个外角（外角的定义）∴∠AFE =∠B+∠E （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠D =∠B +∠E （已知） ∴∠AFE =∠D （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，∠1=115°，∠A =40°，∠D =35°，则∠2=________．21E F DCBA2. 已知：如图，在△ABC 中，∠BAC =50°，∠C =60°，AD ⊥BC ，BE 是∠ABC 的平分线，AD ，BE 交于点F ，则∠AFB 的度数为____________．DC EA BFF BAEC Dα第2题图 第3题图3. 将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．904. 如图，已知∠A =25°，∠EFB =95°，∠B =40°，则∠D 的度数为_____________．FEDCB AD CEAB第4题图 第5题图5. 如图，已知AD 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线，∠B =30°，∠DAE =50°，则∠D =_______，∠ACB =_______．6. 如图，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，∠BDC =70°，求∠C 的度数． 解：如图，∵∠BDC 是△ABD 的一个外角 （_____________________） ∴∠BDC =∠A +∠ABD（_____________________） ∵∠A =40°，∠BDC =70°（_____________________）∴∠ABD =_______-________=________-________ =________（_____________________） ∵BD 平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC =2∠ABD=_____×______ =__________（_____________________）∴∠C =180°-∠A -∠ABC=180°-________-_______ =________（_____________________）第4题图D CABFEA7.已知：如图，CE是△ABC的一个外角平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A=60°，∠E=55°，求∠B的度数．8.已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠AED的度数．思考小结1.在证明过程中：（1）要证平行，找_______角、_______角、_______角．（2）要求一个角的度数：①由平行，想_______相等、________相等、__________互补；②由直角考虑互余，由平角考虑_______，由对顶角考虑____________；③若把一个角看作三角形的内角，考虑_______________________________；④若把一个角看作三角形的外角，考虑__________________E DCBA________________________．2.阅读材料欧几里得公理体系几何学创建的初期，内容是繁杂和混乱的．人们进行几何推理时，总是拿自己掌握的一些“基本事实”作为大前提去进行推理，而每个人心中的“基本事实”不尽相同．这就导致很多内容无法沟通，也没有统一的标准．这时，有必要将几何的内容，用逻辑的“锁链”整理、穿连起来．第一个完成这件工作的是古希腊数学家欧几里得（Euclid）．欧几里得知识渊博，数学造诣精湛，尤其擅长几何证明．当他意识到几何学有必要做出系统整理的时候，就开始着手编写自己的著作《原本》了．他的思路是这样的：首先给出一些最基本的定义，如“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”等；接着他列出了5条公设和5条公理作为推理的基本事实，而之后所有的推理都必须建立在这5条公设和5条公理基础上来进行．5条公设是：（1）从任意点到任意点作直线是可能的．（2）把有限直线不断沿直线延长是可能的．（3）以任意点为中心和任意距离为半径作一圆是可能的．（4）所有直角彼此相等．（5）若一直线与两条直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的另一点．5条公理是：（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．（2）等量加等量，总量仍相等．（3）等量减等量，余量仍相等．（4）彼此重合的东西是相等的．（5）整体大于部分．其中5条公设主要对作图进行了相应的规范，而5条公理则主要从代数推理上进行规定．欧几里得基于上述这些公设和公理，推导出了平面几何中几乎所有的结论，从而构成了一个完整的几何体系，我们称之为欧氏几何．而他的著作《原本》中关于平面几何的部分，被翻译成中文叫做《几何原本》，正是我们平面几何的原型．而欧几里得这种对几何知识进行系统化、理论化的总结方法就被称之为公理法，而《原本》正是公理化体系的最好阐释．【参考答案】巩固练习1.40°2.125°3.C4.20°5.20°，70°6.∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠A+∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=40°，∠BDC=70°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=70°-40°=30°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°（角平分线的定义）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-40°-60°=80°（三角形的内角和等于180°）7.解：如图，∵EF∥BC（已知）∴∠ECD=∠E（两直线平行，内错角相等）∵∠E=55°（已知）∴∠ECD=55°（等量代换）∵CE是△ABC的一个外角平分线（已知）∴∠ACD=2∠ECD=2×55°=110°（角平分线的定义）∵∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）∴∠ACD=∠A+∠B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=60°（已知）∴∠B=∠ACD-∠A=110°-60°=50°（等式的性质）8.解：如图，∵∠BDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠ABD+∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∵∠A=45°，∠BDC=60°（已知）∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°（等式的性质）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠ABD=2×15°=30°（角平分线的定义）∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=30°（等量代换）思考小结1.（1）同位、内错、同旁内．（2）①同位角、内错角、同旁内角；②互补，对顶角相等；③三角形的内角和等于180°．④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．。