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流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
空气动力学的数学模型和实验研究空气动力学是研究气流对物体运动的影响的一门学科。
它是现代航空、航天和汽车工业等重要领域的基础。
空气动力学的数学模型和实验研究在空气动力学的研究中起着至关重要的作用。
一、空气动力学的基本模型在研究空气动力学时，必须建立数学模型，以描述气流与物体之间的相互作用。
常用的模型包括流体力学和空气动力学模型。
流体力学是描述流体的运动规律和流量分布规律的一门学科，而空气动力学则是在流体力学的基础上探讨各种空气动力学现象的一门学科。
空气动力学的数学模型基于流体力学的方程式，其中最常用的是Navier-Stokes方程式和Bernoulli方程式。
Navier-Stokes方程式是描述无粘性流体运动的基本方程式，在空气动力学研究中，它可以帮助研究人员描述气流在物体表面的流动情况。
而Bernoulli 方程式是针对流速和压力的关系进行建模的一种方程式，它在描述气流运动时必不可少。
另外，空气动力学的数学模型还包含流场的数学表示方法，这些表示方法是建立在流场中流体力和质量守恒的基础上的。
由此可见，空气动力学的数学模型是包含多个方程式的模型。
二、空气动力学实验研究空气动力学的实验研究是通过测试和测量来检验空气动力学理论模型的正确性。
除了理论模型，实验研究还可以帮助研究人员发现航空、航天和汽车等领域存在的问题，并且探讨如何解决这些问题。
空气动力学实验研究主要涉及两个方面：物理实验和计算机模拟实验。
物理实验是直接在真实的环境中进行测量和测试，以获得真实的数据。
而计算机模拟实验则是在计算机环境下进行的，可以通过数学模型进行模拟计算，以支撑空气动力学研究。
物理实验和计算机模拟实验都是非常重要的，通常它们是相辅相成的。
空气动力学的实验研究可以在真实环境下进行或者在实验室中进行。
在真实环境下进行的实验研究可以直接获得实际数据并提供更精确的结果，但是它们通常更加昂贵、困难和危险。
在实验室中进行的实验研究则允许研究人员更加灵活地工作，在之前肯定的条件下能够提供有意义的数据。
高中物理中的双星模型主要涉及到天体力学中的双星系统，其中包括质点双星和球面双星两种情况。
以下是一些常见的双星模型公式总结：1. 万有引力定律（Newton's Law of Universal Gravitation）：
两个质点之间的引力可以由以下公式表示：
F =
G * (m1 * m2) / r^2
其中，F 是引力大小，G 是万有引力常数，m1 和m2 是两个质点的质量，r 是两个质点之间的距离。
2. 角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum）：
对于球面双星系统，其中一个球体的角动量可以通过以下公式计算：
L = I * ω
其中，L 是角动量，I 是惯性矩，ω 是角速度。
3. 开普勒定律（Kepler's Laws of Planetary Motion）：
开普勒定律描述了行星运动的规律，其中包括三个定律：
第一定律（椭圆轨道定律）：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
第二定律（面积速度定律）：在相等时间内，行星与太阳连线所扫过的面积是相等的。
第三定律（调和定律）：行星的公转周期的平方与行星到太阳平均距离的立方成正比。
这些公式和定律是在研究双星系统中应用最广泛的基本原理。
在实际应用中，还可能涉及到其他补充公式和计算方法，具体根据问题和情境而定。
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中的三个主要力学模型分别是：
1. 欧拉方程：描述流体的宏观运动，基于连续性方程和动量守恒方程。
该模型假定流体是连续分布的，无黏性、无压缩性和外部力场作用的理想流体。
2. 非牛顿流体模型：描述流体内部粘性特性与剪切速率的关系，包括粘弹性、塑性和黏度剪切等因素。
该模型适用于高浓度悬浮体、聚合物溶液等非牛顿流体。
3. 雾化模型：用于描述将一液滴或者液体流的分离成许多小液滴的现象，在工程领域得到广泛应用。
该模型包括通过理论和实验方法求解流体表面张力、液滴间距和液滴尺寸分布等参数。
非线性科学，球形闪电和一般的三维非线性波的电磁孤子模型张一方（云南大学物理系，昆明650091）摘要：非线性科学是当代科学发展的主要前沿之一。
由此得到的地震震级-周期公式预报的地震，不断被证实。
非线性引力波的预言也被证实。
球形闪电是大自然中一个未解之谜。
由非线性电磁场、非线性光学、一般的非线性电磁相互作用及其他非线性方程可以定量导出三维非线性波的电磁孤子模型，进而由此推测球形闪电应该是电磁孤子的特例。
关键词：非线性；球形闪电；电磁场；孤子；波中图分类号：P315.02文献标志码：A文章编号：1673-2928（2021）02-0090-05收稿日期：2020-9-15基金项目：国家自然科学基金项目（11664044）。
作者简介：张一方（1947-），男，云南人，教授，主要研究理论物理和交叉科学。
DOI:10.19329/ki.1673-2928.2021.02.0222021年3月第20卷第2期（总第110期）安阳工学院学报Journal of Anyang Institute of TechnologyMar,2021Vol.20No.2（Gen.No.110）非线性科学是当代科学发展的主要前沿之一。
众所周知，非线性科学有3个研究热点：混沌、孤子和分形。
1988年笔者提出一种粒子的分形模型，并推广分数维为复数维[1]。
对此《人民日报海外版》2002年4月29日第6版和哈尔滨工业大学出版社2004年出版的《探索未知世界》物理篇中68-69页都做过报道。
近年，笔者进一步展开了更深入的研究[2-3]。
本文讨论了某些非线性理论，并基于一般的非线性电磁场及其非线性方程定量导出三维非线性波的电磁孤子模型，由此推测球形闪电应该是电磁孤子的特例。
1某些非线性理论基于非线性流体力学方程等，可以导出笔者1989年提出的地震震级-周期公式[4-9]：T =T 010-b (M 0-M )（1）基于此可以在一定的时空范围对大地震做出定量预言。
流体力学的理论模型与应用研究流体力学是研究流体运动规律的一门学科，它涉及到液体和气体在不同条件下的流动行为。
在科学研究和工程应用中，流体力学的理论模型和应用研究起着重要的作用。
本文将探讨流体力学的理论模型以及其在不同领域的应用研究。
一、流体力学的理论模型1.1 流体的基本性质流体力学的理论模型建立在流体的基本性质之上。
流体具有流动性、变形性和连续性等特点。
根据流体的性质，可以将流体力学的理论模型分为牛顿流体力学模型和非牛顿流体力学模型。
1.2 牛顿流体力学模型牛顿流体力学模型是最基本的流体力学模型，它假设流体的粘度是恒定的，且满足牛顿黏度定律。
根据这一模型，可以建立流体的速度场和压力场的数学描述，从而研究流体的流动行为。
1.3 非牛顿流体力学模型非牛顿流体力学模型考虑了流体的非线性、非恒定性和非均匀性等特性。
在非牛顿流体力学模型中，流体的粘度是变化的，并且与流体的剪切速率和应力有关。
这一模型在研究高分子溶液、胶体悬浮液等复杂流体时具有重要的应用价值。
二、流体力学的应用研究2.1 工程领域中的应用流体力学在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，通过流体力学的模型可以研究建筑物的风荷载和地震荷载，从而提高建筑物的抗风和抗震能力。
此外，流体力学还可以用于研究水电站的水力发电机组、风力发电机组等能源设备的设计和优化。
2.2 生物医学领域中的应用流体力学在生物医学领域中也有着重要的应用。
例如，在心血管系统的研究中，通过流体力学的模型可以模拟血液在血管中的流动，进而研究血管疾病的发生机制和治疗方法。
此外，流体力学还可以用于研究呼吸系统的气流分布、药物输送等问题。
2.3 环境科学领域中的应用流体力学在环境科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在大气环境研究中，通过流体力学的模型可以模拟大气中的气流运动，从而研究大气污染的扩散和传播规律。
此外，流体力学还可以用于研究水环境中的水流运动、水污染的传播等问题。
三、流体力学研究的挑战与前景流体力学研究面临着许多挑战，例如复杂流体的模拟和计算、多尺度流动的研究等。
双星模型知识点总结双星模型（Dual Star Model）是一种用于研究宇宙中双星系统的模型，这是一种包括一颗恒星和另一颗天体（通常是另一个恒星）的天体系统。
在宇宙中，双星系统是非常普遍的一种天体系统。
在这种系统中，两颗天体围绕着彼此运转，并由于引力相互作用而产生一系列复杂的现象。
因此，研究双星系统可以帮助我们更深入地了解宇宙的一些基本物理规律，例如引力相互作用、恒星演化、宇宙起源等。
双星系统的构成双星系统通常由两种类型的天体组成，分别为主要成员（Primary）和次要成员（Secondary）。
主要成员通常是一颗恒星，而次要成员则可以是其他类型的天体，例如行星、白矮星或中子星。
在一些情况下，双星系统的两颗天体都是恒星，这样的系统被称为双星。
双星的形成双星系统的形成有多种机制。
一种常见的形成机制是原始星团或星云中的恒星形成，这些恒星在形成过程中可能由于相互间的引力相互作用而形成双星系统。
另一种形成机制是两颗恒星在宇宙中产生的碰撞或者合并。
除此之外，还有一种形成机制是一颗恒星向另一颗恒星捕获而形成。
双星系统分类根据双星系统的性质和构成，我们可以根据多种分类方法对双星系统进行分类。
其中一个常见的分类方法是根据双星系统的物理间距来分类。
按照这种分类方法，双星系统可以被分为紧密双星系统和松散双星系统。
紧密双星系统是指两颗天体之间距离很近，它们之间的引力相互作用非常显著，造成一系列复杂的演化过程和现象。
而松散双星系统的两颗天体之间间距较大，它们之间引力相互作用较小。
另一个常见的分类方法是根据双星系统的构成类别来分类。
按照这种分类方法，我们可以将双星系统分为天体-恒星双星系统、恒星-恒星双星系统、行星-行星双星系统等等。
双星的运动规律双星系统的运动规律是由两颗天体间的引力相互作用决定的。
在双星系统中，两颗天体围绕着彼此运转。
根据牛顿引力定律，两颗天体之间的引力与它们之间的质量和距离成反比。
因此，双星系统中的天体将沿着椭圆轨道相互运转。
流体力学和双星形成的非线性动力学模型张一方云南大学物理系，昆明（650091）E-mail ：yifangch@摘 要：基于星云的流体力学和磁流体动力学，用非线性方程的定性分析理论讨论了双星的形成。
非线性相互作用和旋转取到非常关键的作用。
此外，Lorenz 模型可以由流体力学方程导出，模型中的双翼正好形成双星。
而线性方程仅仅形成单星。
关键词：双星，非线性动力学，流体力学，Lorenz 模型，磁流体动力学1. 引言近年来，双星系统的普遍存在和解释成为天文学中一个令人关注的问题[1-7]。
Itoh 等讨论了具有强场的相对论性紧密双星的运动方程[8]。
Taniguchi 等讨论了广义相对论中同步的无转动双中子星的准平衡序列[9]。
Büning 等用物理模型计算了在闭合双星中质量转移的数值稳定性[10]。
Pittard 等推广了正在碰撞缠绕双星（colliding-wind binaries, CWBs ）的幅射模型[11]。
Rensbergen 等重新分析了一类相互作用双星的演化[12]。
云南天文台黄润乾院士对双星系统进行了长期研究，并且1999年对大质量双星系统的非守恒演化作了系统总结[13]。
基于星云的旋转吸积盘的基本方程，我们应用非线性方程的定性分析理论得到了双星形成的非线性动力学模型[14]。
在一定条件下，一对奇点作为演化结果相应于双星。
而在其它条件下这些方程给出单个中心点，就相应于单星。
这一模型和著名的Boss 等计算机模拟的结果是一致的[15,16]。
但是，计算机模拟的定量过程仍然是一个问题。
进而我们定性指出用Lorenz 方程可以形成双星，其中具有两“翼”的Lorenz 吸引子相应于双星[14]。
Steinitz 和Farbiash 确定了双星中自旋（旋转速度）间的相互关系，并显示出自旋关系度与组成的分离是无关的。
这一结果可以作为例子联系于星云形成的双星Zhang’s 非线性模型[17]。
本文我们应用星云早期状态的流体动力学和别的非线性理论论证双星的形成，并证明非线性相互作用是其形成的必要条件。
2. 双星形成的非线性流体力学模型基于早期星云的流体力学方程和磁流体动力学方程，非线性相互作用将在二维平面形成某些奇点。
当Jeans 不等式λπρ>(/)/v G s 12成立时，引力不稳定，并且原始星云将塌缩。
我们模型的基础是恒星起源于星云，而主要由氢和氦等离子体组成的星云服从非线性的磁流体动力学方程。
它们的一般形式是著名的Alfver 方程[18]:graddivV V gradp B V ce F V V t V dt dV 3])([ηµ∂∂ρρ+∆+−×+=∇+=. (1) 这是具有磁力项的Navier-Stokes 方程。
在二维星云的吸积盘中，方程变为),(3)()(2222y v x u x u yx x p v B c e F u y v x u t u z x ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µρ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−+++−= (2) )(3)()(2222y v x u y v yx y p u B c e F v y v x u t v z y ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µρ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−−++−=. (3) 旋转作用显出后，方程可以重新写为[19]：)(3)()(2122222y v x u x u yx x p v B c e F y u x v v x V t u z x ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−++−+∂∂−=, (4) )(3)()(2122222y v x u y v yx y p u B c e F y u x v u y V t v z y ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−−+−−∂∂−=. (5) 此时旋转角速度是)(21yu x v ∂∂∂∂ω−=. (6) 由于非线性流体力学方程的严格解迄今仍是一个未解决的难题，为得到定量的结果，对上述非线性方程组进行合理简化。
假设粘滞力为零,0==ηµ压强的梯度为零gradp=0，并且22)2/(,cV V gV V =∇=∇。
令 F=--kV 是Stokes 阻力和b c eB a k z ==ρρ/,/, 设u=X 和v=Y ，这样方程(4)和(5)只是速度的函数：)()( '222Y X c bY aX XY Y g X +−+−−=, (7) )()('222Y X c bX aY X XY g Y +−−−+−=. (8) 其中第一和第四项表示旋转力，第二项是与公式F b v u r th =−(/)432πρ[20]一致的阻力，第三项是磁力。
应用通常的场论方法，例如类似于Frances-Chini-Tebaldi 法，偏微分方程(4)和(5)可以化为两个常微分方程(7)和(8)。
它们的特征矩阵是：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−+−−+−−−−cY a gX cX b gX gY cY b gX gY cX a gY 222222. (9) 相应的特征方程是：λλ20−+=T D , (10) 其中 T=--2a—(g+2c)(X+Y),22222))(23())(2()2(4)(2b Y X c g b Y X g c a XY g c g Y X g a D +−−−+++−+++=, 和222222224))(23(4)241218())(744(4b Y X c g b XY gc c g Y X g cg c D T −−−+−+++−+=−=∆通常X’=0和Y’=0 的方程组有四个奇点。
这些点可以相应于多星。
对X Y 0000==,, 022>+=b a D ，042<−=∆b 时是焦点，如果a>0和T=--2a<0，它是稳定的汇；或如果a<0和T>0，它是不稳定的源。
对一般的情况：(a). 对D<0，一个相应的奇点是鞍点。
(b). 对D>0，如果∆<0，点是焦点；如果∆>0，点是结点。
(c). 对T<0，点是稳定的汇；对T>0，点是不稳定的源。
(d). 当非线性项和旋转作用略去时，唯一的奇点(0,0)是一个焦点，系统相应于单星。
Durisen 等[21]讨论的基础也是方程(1)，仅仅其中磁力项被忽略。
3. Lorenz 模型和双星非线性动力学的结论进一步，已知Lorenz 方程可以直接从Navier-Stokes 方程(1)导出。
Lorenz 吸引子有两 “翼”，它相应于双星。
当磁场和力F 被略去，并且η=0时，二维的方程(1)结合具有对流的连续性方程：ρρρρ∆+=++k w g N w u y x t )/(2. (11) 然后，获得Saltzman 模型[22]。
由此就能够得到著名的Lorenz 模型[23]。
它的方程组是； dx/dt=-vx+ky, (12)dy/dt=ax-by-xz, (13) dz/dt=-cz+xy, (14) 其中x 是流体速率，y 和z 分别是星云温度差的不均匀和均匀部分。
这些是Navier-Stokes 方程的简化结果。
通常我们假设各种参数都是正值。
如果方程组(12)(13)(14)中的各个参数取适当的数值，就可以获得漂亮的Lorenz 奇怪吸引子。
该吸引子具有某些类似于Paredes 等的从一个中心核喷出两极，最后合成图形的特性[24]。
应用Lorenz 模型的混沌机制，我们从二维平面星云讨论双星系统的形成。
如果dx/dt=0，并且x=(k/v)y=ey ，方程(13)和(14)变为：dy/dt=(ae-b)y-eyz, (15)dz/dt=2ey cz +−. (16) 用非线性方程的定性分析理论，方程(15)和(16)的特征矩阵是：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−− 2 c ey ey ez b ae . (17) 它的特征方程是：02)()(2222=+−−−−−−−=+−y e ez b ae c c ez b ae D T λλλλ. (18) 对dy/dt=0和dz/dt=0 的平面系统有三个奇点（平衡点）：O(0,0)，A 和 B()/(,/)(e b a e b ae c −−±)。
对O 点，两个特征根为1λ=ae-b 和2λ= -c 。
当ae>b ，它是一个鞍点；当 ae<b ，它是一个结点。
对A 和B 点。
T=-c<0时，它们是两个稳定的汇， 2/])88([2,1b ae c c c +−±−=λ。
当8ae>c+8b ，它们是两个焦点；当8ae<c+8b ，它们是两个结点。
对8ae>8b+c>8b ，系统具有鞍-焦点；对8b+c>8ae>8b ，系统具有鞍-结点；对8b+c>8b>8ae ，系统具有结-结点。
在这些情况，可以形成双星。
这些鞍点是某些分开不同吸引区域的临界点，而这些区域形成不同的星。
Lorenz 模型的天文学意义在于星云可以经过混沌，变成一对奇怪吸引子，最后由于自身的引力而形成双星。
Mardling[4]也讨论过在潮汐浮获双星的情况中，混沌的作用。
当奇点简并为单个点时，系统相应于单星[14]，例如在(7)和(8)中略去旋转时。
按照定性分析理论，一般的线性方程只有一个奇点，所以此时仅仅形成一个单星。
更一般地说，在天体的演化过程中，任何稳定的星应该是一个稳定的不动点。
假设演化方程是y=f(x)，其相应的不动点方程就是x*=f(x*)。
因此，如果f(x)是n 次非线性函数，则可能有n 个（稳定的或不稳定）的不动点。
而如果f(x)=ax+b 是线性函数，则只能有一个不动点x*=b/(1-a)，即此时只能形成一个单星。
由于非线性相互作用是普遍存在的，所以双星和多星也是非常普通的。
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