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华师版八上数学精选计算专题21道一．解答题（共21小题）1．计算：（1）|﹣1|﹣|﹣2|+|﹣|（2）2．计算：++﹣3．计算：（1）|1﹣|+×﹣（2）﹣++．4．计算（1）﹣﹣（2）+|1﹣|﹣+（﹣）2．5．计算或化简（1）﹣+|﹣2|﹣（）2（2）﹣22÷（﹣|﹣2|﹣）×（﹣1）2﹣．6．计算：（﹣）2﹣﹣2+82．7．计算：8．计算（1）+﹣（）2（2）|﹣1﹣|﹣|﹣|+|﹣|9．计算：（1）﹣+（2）+|﹣1|﹣（+1）10．计算：（1）（2﹣）（2）（3）×（4）（2）﹣（）11．计算：（1）；（2）．12．（1）计算：；（2）计算：2（）﹣|﹣2|﹣．13．计算：（1）；（2）+．14．计算：（1）（﹣1）2+；（2）．15．计算：（1）；（2）．16．计算：（1）3×2﹣（﹣8）÷2；（2）﹣22+（）2×（）．17．（1）计算：×9+（﹣）2﹣|5﹣|；（2）求x的值：﹣（x﹣3）3＝1．18．计算：（1）﹣（3+2）﹣（1﹣3）；（2）++|﹣2|．19．先化简，再求值（2m+n）（2m﹣n）﹣（2m﹣n）2+2n（m+n），其中m＝+2，n＝﹣2．20．计算或分解因式：（1）计算：；（2）分解因式：①8a3﹣2a；②x3﹣4x2y+4xy221．计算：．华师版八上数学精选计算专题21道参考答案与试题解析一．解答题（共21小题）1．计算：（1）|﹣1|﹣|﹣2|+|﹣|（2）【考点】实数的运算．【分析】（1）首先利用绝对值的性质计算绝对值，然后再计算实数的加减即可；（2）本题涉及开立方、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣（2﹣）+，＝﹣1﹣2+﹣，＝2﹣3；（2）原式＝0.5﹣2﹣＝﹣．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．2．计算：++﹣【考点】实数的运算．【分析】首先计算开平方和开立方，然后再计算有理数的加减即可．【解答】解：原式＝4++﹣5＝4+3﹣5＝2．【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握二次根式的化简和立方根．3．计算：（1）|1﹣|+×﹣（2）﹣++．【考点】实数的运算．【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义化简得出答案；（2）直接利用立方根以及算术平方根的定义化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣×﹣＝﹣1﹣＝﹣；（2）原式＝2﹣2﹣+＝0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．4．计算（1）﹣﹣（2）+|1﹣|﹣+（﹣）2．【考点】实数的运算．【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义化简得出答案；（2）直接利用立方根以及算术平方根的定义化简得出答案．【解答】解：（1）﹣﹣＝+﹣＝；（2）+|1﹣|﹣+（﹣）2＝6+﹣1+2+5＝12+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．5．计算或化简（1）﹣+|﹣2|﹣（）2（2）﹣22÷（﹣|﹣2|﹣）×（﹣1）2﹣．【考点】实数的运算．【分析】（1）根据开平方、开立方、绝对值可以解答本题；（2）根据绝对值、有理数的乘除法和减法可以解答本题．【解答】解：（1）﹣+|﹣2|﹣（）2＝3﹣3+2﹣﹣2＝；（2）﹣22÷（﹣|﹣2|﹣）×（﹣1）2﹣＝﹣4÷（﹣2﹣）×﹣＝＝＝4﹣＝．【点评】本题考查实数的运算，解答本题的关键是明确实数运算的计算方法．6．计算：（﹣）2﹣﹣2+82．【考点】实数的运算．【分析】先算乘方、开方，再算加减．【解答】解：原式＝2﹣（﹣4）﹣6+64＝2+4﹣6+64＝64【点评】本题考查了有理数的混合运算．解决此题目的过程中，易混淆（﹣）2与﹣2的运算结果而出错．7．计算：【考点】实数的运算．【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质和算术平方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣2++1﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．8．计算（1）+﹣（）2（2）|﹣1﹣|﹣|﹣|+|﹣|【考点】实数的运算．【分析】（1）本题涉及立方根、乘方、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2））首先计算绝对值，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣＝1﹣2＝﹣1；（2）原式＝1+﹣（）+，＝1+﹣++﹣，＝1+．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．9．计算：（1）﹣+（2）+|﹣1|﹣（+1）【考点】实数的运算．【分析】（1）首先计算开平方和开立方，再计算加减即可；（2）首先计算二次根式的化简、绝对值，再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式＝5﹣（﹣3）+＝8；2）原式＝2+﹣1﹣﹣1＝0．【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握二次根式、绝对值等考点的运算．10．计算：（1）（2﹣）（2）（3）×（4）（2）﹣（）【考点】实数的运算．【分析】（1）利用乘法分配律进行计算即可；（2）首先化简，然后再合并同类二次根式即可；（3）首先化简，然后再合并同类二次根式即可；（4）首先去括号，然后再合并同类二次根式即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣1；（2）原式＝4++3＝7；（3）原式＝5﹣2+1＝3+1；（4）原式＝2+﹣+＝+2．【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握二次根式的性质．11．计算：（1）；（2）．【考点】实数的运算．【分析】（1）根据立方根、算术平方根、绝对值的运算将各式化简然后求和计算．（2）先算括号内运算，然后先算乘法再从左到右计算．【解答】解：（1）原式＝﹣2+3+﹣1+2×＝1+．（2）原式＝﹣1﹣（1+8）×＝﹣2．【点评】本题考查实数的运算，解题关键是掌握实数的化简与运算法则．12．（1）计算：；（2）计算：2（）﹣|﹣2|﹣．【考点】绝对值；算术平方根；立方根；实数的运算．【分析】（1）根据立方根以及算术平方根的定义解决此题．（2）由，，得＝．【解答】解：（1）＝＝3．（2）＝＝＝．【点评】本题主要考查立方根、算术平方根、绝对值以及实数的混合运算，熟练掌握立方根、算术平方根、绝对值以及实数的混合运算是解决本题的关键．13．计算：（1）；（2）+．【考点】实数的运算．【分析】（1）先化简，再计算加减法；（2）先算二次根式、三次根式，再计算加减法．【解答】解：（1）原式＝7﹣6+（﹣2）＝7﹣6﹣2＝﹣1；（2）原式＝7﹣3+﹣1+﹣1＝2＝．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、二次根式、三次根式等知识点的运算．14．计算：（1）（﹣1）2+；（2）．【考点】实数的运算．【分析】（1）利用有理数的乘方法则和算术平方根的意义化简计算即可；（2）利用有理数的乘方法则和算术平方根的意义，立方根的意义化简计算即可．【解答】解：（1）原式＝1+4＝5；（2）原式＝﹣4×﹣2+3×（﹣1）＝﹣2﹣2﹣3＝﹣7．【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，立方根，实数的乘方法则，确定实数运算的运算顺序与符号是解题的关键．15．计算：（1）；（2）．【考点】实数的运算．【分析】（1）根据绝对值，二次根式的性质，算术平方根，立方根计算即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式展开化简即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣2+2﹣＝2；（2）原式＝12﹣（）2+（）2﹣2+12＝1﹣5+5﹣2+1＝2﹣2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．16．计算：（1）3×2﹣（﹣8）÷2；（2）﹣22+（）2×（）．【考点】实数的运算．【分析】（1）先算乘除，再算减法；（2）先算乘方，化简算术平方根，然后算乘法，最后算加法．【解答】解：（1）原式＝6+4＝10；（2）原式＝﹣4+（﹣）2×（﹣）＝﹣4+×（﹣）＝﹣4﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，实数的混合运算，理解算术平方根的概念，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．17．（1）计算：×9+（﹣）2﹣|5﹣|；（2）求x的值：﹣（x﹣3）3＝1．【考点】立方根；实数的运算．【分析】（1）先进行立方根，绝对值，平方运算，再求和即可；（2）将方程化为（x﹣3）3＝﹣64，再求解即可．【解答】解：（1）×9+（﹣）2﹣|5﹣|＝×9+4﹣5+＝3+4﹣5+＝2+；（2）﹣（x﹣3）3＝1，方程两边同时乘以﹣64得，（x﹣3）3＝﹣64，则有x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握立方根运算，绝对值运算是解题的关键．18．计算：（1）﹣（3+2）﹣（1﹣3）；（2）++|﹣2|．【考点】实数的运算．【分析】（1）先去括号化简，再相加减可求解；（2）根据立方根，算术平方根，绝对值的定义化简，再合并即可求解．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝﹣3+2+2﹣＝1﹣．【点评】本题主要考查实数的运算，掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键．19．先化简，再求值（2m+n）（2m﹣n）﹣（2m﹣n）2+2n（m+n），其中m＝+2，n＝﹣2．【考点】整式的混合运算—化简求值；分母有理化．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝4m2﹣n2﹣（4m2﹣4mn+n2）+2mn+2n2＝4m2﹣n2﹣4m2+4mn﹣n2+2mn+2n2＝6mn，当m＝+2，n＝﹣2时，原式＝6mn＝6×（+2）×（﹣2）＝6×1＝6．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．计算或分解因式：（1）计算：；（2）分解因式：①8a3﹣2a；②x3﹣4x2y+4xy2【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用．【分析】（1）本题涉及绝对值、二次根式化简、三次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）①此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解；②此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）①8a3﹣2a＝2a（4a2﹣1）＝2a（2a+1）（2a﹣1）；②x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣4xy+4y2）＝x（x﹣2y）2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式、绝对值等知识点的运算．21．计算：．【考点】实数的运算．【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而利用实数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝3+5﹣﹣（2﹣）＝3+5﹣﹣2+＝4+．【点评】此题主要考查了立方根的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．。
华师大版八年级（上）期末数学试卷及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分}1．81的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．﹣9D．92．计算x2•x3的结果正确的是（）A．x5B．x6C．x8D．53．已知是正整数，则实数n的最小值是（）A．3B．2C．1D．4．“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是（）A．B．C．D．5．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL7．（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（）A．4x2+1B．1﹣4x2C．4x2D．﹣4x2﹣18．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF ＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．实数8的立方根是．10．分解因式：mn+4n＝．11．（8a3b﹣4a2b2）÷2ab＝．12．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上的数字﹣2上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，则BD的长为．14．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是．三、解答题（共10小题，共78分）15．（6分）计算：16．（6分）把4a3b+4a2b2+ab3分解因式．17．（6分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以AB为边的△ABC，使△ABC是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上）18．（7分）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．19．（7分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+1）（x﹣1），其中x＝．20．（7分）某城市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理雾霾最有效”，有以下四个选项：A．绿化造林；B．汽车限行；C．拆除燃煤小锅炉；D．使用清洁能源．调查过程随机抽取了部分市民进行调查，要求市民只允许选择其中的一项，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的市民共有多少人？（2）请你将统计图1补充完整．（3）求图2中D项目对应的扇形的圆心角的度数．（4）请你结合自己的实际情况对有效治理雾霾提几点建议（至少写一条）．21．（8分）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．22．（9分）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？（3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要元钱．23．（10分）【教材呈现】数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【试一试】如图1，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于线段DE长的一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C；第三步：作射线OC．射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下（如图2）：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．（1）请写出小萱同学作法的完整证明过程．（2）当∠MON＝60°时，量得MN＝4cm，则△MON的面积是cm2．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5cm，点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB向终点B运动过．点P作PQ⊥AC于Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作长方形PQMN，使PN＝2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段BP的长度．（2）当点N落在BC边上时，求t的值．（3）用含t的代数式表示S．（4）当点C与长方形PQMN的顶点所连的直线平分△ABC的面积时，直接写出t的值．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分}1．81的算术平方根是（）A．3B．﹣3C．﹣9D．9【分析】根据算术平方根的定义求解可得．【解答】解：∵92＝81，∴81的算术平方根是9，故选：D．2．计算x2•x3的结果正确的是（）A．x5B．x6C．x8D．5【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．【解答】解：x2•x3＝x2+3＝x5．故选：A．3．已知是正整数，则实数n的最小值是（）A．3B．2C．1D．【分析】根据正整数的定义得出18n为1时，实数n的最小，进而得出答案．【解答】解：是正整数，则实数n的最小值为．故选：D．4．“早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”字出现的频率是（）A．B．C．D．【分析】利用频率的计算方法计算即可．【解答】解：“早”字出现的频率是：＝，故选：D．5．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．故选：A．6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL【分析】根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．【解答】解：∵在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA），故选：B．7．（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（）A．4x2+1B．1﹣4x2C．4x2D．﹣4x2﹣1【分析】根据平方差公式求出即可．【解答】解：（1﹣2x）（1+2x）＝12﹣（2x）2＝1﹣4x2，故选：B．8．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF ＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.5【分析】由角平分线的性质可得∠GEB＝∠BEF＝34°，由同位角相等，两直线平行可得CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF，∵∠1＝∠BEF，∴CD∥AB，∴∠EGF＝∠GEB，∴∠GEF＝∠EGF，∴△EFG是等腰三角形，∴FG＝EF＝3，故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．实数8的立方根是2．【分析】根据立方根的定义解答．【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案为：2．10．分解因式：mn+4n＝n（m+4）．【分析】直接提取公因式n分解因式即可求解．【解答】解：mn+4n＝n（m+4）．故答案为：n（m+4）．11．（8a3b﹣4a2b2）÷2ab＝4a2﹣2ab．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（8a3b﹣4a2b2）÷2ab＝8a3b÷2ab﹣4a2b2÷2ab＝4a2﹣2ab．故答案为：4a2﹣2ab．12．如图，在Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，点A恰好落在数轴上的数字﹣2上，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是﹣．【分析】依据勾股定理即可得到OB的长，进而得出OP的长，即可得到点P所表示的数．【解答】解：∵Rt△AOB中，∠BAO＝90°，AB＝1，AO＝2，∴OB＝＝，又∵OB＝OP，∴OP＝，又∵点P在原点的左边，∴点P表示的数为，故答案为：．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，AC＝2，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，则BD的长为2．【分析】连接AD，利用基本作法判断MN垂直平分AB，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝22.5°，再判断△ACD 为等腰直角三角形，则AD＝2，从而得到BD的长．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，连接AD，则DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠CDA＝22.5°+22.5°＝45°，∵∠C＝90°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∴BD＝2．故答案为2．14．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是80°．【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°．三、解答题（共10小题，共78分）15．（6分）计算：【分析】先进行二次根式的除法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝+2﹣＝+2﹣＝2．16．（6分）把4a3b+4a2b2+ab3分解因式．【分析】首先提公因式ab，再利用完全平方进行二次分解即可．【解答】解：原式＝ab（4a2+4ab+b2）＝ab（2a+b）2．17．（6分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在如图的网格中画出两个以AB为边的△ABC，使△ABC是等腰直角三角形．（要求：点C在格点上）【分析】根据等腰直角三角形的定义以及数形结合的思想解决问题即可．【解答】解：如图，△ABC即为所求作．18．（7分）如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．【分析】先由角的和差性质证得∠DAE＝∠CAB，再根据SAS定理证明△ADE≌△ACB，最后根据全等三角形的性质得出DE＝CB．【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，即∠DAE＝∠CAB，在△ADE和△ACB中，，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴DE＝CB．19．（7分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+1）（x﹣1），其中x＝．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式算乘法，再合并同类项，再求出答案即可．【解答】解：（x﹣3）2+（x+1）（x﹣1）＝x2﹣6x+9+x2﹣1＝2x2﹣6x+8，当x＝时，原式＝2×（）2﹣6×+8＝12﹣6．20．（7分）某城市对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理雾霾最有效”，有以下四个选项：A．绿化造林；B．汽车限行；C．拆除燃煤小锅炉；D．使用清洁能源．调查过程随机抽取了部分市民进行调查，要求市民只允许选择其中的一项，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的市民共有多少人？（2）请你将统计图1补充完整．（3）求图2中D项目对应的扇形的圆心角的度数．（4）请你结合自己的实际情况对有效治理雾霾提几点建议（至少写一条）．①建议绿色出行，尽量乘坐公共交通工具上班，减少开车的次数，②加强植树造林，增加绿化面积，提高绿化率，还绿水青山．【分析】（1）从两个统计图可得，“A组”的有20人，占调查人数的10%，可求出调查人数；（2）用总人数减去其它项目的人数求出“C组”的人数，即可补全条形统计图；（3）用360°乘以D项目所占的百分比即可得出答案；（4）从减少尾气排放、增加植树造林等方面提出意见和建议即可．【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），答：本次调查的人数为200人；（2）C项目的人数有：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），补全条形统计图如图所示：（3）360°×＝72°，答：图2中D项目对应的扇形的圆心角的度数为72°；（4）①建议绿色出行，尽量乘坐公共交通工具上班，减少开车的次数，②加强植树造林，增加绿化面积，提高绿化率，还绿水青山．故答案为：①建议绿色出行，尽量乘坐公共交通工具上班，减少开车的次数，②加强植树造林，增加绿化面积，提高绿化率，还绿水青山．21．（8分）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．求阴影部分的面积．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，进而可得出结论．【解答】解：如图，连接AC．∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5．∵CD＝12，AD＝13，AC＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24．22．（9分）某公司门前一块长为（6a+2b）米，宽为（4a+2b）米的长方形空地要铺地砖，如图所示，空白的甲、乙两正方形区域是建筑物，不需要铺地砖．两正方形区域的边长均为（a+b）米．（1）求铺设地砖的面积是多少平方米；（2）当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是多少？（3）在（2）的条件下，某种道路防滑地砖的规格是：正方形，边长为0.2米，每块1.5元，不考虑其他因素，如果要购买此种地砖，需要7575元钱．【分析】（1）长方形空地的面积减去建筑物A、B的面积即可；（2）把a＝2，b＝3时代入计算即可；（3）计算出需要的地砖的块数，再求出总金额．【解答】解：（1）铺设地砖的面积为：（6a+2b）（4a+2b）﹣2（a+b）2＝24a2+20ab+4b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2＝22a2+16ab+2b2（平方米），答：铺设地砖的面积为22a2+16ab+2b2平方米；（2）当a＝2，b＝3时，原式＝22×22+16×2×3+2×32＝202（平方米），答：当a＝2，b＝3时，需要铺地砖的面积是202平方米；（3）202÷0.22×1.5＝7575（元），故答案为：7575．23．（10分）【教材呈现】数学课上，胡老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【试一试】如图1，∠AOB为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．第一步：在射线OA、OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于线段DE长的一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C；第三步：作射线OC．射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线．【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS．【问题2】小萱同学发现只利用直角三角板也可以作∠AOB的角平分线，方法如下（如图2）：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP，则OP为∠AOB的平分线．（1）请写出小萱同学作法的完整证明过程．（2）当∠MON＝60°时，量得MN＝4cm，则△MON的面积是4cm2．【分析】【问题1】根据三角形全等的SSS定理解答；【问题2】（1）证明Rt△OPN≌Rt△OPM，根据全等三角形的性质证明；（2）根据等边三角形的性质求出ON，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出OH，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：【问题1】胡老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS，故答案为：SSS；【问题2】（1）在Rt△OPN和Rt△OPM中，，∴Rt△OPN≌Rt△OPM（HL），∴∠NOP＝∠MOP，∴OP为∠AOB的平分线；（2）∵∠MON＝60°，OM＝ON，∴△MON为等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝4（cm），∵OM＝ON，OP为∠AOB的平分线，∴NH＝HM＝MN＝2（cm），由勾股定理得，OH＝＝＝2（cm），∴△MON的面积＝×MN×OH＝×4×2＝4（cm2），故答案为：4．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5cm，点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB向终点B运动过．点P作PQ⊥AC于Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作长方形PQMN，使PN＝2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段BP的长度．（2）当点N落在BC边上时，求t的值．（3）用含t的代数式表示S．（4）当点C与长方形PQMN的顶点所连的直线平分△ABC的面积时，直接写出t的值．【分析】（1）利用勾股定理求出AB，利用线段和差定义求出PB即可．（2）根据AQ+QM＝AC，构建方程求出t即可．（3）分两种情形：当0＜t≤时，当＜t＜5时，分别求解即可．（4）分两种情形：当CN平分△ABC是面积时，MN＝CM＝t，根据AQ+QM+MC＝5，构建方程求解即可．当CP平分△ABC面积时，AP＝PB，可得t＝．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5cm，∴AB＝＝5（cm），∵AP＝t（cm），∴PB＝AB﹣AP＝（5﹣t）（cm）．（2）当点N落在BC边上时，AQ+QM＝AB＝5，∴t+2t＝5，∴t＝．（3）当0＜t≤时，S＝2t2．当＜t＜5时，S＝t•（4﹣t）＝﹣t2+4t．综上所述，S＝．（4）当CN平分△ABC是面积时，MN＝CM＝t，∵AQ+QM+MC＝5，∴t+2t+t＝5，∴t＝．当CP平分△ABC面积时，AP＝PB，此时t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．。
BC A第14章《勾股定理》精选专项应用题一、填空题： 1、为了庆祝元旦，八(11)班的同学做了许多拉花装饰教室，小佳抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是 . 2、如图所示，有一块三角形土地，其中∠C ＝90°，AB ＝39米， BC ＝36米，则其面积是 . 3、有一个长为40cm ，宽为30cm 的长方形洞口，环卫工人想用一个 圆盖盖住此洞口，那么圆盖的直径至少是 . 4、下列条件能判断三角形是直角三角形的是 . (填番号) ①三内角的比为3:4:5； ②三内角的比为1:2:3；③三边的比为3:4:5；④三边的比为8:15:17. 5、若三角形三边的平方之比是下列各组数，则是直角三角形的是 . (填番号) ①1:1:2；②1:3:4；③ 9:16:25；④16:25:40 6、若一个三角形三边的长分别为6cm 、8cm 、10cm ，则其 最短边上的高是 ，最长边上的高是 . 7、如图所示，在某建筑物的A 处有一个标志物， A 离地面9米，在离建筑物12米处有一个探照灯B ， 该灯发出的光正好照射到标志物上，则灯离标志物 米. 8、小芳的叔叔家承包了一个长方形鱼塘，已知其面积是350平方米，其对角线长为30米.若要建围栏，则要求鱼塘的周长，它的周长是 米. 9、公园内有两棵树，其中一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米，一只小鸟从一 棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞 米. 10、如果把一个直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的3倍，那么斜边扩大到原来的 ____倍，周长扩大到原来的____倍，面积扩大到原来的____倍.11、若△ABC 的三边长分别是a =1，b =2，c =3，则∠A=____º，∠B=____º.12、某三角形三条边的长分别为9cm 、12cm 、15cm三角形所拼成的长方形的周长是______，面积是_____. 13、右图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 的最短路程是_______.14、如图，直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积 分别为5和11，则b 的面积为_______. 15、在△ABC 中，∠C=90°，BC=60cm ，CA=80cm ，一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，需要______分的时间.16、已知x 、y 为正数，且0)3(4222=-+-y x ，若以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形， 那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为______.17、如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8，若将该长方形折叠，使C 点与A 点重合，则折叠后痕迹EF 的长为______.18、如图1所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 正好落在BC 边上F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分面积为_______． (图1)(图2) (图3)19、如图2，一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行cm. 20、如图3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上， 已知AB=6，BC=10，重合部分△EBD 的面积为________． 21、如右图所示，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB=5km ，BC=12km ，AC=13km.要从B 修一条公路BD 直达AC. 公路 的造价为26000元/km ，修这条公路的最低造价是 ． 22、第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示 的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA 1A 2 是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 2024A 2025=1， 则OA 2025= ．23、如图，一个机器人从点O 出发，向正东方向走3米到达A 点，再向正北方向走6米到达B 点，再向正西方向行走9米到达点C ，再向正南方向行走12米到达点D ，再向正东方向行走15米到达点E ，按此规律下去，当机器人走到F 点时，离O 点的距离是 ．二、解答题： 1、如图所示，AB 是一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐桃子，一只猴子从D 往上爬到树顶A ，又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处下滑到B ，又沿B 跑到C ，已知两只猴子所通过的路程均为15米，求树高AB.2、在6米高的柱子顶端有只老鹰，看到一条蛇从距离柱子底端18米处的地方向柱子的底 端的蛇洞游来，老鹰立即扑下.若它们的速度相等，问老鹰在离蛇洞多远处能抓住蛇(假设老鹰按直线飞行).A E DB F CB C A E DC ’ 2 1 A B CD AD C AE B 3、在平静的湖面上有棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐 至水面，已知水草移动的水平距离是6分米，求这里的水深是多少？ 4、小明用六根木棍搭成如图所示的图形.若AC ⊥BD 于E ，AB=8，BC=6，DE=7，△ADC 的面积为35，求△ABC 的面积. 5、如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合， 折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。
第13章全等三角形一、选择题1．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS3．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC5．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a和b的数量关系为（）A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=16．如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④9．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PBC．点A、B到PQ的距离不相等 D．∠APQ=∠BPQ10．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS二、填空题（共4小题）11．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．12．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为．13．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是°．14．如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= ．三、解答题（共16小题）15．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．16．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）17．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．18．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．（1）作图：①过B作AC的平行线BH；②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．19．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你证明他们做法的正确性．20．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）求证：BD平分∠CBA．21．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：DE=BF．22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AP，当∠B为度时，AP平分∠CAB．24．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．25．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE ⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．26．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）27．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF =S△BDE，请直接写出相应的BF的长．28．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．29．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．30．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【考点】作图—基本作图；平行线的判定．【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．【解答】解：∵∠DPF=∠BAF，∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．故选：A．【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．2．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】全等三角形的应用．【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．3．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A．B．C．D．【考点】作图—基本作图．【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．【解答】解：根据分析可知，选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．故选：A．【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此选择答案即可．【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．5．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a和b的数量关系为（）A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质．【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得6a+2b﹣1=0，然后再整理可得答案．【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；点P的横纵坐标互为相反数，则P点横纵坐标的和为0，故6a+2b﹣1=0（或﹣6a=2b﹣1），整理得：6a+2b=1，故选B．【点评】此题主要考查了基本作图﹣角平分线的做法以及坐标与图形的性质：点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．6．如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行【考点】作图—基本作图；平行线的判定．【分析】根据两直线平行的判定方法得出其作图依据即可．【解答】解：如图所示：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是：作出∠NCO=∠O，则CN∥AO，故作图依据是：内错角相等，两直线平行．故选：B．【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线判定，正确掌握作图基本原理是解题关键．7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．【解答】解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．8．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；中心对称图形．【分析】根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．【解答】解：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，∴AB=BC，∴BD垂直平分AC，故此小题正确；②在△ABC与△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴AC平分∠BAD，故此小题正确；③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；④∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．故选C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．9．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PBC．点A、B到PQ的距离不相等 D．∠APQ=∠BPQ【考点】作图—基本作图．【分析】根据角平分线的作法进行解答即可．【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．故选C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键．10．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．【分析】根据作图的过程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC．【解答】解：如图，连接EC、DC．根据作图的过程知，在△EOC与△DOC中，，△EOC≌△DOC（SSS）．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．二、填空题11．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；压轴题．【分析】通过作图得到CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为线段AB的垂直平分线．【解答】解：∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．）故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．【点评】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．12．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为105°．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案为：105°．【点评】本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．13．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是50 °．【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．【解答】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴CE=AE，∴∠C=∠CAE，∵AC=BC，∠B=70°，∴∠C=40°，∴∠AED=50°，故答案为：50．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．14．如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE= 2 ．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】连结FD，根据等边三角形的性质，由△ABC为等边三角形得到AC=AB=6，∠A=60°，再根据点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，则AD=BD=AF=3，DP=2，EF为△ABC的中位线，于是可判断△ADF为等边三角形，得到∠FDA=60°，利用三角形中位线的性质得EF∥AB，EF=AB=3，根据平行线性质得∠1+∠3=60°；又由于△PQF为等边三角形，则∠2+∠3=60°，FP=FQ，所以∠1=∠2，然后根据“SAS”判断△FDP≌△FEQ，所以DP=QE=2．【解答】解：连结FD，如，∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°，∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，AB=6，PB=1，∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF为△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF为等边三角形，∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°，∵△PQF为等边三角形，∴∠2+∠3=60°，FP=FQ，∴∠1=∠2，∵在△FDP和△FEQ中，∴△FDP≌△FEQ（SAS），∴DP=QE，∵DP=2，∴QE=2．故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．三、解答题15．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．【考点】全等三角形的应用；勾股定理的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．【解答】（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．16．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：OM平分∠BOA ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．【专题】作图题．【分析】根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，根据全等三角形的判定和性质得到答案．【解答】解：结论：OM平分∠BOA，证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，在△COM和△DOM中，，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，∴OM平分∠BOA．【点评】本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺规作图的步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．【考点】作图—基本作图；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案；（2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC．由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°．由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．18．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．（1）作图：①过B作AC的平行线BH；②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）根据平行线及垂线的作法画图即可；（2）根据ASA定理得出△DEC≌△DFB即可．【解答】解：（1）作图如下：①如图1；②如图2：（2）△DEC≌△DFB证明：∵BH∥AC，∴∠DCE=∠DBF，又∵D是BC中点，∴DC=DB．在△DEC与△DFB中，∵，∴△DEC≌△DFB（ASA）．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．19．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你证明他们做法的正确性．【考点】全等三角形的应用．【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性．【解答】证明：如图，由做法知：在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）∴AB=ED即他们的做法是正确的．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．20．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）求证：BD平分∠CBA．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题．【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，以大于AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可．【解答】解：（1）如图1所示：（2）连接BD，如图2所示：∵∠C=60°，∠A=40°，∴∠CBA=80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠A=∠DBA=40°，∴∠DBA=∠CBA，∴BD平分∠CBA．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．21．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：DE=BF．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．【专题】作图题；证明题．【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得结论．【解答】解：（1）答题如图：（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵EF垂直平分线段BD，∴BO=DO，在△DEO和三角形BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴DE=BF．【点评】本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答本题的关键，难度中等．22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．【考点】作图—基本作图；平行线的判定．【专题】作图题．【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．【解答】解：（1）如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．。
第11章数的开方一、选择题1 .在-3, 0, 4,亚S这四个数中，最大的数是（）A. 3 3B. 0C. 4D. .2 .下列实数中，最小的数是（）A. 3 3B. 3C. J-D. 03 .在实数1、0、-1、-2中，最小的实数是（）A. 2 2B. - 1C. 1D. 04 .实数1, - 1,-二，0,四个数中，最小的数是（）^-1A. 0B. 1C. - 1D.-25 .在实数-2, 0, 2, 3中，最小的实数是（）A. - 2B. 0C. 2D. 36 . a, b是两个连续整数，若a＜行＜b,则a, b分别是（）A. 2, 3B. 3, 2C. 3, 4D. 6, 87 .估算屈-2的值（）A.在1到2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D.在4至U 5之间8 .在已知实数：-1, 0,寺，-2中，最小的一个实数是（）A. - 1B. 0C.D. - 29 .下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A. - 5B. ：C. 1D. 410 .在-2, 0, 3,正这四个数中，最大的数是（）A. - 2B. 0C. 3D.11 .在1, -2, 4, V5这四个数中，比0小的数是（）A. 2 2B. 1C.eD. 412 .四个实数-2, 0,-正，1中，最大的实数是（）A. - 2B. 0C. -「:D. 113 .与无理数例最接近的整数是（）A. 4B. 5C. 6D. 714 .如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数-2、1、2、3,则表示数3 -诋的点P应落在线段（）A. AO上B. OB上C. BC上D. CD上15 .估计与。
介于（）£>■A. 0.4与0.5之间B. 0.5与0.6之间C. 0.6与0.7之间D. 0.7与0.8之间16 .若m=^x （ - 2）,则有（）A. 0<m< 1B. - 1<m< 0C. - 2< m< - 1D. -3<m< - 217 .如图，表示的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A. C与DB. A与BC. A与CD. B与C18 .与1+而最接近的整数是（）A. 4B. 3C. 2D. 119 .在数轴上标注了四段范围，如图，则表示也的点落在（）A.段①B.段②C.段③D.段④20 .若a= (- 3) 13— (—3) 14, b= ( — 0.6 ) 12- (-0.6) 14, c= (—1.5)11—(― 1.5) 13,则下列有关a、b、c的大小关系，何者正确？( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a21 .若k<面< k+1 (k是整数)，则k=( )A. 6B. 7C. 8D. 922 .估计版x.5+/强的运算结果应在哪两个连续自然数之间( )A. 5 和6 B, 6 和7 C, 7 和8 D. 8 和923 .估计J五的值在( )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间二、填空题24 .把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 .25 .若a<在<b,且a、b是两个连续的整数，则a b=.26 .若两个连续整数x、y满足xC+1<y,则x+y的值是.27 .黄金比与! \ (用“>”、“=”填空)28 .请将2、萱、逐这三个数用连结起来 .29 .6的整数部分是.30.实数历-2的整数部分是.第11旗数的开方参考答案与试题解析一、选择题1 .在-3, 0, 4,我这四个数中，最大的数是（A. - 3B. 0C. 4D.二【考点】实数大小比较.【分析】根据有理数大小比较的法则进行判断即可.【解答】解：在-3, 0, 4,黄这四个数中，-3c 05凤＜4,最大的数是4.故选C.【点评】本题考查了有理数大小比较的法则，解题的关键是牢记法则，正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小是本题的关键.2 .下列实数中，最小的数是（）A. - 3B. 3C.D. 0【考点】实数大小比较.【分析】在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点即可得出结论.【解答】解：如图所示：故选A.【点评】本题考查的是实数的大小比较，利用数形结合求解是解答此题的关键.3 .在实数1、0、-1、-2中，最小的实数是（）A. - 2B. - 1C. 1D. 0【考点】实数大小比较.【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点进行解答即可.【解答】解：如图所示：;由数轴上各点的位置可知，-2在数轴的最左侧，四个数中-2最小.故选A.【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大是解答此题的关键.4 .实数1,-1,-亍，0,四个数中，最小的数是（）A. 0B. 1C. - 1D. - 3【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据正数〉0>负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小解答即可. 【解答】解：根据正数〉0>负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，可得1>0> y>- 1,所以在1, -1, -^,0中，最小的数是-1.1.1故选：C.【点评】此题主要考查了正、负数、0和负数间的大小比较.几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，5.在实数-2, 0, 2, 3中，最小的实数是（）A. - 2B. 0C. 2D. 3【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据正数大于0, 0大于负数，可得答案.【解答】解：-2<0<2< 3,最小的实数是-2,故选：A.【点评】本题考查了实数比较大小，正数大于0, 0大于负数是解题关键.6 . a, b是两个连续整数，若a<邛<b,则a, b分别是（）A. 2, 3B. 3, 2C. 3, 4D. 6, 8【考点】估算无理数的大小.【分析】根据也<阴<«,可得答案.【解答】解：根据题意，可知V4<V7<V9,可得a=2, b=3.故选：A.【点评】本题考查了估算无理数的大小，卜反<有是解题关键.7 .估算后-2的值（）A.在1到2之间B.在2到3之间C.在3到4之间D.在4至U 5之间【考点】估算无理数的大小.【分析】先估计两的整数部分，然后即可判断亚-2的近似值.【解答】解：.「5<V27<6,..・3〈后—2<4.故选C.【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.8 .在已知实数：-1, 0, -2中，最小的一个实数是（）A. - 1B. 0C. - -D. - 2【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，由此可得出答案.【解答】解：-2、- 1、0、1中，最小的实数是-2.故选：D.【点评】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键.9 .下列四个实数中，绝对值最小的数是（）A. - 5B. :C. 1D. 4【考点】实数大小比较.【分析】计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可.【解答】解：| — 5|=5; | 一北」3，|1|=1 , |4|=4 ,绝对值最小的是1.故选C.【点评】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，注意先运算出各项的绝对值.10 .在-2, 0, 3,遍这四个数中，最大的数是（）A. - 2B. 0C. 3D.【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据正数大于0, 0大于负数，可得答案.【解答】解：-2＜0＜遍＜3,故选：C.【点评】本题考查了实数比较大小，俗＜3是解题关键.11 .在1, -2, 4,%这四个数中，比0小的数是（）【考点】实数大小比较.【专题】常规题型.【分析】根据有理数比较大小的法则：负数都小于0即可选出答案.【解答】解：-2、1、4、厌这四个数中比0小的数是-2,故选：A.【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是熟练掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小.12 .四个实数-2, 0,-鱼，1中，最大的实数是（）A. 2 2B. 0C. - :D. 1【考点】实数大小比较.【分析】根据正数大于0, 0大于负数，正数大于负数，比较即可.【解答】解：: —2〈—丑<0<1,「•四个实数中，最大的实数是1.故选：D.【点评】本题考查了实数大小比较，关键要熟记：正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.13 .与无理数J五最接近的整数是（）【考点】估算无理数的大小.【分析】根据无理数的意义和二次根式的性质得出强〈际〈府,即可求出答案. 【解答】解：: 晒〈底〈历,・•・如最接近的整数是/病，二6,故选：C.【点评】本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道仃!在5和6之间，题目比较典型.14.如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数-2、1、2、3,则表示数3 -诋的点P应落在线段（）A. AO上B. OB上C. BC上D. CD上【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.【分析】根据估计无理数的方法得出0<3-“<1,进而得出答案.【解答】解：: 2（炳<3,• .0< 3-泥< 1,故表示数3 -通的点P应落在线段OB上.故选：B.【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，得出小的取值范围是解题关键.15 .估计考」介于（）A. 0.4与0.5之间B. 0.5与0.6之间C. 0.6与0.7之间D. 0.7与0.8之间【考点】估算无理数的大小.【分析】先估算黄的范围，再进一步估算与斗，即可解答.【解答】解：: 2.22=4.84, 2.32=5.29,・•.2.2<我< 2.3 ,2. 3 - 1=0.6 ,—三—=0.65近一 1 .,.0.6<X2^<0.65 .所以选U介于0.6与0.7之间.故选：C.【点评】本题考查了估算有理数的大小，解决本题的关键是估算四的大小.16.若m=yx （ - 2）,则有（）A. 0VmK 1B. - 1<rm< 0C. - 2< mK - 1D. -3<m< - 2【考点】估算无理数的大小.【分析】先把m化简，再估算也大小，即可解答.【解答】解；m岑x （—2） =-6,-2< -我< -15故选：C.【点评】本题考查了公式无理数的大小，解决本题的关键是估算正的大小.17.如图，表示干的点在数轴上表示时，所在哪两个字母之间（）A. C与DB. A与BC. A与CD. B与C【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.【专题】计算题.【分析】确定出7的范围，利用算术平方根求出中的范围，即可得到结果. 【解答】解：: 6.25 <7< 9,・•.2.5〈氏3,则表示书的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间.故选A【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.18.与1+后最接近的整数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【考点】估算无理数的大小.【分析】由于4<5<9,由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平方数，再估算与1+"最接近的整数即可求解.【解答】解：: 4<5<9,「.2< V5< 3.又5和4比较接近，・••加最接近的整数是2,.•・与1+"最接近的整数是3,故选：B.【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.19.在数轴上标注了四段范围，如图，则表示乖的点落在（）A.段①B.段②C.段③D.段④【考点】估算无理数的大小；实数与数轴.【分析】根据数的平方，即可解答.【解答】解：2.62=6.76, 2.72=7.29, 2.8 2=7.84, 2.9 2=8.41, 32=9,7.84 <8< 8.41 ,8〈斥2.9,・•.\ ・，的点落在段③，故选：C.【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方.20.若a= (- 3) 13— (—3) 14, b= ( — 0.6 ) 12- (-0.6) 14, c= (—1.5)11—(― 1.5) 13,则下列有关a、b、c的大小关系，何者正确？( )A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a【考点】实数大小比较.【分析】分别判断出a-b与c-b的符号，即可得出答案.【解答】解：: a—b=(-3) 13—(—3) 14—(― 0.6) 12+ (― 0.6) 14=- 313-314-112+-14<05a< b,・ c— b= (― 1.5) 11— (—1.5) 13—( — 0.6) 12+ (—0.6) 14= (—1.5) 11+1.513 -0.612+0.614> 0,c> b,c> b>a.故选D.【点评】此题考查了实数的大小比较，关键是通过判断两数的差，得出两数的大小.21.若k<V而<k+1 (k是整数)，则k=( )A. 6B. 7C. 8D. 9【考点】估算无理数的大小.【分析】根据倔=9, 7100=10,可知9〈如<10,依此即可得到k的值.【解答】解：: k<屈<k+1 (k是整数)，9<风<10,• ・ k=9.故选：D.【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算西的取值范围，从而解决问题.22 .估计血X.电+/强的运算结果应在哪两个连续自然数之间（）A. 5 和6 B . 6 和7 C. 7 和8 D. 8 和9【考点】估算无理数的大小；二次根式的乘除法.【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算.【解答】解：6X.祗++VIQ26X亭+第=2+第，/6< 2+3/2 < 7,.•.Vsx成耐的运算结果在6和7两个连续自然数之间，故选：B.【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.最后估计无理数的大小.23 .估计JTT的值在（）A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间【考点】估算无理数的大小.【专题】计算题.【分析】由于9<11<16,于是帆后,从而有3<Vn<4.【解答】解：: 9<11<16,.•.凤叵3c Vn< 4.故选c.【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.二、填空题24 .把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为-小〈揖</ .【考点】实数大小比较.【专题】计算题.【分析】先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小.【解答】解：7的平方根为-阴，阴；7的立方根为;沂，所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为- ^<V T<VT.故答案为：-田〈轲〈沂.【点评】本题考查了实数大小比较：正数大于0,负数小于0;负数的绝对值越大，这个数越小.25 .若a<&<b,且a、b是两个连续的整数，则a b= 8 .【考点】估算无理数的大小.【分析】先估算出巡的范围，即可得出a、b的值，代入求出即可.【解答】解：.「2<遥<3,a=2, b=3,a b=8.故答案为：8.【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出通的范围.26 .若两个连续整数x、y满足x<,+1<y,则x+y的值是7 .【考点】估算无理数的大小.【分析】先估算近的范围，再估算近+1,即可解答.【解答】解：3C同<4,. x< V5+1<y,•.x=3, y=4,x+y=3+4=7故答案为：7.【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算道的范围.27 .黄金比与白> ' （用“>"、“=”填空）【考点】实数大小比较.【分析】根据分母相同，比较分子的大小即可，因为2Vm<3,从而得出泥T>1,即可比较大小.【解答】解：.「2〈近<3,/. 1< V5- 1<2,・建富… 2 2,故答案为：>.【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握,在哪两个整数之间，再比较大小.28 .请将2、当、道这三个数用连结起来左》函>2 .【考点】实数大小比较.【专题】存在型.【分析】先估算出门的值，再比较出具大小即可.【解答】解：:旄=2.236, 1=2.5 ,.•.£＞芯＞2.故答案为：手＞泰＞2.【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟记点=2.236是解答此题的关键.29 .旧的整数音份是3 .【考点】估算无理数的大小.【分析】根据平方根的意义确定后的范围，则整数部分即可求得.【解答】解：: 9＜13＜16,「•3＜工＜4,「•旧的整数部分是3.故答案是：3.【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.30 .实数幅-2的整数部分是3 .【考点】估算无理数的大小.【分析】首先得出我的取值范围，进而得出场-2的整数部分.【解答】解：: 5＜疝＜6,・.厄-2的整数部分是：3.故答案为：3.【点评】此题主要考查了估计无理数大小，得出收的取值范围是解题关键.。
华师大版八年级上册数学第13章全等三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列命题正确的是（）A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2、如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A.8B.8C.4D.63、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（）A.5B.6C.7D.84、如图,已知在△ABC中,AB=AC,给出下列条件,不能使BD=CE的是( )A.BD和CE分别为AC和AB边上的中线B.BD和CE分别为∠ABC和∠ACB 的平分线C.BD和CE分别为AC和AB边上的高D.∠ABD=∠BCE5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2 ；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、在等腰△ABC中，AB＝AC，O为不同于A的一点，且OB＝OC，则直线AO与底边BC的关系为（）A.平行B.垂直且平分C.斜交D.垂直不平分7、如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于（）A.60°B.50°C.45°D.30°8、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则下列结论正确的是（）A.2α+∠A=180°B.α+∠A=90°C.2α+∠A=90°D.α+∠A=180°9、用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45º”，应先假设这个直角三角形中（）A.有一个锐角小于45ºB.每一个锐角都小于45ºC.有一个锐角大于45ºD.每一个锐角都大于45º10、如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②③④11、等腰三角形的两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )A.9cmB.12 cmC.12 cm或15 cmD.15 cm12、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D 点，则∠DBC的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.30°13、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（）A.6B.9C.10D.1214、已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15、如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠FB.∠A=∠EDFC.BC∥EFD.∠B=∠E二、填空题(共10题，共计30分)16、在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF 与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=________．（结果保留根号）17、如图，在 3×3 的正方形网格中标出了∠1 和∠2，则∠2－∠1=________°18、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为________.19、如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于D，E点，且AC＝EC，则∠BAC＝________.20、已知等腰中，，，，在线段上，是线段上的动点，的最小值是________.21、如图，内接于，C为弧的中点，若，则________ .22、如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作 Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ:AB=3:4. 直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=________cm．23、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，沿着BE将△ABE折叠，点A刚好落在BF上，若AB=2，则AD=________．24、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=________时，△AOP为直角三角形；当∠A=________时，△AOP为等腰三角形．25、如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=80°，AB= AD=DC,则∠C=________三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．27、CD∥AB，OA＝AB＝BC，∠BCD＝40°，求∠COD的度数28、有红、蓝、黄、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包好，在桌子上排成一排，五个人猜各包里珠子的颜色.甲猜：第二包是紫色，第三包是黄色；乙猜：第二包是蓝色，第四包是红色；丙猜：第一包是红色，第五包是白色；丁猜：第三包是蓝色，第四包是白色；戊猜：第二包是黄色，第五包是紫色；猜完后?打开纸包一看，每人都猜对了一种，并且每包都有一个人猜对.请你也猜一猜他们各猜中了哪一种颜色的珠子?29、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰的垂直平分线.求∠DBC 的度数.30、如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC，交BC 交于点E，交AD于点F，连接AE、CF，求证：四边形AECF是菱形．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、D4、D5、C6、B7、A8、A9、D10、C11、D12、A13、B14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
图 1E F BAD 华东师大版八年级（上）典型试题汇编参考答案1、（1）观察图形：如图1，ABC ∆中，，，，，BC AE AB CD BAC AC AB ⊥⊥︒=∠=45垂足分别为D 、E ，CD 与AE 交于点F .①写出图1中所有的全等三角形_________________； ②线段AF 与线段CE 的数量关系是_________________； （2）问题探究：如图2，ABC ∆中，BC AB BAC =︒=∠，45，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，垂足为D ，AD 与BC 交于点E .求证：CD AE 2= （3）拓展延伸：如图3，ABC ∆中，BC AB BAC =︒=∠，45，点D 在AC 上，BAC EDC ∠=∠21，CD DE ⊥，垂足为E ，DE 与BC 交于点F .求证：CE DF 2=解：（1）观察图形：①ACE ABE ∆≅∆，CDB ADF ∆≅∆；②CE AF 2=； （2）问题探究：证明：延长AB 、CD 交于点G ，如图2所示： ∵AD 平分BAC ∠ ∴GAD CAD ∠=∠ ∵CD AD ⊥∴︒=∠=∠90ADG ADC 在ADC ∆和ADG ∆中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠GAD CAD ADAD ADG ADC ∴()ASA ADG ADC ∆≅∆ ∴GD CD = 即CD CG 2=∵︒=∠45BAC ，BC AB = ∴︒=∠90ABC ∴︒=∠90CBG ∴︒=∠+∠90BCG G ∵︒=∠+∠90BAE G ∴BCG BAE ∠=∠ 在ABE ∆和CBG ∆中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=︒=∠=∠BCG BAG CBAB CBG ABG 90 图 2E B AG∴CBG ADC ∆≅∆（ASA ） ∴CD CG AE 2==（3）拓展延伸：证明：作BC DG ⊥于点H ，交CE 的延长线于G ∵BC AB BAC =︒=∠，45 ∴BC AB ⊥ ∴AB DG //∴︒=∠=∠45BAC GDC ∴︒=∠=∠5.2221BAC EDC ，CH DH = 又∵CE DE ⊥∴︒=∠=∠90DEG DEC 在DEC ∆和DEG ∆中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DEG DEC DEDE EDG EDC ∴DEG DEC ∆≅∆（ASA ） ∴DG DC =，CE CG 2=∵︒=∠=∠90CEF DHF ，CFE DFH ∠=∠ ∴GCH FDH ∠=∠ 在DHF ∆和CHG ∆中 ⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90CHG DHF CHDH GCH FDH ∴CHG DHF ∆≅∆（ASA ） ∴CE CG DF 2==2、背景：如图1，ABC ∆与ADE ∆均是顶角为40°的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边，求证：CE BD =.探究发现：如图2，ABC ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE . ①AEB ∠的度数为________；②线段BE 与AD 之间的数量关系是________；拓展延伸：如图3，ABC ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，︒=∠=∠90DCE ACB ，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE .①求AEB ∠的度数；②请直接写出线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系。
第13章全等三角形人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。
《左传》江缘学校陈思梅一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF ≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．三、解答题8．如图，矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、D，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DFCF，判断△CDF的状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan∠EAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故②正确；根据AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE和△CDE中∵，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE=∠DCE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∵在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠HAD=∠HCD，∵∠ABE=∠DCE∴∠ABE=∠HAD，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AGB=180°﹣90°=90°，∴AG⊥BE，故①正确；∵tan∠ABE=tan∠EAG=，∴AG=BG，GE=AG，∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC，∴S△BDE=S△CDE，∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF 的值．【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=，∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4 cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF ≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是①②．（请写出正确结论的序号）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．【专题】压轴题．【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF 与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；弧长的计算．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；（2）解：连接DF，如图所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长==．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF．【解答】证明：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EFD中∴△ABC≌△EFD（SAS）∴BC=FD．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．【解答】解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．【解答】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF （SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可．【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，∴OB=OD，在△AOB和△EOD中，，∴△AOB≌△EOD（AAS），∴OA=OE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．18．们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；新定义．【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．【解答】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。
