最新华师大版八年级下册数学知识点总结

华师大版八年级数学下册最后一章总结第20章数据的整理与初步处理§20.1平均数一、算术平均数的意义1、定义：一般地，我们把n个数…的和与n的比叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作：，读作x拔。

具体算法：=2、平均数的简化运算当一组数据非常大或非常小，并且有集中在某个数字之间左右晃动时，采用此方法简化运算：对于一组数据，取定一个常数a，把原来数组中的每一个数都减去a后得到一组新数据…，则原数组的平均数就是：3、作用：平均数反映了一组数据的集中趋势，是表示一组数据的“平均水平”，它的单位与这组数据的单位一致。

4、用样本（部分）估计总体当一组数据的个图非常多或很难获得全部数据时，可以从这些数据中抽出部分个体作为样本进行分析、统计，由此估计总体的特征或信息。

二、加权平均数定义和算法：一般说来，如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，…xk 出现fk次，且f1 + f2 +… +fk =n，则这n个数的平均数可表示为这个叫做加权平均数，数据出现的次数f叫做权，数组中的每个数对应一个权。

§20.2 数据的集中优势一、中位数1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列后，处在最中间位置的的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

2、求法：（1）对这组数据的n个数进行从小到大的排序；（2）若给出的数据个数为奇数，则第（n+1/2）个数据就是这组数据的中位数；若给出的数据个数为偶数个，则第1/n个和第（n+1/2）个的平均数就是这组数据的中位数。

二、众数1、定义：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

2、众数是对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中部分数据有关，当一组数据中有数据多次重复出现时，以至于其他数据的作用显得相对较小，众数就可以在某种意义上代表这组数据的集中程度或整体情况。

3、一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数。

华师大版八年级下册数学重难点突破全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】【403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如aπ是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x yx是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b ba a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与ab-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】 类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．【思路点拨】3x ，5π，23-虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中5π的分母中π表示一个常数，因此这三个式子都不是分式．【答案与解析】解：整式：3x ，23-，5π，23x +，分式：2a，1m m +，2a a ．【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？ （1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239mm --．【答案与解析】解：（1）由20m +=得2m =-，故当2m ≠-时分式2mm +有意义． （2）由||20m -=得2m =±，故当2m ≠±时分式1||2m -有意义．（3）由229(9)0m m --=-+<，即无论m 取何值时29m --均不为零，故当m 为任意实数时分式239mm --都有意义． 【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法． 举一反三：【变式1】（2016·丹东一模）若分式11x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】解：由题意得：10x +≠，解得1x ≠-，故答案为：1x ≠-． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．【答案】解：（1）由210x +=得12x =-， 当12x =-时，1323()202x -=⨯--≠，∴ 当12x =-时，分式2132x x +-的值为0．（2）由20x x +=得0x =或1x =-，当0x =时，21010x -=-≠，当1x =-时，221(1)10x -=--=， ∴ 当0x =时，分式221x xx +-的值为0．（3）由20x +=得2x =-，当2x =-时，224(2)40x -=--=，∴ 在分式有意义的前提下，分式224x x +-的值永不为0． 类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y+-； （2）11341123x yx y +-． 【思路点拨】将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可． 【答案与解析】 解：（1）0.20.020.5x yx y +-(0.2)501050(0.020.5)5025x y x y x y x y +⨯+==-⨯-．（2）11341123x y x y +-1112433411641223x y x y x y x y ⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭==-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 举一反三：【变式1】如果把分式yx x232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍【答案】B ；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----． 【答案】2()x y -；1；解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为x y +，而等式的右边分式的分子为22x y -，由于22()()x y x y x y +-=-，即将等式左边分式的分子乘以x y -，因而分母也要乘以x y -，所以在？处应填上2()x y -．（2）先观察分母，等式左边的分母为()()()a c a b b c ---，等式右边的分母为a c -，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以()()a b b c --，因为()()[()()]1b a c b a b b c --÷--=，所以在？处填上1．4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． （1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23bc--．【答案与解析】解：（1）22a a b b -=- （2）4455x x y y -=- （3）33m m n n =-- （4）2233b bc c-=-． 【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面． 类型四、分式的约分、通分5、（2015春•东台市月考）约分，通分： （1）； （2）；（3）•．【思路点拨】（1）把分子与分母进行约分即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解，然后约分即可； （3）把分母进行因式分解，然后相乘，即可得出答案． 【答案与解析】 解：（1）=﹣；（2）= = ； （3）•= •=． 【总结升华】此题考查了分式的约分，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，注意先把分母因式分解，再进行约分． 举一反三：【403986 分式的概念和性质 例6（2）】 【变式】通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -． （3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．【答案】解：（1）最简公分母为24ab c ，2322444b b b b ac ab c ab c ==，222222244a a a a b c ab c ab c==． （2）222(1)x x x x =++，2111(1)(1)x x x =-+-，最简公分母为2(1)(1)x x +-，2(1)222(1)(1)2(1)(1)x x x x xx x x x x --==++-+-．2112212(1)(1)2(1)(1)x x x x x ⨯==-+-+-． （3）最简公分母是222a b c ．2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c ---==． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-， 21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，224444x xx x =--，222(2)242(2)(2)4x x x x x x ++==--+-．【巩固练习】一.选择题1．（2015春•东台市期中）下列各式：其中分式共有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个2．使分式5+x x值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5D ．x ≠－53. 下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠时，分式231-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22aba b-有意义 C ．当21-=x 时，分式214x x+值为0D ．当x y ≠时，分式22x y y x--有意义4．（2016·营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ )A ．121x + B ．121x - C ．213x x - D ．25321x x ++ 5．如果把分式yx yx ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ）A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的32 D ．不变6．下列各式中，正确的是（ ）A ．a m ab m b +=+ B ．0a ba b +=+ C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y-=-+二.填空题7．当x ＝______时，分式632-x x无意义． 8.若分式67x--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()x xx --=- （2）.y x xy x 22353)(= 10．（1）22)(1yx y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x 11.（2016秋·崆峒区期末）分式21298y z x z x y,,x xy z-+-的最简公分母是_________. 12.（2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13.当x 为何值时，下列分式有意义?（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---．14．已知分式,y ay b-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．15．（2014•上城区二模）在三个整式x 2﹣1，x 2+2x+1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再从﹣≤x≤的范围内选取合适的整数作为x 的值代入分式求值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】解：（1﹣x ），，的分母中均不含有字母，因此不是分式，是整式；，分母中含有字母，因此是分式．故选A.2. 【答案】A ；【解析】050x x =+≠且. 3. 【答案】B ；【解析】a b ≠±，22aba b -有意义.4. 【答案】D ；【解析】∵2211x +>，∴不论字母取何值25321x x ++都有意义. 5. 【答案】D ； 【解析】102010(2)2101010()x y x y x yx y x y x y+++==+++.6. 【答案】D ；【解析】利用分式的基本性质来判断. 二.填空题7. 【答案】2；【解析】由题意，360,2x x -==. 8. 【答案】7x >；【解析】由题意70,7x x -<>∴. 9. 【答案】（1）2x -；（2）5y ；10.【答案】（1）x y -；（2）22xy x y +--；【解析】221(1)(2)22244x x y xy x y y y y--++--==---. 11.【答案】272xyz ；【解析】分式21298y z x z x y,,x xy z-+-的最简公分母是272xyz . 12.【答案】，． 【解析】解：∵=（﹣1）2•， =（﹣1）3•， =（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n 个式子为：． 故答案是：，．三.解答题 13.【解析】 解：（1）由分母20x -≠，得2x ≠．∴ 当2x ≠时，原分式有意义．（2）由分母410x +≠，得14x ≠-．∴ 当14x ≠-时，原分式有意义． （3）∵ 不论x 取什么实数，都有210x +>．∴ x 取一切实数，原分式都有意义．（4）∵ 20x ≥，∴ 211x +≥，∴ 2(1)1x -+≤-即211x --≤-∴ x 取一切实数，分式2211x x ---都有意义． 14.【解析】解：由题意：30b -+=，解得3b =2023a-=+，解得2a = 所以分式为23y y -+，当y ＝－7时，2729937344y y ----===+-+-. 15.【解析】解：选择x 2﹣1 为分子，x 2+2x+1为分母组成分式，则= =，当x=0时，上式==﹣1．分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】【402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成nn a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】 类型一、分式的乘法1、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a a a a a -+--+-． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算． 【答案与解析】解：(1)422449158a b x x a b 422449315810a b x bx a b x==． (2)222441214a a a a a a -+--+-22(2)1(1)(2)(2)a a a a a --=-+-22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a --=-+-222(1)(2)2a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算． 举一反三： 【变式】计算．（1）26283m x xm ；（2）22122x x x x+-+ 【答案】解：（1）原式22621283242m x mx xx m mx ===；（2）原式22112(2)2x x x x x x+==-+-；类型二、分式的除法【402545 分式的乘除运算 例1（4）】2、 计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++．【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简． 【答案与解析】解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--23dc=-． (2) 2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++2(2)(2)2()()2x y x y x x y x y x y+-+=++22(2)24x x y x xyx y x y --==++．【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的．举一反三：【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．【答案】 解：原式=•=．类型三、分式的乘方3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（ ） A.B.C. D.【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项．【答案】C ． 【解析】解：A 、，本选项错误；B 、，本选项错误；C 、，本选项正确；D 、，本选项错误．所以计算结果正确的是C ．【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算4、 计算：（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3；（2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.【答案与解析】解：（1）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3=﹣••=﹣．（2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2222232()1()[()]()a b ab b a a b b a -=+-22222332()()1()()a b a b a b b a a b a b +-=+-211()a a b a ab==++． 【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算． 举一反三：【变式】计算：(1)332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(2)2222()m n n m m nm n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭． 【答案】解： (1)332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23263382633312212b b b a a b a b a a a ba b ⎛⎫⎛⎫=-÷-÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)2222()m n n m m n m n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭22222()()()()m n m n m n m m nm n m n m n mn +---==-+． 【巩固练习】一.选择题 1.计算261053ab cc b的结果是( )A ．24a c B ．4a C ．4a c D ．1c2. （2016•迁安市一模）化简：（a ﹣2）•的结果是（ ）A ．a ﹣2B ．a+2C ．D ．3．（2015•蜀山区一模）化简的结果是（ ）A.12B.1a a + C.D.4．分式32)32(b a 的计算结果是（ ） A ．3632b a B ．3596baC ．3598b aD ．36278b a5．下列各式计算正确的是（ ）A ．yx y x =33B ．326m mm =C ．b a b a b a +=++22D ．b a a b b a -=--23)()(6．22222nm m n m n ⋅÷-的结果是（ ）A ．2nm- B ．32n m -C ．4m n-D ．－n二.填空题7.1a c b c÷⨯_____； 2233y xy x -÷_____．8．389()22x yy x⋅-=______；=+-÷-x y x x xy x 33322______． 9．（2015•泰安模拟）化简的结果是 ．10.如果两种灯泡的额定功率分别是21U P R =，225U P R=，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的________倍.11．3322()a bc =____________；=-522)23(z y x ____________． 12．222222.2ab b a b a ab b a ab+-=++-______． 三.解答题13. （2016•黄石）先化简，再求值：÷•，其中a=2016.14.阅读下列解题过程，然后回答后面问题 计算：2111a b c d b c d÷⨯÷⨯÷⨯解：2111a b c d b c d÷⨯÷⨯÷⨯ ＝2a ÷1÷1÷1①＝2a ． ②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．15．小明在做一道化简求值题：22222().,x xy y x yxy x xy x-+--÷他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？【答案与解析】一.选择题1.【答案】C ； 【解析】 ∵ 2261061045353ab c ab c ac b c b c==，∴ 选C 项．2.【答案】B ；【解析】原式=（a ﹣2）•=a+2，故选B ．3.【答案】B ； 【解析】解：原式=×=．故选B.4.【答案】D ；【答案】23663333228()3327a a a b b b ==. 5.【答案】D ；【解析】3322()()()()a b a b a b b a a b --==---. 6.【答案】B ；【解析】222222222223n n m n m m m m n n m m n n-÷⋅=-⋅⋅=-.二.填空题7.【答案】2abc；292x y -；【解析】2111a a ac b c b c c bc÷⨯=⨯⨯=.22223933322y x x xy xy x y y -÷=-⨯=-. 8.【答案】218x-；－1；【解析】328918()22x y y x x⋅-=-；22233()3133()x xy x y x x y x x x x x y --+-÷=⨯=---. 9.【答案】；【解析】解：原式=••=．10.【答案】5；【解析】222122555U U U RP P R R R U ÷=÷=⨯=. 11.【答案】9368a b c；1010524332x y z -；【解析】3399323636228()a a a bc b c b c==；25101052510510533243()2232x x x y z y z y z -=-=-.12.【答案】ba；【解析】()()()()()2222222.2b a b a b a b ab b a b ba ab b a ab a a b aa b ++-+-=⋅=++--+.三.解答题13.【解析】 解：原式=••=（a ﹣1）•=a+1当a=2016时，原式=2017． 14.【解析】解：第①步不正确，因为乘除运算为同级运算时，应从左到右依次计算.应为：22111111111a b c d a b c d b b c c d d ÷⨯÷⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2222a b c d.15.【解析】解：22222().x xy y x yxy x xy x-+--÷ ＝()()22xyx yx x y xx y ---⨯⨯- ＝5y -=这道题的结果与x 的值无关，所以他能算出正确结果是5.分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】【403995 分式的加减运算 知识讲解】 要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：a b a bc c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【403995 分式的加减运算 例1（5）（6）】1、计算：（1）22222333a b a b a ba b a b a b+--+-； （2）222422x x x x x +-+--； （3）2111x x x-+--； （4）222222222a ab b a b b a a b ++--- 【答案与解析】 解：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab ++--+===； （2）222224242222x x x x x x x x x x +-+-+=-----()222224222x x x x x x -+--===--（3）2121213111111x x x x x x x x x x ---+-+=-==-------； （4）222222222222222222a ab b a ab b a b b a a b a b a b a b++=-+------ 2()()()a b a ba b a b a b--==+-+.【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三：【变式】（2016春·广州校级月考）化简：2221122a a a a a a --+--【答案】解：原式=2221122a a a a a a -----=()()12a a a a --=12a a -- 类型二、异分母分式的加减2、计算：（1）21132a ab +；（2）2312224xx x x+-+--；（3）211a a a ---． 【思路点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为26a b ；（2）题是异分母分式的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因式分解；（3）题是分式21a a -与(1)a --即(1)a -+的和，可将整式部分当成一个整体，且分母为1，使运算简化． 【答案与解析】 解：（1）原式2222323666b a b aa b a b a b+=+=； （2）原式2312224x x x x =-++--31222(2)(2)x x x x x =-++--+ 3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-===-+-++；（3）原式222222211(1)111111111a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算． 举一反三： 【变式】计算：（1）212293m m ---；（2）112323x y x y ++-. 【答案】 解：（1）212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m ---===-+-+-+． （2）()()()()112323232323232323x y x yx y x y x y x y x y x y -++=++-+-+-()()2223234232349x y x y xx y x y x y -++==+--.类型三、分式的加减运算的应用3、（白云区期末）设A 、B 两地的距离为s ，甲、乙两人同时从A 地步行到B 地，甲的速度为v ，乙用v 的速度行走了一半的距离，再用v 的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B 地，说明理由．【思路点拨】分别求出甲乙两人走完全程的时间，比较即可．【答案与解析】解：甲走完全程的时间为，乙走完全程的时间为+=+=2524•， ∵2524•＞， ∴甲先到达B 地．【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数是变大了，还是变小了？请先举例发现其中的规律，再设法说明理由． 【答案与解析】解：应选择不同特点的分数来试验探索．1112122132+=>+:；5527544264+=<+:； 2224233253+--=-<-+:；882823323+--=->-+:；… 我们发现：对于正的真分数，分子、分母都加相同的正数时分数变大；对于正的假分数，分子、分母都加相同的正数时分数变小；对于负分数，结论与上两条恰好相反．说明：（1）对于ba（a ，b 均为正整数，且a b >），分子、分母同时加上正数m ，则变成b ma m++．因为()()()()b m b a b m b a m a m a a a m a a m +++-=-+++()0()()am bm m a b a a m a a m --==>++，所以b m b a m a+>+．①（2）对于ba（a ，b 均为正数，且a b <），分子、分母同时加上正数m ，则变成了b m a m ++，因为()0()b m b m a b a m a a a m +--=<++，所以b m ba m a+<+．② （3）对于负分数的情形，只要将①、②两式两边同乘－1即得结论．【总结升华】通过特例发现问题，得出一般结论，并去证明，是我们常用研究、探索问题的手段．【巩固练习】一.选择题 1．（洪江市期末）下列计算正确的是（ ） A.+= B. +=0C.﹣=0D.+=0 2．3333x a a y x y y x+--+++等于（ ）A ．33x y x y -+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22x y +3．b c aa b c-+的计算结果是（ ）A ．222b c a abc -+ B ．222b c ac a b abc--C ．222b c ac a babc-+D ．b c aabc-+ 4.（2016·攀枝花）化简22m n m n n m+--的结果是（ ） A.m n + B. n m - C. m n - D. m n --5．313---a a 等于（ ) A ．2261a a a+-- B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a-16．21111x x x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n xB ．11-n xC ．21xD ．1二.填空题7.分式2222,39a bb c ac 的最简公分母是______． 8．分式,()()x ya x yb y x --的最简公分母是______．9．计算aa -+-329122的结果是____________． 10.（2016·新县校级模拟）计算：22311x x x -=+- ．11.211a a a-+=+_________. 12．若ab ＝2，a b +＝3，则ba 11+＝______．三.解答题13.（2015•保康县模拟）化简：+．14．已知2222222xy x y M N x y x y +==--、，用“＋”或“－”连结M 、N ，有三种不同的形式：M ＋N 、M －N 、N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y ＝5∶2．15．已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】解：A 、+=，故错误；B 、原式=+=，故错误；C 、原式==﹣，故错误；D 、原式=﹣=0，故正确．故选D ．2. 【答案】A ；【解析】333333x a a y x y x y y x x y+---+=+++. 3. 【答案】C ；【解析】222222b c a b c ac a b b c ac a ba b c abc abc abc abc-+-+=-+=.4. 【答案】A ；【解析】()()2222m n m n m n m n m n m n n m m n m n m n+-+=-==+-----. 5. 【答案】A ；【解析】2233332326311111a a a a a a a a a a+--++---=-==----. 6. 【答案】D ；【解析】1131112311n n n n n n n x x x x x x x x+-+++++--++==. 二.填空题7. 【答案】229ab c ； 8. 【答案】()ab x y -；9. 【答案】23a -+； 【解析】()()()()221223231222939333a a a a a a a a -+--+===----+-+. 10.【答案】323x x x--；【解析】()()()()()()()3313323111111x x x x x x x x x x x x x x x x -----==+-+-+--． 11. 【答案】11a +；【解析】22211111a a a a a a a --+=-=+++11a +. 12.【答案】32；【解析】1132a b a b ab ++==.三.解答题 13.【解析】 解：原式=+=+=．14.【解析】解：M －N ＝()()()2222222222222x y xy x y xy x y x yx y x y x y x y x y x y -+----==-=----+-+.因为x ∶y ＝5∶2，设52x k y k ==，所以原式＝523527k k k k --=-+.15. 【解析】解：()22222221(1)(1)1111x x x x x x x x x ---+=+-+-- 因为22x =所以原式()2222221(1)21221111x x x x x x x x ---++-=+==---. 分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】【 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b+=，（a ，b 为非零常数）【答案】B ；【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、 解分式方程（1）10522112x x +=--；（2）225103x x x x-=+-． 【答案与解析】 解：（1）10522112x x+=--， 将方程两边同乘(21)x -，得 10(5)2(21)x +-=-．解方程，得74x =． 检验：将74x =代入21x -，得52102x -=≠． ∴ 74x =是原方程的解． （2）225103x x x x-=+-，方程两边同乘以(3)(1)x x x +-，得5(1)(3)0x x --+=． 解这个方程，得2x =．检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是2x =．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根． 举一反三： 【变式】解方程：21233x x x-=---． 【答案】 解：21233x x x-=---， 方程两边都乘3x -，得212(3)x x -=---， 解这个方程，得3x =，检验：当3x =时，30x -=， ∴ 3x =是增根，∴ 原方程无解．类型三、分式方程的增根3、（2015春•安岳县期中）若解关于x 的分式方程会产生增根，求m 的值． 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值． 【答案与解析】解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得2（x+2）+mx=3（x ﹣2） ∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2）， ∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4． 把x=﹣2代入整式方程，得m=6． 综上，可知m=﹣4或6．【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 举一反三： 【变式】如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________．。

一、数与式1.整数的运算：加法、减法、乘法、除法，能够熟练运用各种整数运算的性质。

2.整数的科学计数法和运算：掌握科学计数法的表示方法，并能进行加、减、乘、除运算。

3.分数的加减乘除：熟练掌握分数的加减乘除法运算，注意化简分数和找到最简分数。

4.百分数的应用：能够将百分数转化为小数和分数，灵活运用百分比解决实际问题。

5.带分数的加减乘除：理解带分数的含义，掌握带分数的加减乘除法运算。

二、函数1.函数的概念：理解函数的定义，能够给出函数的自变量、因变量和函数表达式。

2.函数间的关系：掌握函数之间关系的性质，如一次函数、二次函数、反比例函数等。

3.函数的解析式：能够根据已知函数的性质写出其解析式，如直线的解析式、抛物线的解析式等。

4.函数的图象和性质：能够根据函数的解析式绘制出函数的图象，理解函数图象的特点和性质。

三、图形的研究1.平面图形的展开和计算：熟练计算平面图形的周长和面积，理解面积和周长的概念。

2.直角三角形的研究：熟练使用勾股定理解决实际问题，理解正弦、余弦和正切的概念。

3.平行四边形和梯形的研究：能够计算平行四边形和梯形的周长和面积，理解这些图形的性质。

4.圆的性质和计算：理解圆的直径、半径、圆周和圆心角的概念，能够计算圆的周长和面积。

四、常用图形和统计1.线段和角的相交关系：理解直线和线段的相交性质，掌握平行线和垂直线的性质。

2.平面镜像和旋转：理解平面镜像和旋转的概念，能够根据图形的变换关系进行计算和推理。

3.统计调查和数据处理：能够进行统计调查和数据分析，掌握平均数、中位数和众数的计算方法。

五、概率1.随机事件的概率计算：理解事件的概率和样本空间的概念，能够计算事件的概率。

2.多个随机事件的概率：掌握与事件相应的几种概率的计算方法，如和事件、积事件等。

以上是华东师大版八年级数学下册的主要知识点归纳，包括数与式、函数、图形的研究、常用图形和统计、概率等内容。

希望对你的学习有所帮助。

知识点1：一元二次方程的基本概念1．一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是-2.2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3．一元二次方程3x 2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2-x-2=0.知识点2：直角坐标系与点的位置1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。

2．直角坐标系中，x 轴上的任意点的横坐标为0. 3．直角坐标系中，点A （1，1）在第一象限. 4．直角坐标系中，点A （-2，3）在第四象限. 5．直角坐标系中，点A （-2，1）在第二象限.知识点3：已知自变量的值求函数值1．当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2．当x=3时,函数y=21-x 的值为1.3．当x=-1时,函数y=321-x 的值为1.知识点4：基本函数的概念及性质1．函数y=-8x 是一次函数. 2．函数y=4x+1是正比例函数. 3．函数x y 21-=是反比例函数. 4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下. 5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3. 6．抛物线2)1(212+-=x y 的顶点坐标是(1,2).7．反比例函数xy 2=的图象在第一、三象限. 知识点5：数据的平均数中位数与众数1．数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2．数据3,4,2,4,4的众数是4.3．数据1，2，3，4，5的中位数是3.知识点6：特殊三角函数值1．cos30°=23. 2．sin 260°+ cos 260°= 1. 3．2sin30°+ tan45°= 2. 4．tan45°= 1.5．cos60°+ sin30°= 1.知识点7：圆的基本性质1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

华师大版八年级下册数学知识点总结八年级华师大版数学（下）第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使B A =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

华师大版数学八年级下册第三章 平行四边形模块一 平行四边形的性质一、定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图， 四边形ABCD 是平行四边形， 记作“▱ABCD”， 读作“平行四边形ABCD”.二、性质1.平行四边形的对边相等.2. 平行四边形的对角相等.3. 平行四边形的对角线互相平分.三、重要结论1.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.2.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心.(1)连接平行四边系上任意一点和平行四边孤的对称中心，并延长与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称.即即OE=OF(2) 经过平行四边行对称中心的任意一条直线都把平行四边行分成面积和周长相等的两部分，即FEDC ABEF S S 四边形四边形=；FEDC ABEF C C 四边形四边形=典型例题例1．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（）A．16B．14C．20D．24练习．平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为cm．例2．如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，则∠DAE等于．例3．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为．练习．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③DE＝BF；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1例4．如图，▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC＝3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（）A．3B．6C．12D．24例5．（1）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，BC边上的高AE＝2，则DC边上的高AF的长是（）A．2B．3C．4D．5（2）如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°（3）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD 于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm（4）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，△FCB的周长为28，则FC的长为．例6.如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F．求证：BC＝CF．模块二平行四边形的判定平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.AD//BC，AB//DC，四边形ABCD是平行四边形.2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.AD//BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.∠=∠,∠D=BA∠C∴四边形ABCD是平行四边形.5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.典型例题例7．如图，在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，再添加下列条件之一，能使四边形ABCD成为平行四边形的条件是（）A．∠DAC＝∠BCA B．∠DCB+∠ABC＝180°C．∠ABD＝∠BDC D．∠BAC＝∠ACD练习．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD∥BCC．AB∥CD，AB＝CD D．∠A＝∠C，∠B＝∠D例8．（1）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB和CD上，下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是（）A．DE＝BF B．AE＝CF C．∠ADE＝∠CBF D．∠AED＝∠CFB（2）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是。

完整版)华师大版八年级下册数学知识点总结八年级华师大版数学（下）第16章分式16.1 分式及基本性质一、分式的概念1.分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式。

2.对于分式概念的理解，应把握以下几点：1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；3）分母不能为零。

3.分式有意义、无意义的条件1）分式有意义的条件：分式的分母不等于 0；2）分式无意义的条件：分式的分母等于 0.4.分式的值为 0 的条件：当分式的分子等于 0，而分母不等于 0 时，分式的值为 0.即，使 A=0，B≠0 的条件是。

5.有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式整式多项式分式ABAB单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A·M/B=A·M/B·M/M=A·M·1/B·M，其中M（M≠0）为整式。

2.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3.约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

平面直角坐标系资料编号:202203251050 【自学指导】借助于数学课本,弄清楚以下几个问题:1. 如何建立平面直角坐标系?2. 如何在平面直角坐标系中表示给定点的坐标?3. 给出一个点的坐标,如何在平面直角坐标系中描出这个点?4. 象限的划分.5. 象限内点的坐标特征.6. 会根据点所在的位置求字母的值或取值范围.【重要知识点总结】平面直角坐标系在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴,这就建立了平面直角坐标系.把水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上的方向为正方向.两条数轴的交点O叫做坐标原点.如下图（1）所示.轴横轴或x 轴图（1）平面直角坐标系点的坐标在平面直角坐标系中,任何一点都可以用一对有序实数对来表示,叫做点的坐标.点与有序实数对是一一对应的.如下页图（2）所示,点P的坐标是这样确定的:通过点P向x轴作垂线,垂足在x轴上对应的数就是点P 的横坐标;通过点P 向y 轴作垂线,垂足在y 轴上对应的数就是点P 的纵坐标.规定:横坐标在前,纵坐标在后（横前纵后）,所以点P 的坐标为()3,2-,其横坐标为2-,纵坐标为3.图（2）注意:（1）在求点的坐标时,x 轴上对应的数是横坐标,y 轴上对应的数是纵坐标.（2）求点的坐标时,横坐标要写在前面,纵坐标写在后面,中间用逗号隔开,再把它们用小括号括起来.（3）如果点在x 轴（横轴）上,其纵坐标为0;如果点在y 轴（纵轴）上,其横坐标为0;如果点在原点,其横坐标、纵坐标均为0,坐标为()0,0.（4）知道一个点的坐标,可以在平面直角坐标系中描出点（即确定点的位置）;知道一个点在平面直角坐标系中的位置,可以求出点的坐标. 点在坐标轴上的坐标特征已知点P 的坐标为()n m ,,若点P 在x 轴上,则0=n ;若点P 在y 轴上,则0=m ;若点P 在原点,则0,0==n m . 象限在平面直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图（3）所示的Ⅰ, Ⅱ , Ⅲ , Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限. 注意:（1）象限以坐标轴为界,坐标轴上的点不属于任何一个象限.（2）不同的象限内,点的坐标符合不同.（3）象限内点的坐标符号的确定方法:看点所在象限是以两条坐标轴的哪两条半轴为分界线的,正半轴所对应的坐标符号为正,负半轴所对应的坐标符号为负.如,第一象限是以x 轴的正半轴和y 轴的正半轴为分界线的,所以在第一象限内,点的横坐标、纵坐标均为正.第二象限:横坐标为_________,纵坐标为_________; 第三象限:横坐标为_________,纵坐标为_________; 第四象限:横坐标为_________,纵坐标为_________.图（3）图（4）四个象限内点的坐标符号（4）点在坐标轴上,则点不属于任何一个象限:点在x 轴的正半轴上,坐标符号为)0,(+,点在x 轴的负半轴上,坐标符号为)0,(-; 点在y 轴的正半轴上,坐标符号为),0(+,点在y 轴的负半轴上,坐标符号为),0(-.（5）根据点的坐标,我们可以确定点所在的象限;而根据点所在的象限,我们可以确定字母的取值范围. 【例题讲解】例1. 如图所示,在平面直角坐标系中: 点A 的坐标是__________; 点B 的坐标是__________; 点C 的坐标是__________; 点D 的坐标是__________; 点E 的坐标是__________.解:点A 的坐标是()2,2; 点B 的坐标是()3,3-; 点C 的坐标是()2,2--; 点D 的坐标是()2,3-; 点E 的坐标是()0,3.例2. 平面直角坐标系中,点()3,2-A 在第_________象限. 分析 本题考查根据点的坐标判断点所在的象限.点A 的横坐标为正,对应x 轴的正半轴,纵坐标为负,对应y 轴的负半轴,故点A 位于第四象限. 解: 四例3. 若点()1,3++m m A 在x 轴上,则点A 的坐标是__________. 分析 点在坐标轴上,点不属于任何象限.当点在x 轴上时,其纵坐标为0;当点在y 轴上时,其横坐标为0. 解:由题意可知:01=+m 解之得:1-=m ∴()0,2A .例4. 若点()12,1+-m m P 在第二象限,则m 的取值范围是__________. 分析 本题考查根据点所在的象限,求参数的取值范围.在第二象限,对应x 轴的负半轴,y 轴的正半轴,故第二象限的点,其横坐标为负,纵坐标为正.解:由题意可得:⎩⎨⎧>+<-01201m m解之得:121<<-m . 例5. 如果点()n m A -3,2在第二象限,那么点()4,1--n m B 在第_________象限. 分析 要先根据点A 所在的象限求出n m ,的取值范围,然后再确定点B 所在的象限. 解:由题意可得:03,02>-<n m ∴3,0<<n m ∴04,01<-<-n m ∴点B 在第三象限.【作业】1. 点()2,1-P 在第_________象限.2. 若点()3,2+-x x P 在第一象限,则x 的取值范围是__________.3. 已知点()m A ,0在y 轴的负半轴上,则点()1,+--m m B 在第_________象限.4. 若第三象限内的点()n m P ,满足9,52==n m ,则点P 的坐标为__________.5. 点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,b a A 在第一象限,则点()ab a B ,2-在第_________象限.6. 如图所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________;点B 的坐标是_________; 点C 的坐标是_________; 点D 的坐标是_________. （2）在图中分别作出点A , B , C , D 关 于x 轴对称的点',',','D C B A ; （3）点'A 的坐标是_________;点'B 的坐标是_________;点'C 的坐标是_________; 点'D 的坐标是_________.（4）观察这些对称点的坐标之间的关系,你能得出什么结论?（从横坐标、纵坐标两个角度观察）在图中再找一对对称点验证一下你得出的结论.【作业答案】1. 点()2,1-P 在第_________象限. 解: 二2. 若点()3,2+-x x P 在第一象限,则x 的取值范围是__________.解:由题意可得:⎩⎨⎧>+>-0302x x解之得:2>x .3. 已知点()m A ,0在y 轴的负半轴上,则点()1,+--m m B 在第_________象限. 解:由题意可得:0<m ∴01,0>+->-m m∴点()1,+--m m B 在第一象限.4. 若第三象限内的点()n m P ,满足9,52==n m ,则点P 的坐标为__________. 解:∵9,52==n m ∴3,5±=±=n m ∵点P 在第三象限 ∴0,0<<n m ∴3,5-=-=n m ∴点P 的坐标为()3,5--.5. 点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,b a A 在第一象限,则点()ab a B ,2-在第_________象限.解:∵点⎪⎭⎫⎝⎛1,b a A 在第一象限∴0≠a ,且b a ,同号 ∴0,02><-ab a∴点()ab a B ,2-在第二象限.6. 如图所示,在平面直角坐标系中: （1）点A 的坐标是_________;点B 的坐标是_________; 点C 的坐标是_________; 点D 的坐标是_________. （2）在图中分别作出点A , B , C , D 关 于x 轴对称的点',',','D C B A ; （3）点'A 的坐标是_________;点'B 的坐标是_________; 点'C 的坐标是_________; 点'D 的坐标是_________.（4）观察这些对称点的坐标之间的关系,你能得出什么结论?（从横坐标、纵坐标两个角度观察）在图中再找一对对称点验证一下你得出的结论.解:（1）点A 的坐标是()3,2; 点B 的坐标是()4,3-; 点C 的坐标是()2,2--; 点D 的坐标是()1,3-. （2）如图所示;（3）点'A 的坐标是()3,2-; 点'B 的坐标是()4,3--; 点'C 的坐标是()2,2-; 点'D 的坐标是()1,3.（4）发现的结论: 两个点关于x 轴对称,它们的横坐标相等,纵坐标互为相反数.。

华师大版初二数学下册期末知识点总结(一)运用公式法:我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有:a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子: a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到:a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点①项数:三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)bull;(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意:1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤:① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据:分式的基本性质.5.通分的关键:确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是:同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

华师大版初中数学知识点总结
初中数学（华师大版）知识点总结：
一、代数：
1、定义：代数是学习数的一个重要分支，通过讨论各种各样的数量
的静态变化，记号法，定义，性质，运算，解决实际问题的技术，来把数
学研究的内容概括为一个整体。

2、术语：代数术语包括：变量、常数、基本运算、表达式、方程和
不等式、根、函数、因式和因子、和、积、分式、幂和指数、比率、比值、百分数、数列和级数、立体几何体等。

3、类型：代数中常见的几种题型有：简单方程组、一元二次方程、
分式、幂指数与根式、比值等。

4、思想：代数是通过思维推理，综合运用符号表达式、数学公式和
算法，来解决问题和实践领域中的应用问题。

二、几何：
1、定义：几何是以形体的几何特性，以及相关的空间几何关系来研
究实物形状、大小和位置的数学学科。

2、类型：几何问题可以分为：图形结构类、运动类、测量类和计算
类问题。

3、概念：常见的几何性质和概念有：
（1）图形的属性：角、平行线、平行四边形、锐角三角形等；
（2）图形大小关系：直角和锐角三角形、正方形等；
（3）空间图形关系：棱和面、相交、相切等；。

八年级数学华师大版知识点八年级的数学课程将涉及更多的代数、几何和统计概念，涵盖了从数字和计算到方程和函数的各个领域。

在华师大版教材中，这些数学知识点被分为六个单元。

单元一：代数初步此单元介绍代数中的基本概念和技能，包括如何使用文字和符号表示数字运算，如何使用方程式解决问题，以及如何绘制坐标系。

其中，一些关键的知识点包括：1. 代数表达式代数表达式描述数字和文字之间的关系。

例如，3x + 2是一个代数表达式，其中x是未知数。

2. 方程方程是一个包含等号的代数表达式，它描述了未知数的取值。

解方程可以使我们找到未知数的值。

3. 坐标系坐标系是一个由x轴和y轴组成的二维图形，可以用来描述点的位置。

这个单元将介绍如何绘制坐标系，以及如何在坐标系中定位和表示点。

单元二：线性方程组此单元介绍如何使用线性方程组解决实际问题，例如如何解决包含两个未知数的方程。

其中，一些关键的知识点包括：1. 线性方程组线性方程组是一个包含两个或多个方程的代数系统。

这些方程可以同时解决多个未知数，例如：2x + y = 53x - y = 22. 解线性方程组为了解决线性方程组，我们需要使用代数技巧将方程分解为未知数的值。

我们可以使用方法，如代入法、消元法、高斯消元法等解决这些方程。

单元三：几何初步此单元介绍几何中的基本概念和技能，包括如何计算面积和周长、如何计算体积和表面积、如何使用比例和相似来处理形状。

其中，一些关键的知识点包括：1. 面积和周长面积描述了一个形状的大小，即其所占据的空间。

周长是形状的边缘长度。

在这个单元中，我们将介绍如何计算方形、三角形、矩形、圆形的周长和面积。

2. 体积和表面积体积描述了一个三维形状占据的空间。

表面积是一个三维形状外部的所有面积的总和。

在这个单元中，我们将介绍如何计算立方体、圆柱体、圆锥体、球体的体积和表面积。

单元四：比例和相似此单元介绍如何使用比例和相似处理形状和大小的变化，学习如何计算边长、角度和比例。

八年级下册数学几何图形的全部性质和判断
1、平行四边形：
定义：两组对边分别平行的四边形。

性质：对角相等，对边相等且相等，对角线互相平分。

判定：两组对边分别平行的（或相等的）一组对边平行且相等的。

2、菱形：
定义：有一组邻边相等的平行四边形。

性质：四条边相等，对角线互相垂直且没条对角线都平分一组对角。

判定：四条边都相等的四边形，对角线互相垂直的平行四边形。

3、正方形：
定义：有一组灵便相等且有一个角是直角的平行四边形。

性质：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等，且互相平分，每个叫平分一组对角。

判定：一组邻边相等的矩形，有一个角是直角的菱形的正方形。

4、梯形：
定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形（只学过等腰梯形的的性质和判定，这里只有梯形的定义了）
5、矩形：
定义：有一个角是直角的平行四边形。

性质：四个叫都是直角，对角线都相等。

判定：有三个角是直角的四边形，对角线相等的平行四边形。

华师大版八年级下册数学知识点总结第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A·M B·M = A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

华师版八年级数学下册知识点1．分式形如BA（A 、B 是整式；且B 中含有字母；0≠B ）的式子；叫做分式.其中A 叫做分式的分子；B 叫做分式的分母.【注】分式中.分母不能为零；否则分式无意义. 2．有理式.()1394,3,2,3,21,1yx x x x m x y x x +--+ （2）当x 取何值时；下列分式有意义？①,1x ②22+-x x ③142++x x ④534-x x,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.A.b a 11+ B.ab 1 C.b a +1D.ba ab+ （2）当a 时；分式321+-a a 有意义.把下列有理式中是分式的代号填在横线上①－3x ；②yx；③22732xy y x -；④－x 81；⑤35+y ；⑥112--x x ；⑦－π12-m ；⑧5.023+m .3．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式；分式的值不变. 4．最简分式分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 5．最简公分母①2232axy y ax ②)(3)(2b a b b a a ++- ③()()32a x x a -- ④y xy x 242+- （2）通分①xy x 125,12 ②xx x x -+221,1（1）不改变分式y x y x +-32252的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.y x y x +-4152 B.y x y x 3254+- C.y x y x 24156+- D.yx y x 641512+-（2）分式:①322++a a , ②22ba b a --, ③()b a a -124, ④21-x 中,最简分式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6．分式的运算（1）分式乘分式；用分子的积作为积的分子；分母的积作为积的分母；如果得到的不是最简分式；应该通过约分进行化简.（2）分式除以分式；把除式的分子、分母颠倒位置后；与被除式相除. （3）分式的乘方等于分子分母分别乘方. （4）分式的符号法则：（1）b a b a b a -=-=-；（2）b a b a =--；（3）b ab a =---①xb by ax 2222ay · ②222222a a x b yz z b xy ÷③22⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y ④32⎪⎭⎫⎝⎛-c a （2）水果店有两种苹果；甲种苹果每箱净重m 千克.售a 元；乙种苹果每箱净重n 千克；售b 元；请问；甲（1）若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是( )A.2或-2B.2C.-2D.4（2）计算 32231487x 12xy y x y ⋅÷ （4）同分母分式相加减；分母不变；把分子相加减..①a b a +2 ②ab a322- ③1624432---x x （2）琳琳家距离学校a 千米；骑自行车需要b 分钟.若有一天她从家出发迟到了c 分钟；则她每分钟应多骑多（1）化简a ba b a b--+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b-+ D.222()a b a b +- （2）计算 32311x1x x x ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+（3）某农场原计划用m 天完成a 公顷的播种任务,如果要提前b 天结束,那么平均每天比原计划要多播种公顷.①2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+ ②(x+y)·2222x y x y y x+-- 7．分式方程（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.（2）解分式方程；实质上是将方程的两边乘以同一个整式；约去分母；把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根）；因此；解分式方程必须进行检验.（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为.①130100-=x x ②21212339x x x -=+-- （2）列方程解应用题2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入；已知甲的输入速度是乙的2倍；结果甲比乙少用.问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？（1）当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根. （2）若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是( )A.a<3B.a>3C.a ≥3D.a ≤3 （3）解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是( ) A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程,得x=1 x=1（1）当x 时；分式xx--23的值为负数. （2）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天? 8．零指数幂与负整指数幂（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1. 【注】0的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂；等于这个数的n 次幂的倒数.n a a a nn ,0(1≠=-是正整数）① 23- ②101031-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛（2）计算下列各式；并把结果化成只含有正整指数幂的形式 ①()()3223--ab a ②()223x --yz（3）用小数表示下列各数 4- ②510.12-⨯（1）计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________.-1,则x+x -1=__________.① 410255÷ ②241-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ③()()22332m 2----mn n9．利用10的负整指数幂；用科学记数法表示一些绝对值较小的数；即将它们表示成na -⨯10的形式；其中n 是正整数；101<≤a .① 0.00003 ②-0.0000064 ③20100000035纳米；它等于多少米？10的负整指数幂填空①1毫克= 千克 ②1平方厘米= 平方米③1纳米= 微米= 毫米= 厘米= 分米= 米 （2）把下列各数用科学记数法表示②0.0000001 ③-11200000 ④-0.00000112p 与体积V 的乘积也保持不变.现在它的压强511001.1p ⨯=帕时；体积1V =2立方米；若这些气体加压到521003.3⨯=p 帕时；求这些气体的体积2V .（已知2211,,,V p V p 满足1221V p V p =）第18章 函数及其图像1．变量与函数（1）变量：在某一变化过程中；可以取不同数值的量；叫做变量.（2）一般的；如果在一变化过程中；有两个变量；例如x 和y ；对于x 的每一个值；y 都有唯一的值与之对应；我们就说x 是自变量；y 是因变量.此时也称y 是x 函数. 2、对函数概念的理解；主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值；因变量就有一个并且只有一个值与其对应. 3表示函数关系的方法 1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系；有时可以用一个含有这两个变量的等式表示；这种方法叫解析式法. 2）列表法 3）图像法.. ①圆的周长C 与半径r 的函数关系式.②火车以60㎞／时的速度行驶；它驶过的路程s 与所用时间的函数关系式. ③n 边形的内角和的度数S 与边数n 的函数关系式. （5）求函数自变量的取值范围1．实际问题中的自变量取值范围 按照实际问题是否有意义的要求来求.2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围(1)解析式为整式的；x 取全体实数；(2)解析式为分式的；分母必须不等于0式子才有意义；(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的；自变量的取值范围是全体实数. 3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值；称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值.x 的取值范围① y=3x+1 ② 122+=x y ③21+=x y ④2-=x y87654（2）已知等腰三角形的面积是20㎡；设它的底边长是x （米）；求底边上的高y （米）关于x 的函数关系式；. 练习：x 的取值范围① 252y x x --= ②36+=x xy ③12-=x y （2）分别写出下列问题中的函数关系式；指出自变量和因变量；以及自变量的取值范围.①寄一封重量为20克以内的市内平信；需邮资0.60元；求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式.②如果一个直角三角形中一个锐角是α；那么求另一个锐角的度数β与α之间的函数关系式. 2．函数的图像 （1）直角坐标系1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴；这就建立了平面直角坐标系.通常把其中水平的一条数轴叫做x 轴或横轴；取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴；取向上为正方向；两数轴的交点O 叫做坐标原点.2)在平面直角坐标系中；任意一点都可以用一对有序实数来表示.例如点P 分别向x 轴和y 轴作垂线；垂足分别为M 和N.这时；点M 在x 轴上对应的数字是m ；称为点P 的横坐标；点N 在y 轴上的坐标为n ；称为点P 的纵坐标；得到一对有序实数（m ；n ）；称为点P 的坐标；可记为P （m ；n ）.3)在平面直角坐标系中；两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域；分别称为第一、二、三、四象限；坐标轴上的点不属于任何一个象限.4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的.Ⅱ ⅠⅢ Ⅳ平面直角坐标系一一对应． ⑵根据点所在位置填图⑶x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.⑷ P (x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________；关于y 轴对称的点坐标为________； 关于原点对称的点坐标为___________. 例题：A （2,3）；分别找出它与x 轴、y 轴及原点的对称点；并写出这些点的坐标；说出 练习：A （b ；3）、B （d ；5）、C （f ；7）、D （h ；2）,请在图中描出它们的位置.M N x y OPn m（2）函数的图像1）一般来说；函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成.图像上的每一点的坐标（x ；y ）代表函数的一对对应值；它的横坐标x 表示自变量的某一个值；纵坐标y 表示与它对应的函数值. .即列表、描点、连线三步.和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用的时间（分）的关系看图回答问题：①小强让爷爷先上了多少米？②山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？ . 1；-2）；（2.5；6.5）} ②()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛≥+=1,3,32,2,2,0,0,12y x x （2）周末小李8时骑自行车从家里出发；到野外郊游；16时回到家里；他离家的距离s （千米）与时间t （时）的关系可以用图中的曲线表示；根据这个图像回答下列问题.①小李到达离家最远的地方是什么时候？ ②小李何时第一次休息？③10时到13时；小李骑了多少千米？ ④返回时；小李的平均车速是多少？3．一次函数（1 一次函数通常可以表示为y=kx+b 特别的；当b=0时；一次函数y=kx（2）一次函数的图像一次函数y=kx+b （k 、b 是常数；k ≠0）的图像是一条直线；通常也称为直线y=kx+b.特别的；正比例函数y=kx （k ≠0）的图像是经过原点（0；0）. 对于直线y=kx+b （k 、b 是常数；k ≠0）；k 表示直线的倾斜程度.b 是直线与y 轴交点的纵坐标.(3)一次函数的图象：函数y=kx+b(k 、b 是常数；k ≠0)的图象是一条直线. 过点(0；b )且与直线y=kx 平y x （1）在同一个坐标系内画出下列函数图像；并说出它们有什么关系？ ①y=-2x ②y=-2x-4（2）①将直线y ＝-2x ＋3向下平移5个单位；得到直线 ．②直线y=－5x+7可以看作是由直线y=－5x －1向 平移 个单位得到的. （3）求函数323-=x y 与x 轴、y 轴的交点坐标；并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积. y=2x-3平行的直线 y=－x+2与x 轴的交点坐标是 ；与y 轴的交点坐标是②直线y=232-x 与x 轴的交点坐标是 ；与y 轴的交点坐标是 （2）直线y=2x-3可以由直线y=2x 经过 单位而得到；直线y=-3x+2可以由直线y=-3x 经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到．y=2x-3平行；且经过点（2；7）的直线 （1）直线y ＝4x －3过点（_____；0）、（0； ）；直线231+-=x y 过点（ ；0）、（0； ）． （2）一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24；求b .（3)一次函数的性质设y=kx+b(k ≠0)；则当k ＞0时；y 随x 的增大而增大；当k ＜0； y 随x 的增大而减小.当b ＞0时；直线交y 轴于正半轴；当b ＜0时；直线交y 轴于负半轴；当b=0时；直线过原点 正比例函数的图象：函数y=kx(k 是常数；k ≠0)的图象是过原点及点(1；k)的一条直线. 当k ＞0时；图象过原点及第一、第三象限；当k ＜0时；图象过原点及第二、第四象限.正比例函数的性质：设y=kx(k ≠0)；则当k ＞0时；y 随x 的增大而增大；当k ＜0时；y 随x 的增大而减小. （2）、求一次函数b kx y +=与x 轴、y 轴的交点坐标①与x 轴的交点坐标：令y = 0；求x ；②与y 轴的交点坐标：令x = 0, 求y 当k>0时；y 随x 的增大而增大；这时函数的图像从左到右上升. 当k<0时；y 随x 的增大而减小；这时函数的图像从左到右下降. 当k>0；b>0时；函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限. 当k>0；b<0时；函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限. 当k<0；b>0时；函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限. k<0；b<0时；函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限. （1）y =-2x +2的图象,结合图象回答下列问题.①随着x 的增大；y 将 （填“增大”或“减小”） ②它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）③图象与x 轴的交点坐标是 ；与y 轴的交点坐标是④这个函数中,随着x 的增大,y 将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化? ⑤当x 取何值时,y =0?当x 取何值时,y ＞0?（2）某个一次函数的图象位置大致如下图所示；试分别确定k 、b 的符号；并说出函数的性质.①（3）已知一次函数y ＝(2m-1)x ＋m ＋当m 取何值时,y 随x 的增大而增大?,y 随x 的增大而减小? y ＝(1-2m)x ＋m-1；若函数y 随x 的增大而减小；并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围 .（2）若 a 是非零实数 , 则直线 y=ax-a 一 定（ ）A.第一、二象限B. 第二、三象限C.第三、四象限D. 第一、四象限（3）如图；表示一次函数y=mx+n 与正比例函数y=mnx （m,n 为常数；且mn ≠0）图象的是（ ）y 的值随x 值的增大而减小的是（） Ａ．y=2x Ｂ．y=3x-6 Ｃ．y=-2x+5 Ｄ．y=3x+7(2) 已知一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限；也不经过原点；那么k b 、的取值范围是（ ） Ａ．0k >且0b <Ｂ．0k >且0b < Ｃ．0k <且0b >Ｄ．0k <且0b <（3）直线y mx n =+如图所示；化简：m n --= ．（4）如图所示；已知正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大；则一次函数y x k =--的图象大致是（ ）待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数）数；从而得出所求结果的方法；叫做待定系数法. 一设 b kx y += 二代 （将点的坐标代入解析式；构造待定系数的方程或方程组；） （用已知等量关系或几何条件；构造待定系数的方程或方程组）三解 （解方程或方程组） 四还原（将解出来的系数代入所设的函数解析式）y=kx+b 的图像经过点（-1,1）和点（1；-5）求这个一次函数的关系式；并求当x=5时；函数y .直线y=kx+5经过点（-2,1）.（2）小李暑假去旅游；当地山区海拔每增加100米；气温下降0.6℃；小李在山脚看了一下随身带着的温度34℃；乘缆车到山顶发现温度为32.2℃；求山高. .现测得一定量的酒精在0℃时的体积为5.250升；在40℃时的体积是5.481升；求这些酒精在10℃；30℃时的体积各是多少？Ｂ． C ． D ． x x x x D ．Ｃ． B ． A ．一次函数的图象正比例函数和一次函数的图象都是一条直线；所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b ；直线y=kx ”.因为一次函数的图象是一条直线；所以在画一次函数的图象时；只要描出两个点；在通过两点作直线即可. 1、画正比例函数y=kx(k ≠0的常数)的图象时；只需要这两个特殊点：（0；0）和（1；k ）两点；2、画一次函数y=kx+b(k 、b 为常数；k ≠0)的图象时；只需要找出它与坐标轴的两个交点即可.一次函数与x轴的交点坐标是：（0；b ）；与y 轴的交点坐标是：（k b-；0）4．反比例函数 （1）一般的；形如k k xky ,0(≠=是常数）的函数叫做反比例函数. 例题： （1）已知矩形的面积为15平方厘米；设它的长为x 厘米；宽为y 厘米,那么y 与x 之间的函数关系式是 .. （1）已知2xy-6=0；则y 是x 的（ ）. （A ）正比例函数 （B ）反比例函数 （C ）一次函数 （D ）不成函数关系 （3）若函数y=22(4)3mm x-+-是y 关于x 的反比例函数；则m= 练习：（1）一台抽水机每小时灌田10公顷；用若干台抽水机灌田300公顷；用解析法表示抽水机的台数n 和完成任务所需的时间t （时）之间的函数关系为 .（2）在下列各式中；不是反比例函数关系的是（ ）（Α）4xy=1 （B ）y x=2 （C ）y=mx-1(m ≠0) （D ）y=4xx作业：（1）若y 与z 成正比例；z 与x 成正比例；则y 与x 成 ；若y 与z 成反比例；z 与x 成正比例；则y 与x 成 ；若y 与z 成反比例；z 与x 也成反比例；则y 与x 成 . （2）反比例函数的图像是双曲线. （3）反比例函数的性质1）当k>0时；函数的图像在第Ⅰ、Ⅲ象限；在每个象限内；曲线从左向右下降；也就是在每个象限内y 随x 的增大而减小.2）当k<0时；函数的图像在第Ⅱ、Ⅳ象限；在每个象限内；曲线从左向右上升；也就是在每个象限内y 随x 的增大而增大. 5.反比例函数(1)反比例函数的图象：函数xky =(k ≠0)是双曲线. 当k ＞0时；图象在第一、第三象限； 当k ＜0时；图象在第二、第四象限. ⑵反比例函数的性质：设xky =(k ≠0)；则 当k ＞0时；在每个象限中；y 随x 的增大而减小； 当k ＜0时；在每个象限中；y 随x 的增大而增大. ⑶反比例函数y=kx中k 的意义：如图；过反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ；则所得的矩形PMON 的面积xy x y PN PM S =⋅=⋅==k ．例题：（1）如图：反比例函数y=kx的图象经过点Α；则k 的值是（ ） （Α）2 （B ）1.5 （C ）-3 （D ）-32（2）若反比例函数3ky x-=的图象位于第二、四象限；则k 的取值范围是 . （3）在同一直角坐标系中；函数y=3x 与y=1x-的图象大致是（ ）（4）在函数x y 5-=的图象上有三点（-1；y 1）、（-14；y 2）、（12,y 3）；则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）. （Α）y 2<y 3<y 1 （B ）y 3<y 2<y 1）y 1<y 3<y 2 （D ）y 1<y 2<y 3 练习：1；2）；则它的图象也一定经过（ ）（Α）（-1；-2）（B ）（-1；2） （C ）（1；-2） （D ）（-2；1） （2）在函数y=-1x的图象上有三点Α、B 、C ；过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线；过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为S 1、S 2、S 3；则（ ） （Α）S 1>S 2>S 3 （B ）S 1<S 2<S 3 （C ）S 1<S 3<S 2 （D ）S 1=S 2=S 3作业：已知y 是x 的反比例函数；且当x=3时；y=8. ①求y 是x 的函数关系式.②求当x=322时；y 的值.③当x 取何值时；y=1.5.5．二元一次方程组的图像解法11 / 12 jC N F DB E M A 画出方程组对应的两个一次函数的图像；找出它们的交点；这个交点的坐标就是二元一次方程组的解；.① ⎪⎩⎪⎨⎧+=--=42112x y x y ②⎩⎨⎧-=+=-522y x y x 6．一次函数与一元一次不等式y=kx+b （k ≠0）的函数值y>0的自变量的所有的值；就是一元一次不等式kx+b>0的解集. y=1.5x+3的图像；指出①x 取何值时；y>0？②x 取何值时；y<0？（2）学校准备去春游；甲乙两家旅行社原价为每人60元；且都表示对学生优惠；甲旅行社表示：全部8折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人则全部9折收费；超过30人全部按7折收费.①试分别写出甲乙两家旅行社实际收取的总费用y 关于春游学生人数x 的函数关系式.②讨论选择哪家旅行社较优惠；③在同一坐标系中画出题①的函数的图像；并根据图像解释题②讨论的结果.第19章 全等三角形1．命题判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题叫做真命题；错误的命题叫假命题...①全等三角形的对应边相等.②平行四边形的对应边相等.（2）指出下列命题中的真命题和假命题.①同位角相等；两直线平行.②多边形的内角和等于180°.2．公理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的；并把它们作为判断其他命题真假的原始依据；这样的真命题叫做公理.3．定理数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发；用逻辑推理的方法证明它们是正确的；并且可以进一步..并用逻辑推理的办法证明题①①同旁内角互补；两直线平行.②三角形的外角和等于360°.（2）判断下列命题是真命题还是假命题；若是假命题；举一个反例加以证明.①两个锐角的和是直角...”即；已知：如图；AB ⊥MN,CD ⊥MN,垂足分别是E,F 求证：AB ∥CD.12 / 12 O C DAD C D BE A C D B M A C4．全等三角形的判定一般三角形 SSS SAS ASA AASSSS SAS ASA AAS HLO 是平行四边形ABCD 的对角线的交点；△AOB 绕点O 旋转180°；可以与△ 重合；这说明△AOB ≌△ ；这两个三角形的对应边是AO 与 ；OB 与 ；BA 与 ；对应角是∠AOB 与 ；∠OBA 与 ；∠BAO 与 .AE 是平行四边形ABCD 的高；将△ABE 沿AD 方向平移；使点A 与点D 重合；点E 和点F 重合；则△ABE ≌ ；∠F= .ABC 内的一点；AB=AC ；将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°；点D 与点E 重合；则△ABD ≌ ；AD= ,BD= ..（SAS ）是等腰梯形ABCD 底边AB 的中点；求证△AMD ≌△BMC.（2）AB=AC ；AD=AE ；AB ⊥AC ；AD ⊥AE.求证：（1）∠B=∠C ；（2）BD=CE；∠D=∠C.求证：△AED ≌△BFC.。