2020年山西省高考数学百日冲刺试卷(一)(3月份)(有答案解析)

2020届百校联考高三高考百日冲刺金卷（全国Ⅰ卷）文科数学试卷（一）★祝考试顺利★注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。

2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0},B ＝{x|y 则A ∩B ＝ (A)[0,34] (B)∅ (C)[0,12] (D) [12,34] (2)设复数4273i z i-=-,则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况,研究人员在A 学校进行抽样调查,则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为,则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.2y x =±C.23y x =±D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图,若判断框中的条件为n<2019,则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤四丈,深六丈五尺,问积几何”。

译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺,长4丈,深6丈5尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。

)(A)45000立方尺 (B)52000立方尺 (C)63000立方尺 (D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷1（三）（全国Ⅱ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U={0,1，2，3，4，5}，A={0,2}，B={x∈N∗||x|<4}，则(∁U A)∩(∁U B)=()A. {4}B. {5}C. {4,5}D. {3,4，5}2.若复数z满足(1−i)⋅z=1+3i(i是虚数单位)，则|z|等于()A. √62B. √6C. 2D. √53.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()A. x212+y2=1 B. x24+y23=1 C. x23+y24=1 D. x216+y23=14.小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为()A. 2536B. 1136C. 49D. 595.为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得铁塔在东偏北19∘7′方向上，塔顶T处的仰角为30∘，小刘从A处向正东方向走140米到地面B处，测得铁塔在东偏北79∘7′方向上．塔顶T处的仰角为60∘，则铁塔OT的高度为()．A. 20√7米B. 25√7米C. 20√21米D. 25√21米6.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R)在一个周期内的图象如图所示，则y= f(x)的解析式是()A. f(x)=sin(2x−π6) B. f(x)=sin(2x+π3)C. f(x)=sin(2x+π6) D. f(x)=sin(x+π3)7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是()A. √22B. √23C. √24D. 138.函数f(x)=(1−x2)log3|x|的图象大致是()A. B.C. D.9.已知实数a，b满足a−13>b−13>1，则log a b，log b a，log a2的大小关系是()A. log a2<log b a<log a bB. log a b<log b a<log a2C. log a b<log a2<log b aD. log a2<log a b<log b a10.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的x值为()A. 0B. 1C. 16D. 3211.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. 15B. 25C. 35D. 4512.已知f(x)=2f(−x)+x2+3x，则函数f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为A. y=−x+1B. y=x+1C. y=−x−1D. y=x−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(t,−6)，且a ⃗⃗⃗ ，b⃗ 共线，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为________．14.已知tan(α−π4)=−17,α∈(0,π2)，则sin(α+π6)的值是_______．15.曲线在点(−1,3)处的切线方程为_________．16.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx.若对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1<x2，f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，则a的取值范围为___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．(I)求数列的通项公式；(II)令，证明：．18.某网上论坛从关注某事件的跟贴中，随机抽取了100名网友进行调査统计，先分别统计他们在跟贴中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如表：一般关注强烈关注合计男45女1055合计100性别有关；(2)现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人，再从这5人中选取2人，求这2人中至少有1名女性的概率．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.0500.010k0 3.841 6.63519.如图，△PAD中，∠PDA=90°，DP=DA=2，B，C分别是PA，PD的中点，将△PBC沿BC折起，连结PA，PD，得到多面体PABCD．(1)证明：在多面体PABCD中，BC⊥PD；(2)在多面体PABCD中，当PA=√6时，求点B到平面PAD的距离．20.已知直线l的方程是y=x−1和抛物线C：x2=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A，B，(Ⅰ)求证：直线AB恒过定点．(Ⅱ)求△PAB面积的最小值．21.已知f(x)=x3+ax2+bx+c，在x=1与x=−2时，都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若x∈[−3,2]都有f(x)>4c −12恒成立，求c的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =2√33+tsinα(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=2(θ∈[0,π]，直线l 与曲线C 交于两不同的点M ，N ．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求α的范围； (2)求MN 中点P 轨迹的参数方程．23. 已知函数f(x)=|x −m|−|2x +3m|(m >0)．(1)当m =1时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f(x)<|2+t|+|t −1|恒成立，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析： 【分析】本题主要考查的是交集与补集的有关知识，先根据题意求出∁U A ={1,3,4,5}，∁U B ={0,4,5}，然后利用交集的定义进行求解即可． 【解答】解：∵B ={x ∈N ∗||x|<4}={1,2，3}， 又集合U ={0,1，2，3，4，5}，A ={0,2}， ∴∁U A ={1,3,4,5}，∁U B ={0,4,5}， ∴(∁U A)∩(∁U B)={4,5}． 故选C ．2.答案：D解析：由(1−i)⋅z =1+3i ， 得z =1+3i 1−i=(1+3i)(1+i)2=−1+2i ，∴|z|=√5． 故选：D ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：解：由题意可得{abπ=2√3π2b =2√3，解得a =2，b =√3，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．利用已知条件，结合椭圆的性质，求解a ，b ，得到椭圆方程． 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，是基本知识的考查．4.答案：B。

2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（1）•选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）(5 分)已知集合 A = {0 , 1, 2, 3}，集合 B = {x|X S 2}，贝U A n B =(OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（A .充分不必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件2. 3. A . {0 , 3} （5分）若复数 骨（5分）如图, 中点，在M , B • {0 , 1, 2} C . {1 , 2}{0 , 1 , 2, 3}z 满足z （1 - i ） 2= i （i 是虚数单位），则|z|为 B .寺 在圆心角为直角半径为 2的扇形OAB 区域中, M , N 分别为OA , OB 的N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA , OB 为直径4. 兀B .--1 22（5分）“三个实数a , b , c 成等差数列”是“ 2b = a+c “的（ 5. (5 分)函数 f(x) =—|31的图象大致为（1.的圆，在扇形 C .充要条件6. （ 5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等•如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a , b 分别为5, 2,则输出的n =（& （ 5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）D. 7.8展开式中x 3的系数为（C . 3A . - 122B . 28C . 56D . 112?x €值范围是（A . 36+12 nB .36+167tC . 40+12 nD . 40+16 n9. （5分）已知点 M 的坐标（x , y ） 满足不等式组 2x+y-4^0r-y-2^0y-3<0,N 为直线y =- 2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（B.' C . 1D.'5521 （a > b >0）的左顶点、上顶点和左焦点分别为A ,B , F ,中心为O ,其离心率为 ，贝V ABF : BFO =(A . 1: 1B . 1: 2C .D .一11. (5 分)已知向量：'=(x 2, 1 - 2ax ), ,]=( a , 1）,函数g （x ）=p 蔦在区间［2 , 3］上有最大值为4,f (x )= ，不等式 f （2x -k?2x > 0在x€［2 , 3］上恒成立，则 k 的取A . (-a,0]B . (-a，亍］C . (-a, 1]D . (-a,g1612. （ 5分）设奇函数f （x ）的定义域为（- 一〒，—），且f （X ）的图象是连续不间断,2）A .10. （ 5分）已知椭圆（-今，0），有f'( x) cosx+f (x) sinx> 0, 茎 f (m)v f ( ) cos (- m),的取值范围是（?x€MN 折起得到四棱锥 A - MNCB •点P 为四棱锥A - MNCB 的外接球球面上任意一点，当 四棱锥A - MNCB 的体积最大时，F 到平面MNCB 距离的最大值为16. （5分）《聊斋志异》中有这样一首诗： "挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无兀 兀、f / c 兀、—,-一）B.（o )C.(-(共4小题，满分 20分，每小题 5分）A，_)D J —,一13. (5 分) 1（a >0,点，P 是双曲线上一点, |PO|= c , △ FOF 的面积为,则该双曲线的离心率为 14. (5 分)若函数 f (x )= 2sin ( w x+ $)(5 >Q,| Q | V —)的部分图象如图所示，则 ,M ，N 分别为AB , AC 的中点，将△ AMN 沿三.解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17. （12分）已知△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 满足:二二---- "I:二in . （1 ）若b 2= ac ,试判断△ ABC 的形状，并说明理由; （2）若衬』，求厶ABC 周长I 的取值范围.18. （12分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是梯形,=—BC = 2, PB 丄AC .2AD // BC , AB = AD = DC（1）证明：平面 FAB 丄平面ABCD ; （2）若已知双曲线A .(- 二.填空题，则按照以上规律，若 41具有穿墙术，则n =所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”19. (12分)对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到•已知学校要求每天早晨7：15之前到校，7：15之后到校记为迟到•小明每天6: 15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6: 45小明就可以出门去上学•从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X (分钟)表示步行到校的时间，可以认为X〜N (22 , 4).若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y (分钟)描述骑车到校的时间，可以认为丫〜N (16, 16).若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z (分钟)描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z〜N (10, 64).(1)若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6: 40 了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6: 50.请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？(2)已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量E表示这五天小明上学骑车的费用，求E的期望与方差(此小题结果均保留三位有效数字)已知若随机变量n 〜N( 0, 1)，贝y P (- 1< n< 1) = 68.26%, P (- 2 < n< 2)= 95.44%,P (- 3< n< 3 )= 99.74%.20. (12分)已知椭圆一+一 .. = 1 (a > b>0)的右焦点F的坐标为(1, 0),离心率e=(I)求椭圆的方程；(n)设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF丄QF , C为PQ的中点,线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点.(i)求证：A为BC的中点；2 x21. (12 分)已知函数f (x)= x2-ae x- 1.(1 )若f (x)有两个不同的极值点x i, x2,求实数a的取值范围;(2 )在(1 )的条件下，求证：』1 +』匸＞_.SL四•解答题(共1小题，满分10分，每小题10分)22. (10分)直角坐标系xOy中直线I: y=- x,圆C的参数方程为参数).(1)求C的普通方程，写出I的极坐标方程；(H)直线I与圆C交于A, B, O为坐标原点，求I；-,.五•解答题(共1小题)x x+123. 已知函数f (x)= 4 - a?2 +a+1(1 )若a = 2,求不等式f (x)v 0的解集；(2)求函数f (x)在区间［1 , 2］上的最小值h (a).es ：（。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈R|x>1}，B={x∈R|x2≤4}，则A∪B=()A. [−2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. (−∞,+∞)=()2.若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，其中m是实数，则1zA. −iB. 2iC. iD. −2i3.某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取()人．A. 56B. 28C. 11D. 54.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则｜MN｜等于()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 105.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的S值为()A. 8B. 19C. 42D. 896.《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少？”这个问题的答案是()A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈7. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 7=4，则S 13= ( )A. 52B. 39C. 26D. 138. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 409. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 323B. 163C. 8√33 D. 16√2310. 如图，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P 、Q ，若∠PAQ =60°，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33 B. √72 C. √396D. √311. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)=12，则不等式f(x)−12e x <0的解集为( )A. (−∞,12)B. (0,+∞)C. (12,+∞)D. (−∞,0)12.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2n=n−a n，a2n+1=a n+1，则S100=()A. 1306B. 1308C. 1310D. 1312二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,−2)，则(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=______ ．14.设变量x，y满足约束条件{y≥xx+2y−2≤0x+2≥0则z=|x−3y|的最大值是．15.函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是________．16.已知函数的部分图象如图所示，则f(0)=__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=2√10，∠CAD=π4，tan∠ADC=−2，(1)求CD的长；(2)求ΔBCD的面积。

山西省大同市2020届高三下学期3月模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|log (1)1},{|2}A x x B x x a =-<=-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,3) B ．[1,3] C ．[1,)+∞ D ．(,3]-∞ 2．若复数z 满足（为虚数单位），则复数|z |的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．31+3．已知0.12tan 5a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2b =，23log cos 7c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >c >b 4．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15， …．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球， …）．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为（ ） A ．55 B ．220 C ．285 D ．385 5．下列图象中，不可能是函数的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示．金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数．所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”．如图2所示的天元式表示方程，其中，，，，表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂．试根据上述数学史料，判断图3所示的天元式表示的方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图，输出结果（ ） A ．-50 B ．-60 C ．-72 D ．608．已知单位向量a ，b 的夹角为，且 ，若向量m a -3b ，则|m（ ） A ．B ．C ．D ．或9．已知(2x +a )的展开式中的系数是42，则常数a ，b 应当满足的条件是（ ） A ．R ，B ．R ，C ．R ，D ．，R10．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->的最小正周期为2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 11．已知M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支上一点，,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，60MFA ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．212．设定义在R 上的函数满足，且当［-1，0）时，．若对任意，不等式3()4f x ≤恒成立，则实数的最小值是（ ） A ．178-B ．94-C ．114-D ．238-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知数列是等差数列，是其前n 项和．若，，则_____14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且函数(1)y f x =-为偶函数，当01x ≤≤时，3()f x x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．15．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（当一人先赢3局时获胜，比赛结束）．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为23，执黑棋时取胜的概率为12，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3：2获胜的概率为________．16．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中记述：羡除，隧道也，其形体上面平而下面斜，一面与地面垂直，并用“分割法”加以剖分求其体积．如图所示的五面体ABCDEF 是一个羡除，两个梯形侧面ABCD 与CDEF 相互垂直，．若，，，梯形ABCD 与CDEF 的高分别为和，则该羡除的体积________；由此归纳出求羡除体积的一般公式为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2sin sin cos 2CA B =， (3)sin ()(sin sin )c b C a b A B -=+-． （1）求A ∠和B ∠的大小；（2）若ABC △的面积为3，求BC 边上中线AM 的长．18．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112,30,6AB AC AA BC ACA BC ====∠=︒=． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角11B AC C --的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙两名运动员共参加3次百米赛跑预赛，赢2次以上者（包含2次）获得决赛资格．每次预赛通过摸球的方法决定赛道，规则如下：裁判员从装有n 个红球和2个白球的口袋中不放回地依次摸出2球，若2球的颜色不同，则甲在第一赛道，否则乙在第一赛道（每次赛道确定后，再将取出的两个球放回袋中）．假设甲获得决赛资格的概率为727，每次预赛结果互相独立，且无相同成绩． （Ⅰ）当口袋中放入红球的个数n 为多少时，3次比赛中甲恰有2次在第一赛道的概率最大; （Ⅱ）若在3次比赛中，运动员每赢一次记1分，否则记-1分，求甲得分X 的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，半焦距，点F 到右准线2a x c =的距离为12，过点F 作双曲线C 的两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ．（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）证明： 直线MN 必过定点，并求出此定点坐标． 21．（本小题满分12分）已知函数2113()ln 424f x x ax x =+-+． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：1212()()124f x f x a x x ->--．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（为参数），直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）若，求曲线C 与直线l 的两个交点之间的距离；（Ⅱ）若曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为，求m 的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知()11f x x ax a =++-+．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集；ABCA 1B 1C 1（2）若1x ≥时，不等式()2f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．理科数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案：B解析：2{|log (1)1}{|012}{|13}A x x x x x x =-<=<-<=<<，{|2}B x x a =-<={|22}{|22}x x a x a x a -<-<=-<<+，因为A B ⊆，所以2123a a -⎧⎨+⎩≤≥，解得13a ≤≤．2．答案：C 解析：设，由可得，即复数在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由数形结合知，的最大值为．故选C ．3．答案：A 解析：，．故选A ．4．答案：B解析： “三角形数”的通项公式，前项和．当时，．故选B ．5．答案：A 解析：函数为非单调函数，排除B ，C ，D ．故选A ．6．答案：C解析：对照图1，可知图3中的数字从上到下依次为1，286，1743．又“元”在286旁，故286为一次项系数，1743为二次项系数，1为常数项．故选C ． 7．答案：D 解析：输出时，，所以．故选D ．8．答案：A 解析：由，为的夹角，故为锐角，所以求得，所以．故选A ．9．答案：C 解析：的通项公式为，其中的系数为，展开式中没有含的项，所以中的系数为，所以，而．故选C ． 10．答案：B解析：()3cos 2sin 6πωωωf x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，最小正周期22,1ππωωT ==∴=， ()2sin 6πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22,262k x k k Z πππππ--+∈≤≤，得222,33ππππ≤≤k x k k Z -+∈． 所以()f x 的单调递增区间是22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 11．答案：B解析：为方便运算，不妨设1a =，则(1,0),(,0)A F c -，因为AFM △是正三角形，所以13(1)2c c M ⎛-+ ⎝⎭，将其代入22211y x c -=-，得222(1)3(1)144(1)c c c -+-=-，即2(1)3(1)144(1)c c c -+-=-， 所以32(1)3(1)4(1),(1)(23)3(1)c c c c c x c --+=-∴---=+，(1)(3)3c c ∴--=，240,4c c c -=∴=，所以离心率4ce a==． 12．答案：B 解析：由已知，当时，可得，当时，； 当时，；画出函数草图，令，化简得，解得，由图可知，当时，不等式恒成立．故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：4 解析：由，得．又，即，解得．所以．14．答案：18-解析：()f x 关于(0,0)对称，关于直线1x =-对称，所以35511122228f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15．答案：解析：甲以3∶2获胜，则第5局甲获胜，前四局为平局，甲两胜两负．根据规则，甲执红棋开局，则前四局甲执棋顺序是“红黑红黑”，第5局甲执红棋．前四局甲取胜可能的情况是①甲2次执红棋取胜；②甲2次执黑棋取胜；③甲1次执红棋和1次执黑棋取胜．故概率为．16．答案：(1)．3 (2)．解析：在平面内，过两点分别作的垂线，垂足分别为，在平面内，过两点分别作的垂线，垂足分别为．由平面与平面相互垂直知，，又，易证平面平面，且平面，所以几何体为直棱柱．将羡除分割为两个四棱锥和一个直棱柱．所以所求几何体体积．从以上求解过程可归纳出求羡除体积的一般公式为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． 17．解析：（1）因为(3)sin ()(sin sin )c b C a b A B =+-，所以(3)()()c b c a b a b -=+-，所以2223a b c bc =+，即3cos A =30A =︒， 因为2sin sin cos 2C A B =，所以1cos sin sin 2C A B +=，即sin 1cos B C =+， 因为150B C +=︒，所以sin 1cos(150)1cos150cos sin150sin B B B B =+︒-=+︒+︒，即()13sin sin 60122B B B +=+︒=，所以30B =︒． 6分 （2）,120a bC ==︒，因为213sin 324ABC S ab C a ===△2a b ==， 在ACM △中，22212cos1204121272AM AC CM AC CM ⎛⎫=+-⨯︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7AM =……………………………………………………………………12分18．解析：（1）记11A C AC O =I ，连结BO ．因为1AB BC =，所以1BO AC ⊥． 由题意知1ACC △为正三角形，求得3CO =在1ABC △中求得3BO =，又6BC =所以222BC CO BO =+，所以BO CO ⊥．因为1CO AC O =I ，所以BO ⊥平面11AAC C ．ABCM因为BO ⊂平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ．………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,1,3)A C C B ---， 1(0,2,0),(3,2,3)AC AB =-=-uu u r uuu r．因为BO ⊥平面11AAC C ，所以平面11AAC C 的法向量为(0,0,3)m =u r．设平面11AB C 的法向量为(,,)n x y z =r ，则1203230n AC y n AB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r uuu r r uuu r，取1x =，则0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =-r．所以32cos ,232m n m n m n⋅-===-⨯⋅u r ru r r u r r ，因为所求二面角的平面角为钝角， 所以所求二面角11B AC C --的余弦值为22-．………………………………………………12分 19．解析：（Ⅰ）设每次比赛甲在第一赛道的概率为，则3次比赛中，甲恰有2次在第一赛道的概率为，则．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值．而由摸球的规则知，，解得或．故当口袋中放入一个红球或两个红球时，3次比赛中甲恰有2次分在第一赛道的概率最大． ………………………………（4分） （Ⅱ）设甲在每次比赛中胜出的概率为，由已知甲在比赛中最终获胜的概率为，即甲在3次比赛中有2次胜出或3次胜出的概率为，所以．化简得，即，所以，解得或（舍去），所以甲在每次比赛中胜出的概率为．………………………………（8分）由题意知，甲得分的所有可能取值为．，，．故甲得分的分布列为：1 3所以随机变量的数学期望．………………………………（12分）20．解析：（Ⅰ）由题设可得，所以．所以双曲线的标准方程为．………………………………（4分）（Ⅱ）证明：点坐标为，设过点的弦所在的直线方程为，则有．联立得．因为弦与双曲线有两个交点，所以，所以．所以．………………………………（8分）（1）当时，点即是点，此时，直线为轴．（2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得． ①当直线不垂直于轴时，直线的斜率，将点代入方程得，化简得，所以直线过定点； ②当直线垂直轴时，，此时，，直线也过定点． 综上所述，直线必过定点．………………………………（12分）21．解析：当1a =-时，2113()ln 424f x x x x =--+，(1)0f =． 21112(2)(1)()2222x x x x f x x x x x+-+-'=--=-=-．当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>．在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减．………………………………………………4分（2）因为2113()ln 424f x x ax x =+-+，所以21112()222ax x f x ax x x -+'=+-=． 因为()f x 存在两个极值点，所以220ax x -+=在(0,)+∞有两根．所以0180a a >⎧⎨∆=->⎩，所以108a <<，且121212,x x x x a a +==． 因为22121212121212121211(ln ln )()()()()ln ln 1424x x a x x x x f x f x x x x x x x x x -+-----==----． 要证1212()()124f x f x a x x ->--，只需证121212ln ln 22x x a x x x x ->=-+，即证12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+．令121x t x =>，只需证2(1)ln 1t t t ->+． 令2(1)()ln ,(1)01t g t t g t -=-=+，所以2214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=++≥， 所以()g t 在(1,)+∞单调递增，因为1t >，所以()(1)g t g >，即2(1)ln 01t t t -->+． 所以，1212()()124f x f x a x x ->--． 22．解析：（Ⅰ）若，的参数方程为（为参数）． 即（为参数），与曲线联立得，，则所以曲线与直线的两交点间的距离为．………………………………（4分）（Ⅱ）直线的普通方程为，故曲线上的点到直线的距离．………………………………（6分） 当时，的最大值为，由题设得，解得；当时，的最大值为，由题设得，所以．综上，或．………………………………（10分）23．解析：（1）当1a =时，不等式()3f x ≥化为13x x ++≥．当1x <-时，13x x ---≥，解得2x -≤，所以2x -≤；当10x -≤≤时，13,13x x +-≥≥，无解；当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．所以，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞U ．…………………………………………………4分（2）当1x ≥时，不等式()2f x x +≥化为112x ax a x ++-++≥，即11ax a -+≥． 由11ax a -+≥，得11ax a -+-≤或11ax a -+≥，即(1)2a x --≤或(1)0a x -≥． 当x ≥1时，不等式(1)2a x --≤不恒成立；当1x ≥时，若不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．所以，所求a 的取值范围为[0,)+∞．…………………………………………………………10分。

2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题1．集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，3）B．（﹣∞，3）C．（﹣2，2）D．（0，2）2．已知复数z＝（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．B．C．﹣2D．23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a5﹣a2＝2，则S15＝（）A．28B．30C．56D．604．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝x3+3x，则，，的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．函数的大致图象为（）A．B．C．D．6．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）（O为坐标原点）的焦点，倾斜角为的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A，当|AF|＝2时，抛物线方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x7．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，且f（a+x）+f（a﹣x）＝0，则|a|的最小值为（）A．B．C．D．9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升（注：一斗为十升）．问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15（单位：升），则输入的k的值为（）A．45B．60C．75D．10010．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC 的面积的最大值为（）A．4B．2C．2D．11．已知F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若直线与双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂足为D，且D为OF2（O为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2的最大值为（）A．B．2ln2﹣C．3ln2﹣2D．ln2﹣1二．填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.）13．已知向量，的夹角为，且＝（1，0），||＝，则|2|＝．14．某中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将800名学生从1到800进行编号，在1至16号中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从41至56号中应取的数是．15．已知，，则cosα的值为16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如表：A类B类C类男生x53女生y33（Ⅰ）求出表中x，y的值；（Ⅱ）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计附：K2＝P（K2≥k0）0.100.050.01k0 2.706 3.841 6.63518．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AC，AB＝AC＝1，PB＝2，PC＝，∠PBA＝45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PAC；（2）E，F分别是棱PB，BC的中点，G为棱PC上的点，求三棱锥A﹣EFG的体积．20．已知函数．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣2y﹣3＝0，求实数a的值；（2）当a＞0时，证明函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x恰有一个零点．21．已知动点P是△PMN的顶点，M（﹣2，0），N（2，0），直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设四边形ABCD的顶点都在曲线E上，且AB∥CD，直线AB，CD分别过点（﹣1，0），（1，0），求四边形ABCD的面积为时，直线AB的方程．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．参考答案一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣2，3）B．（﹣∞，3）C．（﹣2，2）D．（0，2）【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}＝（0，2）．故选：D．2．已知复数z＝（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】根据复数除法运算化简z，根据纯虚数定义求得a．解：∵z＝＝是纯虚数，∴，解得：a＝﹣，故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a5﹣a2＝2，则S15＝（）A．28B．30C．56D．60【分析】由等差数列{a n}的性质及其2a5﹣a2＝2，可得a8＝2．再利用求和公式及其性质即可得出．解：由等差数列{a n}的性质及其2a5﹣a2＝2，∴a8＝2．∴S15＝＝15a8＝30．故选：B．4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝x3+3x，则，，的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据题意，由偶函数的性质可得b＝f（3），由对数、指数的性质分析可得，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则，又由，当x≥0，f（x）＝x3+3x在[0，+∞）上单调递增，则有，即b＞a＞c，故选：C．5．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】结合函数值的对应性，以及极限思想进行排除即可．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝f（x），函数为偶函数，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，D，f（1）＝＞﹣1，∴排除B，故选：C．6．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）（O为坐标原点）的焦点，倾斜角为的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A，当|AF|＝2时，抛物线方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【分析】过A作AB⊥x轴于B点，Rt△ABF中，由∠AFB＝且|AF|＝2，得|BF|＝1，从而求得A的横坐标．再由抛物线的焦半径公式可得p的值，从而得到该抛物线的方程．解：过A作AB⊥x轴于B点，则在Rt△ABF中，∠AFB＝，|AF|＝2，∴|BF|＝|AF|＝1，则，∴|AF|＝，得p＝1．∴抛物线的方程为y2＝2x．故选：B．7．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，12片树叶是由24个相同的弓形组成，计算弓形的面积，利用几何概率的计算公式求解即可．解：设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为S弓形＝πr2﹣•r2•sin＝πr2﹣．∴所求的概率为P＝＝＝4﹣．故选：B．8．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，且f（a+x）+f（a﹣x）＝0，则|a|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由图象可求得A、ω、φ，从而可得函数解析式，由f（a+x）+f（a﹣x）＝0可知f（x）关于点（a，0）对称，利用正弦函数的中心对称性即可得到答案．【解答】解由图象易知，A＝2，，∴ω＝2，又，∴（k∈Z），∵，∴，∴，∵f（a+x）+f（a﹣x）＝0，∴f（x）关于点（a，0）对称，即有，∴，∴|a|的最小值为，故选：A．9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升（注：一斗为十升）．问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S＝15（单位：升），则输入的k的值为（）A．45B．60C．75D．100【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：S＝k，n＝1，第一次执行循环体后，n＝2，S＝，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，n＝3，S＝，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，n＝4，S＝，满足退出循环的条件；若输出的S＝15（单位：升），即＝15，则输入的k的值为60，故输出k值为60，故选：B．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC 的面积的最大值为（）A．4B．2C．2D．【分析】由已知式子和正弦定理可得B＝，再由余弦定理可得ac≤16，由三角形的面积公式可得．解：∵在△ABC中＝，∴（2a﹣c）cos B＝b cos C，∴（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C，∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，约掉sin A可得cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，∴△ABC的面积S＝ac sin B＝ac≤4故选：A．11．已知F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若直线与双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂足为D，且D为OF2（O为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】联立方程组求出P点横坐标，根据中点中点坐标公式得出a，b，c的关系．解：把y＝x代入双曲线方程：得：x2＝，∵D为OF2（O为坐标原点）的中点，∴＝，又b2＝c2﹣a2，∴4a2（c2﹣a2）＝c2（c2﹣4a2），4a4﹣8a2c2+c4＝0，∴4﹣8e2+e4＝0，解得e2＝4+2或e2＝4﹣2，又e＞1，∴e＝+1．故选：D．12．已知函数f（x）＝，若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2的最大值为（）A．B．2ln2﹣C．3ln2﹣2D．ln2﹣1【分析】根据f（x）在每一段上的单调性可知x1＜0≤x2，利用换元的方式可将问题转化为求解g（t）＝lnt﹣，t≥1的最大值的问题，通过导数求解出g（t）最大值即可．解：设x1＜x2，当x＜0时，f（x）＝2x2，f（x）单调递减，不存在x1＜x2＜0，使得f（x1）＝f（x2），当x≥0时，f（x）＝e x，f（x）单调递增，不存在0≤x1＜x2，使得f（x1）＝f（x2），∴x1＜0≤x2，令2x12＝e＝t，t≥1，则x1＝﹣，x2＝lnt，x1+x2＝lnt﹣，设g（t）＝lnt﹣，t≥1，则g′（t）＝﹣＝，令g′（t）＝0，解得t＝8，当1≤t＜8时，g′（t）＞0；当t＞8时，g′（t）＜0，则g（t）在[1，8）上单调递增，在（8，+∞）上单调递减，可得g（t）max＝g（8）＝ln8﹣2＝3ln2﹣2．故选：C．二．填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上.）13．已知向量，的夹角为，且＝（1，0），||＝，则|2|＝．【分析】利用数量积定义求解出数量积，利用向量的模求解出结果．解：因为向量，的夹角为，且＝（1，0），||＝，所以•＝||||cos＝＝1，则|2|＝＝＝．故答案为：．14．某中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查．现将800名学生从1到800进行编号，在1至16号中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从41至56号中应取的数是54．【分析】根据系统抽样的方法，把1﹣800分成50组，组距为16，第一组抽取的为6，依此类推，得到答案．【解答】解；根据系统抽样的方法，把1﹣800分成50组，组距为16，第一组为1﹣16；第二组为17﹣32，第三组33﹣48，第四组为49﹣64，…第一组抽取的为6，第三组组抽取的数为6+2×16＝38，第四组抽取的数为38+16＝54，54是41﹣56中的数，故答案为：54．15．已知，，则cosα的值为【分析】由α的取值范围，利用同角的三角函数关系与两角差的余弦公式，即可求得cosα的值．解：由，得+α∈（，π），由，得cos（+α）＝﹣＝﹣，所以cosα＝cos[（+α）﹣]＝cos（+α）cos+sin（+α）sin＝（﹣）×+×＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为．【分析】利用等体积法，设内切球半径为r，则r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）＝×PA•S△ABC，解得求出r，再根据球的体积公式即可求出．解：∵PA⊥底面ABC，∴PA是三棱锥P﹣ABC的高，∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC⊥BC，∴PC2＝PA2+AC2＝9+16＝25，PB2＝PA2+AB2＝9+25＝34，∴PB2＝PC2+BC2，∴S△ABC＝×AC×BC＝×4×3＝6，S△PAC＝×AC×PA＝×4×3＝6，S△PAB＝×AB×PA＝×5×3＝，S△PCB＝×PC×BC＝×5×3＝，∴V P﹣ABC＝×PA•S△ABC＝×3×6＝6，设内切球半径为r，则V P﹣ABC＝r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）＝r×（6+6++）＝9r，∴9r＝6，∴r＝∴V内切球＝×π×（）3＝，故答案为：三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如表：A类B类C类男生x53女生y33（Ⅰ）求出表中x，y的值；（Ⅱ）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计附：K2＝P（K2≥k0）0.100.050.01 k0 2.706 3.841 6.635【分析】（Ⅰ）根据题意列出方程组求出x、y的值；（Ⅱ）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）设抽取的20人中，男、女生人数分别为n1，n2，则；所以x＝12﹣5﹣3＝4，……y＝8﹣3﹣3＝2；（Ⅱ）列联表如下：男生女生总计不参加课外阅读426参加课外阅读8614总计12820K2的观测值k＝＝≈0.159＜2.706，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1＝2，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式和求和公式；（Ⅱ）运用数列的分组求和以及数列的裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：（Ⅰ）∵a1，a2，a4成等比数列，∴，∵a1＝2，∴（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2或d＝0（舍去），∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，∴＝．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AC，AB＝AC＝1，PB＝2，PC＝，∠PBA＝45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PAC；（2）E，F分别是棱PB，BC的中点，G为棱PC上的点，求三棱锥A﹣EFG的体积．【分析】（1）利用余弦定理求出PA，根据勾股定理可得AC⊥PA，利用线面垂直的判定定理可证得AC⊥平面PAB，根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）根据平行关系可知S△EFG＝S△PBC，则可得V A﹣EFG＝V A﹣PBC．【解答】（1）证明：在△PAB中，由余弦定理得：PA2＝PB2+AB2﹣2PB•AB•cos∠PBA＝5，故PA＝，又AC＝1，PC＝，∴PA2+AC2＝PC2，∴AC⊥PA，又AC⊥PB，PA∩PB＝P，∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC．（2）S△PAB＝PB•AB•sin∠PBA＝＝1，∴V C﹣PAB＝S△PAB•AC＝＝，∵E，F分别是棱PB，BC的中点，∴EF∥PC，EF＝PC，∴S△EFG＝S△PBC，∴V A﹣EFG＝V A﹣PBC＝V C﹣PAB＝．20．已知函数．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣2y﹣3＝0，求实数a的值；（2）当a＞0时，证明函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x恰有一个零点．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a的值；（2）求得﹣（a+1）x，x＞0的导数，讨论0＜a＜1，a＝1，a＞1，求得单调性，以及函数零点存在定理，即可得证．解：（1）函数的导数为，由切线的斜率为2得f′（1）＝a+1＝2．∴a＝1；（2）证明：﹣（a+1）x，x＞0，∴，①当0＜a＜1时，由g'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1，g'（x）＜0得a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）上递增，在（a，1）上递减，在（1，+∞）上递增．又＜0，g（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，∴当0＜a＜1时函数g（x）恰有一个零点；②当a＝1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在（0，+∞）上递增．又，g（4）＝ln4＞0，所以当a＝1时函数g（x）恰有一个零点；③当a＞1时，由g'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a，g'（x）＜0得1＜x＜a，∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，a）上递减，在（a，+∞）上递增．又，g（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，∴当a＞1时函数g（x）恰有一个零点．综上，当a＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x恰有一个零点．21．已知动点P是△PMN的顶点，M（﹣2，0），N（2，0），直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设四边形ABCD的顶点都在曲线E上，且AB∥CD，直线AB，CD分别过点（﹣1，0），（1，0），求四边形ABCD的面积为时，直线AB的方程．【分析】（1）设点P的坐标，根据斜率之积列方程，化简整理即可；（2）先由题意可得，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my﹣1，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离表示出三角形ABO的面积，再由图形的对称性得到四边形ABCD的面积，结合题中条件，即可求出结果．解：（1）设点P（x，y），∵直线PM与PN的斜率之积为﹣，即＝＝﹣，化简得（x≠±2），∴动点P的轨迹E的方程为（x≠±2）；（2）依题意，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，则y1+y2＝，，|y1﹣y2|＝＝，∴|AB|＝＝，又原点O到直线AB的距离d＝，∴S△ABO＝×＝，由图形的对称性可知，S ABCD＝4S△ABO，∴S ABCD＝＝，化简得18m4﹣m2﹣17＝0，解得m2＝1，即m＝±1，∴直线AB的方程为x＝±y﹣1，即x±y+1＝0．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．【分析】（Ⅰ）由条件根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4＝0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．解：（Ⅰ）由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：x＝﹣2 的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2＝1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ＝（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4＝0，即ρ2﹣（+2）ρ+4＝0，求得ρ1＝2，ρ2＝，∴|MN|＝|ρ1﹣ρ2|＝，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N＝×1×1＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）a＝﹣1时，得到函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|，从而得到不等式|2x﹣1|+|x ﹣2|≥6，讨论x值，去绝对值号解不等式即可；（2）由不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|得到不等式|2x+a|+|2x﹣4|≥3a2，而可求出|2x+a|+|2x ﹣4|的最小值为|a+4|，从而得到不等式|a+4|≥3a2，解该绝对值不等式即可得出a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|；则不等式为|2x﹣1|+|x﹣2|≥6；①当x≥2时，原不等式为2x﹣1+x﹣2≥6，解得：x≥3；②当时，原不等式为2x﹣1+2﹣x≥6，解得：x≥5．此时不等式无解；③当时，原不等式为1﹣2x+2﹣x≥6，解得：x≤﹣1；∴原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|；即关于x的不等式|2x+a|+2|x﹣2|≥3a2恒成立；而|2x+a|+2|x﹣2|＝|2x+a|+|2x﹣4|≥|（2x+a）﹣（2x﹣4）|＝|a+4|；∴|a+4|≥3a2；∴a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2；解得或a∈∅；所以a的取值范围是．。

2020年山西省高考数学百日冲刺试卷（一）（3月份）一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1.设复数z=（5+i）（1-i）（i为虚数单位），则z的虚部是（）A. 4iB. 4C. -4iD. -42.已知集合，B={x|-1≤x≤3，x∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C. 3D.4.不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（）A. 12B. 16C. 24D. 325.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. 2 C. 2π D. 4π6.设x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是（）A. 1B. 4C. 6D. 77.已知函数，则下列结论正确的是（）A. f（x）是周期函数B. f（x）奇函数C. f（x）的图象关于直线对称D. f（x）在处取得最大值8.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A. 4B. 13C. 40D. 419.在△ABC中，角A，B，C的对边分別为a，b，c，若，点G是△ABC的重心，且AG=，则△ABC 的面积为（）A. B. C. 或 D. 或10.已知抛物线C：y2=6x，直线l过点P（2，2），且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.11.函数f（x）=x sin2x+cos x的大致图象有可能是（）A. B.C. D.12.已知x＞0，函数f（x）=的最小值为6，则a=（）A. -2B. -1或7C. 1或-7D. 213.有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 24B. 20C. 16D. 48二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）14.已知向量，不共线m=2-3，n=3+k，如果m∥n，则k=______．15.已知函数f（x）满足，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为______．16.已知sin10°+m cos10°=2cos140°，则m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n+2-2，n∈N*．（1）若数列{a n}为等比数列，求数列{a n}的公比q的值．（2）若a2=a1=1，b n=a n+a n+1，求数列{b n}的通项公式．18.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的t i12345y i2427416479（）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）建立y关于t的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．（参考公式：，）19.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD．AB=2AD=4，．（1）证明：平面D1BC⊥平面D1BD；（2）若直线D1B与底面ABCD所成角为，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥C-MNQ的体积．20.顺次连接椭圆C：（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（0，-2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，k OA•k OB=-1，其中O为坐标原点，求|AB|．21.已知函数．若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，而，且x1＜x2．（1）设x=2是函数f（x）的极值点，求m的值，并求f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ=（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y=-x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．23.已知函数f（x）=|4x-1|-|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2-8a的解集不是空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵z=（5+i）（1-i）=6-4i，∴z的虚部是-4．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：B解析：解：，B={-1，0，1，2，3}；∴A∩B={-1，0，1}；∴A∩B中元素的个数为：3．故选：B．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B中元素的个数．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即，即有双曲线的e====2．故选：A．4.答案：C解析：解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：A解析：解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意知，r=h=l，则轴截面的面积为•=1，解得r=1，所以l=；所以该圆锥的侧面积为S圆锥侧=πrl=π．故选：A．设圆锥的底面圆半径、高和母线长，根据直角三角形的边角关系和面积公式列方程求出r和l的值，再计算圆锥的侧面积公式．本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．6.答案：D解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=-2x+y，得y=2x+z表示，斜率为2纵截距为z的一组平行直线,平移直线y=2x+z，当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，此时z最大，由，解得A（-2，3）此时-2x+y=7，即此时z=7，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．7.答案：C解析：解：作出函数f（x）的图象如图：则由图象知函数f（x）不是周期函数，故A错误，不是奇函数，故B错误，若x＞0，f（+x）=cos（+x）=cos cos x-sin sin x=（cos x-sin x），f（-x）=sin（-x）=sin cos x-cos sin x=（cos x-sin x），此时f（+x）=f（-x），若x≤0，f（+x）=sin（+x）=sin cos x+cos sin x=（cos x+sin x），f（-x）=cos（-x）=cos cos x+sin sin x=（cos x+sin x），此时f（+x）=f（-x），综上恒有f（+x）=f（-x），即图象关于直线对称，故C正确，f（x）在处f（x）=f（）=cos=0不是最大值，故D错误，故选：C．作出函数f（x）的图象，结合函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质分别进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键．8.答案：C解析：【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．【解答】解：模拟程序的运行，可得，A=1，B=0；满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2；满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3；满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4；满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5；此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选C．9.答案：D解析：解：由题可知2sin A sin B-sin A cos C=sin C cos A，∴2sin A sin B=sin（A+C）=sin B，∴sin A=，∴A=或，又AG=，延长AG交BC于点D，∴AD=，∵=（+），∴2=（+）2=（b2+c2+2bc cos A），当A=时，c=3，∴△ABC的面积为bc sin A=，当A=时，c=4，∴△ABC的面积为bc sin A=故选：D．先根据正弦定理可求出A=或，再根据向量的运算和余弦定理即可求出c，根据三角形的面积公式计算即可本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题10.答案：C解析：解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由y12=6x1，y22=6x2，相减可得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），∵y1+y2=4，∴k===，故选：C．根据点差法和中点坐标公式即可求出本题考查了点差法求出直线的斜率，属于基础题．11.答案：A解析：解：f（-x）=-x sin（-2x）+cos（-x）=x sin2x+cos x=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sin x cosx+cos x=0，得cos x（2x sinx+1）=0，得cos x=0，此时x=或，由2x sinx+1=0得sin x=-，作出函数y=sin x和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．12.答案：B解析：解：∵x＞0，∴e x-e-x＞0∴f（x）===（e x-e-x）+-2a≥2-2a，∵函数f（x）=的最小值为6，∴2-2a=6，解得a=-1或7，故选：B．根据基本不等式即可求出函数的最值．本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题13.答案：B解析：解：由已知可得：该几何体是一个正四棱柱切去一个三棱锥所得：故体积V=2×3×4-××2×3×4=20，故选：B．由已知可得：该几何体是一个正四棱柱切去一个三棱锥所得，求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．本题考查的知识点是棱柱和棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．14.答案：解析：解：∵不共线；∴；∵；∴存在实数λ，使；即；∴根据平面向量基本定理得：；解得．故答案为：．根据不共线即可得出，再根据，由共线向量基本定理即可得出，从而得出，这样根据平面向量基本定理得出，从而求出k的值．考查共线向量和平面向量基本定理．15.答案：18x-y-16=0解析：解：函数f（x）满足，可得f（x）=8x3-6x，即有f′（x）=24x2-6，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=18，切点为（1，2），可得切线方程为y-2=18（x-1），即为18x-y-16=0．故答案为：18x-y-6=0．由x替换2x，可得f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．本题考查函数的解析式的求法，以及导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：-解析：【分析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由题意可得m=，再利用两角和与差的三角函数公式求得它的值．【解答】解：由题意可得m=====-，故答案为：-．17.答案：解：（1）根据题意，数列{a n}满足2S n=a n+2-2，①，则有2S n-1=a n+1-2，②①-②可得：2a n=a n+2-a n+1，又由数列{a n}为等比数列，则有2=q2-q，解可得：q=2或-1，又由q＞0，则q=2；（2）数列{a n}满足2S n=a n+2-2，当n=1时，有a3=2S1+2=4，当n≥2时，由（1）的结论，2a n=a n+2-a n+1，变形可得：2（a n+1+a n）=a n+2+a n+1，即2b n=b n+1，又由b1=a1+a2=2，b2=a2+a3=1+4=5．∴数列{b n}从第二项起是以5为首项，2为公比的等比数列．∴．解析：本题第一题主要抓住数列{a n}的前n项和S n与数列通项a n列的关系式，通过a1=S1，a n=S n-S n-1可得到等比数列{a n}等比数列的公比；第二题要根据第一题求出b n的算式，然后根据数列{b n}判断为等比数列即可求出b n的通项公式．本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的性质，属于中档题．18.答案：解：（1）由题知，，，，，则=．故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）由（1）得，．所以y与t的回归方程为y=14.7t+2.9．将t=6带入回归方程，得y=91.1≈91，所以预测第6年该公司的网购人数约为91人．解析：（Ⅰ）根据表格数据，计算相关系数r进行判断即可．（Ⅱ）根据线性规划关系公式求出回归系数进行预报即可．本题主要考查线性回归方程的应用，根据表格数据进行计算，考查学生的计算能力．19.答案：证明：（1）∵D1D⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC．又AB=4，AD=2，，∴，∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵AD∥BC，∴BC⊥BD．又∵D1D∩BD=D，BD⊂平面D1BD，D1D⊂平面D1BD，∴BC⊥平面D1BD，而BC⊂平面D1BC，∴平面D1BC⊥平面D1BD．解：（2）∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即，而，∴DD1=2．，∴三棱锥C-MNQ的体积．解析：（1）推导出D1D⊥BC，AD⊥BD，BC⊥BD．从而BC⊥平面D1BD，由此能证明平面D1BC⊥平面D1BD．（2）由D1D⊥平面ABCD，得∠D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即，由，能求出三棱锥C-MNQ的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：（1）由题可知，，a2+b2=3，解得，b=1．所以椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设l的方程为y=kx-2，代入方程，整理得（1+2k2）x2-8kx+6=0．由△=64k2-24（2k2+1）＞0，解得，所以，．，解得k2=5．∴.．解析：（1）由题可知，，a2+b2=3，解得即可求出椭圆的方程，（2）A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设l的方程为y=kx-2，代入方程，整理得（1+2k2）x2-8kx+6=0．然后根据根与系数的关系以及已知条件求解即可本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式，根与系数的关系，是中档题．21.答案：解：（1）函数f（x）=ln x+x2-（m+1）x+m+，其中x＞0；则f′（x）=x+-m-1，因为x=2是函数f（x）的极值点，所以f′（2）=2+-m-1=0，解得m=；此时f′（x）=x+-==；令f′（x）=0，解得x=或x=2；则当0＜x＜或x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；所以f（x）的单调递增区间为（0，）和（2，+∞），递减区间为（，2）；（2）由f′（x）=x+-m-1，当m≤1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增；又f（1）=0，所以ln x+x2-（m+1）x+m+＞0恒成立；当m＞1时，f′（x）=x+-m-1在（1，+∞）上单调递增，假设存在x0∈（1，+∞），使得f′（x0）=0，则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增；又f（1）=0，所以f（x0）＜0，这与f（x）＞0恒成立矛盾，即m＞1不成立；综上所知，m的取值范围是（-∞，1]．解析：（1）对函数f（x）求导数，利用x=2是函数f（x）的极值点，知f′（2）=0求得m的值，代入函数f（x）中，再利用导数判断f（x）的单调性与单调区间；（2）由题意讨论m≤1时，f′（x）＞0恒成立，得出f（x）在（1，+∞）上单调递增，得出f（x）＞0恒成立；m＞1时，根据f′（x）在（1，+∞）上单调递增，利用反证法判断f（x）＞0不恒成立，从而得出m的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，是难题．22.答案：解：（1）曲线C1：（a＞0，t为参数）．转换为直角坐标方程为：（x-a）2+y2=a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ．（2）直线C3的方程为y=-x，转换为极坐标方程为：．将代入ρ=2cosθ，解得：，则：=，解得：a=2．解析：（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.答案：解：（1）由题意可得f（x）=，当x≤-2时，-3x+3＜8，得，无解；当时，-5x-1＜8，得，即；当时，3x-3＜8，得，即．所以不等式的解集为．（2）f（x）+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2-8a＞9，解得a＜-1或a＞9．解析：（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

绝密★启用前2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．已知集合{}|22xA x =>，{}2|,RB y y x x ==∈，则()R A B =()A ．[0,1)B ．(0,2)C ．(,1]-∞D ．[0,1]答案：D根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集的计算即可得出答案. 解：解：由题可知，{}|22{|1}xA x x x =>=>，R {|1}A x x ∴=，{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选：D. 点评：本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，11122z i i ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则|z|=（）A ．15B C ．125D ．25答案：B根据复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，求出||z 即可. 解：1i i i(2i)12i 212i 551i 2z +-+====--，22125||55z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B. 点评：本题考查复数的代数运算和模长，属于基础题.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且9730S S -=，22a =，则2019a =（） A ．2017 B ．2019C ．4036D ．4038答案：C设等差数列{}n a 公差为d ，可得8930a a +=，结合22a =，建立1,a d 方程组，求解得到通项公式，即可求出结论. 解：由9730S S -=，得8930a a +=，所以121530a d +=， 又12a d +=，所以2d =，10a =， 所以02(1)22n a n n =+-=-， 所以20192201924036a =⨯-=. 故选:C. 点评：本题考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题.4．如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是（）A ．18B ．14C ．12D ．23答案：B设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4=. 解：设小三角形的边长为1，六个小三角形的面积之和为642⨯=，又长方形的宽为3，长为4= ∴长方形的面积为故此点取自阴影部分T 14=. 故选：B. 点评：本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，点A ，B 分别在双曲线C 的两条渐近线上，AF x ⊥轴，0BO BA ⋅<，四边形OAFB 为梯形，则双曲线C 离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．(D ．()+∞答案：A求出A 的坐标，然后求解B 的坐标，利用向量的数量积转化求解双曲线的离心率即可. 解：解：设(),0F c ，所以c =OB 的方程为by x a=-， 直线BF 的方程为()b y x c a =-，解得,22c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ,22c bc BO a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又直线OA 的方程为b y x a =，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,22c bc BA a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为0BO BA ⋅<， 所以22223044c b c a -+<，2213b a ∴<，243e ∴<，2313e ∴<<.故选：A. 点评：本题考查双曲线的离心率，结合向量知识，属于基础题. 6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．233π- B ．223π- C ．23π D ．413π- 答案：B由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式求出几何体的体积. 解：解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体， 2，高为1， 所以四棱锥的体积为1222133=，半球的体积为322133ππ⨯⨯=， 故该几何体的体积为223π-. 故选：B. 点评：本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力.7．函数()()22xf x x x e =-的图象大致为()A ．B ．C ．D ．答案：B判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 解：易知()f x 定义域为R ，()()()()2222x xf x x x e x x e f x -⎡⎤-=---=-=⎣⎦，∴()f x 为偶函数，关于y 轴对称， ∴排除C ，又()()21112f e e =-=-，排除A 和D.故选：B. 点评：本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题. 8．已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A ．log 2log 2log 2x y z x y z >>B ．log 2log 2log 2y z x y z x >>C ．log 2log 2log 2x z y x z y >>D ．log 2log 2log 2y x z y x z >>答案：B由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.解：∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0， ∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>， 又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞， ()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增， ()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0， ∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ， 根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<， ∴log 2log 2log 2y z x y z x >>． 故选B ． 点评：本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A ．31B ．39C ．47D ．60答案：D根据循环程序框图，循环计算到11n =时，输出T ，即可得出答案. 解：解：根据题意，0T =，1n =；8T =，2n =；84T =+，3n =；844T =++，4n =；8448T =+++，5n =；84480T =++++，6n =； 8448+012T =++++，7n =； 84480124T =+++++-，8n =； 8448012416T =+++++-+，9n =； 84480124168T =+++++-+-，10n =； 8448012416820T =+++++-+-+，11n =，故输出的结果为844801241682060T =+++++-+-+=. 故选：D. 点评：本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力.10．已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||22AB =物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（）A ．(1,1)-B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．(1,1)答案：A根据圆与抛物线的对称性求出A 点坐标，代入抛物线方程，求出p ，设点()11,P x y ，()22,Q x y 代入抛物线方程作差，得到PQ 斜率与12,y y 关系，即可求解. 解：因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为， 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A. 点评：本题考查抛物线标准方程、直线与抛物线位置关系，注意相交弦中点问题“点差法”的应用，属于中档题.11．已知三棱柱111ABC A B C -的球，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．310BC ．710D答案：B画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点， 如图：BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥12B 1C 1=OB ，则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵,M N 分别是11A B ，11A C 的中点，11112C M A B =，可得A 1C 1⊥B 1C 1，四边形11A ACC 与11B BCC 均为正方形，可得BC=CA=CC 1， ∵三棱柱111ABC A B C -3的球， 设BC=CA=CC 1=a,三棱柱111ABC A B C -外接球可看作棱长为a 的正方体外接球， 22223a a a ++=a=2， ∴BC=CA=CC 1=2,55()222211226NO MB B M BB ==+=+=在△ANO 中,由余弦定理可得：222302256AN NO AO cos ANO AN NO +-∠===⋅⨯⨯故选：B. 点评：本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题. 12．设函数()sin cos f x a x b xωω=+()0ω>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当12x π=时，()f x 取到最大值4，若将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数()g x 的图象，则函数()y g x =-A ．4B ．5C ．6D ．7答案：D由已知可得()()f x x ωϕ=+，由2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得出对称中心及对称轴，得出T ，再得出()f x 的解析式，再有变换得出()g x ，再分别画出()g x与y =图象，得出结论. 解： 解：设()()f x x ωϕ=+()0ω>，122622T ππππωω∴-≤=⋅=，即03ω<≤， 又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2723212x πππ+∴==为()()f x x ωϕ=+的一条对称轴， 且2623πππ+=，则,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()()f x x ωϕ=+的一个对称中心，由于03ω<≤，所以712x π=与,03π⎛⎫⎪⎝⎭为同一周期里相邻的对称轴和对称中心， 则74123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∴2ω=．4=，且22sin cos 121212f a b πππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 解之得2a =，b =故()2sin 224sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由图象变换可得，()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()4sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为4cos 4333g πππ⎛⎫⎛⎫'-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3y x π=+在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭处切线斜率不存在，即切线方程为3x π=-． 所以3x π=-右侧()g x 图象较缓,如图所示，同时43x π+>时，163x π>-， 所以()3y g x x π=-+的零点有7个．故选：D.点评：本题主要考查正弦型函数的图象和性质及零点，转化为两个函数的图象的交点，属于难题.二、填空题13．已知向量(2,1)a =，(,1)()b m m =-∈R ，且(2)b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为______.答案：2210由向量垂直的坐标关系，求出m ，再由向量的投影公式，即可求解.解：根据题意，2(4,3)a b m -=-，(2)b a b ⊥-，(4)30m m ∴--=，1m ∴=或3m =，所以向量a在b方向上的投影为||2abb⋅===.故答案为:2或2.点评：本题考查向量的坐标运算、向量的投影，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知91xax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中含3x项的系数为212-，则实数a=______.答案：2求出二项展开式通项公式，得到3x项的系数，建立a的方程，求解即可.解：99219911C Cr rr r r rrT x xax a--+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由9233r r-=⇒=，得系数为339121C2a⎛⎫-=-⎪⎝⎭，2a∴=.故答案为:2.点评：本题考查二项展开式定理通项公式，熟记公式是解题关键，属于基础题.15．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且1234··n nT a a a a a=⋅⋅⋅⋯，若72a=，1016a=，则满足n nS T>的最大正整数n的值为______.答案：12根据已知求出{}n a通项公式，进而求出,n nS T，得到不等式21110*2221,nnnn N-+∈>+，等价转化为21110*222,nnnn N-+>∈，即211102n nn-+>，求解即可得出结论.解：根据题意，72a=，1016a=，2q∴=，所以62nna-=，记()1211221321232nnn nS a a a--=++⋯+==-，(11)5462122222n n n n n T a a a ----=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅=，由题意n n S T >，即(11)252122n n n -->， 2(11)11105222122n n n n n --++∴->=， 211102221n n n -+∴->，因此只需211102n n n -+>， 213100n n ∴-+<，n <<， 由于n 为整数，因此n最大为132+的整数部分，即为12. 故答案为:12.点评：本题考查等比数列的通项、前n 项和、求解不等式，合理放缩是解题的关键也是难点，属于中档题.16．某饮料厂生产A ，B 两种饮料.生产1桶A 饮料，需该特产原料100公斤，需时间3小时；生产1桶B 饮料，需该特产原料100公斤，需时间1小时，每天A 饮料的产量不超过B 饮料产量的2倍，每天生产两种饮料所需该特产原料的总量至多750公斤，每天生产A 饮料的时间不低于生产B 饮料的时间，每桶A 饮料的利润是每桶B 饮料利润的1.5倍，若该饮料厂每天生产A 饮料m 桶，B 饮料n 桶时()*,m n N∈利润最大，则m n +=_________.答案：7 设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩，画出可行域，结合已知，即可求得答案.解：设每天A ，B 两种饮料的生产数量分别为x 桶，y 桶，则有0,0231001007500x y x y x y y x ≥≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪+-≤⎩ 则其表示的可行域如图中阴影部分所示，设B 饮料每桶利润为1，则目标函数为 1.5z x y =+，则 1.5y x z =-+，z 表示直线在y 轴上的截距，x ，y 只取整数，∴当直线 1.5y x z =-+经过点()4,3即4m =，3n =时，z 取得最大值，故7m n +=.故答案为：7.点评：本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．三、解答题17．在ABC 中，23AB =D 为BC 上一点，且3BC BD =，2AD =.（Ⅰ）若30B =︒，ADB ∠为钝角，求CD 的长； （Ⅱ）若sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠，求ABC 的周长. 答案：（Ⅰ）4（Ⅱ）3442++（Ⅰ）在ABD △中，根据正弦定理，结合ADB ∠范围，求出,ADB BAD ∠∠，即可求出结论； （Ⅱ）由已知可得12BAD CAD S S =△△，由sin 3sin 3BAD CAD ∠=∠结合面积公式，求出4AC =，设BC x =，分别在,ADC ADB ∆∆中，用余弦定理表示,AC AB ，再由,ADC ADB ∠∠互补，建立x 的方程，求解即可.解：（Ⅰ）在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠，2sin 30=︒，解得sin ADB ∠=， 则120ADB ∠=︒，30BAD ∠=︒，所以2AD BD ==，所以24CD BD ==.（Ⅱ）由3BC BD =，得12BAD CAD S S =△△， 所以1sin 1212sin 2BAD CAD AB AD BAD S S AC AD CAD ⋅∠==⋅∠△△，因为sin sin 3BAD CAD ∠=∠，AB =4AC =，设BD x = 由余弦定理得222(2)22cos AC AD x AD x ADC =+-⋅∠；2222cos AB AD x AD x ADB =+-⋅∠，22242(2)222cos x x ADC =+-⨯⋅∠；222222cos x x ADB =+-⨯⋅∠，可得3x =，所以BC = 故ABC的周长为4+点评：本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18．已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下：表1表2()1估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；()2将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90%赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(]2,3和(]3,4内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．答案：()115.75元；()2见解析，24.5. ()1由统计表估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值；()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=，重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=，设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，45X Y +=，2，9-，52-，分别求出相应的概率，由此能求出该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．解：解：()1根据题意，设公司对每件包裹收取的快递费的平均值为x ，401025152020102553015.75100x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）． ()2重量在(]2,3的产品数为20，其损坏率为20.120=． 重量在(]3,4的产品数为10，其损坏率为30.310=， 设重量在(]2,3的这件产品的利润记为X ，则170302020X =--=，()23020300.923X =-++⨯=-，设重量在(]3,4的这件产品的利润记为Y ，则190402525Y =--=，()24025400.929Y =-++⨯=-，所以45X Y +=，2，9-，52-，则()450.90.70.63P X Y +==⨯=，()90.90.30.27P X Y +=-=⨯=，()520.10.30.03P X Y +=-=⨯=，所以其分布列为： 利润 452 9- 52- P 0.63 0.07 0.27 0.03根据题意，()450.6320.0790.27520.0324.5E X Y +=⨯+⨯-⨯-⨯=．点评：本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中档题.19．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，2BC CD ==，E 为三棱锥A BCD -外一点，且CDE △为等边三角形．()1证明：AC BD ⊥；()2若平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为33，求BE 的长． 答案：()1证明见解析；()26BE =()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，证明BD ⊥平面AOC ，可得到结论；()2以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ECD 和平面ABD 的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，得出结论.解：解：()1取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，所以AO BD ⊥，又因为BC CD =，所以CO BD ⊥，因为CO AO O ⋂=，所以BD ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，故AC BD ⊥．()2因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，所以AO ⊥平面BCD ，且2BD =，AO =故以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，同理可证CD ⊥平面EOF，2OF =，2EF =， 设EFO πθ∠=-，则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0D，(00A ,，()0,1,0B -11cos ,,22222E θθθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭所以()1,1,0CD =-，31122CE θθθ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面ECD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00CD n CE n⎧⋅=⎨⋅=⎩， 0311cos cos 022222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎛⎫⎛⎫∴⎨-+++⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 令1x =，则cos 1,1,sin n θθ⎛⎫=⎪⎝⎭． 因为平面ABD 的一个法向量为()1,0,0OC =， 所以cos ,3OC n 〈〉==，22cos 1sin 2θθ∴= 所以3cos 3θ=±，sin 6θ=， 所以()1,1,1E 或()0,0,1E ．因为E 为三棱锥A BCD -外一点，所以()1,1,1E ，所以6BE =．点评：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个短轴端点为(0,1)M ，过椭圆1C 的一个长轴端点作圆2222:C x y b +=的两条切线，且切线互相垂直.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆1C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为,MA MB k k ，且4MA MB k k +=，求圆2C 上一点P 到直线AB 所过定点Q 的最小距离.答案：（Ⅰ）2212x y +=51- （Ⅰ）根据椭圆的对称性可得2b a =，再由1b =，即可求出椭圆1C 的方程； （Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,A B 坐标关系，将4MA MB k k +=用坐标表示，化简得出,m k 关系，求出直线AB 过定点，当直线AB 斜率不存在时，求出其方程也过同一定点，即可求出结论. 解：（Ⅰ）根据题意，1b =，又过椭圆1C 的一个长轴端点所作的圆2C 的两条切线互相垂直，所以sin 45b a ︒==，所以a =1C 的方程为2212x y +=. （Ⅱ）①当直线斜率存在时，设直线AB 方程为y kx m =+， (),A A A x y ，(),B B B x y ，代入椭圆1C 的方程得22212102k x kmx m ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 所以2212A B km x x k -+=+，22112A B m x x k -⋅=+， 故1A MA A y k x -=，1B MB By k x -=， 所以11A B MA MB A B y y k k x x --+=+ ()A B B A A B A By x y x x x x x +-+= ()(1)22241A B A B m x x km k k x x m -+=+=-=+ 所以12k m =-， ∴将12k m =-代入y kx m =+得：12k y kx =+-， 所以直线必过1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.②当直线AB斜率不存在时，A t ⎛ ⎝，,B t ⎛ ⎝，24MA MB k k t+==-=， 解得12t =-，则直线AB 也过点1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故21112PQ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 从而点P 到点Q 的最小距离为12-. 点评： 本题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，相交弦问题注意根与系数关系的应用，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R 的最大值为1-.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若方程1()22f x x x=--有两个实根12,x x ，且12x x <，求证：121x x +>. 答案：（Ⅰ）()ln f x x x =-（Ⅱ）见解析（Ⅰ）求导求出()f x '，对a 分类讨论，求出极大值，最大值，建立a 的方程关系，求解即可； （Ⅱ）12,x x 代入方程1ln 202x x +-=，整理得到1212122ln x x x x x x -=，进而有1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=，令12x t x =，01t <<，转化为证明112ln t t t->，构造函数1()2ln h t t t t =--，根据函数单调性证明()0h t <即可.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()(0)f x a x x '=->， 当0a 时，1()0f x a x'=->，即函()f x 在(0,)+∞上单调递增，无最大值.当0a >时，令1()0f x a x ，可得1x a =， 当10x a<<时，1()0ax f x x '-=>； 当1x a>时，1()0ax f x x '-=<， 故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以max 1()ln 1f x f a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 所以ln 11a --=-，1a .故()ln f x x x =-. （Ⅱ）设11()()2ln 2(0)22G x f x x x x x x⎛⎫=---=+-> ⎪⎝⎭, 因为12,x x 是函数1()ln 22G x x x=+-的两个零点， 所以111ln 202x x +-=，221ln 202x x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-， 即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x x x x x x -=. 那么1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=. 令12x t x =，其中01t <<， 则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t ---+=+=.构造函数1()2ln h t t t t =--，则22(1)()t h t t-'=. 对于01t <<，()0h t '>恒成立，故()(1)h t h <， 所以12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<， 因为ln 0t <，可知112ln t t t ->，故121x x +>.点评：本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式的证明，构造函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点,,A B C 的极坐标分别为53(4,),(4,),(4,)662πππ，且ABC ∆的顶点都在圆2C 上，将圆2C 向右平移3个单位长度后，得到曲线3C .（1）求曲线3C 的直角坐标方程；（2）设()1, 1M ，曲线1C 与3C 相交于,P Q 两点，求MP MQ ⋅的值.答案：（1）22(3)16x y -+=（2）11（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换；（2）由（1）联立曲线1C 与3C ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果．解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==可得点A的直角坐标系为2)A ，点B的直角坐标系为(2)B -，点C 的直角坐标系为(0,4)C -.设圆2C 的直角坐标系方程为222()x y m r +-=，代入,A C 可得222212(2)(4)m r m r ⎧+-=⎨--=⎩， 0,4m r ==∴.∴圆2C 的直角坐标方程为2216x y +=.故曲线3C 的直角坐标方程为：22(3)16x y -+=.（2）由（1）联立曲线1C ，3C 可得22(13)(1)1622t --++=，整理可得，2110t +-=，121211t t t t +=-=-∴，1212||||||||11MP MQ t t t t ⋅=⋅=-=∴.点评：本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．23．已知函数()|31||2|f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若1,1m n >>，对x R ∀∈，不等式2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立，求mn 的最小值. 答案：（1）{|0x x ≤或1}x ≥.（2）4（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可；（2）由题意可得22log log 1m n ⋅≥，利用基本不等式22log log 2m n +≥，从而求得mn 的最小值．解：（1）原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥， ①当13x ≤时， 原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，0x ∴≤；②当123x <<时， 原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，12x ≤<∴；③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥， 解得32x ≥， 2x ∴≥；综上，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥.（2）143,31()21,2343,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， min 15()()33f x f ==∴. ∴由2253log log ()m n f x ⋅≥恒成立可知， 不等式22log log 1m n ⋅≥恒成立.22log log 2m n +≥≥，2log ()2m n ⋅≥∴，4m n ⋅≥∴，当且仅当2m n ==时等号成立.∴故mn 的最小值4.点评：本题考查绝对值三角不等式及基本不等式的应用，绝对值不等式的解法通常零点分段法脱去绝对值分区间解不等式即可，基本不等式的应用需注意取等条件不要遗漏，属于中等题.。

绝密★启用前2020届山西省芮城县高三下学期3月月考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知复数z 满足2z i R +∈,z 的共轭复数为z ，则z z -=（ ） A ．0 B ．4iC ．4i -D ．4-解：由题意，设2z i a R +=∈，可得2i z a =-， 则2(2)4z z a i a i i -=--+=-. 故选：C .2．设集合{}2|5A x x x x R =<∈，，{}22|log ()1B x x x =-<则A B =I （ ） A ．{}|25x x << B ．{}|02x x <<C ．{}|10x x -<<D ．{}|12x x <<解：由题意，集合{}2|5,{|05}A x x x x R x x =<∈=<<， 集合{}22|log ()1{|12}B x x x x x =-<=<<， 所以A B =I {}|12x x <<. 故选：D .3．已知甲乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中x 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6解：根据茎叶图可知，甲的众数为23，乙的中位数为11(2220)(42)22x x x =++=+， 因为甲的众数与乙的中位数相等，即1(42)232x +=，解得4x =.故选：C . 点评：本题主要考查了根据茎叶图求众数和中位数及其应用，其中解答中熟记众数和中位数的概念与求法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.4．已知命题:p 若>b a 则22b a >；命题:q 在ABC V 中，若A B >则sin sin A>B ,下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．⌝∧p q C ．⌝∧p q D ．⌝⌝∧p q答案：B先判断出命题,p q 的真假，再依据真值表，判定出下列命题的真假，得到答案. 解：由题意，对于命题p ，当1,0a b =-=时，此时22b a <，所以命题p 为假命题，则p⌝为真命题；对于命题q ，由A B >，可得a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以命题q 为真命题，则命题q ⌝为假命题，由复合命题的真值表，可得p q ∧为假命题，⌝∧p q 为真命题，⌝∧p q 为假命题，⌝⌝∧p q 为假命题.故选：B . 点评：本题主要考查了命题的真假判定，以及复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟练应用复合命题的真值表是解题的关键，着重考查了推理判定能力，属于基础题.5．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（ ） A ．13B ．76C ．73D ．67答案：C设n a 为第n 等人的得金数，则{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质可得5673a a +=． 解：设n a 为第n 等人的得金数，则{}n a 为等差数列， 由题设可知1234a a a ++=，89103a a a ++=，故294,13a a ==， 而562973a a a a +=+=，故选C ． 点评：一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+==L 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等差数列.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x =±C ．22y x =±D ．2y x =±答案：A 由题意知31CF AB =,由OAB V 与OFC V 相似（O 为坐标原点）可得3OF cOA a==，再由222c b a =+，可得22ba=±，进而可得渐近线方程.解：如图所示，双曲线顶点为A ，焦点为F ，过A,F 作渐近线的垂线，垂足为B ，C ，所以OAB V 与OFC V 相似（O 为坐标原点），又由题意知31CF AB =，所以3OF cOA a==，即3c a =，又因为222c b a =+，所以228b a =，即ba=±y =±，故选A. 点评：本题考查双曲线的几何性质，需灵活运用三角形相似及,,a b c 之间的关系，属基础题.7．若81(1)2ax x ⎫-⎪⎭展开式中含12x 项的系数为21，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2答案：A先求得812x ⎫⎪⎭展开式的通项公式，求得其中12x -的系数，与a 相乘得到7a ；求12x 的系数时，无解.故由721a =求得a 的值. 解：812x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为83821881122r rrrrr r T C C xx --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,1,2,3,4,5,6,7,8r =，所以令831322r r -=-⇒=， 此时含12x 的项的系数为338172C a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又令*8317223r r N -=⇒=∉，舍去， 所以含12x 项的系数为7a ，所以721a =，得3a =.故选A. 点评：本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查乘法的分配律，考查运算求解能力，属于基础题.8．若235log log log t x y z ===，且2t <-则（ ） A ．523z x y << B ．532z y x << C ．325y x z << D ．235x y z <<答案：B根据235log log log t x y z ===即可得出122t x +=，133t y +=，155t z +=，根据2t <-得出10t +<，从而根据幂函数1t y x +=的单调性即可判断2x ，3y 和5z 的大小关系．解：235log log log t x y z ===Q ，2t x ∴=，122t x +=，3t y =，133t y +=，5t z =，155t z +=，2t <-Q ，10t ∴+<，1t y x +∴=单调递减，111532t t t +++∴<<， 532z y x ∴<<．故选：B ． 点评：本题考查了对数式和指数式的互化、指数式的运算、幂函数的单调性，考查了推理和计算能力，属于基础题．9．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22()6c a b =-+，且,,A C B成等差数列，则ABC V 的面积是（ ）A B C ．3D ．答案：A根据,,A C B 成等差数列，可求出C ，再利用2222cos c a b ab C =+-，结合22()6c a b =-+，可求出ab ，进而可求出ABC V 的面积.解：解：,,A C B Q 成等差数列，2C A B ∴=+，又A B C π++=，3C π∴=，222222cos c a b ab C a b ab ∴=+-=+-，①又2222()626c a b a b ab =-+=+-+，② 由①②得6ab =，11sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯=故选A. 点评：本题考查余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，关键在于整体运算求出ab 的值，是基础题.10．已知F 为抛物线24y x =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且5AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．5 B ．25C ．13D ．213答案：D利用焦半径公式计算A 的横坐标后可得A 的坐标，求出A 关于准线的对称点后可得距离和的最小值. 解：不妨A 为第一象限中的点，设(),A a b （0b >）.由抛物线的方程得()1,0F ，则15AF a =+=，故4a =，所以()4,4A ，A 关于准线1x =-的对称点为()'6,4A -，故''52213PA OP PA OP A O +=+≥==， 当且仅当',,A P O 三点共线时等号成立，故选D. 点评：在坐标平面中，定直线上的动点到两个定点的距离和的最小（或距离差的最大值），常常利用对称性把距离和的最值问题转化为三点共线的问题来处理.11．四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A ．9πB ．3πC ．22D ．12π答案：D由三视图可得,所求几何体是四棱锥并且可看作由正方体截得,与正方体内接于同一个球,由此结合题意,可得正方体的棱长为2,算出外接球的半径R ,再结合球的表面积公式,即可得答案. 解：该几何体的直观图如图所示,该几何体可看作由正方体截得, 则正方体外接球的直径即为PC .由直线EF 被球面所截得 的线段长为22,可知正方形ABCD 对角线AC 的长为22, 可得正方形ABCD 的边长2a =,在PAC ∆中,222(22)23PC =+=,球的半径3R =,∴22=44(3)12S R πππ=⨯=表. 故选:D点评：本题考查将三视图还原为直观图,并且求外接球的表面积,着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识,属于中档题.12．设函数()'f x 是()()f x x R ∈的导函数，()01f =，且()()3'3f x f x =-，则()()4'f x f x >的解集是( )A ．ln4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．ln2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．32⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．3e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭答案：B容易求出f ′（0）=6，结合条件便可得出函数f （x ）的解析式，进而求出导函数，代入4f （x ）＞f ′（x ），根据对数函数的单调性及对数的运算便可解出原方程．解：根据条件，3f （0）=3=f ′（0）﹣3； ∴f ′（0）=6；∴f （x ）=2e 3x ﹣1，f ′（x ）=6e 3x ；∴由4f （x ）＞f ′（x ）得：4（2e 3x ﹣1）＞6e 3x ； 整理得，e 3x ＞2；∴3x ＞ln2； ∴x ＞23ln ； ∴原不等式的解集为（23ln ，+∞） 故选：B ．点评：本题考查导函数的概念，基本初等函数和复合函数的求导，对数的运算及对数函数的单调性，属于中档题二、填空题13．知向量,a b v v 的夹角为120o，且2,3a b ==v v ，则向量a b +v v 在向量a v 方向上的投影为__________． 答案：12根据投影公式可得，向量a b +r r 在向量a r 方向上的投影为()||a b aa +•r r rr ，代入数据便可解决问题． 解：解：向量a b +r r 在向量a r方向上的投影为()cos ||||2a b a a b a 423120122a a ︒+•+•+⨯⨯===r r r r r r r r所以，向量a b +r r 在向量a r 方向上的投影为12点评：本题考查了向量的投影公式、向量数量积公式，正确使用公式是解题的关键． 14．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______ 答案：2()tan()9g x x π=+. 利用正切函数的图象和性质，函数tan()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得到答案.解：由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()3f π=-，即tan()33πϕ+=-，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+，再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 点评：本题主要考查了正切函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，以及熟练应用三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 15．已知函数6(3)3,7,(){,7,x a x x f x a x ---≤=>数列{}n a 满足*()()n a f n n N =∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数的取值范围是 ．答案：(2,3)试题分析：因为*n N ∈，所以依题意可得()8630{123373a a a a a -->>⇒<<-⨯-<．【考点】分段函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查分段函数的单调性，难度稍大．分段函数的单调性（如为增函数）前提要求在各段内均为增函数，再保证左部分的右端点值小于等于右部分的左端点值即可．但此题中()n a f n =中*n N ∈，所以应保证78a a <．若忽略*n N ∈时只考虑()76373a a--⨯-≤就会得错误答案．16．如图，三棱锥A BCD -中，10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P 在侧面ACD 上，且到直线AB 21PB 的最大值是_______．57通过点P 到直线距离为定值，确定P 点在圆柱侧面上，同时确定P 点轨迹；根据椭圆性质可知，当P 落在AC 上时，PB 最大；根据距离可确定P 为AC 中点，然后利用余弦定理解出结果. 解：Q 动点P 到直线AB 21∴动点P 落在以AB 21的圆柱的侧面上可知侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分 设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大由题意可得，点C 到AB 2210484221-==则P 到AB 21P 为AC 的中点又1422cos 105ABBAC AC ∠===在BAP ∆中，由余弦定理可得2285285cos 57PB BAC +-⨯⨯∠=57点评：本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定P 点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.三、解答题17．在ABC V 中，内角、、A B C 对的边分别为()22310a b c cos B C cosA ++-=、、，,且ABC V 外接圆的直径为2.（1）求角A 的大小；（2）求关于x 的不等式2sin(2)1x A -≤在[0,]π的解集.答案：（1）3A π=；（2）0,,32x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U . （1）利用三角函数的诱导公式，结合一元二次方程进行求解，即可得到答案； （2）结合三角函数的周期性，解三角不等式，即可得到答案. 解：（1）由题意，知()22310cos B C cosA ++-=，可得()][2310cos B C cosA ++-=，由余弦的倍角公式，化简得22cos ()13cos 10B C A +-+-=，即22cos 3cos 20A A +-=，解得1cos 2A =， 又因为0A π<<，所以3A π=.（2）由题意，令23x t π-=且5,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为2sin(2)1x A -≤，即1sin 2t ≤，解得25,,3333t ππππ⎡⎤⎡⎤∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ， 即252,,33333x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U ，解得0,,32x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U . 点评：本题主要考查了三角形的角的计算，三角不等式的求解，其中解答中结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.18．在平面多边形ABCDEF 中，四边形ABFE 是边长为2的正方形，四边形DCFE 为等腰梯形，G 为CD 的中点,2,DC FE DE CF EF === ,现将梯形DCFE 沿EF 折叠，使平面DCFE ⊥平面ABFE .（1）求证：EG ⊥面BDF ；（2）求CB 与平面GEB 成角的正弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）14. （1）连接GF ，得到四边形DEFG 为菱形，从而EG DF ⊥，再由平面DCFE ⊥平面ABFE ，证得BF EF ⊥，得到平BF ⊥面DCFE ，证得BF EG ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到EG ⊥平面BDF .（2）取EF 的中点O ，连接OG ，证得OH ⊥面DCFE ，以O 为原点OH 为x 轴，OF 为y 轴OG 为Z 轴建系，结合向量的夹角公式，即可求解. 解：（1）连接GF ，由已知得//,2DG EF DG DE ==， 可得四边形DEFG 为菱形，故EG DF ⊥，又因为平面DCFE ⊥平面ABFE ，且交线为EF ，可得BF EF ⊥， 由线面垂直的判定定理，可得BF ⊥平面DCFE ， 又由EG ⊂平面DCFE ，所以BF EG ⊥， 又由BF DF F =I ，所以EG ⊥平面BDF .（2）取EF 的中点O ，连接OG ，则OG ⊥面ABFE ,过O 作//OH BF ，则OH ⊥面DCFE ，以O 为原点OH 为x 轴，OF 为y 轴，OG 为Z 轴建系，则(0,1,0),(2,1,0),(0,G E B C -，可得(2,1,CB =-u u u r，(2,2,0)EG EB ==u u u r u u u r设面GEB 的法向量(,,)m x y z =u r，则000220m EG y m EB x y ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1y =-，可得(1,1,3m =-u r ，则cos ,14||||m CB m CB m CB ⋅<>==⋅u r u u u ru r u u u r u r u u u r ， 即直线CB 与平面EB所成角的正弦值为14. 点评：本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为12,,F F 点P 是椭圆上任意一点，且12||||F P P F ⋅的最大值为4，椭圆C 的离心率与双曲线221412x y -=的离心率互为倒数． （1）求椭圆方程；（2）设点3(1,)2P -，过点P 作直线12,l l 与圆2223(1)02()x y r r ++=<<相切且分别交椭圆于,M N ,求直线MN 的斜率．答案：（1）22143x y +=；（2）12k =-. （1）利用椭圆的离心率，以及基本不等式和椭圆的定义，求出,a b 得值，即可得到椭圆的标准方程；（1）设为12,k k ，1122(,),(,)M x y N x y ，由直线12,l l 与圆相切，得到12k k =-，直线1l 的方程与椭圆的方程联立，求得1x ，同理求得2x ，再结合斜率公式，即可求解. 解：（1）由题意，椭圆的定义，可得12||||2PF PF a +=，则221212||||||||()42PF PF PF PF a +⋅≤==，解得2a =，由双曲线离心率为2，可得椭圆离心率为12，即12c a =，即2a c =，所以1c =，又由2223b a c =-=，所以椭圆方程为22143x y +=.（2）显然直线12,l l 的斜率存在，设为12,k k ，1122(,),(,)M x y N x y ，由于直线12,l l 与圆2223(1)02()x y r r ++=<<相切，则12k k =-，直线113:(1)2l y k x -=+， 联立方程组2211433(1)2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩得222111133(34)8()4()12022k x k k x k +++++-=，所以1112138()2134k k x k +-=-+，得211121412334k k x k --+=+， 同理，当2l 与椭圆相交时，可得211221412334k k x k -++=+，所以2211111221112122441234123343434k k k x k k x k k k ---+-++-=-=+++， 而121121121()21234y y k x x k k k -=+++=，所以直线MN 的斜率121212y y k x x -==--点评：本题主要考查了椭圆的方程的求法，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中主要理性了公式和基本量的关系，以及联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 20．已知函数()ln(),f x x x a a R =-+∈.（1）对定义域内的任意x ,都有()0f x >，求a 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处取得极值，求证：对于任意大于1的正整数n ，222111(1)(1).(1),23e n+++<L 其中e 为自然对数的底数． 答案：（1）1a >；（2）见解析.（1）求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，进而求出函数的最小值，由此可求得a 的取值范围；（2）依题意，0a =由（1）得到ln x x >，令211x n =+则有2211ln(1)1n n +<+ ，由此利用累积，即可求解. 解：（1）由函数()ln(),f x x x a a R =-+∈，则11()1x a f x x a x a+-'=-=++ ()1x a >- 令()0f x '>，解得1x a >-，令()0f x '<，解得1x a <-，则()f x 在,1a a --（）单调递减，在(1,)a -+∞单调递增，所以()f x 的最小值为()110f a a -=->所以1a >（2）因为()f x 在1x =处取得极值，可得()01f '=，解得0a =， 由（1）可知ln 0x x ->，即ln x x >，令211x n =+则有2211ln(1)1n n +<+， 可得2211ln(1)122+<+，22221111ln(1)1,,ln(1)133n n +<++<+L ，相加得222222111111ln(1)ln(1).......ln(1)11.....12323n n++++++<+++++，右边放缩222222*********ln(1)(1).(1)23231223(1)n n n n++⋯⋯+<++⋯⋯+<++⋯+⨯⨯-⨯，又因为1111111111111223(1)2231n n n n n++⋯⋯+=-+-+⋯⋯+-=-<⨯⨯-⨯-， 上述可得222111ln(1)(1).(1)123n ++⋯⋯+<， 即222111(1)(1)(1)23e n++⋯⋯+<.点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．某人某天的工作是驾车从A 地出发，到,B C 两地办事，最后返回A 地，,,A B C ,三地之间各路段行驶时间及拥堵概率如下表若在某路段遇到拥堵，则在该路段行驶时间需要延长1小时． 现有如下两个方案：方案甲：上午从A 地出发到B 地办事然后到达C 地，下午从C 地办事后返回A 地；方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地，办完事后返回A 地． （1）若此人早上8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率．（2）甲乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后更早返回A 地？请说明理由. 答案：（1）()0.946P A =；（2）采用甲方案能更早返回，理由见解析.（1）由题意可知能按时返回的充要条件是拥堵路段不超过两段，则不能按时，返回时由三段拥堵，二者互为对立事件，利用对立事件的概率公式，即可求解.（2）设某段路正常行驶时间为x ，拥堵的概率为p ，可得该路段行驶时间x 的分布列，利用公式求得期望. 解：（1）由题可知能按时返回的充要条件是拥堵路段不超过两段，则不能按时返回时有三段路段拥堵，二者互为对立事件，记“不能按时返回为事件A ”则()0.30.20.90.054P A =⨯⨯=，所以能够按时返回的概率()0.946P A =，（2）设某段路正常行驶时间为x ,拥堵的概率为p ， 则该路段行驶时间x 的分布列为故(1)(1)Ex x p x p x p =-++=+，上午AB BC CA 、、路段行驶时间期望值分别为1．3小时2．2小时、3．3小时， 下午AB BC CA 、、路段行驶时间期望值分别为1．6小时2．7小时3．9小时， 设采用甲方案所花费总行驶时间为Y ,则 1.3 2.2 3.97.4EY =++=小时， 设采用乙方案所花费总行驶时间为Z ,则EZ =3．3+2．7+1．6=7．6小时， 因此采用甲方案能更早返回. 点评：本题主要考查了对立事件、互斥事件的概率计算公式，以及随机变量的分布列与数学期望的求解，着重考查了分析问题河解答问题的能力，属于中档试题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ= （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的坐标为(2,2),直线l 交曲线C 与,A B 两点，求PA PB +的取值范围。

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(全国Ⅰ卷)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|x−1≥2}，则A∩B=()A. [2,3)B. [3,4)C. (3,4)D. [2,4)2.已知在复平面内，复数z对应的点为(1,−1)，则z2=()A. 1−2iB. 1+2iC. 2iD. −2i3.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，从该校的所有教师中抽取56人进行调查，若按分层抽样，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师()人．A. 180B. 170C. 172D. 1824.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为M，离心率为√3，过点M与点(0,−2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为()A. x24−y22=1 B. x24−y23=1 C. x22−y24=1 D. x22−y2=15.执行如图所示的程序框图，若输入x=−1，则输入y的值为()A. −1B. 0C. 1D. 26.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深，丈，问积几何？”其意思为：“今有上下底面皆为扇形的水池，上底中周2丈，外周4丈，宽1丈；下底中周1丈4尺，外周长2丈4尺，宽5尺；深1丈．问它的容积是多少？”则该曲池的容积为()立方尺(1丈=10尺，曲池：上下底面皆为扇形的土池，其容积公式为)A.56503B. 1890C.56303D.566037. 若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1=2a 5−1，则S 17=( )A. −17B. −172C. 172D. 178. 已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为( )A. 2B. 2√2C. 2√3D. 49. 设(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，那么a 0+a 2+a 4a 1+a 3的值为( )A. −122121B. −6160C. −244241D. −110. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A. (4,0)B. (2,0)C. (1,0)D. (12,0)11. 已知f(1−x 1+x)=1−x 21+x 2，则曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. y =−xB. y =xC. y =2xD. y =−2x12. 已知数列{a n }满足：a 1=1,a n+1+a n =3n +1，则数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和为( )A. 2990B. 2988C. 1093D. 3091二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，，E 为CD 中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______________．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________．16. 已知直线l 1:y =2x +3a ，l 2:y =(a 2+1)x +3，若l 1//l 2，则a =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，AB =5，AD =CD =4，BC =3，A =60∘．(1)求tan∠ABD 的值； (2)求ΔBCD 的面积．18.如图，在三棱锥A−BCD中∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．(1)证明：AB⊥CD；(2)求CD与平面ABD所成角的正弦值．19.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计反感10不反感8总计30．已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.设A是圆O：x2+y2=16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线y=kx−2(k≠0)与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．21.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|−|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>−x；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查描述法、区间的定义，以及交集的运算，属于基础题．先解出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x≥3}，∴A∩B={x|3≤x<4}=[3,4)．故选：B．2.答案：D解析：本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．先求出z=1−i，再根据复数的运算法则，进行化简计算即可．解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．∴z2=(1−i)2=−2i．故选D．3.答案：D解析：本题考查了分层抽样，属于基础题．根据各层所占的抽样比相等进行列式求解即可．解：设该校其他教师共有n人，由已知得16n =5626+104+n，解得n=52．∴该校共有教师26+104+52=182人．故选D．4.答案：C解析：本题考查了双曲线的性质，属于基础题．根据斜率公式、渐近线方程求出b，根据离心率计算a，从而得出答案．解：双曲线的右顶点为M(a,0)，渐近线方程为：y=±bax．∴过M与点(0,−2)的直线斜率为2a =ba，∴b=2，又e=ca =√a2+b2a=√3，∴a=√2．∴双曲线的方程为x22−y24=1．故选C．5.答案：B解析：解：模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，可得y=0，故选：B．模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数y={|x|+1,x<−1x2−1,x=−1x,x>−1的值，代入x=−1，即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6.答案：A解析：本题考查几何体的体积，比较基础．根据已知容积公式求解即可．解：根据已知容积公式可得该曲池的容积为[(2×10+5)×20+402+(2×5+10)×14+242]6×10=56503．故选A．7.答案：D解析：本题考查等差数列的性质及求和问题，属于较易题．求得a9后根据等差数列的性质即可求解，解：因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1=2a5−1，所以a1=2(a1+4d)−1，所以a1+8d=1，即a9=1，所以S17=17×(a1+a17)2=17a9=17.故选D．8.答案：B解析：本题考查的知识点棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，难度中档．作出直观图，计算各棱长，即可得出结论．解：如图所示，该几何体是三棱锥P−ABC，故可得PC=AB=2√2,BC=4,PA=4√2,PB=AC=2√6，故该几何体的最短棱长为2√2，故选B．9.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35.解得a0+a2+a4和a1+a3+a5的值，结合a5=−1，即可求得要求式子的值．解：令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=−1可得a0−a1+a2−a3+a4−a5=35，两式相加除以2可得a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得a1+a3+a5=−121，结合a5=C55(2)0(−x)5=−1，故a0+a2+a4a1+a3=122−120=−6160，故选B．10.答案：C解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．根据p的几何意义，即焦点F到准线l的距离是p进行求解．解：∵焦点F到准线l的距离为2，∴p=2．抛物线方程为y2=4x，∴焦点F的坐标为(1,0)．故选：C．11.答案：C解析：本题考查函数的解析式的求法以及利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属中档题．先求函数的解析式，再求导函数，最后求切线方程．解：令1−x1+x =t得x=1−t1+t，则f(t)=1−(1−t1+t)21+(1−t1+t)2=4t2+2t2=2tt2+1，所以f(x)=2xx+1，所以f′(x)=2−2x 2(x2+1)2，∴f′(0)=2，又f(0)=0，故切线方程为y =2x ． 故选C ．12.答案：D解析：解：已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4， 作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列， 由a 1=1，所以a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2， 又1a2n−1⋅a 2n+1=13(1a 2n−1−1a 2n+1)，所以数列{1a2n−1a 2n+1}(n ∈N ∗)的前30项的和S 30=13[(1a 1−1a 3)+(1a 3−1a 5)+⋯+(1a 59−1a 61)]=13(1−191)=3091． 故选：D ．已知数列{a n }满足：a 1=1，由a n+1+a n =3n +1，得a n+2+a n+1=3n +4，作差得a n+2−a n =3，故奇数项和偶数项都为以3为公差的等差数列，求出a 2k−1=1+(k −1)3=3k −2，利用裂项求和法求出结果即可．本题考查了递推公式求通项公式，裂项相消法求数列的前n 项和，考查运算能力，中档题．13.答案：1解析：本题考查了向量的数量积和向量的加减法，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，计算即可．解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22−12×2×2×cos60°−12×22=1，故答案为1．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z解析： 本题考查函数的图像与性质的应用，属于基础题．首先，根据函数图象，确定所给函数的解析式f(x)，然后结合三角函数的单调性求解其单调增区间即可． 解：根据函数的部分图象，可得14⋅T =14⋅2πω=2π3−5π12=π4，求得ω=2，所以函数，再把(5π12,2)代入函数的解析式，可得，所以，而|φ|<π2，故φ=−π3，故函数，令，求得，故答案为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．16.答案：−1解析：因为l1//l2，所以a2+1=2，a2=1，所以a=±1，又两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a=−1．17.答案：解：(1)由已知，在△ABD中，由余弦定理有，所以BD=√21，由正弦定理有，所以sin∠ABD=ADBD ·sinA=2√77，因为BD>AD，所以∠ABD为锐角，所以cos∠ABD=√217,tan∠ABD=2√33；(2)在△BCD中，，因为C∈(0,π)，所以，所以ΔBCD的面积．解析：本题考查正弦定理余弦定理及面积公式，同时考查同角关系式．(1)由余弦定理，求出BD，然后结合正弦定理和同角关系式求解即可；(2)由余弦定理求出cos C，得sin C，然后由面积公式求解即可．18.答案：证明：(1)∵在三棱锥A−BCD中，∠BAC=∠BAD=∠DAC=60°，AC=AD=2，AB=3．∴△ABD≌△ABC，∴BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，∴AE⊥CD，BE⊥CD，∵AE∩BE=E，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB．解：(2)在△ABD中，根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos60°=7，∴BD=√7，∵DE=1，∴BE=√6，AE=√3，∴AB2=BE2+AE2，∴AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，∵V A−BCD=V C−ABD，∴13×CD×S△ABE=13×ℎ×S△ABD，∴ℎ=CD×S△ABES△ABD =2×12×√6×√312×3×3×sin60°=2√63，∴sinα=ℎCD =√63．∴CD与平面ABD所成角的正弦值为√63．解析：(1)推导出△ABD≌△ABC，从而BC=BD，取CD的中点E，连结AE，BE，从而AE⊥CD，BE⊥CD，进而CD⊥平面ABE，由此能证明CD⊥AB．(2)由余弦定理求出BD=√7，从而AE⊥BE，设CD到平面ABD的距离为h，CD与平面ABD所成的角为α，由V A−BCD=V C−ABD，求出ℎ=2√63，由此能求出CD与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.答案：解(1)由已知数据得K2的观测值k=30×(10×8−6×6)216×14×16×14≈1.158<2.706．所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C82C142=413，P(X=1)=C61C81C142=4891，P(X=2)=C62C142=1591．所以X的分布列为X的均值为E(X)=0×413+1×4891+2×1591=67．解析：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．(1)利用已知条件填写联列表，然后代入公式计算观测值，与观测值表中的数据比较即可；(2)依题意可知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，写出分布列，然后根据期望公式求解即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x0,y0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q在直线l上，∴x0=x，|y0|=43|y|.①∵点A在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k 16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2| =54×|64k16k 2+9|=8016|k |+9|k|≤2√16|k |×9|k|=103，当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号， ∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M′N 的方程，即可求得直线M′N 所过定点，并求出△PM′N 面积的最大值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x +1+ax (x >0)，令g(x)=x 2+x +a ，∵−2<a <0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3)．(2)(方法一)圆心C(√3,1)，直线OC的方程为：y=√33x⇒x−√3y=0，点P到直线OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2．(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图形利用极坐标的几何含义，可得∠COP=π3−π6=π6，|OC|=2，|OP|=4，所以S△OCP=12|OC|⋅|OP|sin∠COP=12⋅2⋅4⋅sinπ6=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)不等式f(x)>−x，即为|x−2|−|x+1|>−x，当x≥2时，x−2−x−1>−x，解得x>3，即x>3；当x≤−1时，2−x+x+1>−x，解得x>−3，即−3<x≤−1；当−1<x<2时，2−x−x−1>−x，解得x<1，即−1<x<1，综上可得原不等式的解集为{x|x>3或−3<x<1}；(Ⅱ)关于x的不等式f(x)≤a2−2a的解集为R，即有a2−2a≥f(x)的最大值，由|x−2|−|x+1|≤|x−2−x−1|=3，当且仅当x≤−1时，等号成立，可得a2−2a≥3，解得a≥3或a≤−1．所以实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞)解析：本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和化简运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当x≤−1时，当−1<x<2时，去掉绝对值，解不等式求并集，即可得到所求解集；(Ⅱ)由题意可得a2−2a≥f(x)的最大值，运用绝对值不等式的性质可得最大值，由二次不等式的解法可得a的范围．。