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第二章 物体的弹性

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医学物理学(第9版)PPT课件 第二章 物体的弹性

医学物理学(第9版)PPT课件 第二章 物体的弹性

3. 蠕变：若黏弹体维持应力恒定，应变随时间增加而增 大的现象称为蠕变，如图（c）。
生物材料的应变通常由弹性应变、延迟弹性应变、黏 性应变叠加形成，后两种应变决定其蠕变性。如关节软 骨就具有这种特点。
黏弹性材料的应力与应变(c)
医学物理学（第9版）
二、生物材料的黏弹性
4. 滞后：如果对黏弹体周期性加载和卸载，则卸载时的应力应变曲线同加载时的应力-应变曲线不重合，如图（d）所示， 这种现象称为弹性滞后。滞后现象的原因是大分子构型改变 的速度跟不上应力变化，构型改变时有内摩擦力作用。血液、 红细胞等存在滞后现象。
由 F
S
得这个截面处的应力为：
(l x)Sg (l x)g
S
又因为
Y
所以这个截面处的应变为：
Y
(l x)g
Y
例2-1图
医学物理学（第9版）
例题
例 股骨是大腿中的主要骨骼。如果成年人股骨的最小截面积是 610-4 m2，问受压负荷为多大 时将发生碎裂？又假定直至碎裂前，应力-应变关系还是线性，试求发生碎裂时的应变。
圆柱体的扭转现象
医学物理学（第9版）
扭转的切应力
实验证明，当圆杆发生微弱的扭转时，扭转角δ 与扭转力矩M 有如下的关系：
M Ga4
2l
（2-12）
由上式可见，在扭转角δ 相同的条件下，扭转力矩M 与杆的半径a的四次方成
正比。显然，杆的半径越大扭转越困难。
由式（2-9）和（2-11）可知，外缘的切应力为
如图（a）在两个支架上放置一横梁。 如图（b） 当横梁受到一个垂直于轴线的横向压力 P 时，所示， 横梁发生弯曲。显然，凸出的一侧被拉伸，凹进的一侧被压缩。 如图（c）选取横梁的一截面，取截面的左边一小段考虑应力，横 梁的上部发生压缩形变，出现压应力，下部发生拉伸形变，出现拉应 力，中间一层无形变，所以无应力。

医学物理学

医学物理学

医学物理学复习题第二章物体的弹性一、填空题1．根据形变在外力去掉之后能否恢复其原来的情况，形变分为和。

（弹性形变，塑性形变）2．在弹性力学中将材料的与之比，称为该材料的弹性模量。

（应力与相应应变之比）3．边长为10 cm的正方体的两对面的切力都是10 N，相对位移1 cm，则切应变是。

（0.1）4．弹性体的应变可分为、和三种。

（线应变，体应变，切应变）5．弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中的弹跳蛋白，其杨氏模量接近于橡皮。

今有一截面积为30 cm2的弹跳蛋白，加270 N的力后长度为原长的1.5倍，求其杨氏模量为。

（1.8×105 Pa）6．设某人的一条腿骨长为0.4 m，横截面积平均为5 cm2，试求用此骨支持整个体重时(相当于500 N的力)，其长度缩短；占原长的。

(骨的杨氏模量可按1×1010 Pa计算)（4.0×10-5m ，0.01 ）7．假设股骨为一空心圆管，已知其最细处的内半径与外半径之比为0.5，可在5×104N的压力下产生骨折。

试求此股骨最细处的外直径是。

（抗压强度按1.68×108 Pa计算）（2.25 cm）8．人的股骨的平均截面积为10-3 ㎡，长为0.4 m ，已知其杨氏模量为0.9×1010 N★m-2。

问受压时倔强系数是。

（2.25×107 N★m-1）9．一根钢棒长为4 m，横截面积为0.5 cm2，在12 000 N的张力作用下，伸长0.2 cm，则此钢材的杨氏模量是。

（4.8×1011 Pa）二、选择题1．边长为L的正方体，在切应力的作用下，在受力作用的面上各偏移L，则此正方体的切应变为：（A）A 、L L∆2 ； B 、L L ∆ ；C 、L L 2∆ ；D 、L L tg ∆ 。

2．弹性模量是：（D ）A 、作用在物体单位截面上的弹性力；B 、物体恢复形变的能力；C 、应变与相应应力之比；D 、应力与相应应变之比。

第二章：弹性力学基本理论及变分原理

第二章：弹性力学基本理论及变分原理

第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。

它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。

本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。

§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。

现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。

§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。

第二章 材料的变形——弹性变形.

第二章 材料的变形——弹性变形.

弹性变形微观过程的双原子模型
因此，Fmax就是材料在弹性状态下的理论 断裂抗力，此时相应的离子弹性变形量 ε max可达 25％。 实际上，因为在工程应用的材料中，不可避 免地存在着各种缺陷、杂质、气孔或微裂纹， 因而实际断裂抗力远远小于Fmax，材料就发 生了断裂或产生了塑性变形．实际材料的弹 性变形只相当于合力曲线的起始阶段，因此 虎克定律所表示的外力和位移的线性关系是 近似正确的。且变形量很小。
材料弹性变形的本质 ：概括说来，都是构成材料 的原子（离子）或分子自平衡位置产生可逆位移的 反映． 金属、陶瓷类晶体材料的弹性变形是处于晶格结点 的离子在力的作用下在其平衡位置附近产生的微小 位移； 橡胶类材料则是呈卷曲状的分子链在力的作用下通 过链段的运动沿受力方向产生的伸展．
弹性变形微观过程的双原子模型
弹性模量与切变模量之间关系为：
E G 2(1 )
式中，ν为材料泊松比，表示侧向收缩能力。一般 金属材料的泊松比在0.25~0.35之间，高分子材料则 相对大些。
y x
横向正应变与受力方向上正应变之比
广义胡克定律
晶体的特征之一即各向异性，各个方向的弹性模量 不同。在三轴应力作用下各向异性弹性体的应力应 变关系，可以用广义胡克定律表示。
在正常状态下，晶格中的离 子能一般认为，这种作用力 分为引力和斥力，引力是由 正离子和自由电子间的库仑 力所产生，而斥力是由离子 之间因电子壳层产生应变所 致．引力和斥力都是离子间 距的函数。
引力
斥力
离子互相作用时的受力模型
弹性模量的测量
引伸计（extensometer) 是测量构件及 其他物体两点之间线变形的一种仪器，通常 由传感器、放大器和记录器三部分组成。传 感器直接和被测构件接触。构件上被测的两 点之间的距离为标距,标距的变化(伸长或缩 短)为线变形。构件变形，传感器随着变形， 并把这种变形转换为机械、光、电、声等信 息，放大器将传感器输出的微小信号放大。 记录器（或读数器）将放大后的信号直接显 示或自动记录下来。

第2章 弹性理论

第2章 弹性理论

第二章需求分析价格上升意味着收益的增加。

收益=P×Q，当Q一定时，P上升---利润的增加。

有时，价格的上升，意味着收益的减少。

由于P上升，转为购买其他厂商的产品。

我们需要了解价格的变化量对需求量的敏感性的度量。

这就是本章要学习的内容：弹性理论。

供需法则说明了当P变化时，需求和供给的方向变化，不能说明其变化的数量。

只“定性分析”而非“定量分析”，弹性理论可以说明这种量的变化程度：定量需求分析。

第一节弹性的一般原理1、弹性的概念弹性（Elasticity）是物理学中的概念，泛指物体对外界作用力的反应能力。

经济分析中引用弹性的概念，测算因变量变化率对自变量变化率的反应的敏感程度。

通常对y=f(x)这一函数的弹性系数E。

则有：()()变化的百分比自变量变化的百分比因变量xyE=例（a）（b）（c）图1（a）、（b）、（c）三种情况，价格变化率相同，而需求量的变化率却是不相等。

（a）最小，（c）为最大，（b）为二者之间。

说明，三者在这一价格区间的（P0、P1）弹性不同。

2、弹性分析的重要意义弹性分析对企业管理决策有着重要的意义。

价格上升5%，对销售额有什么影响？销售额增加20%，价格需下降多少？如果大米和彩电同时涨价20%，为什么人们可能继续买大米而暂时放弃买彩电等等。

弹性分析与边际分析一样都是管理经济学中的重要分析工具。

弹性理应用最广泛莫过于需求弹性和供给弹性。

第二节、需求弹性需求量受众多的因素的影响，最主要： （1）该商品的自身价格变化称为需求价格弹性。

（2）该商品相关商品的价格变化，称为需求交叉价格弹性。

（3）消费者实际收入的变化，称为需求收入弹性。

1、需求的价格弹性在需求量与价格这两个经济变量中，价格是自变量，需求量是因变量。

一、需求价格弹性的定义：价格变化所引起的需求量变动的程度，或者说是需求量变动对价格变动的反应程度。

Q P P Q PP QQEd ⋅∆∆=∆∆==价格变动的百分比需求数量变化的百分比（1）Ed 被定义为自变量变动（ΔP ）的百分比（P P ∆）与因变量变动（ΔQ ）的百分比（QQ∆）这两个百分比的比率。

第二章弹性力学的基本原理

第二章弹性力学的基本原理

第二章 弹性力学的基本原理§2.1 应力分析2.1.1应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ∆, 设S ∆的外法线为ν, S ∆上的力为T ∆，如极限ν∆∆∆T S T S =→/lim 0存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。

考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。

每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1)这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=31j j ij e σ。

这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。

由此得到九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=zz zy zx yz yy yxxz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。

对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。

如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。

2.1.2 柯西(Cauchy)方程记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。

外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。

设此斜截面ABC ∆的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为⎪⎪⎪⎭⎫⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α∆α∆α∆n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即j n j n T e T )()(= (2.4)另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。

第二章 弹性理论2

第二章 弹性理论2

―薄利多销”：富有弹性商品，e ＞ 1
需求量变动比率大于价格变动比率。
价格下调,总收益增加,对生产者有利;
价格上调,总收益减少,对生产者不利。
需求弹性大于1， 卖者适当降价能增加总收益。
降价能增加总收益的是： 化妆品√；面粉×；药品×
（3）需求缺乏弹性
【需求量变动的比率小于价格变动的比率】 例：面粉ed＝0.5，P1＝0.2元/斤，Q1＝100斤 。 如价格下调10%，总收益怎样？ 如价格下调10%，数量则增加5%， P2＝ 0.2 –0.2×10%＝0.18元/斤， Q2＝100 + 100×5%＝105斤 TR1＝P1×Q1＝0.2×100＝20元 TR2＝P2×Q2＝0.18×105＝18.9元 TR2 –TR1＝18.9–20＝ －1.1元 TR2 ＜TR1，表明价格下跌，总收益减少。
益怎样？
减少
讨论：
对于给定的需求曲线，厂商能决定什么？ 商品价格，还是商品数量？
（2）需求富有弹性 e ＞ 1
【需求量变动的比率大于价格变动的比率】
例：电视机ed＝2，P1＝500元/台，Q1＝100台 ， 如价格下调10%？试分析以下收益状况。 如价格下调10%，则数量增加20%， P2＝500 –500*10%＝450元/台， Q2＝100 + 100*20%＝120台 TR2＝P2×Q2＝450×120＝54000元 TR1＝50000 TR2 –TR1＝54000 –50000＝4000元 TR2 ＞TR1，表明价格下跌，总收益增加。
量大幅增加，从而使总收益增加。 药品缺乏需求弹性，降价只能使总收益减少。
（2）并不是所有药品都不能薄利多销。 例如一些滋补药品，其需求富有弹性，可以薄利多销。

大班科学领域教案《物体的弹性》

大班科学领域教案《物体的弹性》

大班科学领域教案《物体的弹性》教案名称：物体的弹性教案类型：科学适用对象：小学大班学生教案时长：3个课时教学目标：1. 了解物体的弹性是指物体在受力作用下发生形变但是停止受力后可以恢复原状的性质。

2. 能够观察、描述和记录不同材料的弹性特点。

3. 能够设计简单的实验来验证物体的弹性。

教学内容：第一课时：物体的弹性是什么？1. 引入：老师带领学生观察实物、图片或视频展示物体受力后的变形，通过观察和讨论引导学生思考：为什么有些物体受力后能够恢复原状，而有些物体则不能？2. 教学：通过讲解和示范，向学生介绍物体的弹性是指物体在受力作用下发生形变但是停止受力后可以恢复原状的性质。

并举例说明：弹簧、橡皮等物体都属于有弹性的物体。

3. 实践：引导学生进行实践活动，让学生自行观察、摸索和讨论有弹性和无弹性的物体，总结其特点。

第二课时：观察和记录物体的弹性特点1. 回顾：复习上节课的内容，回顾有弹性和无弹性的物体的特点。

2. 实践：组织学生进行实验，通过使用不同材料制作的小球进行比较实验，观察和记录实验结果。

3. 讨论：引导学生讨论实验结果，总结不同材料的弹性特点，并提交书面报告。

第三课时：设计实验验证物体的弹性1. 引入：提问学生：如何验证一个物体是否有弹性？引导学生思考，提出可能的实验设计方法。

2. 实践：分组让学生自行设计实验，验证不同物体的弹性特点，并进行实验。

3. 分享：学生展示自己的实验结果，并进行交流和讨论。

4. 总结：让学生总结本节课的学习内容，回答课前的问题。

评价方法：1. 观察学生在课堂上的表现和参与度。

2. 评价学生能否准确观察、描述和记录物体的弹性特点。

3. 评价学生是否能够设计合理的实验来验证物体的弹性。

教学资源：1. 实物：弹簧、橡皮等有弹性物体2. 图片或视频：展示物体受力后的变形3. 小球：不同材料制作的小球4. 实验器材：尺子、可测量弹性的材料等教学延伸：1. 复习物体的弹性特点，引导学生思考弹簧、橡皮等材料为什么具有弹性。

第二章弹性力学基础知识

第二章弹性力学基础知识

其中
xy yx yz zy
zx xz
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
C
z y
x P B
A
O
y
x x (x, y, z),; xy xy (x, y, z), x z
4. 位移
w
P
S
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm
u Pv
u —— x方向的位移 分量；
应力正负号的规定(P8)
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。 20
z
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
zx
zy
规定使得单元体顺时的剪应力τ为
正，反之为负。
xy yx
z
yx xz
y yz x
zy
yz
xy yx y
有重要的地位： 弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。
弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤 其对于安全性和经济性要求很高的近代大型 工程结构，须用弹力方法进行分析。
6
2.1弹性力学的基本假定 为什么要提出基本假定？ 任何学科的研究，都要略去影响很 小的次要因素，抓住主要因素,从而建立 计算模型,并归纳为学科的基本假定。
0??????xxyx?22224123422yyxyx??????100?????yyyx022?xy?0满足0?2222???????????????yxyx?????????????????2222yyyx?0333222?????yxy的应力场
第二章 弹性力学基础知识
教学目的：了解弹性力学问题的研究方法。 教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、 应力边界条件。 教学难点：两类平面问题的区分。

第二章 弹性理论

第二章 弹性理论
18
• 例如：电视机 例如： • 假定电视机的需求是富有弹性的，Ed=2 假定电视机的需求是富有弹性的， • 价格P1=500元，这时销售量 1=100台，总收 价格 元 这时销售量Q 台 益TR1=P1×Q1=50000元；而现在价格下降 元 10%，即P2=450元，而Ed=2，根据计算公式 ， 元 ， • Ed= Qd/Qd 可知 • P/P 销售量增加20%， =120台 销售量增加20%，即Q2=120台，这时总收益 TR2=P2×Q2=54000元， TR2-TR1=4000元。 元 元 • 表明：由于电视机价格下降，总收益增加。 表明：由于电视机价格下降，总收益增加。
21
• 案例 －2：对烟草征收高额税能否遏制青少年吸烟问题 案例2－ ： • 烟草行业聘请的顾问在国会上作证，反对旨在遏制青少年吸烟的 烟草行业聘请的顾问在国会上作证， 高额烟草税收政策。这些顾问证实， 高额烟草税收政策。这些顾问证实，青少年吸烟的主要原因是他 们的朋友吸烟， 们的朋友吸烟，据此他们认为高额税收对遏制青少年吸烟收效甚 这些顾问的证词是否符合经济逻辑呢？ 微。这些顾问的证词是否符合经济逻辑呢？ • 这些顾问认为，同等人群的影响是青少年吸烟的最重要的决定因 这些顾问认为， 这一点基本上是成立的。但是， 素，这一点基本上是成立的。但是，这并不意味着高额烟草税对 减少青少年吸烟率没有成效。 减少青少年吸烟率没有成效。因为大部分青少年没有多少钱可以 用于自主消费， 用于自主消费，所以香烟在一个普通青少年吸烟者的预算中占据 着相当大的比例。因此，香烟的需求价格弹性不可忽视。 着相当大的比例。因此，香烟的需求价格弹性不可忽视。征收高 额烟草税后，一些青少年将因为无法负担高额费用而放弃吸烟。 额烟草税后，一些青少年将因为无法负担高额费用而放弃吸烟。 即使在那些仍能负担这种高价的青少年中， 即使在那些仍能负担这种高价的青少年中，还是会有一些人将选 择消费其它产品而不愿为继续吸烟支付高价。 择消费其它产品而不愿为继续吸烟支付高价。 • 既然税收至少能影响一部分青少年吸烟者，那么烟草行业的顾问 既然税收至少能影响一部分青少年吸烟者， 的论点就有问题了――如果税收能通过影响香烟的价格直接阻止一 的论点就有问题了 如果税收能通过影响香烟的价格直接阻止一 小部分吸烟者，那么它也能通过减少同伴中吸烟人群的数量， 小部分吸烟者，那么它也能通过减少同伴中吸烟人群的数量，从 而间接阻止其它的吸烟者。进一步地， 而间接阻止其它的吸烟者。进一步地，那些因为间接影响而停止 吸烟的人也将不再影响其他人吸烟，如此反复。因此， 吸烟的人也将不再影响其他人吸烟，如此反复。因此，虽然高额 烟草税对青少年吸烟的直接效应很小， 烟草税对青少年吸烟的直接效应很小，但是累计效应却可能相当 所以， 同等人群压力是青少年吸烟的主要决定因素” 大。所以，“同等人群压力是青少年吸烟的主要决定因素”这个 纯粹的事实并不能说明高额烟草税对减少青少年吸烟人数没有成 效。

第二章物体的弹性

第二章物体的弹性

如：弹簧或橡皮筋等被拉伸后，长度
发生变化，同时也产生恢复形变的反
拉伸力。
第二章物体的弹性
2、塑性 —— 物体形变后，不能恢 复原状的特性。
当外力超过应力的弹性范围时，去除 外力后，物体形变不能复原。如：泥 巴等。
3、弹塑性 —— 物体介乎于弹性和 塑性之间的性质。
二、应力与应变曲线
第二章物体的弹性
定义切应变γ： Δx
γ tgφ Δx h
h
φ
第二章物体的弹性
泊松比 ：
当物体被纵向拉伸时，横向将收缩。
实验表明：横向的相对收缩与纵向相 对对伸于长 不μ成可 正压 纵横比缩向向。材应应料变变为 ： μ=ΔdΔl0d0l0.5 ，
而对其他材料则为：μ < 0.5 。
第二章物体的弹性
体应变(volume strain)—— 物体在
第二章 物体的弹性
第二章物体的弹性
第二章 物体的弹性 学习要求： 1、掌握描述物体弹性的基本概念：
形变、应变、应力、模量 2、理解应力与应变的关系
第二章物体的弹性
第一节 应力和应变
第二章物体的弹性
第一节 应力和应变
物体受到外力作用后，产生两方面效 果：一方面产生整体运动;
另一方面，外力将向物体内部传递， 引起物体内部各相邻点之间相对运动， 导致其体积或形状发生改变，使物体 产生变形。
正应力σ
我们切应将力应τ力分解为与作用面垂直的
分量σ及与作用面平行的分量τ。
一般称与作用面垂直的应力σ为正应 力， σ lim ΔF dF
ΔA0 ΔA dA
与作用面平行的应力τ为切应力。
τ lim ΔF// dF// ΔA dA ΔA0
第二章物体的弹性

第二章各向异性弹性力学 ppt课件

第二章各向异性弹性力学 ppt课件

C34z
yz
C35z zx
C36z xy
12C44
2 yz
C45
yz zx
C46
yz xy
12C55
2 zx
C56 zx xy
12C66
2 zy
（2－6）
2.3 坐标转换(应力应变及弹性系数 转轴公式)
2.3.1 斜面应力
为了讨论过点A任意斜面 的应力，在点A附近取一 个四面体微元ABCD(图 2 －1 )。
U0
1 2
ij
ij
U0
ij
Lijkl kl
ij
其中
Lijkl Lklij Mijkl Mklij
(Voigt对称性) (Voigt对称性)
dWi di
Cij ji W ji 2 i W j W ij ij Cji 由线弹性可以得 W12ii 12Cijji
2.2 均质弹性体的弹性性质
可得
U 0 x
x
U 0 yz
yz
U 0 y
y
U 0 zx
zx
U 0 z
z
U 0 xy
xy
（2－5）
为了便于以后的讨论，给出 U 0 的展开式
U0 12C11x2 C12xy C13xz C14x yz C15xzx C16xxy
12C22y2 C23yz C24y yz C25yzx C26yxy 12C33z2
2M1112
2M2212
2M3312 4M2312
4M3112
4M1212
2.1.2 弹性应变能密度
固体变形时，加在它上面的外力要做功。完全弹性体 在等温条件下，当缓慢卸载后可以完全恢复其初始状态。 因此，可以认为，外力功全部以能量的形式储存在弹性体 内。这种能量称为应变能。

2.2 弹性专讲

2.2 弹性专讲

Q

B. E =

无限弹性（perfect elastic）
实例研究：为什 么菜市场里卖黄 瓜的几个商家开 出的黄瓜价几乎 每家都是一个价?



含义1：价格为既定时， 需求量是无限的。 含义2：某个厂商的商 P 品价格比市场价高出一 点儿，需求就立即变为 零；而当他的商品价格 低于市价一点儿时，就 会被抢购一空。 银行以某一固定的价格 收购黄金 实行保护价的农产品 你还能举出其它例子吗?
回想：其实薄利多销的另一重要前提条件是能够量产， 这就涉及到后面章节中的规模经济这个概念。
练 习：
已知某种商品的需求是富有弹性的，假定其 他条件不变，卖者要想获得更多的收益， 应该：
A适当降低价格 B适当提高价格 C保持价格不变
√
通过薄利多销的方法降价来增加总 收益的商品是： A. 某品牌大众化妆品 B.单反相机(对于摄影师) C.面粉 D. 药品
如价格上调10%，则总收益？ 已知：面粉Ed=0.5，P1=0.2元/斤，Q1=100斤 。

如价格上调10%，数量则减少5%， P3=0.2 +0.2*10%=0.22元/斤， Q3=100 -100*5%=95斤
TR3=P3×Q3=0.22×95=20.9元 TR3 –TR1=20.9 –20= 0.9元 TR3>TR1，表明面粉价格上调，总收益增加。
D2
Q
C. E = 1 单位弹性（unitary

elastic）
价格变动的比 率 = 需求量 变动的比率。
这时的需求曲线 是一条正双曲线。 如运输、住房服 务

D3
D.E

< 1
缺乏弹性（inelastic〕

第二章弹性力学的基本方程

第二章弹性力学的基本方程
在二维笛卡尔空间中, 下标用小写希腊字母表示,并取
, , 1, 2
由此,向量 a可表示为
3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei i 1
三阶线性代数方程组
a11x a12 y a13 z P1
a21
x
a22
y
a23
z
P2
a31
x
a32
y
a33
z
P3
可表示为
ai1x1 ai2 x2 ai3x3 Pi
(c) 非循环序列:i, j, k中有两个以上得指标取
相同值
e112 e222 e323 0
利用置换符号可以简化公式
(1)行列式
a11 a12 a13 a a21 a22 a23
( xix j
) ,ij
例如:
xi
,i
ui x j
ui, j
2ui x j xk
ui, jk
ui xi
ui,i
u1,1
u2,2
u3,3
f xi
dxi
f ,i dxi
f ,1dx1
f ,2 dx2
f ,3dx3
4、 克罗内克(Kroneker)符号
定义: ij ei e j cos(ei ˆ e j )
Fx
1 dh 3
0
同理可得:
Tx xl yx m zx n Ty xyl y m zy n Tz xzl yz m z n
上式称为斜面应力公式,又称Cauchy公式。
2、斜面上得正应力与剪应力
Tν Txl Tym Tz n
xl 2 y m 2 z n 2 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
ei

医学物理学知识点汇总

医学物理学知识点汇总

第五章 机械波
1. 公式： u /T
2. 惠更斯原理。 3. 波的相干条件。 4. 人的听觉由什么决定。 5. 多普勒效应含义及解题。
记忆技巧 远离变小 接近变大
u u v0 两者相向运动 u vs
u u v0 u vs
两者相背运动
第七章 分子动理论
1. 物体微观结构的基本概念。 2. 理想气体的压强、能量的微观解释，各种情
在血管中流动的血液是一种粘滞流体， C
当血管的半经变为2R，根据伯肃叶定律，
则体积流量Q：（ ）
A、增大4倍
B、增大8倍
C、增大16倍
D、不变
Q R4P 8L
注：水平均匀细圆管内作层流的黏性流体，体积流量与这两端的压强差成正
比。
第四章 振 动
1. 简谐振动的特点及判断。 2. 简谐振动方程及特征量的名称与含义。 3. 同方向、同频率简谐振动的合成。
第十四章 几何光学
1. 单球面折射计算与符号规则。 2. 焦度的含义及单位。 3. 逐次成像法。 4. 非正视眼的形成原因及矫正。
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2024/3/12
2、应力(stress):作用于物体内单位面积 上的弹性力。
3、弹性模量:应力与应变的比值。
4、弹性模量物理意义：弹性模量越大， 物体越不容易变形。
第三章 流体的运动
1. 理想流体的特性。 2. 稳定流动的含义。 3. 连续性方程和伯努利方程的物理意义及应用。 4. 水平管、均匀管体位对血压的影响 5. 牛顿粘滞定律的基本含义。（粘度） 6. 层流与湍流的判断方法。 7. 泊肃叶定律对流量的解释
第十一章 稳恒磁场
1. 磁场的性质及各量的方向判断。 2. 磁通量与磁场的关系。 3. 电流的磁场及解题。 4. 磁场的生物效应。

第二章 弹性力学基础1026

第二章 弹性力学基础1026

2.3弹性力学基本变量
正面（外法线是沿着坐标轴的正方向） 负面（外法线是沿着坐标轴的负方向） 正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负 方向为负 负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正 方向为负
正应力以拉应力为正，压应力为负
2.3弹性力学基本变量
剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交
x
x
y
y
xy
x y
变形协调条件
它的物理意义是：材料 在变形过程中应该是整 体连续的，不应该出现 “撕裂”和“重叠”现 象发生。
2 2 x y 3u 3v 2 2 2 y x xy yx 2
一般而论, 弹性体内任意一点的体力分量、面力分 量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的 位置而变的, 因而都是位置坐标的函数。
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
2.3弹性力学基本变量
位移与应变的关系
ui ui ij dx j wij dx j
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用 内力
设作用于 A 上的内力为 Q , 则内力的平均集度,即平均应 力 ,为 Q / A Q lim S A 0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面 mn上、P点的应力。
应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力
均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，
整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性 常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定
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2.体变模量 体变模量(bulk modulus) 体变模量
体变时的弹性模量叫做体变模量，用符号 体变时的弹性模量叫做体变模量，用符号K 表示 体变模量
∆PV0 K =− =− θ ∆V ∆P
式中负号表示体积缩小时， 式中负号表示体积缩小时，压强是增大的 压缩率(compressibility): 压缩率 体变模量的倒数称为压缩率 用符号k 压缩率， 体变模量的倒数称为压缩率，用符号 表示
V −V0 ∆V = θ= V0 V0
∆V >0 时，θ 为正 0 ∆V < 0时，θ 为负
3．切应变（shearing strain） ．切应变（ ）
当一个正方体在一对切向力（剪力） 的作用下， 当一个正方体在一对切向力（剪力）F 的作用下，发生 切向形变，方块的上下底面产生相对位移△ ， 切向形变，方块的上下底面产生相对位移△x，二底面垂 比值△ 称为物体的切应变 剪应变， 切应变或 直距离为d，比值△x/d 称为物体的切应变或剪应变，用 符号γ 表示
F σ= S
物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或压应力 物体受到的是压力作用时的应力称为压缩应力或压应力 线应变时， 线应变时，内力方向与截面正交 张应力 压应力 正应力
2．体应力（volume stress） ． ）
如果物体（ 各向同性）受到的压强发生变化时， 如果物体 （ 各向同性 ） 受到的压强发生变化时 ， 物体 将发生体应变。体应力用压强的增量△ 来表示。 将发生体应变。体应力用压强的增量△P 来表示。 体应力是压应力。 体应力是压应力。
二、管形弹性腔的力学问题
半径为R 半径为 的弹性管 设单位长度上的弹性膜张力为T， 设单位长度上的弹性膜张力为 ， 选管中任一长为l 选管中任一长为 的圆弧段为研究对象 F =T 2l sinθ 向下合力 F =∆P2l R sinθ ∆ 压力为 张力和压力平衡时 T 2l sinθ =∆P2l R sinθ ∆
1.杨氏模量(Young modulus) 1.杨氏模量( 杨氏模量 )
拉伸或压缩时的弹性模量称为杨氏模量， 拉伸或压缩时的弹性模量称为杨氏模量，用 称为杨氏模量 符号E 符号 表示
F L0F σ = S E= = ∆L S∆L ε L0
F L0F σ = S E= = ∆L S∆L ε L0
ES F =( )∆L = k∆L L0
∆d ∆l =µ d l0
式中μ是材料的特征常数（纯数），称为泊松比 式中μ是材料的特征常数（纯数），称为泊松比 ），
一些常见材料的杨氏模量、弹性限度和强度(单位： 表2-1 一些常见材料的杨氏模量、弹性限度和强度(单位：Pa) 材料 不锈钢 熟铁 铜 铝 玻璃 花岗石 砖 木材 拉伸） 骨（拉伸） 骨（压缩） 压缩） 腱 橡胶 血管 杨氏模量 19.7×1010 × 19.0×1010 × 12.6×1010 × 6.8×1010 × 5.5×1010 × 5.0×1010 × 2.0×1010 × 1.0×1010 × 1.6×1010 × 0.9×1010 × 0.2×108 × 0.01×108 × 0.002×108 × 弹性限度 30×107 × 17×107 × 20×107 × 18×107 × 抗张强度 50×107 × 33×107 × 40×107 × 20×107 × 5×107 × — — — 12 ×107 — 抗压强度 — — — — 110×107 × 20×107 × 4×107 × 10×107 × — 17×107 ×
一粗细均匀各向同性的细棒原长为L 在外力F 一粗细均匀各向同性的细棒原长为 0，在外力 的作用下 被拉长，伸长量为△ 。 与原长L 被拉长，伸长量为△L。△L与原长 0的比值称为该物体的 与原长 拉伸应变或张应变， 拉伸应变或张应变，用符号ε 表示
L− L0 − ∆L ε= = L0 L0
L0
F ∆L F
第一节 应变和应力 2.1 Strain and stress
一、应变(the strain) 应变
物体的体积、 长度和形状的变化与其原有值之比， 物体的体积 、 长度和形状的变化与其原有值之比 ， 称为应变。 称为应变。 线应变 应变 体应变 切应变 L0
F ∆L F
∆x
F
d ϕ
F
L
1．线应变（linear strain） ．线应变（ ）
L 当物体在外力作用下被压缩时， 表示缩短量， 当物体在外力作用下被压缩时，△L 表示缩短量，应变ε为 压应变。 负值，此种应变称为压应变 负值，此种应变称为压应变。 张应变和压应变都是线应变
2．体应变（volume strain） ．体应变（ ）
如果各向同性的物体在各个方向上受到的压力的改 变量相同时，物体的形状不变， 变量相同时 ， 物体的形状不变， 仅仅发生体积的变 体积的改变量∆ 与原体积 与原体积V 叫做体应 化 ， 体积的改变量 ∆ V与原体积 0 之比 ， 叫做 体应 变，用符号θ 表示
1.0 ×1010 1.0 ×1010
试证明教材23页 作业二 试证明教材 页（2-4）式下一行文字 ） 中的结论——不可压缩材料（即：压缩前后总 不可压缩材料（ 中的结论 不可压缩材料 体积不变） 体积不变）的 µ = 0.5 同时请大家帮助解决一位同学遇到的困惑： 同时请大家帮助解决一位同学遇到的困惑：若 某长方体（横截面积为 × ，长度为2） 某长方体（横截面积为4×4，长度为 ）拉伸后 横截面积变为3× ，长度变为3， 横截面积变为 ×3，长度变为 ，满足µ = 0.5， 但是拉伸后总体积却变小了！ 但是拉伸后总体积却变小了！—— 错在什么地 方？为什么？ 为什么？
第二章 物体的弹性
物体受到外力作用时，将其形状和大小的改变叫做形变 物体受到外力作用时，将其形状和大小的改变叫做形变 去掉外力后物体能够完全恢复原状的性质称为弹性 去掉外力后物体能够完全恢复原状的性质称为弹性 弹性形变 形变 塑性形变 去掉外力后物体能够 完全恢复原状的形变 称为弹性形变 称为弹性形变 去掉外力物体不能 再完全恢复原状的 形变称为塑性形变 形变称为塑性形变
周边所受到的向下的合力
F = [2π (Rsinθ) T ] sinθ π = 2πRTsin2θ π
球冠所受压力的向上分力
F = ∆P π (Rsinθ) 2
在平衡状态时，上球冠所受到的张力和压力应大小相等， 在平衡状态时，上球冠所受到的张力和压力应大小相等， 方向相反
2πRTsin2θ =∆PπR2sin2θ π ∆ π
a点为正比极限 点为正比极限 b点为弹性极限 点为弹性极限 点为 c点为断裂点 点为断裂点 点为
展性 εb与εc差值较大 脆性 εb与εc差值较小
二、弹性模量(elastic modulus) 弹性模量
胡克定律： 胡克定律： 正比极限范围内应力与应变成正比 应力与应变的比值叫做该物体的弹性模量 应力与应变的比值叫做该物体的弹性模量 应力= 弹性模量× 应力 弹性模量×应变
讨论： 讨论：弹性 ∆L S∆L ε L0
的弹性圆棒，受到一拉力F 设有一原长为L0、截面积为S的弹性圆棒，受到一拉力 如果不考虑其截面积的微小变化， 的作用伸长到 L ， 如果不考虑其截面积的微小变化 ， 棒 所受到的拉力或所受到的内力为
L− L− L0 ES F = ES = ∆L L0 L0 ES = k 为定值 L0
W =∫
x
0
1 2 Fdx = ∫ kxdx = kx 0 2
x
上式表明： 上式表明：外力克服弹性力作功的结果是将其它 形式的能量转变成弹性体的弹性势能。 形式的能量转变成弹性体的弹性势能。弹性势能 的大小与伸长量的平方成正比， 的大小与伸长量的平方成正比，同时还与弹性体 自身的性质成正比。 自身的性质成正比。
x =∆L= L-L0 ∆ -
F=kx
表示弹性体的伸长量 表示弹性体的伸长量
k 为弹性体的力常数或叫做倔强系数 弹性体的力常数或叫做倔强系数(force constant) k 的单位: 的单位: N m-1
弹性体所受到的外力F 随着伸长量x的改变而不同 弹性体所受到的外力 随着伸长量 的改变而不同 弹性体在伸长过程中外力对弹性体所作的总功为
1Pa = N m-2
总之，应力就是作用在单位截面积上的内力 总之， 法向应力 与截面正交的应力
应力
切向应力
与截面平行的应力
在复杂形变中，可以同时具有正应力和切应力。 在复杂形变中，可以同时具有正应力和切应力。
第二节 弹性模量
一、弹性和塑性（elasticity and plasticity） 弹性和塑性（ ）
T ∆P = R
上式叫做管形弹性膜的拉普拉斯公式， 上式叫做 管形弹性膜的拉普拉斯公式， 常用它分析血管 管形弹性膜的拉普拉斯公式 的跨膜压
2πRTsin2θ =∆PπR2sin2θ π ∆ π
2T ∆P = R
上式叫做球面膜的拉普拉斯公式 上式叫做球面膜的拉普拉斯公式(Laplace′s formula) 球面膜的拉普拉斯公式 ′ 说明由弹性膜所形成的球面内外存在着压强差 在生理学上把细胞膜内外的压强差叫做跨膜压 在生理学上把细胞膜内外的压强差叫做跨膜压
∆x = tgϕ γ= d
ϕ为切变角。在形变很小时， 为切变角。在形变很小时， 一般都很小， 切变角ϕ 一般都很小，
d
ϕ
∆x
F
F
γ =ϕ
二、应力（stress） 应力（ ）
物体内部单位面积上受到的内力称为应力 物体内部单位面积上受到的内力称为应力
1．正应力 (normal stress) )
的大小成正比， 物体的拉伸应变与物体所受到的张力 F 的大小成正比， 成反比。 与物体的横截面积 S 成反比。 在外力F作用下，物体被拉伸时，物体内部单位面积上受 在外力 作用下，物体被拉伸时， 作用下 到的内力，叫做拉伸应力 张应力， 拉伸应力或 到的内力，叫做拉伸应力或张应力，用符号σ 表示