11合讲义情推理1

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

2.1.1 合情推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理(重点、难点)．2.了解合情推理在数学发现中的作用(重点).知识提炼1．归纳推理和类比推理温馨提示根据部分对象归纳得出的结论不一定正确，类比得出的结论也不一定正确，其正确与否还要进一步判断．2．合情推理(1)含义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程：从具体问题出发→观察、分析比较、联想→归纳、类比→提出猜想温馨提示合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧重点不同，结论也会不同．思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．()(2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．()(3)归纳推理是由个别得到一般的推理．()(4)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．()2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B. C.D.3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积等于( )A.r 22B.l 22C.lr2 D.l ＋r 24．等差数列{a n }中，a n ＞0，公差d ＞0，则有a 4·a 6＞a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n ＞0，q ＞1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________．5．观察下列各式：9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为________． 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； … 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________．(2)已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．归纳升华由已知数式进行归纳推理的步骤：(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征；(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(3)运用归纳推理得出一般结论．2．数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．变式训练(1)由下列各式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…请你归纳出一般结论．(2)已知数列{a n}，满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1，2，3，…)．归纳猜想出数列{a n}的通项公式a n＝________．类型2图形中的归纳推理典例2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31 C．32 D．36变式训练如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有____根；第n个图形中，火柴棒有________根．类型3类比推理典例3已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有1AD2＝1AB2＋1AC2成立．那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．归纳升华(1)在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等三个方面．在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．(2)平面图形与空间几何体的类比方向．试把上面的结论类比到空间，写出相应的结论．课堂小结1．归纳、推理、证明题的一般解题步骤：(1)列举出几个特殊情形，条件中已给出的此步可省略；(2)观察、分析所给特殊情形找出其共性；(3)归纳猜想出一个一般性的结论，此结论应包含前面的特殊情况；(4)对猜想的结论给出证明．2．类比推理的步骤与方法：(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．参考答案思考尝试1．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√【解析】(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般，所以，这种估计属于归纳推理．(2)错，类比推理的结论不一定正确.(3)对，由归纳推理的概念知说法正确．(4)对，归纳推理得出的结论不一定正确． 2.【答案】A【解析】观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次；②每行、每列有两个阴影一个空白，即得结果． 3．【答案】C【解析】三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长， 所以可猜测为S ＝12rl ＝lr 2.4．【答案】b 4＋b 8＞b 5＋b 7【解析】将乘积与和对应，再注意下标的对应， 有b 4＋b 8＞b 5＋b 7.5．【答案】(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4【解析】由已知四个式子可分析规律(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4. 核心突破类型1 数、式、数列中的归纳推理(自主研析) 典例1 (1)【答案】43n (n ＋1)【解析】根据已给出的等式归纳推理求解．通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度中π的系数的分子的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)． (2)解：当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 通过观察可得数列的前n 项都等于下标序号的倒数，因此a n ＝1n .变式训练 (1)解：由左、右两边各项幂的底数之间的关系：1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， …可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2， 即13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)【答案】2n －1(n ∈N *)【解析】由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 类型2 图形中的归纳推理 典例2 【答案】B【解析】有菱形纹的正六边形个数如下表：所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 变式训练 【答案】16 3n ＋1【解析】数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4，7，10，13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n 个图形中有火柴棒3n ＋1根． 类型3 类比推理典例3 解：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明：如图，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，所以1AE2＝1AB2＋1AF2.又因为在Rt△ACD中，易知AF⊥CD，所以1AF2＝1AC2＋1AD2.所以1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．变式训练解：取空间中三条侧棱两两垂直的三棱锥ABCD，即AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.。

高中数学2.1.1合情推理（1）（含解析）新人教A 版选修12知识点一 数列中的归纳推理1.数列2,5,11,20，x,47中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2C.nn －4＋n ＋4n ＋4－4＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2答案 A解析 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 正确.知识点二 几何中的归纳推理3.如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n－2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1.4．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：n 1 2 3 4 … S n136…(2)S 10＝答案 (1)10 (2)55解析 S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，…S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点三 归纳推理的应用5.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解 因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *).易错点 归纳过程找不到规律而致错6.在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________；f (n )＝________(答案用含n 的代数式表示)．易错分析 在图形推理问题中，一般思路为：(1)从图形的数量关系入手，找到数值变化与序号之间的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构发生一次变化后，与上一次进行比较，看数值发生了怎样的变化．答案 10n n ＋1n ＋26解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋n n ＋12＝n n ＋1n ＋26.一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A ．归纳推理是由一般到一般的推理过程 B ．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C ．归纳推理得出的结论不一定正确 D ．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 答案 A解析 由归纳推理的定义与特征可知选项A 错误，选项B ，C ，D 均正确，故选A. 2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( )A．1,2 B．1,3 C．2,4 D．1,4答案 C解析由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120172<( )A.40312017B.40322017C.40332017D.40342017答案 C解析观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1，所以当n＝2016时不等式为：1＋122＋132＋…＋120172<40332017.4．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A．(2,10) B．(10,2) C．(3,5) D．(5,3)答案 A解析由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2解析 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…， 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.6．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．答案 a n ＝1n(n ∈N *)解析 由首项为1，得a 1＝1；由n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12；当n ＝2时，由3a 23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13；…归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n(n ∈N *)．7．观察分析表中的数据：答案 F ＋V －E ＝2解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.三、解答题8．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .解 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.9．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2).(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9900，问a n是数列第几项？解(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。

《合情推理与演绎推理》 推理案例合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实践和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密，相辅相成，下面提供一个公式的推导过程，供同学们赏析，借此加深对两种推理的理解．例１ 设1()123S n n =++++，22222123S n =++++，已知1(1)()2n n S n +=，探求的一般公式． 思路１：（归纳的方案）如表１所示，列举出的前几项，希望从中归纳出一般的结论．但是，从表１的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：与会不会有某种联系？如表2所示，进一步列举出的值，比较与，希望有所发现．观察了和的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？ 尝试计算．终于在计算和的比时，发现“规律”了（表3）从表3中发现21()3S S n =，于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=． ① 公式①的正确性还需要证明．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2：（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和．（1）把中的各项表示出来，有1，2222(11)1211=+=+⨯+，2223(21)2221=+=+⨯+，2224(31)3231=+=+⨯+，22(1)2(1)1n n n =-+-+，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n =-+-+，等号两边的被消去了，所以无法从中求出的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出，却求出了的表达式，即212(1)()22n n n n n S n +-+==． 它启示我们：既然能用上面的方法求出，那么我们也应该可以用类似的方法求出．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下： 1，33322(11)131311=+=+⨯+⨯+，33323(21)232321=+=+⨯+⨯+，33324(31)333331=+=+⨯+⨯+，332(1)3(1)3(1)1n n n n =-+-+-+，左右两边分别相加，得323321()[()]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n =-+-+-+． 由此知323212323()23(1)(21)()366n n n S n n n n n n n S n ++-++++===，终于导出了公式．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？。

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理1一、学习目标1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现屮的作用.二、自主学习教材整理1归纳推理和类比推理阅读教材P22〜卩26“例4”以上内容，完成下列问题.1.判断(正确的打“3,错误的打“X")⑴因为三角形的内角和是180°x(3-2),四边形的内角和是180。

><(4一2),…,所以〃边形的内角和是180°x(^-2),使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.()(3)归纳推理是由个别到一般的推理.()【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一-定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(l)x (2)x (3)7教材整理2合情推理阅读教材P27〜P29的内容，完成下列问题.1.含义：归纳推理和类比推理都是根据己有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.2.合情推理的过程-归纳、类比-提出猜想1.类比a(h+c) = ah+ac,则下列结论正确的是()A. log(/(A"+^) = log.^4-log,^B. sin(x +y) = sinx+sinjC. a x y=a x+a)D. a\b+c)=ab+a-c【解析】由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征吋，才能用类比推理，而A、B、C中的两对彖没有相似特征，故不适合应用类比推理.【答案】D三、合作探究探究1：归纳推理例1 ⑴在数列｛a…｝ M4 , Q1 = 1,如+1 = —Q + ],则02017 等于'( )A. 2 B・—*C. -2D. 1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为_________________ .1 x①②③ ④图2-1-1【解析】(l)d| = l, ◎=—*，如=一2，血=1，…，数列｛色｝是周期为3的数列,2 017 = 672x3 + 1,・°・ a? 017=% = 1 •(2)分别求出前4个图形中线段的数冃，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29, 因为1=22 —3,5=2—3,13=2°—3,29=25 — 3,因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28+,-3 = 509.【答案】(1)D (2)509归纳总结：1.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给儿个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给儿个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼岀等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得岀一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之I'可的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:探究2：类比推理在几何中的应用例2： 如图所示，在平面上，设仏，加，几分别是AMC 三条边上的高，P 为AMC 内任意一点，尸到相 应三边的距离分别为罚 加"，可以得到结论h a +h b +h=\.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设九，加，九，他分别是该四面体的四个 顶点到对面的距离，P【精彩点拨】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】Pa 卫C PaS'PBC 鬥理 Ph S'PAC p cSbPABhaLpc hS ZBC ''叽S HABC '九S^ABC证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明. •: S、PBC +S △刃c+SbPAB =SbABC 、Pc S △/>8c+ S △刃 u+ S"ABhe S'ABC・・・H+ 证明如下:p 占 BCD"」/, h a l c J VA^CD同理Ph_ yP-ACD Pc_ Vp^ABD Pd_ Vp ・ABC hbyA^BCD 肌 V A ^BCD 心 V A -BCI ,为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为久，Pb，Pc，P”，可以得T V P・BC D+A P*C D+A P MB D+ y^ABC— VtBCD，・ Ea 亠吐_|_2z_ V P-BCD+%*CD+"-“£)+V P-ABC_…h a hh h c 1" V A-BCD归纳总结：1. 一般地，平而图形与空间图形类比如下:2.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物Z间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.探究3：类比推理在其他问题中的应用探究1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子''应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理.探究2在等差数列｛给｝中，对任意的正整数”，有川5 +罗…类比这一性质，在正项等比数列少“｝屮，有什么性质？【提示】由如+血+…+力-】类比成价力2為…九-1，除以弘即商类比成开乃次方，即在正项等比数列｛仇｝中，有y]b｝-brb3...b2n-\=b n.探究3观察下列等式:13+23=32*13+23+33=6243+23+33+43=102,根据上述规律,第五个等式是什么？【提示】观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数，右边数的指数均为2,故猜想第五个等式应为134-23 + 33+43+53+63 = (1+2 + 3+4 + 5 + 6)2=212.例3：已知椭圆具有性质：若M, N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点卩是椭圆上任意一点，当直线PM, PN的斜率你M，Sv都存在时，那么如M与炸N之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲2 2线产一予=1(。