新人教B版学高中数学选修推理与证明综合法与分析法讲义

2.2.1 综合法与分析法1．掌握综合法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用综合法证明简单题目． 2．掌握分析法证明问题的思考过程和推理特点，学会运用分析法证明简单题目． 3．区分综合法、分析法的推理特点，以便正确选取适当方法进行证明．1．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学______、______、______等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法有三个特点：(1)综合法是从原因推导到结果的思维方法；(2)用综合法证明问题，从已知条件出发，逐步推理，最后达到待证的结论； (3)综合法证明的思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 【做一做1－1】综合法是( )． A ．执果索因的逆推法 B ．由因导果的顺推法 C ．因果互推的两头凑法 D ．以上均不对【做一做1－2】设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )．A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B 2．分析法一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做______．用分析法证明的逻辑关系是：B (结论)B 1B 2…B n A (已知)．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的______条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．分析法的特点：(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．(2)由于分析法是逆扒证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表达。

【做一做2】分析法是( )． A ．执果索因的逆推法 B ．由因导果的顺推法C ．因果分别互推的两头凑法D ．逆命题的证明方法证明与推理有哪些联系与区别？剖析：(1)联系：证明过程其实就是推理的过程．就是把论据作为推理的前提，应用正确的推理形式，推出论题的过程．一个论证可以只含一个推理，也可以包含一系列的推理；可以只用演绎推理，或只用归纳推理，也可以综合运用演绎推理和归纳推理，所以证明就是推理，是一种特殊形式的推理．(2)区别：①从结构上看，推理包含前提和结论两部分，前提是已知的，结论是根据前提推出来的；而证明是由论题、论据、论证三部分组成的．论题相当于推理的结论，是已知的，论据相当于推理的前提．②从作用上看，推理只解决形式问题，对于前提和结论的真实性是不确定的，而证明却要求论据必须是真实的，论题经过证明后其真实性是确信无疑的．题型一 综合法【例题1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N ＋)．其中m 为常数，且m ≠－3.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为等差数列．分析：本题要求证明数列为等差、等比数列，思路是用定义证明，所以恰当的处理递推关系是关键．反思：应用综合法证明问题是从已知条件出发，经过逐步地运算和推理，得到要证明的结论，并在其中应用一些已经证明的或已有的定理、性质、公式等．综合法的特点是：从已知看可知，再由可知逐步推向未知，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．步骤可以归结为P 0(已知)P 1P 2P 3…P n (结论)．题型二 分析法【例题2】如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC .分析：本例所给的已知条件中，垂直关系较多，我们不容易确定如何在证明中使用它们，因而用综合法比较困难．这时，可以从结论出发，逐步反推，寻求使要证结论成立的充分条件．反思：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．题型三 易错辨析易错点：分析法是一种重要的证明方法，因为它叙述较繁，易造成错误，所以在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，另外，要注意前后的必要性，即应是“”，而不是“”．【例题3】求证：3＋6＜4＋ 5. 错证：由不等式3＋6＜4＋5.① 平方得9＋62＜9＋45.② 即32＜25.③ 则18＜20.④因为18＜20，所以3＋6＜4＋ 5.1函数f (x )＝ln(e x＋1)－x2( )．A ．是偶函数，但不是奇函数B ．是奇函数，但不是偶函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数2已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )．A ．aB ．－bC ．1bD ．－1b3已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则当xy 取最小值时x ，y 的值分别为( )．A ．5,5B ．10,52C ．10,5D ．10,104已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC . 其中正确的命题是________(填序号)．5若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________________． 答案：基础知识·梳理1．定义 公理 定理 【做一做1－1】B【做一做1－2】C ∵x ＞0，y ＞0，x 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y1＋x ＋y.2．充分 分析法 充分 【做一做2】A 典型例题·领悟【例题1】证明：(1)由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3， 两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n ，m ≠－3， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，∴{a n }是等比数列． (2)∵b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3， ∴n N ＋且n ≥2时，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3b n b n －1＋3b n ＝3b n －11b n－1b n －1＝13. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为1，公差为13的等差数列．【例题2】证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )， 只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )， 只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC )． 由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立． 所以AF ⊥SC .【例题3】错因分析：由于错证的过程是①②③④，因而书写格式导致了逻辑错误．其证明的模式(步骤)以论证“若A ，则B ”为例：欲证命题B 成立，只需证命题B 1成立，只需证命题B 2成立……，只需证A 为真．由已知A 真，故B 必真．正确证法：欲证不等式3＋6＜4＋5成立，只需证3＋218＋6＜4＋220＋5成立，即证18＜20成立，即证18＜20成立．由于18＜20是成立的，故3＋6＜4＋ 5.随堂练习·巩固1．A 函数的定义域为R ，f (－x )＝ln(e －x＋1)－－x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e xe x ＋x 2＝ln(e x ＋1)－ln ex＋x2＝ln(e x＋1)－x2＝f (x )．∴f (x )＝ln(e x＋1)－x2为偶函数．2．B ∵f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－b .3．B 由x ＋4y ＋5＝xy ，得24xy ＋5≤xy ，即4xy ＋5≤xy .再利用二次函数求xy 的最小值，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ，x ＋4y ＋5＝xy 时，xy 取到最小值，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝52.故选B.4．① 由三视图知在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，又SA ⊥平面ABC ，∴BC ⊥SA ，由于SA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面SAC .故命题①正确，由已知推证不出②③命题．5．a ≥0，b ≥0且a ≠b a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b .。

人教版高中选修(B版)2-2第二章推理与证明课程设计课程背景推理与证明是数学中的基础内容，也是高中数学中重要的知识点。

本课程为人教版高中选修(B版)2-2第二章推理与证明部分。

本章主要介绍了集合的含义、公式与命题的关系、命题的合取、析取和否定等基础概念，并引入了集合的推理和证明。

教学目标1.理解和掌握集合的概念。

2.掌握命题的合取、析取和否定。

3.理解集合的推理与证明方法，能够灵活运用集合的知识解决实际问题。

4.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。

教学内容1.集合的概念和表示方法–集合的定义–集合的元素–集合的表示方法–空集、全集和子集的定义2.命题及其合取、析取和否定–命题的含义和表示方法–命题的真值和真假性–命题的合取、析取和否定3.集合的推理与证明–命题的推理–命题的证明–集合的运算法则–集合的推理和证明实例教学方法1.教师讲授2.学生合作小组讨论3.学生自主探究4.课堂互动教学过程第一节：集合的概念和表示方法1.教师介绍集合的概念，用图例和实例解释集合的定义、元素、表示方法、空集、全集和子集的概念。

2.学生在课堂上进行小组讨论，探讨集合的表示方法和特殊集合的定义，如空集、全集和子集。

3.教师进行概念总结，提出思考问题并进行讲解。

第二节：命题及其合取、析取和否定1.教师介绍命题的概念和表示方法，并用具体的例子解释命题的真值、真假性和命题的合取、析取和否定。

2.学生在课堂上进行小组讨论，探讨命题的含义和合取、析取和否定的知识点。

3.教师进行概念总结，提出思考问题并进行讲解。

第三节：集合的推理与证明1.教师介绍集合的运算法则和命题的推理和证明方法。

2.学生进行自主探究，根据所学知识进行实例分析和推理证明。

3.学生进行课堂展示和讨论，探讨集合的推理和证明实例。

4.教师进行概念总结，提出思考问题和启示，并进行讲解。

第四节：课堂互动1.学生进行个人思考，完成与本节课程相关的问题。

2.学生进行小组互动，探讨自己认为最有趣、最有挑战性的部分。

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2．2.1 综合法与分析法1.了解直接证明的基本方法．2.理解综合法和分析法的思考过程及特点．3.会用综合法与分析法解决数学问题．1．直接证明(1)定义：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用方法：综合法、分析法．2．综合法(1)定义：是从原因推导到结果的思维方法(由因导果)，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)推证步骤：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．3．分析法(1)定义：是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法(执果索因)，即从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(2)步骤：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．( )答案：(1)×(2)√(3)√2．欲证2－3＜6－7，只需证明( )A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(6＋3)2D．(2－3－6)2＜(－7)2答案：C3．函数f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．答案：(0，＋∞)综合法的应用如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC . (1)求证：DC ⊥平面PAC . (2)求证：平面PAB ⊥平面PAC .[证明] (1)因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC . 又因为DC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ，所以DC ⊥平面PAC . (2)因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC . 因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB . 又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAC .综合法证明问题的步骤已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)>6abc .证明：因为a 、b 、c 是正数，所以b 2＋c 2≥2bc ， 所以a (b 2＋c 2)≥2abc . ① 同理，b (c 2＋a 2)≥2abc ， ②c (a 2＋b 2)≥2abc ， ③因为a 、b 、c 不全相等，所以b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，a 2＋b 2≥2ab 三式中不能同时取到“＝”． 所以①②③式相加得a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)>6abc .分析法的应用在锐角△ABC 中，求证：tan A ·tan B >1. [证明] 要证tan A tan B >1，只需证sin A sin B cos A cos B >1，因为A 、B 均为锐角，所以cos A >0，cos B >0.即证sin A sin B >cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B <0， 只需证cos(A ＋B )<0.因为△ABC 为锐角三角形，所以90°<A ＋B <180°， 所以cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1.分析法证明数学问题的方法若a >0，证明a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即证a 2＋1a2＋4＋4a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2＋2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，只需证a 2＋1a 2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋2，即证a 2＋1a2≥2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2≥0，显然成立， 所以原不等式成立．综合法与分析法的综合应用△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.[证明] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c成立， 即a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，又需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即c 2＋a 2＝b 2＋ac ，又△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以原命题成立．法二：(综合法)因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos60°， 即c 2＋a 2＝ac ＋b 2，两边同时加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1.所以(ca ＋b＋1)＋(ab ＋c＋1)＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q ，若由Q 可以推出P 成立，就可证明结论成立．1.设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.证明：法一：(分析法) 要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b ＞0，故只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立， 即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立． 由此不等式得证．法二：(综合法)a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .因为a ＞0，b ＞0， 所以a ＋b ＞0，所以(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )． 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.2．在某两个正数x ，y 之间插入一个数a ，使x ，a ，y 成等差数列，插入两数b ，c ，使x ，b ，c ，y 成等比数列，求证：(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．证明：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝x ＋y ，b 2＝cx ，c 2＝by ，所以x ＝b 2c ，y ＝c 2b ，即x ＋y ＝b 2c ＋c 2b ，从而2a ＝b 2c ＋c 2b.要证(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)，只需证a ＋1≥（b ＋1）（c ＋1）成立． 只需证a ＋1≥（b ＋1）＋（c ＋1）2即可．也就是证2a ≥b ＋c .而2a ＝b 2c ＋c 2b ，则只需证b 2c ＋c 2b≥b ＋c 成立即可，即证b 3＋c 3＝(b ＋c )(b 2－bc ＋c 2)≥(b ＋c )bc ， 即证b 2＋c 2－bc ≥bc ， 即证(b －c )2≥0成立， 上式显然成立，所以(a ＋1)2≥(b ＋1)(c ＋1)．1．分析法解题方向较为明确，有利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述，因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．2．综合法和分析法是证明数学问题的基本方法．在解决问题时既能单独运用也可以交替运用．1．利用综合法证明问题时，要把产生某结果的具体原因写完整，不可遗漏． 2．用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略．1．直接证明中最基本的两种证明方法是( ) A ．类比法与归纳法 B ．综合法与分析法 C ．反证法和二分法 D ．换元法和配方法解析：选B.直接证明的方法包括综合法与分析法．2．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≤1时，f (x )＝(x ＋1)2－1，则当x >1时，f (x )的解析式为__________．解析：因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以有f (x )＝f (2－x )，当x >1时，有2－x <1，则f (2－x )＝[(2－x )＋1]2－1＝(3－x )2－1＝(x －3)2－1＝f (x )．答案：f (x )＝(x －3)2－13．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：要比较b 与c 的大小，只需比较7＋2与3＋6的大小，只需比较(7＋2)2与(3＋6)2的大小，即比较14与18 的大小，显然14<18，从而7－3<6－2，即b <c ，类似可得a >c ，所以a >c >b .答案：a >c >b[A 基础达标]1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．等价条件解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件． 2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 2＋b 22≤0C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D.要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证：a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只需证：(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D.3．若a ＞1，0＜b ＜1，则下列不等式中正确的是( ) A ．a b＜1 B ．b a＞1 C ．log a b ＜0D ．log b a ＞0解析：选C.a b＞a 0＝1，b a＜b 0＝1，log a b ＜log a 1＝0，log b a ＜log b 1＝0. 4．若a <b <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．1a <1bB ．a ＋1b >b ＋1aC ．b ＋1a>a ＋1bD ．b a <b ＋1a ＋1解析：选C.因为a <b <0，所以1a >1b. 由不等式的同向可加性知b ＋1a >a ＋1b.5．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)成立”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A.本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A 项中，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2＜0，所以f (x )＝1x在(0，＋∞)上为减函数．6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6< 7.所以a <b .答案：a <b7．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 解析：如图所示，在△ABC 中，由正弦定理得23sin 60°＝4sin B，解得sinB ＝1，所以B ＝90°，所以S △ABC ＝12×AB ×23＝12×42－（23）2×23＝2 3.答案：2 38．如果a a ＞b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________．解析：要使a a ＞b b 成立，只需(a a )2＞(b b )2，只需a 3＞b 3＞0，即a ，b 应满足a ＞b ＞0.答案：a ＞b ＞09．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A ·sin B ＝sin C ．判断△ABC 的形状．解：因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )． 又2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0. 又A 与B 均为△ABC 的内角， 所以A ＝B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＝ab . 又由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 所以2ab cos C ＝ab ，cos C ＝12，所以C ＝60°.又因为A ＝B ，所以△ABC 为等边三角形．10．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为L ，故圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2，正方形的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，则本题即证π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.要证π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，即证πL 24π2＞L 216，即证1π＞14，即证4＞π，因为4＞π显然成立，所以π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42. 故原命题成立．[B 能力提升]11．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，所以b 2＋c 2－a 2<0，即b 2＋c 2<a 2.12．如图所示，四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)13．如图，几何体E ­ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)取BD 的中点O ，连接CO ，EO ，则由CB ＝CD 知，CO ⊥BD .又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，所以BD ⊥平面OCE ，所以BD ⊥EO ，又O 为BD 的中点，所以BE＝DE .(2)取AB 的中点N ，连接MN ，DN ，DM .因为M ，N 分别是AE ，AB 的中点，所以MN ∥BE .又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC .因为△ABD 为正三角形，所以DN ⊥AB .由∠BCD ＝120°，CB ＝CD 知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°＋30°＝90°，即BC ⊥AB ，所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以DN ∥平面BEC .又MN ∩DN ＝N ，所以平面MND ∥平面BEC ，又DM ⊂平面MND ，故DM ∥平面BEC .14．(选做题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，n ∈N ＋，其中A 、B 为常数．(1)求A 与B 的值；(2)证明：数列{a n }为等差数列．解：(1)由已知得S 1＝a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝7，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝18.由(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3S 2－7S 1＝A ＋B ，2S 3－12S 2＝2A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝－28，2A ＋B ＝－48， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－20，B ＝－8. (2)证明：由第一问得(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝－20n －8.①所以(5n －3)S n ＋2－(5n ＋7)S n ＋1＝－20n －28.②②－①，得(5n －3)S n ＋2－(10n －1)S n ＋1＋(5n ＋2)S n＝－20.③所以(5n ＋2)S n ＋3－(10n ＋9)S n ＋2＋(5n ＋7)S n ＋1＝－20.④④－③，得(5n ＋2)S n ＋3－(15n ＋6)S n ＋2＋(15n ＋6)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝0.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以(5n ＋2)a n ＋3－(10n ＋4)a n ＋2＋(5n ＋2)a n ＋1＝0.因为5n ＋2≠0，所以a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1＝0.所以a n ＋3－a n ＋2＝a n ＋2－a n ＋1，n ∈N ＋.又a 3－a 2＝a 2－a 1＝5，所以数列{a n}为等差数列．结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。

3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括（1）大前提-----已知的一般原理；（2）小前提-----所研究的特殊情况；（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.（3）反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.。