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点击面面垂直的判定与性质一、面面垂直的判定与性质1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.二、证明面面垂直的基本方法有：（1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明；（2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a ⊥β，a α⊂，则α⊥β在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.三、典例选析例1．如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC.剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角.证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO.∵AS=BS=CS ，SO ⊥BC ， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC ，从而AO ⊥BC. 设AS=a ，又∠BSC=90°，则SO=22a.又AO=22BO AB -=2221a a -=22a ， ∴AS 2=AO 2+SO 2，故AO ⊥OS.从而AO ⊥平面BSC ，又AO ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC. 证法二：同证法一证得AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 就是二面角A —BC —S 的平面角.再同证法一证得AO ⊥OS ，即∠AOS=90°. ∴平面ABC ⊥平面BSC.点评：本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法.例3．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，若过面对角线AB 1与另一面对角线BC 1平行的平面交上底面A 1B 1C 1的一边A 1C 1于点D .（1）确定D 的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB 1D ⊥平面AA 1D ；（3）若AB ∶AA 1=2，求平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角的大小.分析：本题的结论是“开放性”的，点D 位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出. 由于AB 1与BC 1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC 1沿BA 平行移动，BC 1取AE 1位置，则平面AB 1E 1一定平行BC 1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABC —A 1B 1C 1补成一直平行六面体ABCE —A 1B 1C 1E 1，由AE 1∥BC 1，AE 1⊂平面AB 1E 1，知BC 1∥平面AB 1E 1，故平面AB 1E 1应为所求平面，此时平面AB 1E 1交A 1C 1于点D ，由平行四边形对角线互相平行性质知，D 为A 1C 1的中点.（2）证明：连结AD ，从直平行六面体定义知AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，且从A 1B 1C 1E 1是菱形知，B 1E 1⊥A 1C 1，据三垂线定理知，B 1E 1⊥AD .又AD ∩A 1C 1=D ，所以B 1E 1⊥平面AA 1D ，又B 1E 1⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D .（3）解：因为平面AB 1D ∩平面AA 1D =AD ，所以过A 1作A 1H ⊥AD 于点H .作HF ⊥AB 1于点F ，连结A 1F ，从三垂线定理知A 1F ⊥AB 1.故∠A 1FH 是二面角A 1—AB 1—D 的平面角.设侧棱AA 1=1，侧棱AB =2.于是AB 1=22)2(1+=3.在Rt △AB 1A 1中，A 1F =1111AB B A AA ⨯=321⋅=36，在Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D =21A 1C 1=22，AD =2121D A AA +=26.则A 1H =ADD A AA 11⨯=33. 在Rt △A 1FH 中，sin ∠A 1FH =F A H A 11=22，所以∠A 1FH =45°. 因此可知平面AB 1D 与平面AB 1A 1所成角为45°或135°.点评：本题主要考查棱柱的性质，以及面面关系、二面角的计算，同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力. 立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的.立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画—证—算三步.“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连，环环相扣，互相制约，形成了解决立体几何计算题的思维程序，是综合考查学科能力的集中体现.例3．如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD=G.（1）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B ；（2）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ；（3）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.（1）证法一：如下图，连结AC.∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形， ∴AC ⊥BD.又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，故EF ∥AC.∴EF ⊥平面BDD 1B 1.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1. 证法二：∵BE=BF ，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF ⊥BD. 又EF ⊥D 1D ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.（2）解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H. ∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ， ∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H.∴点D 1到平面B 1EF 的距离d=D 1H.在Rt △D 1HB 1中，D 1H=D 1B 1·sin ∠D 1B 1H.∵D 1B 1=2A 1B 1=2·22=4，sin ∠D 1B 1H=sin ∠B 1GB=11GB B B =22144+=174，∴d=D 1H=4·174=171716. （3）解：V=V 11EFD B -=V EF B D 11-=31·d ·S EF B 1∆=31·1716·21·2·17=316. 点评：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.。
高中数学必修2 高中数学必修二2.3.4《平面与平面垂直的性质》导学导练【知识要点】1、平面与平面垂直的性质（重点）性质1、如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.则CD⊥β.定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；（2）为判定和作出线面垂直提供依据。
性质2、如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
【范例析考点】考点一．利用性质定理证明线面垂直例1：如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。
(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF；(3)求二面角A－DF－B的大小；【针对练习】1、如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．考点二．利用性质定理证明面面垂直例2：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1【针对练习】1、直角梯形ABCD中，BCAD//，090=∠A，1==ABAD，2=BC.沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.(1)求二面角ACDB--的大小；(2)证明：平面ABC⊥平面ADCA DBCADBCMC BF个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11考点三．利用性质定理证明线线垂直例3：如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：BC ⊥AB ．【针对练习】1、在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． (1)求证：AB BC ⊥；(2)设23AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．2、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A 1FD 1;考点四．利用面面垂直性质求距离例4：如图10，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明侧面PAB⊥侧面PBC ； （2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角； （3）求直线AB 与平面PCD 的距离.【针对练习】1、点P 是边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一动点，始终保持平面APB ⊥平面PBC ，且平面APC ⊥平面PBC ，求点P 到平面ABC 的最大距离.ACBp2、已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝2，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。
授课内容 面面垂直的判定性质教学内容知识梳理一、面面垂直的判定定理1、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,3、图形语言：二、面面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
2、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,3、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角专题精讲二、面面垂直的判定定理4、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
5、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,6、图形语言：三、面面垂直的性质定理4、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。
5、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,6、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。
4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。
②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。
平面与平面垂直的性质教课方案一、教材学情剖析1教材剖析《平面与平面垂直的性质》是人教 A 版必修 2 第二章《点、直线、平面之间的地点关系》的第 2.3.4 节.平面与平面垂直的性质是线面垂直与面面垂直内容的持续，不单能够加深利用线面垂直证线线垂直，也能够实现面面垂直的证明。
所以，我们能够说线面垂直关系是线线垂直关系的纽带。
教材从两个思虑下手，直观感知平面与平面垂直的性质，并抽象出数学模型进行证明，在掌握定理的基础上设置了两个操作研究和一个例题，其目的是更好地培育学生的空间想象能力和逻辑思想能力，感悟数学的转变思想。
2学情剖析在学习本课以前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的观点，判定定理，及线面垂直的性质定理。
已经具备了对空间几何图形的必定水平层次的想象能力，已具备必定的逻辑推理能力和剖析问题的能力。
这个阶段的学生还以抽象逻辑思想为主要发展趋向，他们的思想正从经验性的逻辑思想向抽象的逻辑思想发展，仍需依靠必定的详细形象的经验资料来理解抽象的逻辑关系。
本课借助生活中丰富的典型实例，让学生经过实验、剖析、猜想、归纳、论证等活动过程中，认识和体验线面、面面之间的垂直关系，在实验、猜想和论证中发展学生的逻辑思想能力、空间想象能力和剖析问题、解决问题的能力。
二、教课目的依照课程标准，同时鉴于上述剖析，我确立本节课的教课目的以下：（ 1）知识与技术：1.理解并掌握面面垂直的性质定理和推导。
2.运用面面垂直的性质定理解决实质问题。
.（ 2）过程与方法：1.经过对定理的研究和证明，培育学生察看、比较、想象、归纳等逻辑推理能力及转变的思想。
2.能经过实验提出猜想并能进行论证，灵巧运用知识剖析问题、解决问题。
（ 3）感情、态度、价值观：1.发展学生的合情推理能力和空间想象力，培育学生的怀疑思辩、创新精神。
2.让学生亲自经历数学研究的过程，体验研究的乐趣，加强学习数学的兴趣。
三、教课重难点重点：直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的性质定理；难点：平面与平面垂直的性质定理的证明及应用。
一、复习预习1．面面和平面位置关系2．面面和平面平行的判定定理3．面面和平面平行的性质定理4．公垂线、公垂线段、两个平行平面间的距离5．平面和平面垂直的判定定理6．平面和平面垂直的性质定理7．半平面、二面角、棱．二、知识讲解1．平面和平面位置关系2．平面和平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行3．平面和平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行4.两个平行平面间的距离两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．5.平面与平面垂直判定（1）定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. （3）判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.5.直线与平面垂直的性质：（1）一条直线和一个平面垂直,那么该直线与平面内所有直线垂直.（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.6.平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.（3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.7.平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.（3）如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.8.二面角及二面角的平面角(1)半平面：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.三、例题精析【例题1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F是所在棱的中点(如图)．求证：平面AMN∥平面BEFD.证明：∵在正方体ABCDA1B1C1D1中，N、E是中点，∴AN//BE，BE BEFD，AN BEFD，∴AN//平面BEFD，同理AM//平面BEFD.又AM∩AN＝A，AM⊂平面AMN，AN⊂平面AMN，∴平面AMN//平面BEFD.【例题2】在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形. 求证：平面B1AC∥平面DC1A1.证明：因为ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以A1C1//AC.又A1C1⊄平面B1AC，AC⊂平面B1AC，所以A1C1//平面B1AC.同理，A1D//平面B1AC.因为A1C1、A1D⊂平面DC1A1，A1C1∩A1D＝A1，所以平面B1AC//平面DC1A1.【例题3】如图，在四棱锥PABCD中，M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．证明：∵O、M分别是AC、PA的中点，连结OM，则OM//PC.∵OM⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，∴OM//平面PCD.同理，知ON//CD.∵ON⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴ON//平面PCD.又OM∩ON＝O，∴OM、ON确定一个平面OMN.由两个平面平行的判定定理知平面OMN与平面PCD平行，即过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．【例题4】如图所示，ABC∆为正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA 的中点．求证：(1) DE＝DA；(2) 平面BDM⊥平面ECA；(3) 平面DEA⊥平面ECA.证明：(1) 如图所示，取EC的中点F，连结DF.∵EC⊥平面ABC，∴EC ⊥BC.由DB ＝12EC ＝CF ，且DB//CE 易知DF//BC ，∴DF ⊥EC.在EFD Rt ∆和DBA Rt ∆中， ∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA.(2) 取CA 的中点N ，连结MN 、BN ，则MN //12EC.∵EC //DB 21.∴MN //DB. ∴点N 在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN.又CA ⊥BN ，EC ∩CA ＝C ，EC ⊂面ECA ，CA ⊂面ECA ， ∴BN ⊥平面ECA. ∵BN 在平面MNBD 内， ∴平面BDM ⊥平面ECA.(3) ∵DM//BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA.又DM 在平面DEA 内， ∴平面DEA ⊥平面ECA. 【例题5】如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB//EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1.(1) 求证：AF ⊥平面CBF ；(2) 设FC 的中点为M ，求证：OM//平面DAF ；(1) 证明：∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，∴ CB ⊥平面ABEF.∵ AFABEF ，∴ AF ⊥CB.∵ AB 为圆O 的直径，∴ AF ⊥BF ，∴ AF ⊥平面CBF.(2) 证明：设DF的中点为N，则MN//12 CD.又AO//12CD，则MN//AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM//AN.又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM//平面DAF.【例题6】如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝AB＝2MA.求证：(1) 平面AMD//平面BPC；(2) 平面PMD⊥平面PBD.证明：(1) ∵PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，∴PB//MA.∵PB⊂平面BPC，MA⊄平面BPC，∴MA//平面BPC.同理DA//平面BPC.∵MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，∴平面AMD∥平面BPC(2)连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连结EF、MF.∵ABCD为正方形，∴E为BD中点．又F为PD中点，∴EF//12 PB.又AM//12PB，∴AM//EF.∴AEFM为平行四边形．∴MF∥AE.∵PB⊥平面ABCD，AE ABCD，∴PB⊥AE.∴MF⊥PB.∵ABCD为正方形，∴ AC ⊥BD.∴ MF ⊥BD.又PB ∩PD ＝P ， ∴ MF ⊥平面PBD.(13分)又MF ⊂平面PMD.∴ 平面PMD ⊥平面PBD.(14分) 【例题7】如图①，E 、F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，∠B ＝90°，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角A 1EFB ，若M 为线段A 1C 的中点．求证：(1) 直线FM ∥平面A 1EB ； (2) 平面A 1FC ⊥平面A 1BC.证明：(1) 取A 1B 中点N ，连结NE 、NM ，则MN //12BC ，EF //12BC ，所以MN //FE ，所以四边形MNEF 为平行四边形， 所以FM//EN.又FM ⊄平面A 1EB ，EN ⊂平面A 1EB ， 所以直线FM//平面A 1EB.(2) 因为E 、F 分别为AB 和AC 的中点， 所以A 1F ＝FC ，所以FM ⊥A 1C. 同理，EN ⊥A 1B.由(1)知FM ∥EN ， 所以FM ⊥A 1B.又A 1C ∩A 1B ＝A 1， 所以FM ⊥平面A 1BC.因为FM A 1FC ，所以平面A 1FC ⊥平面A 1BC.四、课堂运用【基础】1. 两平面分别过两平行线中的一条，则这两平面的位置关系是________________． 【答案】平行或相交2. 已知α、β是平面，m 、n 是直线，则下列命题中不正确的是________．(填序号) ①若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α；②若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；④若m ⊥α，m β，则α⊥β .【答案】②【解析】如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以①正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以③正确；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，所以④也正确．3. 下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的是________．(填序号)【答案】②④【解析】①错，这两个平面可能相交或平行；②正确；③如果一个平面内的两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面不一定平行；④正确．【巩固】4. 写出平面α//平面β的一个充分条件（写出一个你认为正确的即可）.【答案】存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a//β,b//α.【解析】面面平行的判定.5. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α//β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l//α；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中真命题的是________．(填序号)【答案】①②【解析】由面面平行的判定定理可知，①正确；由线面平行的判定定理可知，②正确；对于③来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β；对于④来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α，也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α.6. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是________．(填序号)【答案】②④【解析】由面面垂直的判定定理知②是正确的，④的逆否命题是正确的．7. 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1) 直线EF//平面PCD；(2) 平面BEF⊥平面PAD.证明：(1) ∵E、F分别是AP、AD的中点，∴EF//PD.∵PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴直线EF//平面PCD.(2)连结BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，△ABD为正三角形，F是AD的中点，∴BF⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.【拔高】1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点,问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解析：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.2. 如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图②，将△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC、BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．求证：(1) AE⊥BD；(2) 平面PEF⊥平面AECD.(图①) (图②)证明：(1) 取AE中点M，连结BM、DM、DE.∵在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形，∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM，DM⊂平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD.(2) 连结CM交EF于点N，连结PN.∵ME//FC，且ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．∵P是线段BC的中点，∴PN//BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.∵PN⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.3. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．求证：(1) 平面PCC1⊥平面MNQ；(2) PC1//平面MNQ.证明：(1) ∵AC＝BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC.∵AA1⊥平面ABC，CC1//AA1，∴CC1⊥平面ABC，而AB在平面ABC内，∴CC1⊥AB.∵CC1∩PC＝C，∴AB⊥平面PCC1.又M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN//AB，∴MN⊥平面PCC1.∵MN在平面MNQ内，∴平面PCC1⊥平面MNQ.(2)连PB1与MN相交于K，连KQ.∵MN//PB，N为BB1的中点，∴K为PB1的中点．又Q是C1B1的中点，∴PC1//KQ.而KQ⊂平面MNQ，PC1⊄平面MNQ，∴PC1∥平面MNQ.课程小结1．平面与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；2.面面垂直的判定与性质：课后作业【基础】1.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB//l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB∥m ②AC⊥m ③AB∥β④AC⊥β【答案】①②③【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β=l，∴m∥l.∵AB∥l，∴AB∥m.故①一定正确.∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m.从而②一定正确.∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α.∴AB⊄β，l⊂β.∴AB∥β.故③也正确.∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立.故④不一定成立.2.设有直线m、n和平面α、β.下列命题不正确的是（填序号）.①若m∥α,n∥α,则m∥n②若m⊂α，n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β④若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α【答案】①②③【解析】若α∥β，m⊂β，n⊂β，可知m∥α,n∥α,但m与n可以相交，所以①不对；若m∥n，即使有m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β, α与β也可以相交，所以②不对；若α⊥β，α中仍有不与β垂直的直线，例如α与β的交线，故③不对；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n,又m⊥β，则m∥n，又m⊄α，所以m∥α，故④正确.3. 在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______________时，平面MBD⊥平面PCD.(第3题图)【答案】BM⊥PC【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD，∴PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.又BM⊥PC，BM∩BD＝B，∴PC⊥平面BDM，PC PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.4. 如图，四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有_________对．(第4题图)【答案】3【解析】本题考查图形的翻折和面面垂直的判定，显然平面ABD⊥平面BCD，平面ABC ⊥平面BCD，平面ABD⊥平面ACD.【巩固】5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，E是PA的中点. 若D在PC上的射影为F.求证：平面DEF⊥平面PBC.(第5题图)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.又ABCD是正方形，∴BC⊥CD.∵PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC.又DF⊂平面PDC，∴BC⊥DF，又D在PC上的射影为F，∴DF⊥PC，∵BC∩PC＝C, ∴DF⊥平面PBC.又DF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面PBC.6. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1) 平面ADE⊥平面BCC1B1；(2) 直线A1F∥平面ADE.(第6题图)证明：(1) ∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC.又AD ABC，∴CC1⊥AD.∵AD⊥DE，CC1、DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，∴ AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD ⊂平面ADE ，∴ 平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2) ∵ A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，∴ A 1F ⊥B 1C 1.∵ CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴ CC 1⊥A 1F.∵ CC 1、B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，∴ A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知，AD ⊥平面BCC 1B 1，∴ A 1F ∥AD.∵ AD ADE ，A 1F ADE ，∴ 直线A 1F//平面ADE.7. 如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC.(1) 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2) 点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BF BE 的值．(第7题图)(1) 证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC.因为平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE.因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB.因为CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，所以CE ⊥平面ABE. 因为CE AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE.(2) 解：连结BD 交AC 于点O ，连结OF.因为DE ∥平面ACF ，DEBDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，所以DE ∥OF.因为在矩形ABCD 中，O 为BD 的中点，所以F 为BE的中点，即BF BE ＝12.(第7题图)【拔高】8. 在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均为2，四边形ABDC 是菱形．求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；证明：由正三棱柱ABCA1B1C1，得BB1⊥AD.而四边形ABDC是菱形，所以AD⊥BC.又BB1⊂平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，且BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.又由AD⊂平面ADC1，得平面ADC1⊥平面BCC1B1.2. 如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点，求证：(1) AE∥平面BDF；(2) 平面BDF⊥平面ACE.证明：(1) 设AC∩BD＝G，连结FG，易知G是AC的中点．∵F是EC中点，∴在△ACE中，FG//AE,∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE//平面BFD.(2) ∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，∴BC⊥平面ABE.∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE.又AE⊥BE，BC∩BE＝B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF.在△BCE中，BE＝CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE＝E，∴BF⊥平面ACE.又BF BDF，∴平面BDF⊥平面ACE.3. 如图，在正三棱柱ABCDEF中，AB＝2，AD＝1.P是CF的延长线上一点，FP＝t.过A、B、P三点的平面交FD于M，交FE于N.(1) 求证：MN∥平面CDE；(2) 当平面PAB⊥平面CDE时，求t的值．(1)证明：因为AB∥DE，AB在平面FDE外，所以AB∥平面FDE.又MN 是平面PAB 与平面FDE 的交线，所以AB ∥MN ，故MN ∥DE.因为MN ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以MN ∥平面CDE.(2) 解：取AB 中点G 、DE 中点H ，连结GH ，则由GH ∥PC 知P 、C 、G 、H 在同一平面上，并且由PA ＝PB 知PG ⊥AB.而与(1)同理可证AB 平行于平面PAB 与平面CDE 的交线，因此，PG 也垂直于该交线．又平面PAB ⊥平面CDE ，所以PG ⊥平面CDE ，所以PG ⊥CH ，于是△CGH ∽△PCG ，所以PC CG ＝CG GH ，即1＋t 3＝31，解得t ＝2. 4. 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12AF ，G 、H 分别是FA 、FD 的中点． (1) 证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2) C 、D 、E 、F 四点是否共面？为什么？(3) 设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE.(1) 证明：由题意知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH //12AD. 又BC //12AD ，故GH //BC ， 所以四边形BCHG 是平行四边形．(2) 解：C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知BE 綊GF ，所以EF ∥BG. 由(1) 知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3) 证明：连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG 及∠BAG ＝90°知ABEG 是正方形，故BG⊥EA. 由题设知FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ，∴AD ⊥BG ，∴BG ⊥平面ADE ，∴BG ⊥ED.又ED∩EA＝E，∴BG⊥平面ADE.由(1)知CH∥BG，∴CH⊥平面ADE.由(2)知F∈平面CDE，故CH CDE，得平面ADE⊥平面CDE.个性化教案课后评价（在各自的系统上进行布置，不在教学案中体现）包含:1.课后作业学生完成情况2.本节课主要内容概括3.本节课学生学习态度4.学生知识掌握情况和存在的问题（通过课堂反馈题进行分析）。
【高中数学】高中数学知识点：平面与平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是
直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
如图，
面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（线面垂直
面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直
线面垂直）
性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题
的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般
用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直
通常利用线面垂直或利用空间向量．
常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直
线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，
（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
第五节 直线、平面垂直的判定与性质一、基础知识1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言 图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线❷，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l ⊂βl ⊥α⇒α⊥β 性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊂βα∩β＝a l ⊥a ⇒l ⊥α[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥PABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用) [口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清. 平面之内两直线，两线相交于一点， 面外还有一直线，垂直两线是条件. [题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝BB 1，AB 1∩A 1B ＝E ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD .(1)求证：BD ⊥平面A 1ACC 1；(2)若AB ＝1，且AC ·AD ＝1，求三棱锥A BCB 1的体积． 解： (1)证明：如图，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A BCB 1＝V B 1ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16.2.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，∴BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.考点二面面垂直的判定与性质[典例](2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.[解题技法] 证明面面垂直的2种方法 定义法利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ， ∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF∥平面PEC.(2)∵P A＝AD，F为PD中点，∴AF⊥PD，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵CD⊥AD，AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∵AF⊂平面P AD，∴CD⊥AF.又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.由(1)知EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，又EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.[课时跟踪检测]A级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：317．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABCA1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．(1)求证：AD⊥平面PNB；(2)若平面P AD⊥平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．解：(1)证明：连接BD.∵P A＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BN⊥AD，又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵P A＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝ 3.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝12×3×3＝32.∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ， ∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23.10.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ， 所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ， 又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴AD ∥BE ，又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴BE ∥平面P AD .(2)∵AB ⊥AD ，∴四边形ABED 为矩形， ∴BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，∵平面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， ∴P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD ， ∵E ，F 分别是CD ，PC 的中点， ∴PD ∥EF ，∴CD ⊥EF ，又EF ∩BE ＝E ， ∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .。
