数值分析课后习题答案4

习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

第一章题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）43()2f x x x =−解（1）(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；（2）(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!f x p x x x x x x x x x −=−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差01210()()()max ()8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=−−，其中01x x ξ≤≤，010101max ()()()()()()()()2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()8x x x x x f x ≤≤−′′≤.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x .解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2123()23p x a a x a x ′=++，代入得方程组001231123010231a a a a a a a a a =⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021a a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=−⎩23()2p x x x ∴=−；（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2()p x x ∴=；再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.题33设分段多项式323201()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；223201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；联立两方程，得2,3b c =−=，且此时6201()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37用最小二乘法求形如2y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，20()x x ϕ=，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，20.97260.05y x ∴=+.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）10120113()(()()424f x dx A f A f A f ≈++∫（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()(224()11133()()4244x x A l x dx dx −−===−−∫∫，11110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，11220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，当3()f x x =时，有左边＝113001()d d 4f x x x x ==∫∫，右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，当4()f x x =时，有左边＝114001()d d 5f x x x x ==∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x 1.11.3 1.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.51.1x e dx∫.解辛甫生法1.51.1xe dx ∫()1.5 1.13.00424 3.66934.4817 1.477546−≈+×+=；复化梯形法1.51.1xe dx ∫()0.23.00422 3.66934.4817 1.482452≈+×+=.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxx π=+∫.解先做变量代换，设)(1+21=t x ，则1204d 1x x +∫＝112112418d d 124(1)1(1)4t t t t −−⋅=++++∫∫()2225888589994014141≈×+×+×++⎛⎞⎞++⎜⎟⎟⎝⎠⎠3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题y ax b ′=+，(0)0y =：（1）试导出近似解n y的显式表达式；解（1）其显示的Euler 格式为：11111(,)()n n n n n n y y hf x y y h ax b −−−−−=+=+⋅+故122()n n n y y h ax b −−−=+⋅+⋯⋯100()y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加，得0021()n n n y y ah x x x nhb−−=+++++⋯(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++−+−+⋯2(1)/2ah n n nhb=−+题10选取参数p 、q ，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨=++⎩.解将1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开，得11(,)n n K f x ph y qhK =++21(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++代入，得()21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而231()()()()()()2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +′′′=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差，设()n n y y x =，比较上两式，当12p =，12q =时，311()()n n y x y O h ++−=.第四章题2证明方程1cos 2x x=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]a b ，使迭代过程11cos 2k kx x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解设1()cos 2f x x x=−，则()f x 在区间(,)−∞+∞上连续，且11(0)cos 0022f =−=−<，1(cos 022222f ππππ=−=>，所以()f x 在[0,]2π上至少有一根；又1()1sin 02f x x ′=+>，所以()f x 单调递增，故()f x 在[0,]2π上仅有一根.迭代过程11cos 2k k x x +=，其迭代函数为1()cos 2g x x=，[0,]2x π∀∈，110()cos 222g x x π≤=≤≤，()[0,]2g x π∴∈；1()sin 2g x x ′=−，1()12g x ′≤<，由压缩映像原理知0[0,2x π∀∈，11cos 2k kx x +=均收敛.注这里取[,]a b 为区间[0,]2π，也可取[,]a b 为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos 0x x −+=的迭代法124cos 3k kx x +=+（１）（１）证明它对于任意初值0x 均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为2()4cos 3g x x=+，(,)x ∀∈−∞+∞，()(,)g x ∈−∞+∞；又22()sin 133g x x ′=−≤<，由压缩映像原理知0x ∀，124cos 3k k x x +=+均收敛；（2）***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞−′==−≠−（否则，若*sin 0x =，则*,x m m Z π=∈，不满足方程），所以迭代124cos 3k kx x +=+具有线性收敛速度；题7求方程3210x x −−=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１）（１）改写方程为211x x =+，相应的迭代公式为1211k k x x +=+；（２）（２）改写方程为321x x =+，相应的迭代公式为1k x +=解（1）3232211011x x x x x x −−=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211k k x x +=+，其迭代函数为21()1g x x =+[1.3,1.6]x ∀∈，2221111.3 1.3906111 1.5917 1.61.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又32()g x x ′=−，333222-0.9103==-0.48831.3 1.6x −−−≤≤，()0.91031g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1211k k x x +=+均收敛；（2）3232101x x x x x −−=⇔=+⇔=1k x +=其迭代函数为()g x =[1.3,1.6]x ∀∈，1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≈≤≤≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又()g x ′=，00.4912≤≤≤=，()0.49121g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1k x +=均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511x x x x x x x x x +−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=−⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠347605/32/33001/52/5⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，所以412x −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.。

7、计算的近似值，取。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。

解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。

因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。

10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

解：此算法是数值稳定的。

第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。

〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。

A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。

证A-1也是单位上〔下〕三角阵。

证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。

R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。

A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。

第一章习题解答1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。

3.14,7/100)4(143.0,7/1)2(0031.0,1000/)3(1.3,)1(========x a x a x a x a ππ试估计x 的绝对误差和相对误差。

解：（1）0132.00416.01.3≈=≈−=−=aee x a e r π （2）0011.00143.0143.07/1≈=≈−=−=a ee x a e r （3）0127.000004.00031.01000/≈=≈−=−=aee x a e r π （4）001.00143.03.147/100≈=≈−=−=aee x a e r2、已知四个数：001.0,25.134,0250.0,3.264321====x x x x 。

试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算3211x x x =μ和1431/x x x =μ的相对误差限。

解：21111121101901.0,1021,3,10263.06.23−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ22214212102.0,1021,3,10250.00250.0−−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 43332333103724.0,1021,5,1013425.025.134−−⨯≈=⨯==⨯==x x x x n x r δδδ 5.0,1021,1,101.0001.04443424==⨯==⨯==−−x x x x n x r δδδ 由相对误差限公式：i r ini n in ni i ir x x fx x f x x x f x x f u δδδ∂∂=∂∂=∑∑==1111),,(),,()(所以有：232123113211103938.0)(1)(−⨯≈++=x x x x x x x x x r δδδμμδ4971.0)(1)(4133141214311≈++−=x x x x x x x x x x r δδδμμδ 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。

数值分析课后答案（4）习题四1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取02.0x = 00.6931y = 12.2x = 10.7885y = 22.3x = 20.8329y = 110 2.1 2.3 2.1 2.0(0)(1)0.69310.832901102.0 2.32.3 2.0x x x x L f x f x x x x x ----=+=+----=0.7410抛物线插值：12200102()()()()x x x x l x x x x --=-- 02211012()()()()x x x x l x x x x --=-- 01222021()()()()x x x x l x x x x --=--2200211222L l y l y l y =++=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 023********()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---01332202123()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 01233303132()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---3300311322333L l y l y l y l y =+++=1156261310323++-x x x3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0, 求证:2"1m ax |()|()m ax |()|8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-解：取01;x a x b ==，1()()0x a x b L f a f b a bb a--=+=--''''211()()()|()()||()()|||||224f f b a R f x L x x a x b εε-=-≤--≤∴''21()()|()||()|||||24f b a f x L x ε-≤+''1()|()||||()|8f L x b a ε=+-|||8)("|a b f -=ε4.证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足∑==ni ki n ki x x l x 0,)(, n k ≤≤0解：取()kf x x = 则n 0()nki i Ln lx x ==∑(1)()()()!n nii fx f x Ln Rn x x n +=-==-∑(1)0()()!k n nii x x x n +==-∑=0所以()()f x Ln x = 即证 5.证明 )(')()()(,xi x x x x l n i n i n ωω-=证明：、01110111()()()()()ln ()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x -+-+-----= -----01110111()()()()()()()()()()i i ni i ii i i i i nix x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+------=------取 0111()()()()()()n i ii n x x xx xxxx x x x x ω-+=------则 '1020111011()()()())()()()()()()()()()n nn i in n x x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x x xxω-+-=--+---+-----++--- （'0111()()()()()()n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x x ω-+=-----所以，'()ln ()()n i n i x i x x x ωω=-6.设nn x a x a a x f ++=10)(有n 个不同的实根.,,21n x x x证明:=-=∑11,0)('n ni i kia x f x证明：取()kx x ?= 1()()n n x x xx ω=-- 而，0()nn f x a a x =++ 有n 个不同的实根。

习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。

再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。

解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

第一章题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）43()2f x x x =−解（1）(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；（2）(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!f x p x x x x x x x x x −=−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差01210()()()max ()8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=−−，其中01x x ξ≤≤，010101max ()()()()()()()()2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()8x x x x x f x ≤≤−′′≤.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x .解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2123()23p x a a x a x ′=++，代入得方程组001231123010231a a a a a a a a a =⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021a a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=−⎩23()2p x x x ∴=−；（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2()p x x ∴=；再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.题33设分段多项式323201()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；223201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；联立两方程，得2,3b c =−=，且此时6201()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37用最小二乘法求形如2y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，20()x x ϕ=，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，20.97260.05y x ∴=+.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）10120113()(()()424f x dx A f A f A f ≈++∫（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()(224()11133()()4244x x A l x dx dx −−===−−∫∫，11110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，11220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，当3()f x x =时，有左边＝113001()d d 4f x x x x ==∫∫，右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，当4()f x x =时，有左边＝114001()d d 5f x x x x ==∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x 1.11.3 1.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.51.1x e dx∫.解辛甫生法1.51.1xe dx ∫()1.5 1.13.00424 3.66934.4817 1.477546−≈+×+=；复化梯形法1.51.1xe dx ∫()0.23.00422 3.66934.4817 1.482452≈+×+=.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxx π=+∫.解先做变量代换，设)(1+21=t x ，则1204d 1x x +∫＝112112418d d 124(1)1(1)4t t t t −−⋅=++++∫∫()2225888589994014141≈×+×+×++⎛⎞⎞++⎜⎟⎟⎝⎠⎠3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题y ax b ′=+，(0)0y =：（1）试导出近似解n y的显式表达式；解（1）其显示的Euler 格式为：11111(,)()n n n n n n y y hf x y y h ax b −−−−−=+=+⋅+故122()n n n y y h ax b −−−=+⋅+⋯⋯100()y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加，得0021()n n n y y ah x x x nhb−−=+++++⋯(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++−+−+⋯2(1)/2ah n n nhb=−+题10选取参数p 、q ，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨=++⎩.解将1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开，得11(,)n n K f x ph y qhK =++21(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++代入，得()21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而231()()()()()()2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +′′′=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差，设()n n y y x =，比较上两式，当12p =，12q =时，311()()n n y x y O h ++−=.第四章题2证明方程1cos 2x x=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]a b ，使迭代过程11cos 2k kx x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解设1()cos 2f x x x=−，则()f x 在区间(,)−∞+∞上连续，且11(0)cos 0022f =−=−<，1(cos 022222f ππππ=−=>，所以()f x 在[0,]2π上至少有一根；又1()1sin 02f x x ′=+>，所以()f x 单调递增，故()f x 在[0,]2π上仅有一根.迭代过程11cos 2k k x x +=，其迭代函数为1()cos 2g x x=，[0,]2x π∀∈，110()cos 222g x x π≤=≤≤，()[0,]2g x π∴∈；1()sin 2g x x ′=−，1()12g x ′≤<，由压缩映像原理知0[0,2x π∀∈，11cos 2k kx x +=均收敛.注这里取[,]a b 为区间[0,]2π，也可取[,]a b 为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos 0x x −+=的迭代法124cos 3k kx x +=+（１）（１）证明它对于任意初值0x 均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为2()4cos 3g x x=+，(,)x ∀∈−∞+∞，()(,)g x ∈−∞+∞；又22()sin 133g x x ′=−≤<，由压缩映像原理知0x ∀，124cos 3k k x x +=+均收敛；（2）***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞−′==−≠−（否则，若*sin 0x =，则*,x m m Z π=∈，不满足方程），所以迭代124cos 3k kx x +=+具有线性收敛速度；题7求方程3210x x −−=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１）（１）改写方程为211x x =+，相应的迭代公式为1211k k x x +=+；（２）（２）改写方程为321x x =+，相应的迭代公式为1k x +=解（1）3232211011x x x x x x −−=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211k k x x +=+，其迭代函数为21()1g x x =+[1.3,1.6]x ∀∈，2221111.3 1.3906111 1.5917 1.61.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又32()g x x ′=−，333222-0.9103==-0.48831.3 1.6x −−−≤≤，()0.91031g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1211k k x x +=+均收敛；（2）3232101x x x x x −−=⇔=+⇔=1k x +=其迭代函数为()g x =[1.3,1.6]x ∀∈，1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≈≤≤≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又()g x ′=，00.4912≤≤≤=，()0.49121g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1k x +=均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511x x x x x x x x x +−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=−⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠347605/32/33001/52/5⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，所以412x −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。

若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。

[解]由，可知，，余项为，故。

2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有，从而。

5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。

第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。

又，，，故法方程为，解得。

均方误差为。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。

，。

又，，，故法方程为，解得。

故直线运动为。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。

应用最小二乘原理，求R使得达到最小。

对求导得到：。

令，得到电阻R为。

2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。

[解]令，求x使得达到最小。

对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。