不确定时滞系统的鲁棒解耦控制

不确定时滞系统的鲁棒解耦控制。

关新平刘奕昌赵宇翔（燕山大学电气工程学院，秦皇岛０６６００４７段广仁（哈尔滨工业大学控制工程系，哈尔滨１５０００１）擅要：研究一类含有时变时滞的不确定时滞系统的鲁棒解耦控制问题，其中不确定性是时变的，且满足范数有界条件。

本文运用能量解耦的方法，即从输入一输出的的能量关系上实现解耦，使得任何一个输入的能量主要控制对应的一个输出的能量，对其他输出的能量影响尽可能小。

关键词：不确定性，时滞系统，鲁棒性，解耦控制１引言解耦控制就是把一个具有耦合的多输入一输出的控制系统，通过选择适当的控制器，而解耦为具有多个独立的单输人一输出的控制。

解耦控制从解耦的程度上的不同一般可以分成全解耦“ｏｏ与近似解耦。

３、“。

全解耦是一种基于精确对消的解耦方法，当被控对象的工况改变时，会导致解耦性的破坏，这是该方法的主要缺陷。

而文献［３、４：是所用的现代频域法则属于近似解耦的方法，其设计目标是被控对象的对象逐优势化而非对角化，从而避免了全解耦方法的缺陷。

但是在这种方法中，预补偿器阵的求取并没有一个系统的方法。

因而使得该方法的广泛使用受到一定的限制。

由于不确定性时间上的滞后性是造成控制系统不稳定的源泉，且不确定与时滞都是系统中不可避免的两种现象。

因而，近年来时滞系统的鲁棒控制已成为控制理论研究中的热点问题∞“。

，然而，对于时滞系统的鲁棒解耦控制问题的研究却不多见。

本文应用输人一输出能量的关系上实现近似解耦。

使得系统的每一个输入的能量主要控制对应的一个输出的能量，而对其他输出的能量影响尽可能小。

并且本方所研究的系统中的不确定性与时滞均为时变。

因而适用于工业中一般的多变量系统：２系统描述及预备知识考虑如下具有时变时滞的不确定时滞系统主（ｆ）＝［Ａ＋△Ａ（ｆ）］ｚ（￡）＋：Ａ１＋△Ａｌ（ｆ）］ｚ：￡一ｈ（ｔ）］＋Ｂｕ（ｆ），（ｔ）＝Ｃｚ（￡）十Ｄｕ（ｔ）．（１）ｚ（ｆ）＝≠（ｆ），ｆ∈［一＾一，０］式中ｚ（￡）∈Ｒ“为系统状态，“（ｔ）∈Ｒ”为系统输人，ｙ（ｔ）∈Ｒ”为系统输出，同时满足ｍ≤”，Ａ，Ａ１，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别为具有适当维数的已知常阵，且Ｄ十Ｄ７＞Ｏ，≠（ｆ）是一个连续的矢量初值函数，ｈ（，）表示系统的时变时滞，且满足０≤ｈ（ｔ）≤＾一＜ｏ。

，＾（ｔ）≤ｄ＜１式中＾一，ｄ均为常数。

△Ａ（￡），△Ａ１（￡）代表系统中的时变不确定性，且满足如下形式的范数有界形式：△Ａ（ｔ）＝Ｈ１Ｆｌ（ｔ）Ｅｌ，△ＡＩ（￡）＝Ｈ２Ｆ２（￡）Ｅ２－本项目国家自然科学基金（６９５０４００２）与国家教委跨世纪人才基金资助项目。

不确定时滞系统的鲁棒解耦控制１５寻求状态反馈与输入变换控制率“（￡）＝ＦＴ（ｔ）＋国（ｆ）（２）使得闭环系统主（ｔ）＝［Ａ＋△Ａ（￡）＋ＢＦ］３２（ｔ）＋［Ａｌ十△Ａ１（￡）］上：ｔ—ｈ（ｔ）］＋ＢＧｖ（ｔ）…＿（ｆ）＝（Ｃ＋ＤＦ）上（｝）＋ＤＧ刨（￡）【）Ｊ的任何一个输人的能量主要控制对应的一个输出的能量，而对其他输出能量的影响尽可能小，其中。

（ｆ）∈Ｒ”为变换后新的系统输入，Ｆ，Ｇ分别为具有适当维数的常数矩阵。

上述输人一输出能量解耦过程可归纳为：寻求Ｆ∈Ｒ”“，Ｇ∈Ｒ”““，满足Ｉ‘ｙＴ（ｔ）Ｙ。

（ｔ）ｄｔ≥啦Ｉ‘Ｃ（ｔ）ｕ（ｆ）ｄｔ，Ｖｒ≥０，ｉ＝１，２…ｍ（４）ｏ０ｏｕｌ‘刀（｝）；，（ｆ）ｄｒ≥且Ｉ！Ｃ（ｔ）ｑ（ｔ）ｄｔ，Ｖｒ≥ｏ，ｉ＝１，２…ｍ（５）ｏＤｏＵ式中；，（￡）ＥＲ”＿１表示３（ｔ）中除Ｙｉ（ｆ）分量外的所有其他分量组成的向量，％，岛为给定的正常数。

定义１对于具有时变时滞的不确定时滞系统（１），如果存在矩阵Ｆ，Ｇ，满足条件（４）～（５），则称该系统为输入—输出能量（ａ，口ＩＦ，Ｇ）解耦的。

本文的输入一输出能量解耦思想参照了Ｒｃ８ｅｎｂｒｏｅｋ的对角优势化方法的近似解耦思想，具体的求解过程可归纳为对条件（４）、（５）的求解。

考虑到系统的稳定性是系统设计中的首要目标，因此本文的能量解耦同时保持同环系统的稳定性。

３仅具输入变换的能量解耦对于具有时变时滞的不确定时滞系统（１），如果其本身是渐近稳定的，则（２）式可简化为仅具输入变换部分，即Ⅱ（ｔ）＝Ｇｖ（ｔ）（６）此时，系统（１）变为主（￡）＝［Ａ＋△Ａ（ｔ）］ｚ（ｆ）＋［Ａ１＋ＺｋＡｌ（ｔ）］ｚ：ｔ—ｈ（￡）］＋ＢＧｖ（￡）…ｖ（ｔ）＝Ｃｚ（｝）＋Ｄ∞（ｔ）定理１渐近稳定的不确定时滞系统（１）为输入—输出能量（。

，ｐＩＯ，Ｇ）解耦的，如果存在正数ｒｔ，ｓ。

＞０，卢１，２…ｍ，使得以下ＬＭＩ具有对称正定解Ｐｆ，Ｑ，’Ａ丁Ｐ。

＋Ｐ４＋ＥＴＥＩ一２Ｃｒｃ＋ｒｆｌｐＡ｛尸。

ｇＴＢ孕，一ｇＴＤ飞Ｐ，（Ｈｌ研＋Ｈ２Ｈｉ）１ＯＯＰ４１只Ｂ舒一凹‘Ｄｇ。

？Ｅ｝Ｅ，一！（。

一ｄ），。

０１＜。

Ｅ｝Ｅ２一ｒ。

（１一ｄ），ｌ、。

０ａ｛一２毒Ｄ１Ｄｇ。

ｌｒＡ７Ｑ＋Ｑ４＋ＥＴ￡ｌ十ＥｊＥ２＋ｊ：ＪＱ。

ＩＱｔ一（Ｈ１ＨＩ＋Ｈ２趣’）Ａ｝Ｑ，０Ｊｇ阳丁Ｑ，０ｌｃ１０１６自动化理论、技术与应用Ｑ廊ｉｅｊ］Ｑ４，０００ｆ—Ｊ．ｆ１一ｄ），０Ｏｌ＜０，０一南ｇ膨０Ｏｇ。

一蘸ｌｌ证明对于系统（７）的每一个输入ｗ。

（ｔ），系统（７）可分解为主（ｔ）＝［Ａ＋△Ａ（ｆ）］ｚ（ｔ）＋【Ａ１十＆Ａ１（￡）ｋ［ｆ—ｈ（ｔ）］十Ｂｇ一。

（￡），（｝）＝Ｃａ：（ｆ）＋Ｄｇｆｎ（ｆ）ｉ２１，２…ｍ对上述子系统，构造二次函数ｕ：ｚ（ｆ）］＝ＸＴ（ｆ）跆（ｒ）＋ｒｆＬ…ｚｒ（ｓ）ｚ（５）ｄｊⅣｆ［ｚ（￡）：＝，（ｆ）Ｑ＃（￡）＋ｎｊ．ｔ一＾（，）ＸＴ（ｓ）ｚ（５）ｄｓ式中尸，，Ｑ，，ｒ。

，ｓ，＞０，ｉ＝１，２…ｍ。

对其求时间｝的导数，可知Ｍｉ＝景ｖｆ（ｚ（ｆ））一２＿ｂ＋２口一知，２ＴＴ（ｆ）ｆ［Ａ十△Ａ（ｒ）］ＴＰ＋ＰＩＡ＋△Ａ（｝）］一２ＣＺＣ＋，。

，｝ｚ（ｆ）＋２ｘｒ（ｆ）（Ｐ÷日ｇ。

一ｃ‰）ｕ：（ｆ）＋ｕｊ（ｔ）（２口。

』一２９ｊＤ‰：）ｕ，（ｆ）＋２ｘＴ（ｔ）ｐ：：Ａ１＋△Ａ１（￡）］ｚ［ｔ一＾（￡）］一ｒ，［１一矗（｝）］ｚ７Ｉｔ一＾（￡）：ｚ：ｔ一＾（ｆ）］≤ｚ７（ｔ）（ＡｒＰ十．ＰＡ＋ＰＨｌＨ于Ｐ十Ｅ丁Ｅ１—２ｃｒｃ＋＿ｉ）ｘ（ｔ）十口ｊ（ｆ）（２口：ｆ一２加ＴＤ盛）ｑ（｝）＋２ｘ７（￡）（隐一ｃ？Ｄｇ，）ｖｉ（ｔ）＋２ｘ７（ｔ）Ｐ／ｈ＝ｒ［ｔ—ｈ（ｆ）］＋ＸＴ（ｔ）ＰＨ２ＨｒＰｘ（ｔ）＋ｘ［ｔ—ｈ（￡）］ｒＥｒＥ２ｄｔ—ｈ（ｔ）］一ｒ，［１一＾（ｔ）］ｚ７［ｔ一＾（ｔ）］ｚ［ｆ一＾（ｔ）］＝ｚ丁（ｔ）ＦＡｒＰ十ＰＡ＋Ｐ（ＨｌＨ｝＋Ｈ２Ｈ手）Ｐ＋Ｅ丁Ｅ１—２Ｃｃ十ｒ：ｆ］ｚ（ｔ）＋２ｘ７（ｆ）（ＰＢｇ—ＣＴＤｇ：）口ｆ（ｆ）＋２ｘ７（ｔ）＿Ｐ４一［ｔ一＾（￡）］十ｗｊ（｝）（２口。

Ｉ一２９五Ｄ｝Ｄｇ。

）ｑ（ｆ）＋ｚ７［ｔ—ｈ（￡）］｛Ｅ；Ｅ２一＾：１一＾（ｆ）］ｆ｝ｘ［ｔ一＾（￡）］≤ｒ。

（ｆ）］『五蹦ｌＰ熙一ＣｒＤｇ：一ｌ｛ｚ：ｆ—ｈ（＃）］ｆＩＡ｝只Ｅ｝Ｅ２一＾（１一ｄ）１ｏｆＬｖａｔ）Ｊ■ｂ屯一ｇｐＴｃ２ｏａ：卜２加ＴＤｇｔＪｒｚ（ｔ）］、ｚ［ｆ—ｈ（￡）］ｉＬ口ｆ（ｆ）Ｊ式中五＝Ａｒｐ＋ＰＡ十Ｐ（Ｈ１Ｈｆ＋Ｈ２Ｈ『）Ｐ十Ｅｒ￡１—２ＣｒＣ＋ｒ，，对于Ｍ（≠）＝鑫Ｍ（￡，ｚ）一卢Ｉ～ｈｚ＋．９：５弓同理可得：不确定时滞系统的鲁棒解耦控制１７Ｎ（ｆ）≤ｚ（ｔ）ｚ：ｔ—ｈ（｝）］口。

（ｆ）南ｒＡＡ｛Ｑ，ｇ盈丁Ｑ。

ＬＣ．Ｑ吕氍０一麒勺Ｄｇ。

Ｃ，］０ｇＴＤ７一ｐ：唧Ｊｏ（￡）ｚ（￡一ｈ（ｆ））口．（ｆ）卢；５式甲Ａ＝ＡＴＱ，＋Ｑ４＋Ｑ，（Ｈ１Ｈｒ＋Ｈ２Ｈｊ）Ｑ；＋ＥＴＥｌ十ＥＩＥ２十ｓ；Ｊ由Ｓｃｈｕｒ补充定理，则当条件（８）、（９）成立时，显然有Ｍｉ（｝）≤０，Ｎｉ（ｆ）≤０，对其分别从。

到ｒ积分，利用零初始条件。

可以得到』￡扣吲，：０；一２ｎｗ知，）ｄｆ≤ｏＪｆ‘。

（｝）ｄｆ：１哦［ｒ，ｚ（ｒ）］＋ｆｒＬＰ：１啪ＡＴ＿７Ｎ。

一卢ｉ！ｕ。

ＴＷ；）ｄｔ≤ｏＪｔ（｝）ｄ卜叫叫（ｒ）］＋ＪｏＬＰｚ啪Ｍ一卢两ｑ≤ｏ因此，对所有ｒ≥Ｏ，总有』ｏＹＴｉｙｌｄｒ≤ａ，ｅ。

船ｅ；＆ｄｒ≤晟ＣＶ知础宦瑚得证．４具有状态反馈与输入变换的能量解耦对于不确定时滞系统（１），如果其本身是不稳定的，则应加入状态反馈镇定系统（１），然后再按照上节方法设计输入变换矩阵实现能量解耦。

定理２：考虑不确定时滞系统（１）为输入—输出能量（ａ。

卢１０，Ｇ）解耦的，如果存在矩阵Ｘ，，Ｙｉ＞０及参数ｏ，５，＞０，ｉ＝１，２…ｍ，满足ｒ（Ａ＋ＢＦ）叩＋Ｐ（Ａ＋ＢＦ）＋ＥＴＥｌ—２ｃ。

℃＋ｒ，ｆＰ．ＩＡＴｐｌｇ丁Ｂ７ｐ—９１］７（ｃｉ＋Ｄ＝＝Ｆ）ＰＡｌ只Ｂｇ，一（Ｃｉ＋Ｄ，Ｆ）ｒＤｇ００醴Ｅ２一ｒｉ（１一ｄ）ｒ００ａｄ一２９ＴＤ如ｉｇ：（Ａ＋ＢＦ）丁乜，十Ｑ，（Ａ＋ＢＦ）＋Ｅ丁ＥＩ十Ｅ丁Ｅ２＋ｓｄＱｉＡＴＱ，ｇ冯ＴＱｔ（ｃｆ＋Ｄ，）Ｑ４。

Ｑ题ｉ（ｅ，＋西，）］０００Ｉ一＆（１一ｄ），００ｌ＜００一ｐ：唧９０９０ｊ９＆一卢｛。

ＪＪ＜０讲叭”。

一『２ＨＨＰ＋０Ｏ町Ｈ皤％，＋Ｑ即。

吼自动化理论、技术与应用式中ｇ：ＥＲ”表示Ｇ的第ｉ列，ｅ：ＥＲ‘“＿１’“表示ｃ中除ｃ２行外的所有其他行向量组成的矩阵，Ｄ。

ＥＲ（一１，“表示Ｄ中除第ｉ行外的所有其他行向量组成的矩阵。

５结论本文应用输入一输出能量解耦的方法，对不确定时滞系统实现了解耦控制，它以降低系统输人一输出能量的关联性为主要目标，克服了传统的精确解耦方法对模型摄动的敏感性。

参考文献［１：Ｔ．ＧＫｏｕ商ｃｏｒｉｓ，Ａｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄ∞ａａｌｎａｐｐｒｏａｃｈｔｏｔｈｅｂｌｏｃｋｄｅｃｏｕｐＬｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍ（Ｉ），ＩｎｌＪ．Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９７９，２９（６）．９９１～１０１０［２：Ｔ．Ｇ．Ｋｏｕｓｓｋａｕ＇ｌａ．Ａｆｒｅｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎａｐｐｒｏａｃｈｔｏｔｈｅｂｌｏｃｋｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍ（ＩＩ），ＩｍＪＣｏｎｔｒｏｌ，１９８０，３２（３），４４３～４６４［３］Ｈ．ＨＲｍｅｎｈｒｏｅｋ，Ｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅｓｙｓｔｅｔｒｔｓ，ＩＥＥＥＴｒａｍＡｕｔｏｍａＣｏｎｔｒｏｌ，１９７２，１７，１０５～１０７［４］Ｈ．ＨＲｍｅｎｂｒｏｃｋ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒａｉｄｅｄｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｄｅｓｉｇｎ．ＮＹＡｃｅｄ日ｎｉｃＰｒｅｓｓ，１９７４［５］Ｘ．ＨａｎｄＣ．ＥＤＳｃ∞，ＣｒｉｔｅｔｉａｆｏｒｒｏｂｍｔｓｔａｂｌｉｌｉｔｙａｎｄｓｔａｂｌｉｌｉｚａｆｉｏｎｏｆｕｎｃｅｒｔａｉｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｍｌｓｗｉｔｈｓｔａｔｅｄｅｌａｙＡｕｔｏ—ｍａｆｉｅａ，１９９７，３３（９）．１６５７－－１６６２：６］ＣＨ．Ｌｉｅｎ，ＪＧ．ＨｓｉｅｈａｎｄＹＪＳｕｎ，Ｒｄ）ｕｓｔｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎｆｏｒａ＆ａｓｓｏｆｕｎｃｅｒｔａｉｎｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｍｕｌｔｉｐｌｅｔｉｍｅｄｅｌａｙｓｖｉａｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒ０１．ＪＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａＩ－．ａｌｙｓｌａａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．１９９８，２１８，３６９－３７８。