时滞不确定δ算子控制系统的鲁棒非脆弱控制
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２０１０年７月 第３３卷第４期 四川师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｊｕｌｙ，２０１０ Ｖ０１．３３．Ｎｏ．４
时滞不确定Ｉ！；算子控制系统的鲁棒非脆弱控制
汤红吉， 韩彦武， 张凤然， 于 霞
（南通大学理学院，江苏南通２２６００７）
摘要：考虑了一类时滞不确定８算子控制系统的鲁棒非脆弱控制问题．基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论和线
性矩阵不等式的方法，得出了系统存在非脆弱控制器的充分条件，并以线性矩阵不等式的形式给出．最后，
数值算例表明了方法的有效性．
关键词：６算子控制系统；非脆弱控制；时滞相关；线性矩阵不等式
中图分类号：０２３１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—８３９５（２０１０）０４—０４８３—０４
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—８３９５．２０１０．０４．０１６
时滞和不确定性是系统运行中常见的现象，也
是影响系统性能的主要因素．目前关于时滞不确定
系统的鲁棒控制已经有了很多的结果－】 ．在系统
的运行中，控制器的参数也会由于种种原因发生变
化，从而可能会导致系统失稳或者性能的下降，因
此研究被控对象和控制器同时具有不确定性的控
制，即非脆弱控制具有重要意义．关于时滞不确定
系统的非脆弱控制已有若干结果 －１０］． 算子控制
系统作为连续系统和离散系统的桥梁，可以把连续
系统和离散系统统一在 算子控制系统的框架
内＿１ ．目前，关于时滞不确定８算子控制系统的研
究结果较少 １３－１７］．本文基于ＬＭＩ的方法，研究了一
类时滞不确定 算子控制系统的非脆弱控制问题，
得出了时滞相关的非脆弱控制器存在的充分条件．
１ 问题描述
考虑如下同时具有时滞和不确定性的６算子控
制系统
８ｘ（ｔ）＝（Ａ＋△Ａ（ ）） （ｆ）＋（Ａｄ＋
ＡＡｄ（ ）） （ｔ—ｎＴ）＋Ｂｕ（￡）， （１）
其中， （ｆ）∈Ｒ 是状态变量，Ｕ（ ）∈Ｒ 是控制输
入变量，ｎＴ是有界的时滞量，１２，是正整数， 是采样
周期且满足ｎＴ≤ｈ．△Ａ（ｔ），△Ａ （ｔ）是具有适当维
数的时变矩阵并具有如下定义
［△Ａ（ ）ＡＡｄ（ｔ）］＝Ｄ１ １（ｔ）［Ｅｌ Ｅ２］，
（ｔ）＝Ｆ （ｔ）［，一Ｇ Ｆ （ｔ） ， （２）
收稿日期：２００８—０９—１５ 基金项目：国家自然科学基金（６０８７４０２１）资助项目 作者简介：汤红吉（１９７７一），女，博士，主要从事鲁棒控制的研究 其中，Ｄ Ｅ Ｅ 、Ｇ 是具有适当维数的常数矩阵，
Ｆ。（ｔ）是未知的时变矩阵满足 （ｔ）Ｆ （ｔ）≤ 假
设矩阵［ｊ—Ｇ Ｆ （ｔ）］ 是可逆矩阵，其中矩阵Ｇ
满足Ｉ—Ｇ Ｇ１＞０．
下面给出本文中需要用到的基本引理．
引理１＿１ Ｆ是对称矩阵，对于具有适当维数
的矩阵Ｄ、 ，则
Ｊ１＋ＤＦ（ｔ）Ｅ＋［ＤＰ（ｆ）Ｅ］ ≤０，
其中， （￡）和（１）式中 （ｔ）的定义相同，当且仅
当存在 ＞０使得
川ｓ 圳
一 】～
～￣－ＩＥ］
考虑到状态反馈控制器本身含有不确定性
（￡）＝（ ＋△ （ｔ）） （ｔ）， （３）
其中， 是控制器增益矩阵，△ （ ）＝Ｄ２ （ ）Ｅ３是控
制器增益摄动， （ｔ）＝Ｆ２（ｔ）［Ｉ—Ｇ２Ｆ２（ｔ） ，
（￡）Ｆ２（ ）≤，，Ｇ２满足，一 Ｇ２＞０，使得闭环系统
８ｘ（ｔ）＝Ａ （ｔ）ｘ（ｔ）＋Ａｄ（ｔ）ｘ（ｔ—ｎＴ），（４）
对所有的不确定性渐近稳定，其中Ａ （ｔ）＝Ａ＋
（ ＋ＡＫ（ｔ））＋△Ａ（ｔ），Ａｄ（ｔ）＝Ａｄ＋△Ａｄ（ｔ）．
２ 主要结果
定理１ 考虑时滞不确定 算子的闭环控制系
统（４）， 、ｂ是给定的常数，如果存在正定对称矩阵
、ｃ，、 ，矩阵ｌ，，纯量ＯＬ＞０，／３＞０使得如下的线性
矩阵不等式成立 四川师范大学学报（自然科学版） ３３卷
＝ ｌＪ ｌ２
２２
术 木
：ｆ： 木 船
２３ ０
，
一
￣ｗｊ（４）式是渐近稳定的，相应的非脆弱控制器增益
为Ｋ＝ＹＸ～，其中
１１＝（Ａ ＋Ｂｙ）＋（ａｘ＋Ｂｒ） ＋Ｕ一 Ｖ，
ｌ２：一ａ（ＸＡ 一ｙＴＢ ），
１３：ＡｄＸ＋ｖ—ｂＹｔＢ 一６ ，
吐 ＝ＸＴ＋ｎＶＴ＋２ｏＬＸ，哇 ＝ｂＸ— Ａｄ ，
３：一 一 一ｂＡｄＸ一６ Ｔ．
证明构造如下的Ｌｙａｐｕｎｏｖ—Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉ泛函
Ｖ（ｔ）＝Ｖ１（ｔ）＋ｖ２（ｔ）＋ （ｔ），
其中
（ｔ）＝ （ｔ）ｅｘ（ｔ），
ｖ２（ｔ）＝ ∑ （￡一ｉｔ）（２ｘ（ｔ— ），
ｖ３（ｔ）＝∑∑ （￡－ｊｒ）ｒｅ（ｔ－ｊｒ），
（＿，）＝ （－，）一 （＿，＋ ），
Ｐ、Ｑ、Ｒ是对称正定矩阵，则
６Ｖ１（ｔ）＝２ｘ （ｔ）Ｐ６ｘ（ｔ）＋ｒ（ｓｘ（ｔ）） Ｐ６ｘ（ｔ）＝
１ ０ Ｉ 船
一ａｏＬＤ１ ０
～６ ０
Ｇ１ ０
一 Ｏ
一８ｌ ８ＢＤ２
一 ８ＢＤ２
＜０， （５）
（ｔ）ｅ（ａ （ｔ）ｘ（ｔ）＋
Ａｄ（ｔ）ｘ（￡一ｎＴ））＋ｒ（ｓｘ（ｔ）） Ｐ６ｘ（ｔ），
６ （ｔ）＝ （ｔ）９．ｘ（￡）一 （ｔ—ｎ ）Ｑ （ｔ—ｎＴ）， １ ｎ ｉ ６ （ｆ）＝ １∑∑ （￡一（卜１）ｒ）ｒｅ（ｔ一
‘ ＝】，＝ｊ Ｕ—１） ）一ｅ＇ｒ（ｔ—ｉＴ）ｒｅ（ｔ一 ）］≤ ｒｅ（ｔ）一
Ｐ（ｔ—ｉｔ）ｌ Ｒ［ Ｐ（ ）］
ｒ（缸（￡））Ｔｒｙ（ｔ）一 ［ （￡一ｎ ）一
（ｔ）］ ［ （ｔ—ｎＴ）一 （ｔ）］．
对于任意的具有适当维数的矩阵Ｍ、Ⅳ有
２［ｇ￣ｘ（ｔ）＋Ｎｘ（ｔ—ｎＴ）］ Ｅｓｘ（ｔ）一Ａ （ｔ）ｘ（ｔ）一
Ａｄ（ｔ）ｘ（ｔ—ｎＴ）］＝０． （６）
综上可得
６Ｖ（ｔ）＝６Ｖ１（ｔ）＋６ （ｔ）＋ （ｔ）≤
（ｔ） 。 （ｔ）， （７） 其中
（ｔ）＝［ （ｔ）（瓤（ｔ）） （ｔ—ｎＴ）】 ，
Ａ （￡）Ｐ＋ＰＡ （￡）＋Ｑ一 Ｒ —Ａ （￡） ＰＡ （￡）＋ Ｒ—Ａ （￡）Ⅳ
Ｐ＋ｎＴＲ＋＾ ＋Ｍ Ｎ—ＭｔＡｄ（ｔ）
一Ｑ一 一ＮＴＡ （￡）一Ａ （ｚ）Ⅳ ｎ』
根据Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论知，如果 ＜０，则
闭环系统（４）渐近稳定．
下证 ＜０．注意到 可以表示为如下形式
＝Ｆ＋ ｌ （ｆ）豆，＋［ 。 （ ） ］ ＋
（ ）豆：＋［ （ ） ：］ ，
＝ Ａ
Ⅳ ， ［：
＝（Ａ＋ ） Ｐ＋Ｐ（Ａ＋ ）＋Ｑ一 Ｒ，
３＝ＰＡｄ＋Ｒ／ｎＴ一（Ａ＋ＢＫ） Ｎ，
１＂２２＝ＴＰ＋ｎＴＲ＋ＭＴ＋Ｍ， ｒ３，＝一ａ一 Ｒ—ＮｔＡ 一Ａ ， Ｄ ０ ｏ
第４期 汤红吉等：时滞不确定艿算子控制系统的鲁棒非脆弱控制
Ｅ１＝［Ｅ１ ０ Ｅ２］，Ｅ２＝［Ｅ３ ０ ０】．
根据引理１，不等式 ＜０的充要条件是存在实数
１＞０， ２＞０使得
口 ＝ｆ＋ ［一 一 】一ａＴ＋
Ｔ一 ａＴ 【一Ｇ， ｊ‘Ｊ ，
其中
＝ （１，２）
（２，２）
球
出 （１，３）
Ｎ—ＭＴＡｄ
（３，３）
采
术
（１，１）＝Ｆ１１， （１，２）＝一（Ａ＋ＢＫ） Ｍ， （１，３）＝ ，， （２，２）＝ ：， （３，３）＝ ，． 在矩阵 的左右两边分别同时乘以矩阵
ｄｉａｇ｛Ｐ～，Ｐ～，Ｐ～， Ｊ， ｊ， Ｊ， Ｊ｝，并且令
６＂１～＝ ， ＝ ，Ｘ＝Ｐ～，Ｙ＝ＫＸ，Ｍ＝ａＰ，Ｎ＝
，Ｕ＝Ｐ Ｑｅ一，Ｖ＝Ｐ Ｐ～，可得矩阵 又由 定理条件知 ＜０，从而可得 ＜０．证毕．
注１ 在定理的证明过程中，通过“牛顿一莱
布尼兹”公式引入了矩阵变量Ｍ、 但是为了得出
线性矩阵不等式的结果，人为的令“Ｍ＝ａＰ、Ｎ＝
６Ｐ”，引入了自由参数ａ，ｂ．与文献［１２］相比，增强
了线性矩阵不等式的可解性．另一方面， 、Ⅳ本是
自由矩阵，定义了“Ｍ＝ａＰ、Ｎ＝ｂＰ”以后，限制了
矩阵 、Ⅳ的形式，在一定程度上使所得的结果具
有保守性．
注２ 如果控制器增益不存在摄动，即 （ｔ）
＝０，取ａ＝一１，ｂ＝０，则定理１就是文献［１２］的主
要结果；如果系统（１）中不存在不确定性，且控制
器增不存在摄动，即 （ｔ）＝０， （ｔ）＝０，取。＝
一１，６＝０，则定理１退化为文献［１２］中的推论．
３ 数值算例
考虑时滞不确定 算子控制系统（１），其中
ｒ Ｑ ５００ １ ０ ｌｑ 厂 Ｑ ２００ ２ ０ ０ｑ
Ａ＝Ｉ—Ｑ ５００ １ ０ ０ ｌ，Ａｄ＝Ｉ—Ｑ ２００ ２ ０ ０ ｌ，
Ｑ ５００ １ ３ ０ａ Ｌ Ｑ ２００ ２ ０ ０１ ：
［二
１Ｅ ＰＤ１
０ —６１ ＭＴＤ１ １ 一ｓ Ⅳ Ｄ１
一， Ｇ１
一Ｉ
；ｆ＝ 术
木 术 ８２Ｅ ＰＢＤ２
０ 一ｓ ＭＴＢＤ２
０ 一 Ｎ ＢＤ２
０ ０
０ ０
一Ｊ Ｇ２
一Ｉ
＝ｒ
厂Ｑ ５ ０ ０］ ｒ ０．５００ １ ０ ０ｑ Ｇｌ＝１ ０ Ｑ ５ ０ ｌ，Ｅｌ＝Ｉ—Ｑ ５００ １ ０ ０ Ｉ，
０ ０ Ｑ ５ａ Ｌ Ｑ ５００ １ ０ ０
ｒ Ｑ ２００ ２ ０ ０ｑ ｒ ０．１０６ ２ ０ ０ｑ
＝Ｉ—Ｑ ２００ ２ ０ ０ ｌ， ＝Ｉ—Ｑ １０６ ２ ０ ０ Ｉ，
Ｑ ２００ ２ ０ ０Ｊ Ｌ—Ｑ １０６ ２ ０ ０
Ｇ２＝Ｇ１，Ｄ２＝［０．５ ０．５ ０．５］．
取ａ＝一３，ｂ：０．１，ｎ＝１ ０００，Ｔ＝０．Ｏ１，利用
ＭＡＴＬＡＢ线性矩阵不等式（ＬＭＩ）工具箱求解线性
矩阵不等式（ＬＭＩ）（５），可得相应的鲁棒非脆弱控
制器增益为
Ｋ＝［０．９５１ ７ —０．０２８ ３ ０．７０３ ９］．
本文研究了一类时滞不确定算子控制系统的
鲁棒非脆弱控制问题，针对控制器增益存在加性扰
动的情形，以ＬＭＩ的形式给出了系统存在非脆弱状
态反馈控制器的充分条件，最后，数值算例表明本
文方法的可行性．
致谢感谢南通市应用研究计划（Ｋ２００９０３５）、南
通大学自然科学＆，／￣（ｏｓｚｏｏ９）和南通大学引进人才项
目＆￣（ｏ３ｏ８ｏｏ５５）对本文的资助．
