第1章 误差分析

第1章数学建模与误差分析1.1 数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。

数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。

它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。

近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。

科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。

科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。

科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。

它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。

随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。

在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。

因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。

了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。

因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。

1.2 数学建模及其重要意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。

南通⼤学《试验设计与数据处理》复习要点《试验设计与数据处理》复习要点第⼀章误差分析⼀、真值与平均值1、真值：指在某⼀时刻和某⼀状态下，某量的客观值或实际值。

2、平均值（1）算术平均值：x =x1+x2+?+x nn =x in同样试验条件下，多次试验值服从正态分布，算术平均值是这组等精度试验值中的最佳值或最可信赖值。

（2）加权平均值：x w=w1x1+w2x2+?+w n x nw1+w2+?+w n =w i x iw i（3）对数平均值：x L=x1?x2ln x12=x2?x1ln x21，试验数据的分布曲线具有对称性（4）⼏何平均值：lg x G=lg x in（5）调和平均值：H=n1i⼆、误差的基本概念1、绝对误差=测得值-真值，结果可正可负。

2、相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。

3、算术平均误差?=x i?xn4、标准误差（1）样本标准差s=(x i?x )2n?1=x i2?x i2/nn?1（2）总体标准差σ=(x i?x )2n =x i2?x i2/nn三、误差来源及分类根据误差的性质或产⽣原因，可分为随机误差、系统误差、粗⼤（过失）误差。

1、随机误差：在⼀定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差；2、系统误差：在⼀定试验条件下，由某个或某些因素按照某⼀确定的规律起作⽤⽽形成的误差；3、粗⼤（过失）误差：⼀种显然与事实不符的误差。

四、试验数据的精准度1、精密度：反映随机误差⼤⼩的程度，是指在⼀定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度或⼀致程度；2、正确度：指⼤量测试结果的（算术）平均值与真值或接受参照值之间的⼀致程度，反映了系统误差的⼤⼩，是指在⼀定的试验条件下，所有系统误差的综合；3、准确度：反映系统误差和随机误差的综合，表⽰了试验结果与真值或标准值的⼀致程度。

五、试验数据误差的统计检验1、随机误差的检验随机误差的⼤⼩可⽤试验数据的精密程度来反映，⽽精密度的好坏⼜可⽤⽅差来度量，所以对测试结果进⾏⽅差检验，即可判断随机误差之间的关系。

第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。

定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。

与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。

1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。

1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。

对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。

2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。

由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。

比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。

3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。

4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。

我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。

提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。

1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。

1 第一章作业1.对一个数求和100000次。

对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。

问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。

程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。

这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。

双精度的情况下，该误差小得多。

当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。

在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。

问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。

随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。

我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。

变s。

数值分析重点第一章 误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差/有效数字1、 有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。

几个重点结论： （1）、设数 x 的近似值可以表示为 其中 m 是整数,αi ( i=1,2, …, n ) 是0到9 中的一个数字， 而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为（不超过其末尾数的半个单位） 则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。

（2）、相对误差与有效数字的关系（误差：精确值与近似值的差值）得到相对误差限2.误差的分类：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）和舍入误差（计算误差）3.误差算法设计应注意的问题 ： （1）、避免两个相近的数相减考虑能否改变一下算法 （2）、防止大数“吃掉”小数当一组数进行相加运算时，应按照由小到大的次序进行相加。

（3）、绝对值太小的数不宜作除数 考虑能否改变一下算法 （4）、注意简化计算程序，减少计算次数 （5）、选用数值稳定性好的算法 4、误差的传播：Taylor 展开式：f( x 1 , x 2 ,…, x n )在(x 1*, x 2*,…, x n * )的展开：e(y) = f( x 1 , x 2 ,…, x n )-f(x 1*, x 2*,…, x n * )例如：ε（x 1+x 2）=ε(x 1)+ε(x 2)mn x 10.021*⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*m n x 10.0*21⨯±=αααΛnm x x -⨯≤-1021*132110.-⨯=m n ααααΛ1110-⨯>m α)1(111**1021101021)(----⨯=⨯⨯<-=n m n m r x x x x e αα112212()()()n n nf f f x x x x x x x x x ***∂∂∂≈-+-++-∂∂∂L )()()(2211n nx e x fx e x f x e x f ∂∂++∂∂+∂∂=Λ),,2,1(),,,(21n k x x x f x f n x k k ΛΛ='=∂∂***)()(1k nk kx e x fy e ∑=∂∂≈ε（x 1*x 2）=|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1) ε（x 1/x 2）={|x 1|ε(x 2)+|x 2|ε(x 1)}/|x 2|2第二章 代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式（多项式）。

第一章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解误差的基本概念及表示方法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应用。

（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。

（III）教学难点误差的传递。

通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。

因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。

误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。

目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。

1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。

对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。

在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。

如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。

第一章 误差分析与数据处理1-1 误差分析的意义何在？1-2 误差有几种类型？总结系统误差与随机误差的异同点。

1-3 试验数据的准确度和精密度如何表示，它们之间有何关系？ 1-4 什么叫有效数字，有效数字的误差如何计算？ 1-5 数据有几种表示方法，各有何优缺点？ 1-6 可疑观测值的取舍有哪些方法？简述其步骤。

1-7 测得某三角块的三个角度之和为180º00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。

1-8 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50 mm ，已知其最大绝对误差为1 m ，试问该被测件的真实长度为多少?1-9 在测量某一长度时，读数值为2.31 m ，其最大绝对误差为20 m ，试求其最大相对误差。

1-10 使用凯特摆时，g 由公式2212/)(4T h h g +=π给定。

今测出长度(h 1+h 2)为(1.04230±0.00005) m ，振动时间T 为(2.0480±0.0005) s 。

试求g 及其最大相对误差。

如果(h 1+h 2)测出为(1.04220±0.0005) m ，为了使g 的误差能小于0.001 m/s 2，T 的测量必须精确到多少?1-11 检定2.5级（即引用误差为2.5%）、量程为100 V 的电压表，发现50 V 刻度点的示值误差2 V 为最大误差，问该电压表是否合格?1-12 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用?1-13用两种方法测量L 1=50 mm ，L 2=80 mm ，测量结果为50.004 mm ，80.006 mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

1-14 多级弹导火箭的射程为10000 km 时，其射击偏离预定点不超过0.1 km ，优秀射手能在距离50 m 远处准确地射中直径为2 cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?1-15 测量某物体重量共8次，测得数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。

第一章 误差分析的基本概念§1 误差的来源1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。

2． 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。

② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。

这种由观察产生的误差称为观测误差。

③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。

例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。

这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。

④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。

3.举例说明例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。

这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。

例2 已知xe 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑∞==n nx!n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~=2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828215...!=-≈∑∞=n n这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。