概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)

《概率论与数理统计》期末模拟考试试卷

一：填空（94=36分）

1. 设BA,为两个事件，且已知概率4.0)(,8.0)(BPAP，若事件BA，则条件概率 )(ABP .

2. 一袋中有50个球，其中20个是黄球，30个是白球。今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 .

3. 设 X是连续型随机变量，则)10(XP .

4. 设4)(,2)(XDXE，则)2(2XE .

5. 设随机变量X服从指数分布，且)(XD0.25则)(XE .

6. 设二维随机变量),(YX的概率密度为

031),(2xyxyxf 其他20,10yx，

则X的概率密度)(xfX .

7．设随机变量X的方差为2，根据契比雪夫不等式，估计

)2)((XEXP .

8. 设总体X～),,0(2NnXXX,,21是来自X的样本,其中未知参数,0要使估计量niiXk12是2的无偏估计,则k .

9. 设随机变量X～),,(2N Y～),(2n且YX,相互独立，令nYXZ

则 Z～ .

二: (12分) 某工厂向三家出租车公司租用汽车，20％汽车来自第一家公司，20％来自第二家公司，60％来自第三家公司，而这三家出租公司在运输

班级：

姓名： 中发生故障的概率依次为0.10，0.12，0.04

（1）求该工厂租用汽车中发生故障的概率是多少？

（2）若该工厂租用汽车发生故障，问此汽车是来自第三家公司的概率是多少？

三: (10分)设连续型随机变量X的概率密度为

,0,41,)(xkexf

随机事件及其概率

1.1 随机事件

习题1试说明随机试验应具有的三个特点．

习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.

1.2 随机事件的概率

1.3 古典概型与几何概型

1.4 条件概率

1.5 事件的独立性

复习总结与总习题解答

习题3. 证明下列等式：

习题5.

习题6.

习题7

习题8

习题9

习题10

习题11

习题12

习题13

习题14

习题15

习题16

习题17

习题18

习题19

习题20

习题21

习题22

习题23

习题24

习题25

习题26

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量

习题1随机变量的特征是什么？

解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.

②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.

③随机变量取特定值的概率大小是确定的.

习题2试述随机变量的分类.

解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.

习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.

解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下：

X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3

则X取每个值的概率为

P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,

P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,

P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.

1

第 1 章 随机事件及其概率

（1）排列组合公式 Pn  m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。

m (m  n)!

Cn  m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。

m n!(m  n)!

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

（2）加法和乘法原理 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由

n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由

n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，

但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。

一个事件就是由 中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母

A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。

 为必然事件，Ø 为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，

必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 事件、样

本空间和

事件

（6）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）： A  B

1《概率论与数理统计》

第一章 概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 BA

称为事件A与事件B的和事件，指当且仅B}xxx{ 或ABA

当A，B中至少有一个发生时，事件发生BA

称为事件A与事件B的积事件，指当B}xxx{ 且ABA

A，B同时发生时，事件发生BA

称为事件A与事件B的差事件，指当且仅B}xxx{ 且—ABA

当A发生、B不发生时，事件发生BA—

，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事BA

件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件且S BABA

A与事件B互为对立事件

2．运算规则 交换律 ABBAABBA

结合律)()( )()(CBACBACBACBA

分配律 )()B(CAACBA）（

))(()( CABACBA

徳摩根律BABAABA B —

§3．频率与概率

定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为

An

事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率nn

A

概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为

P（A），称为事件的概率

1．概率满足下列条件：)(AP

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0AP

（2）规范性：对于必然事件S 1)S(P

2（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有

nAAA,,,

21

（可以取）

n

kkn

kkAPAP

11)()(n

2．概率的一些重要性质：

（i） 0)(P

（ii）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）

nAAA,,,

21

n

kkn

kkAPAP

11)()(n

（iii）设A，B是两个事件若，则，BA)()()(APBPABP)A()B(PP