《概率论与数理统计》课程中案例教学的探讨
一、案例的选择
案例教学法的应用，目的是使得学生接收到的知识不再晦涩难懂而是形象生动贴近生活的专业常识，知识的理解也更透彻，进而可以运用到实践问题中去。为了实现这个目的，首要的任务就是选择合适的案例。这实际上是案例教学中最重要的也是让任课教师最纠结的地方。为了发挥案例教学法最大的作用，在每一个教学环节选择的案例都是不同的，不仅仅是难易程度的不同，应该慎重地选择。例如，引入过一个概念或理论后，案例的作用是对前面的概念或理论做一定的理解和简单的应用，根据学生认知规律和水平，此时选择的案例应该贴近知识点，与知识点有较强的联系但又不是太难理解。学生通过这个案例对概念或理论有了更深的认识，为下一步更深层次学习或自己动手解决实际问题打下基础。
可以看这样一个引入全概率公式的案例。在讲述全概率公式之前，已经熟悉了求概率的几种方法：频率方法、古典方法和几何方法，对较简单的事件，这些方法是很好用的，但是当事件比较复杂时，这些方法用起来就显得力不从心了。
例如，某高校概率统计教师的考勤方式分两种：按学号随机抽查点名和课堂小测。张三缺席，如果随机点名被老师点到发现缺席的概率为0.3，如果课堂小测被老师发现缺席的概率是1。如果既没抽查点名也没课堂小测记录全勤。若老师抽查点名、课堂小测和既没抽查点名也没课堂小测的概率分别为0.6、0.2、0.2，问张三被记录缺席的概率。这是一个很直观也贴近学生生活的例子，通过这个问题，学生的积极性被调动起来，纷纷对张三是否被记录缺席进行猜测。而这个问题不能用以前所学过的方法来求解，但是根据常识，绝大多数学生都会回答张三被记录缺席，进一步，老师要引导学生揭示其中的原因，再进一步根据数学推导得出全概率公式。最后，可以增加一个问题，若张三记录缺席，问老师随机点名的可能性多大？就进一步引出了贝叶斯公式。当学生对贝叶斯公式有了一定理解之后，也可以通过罕见病例诊断来让学生明白人们对于临床疾病的发生的真实概率与自我常识的背离。通过案例这种直观工具，加入学生的讨论，会让抽象的理论具体起来，使得枯燥的课堂生动起来。
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实例1 发行彩票的创收利润
解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 5000 1000 100 10 0
p 51/10 52/10 510/10 5100/10 51000/10 0p
每张彩票平均能得到奖金
每张彩票平均可赚20.50.31.2(),元
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：1000001.2120000().元
实例2 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2
万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?
解：设 X 为投资利润，则
X 8 -2
p 0.3 0.7
存入银行的利息:1050.5(),%万元故应选择投资.
实例3 商店的销售策略
某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X（以年计），规定
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解：11001{1}ed10xPXx0.11e0.0952,
Y 1500 2000 2500 3000
p 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408
例1 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?
解： 令),260,2,1(01kkkXK个分机不要用外线第个分机要用外线第，26021,,,XXX是260个相互独立的随机变量，且04.0)(iXE，26021XXXm表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x使%95}{xmP成立。由上面定理，有
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
1 第1章 随机事件及其概率
（1）排列组合公式 )!(!nmmPnm 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmCnm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n
种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算 ①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA
如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！（杨峰） 1 《概率论与数理统计》复习参考资料
授课教师：杨峰（函授总站高级讲师）
强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！
全书复习范围：第一、二、三、四、七、八、九、十一章
各章复习范围：
第一章 §1.1——§1.5节都要复习
第二章 只要求§2.1、§2.2
第三章 只要求§3.1、§3.2、§3.2之方差
第四章 该章重点在§4.1、§4.6，简单了解§4.3、§4.4
第七章 简单了解——总体、样本、样本容量、统计量（样本均值、样本（均）方差）这几个基本概念即可
第八章 简单了解§8.1，重点复习§8.3
第九章 重点复习§9.3，其余不必
第十一章 会求变量y相对于变量x的回归直线方程即可
附录——南邮印发《综合练习题与答案》中的部分错误之修正
注意：要打印的同志如果观察到本资料后面几页有些式子重叠或混乱，是因为您的计算机操作系统不同或所用Office软件（WORD）版本不同的缘故，又或者是有无安装“Microsoft 公式3.0”的问题。故建议您仔细观察、逐页打印，特别注意第八章后面的几页，如果有些式子还是重叠或混乱，可选中后按上、下箭头键自行移动修正至整齐后再打印。敬请留意！（我这个文档是在WIN98下用WORD2000编辑，个别对象是从我的Powerpoint课件中粘贴过来的）另：考试时允许携带计算器 著作权所有，未经授权，禁止复制、翻印！（杨峰） 2 第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：
典型例题：《综合练习》第一大题之1，其中第一个空应填：CBA
第二大题之1（正确答案应选C）
二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：
典型例题：《综合练习》第二大题之2，答案D应为CBACBA
§1.2 概率
古典概型公式：P（A）=所含样本点数所含样本点数A
