浅谈矩阵特征值的应用

反对称矩阵特征值的性质及其相关解题应用　

１反对称矩阵特征值的性质　性质１４实反对称矩阵的特征值为纯虚数　或零．　证明：法一：设Ａ是实反对称矩阵，不　妨设Ｌ＝－ａ＋ｂｉ为Ａ的特征值，Ｅ＝０＋１３ｉ为相应的　特征向量．即Ａ　，取共轭转置：｛ｒＡ　：　，　从而有：　＝　乳，又有：ｉ　＝　，从而：　｛　一｛『Ａ　一　｛，故：一　，进而ｋｏ　或　为纯虚数，故Ａ的特征值为０或纯虚数．　法二：设Ａ是实反对称矩阵４ａ＝ｋａ，ｄ为　特征向量，则Ａｍ＝　ｒ＿丽　五　：　， ：警　一　’，得：－ｂＲｅ　即：　≯≯一’　ｒ　一一　０，得：　，　Ｌ＝０，所以，　为纯虚数或零。　性质１５：设　是反对称矩阵Ａ的特征值，　则一　也是Ａ的特征值．　证明：设　反对称矩阵Ａ的特征值，则　Ａｌ＿０．又Ａ　＝　，从而Ｉ－ＬＥ－ＡＩ＝Ｉ一旭＋Ａ　Ｉ＝ｌ（一　ＬＥ＋Ａ）　ｌ＿Ｉ—ＬＥ＋ＡＩ＝（一１１　Ｉ　＿＿０．所以一　也是Ａ　的特征值．　性质１６：若实矩阵Ａ为反对称矩阵，则　Ｅ±Ａ可逆．　证明：因Ａ是反对称矩阵，直接由性质　１３可知±１是Ａ的特征值，所以ＩＥ±ＡＩ≠０，　即有Ｅ±Ａ可逆．　２特征值性质的相关解题应用　例６：设Ａ是ｆｌ阶实反对称矩阵，Ｂ是ｎ　阶可逆实对称矩阵，且ＡＢ＝ＢＡ，则Ａ＋Ｂ是可　逆矩阵．　分析：要求Ａ＋Ｂ可逆，就需求证　ＩＡ＋ＢＩ≠０，又Ａ＋Ｂ＝Ｂ（Ｅ＋Ｂ　Ａ），则只需求证ＩＥ＋　Ｂ　ＡＩ≠０，即一１不是Ｂ　Ａ的特征值，由反对　称矩阵特征值相关陛质即可求证．　证明：由ＡＢ＝ＢＡ及Ｂ可逆知：Ａ　Ｂ～＝　Ｂ　Ａ，又Ａ是反对称，Ｂ是对称，故（ＡＢ　）　’＝（　Ｂ－＇）ＴＡ－Ｉ＝＿Ｂ～Ａ＝一ＡＢ～，所以ＡＢ～＝Ｂ　Ａ是实反　对称矩阵，从而知Ｂ。Ａ的特征值是０或纯虚数，　当然一ｌ不是Ｂ　Ａ的特征值，故ＩＥ＋Ｂ　ＡＩ≠０．　３００３００中国民航大学马永秀　于是ＩＡ＋ＢＩ＝ＩＢ＋ＡＩ＝ＩＢ（Ｅ＋Ｂ　Ａ】Ｉ＝ＩＢＩＩＥ＋Ｂ　ＡＩ≠０，　因此Ａ＋Ｂ是可逆矩阵．　３反对称矩阵在欧式空间线性变换上的　相关解题应用　３．１用反对称矩阵研究线性变换　例７：欧式空间　中的线性变换Ａ：　ｙ—　称为反对称变换，若Ｖａ，ｐ∈　（Ａａ，ｐ）＝一　（ａ，Ａｐ）．证明：Ａ反对称当且仅当Ａ在一组标　准正交基的矩阵是反对称矩阵．　证明：充分性：设Ａ＝（ａｉｉ）…是线性变换　Ａ在标准正交基　，￡：，…，　下的矩阵，且Ａ反　对称，即　＝－Ａ，任给ａ，１３∈Ｖ，记０仁＝（￡ｌ，　…，　ｘ，ｐ＝（ＥＩ，￣２，…，　Ｙ，则有Ａ￣－（６ｌ，　…，　Ａｘ，ＡＤ＝（　ｇｌ，ｇ２，…，　）ＡＹ，那　么（Ａａ，ｐ）＝（Ａ　ｙ＝Ｘ￣Ａ　ｌ，＿一　（ａ，ＡＢ），所以Ａ为反对称变换．　必要性：设是Ａ反对称变换，且Ａ（ｅ。，￡２，…　，　）＝（￡。，￡２，…，　，其中矩阵Ａ＝　ｎ￣ｎ，ｇ１，￡２，…，８ｎ　为　的标准正交基，那么，　、　，　Ａ日：【　，…，５　）ｌ　Ｉ　Ａ　Ｊ　因　此（Ａｅｆ，ｅｊ）＝ａｉｊ，（￡　Ａ￡，）＝口　所　以　ｎ　ｊ：　４￡　一（Ａ￡　，￡　—ａ“．即知Ａ为反对称矩阵．　小结有本例题可知，若求证一线性变　换是反对称变换，只需要求出其在（１，０，　…，０），（０，１　０一，０），…，（０，…，０，１）下的矩阵是反　对称矩阵即可．　３．２用反对称矩阵研究反对称双线性函数　（设．，（ｄ，Ｂ）为线性空间ｖ上的一个　双线性函数，且满足ｆ（　，Ｂ）＝－ｆ（ｐ，　），　０【，Ｂ∈Ｖ，则称，（ｏ【，Ｂ）为Ｖ上的一个反对　称双线性函数．）　例８：设８ｔ，ｇ２￣－－ｇ．是线性空间　的任意　一组基，　上的双线性函数，（ｄ，Ｂ）是反对称　的，当且仅当，在基￡。，￡２，…，　下的度量矩阵Ａ　是反对称矩阵．　证明：设￡。，￡　，…，￡　为　的一组基，若双　线性函数，（　，Ｂ）是反对称的，则ｆ　，　一　，，￡ｊ，所以它的度量矩阵Ａ是反对称的．反　之，若双线性函数　ｄ，Ｂ）在基￡。，￡２，…，　下　的度量矩阵Ａ是反对称的，那么对Ｖ中任意　向量　＝（￡　，￡ｚ，…，　和ｐ＝　，￡２，…，　都　有，（　，岱）＝ｘ　Ａｙ＿ｙ　Ａ　ｘ－ｙ　（＿Ａ）ｘ＝一ｙ　Ａ　．厂　（Ｂ，ｄ），所以ｆ（０【，Ｂ）是反对称的．　例９：设　是数域Ｐ上ｎ维线性空间，　Ｍ是　上全体反对称双线性函数构成的集　合，ｆ，ｇ∈　定义ｆ＋ｇ，使对ｑ，ｐ∈Ｖ有　ｇ）　（　，Ｂ）　（ｄ，Ｂ）＋ｇ（ｄ，Ｂ）　ｇ称为，与ｇ的　和，Ｋ∈Ｐ，定义磁使对ｄ，Ｂ∈Ｖ，有（聊　（ａ，ｐ）＝顾ｑ，ｐ）’　称为　与，的数量乘积，　简称数乘，则　对于如上定义的两种运算构　成数域Ｐ上的线性空间，且ｄｉｍＭ＝　．　证明：按线性空间的定义，易证Ｍ对于　如上定义的两种运算构成数域Ｐ上的线性空　间．　设数域Ｐ上的全体ｎ阶反对称矩阵构成　的集合为　则显然　为数域Ｐ上的线性空间，　且ｄｉｍＫ＝　警　．　在线性空间ｖ中取定一组基￡。，￡２，…，￡　后，ｆ，ｇ∈Ｍ设ｆ，ｇ在这组基下的度量矩阵　分别为Ａ　，则由例７，Ａ　为反对称矩阵，　，Ｂ　Ｅ　ＯＩ．，Ｂ在这组基下的坐标为ｊ，＿（ｘ。，Ｘ２，　・－－，ｘ　，ｙ＿－（Ｙｌ，Ｙ２，…，ｙ　，则ｆ（ｏｔ，Ｂ）＝　Ａ　ｇ　（０【，ｐ）＝ｘＴＢｙ，且Ａ　由　ｇ唯一确定，当ｆ≠ｇ　时，有Ａｙ≠Ｂ，反之，对Ａ∈　令ｆ（　，１３）　Ａ　则，在这组基下的度量矩阵为Ａ，所以在Ｍ与　之间存在双射　，使　们＝Ａ，口　）　，且满　足【丁　ｇ）：Ａ＋丑Ａ，　㈣＝ｋＡ，所以　是　到　的同构映射，从而ｄｉｍＭ＝ｄｉｍＫ＝　．　本文从基础理论和实际应用方面讨论了　反对称矩阵的基本性质，给出反对称矩阵有关　秩及特征值方面的性质，并引入了解题的相关　应用，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握　好反对称矩阵的相关问题。　

第２８卷　２００８年　第２期　３月　高师理科学刊　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．２８　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．　２００８　

文章编号：１００７—９８３　１（２００８）０２—０００７—０３　

无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵特征值的界　

于桂海　

（山东工商学院数学与信息科学学院，山东烟台２６４００５）　

摘要：设Ｇ为具有ｎ个顶点的简单连通图，矩阵Ｑ（Ｇ）＝Ｄ（Ｇ）＋Ａ（Ｇ）称为图Ｇ的无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ　

矩阵，研究了图的无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵，利用特殊的不等式给出了无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵的最大和　最小特征值的几个界．　

关键词：Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵；无符号Ｌａｐｌａｃａｉｎ矩阵；特征值；特征向量　

中图分类号：Ｏ１５７．５　文献标识码：Ａ　

１引言及预备知识　

在本文中考虑简单连通图．设Ｇ为具有ｎ个顶点的简单连通图，顶点集和边集分别为　（Ｇ），Ｅ（Ｇ），并　

ｒ－　．　．　对顶点标号为｛ｌ，２，…，，１）．矩阵Ａ（Ｇ）＝　）为图Ｇ的邻接矩阵，其中口　＝｛０１９．　．矩阵Ｄ（Ｇ）＝　

ｄｉａｇ（ｄ。，ｄ　，…，ｄ　）为图Ｇ的度对角矩阵，其中ｄ　表示顶点ｆ的度．矩阵Ｌ（Ｇ）＝Ｄ（Ｇ）一Ａ（Ｇ）称为图Ｇ的　

Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵，矩阵Ｑ（Ｇ）＝Ｄ（Ｇ）＋Ａ（Ｇ）称为图Ｇ的无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵，或Ｑ一矩阵，特征值用　

．，／．ｔ，，…，／．ｔ　表示，由于Ｑ（Ｇ）为实对称矩阵，因此可以对特征值进行排序，不妨假设　

／ｚ　…≥／ｚ　≥０．用　（Ｇ），　（Ｇ）分别表示矩阵Ａ（Ｇ）和Ｑ（Ｇ）的最大特征值，分别称为图Ｇ的邻接谱　

半径和无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ谱半径．　

无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ矩阵的研究引起了组合矩阵论方面学者的广泛兴趣．其中，文献【１］等研究了给定顶点　

数的双圈图的无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ谱半径，文献［２］利用无符号Ｌａｐｌａｃｉａｎ最小特征值刻画了一些图．文献［３］给　

C语言课程设计报告

课程名称： 计算机综合课程设计

学 院： 土木工程学院

设计题目： 矩阵特征值分解

级 别： B

学生姓名：

学 号：

同组学生： 无

学 号： 无

指导教师：

2012年 9 月 5 日

C语言课程设计任务书

（以下要求需写入设计报告书）

学生选题说明:

➢ 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读；

➢ 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当；

➢ 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。 ➢ 限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；

设计总体要求:

➢ 采用模块化程序设计；

➢ 鼓励可视化编程；

➢ 源程序中应有足够的注释；

➢ 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）；

➢ 必须上机调试通过；

➢ 注重算法运用，优化存储效率与运算效率；

➢ 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)；

(cpp文件、txt或dat文件等)

➢ 提交设计报告书，具体要求见以下说明。

设计报告格式：

目录

1． 课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）；

2． 系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）；

矩阵特征值的意义

数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么

矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！

特征值时针对方阵而言的。

两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。

引入特征值与特征向量的概念

• 引例 在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中

• 我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y

• 恰巧是输入x的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。

nnnnnnnnyyyyxxxxaaaaaaaaaAMMLLLLLLL2121212222111211,,xy• 例如，对系统 ，若输入

• 则

•

• 若输入 ，则

• 所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少这显然是控制论中感兴趣的问题。

基于此给出特征值与特征向量的概念：

• 定义 设A是一个n阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n维向量x，使得

则称 是方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值

的特征向量，或简称为A的特征向量

4312A31xxAxy531515531431252xxAxy269524312xAx