矩阵特征值与特征向量的应用

摘 要

矩阵论是数学中的重要内容,也是一个很有价值的数学工具.它应用于许多学科中.并且在实际生活中,许多问题都可以借助矩阵抽象表示计算.这就需要掌握矩阵的相关性质及其应用,对于矩阵的概念和相关性质比较容易理解,但是矩阵的计算和应用就不太容易掌握,运算起来比较麻烦,我们需要引进一个新的工具--------矩阵的特征值与特征向量.本文应用了大量实例说明矩阵特征值与特征向量在对角化、线性变换、反问题求解、简化矩阵、解析几何等方面的应用,这样会使解题更简便,还简化了计算过程,思路更开阔.

关键词:特征值,特征向量,对角化,反问题求解,线性空间

Eigenvalue and eigenvector applications

Abstract:Theory of matrix is an important content in mathematics. Is also a

valuable mathematical tool, it is applied to many disciplines. And in real life,

many problems can be abstract representations with the help of matrix

calculation. This needs to master relevant properties and applications of the

matrix, the matrix of the concept and the related properties are well understood,

but the calculation and application of the matrix is not easy to grasp, operation

up more troublesome, we need to introduce a new tool -- matrix eigenvalue and

eigenvector. This article used a great deal of examples in diagonalization matrix

eigenvalue and eigenvector, linear transformations, inverse problem solving,

simplified matrix, how resolve several applications, this will make it easier, the

problem solving also simplifies the calculation process, thinking more open.

Keywords:eigenvalues, eigenvectors, diagonalization, the inverse problem

solving, linear space

目 录

一、引言 ....................................................... 1

二、矩阵特征值与特征向量的涵义 ................................. 1

(一)、矩阵的特征值与特征向量的定义 ........................ 1

（二)、 矩阵的特征值与特征向量的性质 ....................... 1

三、矩阵的特征值与特征向量的应用 ............................... 2

（一)、在对角化方面的应用 .................................. 2

（二）、在线性变换的应用 .................................... 6

（三）、在反问题求解的应用 .................................. 9

（四）、在简化矩阵运算中的应用 ............................. 14

（五）、在线性空间中的应用 ................................. 18

四、结束语 .................................................... 19

五、致谢 ....................................... 错误!未定义书签。

六、参考文献 .................................................. 20

1 一、引言

数学与各个领域之间都有着千丝万缕的联系.用数学工具来分析和求解问题已成为对经济领域进行研究,从而获得最佳解决方案的迫切需要.矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要内容,也是高等数学研究问题的工具.它应用于许多学科中,并且在实际生活中,许多问题都可以借助矩阵抽象表示计算.本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的定义、相关性质及其应用,对于矩阵的特征值与特征向量概念和相关性质比较容易理解,但是矩阵的特征值与特征向量计算和应用就不太容易掌握,运算起来比较麻烦,文中具体说明了矩阵特征值与特征向量在对角化、线性变换、反问题求解、简化矩阵、解析几何等方面的应用,这样会使解题思路更清晰,思维更开阔,继而使高等数学中的许多计算问题更容易掌握.

二、矩阵特征值与特征向量的涵义

（一）矩阵的特征值与特征向量的定义

定义]1[ 设为n阶方阵,是一个常数,存在一个n维非零列向量使关系式A成立,则称为的一个特征值,相应的非零向量称为的属于的特征向量A可等价地写为0)(,该方程存在非零列向量解的充要条件是系数行列式0.

（二）矩阵的特征值与特征向量的性质

性质1 设为n阶方阵n,,,21的n个特征值,则 n,,,21.

性质2 方阵可逆的n个特征值都不为零.

性质3 设为方阵的特征值,)(为的多项式,则)(为)(的

特征值.

性质4 不为方阵的特征值0.

性质5]2[(凯莱—哈密顿定理) 设n阶方阵的特征多项式为

nnnnf111)(则

0)(111nnnnf

性质6 设n阶方阵的n个特征值为n,,,21且nppp,,,21为对应

的n个线性无关的特征向量,记)(21npppp,则

2 pp1n21

性质7 设为n阶实对称阵n,,,21是它的n个特征值,则

(1)当且仅当n,,,21都大于零时,正定;

(2)当且仅当n,,,21都小于零时,负定;

(3)当且仅当n,,,21都非负,但至少一个等于零时,是半正

定;

(4)当且仅当n,,,21都非正,但至少一个等于零时,是半负

定;

(5)当且仅当n,,,21中既有正数,有又负数时,是不定的

得出相关结论如下:

(1)]3[如果1、2都是矩阵的属于特征值0的特征向量,则当

02211kk时,2211kk仍是A的属于特征值0的特征向量.

(2)如果n,,,21是矩阵A的互不相同的特征值,其对应的特征向量分

别是n,,,21,则n,,,21线性无关.

(3)实对称矩阵的特征值都是实数,属于i不同特征值的特征向量正交.

(4)若i是实对称矩阵的i重特征值,则对应特征值i恰有i个线性无

关的特征向量,或iirnr)(.

三、矩阵的特征值与特征向量的应用

（一）在对角化方面的应用

定理1 对每个n阶矩阵,都存在n阶可逆的矩阵)(P,)(Q,使得

)())((Qp)(000)(000)(21nddd ⑴

3 其中)(,),(),(21nddd是的不变因子.且

i）0是的特征根的充要条件是存在某个i,使0)(0id;

ii）矩阵可对角化的充要条件是0)(iid无重根 ,ni,,2,1.

证: i)由)(P,)(Q可逆得, )()(1Qp

)()()(21nddd.所以0是的特征根的充要条件是存

在某个i,使0)(0id;

ii)因为⑴右端即特征矩阵的等价标准形,所以)(nd是的

最小多项式.而)(/)(1iidd,从而矩阵可对角化的充要条件

是0)(id无重根,ni,,2,1

定理2]4[设s,,,21是n阶矩阵的全部互异的特征根,在⑴式的前提

下,令)(,),(),()(21nQQQQ(列分块),若0)(kid,

且kij时0)(kjd,sk,,2,1,则

i)矩阵)(kQ的后1kin列)(,),(),(1knkikiQQQkk为

的属于特征根k的全部线性无关的特征向量.sk,,2,1

ii)在A可对角化时,令

))(,),(),(,),(,),(),((1111snsisiniiQQQQQQTsskk

TT1SSS111 ⑵

证: i)若0)(kikd,则由定理1得0)()()(1knkikidddkk

由⑴式得)())((kkkQAEp