轨迹方程的求法(中学课件201911)

轨迹方程

定义

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．

平面轨迹一般是曲线，空间轨迹一般是曲面。

【例如】A，B是两个定点，k（>0）是一个常数，满足MA:MB=k的动点M的轨迹：

在平面上表示一条直线（k=1）或一个圆周（k≠1）；

在空间内表示一条平面（k=1）或一个球面（k≠1）。

【轨迹方程】 就是与几何轨迹对应的代数描述。

解法

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

⒉写出点M的集合；

⒊列出方程=0;

⒋化简方程为最简形式；

⒌检验.

二、求动点的轨迹方程的常用方法：

求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等.

⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法.

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法.

⒊相关点法：用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0,y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法. ⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法.

*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

①建系——建立适当的坐标系；

②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；

求轨迹方程的五个步骤

嘿，咱今儿个就来唠唠求轨迹方程的那五个步骤！这可是数学里的一块儿宝呢！

你想想看，轨迹方程就像是给一个动点画出的专属路线图。那怎么找到这条神奇的路线呢？

第一步，设动点坐标。就好像给这个小家伙起个名字，让它在数学的世界里有个明确的身份。这一步可重要啦，没了这个名字，后面咋知道说的是谁呢？

第二步，找关系。这就好比是在动点的世界里找它和其他元素的联系，它们之间肯定有一些特殊的纽带呀。就像人与人之间有各种关系一样，动点和其他条件之间也有它们的“小秘密”呢。

第三步，列式子。这一步可有点像搭积木，把那些找到的关系一块一块地堆起来，慢慢就搭出了一个式子。这个式子就是我们要找的轨迹方程的雏形啦。

第四步，化简。哎呀呀，就跟收拾房间似的，把那些式子整理得干干净净、整整齐齐的。把不必要的东西都去掉，留下最精华的部分。

第五步，检验。这可不能马虎呀！就好比你做好了一件东西，得检查检查有没有瑕疵。万一有什么遗漏或者错误，那可不行呢。 你说这五个步骤像不像一场奇妙的冒险？每一步都充满了挑战和惊喜。要是少了一步，那可就像走在路上丢了一只鞋，别扭得很呢！

比如说，有个动点在那跑来跑去，你要是不先设它的坐标，你都不知道该咋描述它。然后呢，不找关系，那它就孤零零的，和周围都没联系。不列式子，那就更没法把它的轨迹表示出来啦。不化简，式子乱糟糟的，谁看得懂呀。不检验，万一有错误，那不就前功尽弃啦。

所以呀，这五个步骤一个都不能少，它们就像五个好兄弟，一起合作才能找到那神奇的轨迹方程。咱学数学呀，就得像这样，一步一个脚印，慢慢地去探索，去发现其中的奥秘。你说是不是这个理儿？咱可不能小瞧了这五个步骤，它们可是打开数学大门的钥匙呢！以后再遇到求轨迹方程的问题，咱就按照这五个步骤来，肯定能轻松搞定！加油吧！

1 动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求:

(1)建系设点;

(2)列出几何等式;

(3)化简整理．

例1.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ

的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有MQMN，即MQONMO22，2222)2(1yxyx．整理得0)41(4)1()1(222222xyx，这就是动点M的轨迹方程．若1，方程化为45x，它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2222222)1(3112yx）－（，它表示以)0,12(22为圆心，13122为半径的圆．

例2.已知两定点A、B，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB成立的动点P的轨迹方程。

【解析】：以点A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴， y P (x,y)

建立直角坐标系如右图：

则B点坐标为(3, 0)，设P点坐标为(x, y),

∠PAB =  , 则∠PBA =2 A B x

PBkxy3 2tan)2tan(

=2tan1tan2 =

2)(1)(2xyxy = 222yxxy

y = 0 (0

即y = 0 (0

练习1.若A、B为定点且2AB,动点M到A与到B的距离的比为常数,求点M的轨迹.

2 二、相关点代入法

动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点,Pxy却随另一动点','Qxy的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将','xy表示为,xy的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，一般用于两个或两个以上动点的情况．

求轨迹方程的常用方法

（一）求轨迹方程的一般方法：

1. 定义法（待定系数法）：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。此方法又称为待定系数法。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3.

参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），

y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

6.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

（二）求轨迹方程的注意事项：

1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 )()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方ttgytfx，yx，F

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。