轨迹方程的求法

动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求;其过程是建系设点;列出几何等式;坐标代换;化简整理;主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1已知直角坐标平面上点Q2;0和圆C：122yx;动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0如图;求动点M的轨迹方程;说明它表示什么曲线．

解析：设Mx;y;直线MN切圆C于N;则有MQMN;即MQONMO22;2222)2(1yxyx．整理得0)41(4)1()1(222222xyx;这就是动点M的轨迹方程．若1;方程化为45x;它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；若λ≠1;方程化为2222222)1(3112yx）－（;它表示以)0,12(22为圆心;13122为半径的圆．

二、代入法

若动点Mx;y依赖已知曲线上的动点N而运动;则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件;从而求得动点M的轨迹方程;此法称为代入法;一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 已知抛物线12xy;定点A3;1;B为抛物线上任意一点;点P在线段AB上;且有BP:PA=1:2;当点B在抛物线上变动时;求点P的轨迹方程;并指出这个轨迹为哪种曲线．

解析：设),(),,(11yxByxP;由题设;P分线段AB的比2PBAP;∴

.2121,212311yyxx解得2123,232311yyxx.又点B在抛物线12xy上;其坐标适合抛物线方程;∴ .1)2323()2123(2xy整理得点P的轨迹方程为),31(32)31(2xy其轨迹为抛物线．

三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义;则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程;在高考中常填空、选择题的形式出现．

例3 若动圆与圆4)2(22yx外切且与直线x=2相切;则动圆圆心的轨迹方程是

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动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，

则有 MQMN，

即 MQONMO22，

2222)2(1yxyx．

整理得0)41(4)1()1(222222xyx，这就是动点M的轨迹方程．

若1，方程化为45x，它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；

若λ≠1，方程化为2222222)1(3112yx）－（，它表示以)0,12(22为圆心，13122为半径的圆．

二、代入法

若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 （1986年全国）已知抛物线12xy，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

解：设),(),,(11yxByxP，由题设，P分线段AB的比2PBAP，

∴ .2121,212311yyxx 2 解得2123,232311yyxx.

又点B在抛物线12xy上，其坐标适合抛物线方程，

∴ .1)2323()2123(2xy

整理得点P的轨迹方程为

),31(32)31(2xy

其轨迹为抛物线．

三、定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．

几种常见求轨迹方程的方法

1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1:

(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．

对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，

解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM．

∵kOM·kAM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．

2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析： ∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程． 解：连接PA

∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

求轨迹方程的五种方法

1.直线轨迹方程的求解方法：

直线的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。

1.1斜率截距法：

当直线已知斜率m和截距b时，可以使用斜率截距法求解。直线的轨迹方程为：y = mx + b。

1.2点斜式方法：

当直线已知斜率m和通过的一点（x1，y1）时，可以使用点斜式方法求解。直线的轨迹方程为：(y-y1)=m(x-x1)。

1.3两点式方法：

当直线已知通过的两点（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用两点式方法求解。直线的轨迹方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。

1.4截距式方法：

当直线已知x轴和y轴上的截距时，可以使用截距式方法求解。直线的轨迹方程为：x/a+y/b=1，其中a和b分别为x轴和y轴上的截距。

1.5法向量法：

当直线已知法向量n和通过的一点（x1，y1）时，可以使用法向量法求解。直线的轨迹方程为：n·(r-r1)=0，其中n为法向量，r为直线上的任意一点的位置矢量，r1为通过的一点的位置矢量。

2.圆轨迹方程的求解方法： 圆的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。

2.1一般式方法：

当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用一般式方法求解。圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.2标准式方法：

当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用标准式方法求解。圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。

2.3参数方程方法：

当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用参数方程方法求解。圆的轨迹方程为：x = h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中θ为参数。

2.4三点定圆方法：

当圆已知经过三点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）时，可以使用三点定圆方法求解。圆的轨迹方程为：(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y-y1)(y-y2)(y-y3)-r²(x+y+h)=0，其中h为x平方项和y平方项的系数之和。