轨迹方程的求法

动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求;其过程是建系设点;列出几何等式;坐标代换;化简整理;主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1已知直角坐标平面上点Q2;0和圆C：122yx;动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0如图;求动点M的轨迹方程;说明它表示什么曲线．

解析：设Mx;y;直线MN切圆C于N;则有MQMN;即MQONMO22;2222)2(1yxyx．整理得0)41(4)1()1(222222xyx;这就是动点M的轨迹方程．若1;方程化为45x;它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；若λ≠1;方程化为2222222)1(3112yx）－（;它表示以)0,12(22为圆心;13122为半径的圆．

二、代入法

若动点Mx;y依赖已知曲线上的动点N而运动;则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件;从而求得动点M的轨迹方程;此法称为代入法;一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 已知抛物线12xy;定点A3;1;B为抛物线上任意一点;点P在线段AB上;且有BP:PA=1:2;当点B在抛物线上变动时;求点P的轨迹方程;并指出这个轨迹为哪种曲线．

解析：设),(),,(11yxByxP;由题设;P分线段AB的比2PBAP;∴

.2121,212311yyxx解得2123,232311yyxx.又点B在抛物线12xy上;其坐标适合抛物线方程;∴ .1)2323()2123(2xy整理得点P的轨迹方程为),31(32)31(2xy其轨迹为抛物线．

三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义;则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程;在高考中常填空、选择题的形式出现．

例3 若动圆与圆4)2(22yx外切且与直线x=2相切;则动圆圆心的轨迹方程是

摄　囊　

；　Ｉ　曲　舫黜拙　｝｝　

ｉ　杨爱雄　≈　｝　｝　ｉ　ｌ　求曲线的轨迹方程一般用直接法、待定系数法、　一、直接法　Ｙ　≮　／１　ｉｉ　ｌ相关点（代人）法、参数法．求曲线的轨迹方程的基本　例１．如图１，过点Ｐ（２，４）／（Ｆ　｝　ｊ　ｌ　步骤是：　相互乖盲的盲线ｚ　．ｚ，．若ｚ　交　夕　４　ｊ　ｉ｝　０　１．建系设点．建立恰当的平面直角坐标系，设出　轴于　，ｚ　交Ｙ轴于Ｂ，求线段　＼　轨迹上任意一点的坐标；　ＡＢ的中点Ｍ的轨迹方程．　图　２．找等量关系．找到动点与已知点、线满足的关系；　解：设　（　，’，）为所求轨迹上任意一点．　８　３．代点．用动点和相关点的坐标表示以上关系；　因为　为ＡＢ中点，则Ａ（　，０），Ｂ（Ｏ，２ｙ）．又因　ｌ　４．化简．把以上关系式化简；　ｚ　上ｚ２且ｚ　，ｚ　过点Ｐ（２，４），则ＰＡ上ＰＢ．即ｋ　・　５．证明．证明所得方程为所求曲线的轨迹方程．　一１．　｝　ｌ　曲线Ｃ：．＿Ｘ２一　：１（。＞０，６＞０）的右焦点Ｆ，过Ｆ且斜　例３　２００，７年全国Ｉ卷理科第２１题第１Ｉ问）　ｆ　妻　线享ｃ于Ａ　两点，　＿４　＇贝０　ｃ　的直线交３椭２圆于Ｂ、，）两点，过Ｆ的直线交椭圆　ｌ的离心　为　。　。　Ａ　Ｃ　￣Ｂ～Ｄ…，　为２　ｔａ　Ｉ　（Ａ）　（Ｂ）｝　（ｃ）争　（Ｄ）　Ｂ　量　、值．　王　小　ＡＢ的倾斜角为６０。，所以　．＿¨ｌ—１＿　，ＦＢ：　、／　一６　＝１．设弦ＢＤ的倾斜　，　．．．　ｚ　ｚ　由推论１６　，有ｌ肋ｌ：　，、～２　／／　¨　１　．故选（Ａ）．　刚　用　一＋ｓｉｎ￣ａ’　２　ｉ　Ｉ　例２　（２００８年全国ＩＩ卷理科第ｌ５题）已知Ｆ　ＩＡＣ　Ｉ－ｚ４＋Ｘｃ＃。ｓ３　．　翰　Ｉ　为抛物线ｃ：ｙ￣＝４ｘ的焦点．过Ｆ且斜率为１的直线交　于是，设四边形４日ｃＤ的面积为ｓ．贝『　Ｊ　值等于　．　设。　’＞。膪。’则。　‘船。的比　｜ｓ：　ｌ肋　４ｃ　ｌ＝ｌｌ・＿．酬．４ｘ／—Ｔ２　２　２＋ｓｉｎ２ｏｔ・　１＋　Ｓ２０￣　肝　且　。叫科早　且　。叫　６＋ｃｏｓ２ｏｅｓｉｎ２ｏｅ一２４＋ｓｉｎ２２ａ‘　Ｉ　／５　倾斜角为４５。，于是Ｉ肼Ｉ＝　，ｌ船Ｉ＝　・　显然，当ｓｉｎ２２ｏｅ＝１，即　：４５。时，Ｊｓ取最小值　９６．　｝　因此，　疆．．糕　耀　糍　茹…；　ｉ　第六十一申学’　２　一，．　…　／　ｌ／二二二二二。＿二二二二二二　誊　露　嚣一　＿＿誊＿＿＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿誊磐誊＼　＼　

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动点轨迹方程的求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．

例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．

解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，

则有 MQMN，

即 MQONMO22，

2222)2(1yxyx．

整理得0)41(4)1()1(222222xyx，这就是动点M的轨迹方程．

若1，方程化为45x，它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；

若λ≠1，方程化为2222222)1(3112yx）－（，它表示以)0,12(22为圆心，13122为半径的圆．

二、代入法

若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．

例2 （1986年全国）已知抛物线12xy，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

解：设),(),,(11yxByxP，由题设，P分线段AB的比2PBAP，

∴ .2121,212311yyxx 2 解得2123,232311yyxx.

又点B在抛物线12xy上，其坐标适合抛物线方程，

∴ .1)2323()2123(2xy

整理得点P的轨迹方程为

),31(32)31(2xy

其轨迹为抛物线．

三、定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．

几种常见求轨迹方程的方法

1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1:

(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．

对(2)分析：

题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，

解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM．

∵kOM·kAM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．

2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析： ∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程． 解：连接PA

∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．