轨迹方程的求法

1 轨迹方程

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为221xy，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0，求动点M的轨迹。

◎◎如图，圆1O与圆2O的半径都是1，124OO. 过动点P分别作圆2O、圆2O的切线PMPN，（MN，分别为切点），使得2PMPN. 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2、动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p.求动圆圆心C的轨迹的方程.

◎◎ 已知圆C的方程为 (x-2)2+y2=100,点A的坐标为（-2，0），M为圆C上任一点，AM的垂直平分线交CM于点P，求点P的方程。

◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.

三、代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 2 例3、P是椭圆191622yx上的动点, 作PD⊥y轴, D为垂足, 求PD中点的轨迹方程.

◎◎已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT求点T的轨迹C的方程.

练习:

1、方程y=122xx表示的曲线是： （ ）

A、双曲线 B、半圆 C、两条射线 D、抛物线

2. 抛物线的准线l的方程是y=1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是( ).

A. (x-1)2=-8(y-1) B. (x-1)2=-8(y-1) (x≠1) C. (y-1)2=8(x-1) D. (y-1)2=8(x-1) (x≠1)

3、动点p与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p点的轨迹方程是： （ ）

A、x2+y2=1 B、x2+y2=1(x≠±1） C、x2+y2=1(x≠1） D、y=21x

4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是：

（ ）

A、x2+y2=2(x+y) B、x2+y2=2|x+y| C、x2+y2=2(|x|+|y|) D、x2+y2=2(x－y)

5、动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是：（ ）

A、中心在原点的椭圆 B、中心在（5，0）的椭圆

C、中点在原点的双曲线 D、中心在（5，0）的双曲线

6、已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是 （ ）

A、(x－2)2+y2=4 B、(x－2)2+y2=4(0≤x＜1)

C、(x－1)2+y2=4 D、(x－1)2+y2=4(0≤x＜1)

7 . P是椭圆191622yx上的动点, 作PD⊥y轴, D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为( ).

A. 116922yx B. 196422yx C. 14922yx D. 19422yx

8、若一动圆与两圆x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） 3 A、抛物线 B、圆 C、双曲线的一支 D、椭圆

9、点M到F（3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M的轨迹方程是：（ ）

A、y2=12x B、y2=12x(x>0) C、y2=6x D、y2=6x(x>0)

10、已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是 （ ）

A、x2+y2=21 B、x2+y2=41 C、x2+y2=21(x<21) D、x2+y2=41（x<41)

11、抛物线过点M（2，－4），且以x轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）

A、(x－2)2+(y+4)2=16 (0)y¹ B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (0)y¹

C、(x－2)2－(y+4)2=16 D、(x－2)2+4(y+4)2=16

12、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 (

)

222222222222A.1 B.1 C.1 D.12575752525757525xyxyxyxy

13、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为 （ ）

A、x2+y2=2a2 B、x2+y2=4a2 C、x2－y2=4a2 D、x2－y2=a2

14、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。

15、过原点的动椭圆的一个焦点为F（1，0），长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程为 。

16、经过抛物线y2=4x的焦点的弦中点轨迹方程是 。

17、倾斜角为4的直线交椭圆42x+y2=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 。

18、两条直线ax+y+1=0和x－ay－1=0(a≠±1）的交点的轨迹方程是 。

19、已知动点p到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p点的轨迹方程。

20、设△ABC的两顶点B、C坐标为（－1，0），（1，0），当∠BAC=3时，求动点A的轨迹方程。

4 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为1122,,xyxy、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”。

例1 已知椭圆2212xy，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.

例2 直线:50laxya（a是参数）与抛物线2:1fyx的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是 .

例3 已知ABC的三个顶点都在抛物线232yx上，其中2,8A，且ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.

例4已知椭圆222210xyabab的一条准线方程是1x，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于AB、两点，若AB的中点为11,24C，求椭圆方程.

例4 已知椭圆221259xy上不同的三点11229,,4,,,5AxyBCxy与焦点4,0F的距离成等差数列.（1）求证：128xx；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.

例6 若抛物线2:Cyx上存在不同的两点关于直线:3lymx对称，求实数m的取值范围.

例7 已知AB是椭圆222210xyabab不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值.

例8 已知双曲线22112xy，过1,1B能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.