专题：函数的奇偶性讲义(教师用)

函数的奇偶性【知识要点】1.函数奇偶性的定义：一般地，对于函数f (x)定义域内的任意一个X,都有f (-x) = f (x), 那么函数f (x)叫偶函数(even function).如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)叫奇函数(odd function).2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性,也可由函数的奇偶性作函数的图象.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (-x) 与f (x)的关系；⑴奇函数o f (-x)=- f (x)o f--)+f (x)=0 o 釜=-1(fx)) 0)；(2)偶函数o f (-x)= f (x)o f (- x)- f (x)= 0 o4.函数奇偶性的几个性质：(1)奇偶函数的定义域关于原点对称,在判断函数奇偶性时,应先考察函数的定义域；(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；(3)若奇函数f Q)在原点有意义，则f (0)= 0；(4)根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数,又不是偶函数；(5)在公共的定义域内：两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数；两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；(6)函数f Q)与函数有相同的奇偶性.5 .奇偶性与单调性: （1）奇函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相同的单调性;（2）偶函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相反的单调性.【典例精讲】 类型一函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性:x 2 + 2x + 3, x < 0,(6)f (x )= {a x = 0, -x 2 + 2x - 3, x > 0.变式 判断下列函数的奇偶性:11 ⑴f(x)=x 4； (2)f(x)=X 5；⑶ f (x)=x+x 2 ；(4) f(x)= - x 2(5) f (x )= x 3- 2x(6) f (x ) = 2 x 4 4十 一x 2，、b ,,(7) y = ax H ——(a > 0,b > 0) x(8) x (k > 0)y -例2已知/ Q)是R 上的奇函数，且当X > 0时，f Q)= x 3+ 2 x 2-1,求f Q)的表达式。

创一教育学科教师辅导讲义知识梳理一、函数奇偶性的概念【问题导思】1．对于函数f(x)＝x2，f(x)＝|x|，以－x代替x.函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代x各自的函数值不变，即f(－x)＝f(x)；图象关于y轴对称．2．对于函数f(x)＝x3，f(x)＝1x，以－x代替x，函数值发生变化吗？其图象有何特征？【提示】以－x代替x各自的函数值互为相反数，即f(－x)＝－f(x)；图象关于原点对称．1．偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．3．奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.例题精讲例1：函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (3)f (x )＝x 2＋1x2. 【思路探究】 首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f (x )与f (－x )之间的关系．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x 2＝1，∴x ＝±1， 即函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．∵f (－1)＝0＝f (1)，且f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4，x ≠0，且x ≠－6， ∴－2≤x ≤2且x ≠0，关于原点对称，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， ∵f (－x )＝4－x 2－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )2＋1(－x )2＝x 2＋1x 2＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【规律方法】1．判断函数的奇偶性要遵循定义域优先的原则，如果定义域不关于原点对称，则该函数必为非奇非偶函数．2．用定义判断函数奇偶性的步骤：【变式训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x －1x；(2)f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)，－x 2＋x (x >0). 【解】 (1)f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－1－x＝－(x －1x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域为R .f (－x )＝|－x ＋2|＋|－x －2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x＝－(x 2＋x )＝－f (x )，当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x＝－(－x 2＋x )＝－f (x )，综上所述，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2：奇偶函数的图象及应用已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图2－2－4所示，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【思路探究】 先证明f (x )是偶函数，依据其图象关于y 轴对称作图．【自主解答】 ∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示：【规律方法】1．利用函数的奇偶性作用，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．2．由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作出函数y ＝|x |的图象．因为该函数为偶函数，故只需作出x ≥0时的图象，对x ≤0时的图象，关于y 轴对称即可．【变式训练】设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图2－2－5所示，则不等式f (x )<0的解集是________．图2－2－5【解析】 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．【答案】 (－2,0)∪(2,5]课堂小测1．函数y ＝f (x )在区间[2a －3，a ]上具有奇偶性，则a ＝________.【解析】 由题意知，区间[2a －3，a ]关于原点对称，∴2a －3＝－a ，∴a ＝1.【答案】 12．函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的奇偶性为________． 【解析】 ∵x ∈R ，又f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．【答案】 偶函数3．(2013·抚顺高一检测)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝1，则f (－2)的值为________．【解析】 ∵当x >0时，f (x )＝1，∴f (2)＝1，又f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.【答案】 －14．(2013·常州高一检测)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图象．【解】 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0；②当x <0时，－x >0，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x >0，0 x ＝0，－x 2－2x x <0.(2)图象如图：师生小结课后作业一、填空题1．函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是________． 【解析】 ∵f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝x －1x＝－f (x )．故f (x )为奇函数． 【答案】 奇函数2．(2013·黄山高一检测)已知函数f (x )＝a －2x为奇函数，则a ＝________. 【解析】 ∵函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，即a ＋2x ＋a －2x＝0， ∴2a ＝0，即a ＝0.【答案】 03．若函数f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，则b －a ＝________.【解析】 f (x )＝x 3－bx ＋a ＋2是定义在[a ，b ]上的奇函数，有f (－x )＝－f (x )，即－x 3＋bx ＋a ＋2＝－x 3＋bx －a亲爱的同学们，这节课我们学了哪些内容？ 1．利用奇偶函数图象的对称性，我们可以作出函数的大致图象，然后观察图象得出结论． 2．已知奇偶函数在某个区间上的解析式，我们利用对称性可求出这个区间的对称区间上的解析式．要注意“求谁设谁”． 3．解含“f ”的不等式，应具备两个方面：一是能转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式，二是f (x )的单调性已知．特别是f (x )为偶函数时，应把不等式f (x 1)<f (x 2)转化为f (|x 1|)<f (|x 2|)的形式，利用x ∈[0，＋∞)的单调性求解．－2可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝0，a ＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2， 所以b －a ＝4.【答案】 44．下列说法中正确的是________．①函数y ＝3x 2，x ∈(－2,2]是偶函数；②函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0，是奇函数； ③函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )＝x 2＋1是偶函数．【解析】 ①不正确，因为定义域不关于原点对称，故①不正确；②不正确，当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2≠x 3且x 2≠－x 3，故②不正确；③正确，∵f (－x )＝－x ＋1≠x ＋1，f (－x )＝－x ＋1≠－x －1，故f (x )＝x ＋1是非奇非偶函数，故③正确． ④正确，∵f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，故④正确．【答案】 ③④5.图2－2－6已知f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数，当x >0时，f (x )的图象如图2－2－6所示，那么f (x )的值域是________．【解析】 ∵x ∈(0,2]时，f (x )的值域为(2,3]，由于奇函数的图象关于原点对称，故当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－3，－2)，∴f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]．【答案】 [－3，－2)∪(2,3]6．设函数f (x )＝ax 3＋cx ＋5，已知f (－3)＝3，则f (3)＝________.【解析】 设g (x )＝ax 3＋cx ，则g (x )为奇函数，∴g (－3)＝－g (3)．∵f (－3)＝g (－3)＋5＝3，∴g (－3)＝－2，∴g (3)＝2，∴f (3)＝g (3)＋5＝7.【答案】 77．(2013·青岛高一检测)定义在R 上的奇函数f (x )，若当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时f (x )＝________.【解析】 设x <0，则－x >0，又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2·(－x )]＝－x 2－2x .【答案】 －x 2－2x创一教育11 / 11创造奇迹，只做第一！。

高一寒假数学讲义“函数的奇偶性（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长函数的奇偶性在综合题中有相当多的应用，不仅要掌握基础的知识，而且要能灵活应用。

在各个考试中，都可能是出题的考查重点之一。

函数奇偶性1．偶函数如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(―x)=f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做偶函数。

并要向学生强调定义中的“定义域D中的任意实数x”一句话．从偶函数的定义中，指出一个函数是偶函数的必要条件：定义域关于原点对称。

偶函数的图象的性质：偶函数的图象关于轴对称的性质性质的证明要抓住四个要点：(1)a是y=f(x)定义域内的任意一个实数．(2)点A(a,f(a))，B(―a,f (―a))都是函数y=f(x)图象上的点．(3)因为f (―a)= f (a)，所以B点坐标也为（―a,f (a)）．(4)点（―a,f (a)）与(a,f (a))关于y轴对称．2．奇函数如果对于函数y=f(x)的定义域D内的任意实数x，都有f(―x)= ―f(x)，那么就把函数y=f(x)叫做奇函数。

由奇函数的定义得出奇函数的必要条件：定义域D关于原点对称。

3．关于奇偶函数的重要结论(1) f(x),g(x)设为定义域是D1，D2的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数，类似的有：奇士奇＝奇，奇奇＝偶(课后练习)，偶士偶＝偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．(2)函数是奇函数⇔曲线y=f(x)关于原点对称，函数y=f(x)是偶函数⇔曲线y=f(x)关于y 轴对称．*(3)若y=f(x)是具有奇偶性的单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(4)对于复合函数F (x)= f [g (x )]，若g(x )为偶函数，则F (x)为偶函数；若g(x )为奇函数，f (x )为奇函数，则F()x 为奇函数；若g(x )为奇函数，)(x f 为偶函数，则F (x)为偶函数(自己证明)．(5) f (x )既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x )=0 (定义域关于原点对称)． (6)若函数f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )可以表示成如下形式:)]()([21)]()([21)(x f x f x f x f x f --+-+=这个式子的特点是：右边是一个偶函数与一个奇函数的和【试题来源】【题目】求证：函数2432)(x x x f -=是偶函数。

高中数学函数的奇偶性研究讲义一．定义：设函数y=f(x) ,x ∈A,如果对于任意，x ∈A,都有)()(x f x f -=-,则称函数)(x f y =为奇函数；如果对于任意X ∈A,都有)()(x f x f =-，则称)(x f y =为偶函数，二、 研究概念：【定义域】函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，（1）、若函数具有奇偶性，则其定义域一定关于原点对称，（2）、若函数定义域不关于原点对称，则一定不具有奇偶性。

例：已知奇函数f(x)的定义域为{}0,2/><-+a a a x x ,则a 的值为（ ）A ， 1 B, 2 C , 3 D, 4已知函数 xx x x f -+-=11)1()(, 则f(x)为 （ ）A , 奇函数 B, 偶函数 C, 即奇又偶函数 D , 非奇非偶函数 ，【函数值】 若奇函数在x=0有定义，则f(0)=0【解析式】A ∈-∀x x ,，奇函数：0)(,1)()(0)()()()(≠-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f x f 偶函数：0)(,1)()(0)()()()(≠=-⇔=--⇔=-x f x f x f x f x f x f x f即奇又偶函数 )()()()(x f x f x f x f =--=- 0)(=⇒x f三、奇偶性的应用[题型一：判断函数奇偶性]（1）、求函数定义域、判断是否关于原点对称、（2）、化简解析式、（3）、寻找)(x f -与)(x f 之间的关系（相等或互为相反数）例1、给出下列函数 ：x x e e y x x y x y x x y --=-===、、、、)4()3(sin )2(cos )1(22 、其中奇函数是（ ）A. （1）和（2） B （1）和（4） C （2）和（4） D （3）和（4）2 、函数()l x f =)1(2x g +、=)(x g (x x 2+)1-<0 （)111≤+x 、x x h 2tan )(=中、偶函数为________________ )1(2>+-x x3、设函数)(x f 在),(+∞-∞内有定义，下列函数：（1），1)(1x f y -=、（2），)(2x xf y =（3），),(x f y --= （4），)()(x f x f y --=中必为奇函数的有_______________.特殊函数值：奇函数)(x f 在0=x 处有定义，则0)0(=f 、例2： 1、若函数)2(log )(22a x x X f a ++=是奇函数，则=a2、函数b a x x x f ++=11)(是奇函数的充要条件是（ ）A, 0=ab B,0=+b a C,b a = D,022=+b a【题型二：图像】奇函数：关于原点对称，偶函数：关于y 轴对称，例：下面四个结论：（1），偶函数的图像一定与y 轴相交，（2），奇函数的图像一定通过原点，（3），偶函数的图像关于y 轴对称，（4)即是奇函数又是偶函数的图像一定是)(0)(r x x f ∈=其中正确的命题的个数是（ ）A,1个 B ，2个 C ，3个 D 4个（2），函数1112111)(2-++-=x x x f 的图像关于（ ）A,原点对称 B,y 轴对称 C,x 轴对称， D ，直线x y =对称（3），若函数)(X f 是奇函数，且方程0)(=x f 有三个根,3,2,1x x x 则321χχ++x 的值（ ）A,1- B,0 C,3 D,不确定（4），设奇函数)(x f 的定义域为][5,5-，若][5.0∈x 时，)(x f 的图像如图，则不等式0)(<x f 的解集是（ ）、(5). 定义在【-2，2】上的偶函数)(x f ，它在[0,2]上的图像时一条线段。

课时二：函数的奇偶性一、奇偶性定义1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数2、定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有___()()f x f x -=，___则称()f x 为___偶函数___；如果都有____()()--f x f x =，______则称()f x 为___奇函数___；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；（常常只有一类：0)(=x f ）如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。

二、隐藏含义（1）讨论奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。

（如果不对称，没有奇偶性讨论）（2）所有的函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。

（3）若函数时奇函数，且在原点处有定义，则有：0)0(=f 。

（4）偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

三、常用性质（1）、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且12D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇（2）、 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。

四、判断、证明函数的奇偶性类型一 函数奇偶性的判断练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2＋1；(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；答案：（1）偶函数 （2）奇函数 练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |答案：D五、分段函数的奇偶性类型二 分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x x 2－x的奇偶性．解析：任取x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1 ＝－(－x 2＋1)＝－f (x )． 又任取x <0，则－x >0.∴f (－x )＝－(－x )2＋1＝－x 2＋1 ＝－(x 2－1)＝－f (x )．对x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )成立．∴函数f (x )为奇函数． 答案：奇函数类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式例3：若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求：当x ≥0时，函数f (x ) 的解析式．解析：当x >0时，－x <0， ∵当x <0时，f (x )＝x (1－x )，∴f (－x )＝－x (1＋x )，又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x (1＋x )，∴f (x )＝x (1＋x )， 又f (0)＝f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0， ∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )． 答案：x (1＋x ) 练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则函数f (x )的解析式为________________．答案： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1 x >0x ＝2x －1x六、几类特殊函数的奇偶性判断、证明类型四 抽象函数奇偶性的证明例4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证： f (x )为奇函数．解析：令a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0，再令a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )，∴f (－x )＝－f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称，∴f (x )是奇函数．答案：见解析练习1：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数x 1、x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．答案：令x 1＝0，x 2＝x ， 得f (x )＋f (－x )＝2f (0)·f (x )，① 令x 1＝x ，x 2＝0，得f (x )＋f (x )＝2f (0)·f (x )，②由①②得， f (－x )＝f (x )，且定义域x ∈R 关于原点对称， ∴函数f (x )为偶函数．类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断例5：设a 为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x －a|＋1的奇偶性．解析：当a ＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1， ∴f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1 ＝x2＋|x|＋1＝f(x)，∴当a ＝0时，函数f(x)为偶函数． 当a ≠0时，f(1)＝2＋|1－a|， f(－1)＝2＋|1＋a|，假设f(1)＝f(－1)，则|1－a|＝|1＋a|，(1－a)2＝(1＋a)2， ∴a ＝0，这与a ≠0矛盾，假设f(－1)＝－f(1)，则2＋|1＋a|＝－2－|1－a|这显然不可能成立(∵2＋|1＋a|>0，－2－|1－a|<0)，∴f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)， ∴当a ≠0时，函数f(x)是非奇非偶函数． 答案：非奇非偶.练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．答案：偶函数七、奇偶性的应用类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值例6: 已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.求实数a 、b 的值；解析：∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0， ∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ， ∴－3x ＋b ＝－3x －b ，∴b ＝0. 又f(2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.答案：a ＝2.b ＝0.练习1：已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数．(1)求a 、b 的值；类型八 利用奇偶性求函数值例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R 上的奇函数，f(－1)＝8，求 f(1)．解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8， ∴g(－1)＝72.又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)． ∴g(1)＝－g(－1)＝－72.∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×(－72)＋1＝－6.答案：－6.练习2: (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1C ．52 D ．5 答案：C课时八：单调性和奇偶性的综合应用一、回顾（1）单调性:同号增，异号减。

一、教案概述本教案主要介绍数学函数的奇偶性概念、奇偶性判定方法及其在解题过程中的应用。

二、教学目标1.了解数学函数的奇偶性概念。

2.掌握函数奇偶性的判定方法。

3.能够灵活运用函数奇偶性解决数学问题。

三、教学重难点1.函数奇偶性的概念及其应用。

2.奇偶函数的判定方法。

四、教学过程1.介绍函数奇偶性的概念函数奇偶性是指函数f(x)与f(-x)之间的关系。

如果f(x) = f(-x)，则函数f(x)为偶函数；如果f(x) = -f(-x)，则函数f(x)为奇函数。

2.数学函数奇偶性判定方法(1) 判断函数是否为偶函数对于一个函数f(x)，若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数。

举例：y=x^2+1，将f(-x) = (-x)^2+1 = x^2+1与f(x)比较，发现f(-x) = f(x)，y=x^2+1是一个偶函数。

(2) 判断函数是否为奇函数对于一个函数f(x)，若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。

举例：y=x^3，将f(-x) = (-x)^3 = -x^3与f(x)比较，发现f(-x) = -f(x)，y = x^3是一个奇函数。

(3) 分解函数为奇偶函数对于一个函数f(x)，如果将f(x)分解为偶函数和奇函数之和，即：f(x) = g(x) + h(x)其中，g(x)为偶函数，h(x)为奇函数。

举例：y=2x^3+3x^2-x=2x^3+2x^2+x^2-x，将方程分解为偶奇两个部分，即：g(x)=2x^3+2x^2h(x)=x^2-x因为x^2-x=x(x-1)为奇函数，g(x)为偶函数，y=2x^3+3x^2-x为奇偶函数的和。

3.应用奇偶性解决问题(1) 奇偶函数的图像对于一个偶函数，它的图像关于y轴对称；对于一个奇函数，它的图像关于原点对称。

举例：y=x^3，这是一个奇函数，它的图像如下所示：(2) 函数值的计算如果f(x)是偶函数，f(0)=f(-0)=f(-x0)=f(x0)，可以通过计算f(x)的值得到f(0)的值；如果f(x)是奇函数，f(0)=0，因为f(-x0)=-f(x0)，f(0)=0。