第2章正投影基础本章提要本章主要介绍投影法的基本概念和构成物体的基本几何元素点、线、面的投影特性、作图原理和方法；直线与直线、直线与平面的相对位置关系。
为解决求直线的实长和平面的实形的问题，还介绍了点、线、面的变换投影面的方法。
2.1投影法及三视图的形成2.1.1投影法在日常生活中人们注意到，当太阳光或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子。
投影法就源自这种自然现象。
如图2-1所示，平面P为投影面，不属于投影面的定点S为投影中心。
过空间点A由投影中心可引直线SA，SA为投射线。
投射线SA与投影面P的交点a，称作空间点A在投影面P上的投影。
同理，点b是空间点B在投影面P上的投影（注：空间点以大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示）。
由此可知，投影法是投射线通过物体向预定投影面进行投影而得到图形的方法。
图2-1投影法图图2-2中心投影法2.1.2投影法的分类投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。
1、中心投影法投射线从投影中心出发的投影法，称为中心投影法，所得到的投影称为中心投影，如图2-2所示，通过投影中心S作出△ABC在投影面P上的投影：投射线SA、SB、SC分别与投影面P交于点a、b、c，而△abc就是△ABC在投影面P上的投影。
在中心投影法中，△ABC的投影△abc的大小随投影中心S距离△ABC的远近或者△ABC 距离投影面P的远近而变化。
因此它不适合绘制机械图样。
但是，根据中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制建筑物的外观图。
2、平行投影法投射线相互平行的投影法，称为平行投影法，所得到的投影称为平行投影。
根据投射线与投影面的相对位置，平行投影法又分为：斜投影法和正投影法。
（1）斜投影法投射线倾斜于投影面时称为斜投影法，所得到的投影称为斜投影，如图2-3所示。
（2）正投影法投射线垂直于投影面时称为正投影法，所得到的投影称为正投影，如图2-4所示。
绘制工程图样主要用正投影，今后如不作特别说明，“投影”即指“正投影”。
图2-3 斜投影图2-4 正投影2.1.3平行投影的基本性质1、类似性在平行投影中，直线的投影一般还是直线。
如图2-5所示，直线AB的投影仍为直线ab。
平面图形的投影一般仍为原图形的类似形，如图2-4所示，三角形的投影仍为三角形。
2、定比性若点在直线上，则点的投影必在该线的同面投影上，且该点分线段之比，投影后保持不变。
如图2-6所示，点K在直线AB上，则点K在投影面P上的投影必落在ab上，若点K 分AB成定比AK:KB，则点K的投影k亦分ab成相同比例，即ak:kb=AK:KB。
图2-5类似性图2-6定比性3、实形性当直线或平面平行于投影面时，其投影反映原直线或原平面图形的实形。
投影的这种性质，称为实形性，如图2-7所示。
4、积聚性当直线或平面与投影线平行时，其投影积聚成一点或直线。
如图2-8所示，这种投影性质称为投影的积聚性。
图2-7实形性图2-8积聚性5、平行性在空间互相平行的两直线其投影仍互相平行。
如图2-9所示，空间两直线AB∥CD，它们在P面上的投影ab∥cd。
图2-9平行性图2-10 三投影面体系的建立2.1.4三视图的形成一般机械工程图样大都是采用正投影法绘制的正投影图。
用正投影法所绘制的图形称为视图。
1、三投影面体系的建立如图2-10所示，三投影面体系由三个互相垂直的投影面组成。
其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。
在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线为OZ轴。
三条投影轴的交点为原点O。
三个投影面把空间分成八个部分，称为八个分角。
分角分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，如图2-10所示。
2、三视图的形成如图2-11（a）所示，将物体放在三投影面体系内，分别向三个投影面投影，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90º，W面绕OZ轴向右旋转90º，与V面处于同一平面上，如图2-11（b）和2-11（c）所示。
这样便得到的物体的三视图。
V面上的视图称为主视图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图。
画图时，投影面的边框及投影轴不必画出，如图2-11（d）所示。
（a）（b）（c）（d）图2-11三视图的形成图2-12三视图中的相对位置关系3、三视图中的相对位置关系主视图反映左右、上下关系，俯视图反映左右、前后关系，左视图反映前后、上下关系如图2-12所示。
2.2点的投影点是最基本的几何元素，一切几何形体都可看成是点的集合。
因此，我们应从点的投影出发开始研究形体的投影。
2.2.1点在三投影面体系中的投影如图2-13（a）所示，第一分角内有一点A，将其分别向H、V、W面投影，得到水平投影a、正面投影aˊ和侧面投影a″。
移去空间点A，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90º，W面绕OZ轴向右旋转90º，H、W面与V面处于同一平面，即得到点A的三面投影图，如图2-13（b）所示。
图中OY轴被假想分为两条，随H面旋转的称为OY H轴，随W面旋转的称为OY W轴。
投影轴中不必画出投影面的边界，如图2-13（c）所示。
（a）（b）（c）图2-13 点在三投影面体系中的投影2.2.2点的直角坐标与三面投影规律如图2-10所示，若将三投影面体系当作直角坐标系，则投影面V、H、W相当于坐标面，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z，原点O相当于坐标原点O。
原点把每一个轴分成两部分，并规定：OX轴从O向左为正，向右为负；OY轴向前为正，向后为负；OZ轴向上为正，向下为负。
因此，第一分角内的点，其坐标值均为正。
如图2-13（b）所示，点A的三面投影与其坐标间的关系如下：1、空间点的任一投影，均反映了该点的某两个坐标值，即a(x A,y A), a＇(x A,z A), a″(y A, z A)。
2、空间点的每一个坐标值，反映了该点到某投影面的距离，即：x A=aa H Y=a′a Z =A到W面的距离；y A=aa X=a″a Z = A到V面的距离；z A=a′a X= a″a W Y= A到H面的距离。
由上可知，点A的任意两个投影反映了点的三个坐标值。
有了点A的一组坐标（x A， y A，z A），就能唯一确定该点的三面投影（a ，a′，a″）。
根据以上分析，可以得出点在三投影面体系中的投影规律：1、点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴；2、点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴；3、点的水平投影和侧面投影具有相同的y坐标。
2.2.3两点间的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。
根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。
两点中，x坐标值大的在左，；y坐标值大的在前；z坐标值大的在上。
图2-14（a）中，x A>x B，则点A在点B之左；y A>y B，则点A在点B之前；z A<z B，则点A在点B之下。
即点A在点B之左、前、下方，如图2-14（b）所示。
（a）（b）图2-14 两点间的相对位置2.2.4重影点属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。
空间的这些点，称为该投影面的重影点。
在图2-15（a）中，空间两点A、B属于对H面的一条投射线，则点A、B称为H面的重影点，其水平投影重合为一点a(b)。
同理，点C、D称为对V 面的重影点，其正面投影重合为一点c′(d′)。
（a）（b）图2-15 重影点当空间两点在某投影面上的投影重合时，其中必有一点的投影遮挡着另一点的投影，这就出现了重影点的可见性问题。
在图2-15（b）中，点A、B为H面的重影点，由于z A>z B，点A在点B的上方，故a可见，b不可见（点的不可见投影加括号表示）。
同理，点C、D为V面的重影点，由于y C>y D，点C在点D的前方，故c′可见，d′不可见。
显然，重影点是两个坐标值相等，第三个坐标值不等的空间点。
因此，判断重影点的可见性，是根据它们不等的唯一坐标值来确定的，即坐标值大的可见，坐标值小的不可见。
2.3直线的投影2.3.1直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下，可积聚成一点。
（即前面2.1.3平行投影的基本性质中的类似性和积聚性）根据初等几何知识：两点确定一条直线。
我们用直线段的投影表示直线的投影，即作出直线段上两端点的投影，则两点的同面投影连线为直线的投影，如图2-16所示。
另外，已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可画出该直线的投影。
（a）（b）（c）图2-16 直线的投影2.3.2各种位置直线及其投影特性根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：1、投影面平行线；2、投影面垂直线；3、一般位置直线。
前两类统称为特殊位置直线。
直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W 的倾角，分别用α、β、γ表示。
1、投影面平行线及其投影特性平行于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。
它又分为三种：（1）水平线（只∥H面）；（2）正平线（只∥V面）；（3）侧平线（只∥W面）。
（见表2-1所示）下面以水平线为例介绍其投影特性：1）水平线的正面投影平行OX轴，侧面投影平行于OY轴，且均小于实长。
因为AB上各点与H面等距，即z坐标相等，所以 a′b′∥OX,a″b″∥OY。
同时，a′b′=AB•cosß<AB，a″b″=AB•cosγ<AB。
2）水平线的水平投影反映直线实长。
因为ABba是矩形，ab∥AB，所以ab=AB。
3）水平线的水平投影与OX、OY轴的夹角分别反映该直线对V面、W面的倾角β、γ。
因为AB∥ab，a′b′∥OX，a″b″∥OY，所以ab与OX、OY的夹角即为AB对V面、W面的真实夹角β、γ。
同理，也可得出并可证明正平线和侧平线的投影特性。
由表2-1可概括出投影面平行线的投影特性：1）在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，但不反映实长。
2）在它所平行的投影面上的投影反映实长，且与投影轴的夹角，分别反映该直线对另两个投影面的真实夹角。
垂直于一个投影面，而与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。
它分为三种：（1）铅垂线（⊥H面）；（2）正垂线（⊥V面）；（3）侧垂线（⊥W面）（见表2-2所示）下面以铅垂线为例，介绍其投影特性：1）由于AB垂直H面，所以A、B两点对H面的投影积聚为一点；2）AB垂直H面，必平行V、W面，所以AB在V、W面上的投影均反映实长；3）直线AB垂直H面，必垂直OX、OY轴，所以a′b′⊥OX轴，a″b″⊥OY W轴。
同理，也可证明正垂线和侧垂线的投影特性。
