江苏省南京市、盐城市2016届高三第二次模拟考试 数学 Word版含答案

英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分120分，考试用时120分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where are the speakers?A. At home.B.In a restaurant.C. In a hotel.2. What does the boy mean?A. Nancy has left the TV on.B. He forgot to turn off the TV.C. Nancy remembered turning off the TV.3. What does the woman advise the man to do?A. Go to the post office.B. Call the post office.C. Contact the mail carrier.4. Which word can best describe the man?A. Hardworking.B. Dishonest.C. Humorous.5. What can we learn from the conversation?A. The man is unhappy.B. The woman is very helpful.C. Mr. Barkley is disappointed.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1． {x |－2＜x ＜1} 2．－2 3．1136 4． 9 5． 5 6． 19 7． 8 38．－π12 9． [－4，2] 10．y ＝±2x 11．3 12． [2－22，2＋22]13． 12 14．a ＜0或a ≥1e二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为α∈(0，π2），所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin (α＋π4)＝1－cos 2(α＋π4)＝255，……………………………………………………………3分所以tan(α＋π4)＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2．………………………………………………………………………6分（2）因为sin(2α＋π2)＝sin[2(α＋π4)]＝2 sin (α＋π4) cos (α＋π4)＝45，…………………………………9分cos(2α＋π2)＝cos[2(α＋π4)]＝2 cos 2(α＋π4)－1＝－35，………………………………………………12分所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cos π6－cos(2α＋π2)sin π6＝43＋310．………………14分16．(本小题满分14分)ANBPMC证：（1）因为M ，N 分别为AB ，P A 的中点，所以MN ∥PB ． …………………………………2分 因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以PB ∥平面MNC . ……………………………………4分 （2）因为P A ⊥PB ，MN ∥PB ，所以P A ⊥MN . ……………6分因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . ……………8分 因为平面P AB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ， 所以CM ⊥平面P AB ． …………………………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以CM ⊥P A ．因为P A ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN ∩CM ＝M ，所以P A ⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ． 设A (a ，0)，B (0，b )(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 则直线AB 方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab |b 2＋a 2＝1．……………4分化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2．……………6分因此AB ＝ a 2＋b 2＝ (a ＋b )2－2ab ＝ (a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝ (a ＋b －2)2．………………8分因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤(a +b 2)2，解得0＜a ＋b ≤4－22，或a ＋b ≥4＋22．因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22，………………………………………12分所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2-2时取等号，所以AB 最小值为22－2，此时a ＝b ＝2-2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分解法二：如图，连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF ．设∠DCE ＝θ，θ∈(0，π2)，则∠DCF ＝π2－θ．在直角三角形CDA 中，AD ＝tan θ2．………………4分在直角三角形CDB 中，BD ＝tan(π4－θ2)，………6分所以AB ＝AD ＋BD ＝tan θ2＋tan(π4－θ2)＝tan θ2＋1－tanθ2 1＋tanθ2．………………………8分令t ＝tan θ2，0＜t ＜1，则AB ＝f (t )＝t ＋1－t 1＋t ＝＝t ＋1＋21＋t－2≥22－2，当且仅当t ＝2－1时取等号．………………………12分所以AB 最小值为22－2，此时A ，B 两点离两条道路交点的距离是1－(2－1)＝2－2．答：当A ，B 两点离道路的的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分18．(本小题满分16分)解：（1）设C (x 0，y 0)，则AB →＝(a ，a 3)，BC →＝(x 0，y 0－a 3)．因为AB →＝32BC →，所以(a ，a 3)＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎨⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，………………………………………………………2分代入椭圆方程得a 2＝95b 2．因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23．………………………………………4分（2）①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1， 设Q (x 0，y 0)，则x 029＋y 025＝1．……① ………………………………………………6分因为点P (－3，0)，所以PQ 中点为(x 0－32，y 02)，因为直线l 过点(0，－67)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以y 02＋67x 0－32·y 0x 0＋3＝－1， ………………………………………………8分化简得x 02＝9－y 02－127y 0．……②将②代入①化简得y 02－157y 0＝0，解得y 0＝0（舍），或y 0＝157．将y 0＝157代入①得x 0＝±67，所以Q 为(±67，157)，所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或－95，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋67或y ＝－95x ＋67．……………………………………………10分②设PQ ：y ＝kx +m ，则直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ．将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为N ，x N ＝x 1＋x 22＝－9km 5+9k 2，代入直线PQ 的方程得y N＝5m 5+9k 2，……………………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5． ……② 又因为△＝(18km )2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0． ………………………………………………14分 将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，所以－113＜k ＜113，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(－113，0)∪(0，113)．综上所述，点D 横坐标的取值范围为(－113，0)∪(0，113)．………………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：因为函数f (x )＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f (x i ＋1)＜f (x i )，所以|f (x i ＋1)－f (x i )|＝ f (x i )－f (x i ＋1)．S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝f (－1)－f (1)＝4． …………………………………………2分 (2) 解：由f ′(x )＝1－xe x＝0，得x ＝1． 当x ＜1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)为增函数； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，＋∞)为减函数；所以f (x )在x ＝1时取极大值1e ． …………………………………………4分设x m ≤1＜x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，则S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (0)|＋…＋|f (x m )－f (x m －1)|＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋|f (x m ＋2)－f (x m ＋1)|＋…＋|f (2)－f (x n －1)| ＝[f (x 1)－f (0)]＋…＋[f (x m )－f (x m －1)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (x m ＋2)]＋…＋[f (x n －1)－f (2)] ＝[f (x m )－f (0)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (2)]． …………………………………………6分 因为|f (x m ＋1)－f (x m )|≤[f (1)－f (x m )]＋[f (1)－f (x m ＋1)]，当x m ＝1时取等号， 所以S ≤f (x m )－f (0)＋f (1)－f (x m )＋f (1)－f (x m ＋1)＋f (x m ＋1)－f (2) ＝2 f (1)－f (0)－f (2)＝2(e －1)e 2.所以S 的最大值为2(e －1)e 2． …………………………………………8分（3）证明：f ′(x )＝kx －x ＝k －x 2x，x ∈[1，e]．①当k ≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为增函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 1)－f (x 0)]+[ f (x 2)－f (x 1)]+…+[ f (x n )－f (x n -1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (e)－f (1)＝k +12－12e 2．因此，存在正数A ＝k +12－12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．…………………10分②当k ≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为减函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝ f (1)－f (e)＝ 12e 2－k －12．因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．…………………12分③当1＜k ＜e 2时，由f ′(x )＝0，得x ＝k ；当f ′(x )＞0，得1≤x ＜k ；当f ′(x )＜0，得k ＜x ≤e ，因此f (x )在[1，k )上为增函数，在(k ，e]上为减函数． 设x m ≤k ＜x m +1，m ∈N ，m ≤n －1则S ＝n －1∑i ＝1|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (x 0)|+…+|f (x m )－f (x m －1)|+ |f (x m +1)－f (x m )|+ |f (x m +2)－f (x m +1)|+…+|f (x n )－f (x n －1)| ＝f (x 1)－f (x 0)+…+f (x m )－f (x m －1) + |f (x m +1)－f (x m )|+ f (x m +1)－f (x m +2) +…+f (x n －1)－f (x n ) ＝f (x m )－f (x 0) + |f (x m +1)－f (x m )| + f (x m +1)－f (x n )≤f (x m )－f (x 0) + f (x m +1)－f (x n )+ f (k )－f (x m +1)+ f (k )－f (x m )＝2 f (k )－f (x 0)－f (x n )＝k ln k －k －[－12+k －12e 2]＝k ln k －2k ＋12+12e 2．因此，存在正数A ＝k ln k －2k ＋12+12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．综上，对于给定的实数k ，函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e]上具有性质V ．……………16分20．(本小题满分16分)解：（1）由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2．………………………………………………………2分由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2．又p ≠0，所以p ＝－12． …………………………………………………………3分（2）由a n＝(－1)n S n＋(－12)n，得⎩⎨⎧a n＝(－1)n S n＋(－12)n， ……①a n ＋1＝－(－1)nS n ＋1＋(－12)n ＋1， ……②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×(－12)n ． …………………………………………5分当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×(12)n ，所以a n ＝－(12)n ＋1． ………………………………………………………………7分当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×(12)n ，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×(12)n ＝2×(12)n ＋2＋12×(12)n ＝(12)n ，所以a n ＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数， n ∈N *， 12n ， n 为偶数，n ∈N *． ………………………………………………9分（3）A n ＝{－14n ，14n }，由于b 1≠c 1，则b 1 与c 1一正一负，不妨设b 1＞0，则b 1＝14，c 1＝－14．则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－(242＋343+…＋n4n )．……………………………………………12分设S ＝242＋343+…＋n 4n ，则14S ＝243＋…＋n －14n +n 4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143+…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－(14)n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1＜748．所以S ＜748×43＝736，所以P n ≥14－(242＋143+…＋14n )＞14－736＝118＞0．………………………14分因为Q n = c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736 ＝－118＜0，所以P n≠Q n．………………………………………………………………16分南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2016.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD ．因为AB 为直径，所以BD ⊥AC ． 因为AB ＝BC ，所以AD ＝DC ．……………………4分 因为DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以DE ∥AB ，…………6分 所以CE ＝EB ．………………………………………8分 因为AB 是直径，AB ⊥BC ，所以BC 是圆O 的切线，所以BE 2＝EF ⋅EA ，即BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．…………………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 a b －2 ⎣⎡⎦⎤23＝⎣⎡⎦⎤34，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，……………………………4分所以a ＝－1，b ＝5．…………………………………………………………………………………6分（2）由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1 5 －2．由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1 5 －3．……………………8分所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 －5 4． ……………………………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由ρsin(π3－θ)=32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)=32，即32x －12y=32，化简得y=3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y=3x －3．………………………………2分由(x 2)2+(y 3)2=cos 2t +sin 2t =1，得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1．……………………………4分 A（2）联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y=3x －3， x 24+y 23=1，消去y ，得x 24+(x －1)2=1，化简得5x 2－8x =0，解得x 1=0，x 2=85， ………………………………8分所以A (0，－3)，B (85，353)，则AB =(0－85)2+(－3－353)2=165． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，解得－3＜x ≤－2； ………………………………………………3分 当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； …………………………………………………6分 当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2,解得x ≥2； ………………………………………………………9分 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}．……………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P ＝C 1323(13)2(12)3＋C 23(23)2(13)C 13(12)3＋C 33(23)3C 23(12)3＝1136．……………………………………………4分（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为………………………………………………………………………………………8分所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．…………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为a k ＝(－1)k C kn ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12( C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1024．………………………………………………3分（2）b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1 k ＋1n －kC k ＋1n ＝(－1)k ＋1 C kn ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1 C k n ＝ (－1)k ＋1 (C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1 C k －1n －1＋(－1)k ＋1 C k n －1＝(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)kC k n －1． ……………………………………7分当m ＝0时，|S m C m n －1 |＝|b 0C 0n －1|＝1． ……………………………………8分当1≤m ≤n －1时，S m ＝－1＋k =1∑m[(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)mC m n －1，所以|S mC m n －1|＝1．综上，|S mC m n －1|＝1． ……………………………………10分。

2016年江苏南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 已知复数，那么 ______．3. 已知书架上有本数学书，本物理书，若从中随机取出本，则取出的本书都是数学书的概率为______．4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．S 1For I From 1 To 7 Step 2S S+IEed ForPrint S5. 某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生抽取人，其中从高一年级学生中抽取人，则从高三年级学生中抽取的人数为______．6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上．若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为______．7. 设，满足约束条件则目标函数的最大值为______．8. 若某个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为______．9. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的值为______．10. 已知等比数列的前项和为，且．若，则的最小值为______．11. 如图，在中，若，，，则的值为______．12. 在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相交于，两点．若恰好是线段的中点，则直线的方程为______．13. 已知是定义在上的奇函数，且，函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______．14. 若函数的图象上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 设函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围．16. 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．17. 如图，，是两个垃圾中转站，在的正东方向处，直线的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂．垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（，，可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，且比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民生活区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）．现估测得，两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为和，问：垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?18. 如图，在平面直角坐标系中，设是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，直线，的斜率分别记为，．（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程．（2）若．①求证：；②求的最大值．19. 已知函数的图象在处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；（3）若函数的两个零点为，，试判断的正负，并给出证明．20. 设数列共有项，记该数列前项，，，中的最大项为，该数列后项，，，中的最小项为，．（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是逐项递增的，并给出证明．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）由图象知，，又，，所以，得．所以，将点代入，得，即，又，所以．所以．（2）当时，，所以，即．16. （1）在中，因为是的中点，是的中点，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面．而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面．又面，所以面面．17. 方法一：由条件①得，．设，，则，所以点到直线的距离所以当，即时，取得最大值．即垃圾发电厂的选址应满足，．方法二：如图，以所在直线为轴、线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，，．由条件①得，．设，则，化简得，，即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆且位于轴上方的半圆，则当时，点到直线的距离最大，且最大值为．故点的选址应满足在上述坐标系中，其坐标为即可．18. （1）因为椭圆的右焦点坐标为，所以圆心的坐标为，所以圆的方程为．（2）①因为圆与直线相切，，即．同理，有，所以，时方程的两个根，所以．②设点的坐标为，点的坐标为，联立解得，．同理，，所以当且仅当时取等号，所以的最大值为．19. （1）由题意得，，因为函数在处的切线方程为，所以，得．（2）由（1）知对任意的恒成立，所以，即对任意的恒成立，所以．又不等式整理可得，令，所以．令，得．当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减．所以．综上所述，实数的取值范围是．（3）结论是 .证明：由题意知函数，所以，易得函数在上单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可．因为，是函数的两个零点，所以两式相减得．不妨令，则，则，所以，，即证．即证明．因为．所以在上单调递增，所以．综上所述，函数总满足成立．20. （1）因为是逐项递增的，所以，，所以，．（2）若是逐项递减的，则，，所以，不满足，所以是逐项递增的．则，，所以，即，，所以是公差为的等差数列，，．（3）构造，其中，．下面证明数列满足题意：因为，所以数列是逐项递增的，所以，，所以，．因为，所以数列是逐项递增的，满足题意．。

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。

1。

设复数z 满足()12i 3z +⋅=（i 为虚数单位)，则复数z 的实部为 ▲ ．【答案】35考点：复数概念与运算2.设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0AB =,则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1 【解析】试题分析：因为10a a+≠，所以10,1a a -== 考点：集合运算3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．开始k >9输出k结束k 0k 2k +k 2Y N【答案】17 【解析】试题分析:第一次循环，1k =,第二次循环，3k =，第三次循环，179k =>，结束循环，输出17.k = 考点：循环结构流程图4.为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试,其使用寿命（单位：h ）如下表：使用寿命 [)500,700 [)700,900 [)900,1100 [)1100,1300 []1300,1500只数5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h 的灯泡只数是 ▲ ． 【答案】1700 【解析】试题分析：由题意得：25350001700100+⨯=考点：频数与总数关系5。

电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是:立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是 ▲ ． 【答案】0.4考点：古典概型概率6.已知函数()()log af x x b =+(0,1,R a a b >≠∈）的图像如图所示，则a b +的值是▲ ．f x (【答案】9.2 【解析】试题分析:由题意得()()21930,02,31,4,.22f f b b a b a a b --==-⇒-==⇒==⇒+= 考点:对数式7.设函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π<<）,当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意得21232πππωω⋅+=⇒= 考点：三角函数性质 8。

2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{﹣1，2，5}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝．3．（5分）书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．4．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为．5．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．7．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x﹣y的最小值为．8．（5分）设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为．9．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则•的值为．12．（5分）过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是．14．（5分）设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．16．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O 是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．17．（14分）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2＝1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r＝，①求证：k1k2＝﹣；②求OP•OQ的最大值．19．（16分）已知函数f（x）＝在x＝0处的切线方程为y＝x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，试判断g′（）的正负，并说明理由．20．（16分）设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1＝1，r i＝﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．选作题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲（满分10分）21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC＝4，DE＝3，求BD的长．选修4-2：矩阵-变换22．（10分）设矩阵的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2＝1，求曲线C的方程．选修：4-4:坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A的极坐标为（2，﹣），圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．选修：4-5：不等式选讲24．已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1．求证：+++≤2．[必做题]（第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ．（1）若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．26．（10分）设集合M＝{1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n．（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之．2016年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{﹣1，2，5}，则A∩B＝{﹣1}．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，B＝{﹣1，2，5}，∴A∩B＝{﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝．【解答】解：复数z＝＝＝，则|z|＝＝．故答案为：．3．（5分）书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为．【解答】解：∵书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，基本事件总数n＝＝10，则取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数m＝，∴取出的两本书都是数学书的概率p＝．故选为：．4．（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为17．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1+1+3+5+7的值，所以S＝1+1+3+5+7＝17．故答案为：17．5．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得＝，解得x＝18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18＝17人，故答案为：17．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P（1，3），则其焦点到准线的距离为．【解答】解：由题意，可设抛物线的标准方程为y2＝2px，因为曲线C经过点P（1，3），所以p＝，所以其焦点到准线的距离为．故答案为：．7．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z＝x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣y，得y＝x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y＝x﹣z，当直线经过点A时，此时直线y＝x﹣z截距最大，z最小．由，得，此时z min＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为2．【解答】解：已知正四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SB＝，过S作SE⊥底面ABCD，垂足为E，过E作EF⊥BC，交BC于F，连结SF，则EF＝BF＝，SF＝＝，SE＝＝2，＝＝＝8，∴V S﹣ABCD设该正方体的棱长为a，∵一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，∴a3＝8，解得a＝2．故答案为：2．9．（5分）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则边c＝7．【解答】解：∵cos B＝，a＝5，A＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝4，∴由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即：32＝25+c2﹣6c，解得：c＝7或﹣1（舍去）．故答案为：7．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为20．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q＞0，q≠1．∵S6﹣2S3＝5，∴﹣＝5．∴＝5．∴q＞1．则S9﹣S6＝﹣＝•q6＝＝5+10≥5×+10＝20，当且仅当q3＝2，即q ＝时取等号．∴S9﹣S6的最小值为20．故答案为：20．11．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则•的值为﹣2．【解答】解：∵＝﹣，∴•＝（+）•，＝（+）•，＝（+﹣）（﹣），＝（+）（﹣），＝（•+﹣2），＝（3×3×+32﹣2×32），＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（5分）过点P（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝5相交于A，B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直线l的方程为x±3y+4＝0．【解答】解：由割线定理，可得（PC﹣）（PC+）＝P A•PB，∴20＝2P A2，∴P A2＝10设A（x，y），则（x+4）2+y2＝10，与圆C：（x﹣1）2+y2＝5，联立可得x＝﹣1，y＝±1∴直线l的方程为x±3y+4＝0．故答案为：x±3y+4＝0．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，设g（x）＝．若函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是[﹣，]．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x+，∴f（0）＝0，即f（0）＝1+m＝0，得m＝﹣1，则f（x）＝2x﹣，则g（x）＝，则当x＞1时，函数为增函数，且当x→1时，g（x）→＝2﹣＝，当x≤1时，函数为减函数，且g（x）≥g（1）＝﹣（）＝﹣2＝﹣，由y＝g（x）﹣t＝0得g（x）＝t，作出函数g（x）和y＝t的图象如图：要使函数y＝g（x）﹣t有且只有一个零点，则函数g（x）与y＝t只有一个交点，则﹣≤t≤，故答案为：[﹣，]14．（5分）设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【解答】解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•＝0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）＝0（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q．若0＜t＜e，则f（t）＝﹣t3+t2代入（*）式得：﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0即t4﹣t2+1＝0，而此方程无解，因此t≥e，此时f（t）＝alnt，代入（*）式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）＝0，即＝（t+1）lnt（**）令h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），则h′（x）＝lnx+1+＞0，∴h（x）在[e，+∞）上单调递增，∵t≥e∴h（t）≥h（e）＝e+1，∴h（t）的取值范围是[e+1，+∞）．∴对于0＜a≤，方程（**）总有解，即方程（*）总有解．故答案为：（0，]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．【解答】解：（1）由图象知，A＝2，…（2分）又＝＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1．…（4分）所以f（x）＝2sin（x+φ），将点（，2）代入，得+φ＝2k（k∈Z），即φ＝+2kπ（k∈Z），又﹣＜φ＜，所以，φ＝．…（6分）所以f（x）＝2sin（x+）．…（8分）（2）当x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]，…（10分）所以sin（x+）∈[﹣，1]，即f（x）∈[﹣，2]．…（14分）16．（14分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O 是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）在△A1BC中，因为O是A1C的中点，M是BC的中点，所以OM∥A1B，…（4分）又OM⊄平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以OM∥平面ABB1A1．…（6分）（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，所以CC1⊥BC，又∠ACB＝，即BC⊥AC，而CC1，AC⊂面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以BC⊥面ACC1A1，…（8分）而AC1⊂面ACC1A1，所以BC⊥AC1，又ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1，而BC，A1C⊂面A1BC，且BC∩A1C＝C，所以AC1⊥面A1BC，…（12分）又AC1⊂面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC．…（14分）17．（14分）如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P．垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大）．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【解答】解：由条件①，得＝＝，∵P A＝5x，∴PB＝3x，则cos∠P AB＝＝+，由同角的平方关系可得sin∠P AB＝，所以点P到直线AB的距离h＝P A sin∠P AB＝5x•＝，∵cos∠P AB≤1，∴+≤1，∴2≤x≤8，所以当x2＝34，即x＝时，h取得最大值15千米．即选址应满足P A＝5千米，PB＝3千米．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2＝1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r＝，①求证：k1k2＝﹣；②求OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x＝，代入+y2＝1，可得y ＝±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2＝；（2）因为直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，与圆R相切，所以直线OP：y＝k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣＝0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣＝0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣＝0的两个不相等的实数根，∴k1k2＝，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2＝1﹣，所以k1k2＝＝﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1＝0，所以+1＝0，即y12y22＝x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22＝（1﹣）（1﹣）＝x12x22，整理得x12+x22＝4，所以y12+y22＝1所以OP2+OQ2＝5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2＝5，综上：OP2+OQ2＝5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）＝2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．19．（16分）已知函数f（x）＝在x＝0处的切线方程为y＝x．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求k的取值范围；（3）若函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，试判断g′（）的正负，并说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，在x＝0处的切线斜率为，由切线的方程y＝x，可得a＝1；（2）由题意可得x2﹣2x＜k＜+x2﹣2x在x∈（0，2）恒成立，由x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1∈（﹣1，0），可得k≥0；由h（x）＝+x2﹣2x的导数为h′（x）＝（x﹣1）（2+），可得0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有h（x）在x＝1处取得最小值，且为e﹣1，则k＜e﹣1．综上可得k的范围是[0，e﹣1）；（3）函数g（x）＝lnf（x）﹣b的两个零点为x1，x2，即为b＝lnx﹣x有两个零点，y＝lnx﹣x的导数为y′＝﹣1，当x＞1时，y′＜0，函数递减；0＜x＜1时，y′＞0，函数递增．即有x＝1处取得最大值，且为﹣1．画出y＝b和y＝lnx﹣x的图象，可得＞1，g（x）＝lnx﹣x﹣b的导数为g′（x）＝﹣1，g′（）＝﹣1＜0，则g′（）为负的．另解：由题意可得g（x）＝lnx﹣x﹣b，g′（x）＝﹣1＝，可得g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，只需证＞1即可．由x1，x2为g（x）的两个零点，可得x1+b＝lnx1，x2+b＝lnx2，相减可得，x2﹣x1＝ln，令t＝＞1，则x2＝tx1，tx1﹣x1＝lnt，则x1＝，x2＝，即证lnt＞2，即证φ（t）＝lnt﹣2•＞0，φ′（t）＝﹣＝＞0，φ（t）在（1，+∞）递增，可得φ（t）＞φ（1）＝0，综上可得，g（x）满足g′（）＜0．20．（16分）设数列{a n}共有m（m≥3）项，记该数列前i项a1，a2，…a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，m﹣1）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1＝1，r i＝﹣2，求数列{a n}的通项公式；（3）试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由．【解答】解：（1）因为a n＝2n单调递增，所以A i＝2i，B i＝2i+1，所以r i＝A i﹣B i＝﹣2i，1≤i≤m﹣1；（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i＝A i﹣B i＝﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i＝1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i＝a i，B i＝a i+1，所以r i＝a i﹣a i+1＝﹣2，即a i+1﹣a i＝2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n＝n﹣（）n，其中b n＝n，c n＝﹣（）n，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n＝n﹣（）n，所以数列{a n}单调递增，所以A i＝a i＝i﹣（）i，B i＝a i+1＝i+1﹣（）i+1，所以r i＝a i﹣a i+1＝﹣1﹣（）i+1，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i＝[﹣1﹣（）i+2]﹣[﹣1﹣（）i+1]＝（）i+2＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）选作题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内选修4-1：几何证明选讲（满分10分）21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC＝4，DE＝3，求BD的长．【解答】解：因为CD与⊙O相切于点D，所以∠CDA＝∠DBA，…（2分）又因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB＝90°．又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，所以∠EDA＝∠DBA，所以∠EDA＝∠CDA．…（4分）又∠ACD＝∠AED＝90°，AD＝AD，所以△ACD≌△AED．所以AE＝AC＝4，所以AD＝5，…（6分）又＝，所以BD＝．…（10分）选修4-2：矩阵-变换22．（10分）设矩阵的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2＝1，求曲线C的方程．【解答】解：由题意，矩阵M的特征多项式f（λ）＝（λ﹣a）（λ﹣1），因矩阵M有一个特征值为2，f（2）＝0，所以a＝2．…（4分）所以M＝＝，即，代入方程x2+y2＝1，得（2x）2+（2x+y）2＝1，即曲线C的方程为8x2+4xy+y2＝1．…（10分）选修：4-4:坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知点A的极坐标为（2，﹣），圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，试判断点A和圆E的位置关系．【解答】解：∵点A的极坐标为（2，﹣），∴点A的直角坐标为（2，﹣2），…（2分）∵圆E的极坐标方程为ρ＝4cosθ+4sinθ，∴圆E的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，…（6分）则点A（2，﹣2）到圆心E（2，2）的距离d＝＝4＞r＝2，所以点A在圆E外．…（10分）选修：4-5：不等式选讲24．已知正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1．求证：+++≤2．【解答】证明：运用分析法证明．要证+++≤2，由正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，即证（+++）2≤24，即有（+++）2≤4（1+2a+1+2b+1+2c+1+2d），由柯西不等式可得，上式显然成立．则原不等式成立．[必做题]（第25、26题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ．（1）若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．【解答】解：（1）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，4，2），…（2分）当λ＝1时，D为BC的中点，∴D（1，2，0），＝（1，﹣2，2），＝（0，4，0），＝（1，2，﹣2），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，0，1），又cos＜＞＝＝＝，∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为．…（6分）（2）∵＝，∴D（，，0），∴＝（0，4，0），＝（，，﹣2），设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（λ+1，0，1）．…（8分）又平面A1B1C1的一个法向量为＝（0，0，1），∵二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，∴|cos＜＞|＝||＝＝，解得或（不合题意，舍去），∴实数λ的值为．…（10分）26．（10分）设集合M＝{1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n．（1）求，，，的值；（2）猜想的表达式，并证明之．【解答】解：（1）当n＝3时，M＝{1，2，3），S3＝1，T3＝2，＝2，当n＝4时，M＝{1，2，3，4），S4＝4，T4＝2+2+3+3＝10，＝，＝3，＝（2）猜想＝．下用数学归纳法证明之．证明：①当n＝3时，由（1）知猜想成立；②假设当n＝k（k≥3）时，猜想成立，即＝，而S k＝∁k3，所以得T k＝∁k3，则当n＝k+1时，易知S k+1＝C k+13，而当集合M从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k，k+1}时，T k+1在Tk的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和（k﹣1）个k，所以T k+1＝T k+2×1+3×2+4×3+…+k（k﹣1），＝∁k3+2（C22+C32+C42+…+∁k2），＝∁k3+2（C33+C32+C42+…+∁k2），＝C k+13+2C k+13，＝C k+13，＝S k+1，即＝．即所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．。

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试数 学 2016.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．设集合A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则A ∪B ＝▲________． 2．若复数z ＝(1＋m i)(2－i)(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ． 3．将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是 ▲ ．4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若 一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为▲________．5．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．6．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10等（第5题图）（第4题图）于 ▲ ．7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是▲________．8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且它的图象过点(－π12，－2)，则φ的值为▲________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是▲________．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p ＞0) 的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A ，B 两点(A ，B 异于坐标原点O )．若直线AB 恰好过点F ，则双曲线的渐近线方程是▲________.11．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为▲________．12．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为▲________． 13．已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则1a －1b 的最大值是▲________．14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为▲________．（第7题图）ABCA 1B 1FC 1EANBPMC二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知α为锐角，cos (α＋π4)＝55．（1）求tan(α＋π4)的值；（2）求sin(2α＋π3)的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，P A ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，P A 的中点． （1）求证：PB ∥平面MNC ；（2）若AC ＝BC ，求证：P A ⊥平面MNC .17．(本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？（第16题图）18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点C 在椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．若点A (－a ，0)，B (0，a3)，且AB →＝32BC →．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的焦距为4，P ，Q 是椭圆M 上不同的两点，线段PQ 的垂直平分线为直线l ，且直线l 不与y 轴重合．①若点P (－3，0)，直线l 过点(0，－67)，求直线l 的方程；②若直线l 过点(0，－1) ，且与x 轴的交点为D ，求D 点横坐标的取值范围．19．(本小题满分16分)对于函数f (x )，在给定区间[a ，b ]内任取n ＋1(n ≥2，n ∈N *)个数x 0，x 1，x 2，…，x n ，使得a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b ，记S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|．若存在与n 及x i (i ≤n ，i ∈N )均无关的正数A ，使得S ≤A 恒成立，则称f (x )在区间[a ，b ]上具有性质V ． （1）若函数f (x )＝－2x ＋1，给定区间为[－1，1]，求S 的值；（2）若函数f (x )＝xex ，给定区间为[0，2]，求S 的最大值；（3）对于给定的实数k ，求证：函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e ]上具有性质V ．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数，p ≠0)． （1）求p 的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）设集合A n ＝{a 2n －1，a 2n }，且b n ，c n ∈A n ，记数列{nb n }，{nc n }的前n 项和分别为P n ，Q n ． 若b 1≠c 1，求证：对任意n ∈N *，P n ≠Q n ．南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2016.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ．以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，连接AE 交⊙O 于点F ．求证：BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2 所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．（1）求a ，b 的值．（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin(π3－θ)=32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数) ．（1）求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．23．（本小题满分10分）设(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2．（1）设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；（2）设b k ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求|S mC m n －1 | 的值．南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1． {x |－2＜x ＜1} 2．－2 3．1136 4． 9 5． 5 6． 19 7． 8 38．－π12 9． [－4，2] 10．y ＝±2x 11．3 12． [2－22，2＋22]13． 12 14．a ＜0或a ≥1e二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为α∈(0，π2），所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin (α＋π4)＝1－cos 2(α＋π4)＝255，………………………………………………………3分所以tan(α＋π4)＝sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2．……………………………………………………………………6分（2）因为sin(2α＋π2)＝sin[2(α＋π4)]＝2 sin (α＋π4) cos (α＋π4)＝45，………………………………9分cos(2α＋π2)＝cos[2(α＋π4)]＝2 cos 2(α＋π4)－1＝－35，……………………………………………12分所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cos π6－cos(2α＋π2)sin π6＝43＋310．……………14分ANBPMC16．(本小题满分14分)证：（1）因为M ，N 分别为AB ，P A 的中点，所以MN ∥PB ． …………………………………2分 因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以PB ∥平面MNC . ……………………………………4分 （2）因为P A ⊥PB ，MN ∥PB ，所以P A ⊥MN . ……………6分因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB . ……………8分 因为平面P AB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ， 所以CM ⊥平面P AB ． …………………………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以CM ⊥P A ．因为P A ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN ∩CM ＝M ，所以P A ⊥平面MNC. ……………………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy ． 设A (a ，0)，B (0，b )(0＜a ＜1，0＜b ＜1)， 则直线AB 方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab |b 2＋a2＝1．……………4分 化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2．……………6分因此AB ＝ a 2＋b 2＝ (a ＋b )2－2ab ＝ (a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝ (a ＋b －2)2．………………8分因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤(a +b 2)2，解得0＜a ＋b ≤4－22，或a ＋b ≥4＋22．因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22，………………………………………12分所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2-2时取等号，所以AB 最小值为22－2，此时a ＝b ＝2-2．答：当A ，B 两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分解法二：如图，连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF ． 设∠DCE ＝θ，θ∈(0，π2)，则∠DCF ＝π2－θ．在直角三角形CDA 中，AD ＝tan θ2．………………4分在直角三角形CDB 中，BD ＝tan(π4－θ2)，………6分所以AB ＝AD ＋BD ＝tan θ2＋tan(π4－θ2)＝tan θ2＋1－tanθ2 1＋tanθ2．………………………8分令t ＝tan θ2，0＜t ＜1，则AB ＝f (t )＝t ＋1－t 1＋t ＝＝t ＋1＋21＋t－2≥22－2，当且仅当t ＝2－1时取等号．………………………12分所以AB 最小值为22－2，此时A ，B 两点离两条道路交点的距离是1－(2－1)＝2－2．答：当A ，B 两点离道路的的交点都为2－2(百米)时，小道AB 最短．……………14分18．(本小题满分16分)解：（1）设C (x 0，y 0)，则AB →＝(a ，a 3)，BC →＝(x 0，y 0－a 3)．因为AB →＝32BC →，所以(a ，a 3)＝32(x 0，y 0－a 3)＝(32x 0，32y 0－a 2)，得⎩⎨⎧x 0＝23a ，y 0＝59a ，………………………………………………………2分代入椭圆方程得a 2＝95b 2．因为a 2－b 2＝c 2，所以e ＝c a ＝23．………………………………………4分（2）①因为c ＝2，所以a 2＝9，b 2＝5，所以椭圆的方程为x 29＋y 25＝1，设Q (x 0，y 0)，则x 029＋y 025＝1．……① ………………………………………………6分因为点P (－3，0)，所以PQ 中点为(x 0－32，y 02)，因为直线l 过点(0，－67)，直线l 不与y 轴重合，所以x 0≠3，所以y 02＋67x 0－32·y 0x 0＋3＝－1， ………………………………………………8分化简得x 02＝9－y 02－127y 0．……②将②代入①化简得y 02－157y 0＝0，解得y 0＝0（舍），或y 0＝157．将y 0＝157代入①得x 0＝±67，所以Q 为(±67，157)，所以PQ 斜率为1或59，直线l 的斜率为－1或－95，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋67或y ＝－95x ＋67．……………………………………………10分②设PQ ：y ＝kx +m ，则直线l 的方程为：y ＝－1kx －1，所以x D ＝－k ．将直线PQ 的方程代入椭圆的方程，消去y 得(5＋9k 2)x 2＋18kmx ＋9m 2－45＝0．…………①， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为N ，x N ＝x 1＋x 22＝－9km 5+9k 2，代入直线PQ 的方程得y N ＝5m 5+9k 2，……………………………………12分 代入直线l 的方程得9k 2＝4m －5． ……② 又因为△＝(18km )2－4(5＋9k 2) (9m 2－45)＞0，化得m 2－9k 2－5＜0． ………………………………………………14分 将②代入上式得m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4，所以－113＜k ＜113，且k ≠0，所以x D ＝－k ∈(－113，0)∪(0，113)．综上所述，点D 横坐标的取值范围为(－113，0)∪(0，113)．………………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：因为函数f (x )＝－2x ＋1在区间[－1，1]为减函数， 所以f (x i ＋1)＜f (x i )，所以|f (x i ＋1)－f (x i )|＝ f (x i )－f (x i ＋1)．S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝f (－1)－f (1)＝4． …………………………………………2分(2) 解：由f ′(x )＝1－xex ＝0，得x ＝1．当x ＜1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)为增函数； 当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(1，＋∞)为减函数；所以f (x )在x ＝1时取极大值1e ． ……………………………………4分设x m ≤1＜x m ＋1，m ∈N ，m ≤n －1，则S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (0)|＋…＋|f (x m )－f (x m －1)|＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋|f (x m ＋2)－f (x m ＋1)|＋…＋|f (2)－f (x n －1)| ＝[f (x 1)－f (0)]＋…＋[f (x m )－f (x m －1)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (x m ＋2)]＋…＋[f (x n －1)－f (2)] ＝[f (x m )－f (0)]＋|f (x m ＋1)－f (x m )|＋[f (x m ＋1)－f (2)]． …………………………………………6分 因为|f (x m ＋1)－f (x m )|≤[f (1)－f (x m )]＋[f (1)－f (x m ＋1)]，当x m ＝1时取等号， 所以S ≤f (x m )－f (0)＋f (1)－f (x m )＋f (1)－f (x m ＋1)＋f (x m ＋1)－f (2) ＝2 f (1)－f (0)－f (2)＝2(e －1)e 2.所以S 的最大值为2(e －1)e 2． …………………………………………8分（3）证明：f ′(x )＝kx －x ＝k －x 2x，x ∈[1，e]．①当k ≥e 2时，k －x 2≥0恒成立，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为增函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 1)－f (x 0)]+[ f (x 2)－f (x 1)]+…+[ f (x n )－f (x n -1)]＝f (x n )－f (x 0)＝f (e)－f (1)＝k +12－12e 2．因此，存在正数A ＝k +12－12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．……………10分②当k ≤1时，k －x 2≤0恒成立，即f ′(x )≤0恒成立，所以f (x )在[1，e]上为减函数，所以S ＝n -1∑i =0|f (x i ＋1)－f (x i )|＝[ f (x 0)－f (x 1)]+[ f (x 1)－f (x 2)]+…+[ f (x n -1)－f (x n )]＝f (x 0)－f (x n )＝ f (1)－f (e)＝ 12e 2－k －12．因此，存在正数A ＝12e 2－k －12，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．……………12分③当1＜k ＜e 2时，由f ′(x )＝0，得x ＝k ；当f ′(x )＞0，得1≤x ＜k ；当f ′(x )＜0，得k ＜x ≤e ，因此f (x )在[1，k )上为增函数，在(k ，e]上为减函数．设x m ≤k ＜x m +1，m ∈N ，m ≤n －1则S ＝n －1∑i ＝1|f (x i ＋1)－f (x i )|＝|f (x 1)－f (x 0)|+…+|f (x m )－f (x m －1)|+ |f (x m +1)－f (x m )|+ |f (x m +2)－f (x m +1)|+…+|f (x n )－f (x n －1)| ＝f (x 1)－f (x 0)+…+f (x m )－f (x m －1) + |f (x m +1)－f (x m )|+ f (x m +1)－f (x m +2) +…+f (x n －1)－f (x n ) ＝f (x m )－f (x 0) + |f (x m +1)－f (x m )| + f (x m +1)－f (x n )≤f (x m )－f (x 0) + f (x m +1)－f (x n )+ f (k )－f (x m +1)+ f (k )－f (x m )＝2 f (k )－f (x 0)－f (x n )＝k ln k －k －[－12+k －12e 2]＝k ln k －2k ＋12+12e 2．因此，存在正数A ＝k ln k －2k ＋12+12e 2，都有S ≤A ，因此f (x )在[1，e]上具有性质V ．综上，对于给定的实数k ，函数f (x )＝k ln x －12x 2 在区间[1，e]上具有性质V ．……………16分20．(本小题满分16分)解：（1）由a 1＝－S 1＋p ，得a 1＝p2．………………………………………………………2分由a 2＝S 2＋p 2，得a 1＝－p 2，所以p2＝－p 2．又p ≠0，所以p ＝－12． …………………………………………………………3分（2）由a n ＝(－1)n S n ＋(－12)n ，得⎩⎨⎧a n ＝(－1)n S n ＋(－12)n ， ……①a n ＋1＝－(－1)nS n ＋1＋(－12)n ＋1， ……②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×(－12)n ． …………………………………………5分当n 为奇数时，a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×(12)n ，所以a n ＝－(12)n ＋1． ………………………………………………………………7分当n 为偶数时，a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×(12)n ，所以a n ＝－2a n ＋1＋12×(12)n ＝2×(12)n ＋2＋12×(12)n ＝(12)n ，所以a n＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数， n ∈N *，12n， n 为偶数，n ∈N *．………………………………………………9分（3）A n ＝{－14n ，14n }，由于b 1≠c 1，则b 1 与c 1一正一负，不妨设b 1＞0，则b 1＝14，c 1＝－14．则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－(242＋343+…＋n4n )．…………………………………………12分设S ＝242＋343+…＋n 4n ，则14S ＝243＋…＋n －14n +n 4n ＋1，两式相减得34S ＝242＋143+…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－(14)n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1＜748．所以S ＜748×43＝736，所以P n ≥14－(242＋143+…＋14n )＞14－736＝118＞0．………………………14分因为Q n = c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736 ＝－118＜0，所以P n ≠Q n ． ………………………………………………………………16分南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2016.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接BD ．因为AB 为直径，所以BD ⊥AC ． 因为AB ＝BC ，所以AD ＝DC ．……………………4分 因为DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以DE ∥AB ，…………6分 所以CE ＝EB ．………………………………………8分 因为AB 是直径，AB ⊥BC ，所以BC 是圆O 的切线，所以BE 2＝EF ⋅EA ，即BE ⋅CE ＝EF ⋅EA ．……………………………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 a b －2 ⎣⎡⎦⎤23＝⎣⎡⎦⎤34，得6＋3a ＝3，2b －6＝4，………………………4分所以a ＝－1，b ＝5．……………………………………………………………………………6分（2）由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 －1 5 －2．由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1 5 －3．…………………8分所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 －5 4． ………………………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）由ρsin(π3－θ)=32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)=32，即32x －12y=32，化简得y=3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y=3x －3．………………………………2分A由(x 2)2+(y 3)2=cos 2t +sin 2t =1，得椭圆C 的普通方程为x 24+y 23=1．……………………………4分 （2）联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y=3x －3， x 24+y 23=1，消去y ，得x 24+(x －1)2=1，化简得5x 2－8x =0，解得x 1=0，x 2=85， ………………………………8分所以A (0，－3)，B (85，353)，则AB =(0－85)2+(－3－353)2=165． ………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，解得－3＜x ≤－2； ………………………………………………3分 当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； …………………………………………………6分 当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2,解得x ≥2； ………………………………………………………9分 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}．……………………………………………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P ＝C 1323(13)2(12)3＋C 23(23)2(13)C 13(12)3＋C 33(23)3C 23(12)3＝1136．……………………………………………4分（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为……………………………………………………………………………………8分所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1．………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为a k ＝(－1)k C kn ，当n ＝11时，|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|＝C 611＋C 711＋C 811＋C 911＋C 1011＋C 1111＝12( C 011＋C 111＋…＋C 1011＋C 1111)＝210＝1024．………………………………………………3分（2）b k ＝k ＋1n －k a k ＋1＝(－1)k ＋1 k ＋1n －kC k ＋1n ＝(－1)k ＋1 C kn ，……………………………………5分当1≤k ≤n －1时，b k ＝(－1)k ＋1 C k n ＝ (－1)k ＋1 (C k n －1＋C k －1n －1)＝(－1)k ＋1 C k －1n －1＋(－1)k ＋1 C kn －1＝(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C kn －1． ……………………………………7分当m ＝0时，|S m C m n －1 |＝|b 0C 0n －1|＝1． ……………………………………8分 当1≤m ≤n －1时，S m ＝－1＋k =1∑m[(－1)k －1 C k －1n －1－(－1)k C k n －1]＝－1＋1－(－1)m C m n －1＝－(－1)m C mn －1，所以|S m C m n －1|＝1． 综上，|S mC m n －1 |＝1． ……………………………………10分。

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分 分，考试用时 分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分 听力 共两节，满分 分做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节 共 小题；每小题 分，满分 分听下面 段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的 、 、 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

第二节 共 小题；每小题 分，满分 分听下面 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的 、 、 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题 秒钟；听完后，各小题将给出 秒钟的做答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第 段材料，回答第 至 题。

听第 段材料，回答第 至 题。

听第 段材料，回答第 至 题。

听第 段材料，回答第 至 题。

． ．．．．．．．听第 段材料，回答第 至 题。

第二部分 英语知识运用 共两节，满分 分第一节 单项填空（共 小题；每小题 分，满分 分）请认真阅读下面各题，从题中所给的 、 、 、 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。

第二节 完形填空（共 小题；每小题 分，满分 分）请认真阅读下面短文，从短文后各题所给的 、 、 、 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。

声称的第三部分 阅读理解（共 小题；每小题 分，满分 分）请认真阅读下列短文，从短文后各题所给的 、 、 、 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。

表现不固定性遗传酶无活力的 白血病伯氏先天性黑蒙①②跳蚤③ 不知足的 ④① ② ③ ④第四部分 任务型阅读 共 小题；每小题 分，满分 分请认真阅读下列短文，并根据所读内容在文章后表格中的空格里填入一个．．最恰当的单词。

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分120分，考试用时120分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号等填涂在答题卡相应位置处。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分听力（共两节，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节（共5小题：每小题1分，满分5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where are the speakers?A. At home.B. In a restaurant.C. In a hotel.2· What does the boy mean?A. Nancy has left the TV on.B. He forgot to turn off the TV.C. Nancy remembered turning off the TV.3 · What does the woman advise the man to do?A. Go to the post office.B. Call the post office.C. on tact the mail carrier.4· Which word can best describe the man?A. Hardworking.B. Dishonest.C. Humorous.5· What can we learn什om the conversation?A. The man is unhappy.B. The woman is very helpful.C. Mr. Barkley is disappointed.第二节（共15个小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试英语 2016.03本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分120分，考试用时120分钟。

注意事项：答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分听力(共两节，满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。

第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where are the speakers?A. At home.B.In a restaurant.C. In a hotel.2. What does the boy mean?A. Nancy has left the TV on.B. He forgot to turn off the TV.C. Nancy remembered turning off the TV.3. What does the woman advise the man to do?A. Go to the post office.B. Call the post office.C. Contact the mail carrier.4. Which word can best describe the man?A. Hardworking.B. Dishonest.C. Humorous.5. What can we learn from the conversation?A. The man is unhappy.B. The woman is very helpful.C. Mr. Barkley is disappointed.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

2016年江苏省普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷二数学试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．. 1． 复数2i 1i+-(i 为虚数单位)的模为 ▲ ．2．已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ．3． 在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 ▲ ．4． 下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差2s = ▲ ．5． 命题：“若0a ≠，则20a >”的否命题是“ ▲ ”．6． 将函数sin y x =的图象向右至少平移 ▲ 个单位可得到函数cos y x =的图象．7． 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ．8． 设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则a 7的值为 ▲ ． 9． 给出下列等式： π2c o s 4=，π2c o s 8=，π2c o s 16=， ……请从中归纳出第n ()n ∈*N 个等式：2222n +⋅⋅⋅+=个 ▲ ．10．在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．12．已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2cos 2αβ的值为 ▲ ．13．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设{}max 342z x y x y =--，，则z 的取值范围是 ▲ ．（max{}a b ，表示a ，b 两数中的较大数）14．若幂函数()a f x x =(a ∈R )及其导函数()f x '在区间(0，+∞)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量m )sin A A =，，n ()cos B B =，，其中A ，B 为△ABC 的两个内角．（1）若⊥m n ，求证：C 为直角；（2）若//m n ，求证：B 为锐角．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∠为二面角P AD B --的平面角． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若BC ⊥平面PAB ，求证：//AD 平面PBC ．ABCPD（第16题）（第17题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：221x y += 与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点(20)Q -，， x 轴 上方的动点P 使直线P A ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差 数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线P A ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．求证：点Q ，S ，T 三点共线．18．（本题满分16分）如图，圆O ，A B ，为圆O 上的两个定点，且90AOB ∠=，P 为优弧AB 的中点．设C D ，（C 在D 左侧）为优弧AB （不含端点）上的两个不同的动点，且CD //AB ．记POD α∠=，四边形ABCD 的面积为S ． （1）求S 关于α的函数关系； （2）求S 的最大值及此时α的大小．（第18题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n T ，求2nnS T ； （3）判断数列{}3n n a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．20．（本题满分16分）设定义R 上在函数()32420()(4)(4) 04 log 1 4x x f x ax b a x b m x n x a x x -⎧<⎪=+--++⎨⎪->⎩≤≤ ，，，，，（a ，b ，m ，n 为常数，且0a ≠）的图象不间断． （1）求m ，n 的值；（2）设a ，b 互为相反数，且()f x 是R 上的单调函数，求a 的取值范围；（3）若a =1，b ∈R ．试讨论函数()()g x f x b =+的零点的个数，并说明理由．2016年江苏省普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷二 (附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且C ∠=60． 求证：C ，D ，E ，F 四点共圆．B ．（矩阵与变换）已知矩阵1221-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ，515⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 满足=AX B ，求矩阵X ．C ．（极坐标与参数方程）设点A 为曲线C ：2cos ρθ=在极轴Ox 上方的一点，且π04AOx ∠≤≤，以A 为直角顶点，AO 为一条直角边作等腰直角三角形OAB (B 在A 的右下方)，求点B 的轨迹方程．D ．（不等式选讲）已知正数a ，b ，c ，d 满足1a b cd +==，求证：()()1ac bd ad bc ++≥．ABCDEF（第21—A ）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125．（1）求p 的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．23．设函数()sin cos n n n f θθθ=+，n ∈*N ，且1()f a θ=，其中常数a 为区间（0，1）内的有理数．（1）求()n f θ的表达式（用a 和n 表示）； （2）求证：对任意的正整数n ，()n f θ为有理数．2016年江苏省普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷二数学试题Ⅰ 参考答案一． 填空题1.2.43. 234.14655. 若0a =，则20a ≤6. 3π27. 1 8. -13 9. 12cos n +π210.1 11. 258 12. 3- 13.[]108-， 14. (1 )+∞， 10.【答案】1【解析】依题意2tan tan tan B A C =+，因为A B C ++=π，所以t a n t a n t a n A B CA B =+t a n C +，所以tan tan 3A C =；11.【答案】258【解析】C 在直线l 的上方，所以20a b +>，从而25a b +=，因为()2222a b ab +≤，所以258ab ≤（当且仅当2a b =，即52a =，54b =时等号成立，），从而ab的最大值为258．12.【答案】3-【解析】[][]sin ()()sin()cos()cos()sin()sin 2cos 2cos()cos()sin()sin()cos ()()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+-++-+--tan()tan()31tan()tan()αβαβαβαβ++-==--+-．13.【答案】[]108-，【解析】设13z x y =-，242z x y =-，则{}12max z z z =，，易得[]110 6z ∈-，，[]2 8z ∈0，， 则z []108∈-，． 14.【答案】(1 )+∞，【解析】易得1()a f x ax -'=，2()(1)a f x a a x -''=-，当1a >时，()0f x '>，()0f x ''>；当01a <<时，()0f x '>，()0f x ''<；当1a =时，()0f x '>，()0f x ''=；当0a =时，()0f x '=， ()0f x ''=；当0a <时，()0f x '<，()0f x ''>，综上得，(1 )a ∈+∞，．二． 解答题15.【解】（1）易得)cos cos sin sin )A B A B A B ⋅=-=+m n ，（3分）因为⊥m n ，所以⋅=m n 0，即πcos()cos 2A B +=．因为0πA B <+<，且函数cos y x =在(0π)，内是单调减函数，所以π2A B +=，即C 为直角；（6分）（2）因为//m n ()sin cos 0A B A B ⋅-=， 即sin cos 3cos sin 0A B A B +=．（8分） 因为A ，B 是三角形内角，所以cos cos 0A B ≠，于是tan 3tan A B =-,因而A ，B 中恰有一个是钝角．（10分） 从而22tan tan 3tan tan 2tan tan()01tan tan 13tan 13tan A B B B B A B A B B B+-+-+===<-++， 所以tan 0B >，即证B 为锐角．（14分） 16.证明：（1）因为PAB ∠为二面角P AD B --的平面角，所以PA AD ⊥，BA AD ⊥，（2分） 又PAAB A =，PA AB ⊂，平面PAB ， 所以AD ⊥平面PAB ，（5分） 又AD ⊂平面ABCD ,故平面PAB ⊥平面ABCD ；（7分） （2）由（1）得，AD ⊥平面PAB ， 又BC ⊥平面PAB ，所以//AD BC ，（10分） 又AD ⊄平面PBC ， BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．（14分）图1 17.【证】（1）由题设知，(10)(10)A B -，，，． 设000()(0)P x y y ≠，，则002PQ y k x =+，00011PA PB y yk k x x ==+-，． 因为k P A ，k PQ ，k PB 成等差数列，所以2 k PQ = k P A ＋ k PB ，即0000002211y y yx x x =+++-， 由于00y ≠，所以012x =-，即证；（7分）（2）由（1）知，()012P y -，，000221131122PA PB y y yk y k ===--+--=，．直线P A的方程为(1)PA y k x =+，代入221x y +=得()()22(1)110PA PA x k x k ⎡⎤++--=⎣⎦，于是点S 的横坐标20201414S y x y -=+，从而020414Sy y y =+． 同理可得200220049129494T Ty y x y y y -==++，．（11分） 因为00222000442(14)2(14)34S S y y y x y y y ==+-+++，000222200001212422(49)2(94)91234S TT S y y y y y x x y y y y ====++-+=++， 所以直线QS 和直线QT 的斜率相等， 故点S ，T ，Q 共线．（14分）18.解：（1）设过圆心O 作AB 的垂线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，易得2AB=，1OE =，①当π02α<<时，如图1，易得2CD α=，OF α=，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅+()()1212αα=++)sin cos αα=+2sin cos 1αα++；(3分)②当π2α=时，11()(21122S AB CD EF =+⋅=⨯+⨯=(5分)③当π3π24α<<时，如图2，易得()2πCD αα=-=，()πOF αα=-=，所以1()()2S AB CD OE OF =+⋅-()()1212αα=⨯+⨯+)sin cos 2sin cos 1αααα=+++；综上得，S=)sin cos 2sin cos 1αααα=+++，30π4α<<；(9分)（2）令()πsin cos 4t ααα=+=+，因为30π4α<<，所以πππ44α<+<，从而()π0sin 14α<+≤，故(0t ∈，(12分)此时(2221112S t t t =+-+=+=-，(0t ∈，所以当t =时，max 4S =，此时π4α=．(16分)19.解：（1）当n =1时，1122S a =-，解得12a =．（2分）当n ≥2时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=． 因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n a =．（5分） （2）因为()2224n nna ==，所以2124n na a +=， 故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，从而()()2221224112n n n S -==--，(7分) ()()414441143n n n T -==--，所以232n n S T =．(10分) （3）假设{}3n n a -中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ，k （m <n <k ）项成等图2差数列，则()2333n m k n m k a a a -=-+-，即()2323232n n m m k k -=-+-．(12分)因为m <n <k ，且m ，n ，k N *∈，所以n +1≤k ．因为()2323232n n m m k k -=-+-113232m m n n ++-+-≥，所以332n m m --≥，故矛盾，所以数列{}3n n a -中不存在三项成等差数列． (16分)20. 解：（1）依题意，(0)1f =，(4)0f =， 即1 6416(4)4(4)0 n a b a b m n =⎧⎨+--++=⎩，，解得1 1.4n m =⎧⎪⎨=⎪⎩，(3分)（2）因为()12xy =是减函数，且()f x 是R 上的单调函数，所以在()4log 1y a x =-中，应该有'0ln 4a y x =≤，故0 a <，(5分) 在321(4)(4)14y ax b a x b x =+--++中，其中0a b +=，21'31044y ax ax a =-+-，导函数的对称轴为53x =，故2110012(4)04a a a ∆=--≤，解得1014a -<≤；(8分)（3）易得函数()321()(4)414f x x b x b x =+--++，则()21()32(4)44f x x b x b '=+--+，其判别式2416670b b ∆=++>，记()0f x '=的两根为1x ，2x （12x x <），列表：当b >0时，()102xb +=无解，4log 1x b =-无解，又(0)10 (4)0 f b b f b b +=+>+=>，， ()11(2)84(4)241153042f b b b b b +=+--+++=--<，方程在（0，4）上有两解，方程一共有两个解；(10分) 当1b <-时，()102xb +=有一解0.5log()x b =-，4log 10x b -+=有一解14b x -=，又(0)10f b b +=+<，(4)0f b b +=<，()()11113(4)10 8424412f b b b b b +=+--+++=->，故方程在（0，4）上有两解，方程共有4个解；(12分) 当-1<b <0时，()102xb +=无解，4log 10x b -+=有一解，又(0)10f b b +=+>，(4)0f b b +=<， 方程在（0，4）内只有一解，方程共两解；(14分)当b =0时，有x =4和x =12两解，b =-1时，有0x =，12x =，14b x -=三个解，综上得，当1b >-时，()g x 有2个零点；当1b =-时，()g x 有3个零点； 当1b <-时，()g x 有4个零点．(16分)试题Ⅱ（附加题）21A.证明：依题意得，()180AFB BAF AFB ∠=-∠+∠ ()11802BAC ABC =-∠+∠ ()11801802C =--∠120=，（5分） 又DFE AFB ∠=∠，所以12060180DFE C ∠+∠=+=， 故C ，D ，E ，F 四点共圆．（10分）21B.解：设X a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25 215 a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，（7分） 解得7 1 a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（10分）21.C 解：设()00 A ρθ，，且满足002cos ρθ=，() B ρθ，，依题意，00 π2π 4ρθθ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，，即00 7π 4ρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，， 代入002cos ρθ=并整理得，()π4ρθ=+，7π2π4θ≤≤，所以点B的轨迹方程为()π4ρθ=+，7π2π4θ≤≤．（10分） 22.D 证明：因为()()ac bd ad bc ++()()2222a b cd ab c d =+++()222a b cd abcd ++≥()2a b cd =+，又1a b +=，1cd =，所以()()1ac bd ad bc ++≥．（10分）22.解：（1）设事件A ：“恰用完3次投篮机会”， 则其对立事件A ：“前两次投篮均不中”，依题意，()()221()11125P A P A p =-=--=，解得35p =；（3分）（2）依题意，ξ的所有可能值为0，1，2，3，且()24(0)125P p ξ==-=，()()()224(1)111125P p p p p p ξ==-+--=，327(3)125P p ξ===，故54(2)1(0)(1)(3)125P P P P ξξξξ==-=-=-==，ξ的概率分布表为：（8分） E (ξ)24542721323125125125125=+⨯+⨯=（次）．（10分）23. 解：（1）易得sin cos a θθ+=， 又22sin cos 1θθ+=，所以222sin 2sin 10a a θθ-+-=，解得sin θ=从而()nnn f θ=+；（4分）（2）证明：()nnn f θ=+ ()()()02424024CC C 222nn n nnna a a --=+++⋅⋅⋅()()()()22242024242C C C 2242nn n nnna aaa a----=+++⋅⋅⋅∈Q. （10分）。

2016届高三模拟考试试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2016．1 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x 2－1＝0}，B ＝{－1，2，5}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝2＋i1－i(i 是虚数单位)，则|z|＝________．3. 书架上有3本数学书，2本物理书．若从中随机取出2本，则取出的2本书都是数学书的概率为________．4. 运行如图所示的伪代码，其结果为________． S ←1For I From 1 To 7 Step 2 S ←S ＋I End For Print S5. 某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________．6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为________．7. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．8. 若一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．9. 在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cosB ＝35，则边c ＝________．10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．11. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC →的值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(－4，0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A 、B 两点．若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．13. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)＝2x ＋m2x ，设g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x>1，f （－x ），x ≤1，若函数y ＝g(x)－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．14. 设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<e ，alnx ，x ≥e 的图象上存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形(其中O 为坐标原点)，且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)设函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．16.(本小题满分14分) 如图，已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧面ACC 1A 1是正方形，点O 是侧面ACC 1A 1的中心，∠ACB ＝π2，M 是棱BC 的中点．求证：(1) OM ∥平面ABB 1A 1； (2) 平面ABC 1⊥平面A 1BC.如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，直线AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30 t和50 t，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点M(x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2(r>0)作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ，直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2.(1) 若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；(2) 若r ＝255.① 求证：k 1k 2＝－14；② 求OP·OQ 的最大值．已知函数f(x)＝axe x 的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，其中e 是自然对数的底数．(1) 求实数a 的值；(2) 若对任意的x ∈(0，2)，都有f(x)＜1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围；(3) 若函数g(x)＝lnf(x)－b(b ∈R )的两个零点为x 1，x 2，试判断g′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的正负，并说明理由．设数列{a n}共有m(m∈N，m≥3)项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m－i项a i＋1，a i＋2，…，a m中的最小项为B i，r i＝A i－B i(i＝1，2，3，…，m－1)．(1) 若数列{a n}的通项公式为a n＝2n，求数列{r i}的通项公式；(2) 若数列{a n}是单调数列，且满足a1＝1，r i＝－2，求数列{a n}的通项公式；(3) 试构造一个数列{a n}，满足a n＝b n＋c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使得对于任意给定的正整数m(m∈N，m≥3)，数列{r i}都是单调递增的，并说明理由.2016届高三模拟考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 为圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连结AD ，BD.若AC ＝4，DE ＝3，求BD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 1(a ∈R )的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy 中若曲线C 在矩阵M变换下得到的曲线的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，圆E 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A 和圆E 的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1.求证：1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d ≤2 6.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝2，设BD →＝λDC →(λ∈R )． (1) 若λ＝1，求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 若二面角B 1A 1C 1D 的大小为60°，求实数λ的值．23.设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2) 猜想T nS n关于n 的表达式，并证明之．2016届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1. {－1}2.102 3. 310 4.17 5. 17 6. 927. －3 8. 2 9. 7 10. 20 11. －2 12. x ±3y ＋4＝0 13. ⎣⎡⎦⎤－32，32 14. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 15. 解：(1) 由图象知，A ＝2，(2分)又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.(4分) 所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.(6分)所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.(8分)(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，(10分)所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，即f(x)∈[－3，2]．(14分)16. 证明：(1) 在△A 1BC 中，因为O 是A 1C 的中点，M 是BC 的中点，所以OM ∥A 1B.(4分) 又OM平面ABB 1A 1，A 1B平面ABB 1A 1，所以OM ∥平面ABB 1A 1.(6分)(2) 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，所以CC 1⊥BC. 又∠ACB ＝π2，即BC ⊥AC ，而CC 1，AC平面ACC 1A 1，且CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(8分) 而AC 1平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC 1.又ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1.而BC ，A 1C 平面A 1BC ，且BC ∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC.(12分) 又AC 1平面ABC 1，所以平面ABC 1⊥平面A 1BC.(14分)17. 解：(解法1)由条件①，得PA PB ＝5030＝53.(2分)设PA ＝5x ，PB ＝3x ，则cos ∠PAB ＝（5x ）2＋162－（3x 2）2×16×5x ＝x 10＋85x ，(6分)所以点P 到直线AB 的距离h ＝PAsin ∠PAB ＝5x·1－⎝⎛⎭⎫x 10＋85x 2＝－14x 4＋17x 2－64 ＝－14（x 2－34）2＋225，(10分)所以当x 2＝34，即x ＝34时，h 取得最大值15 km ，即选址应满足PA ＝534 km ，PB ＝334 km.(14分)(解法2) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．(2分)则A(－8，0)，B(8，0)．由条件①，得PA PB ＝5030＝53.(4分) 设P(x ，y)(y ＞0)，则3（x ＋8）2＋y 2＝5（x －8）2＋y 2，化简，得(x －17)2＋y 2＝152(y ＞0)，(10分)即点P 的轨迹是以点(17，0)为圆心，15为半径的位于x 轴上方的半圆．则当x ＝17时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15 km.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17，15)即可．(14分)18. (1) 解： 因为椭圆C 右焦点的坐标为(3，0)，所以圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，±12，(2分)从而圆M 的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y±122＝14.(4分) (2) ① 证明：因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切，所以|k 1x 0－y 0|k 21＋1＝255， 即(4－5x 20)k 21＋10x 0y 0k 1＋4－5y 20＝0，(6分) 同理，有(4－5x 20)k 22＋10x 0y 0k 2＋4－5y 20＝0，所以k 1，k 2是方程(4－5x 20)k 2＋10x 0y 0k ＋4－5y 20＝0的两根，(8分) 从而k 1k 2＝4－5y 204－5x 20＝4－5⎝⎛⎭⎫1－14x 204－5x 20＝－1＋54x 204－5x 20＝－14.(10分) ② 解：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 24＋y 2＝1，解得x 21＝41＋4k 21，y 21＝4k 211＋4k 21，(12分)同理，x 22＝41＋4k 22，y 22＝4k 221＋4k 22， 所以OP 2·OQ 2＝⎝⎛⎭⎫41＋4k 21＋4k 211＋4k 21·⎝⎛⎭⎫41＋4k 22＋4k 221＋4k 22＝4（1＋k 21）1＋4k 21·4（1＋k 22）1＋4k 22＝4＋4k 211＋4k 21·1＋16k 211＋4k 21(14分) ≤⎝⎛⎭⎫5＋20k 2122（1＋4k 21）2＝254，当且仅当k 1＝±12时取等号．所以OP·OQ 的最大值为52.(16分) 19. 解： (1) 由题意得f′(x)＝a （1－x ）e x ，因函数在x ＝0处的切线方程为y ＝x ， 所以f′(0)＝a 1＝1，得a ＝1.(4分) (2) 由(1)知f(x)＝x e x ＜1k ＋2x －x 2对任意x ∈(0，2)都成立， 所以k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0，2)都成立，从而k ≥0.(6分)又不等式整理可得k ＜e x x ＋x 2－2x ，令g(x)＝e x x＋x 2－2x ， 所以g′(x)＝e x （x －1）x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x x 2＋2＝0，得x ＝1，(8分) 当x ∈(1，2)时，g ′(x)＞0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，同理，函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以k ＜g(x)min ＝g(1)＝e －1.综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1)．(10分)(3) 结论是g′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜0.(11分)证明：由题意知函数g(x)＝lnx －x －b ，所以g′(x)＝1x －1＝1－x x， 易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以只需证明x 1＋x 22＞1即可．(12分) 因为x 1，x 2是函数g(x)的两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋b ＝lnx 1，x 2＋b ＝lnx 2，相减得x 2－x 1＝ln x 2x 1. 不妨令x 2x 1＝t ＞1，则x 2＝tx 1，则tx 1－x 1＝lnt ，所以x 1＝1t －1lnt ，x 2＝t t －1lnt ， 即证t ＋1t －1lnt>2，即证φ(t)＝lnt －2·t －1t ＋1>0.(14分) 因为φ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2>0，所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)>φ(1)＝0.综上所述，函数g(x)总满足g′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0成立．(16分)20. 解：(1) 因为a n ＝2n 单调递增，所以A i ＝2i ，B i ＝2i ＋1，所以r i ＝2i －2i ＋1＝－2i ，1≤i ≤m －1.(4分)(2) 若{a n }单调递减，则A i ＝a 1＝1，B i ＝a m ，所以r i ＝a 1－a m >0，不满足r i ＝－2，所以{a n }单调递增．(6分)则A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1，所以r i ＝a i －a i ＋1＝－2，即a i ＋1－a i ＝2，1≤i ≤m －1，所以{a n }是公差为2的等差数列，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，1≤n ≤m －1.(10分)(3) 构造a n ＝n －⎝⎛⎭⎫12n ，其中b n ＝n ，c n ＝－⎝⎛⎭⎫12n.(12分) 下证数列{a n }满足题意．证明：因为a n ＝n －⎝⎛⎭⎫12n ，所以数列{a n }单调递增，所以A i ＝a i ＝i －⎝⎛⎭⎫12i ，B i ＝a i ＋1＝i ＋1－⎝⎛⎭⎫12i ＋1，(14分) 所以r i ＝a i －a i ＋1＝－1－⎝⎛⎭⎫12i ＋1，1≤i ≤m －1.因为r i ＋1－r i ＝⎣⎡⎦⎤－1－⎝⎛⎭⎫12i ＋2－⎣⎡⎦⎤－1－⎝⎛⎭⎫12i ＋1＝⎝⎛⎭⎫12i ＋2>0， 所以数列{r i }单调递增，满足题意．(16分)(说明：等差数列{b n }的首项b 1任意，公差d 为正数，同时等比数列{c n }的首项c 1为负，公比q ∈(0，1)，这样构造的数列{a n }都满足题意．)2016届高三模拟考试试卷(一)(南京、盐城)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为CD 与圆O 相切于D ，所以∠CDA ＝∠DBA.(2分)因为AB 为圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA ＝∠DBA ，所以∠EDA ＝∠CDA.(4分) 又∠ACD ＝∠AED ＝90°，AD ＝AD ，所以△ACD ≌△AED.所以AE ＝AC ＝4，所以AD ＝AE 2＋DE 2＝5.(6分)又DE BD ＝AE AD ，所以BD ＝DE AE ·AD ＝154.(10分) B. 解：由题意，矩阵M 的特征多项式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因矩阵M 有一个特征值为2，f(2)＝0，所以a ＝2.(4分)所以M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y ′＝2x ＋y ， 代入方程x 2＋y 2＝1，得(2x)2＋(2x ＋y)2＝1，即曲线C 的方程为8x 2＋4xy ＋y 2＝1.(10分)C. 解：点A 的直角坐标为(2，－2)，(2分)圆E 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，(6分)则点A 到圆心E 的距离d ＝（2－2）2＋（－2－2）2＝4>r ＝22，所以点A 在圆E 外．(10分)D. 证明：因为(1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d)2≤4(1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d)，(6分)又a ＋b ＋c ＋d ＝1，所以(1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d)2≤24，即1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d ≤2 6.(10分)22. 解：分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，A 1(0，0，2)，B 1(2，0，2)，C 1(0，4，2)．(2分)(1) 当λ＝1时，D 为BC 的中点，所以D(1，2，0)，DB 1→＝(1，－2，2)，A 1C 1→＝(0，4，0)，A 1D →＝(1，2，－2)．设平面A 1C 1D 的法向量为n 1＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝0，x －2z ＝0，所以取n 1＝(2，0，1)． 又cos 〈DB 1→，n 1〉＝DB 1→·n 1|DB 1→||n 1|＝435＝4155， 所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为4155.(6分) (2) 因为BD →＝λDC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1，4λλ＋1，0，所以A 1C 1→＝(0，4，0)，A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1，4λλ＋1，－2. 设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝0，2λ＋1x －2z ＝0， 所以取n 1＝(λ＋1，0，1)．又平面A 1B 1C 1的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，由题意得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12， 所以1（λ＋1）2＋1＝12，解得λ＝3－1或λ＝－3－1(不合题意，舍去)， 所以实数λ的值为3－1.(10分) 23. 解：(1) T 3S 3＝2，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(4分) (2) 猜想T n S n ＝n ＋12.(5分) 下用数学归纳法证明之．证明：① 当n ＝3时，由(1)知猜想成立；② 假设当n ＝k(k ≥3)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以得T k ＝k ＋12C 3k.(6分) 则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1，而当集合M 从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k(k －1)＝k ＋12C 3k＋2[C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ] ＝k ＋12C 3k ＋2[C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ]＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝（k ＋1）＋12S k ＋1， 即T k ＋1S k ＋1＝（k ＋1）＋12. 所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．(10分)(说明：未用数学归纳法证明，直接求出T n 来证明的，同样给分．)古今名言 敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。

2019届南京市、盐城市2016级高三下学期二模考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合，，则=______.【答案】【解析】【分析】直接利用并集的定义求解.【详解】由题得=故答案为：2.若复数满足（为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数的值为______. 【答案】【解析】【分析】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，即可求出a的值.【详解】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2.故答案为：-23.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为_________．【答案】【解析】【分析】由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出总的人数，求出第三组的人数.【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数为人.故答案为：184.下图是某算法的伪代码，输出的结果的值为______.【答案】【解析】【分析】直接按照算法的伪代码运行即得结果.【详解】1＜6，i=3,S=4,3＜6，i=5,S=9,5＜6，i=7,S=16,7＞6，输出S=16.故答案为：165.现有件相同的产品，其中件合格，件不合格，从中随机抽检件，则一件合格，另一件不合格的概率为______.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件的总数和要求事件包含的基本事件的个数，根据古典概型的概率计算公式即可得出．【详解】从5件产品中任意抽取2有种抽法，其中一件合格、另一件不合格的抽法有种．根据古典概型的概率计算公式可得一件合格，另一件不合格的概率．故答案为:6.等差数列中，，前项的和，则的值为______.【答案】【解析】【分析】首先根据已知求出，再利用等差数列的通项求出的值.【详解】由题得.故答案为：-47.在平面直角坐标系中，已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐近线方程为______.【答案】【解析】【分析】设点A(x,y),根据的坐标，再把点A的坐标代入双曲线的方程求出，再求双曲线的渐近线方程.【详解】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，由题得所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：8.若函数的图象经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则的值为______.【答案】【解析】【分析】先根据相邻两条对称轴间的距离为求出的值，再根据图象经过点求出，再求的值.【详解】因为相邻两条对称轴间的距离为，所以所以.因为函数的图象经过点所以.所以，所以.故答案为：9.已知正四凌锥的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为______.【答案】【解析】【分析】设正四棱锥的棱长为2a,根据求得a=1,再求正四棱锥的表面积. 【详解】设正四棱锥的棱长为2a,由题得.所以四棱锥的棱长为2.所以正四棱锥的表面积=.故答案为：【点睛】本题主要考查几何体的边长的计算和表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间观察想象能力.10.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性求出函数的表达式，然后解不等式件即可．【详解】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：11.在平面直角坐标系中，已知点，.若圆上存在唯一点，使得直线，在轴上的截距之积为，则实数的值为______. 【答案】【解析】【分析】根据题意，设的坐标为，据此求出直线、的方程，即可得求出两直线轴上的截距，分析可得，变形可得，即可得的轨迹方程为，据此分析可得圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，结合圆与圆的位置关系可得，解可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设的坐标为，直线的方程为，其在轴上的截距为，直线的方程为，其在轴上的截距为，若点满足使得直线，在轴上的截距之积为5，则有，变形可得，则点在圆上，若圆上存在唯一点，则圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，则有，解可得：，故答案为：．12.已知是直角三角形的斜边上的高，点在的延长线上，且满足.若，则的值为______.【答案】【解析】【分析】设∠DPC=,∠DPB=，先化简得到|PD|=2,再利用数量积的公式展开，利用三角函数和三角和角的余弦公式化简即得解.【详解】设∠DPC=,∠DPB=，由题得,所以|PB|所以=.故答案为：213.已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先讨论当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，得到k＜.再讨论当x＞0时，f(x)-g(x)=, f(x)-g(x)过第四象限，得到k ＞-9.综合即得解.【详解】当x≤0时，f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使f(x)-g(x)过第三象限，所以f(-3)-g(-3)<0, 解之得k＜.当x＞0时，f(x)-g(x)=,因为，所以须使f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得-9＜k＜.故答案为：14.在中，若，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【详解】在△ABC中，有,所以==,当即时取等.故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.15.设向量，，其中，，且与互相垂直.（1）求实数的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由与互相垂直可得，展开化简即得.（2）由，得..，最后求.【详解】解：（1）由与互相垂直，可得，所以.又因为，所以.因为，所以，所以.又因为，所以.（2）由（1）知.由，得，即.因为，所以，所以.所以，因此.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换和求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如图，在三棱柱中，，，，，分别是和的中点.求证：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接，证明，即得平面.（2），，平面.【详解】证明：（1）连接，在三棱柱中，且，所以四边形是平行四边形.又因为是的中点，所以也是的中点.在中，和分别是和的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）知，因为，所以.又因为，，，平面，所以平面.又因为平面，所以.在中，，是的中点，所以.因为，，，，平面，所以平面.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理转化能力.17.某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】【分析】过作垂直于，垂足为,所以点处观众离点处最远. 由余弦定理可得.再求得. 因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.【详解】解：过作垂直于，垂足为.在直角三角形中，，，所以，因此.由图可知，点处观众离点处最远.在三角形中，由余弦定理可知.因为，所以当时，即时，，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米. 答：对于任意，上述设计方案均能符合要求.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查余弦定理和三角函数最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和利用数学知识解决实际问题的能力.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.（1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，点.①若对任意直线总存在点，使得，求实数的取值范围；②设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，求实数的值.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）依题意解之即得椭圆的方程.(2) ①设直线的方程为，代入椭圆的方程，根据，解得.，所以，即. 解得.由，即可解得m范围②由，.所以，解得,即可求出m值.【详解】解：（1）依题意解得所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，消去，得.因为直线交椭圆于两点，所以，解得.设，，则有，.①设中点为，则有，.当时，因为，所以，即.解得.当时，可得，符合.因此.由，解得.②因为点为的外心，且，所以.由消去，得，所以，也是此方程的两个根.所以，.又因为，，所以，解得.所以.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.已知，.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求得函数图象在处的切线方程为.（2）先求导得，再对a分类讨论得到的取值范围.(3对a分类讨论，结合极大值小于极小值求出的取值范围.【详解】解：（1）当时，，，则.又因为，所以函数图象在处的切线方程为，即.（2）因为所以，且.因为，所以.①当时，即，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.当时，，所以满足条件.②当时，即时，由，得，当时，，则在上单调递减，所以时，，这与时，恒成立矛盾. 所以不满足条件.综上，的取值范围为.（3）①当时，因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，所以不满足条件.②当时，，所以函数的定义域为，由，得，列表如下：↗极大值↘极小值↗由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，所以不满足条件.③当时，由，得.列表如下：↘极小值↗此时仅存在极小值，不合题意，所以不满足条件.④当时，函数的定义域为，且，.列表如下：↗极大值↘↘极小值↗所以存在极大值和极小值，此时因为，所以，，，，所以，即，所以满足条件.综上，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程,考查利用导数研究极值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20.已知数列各项为正数，且对任意，都有.（1）若，，成等差数列，求的值；（2）①求证：数列为等比数列；②若对任意，都有，求数列的公比的取值范围.【答案】（1）或；（2）①详见解析；②.【解析】【分析】（1）根据，，成等差数列得到，，成等比数列，即可求出或.（2）①利用定义证明数列为等比数列；②当时，，所以满足条件. 当时，由，得，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件. 综上可得q的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以，因此，，成等比数列. 设公比为，因为，，成等差数列，所以，即，于是，解得或，所以或.（2）①因为，所以，两式相除得，即，由，得，两式相除得，即，所以，即，，，由（1）知，所以，，因此数列为等比数列.②当时，由时，可得，所以，因此，所以满足条件.当时，由，得，整理得.因为，，所以，因此，即，由于，因此，与任意恒成立相矛盾，所以不满足条件.综上，公比的取值范围为.【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等比数列的证明，考查数列的求和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试数学附加题【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与交换21.已知矩阵，，.（1）求，的值；（2）求的逆矩阵.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由题得即得（2）由题得，即得的逆矩阵.【详解】解：（1）因为，，，所以即（2）因为，所以.【点睛】本题主要考查矩阵的性质和逆矩阵的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口开始到出口，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的.现有甲、乙、丙、丁共名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口集中，设点是其中的一个交叉路口点.（1）求甲经过点的概率；（2）设这名游客中恰有名游客都是经过点，求随机变量的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1) 选择从中间一条路走到的概率为.选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.(2) 随机变量可能的取值，，，，，再求出它们对应的概率，即得随机变量的概率分布和数学期望.【详解】解：（1）设“甲从进口开始到出口经过点”为事件，甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点的概率为，这两步事件相互独立，所以选择从中间一条路走到的概率为.同理，选择从最右边的道路走到点的概率为.因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，所以.答：甲从进口开始到出口经过点的概率.（2）随机变量可能的取值，，，，，则，，，，，概率分布为：数学期望.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率，考查随机变量的分布列和数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平，考查学生的应用能力.23.平面上有个点，将每一个点染上红色或蓝色.从这个点中，任取个点，记个点颜色相同的所有不同取法总数为.（1）若，求的最小值；（2）若，求证：.【答案】（1）2；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）当时，共有个点，对染红色的点的个数分类讨论，即得T的最小值为2.(2) 首先证明：任意，，，有. 设个点中含有个染红色的点，接着证明①时，②时，③时，.【详解】解：（1）当时，共有个点，若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为个或个，则；若染红色的点的个数为，则；因此的最小值为.（2）首先证明：任意，，，有.证明：因此，所以.设个点中含有个染红色的点，①当时，，因为，所以，于是.②当时，，同上可得.③当时，，设，，当时，，显然，当即时，，当即时，，即；；因此，即.综上，当时，.【点睛】本题主要考查排列组合的计数问题，考查组合不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，解答本题的关键是分类讨论思想的灵活运用.。

2016年江苏南京市、盐城市、连云港市高三二模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=x−2<x<0，B=x−1<x<1，那么A∪B=．2. 若复数z=1+m i2−i是纯虚数，则实数m的值为．3. 将一枚骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是．4. 一家面包店销售点根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图（如图所示），若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为．5. 执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．6. 已知公差不为0的等差数列a n的前n项和为S n，若S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10=．7. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A−A1EF的体积是．8. 已知函数f x=2sinωx+φ ω>0,φ<π2的最小正周期为π，且它的图象经过点−π12,−2，那么φ的值为．9. 已知函数f x=12x+1,x≤0−x−12,x>0，那么不等式f x≥−1的解集是．10. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px p>0的焦点为F，双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点（点A，B异于坐标原点O）．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是．11. 在△ABC中，A=120∘，AB=4．若点D在边BC上，且BD=2DC，AD=273，则AC的长为．12. 已知圆O:x2+y2=1，圆M:x−a2+y−a+42=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB=60∘，则实数a的取值范围为．13. 已知函数f x=ax2+x−b（a，b均为正数），不等式f x>0的解集记为P，集合Q=x−2−t<x<−2+t．若对于任意的正数t，P∩Q≠∅，则1a −1b的最大值是．14. 若存在两个正实数x，y，使得等式x+a y−2e x ln y−ln x=0成立，则实数a的取值范围为．二、解答题（共6小题；共78分）15. 已知α为锐角，cos α+π4=55.（1）求tan α+π4的值；（2）求sin2α+π3的值16. 如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．（1）求证：PB ∥平面MNC ； （2）若 AC =BC ，求证：PA ⊥平面MNC ．17. 如图，某城市有一块半径为 1（单位：百米）的圆形景观，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）建设一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 AB ．问：A ，B 两点应选在何处可使得小道 AB 最短?18. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 C 在椭圆 M :x 2a2+y 2b 2=1 a >b >0 上，点 A −a ,0 ，B 0,a3 ，且 AB =32BC ． （1）求椭圆 M 的离心率．（2）设椭圆 M 的焦距为 4，P ，Q 是椭圆 M 上不同的两点，线段 PQ 的垂直平分线为直线 l ，且直线 l 不与 y 轴重合． ①若点 P −3,0 ，直线 l 过点 0,−67，求直线 l 的方程；②若直线 l 过点 0,−1 ，且与 x 轴的交点为 D ，求点 D 的横坐标的取值范围．19. 对于函数 f x ，在给定区间 a ,b 内任取 n +1 n ≥2,n ∈N ∗ 个数 x 0，x 1，x 2，⋯，x n ，使得a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =b ，记 S = f x i +1 −f x i n−1i =0．若存在与 n 及 x i i ≤n ,i ∈N 均无关的正数 A ，使得 S ≤A 恒成立，则称 f x 在区间 a ,b 上具有性质 V ． （1）若函数 f x =−2x +1，给定区间为 −1,1 ，求 S 的值； （2）若函数 f x =xe x ，给定区间为 0,2 ，求 S 的最大值； （3）对于给定的实数 k ，求证：函数f x =k ln x −12x 2 在区间 1,e 上具有性质 V ．20. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且对任意的正整数 n 都有 a n = −1 n S n +p n （p 为常数，且p ≠0）． （1）求 p 的值；（2）求数列 a n 的通项公式；（3）设集合A n=a2n−1,a2n，且b n,c n∈A n，记数列nb n，nc n的前n项和分别为P n，Q n．若b1≠c1，求证：对任意的n∈N∗，P n≠Q n．答案第一部分1. x−2<x<1【解析】由题意知A∪B=x−2<x<1．2. −2【解析】因为z=m+2+2m−1i，由题意知m+2=0，所以m=−2．3. 1136【解析】连续抛掷一枚骰子两次，基本事件有36个，其中点数包含1的事件有1,1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,1，3,1，4,1，5,1，6,1，共11个．故所求的概率为P=1136．4. 9【解析】一个月销售量不少于150个的天数的频率为0.004+0.002×50=0.3，故一个月内日销售量不少于150个的天数为0.3×30=9．5. 4【解析】当S=15时，退出循环，此时k=4．6. 19【解析】设公差为d d≠0，则3a1+3d=a1+d2，a14a1+6d=2a1+d2，解得a1=1，d=2，所以a10=a1+9d=19．7. 83【解析】设B1E=x，则BE=6−x．由题意知V三棱锥A−A1EF =V三棱柱ABC−A1B1C1−V四棱锥A1−EB1C1F−V四棱锥A−BCFE =6×34×4×4−13×23×4x−13×23×46−x =243−1×23×4×6=243−163=8 3.8. −π12【解析】因为T=2πω=π，所以ω=2，则f x=2sin2x+φ．又f x过点 −π12,−2，则−π6+φ=−π4+2kπ，k∈Z或−π6+φ=−3π4+2kπ，k∈Z，所以φ=−π12+2kπ，k∈Z或φ=−7π12+2kπ，k∈Z．因为φ<π2，所以φ=−π12．9. −4,2【解析】当x≤0时，12x+1≥−1，所以x≥−4，即−4≤x≤0；当x>0时，−x−12≥−1，得0<x≤2．所以原不等式的解集为−4,2．10. y=±2x【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±bax，代入y2=2px，解得x=0或x=2a2pb．因为2a2pb =p2，即b2a=4，所以ba=2，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x．11. 3【解析】由题意知，AD=13AB+23AC，所以AD2=19AB2+49AB⋅AC+49AC2，所以289=169−89AC+49AC2，即 AC2−2 AC−3=0，所以 AC=3，所以AC的长为3．12. 2−22,2+22【解析】因为OA=OB=1，∠APB=60∘，所以OP=2，所以点P在圆x2+y2=4上．由题意知该圆与圆M相交或相切，所以1≤ a2+a−42≤3，即1≤2a2−8a+16≤9，所以2a2−8a+15≥0（恒成立），2a2−8a+7≤0，解得2−22≤a≤2+22，故实数a的取值范围为2−22,2+22．13. 12【解析】方法一：由题意知f−2=0，所以4a−2−b=0，所以1a −1b=4b+2−1b=3b−2b b+2．令t=3b−2>0，所以上式=9tt+2t+8=9t+16t+10≤918=12．当且仅当t=4，即a=1，b=2时取等号．方法二：由题意知4a−b=2，所以1−1=11−14a−b =15−b+4a≤125−4=12.当且仅当a=1，b=2时取等号．14. −∞,0∪1e,+∞【解析】由题意知a=−xy−2e x ln y−ln x=−1yx−2e ⋅ln yx．令t=yx>0，设f t=t−2e ln t，则fʹt=ln t−2et+1．因为fʹt在0,+∞上单调递增，且fʹe=0，所以f t在0,e上单调递减，在e,+∞上单调递增，所以f t的值域为−e,+∞，所以−1f t ∈−∞,0∪1e,+∞ ，故实数a的取值范围为−∞,0∪1e,+∞ ．第二部分15. （1）因为α∈0,π2，所以α+π4∈π4,3π4，所以sin α+π4=1−cos2 α+π4=255，所以tan α+π4=sin α+π4cos α+π=2．（2）因为sin2α+π=sin2 α+π=2sin α+πcos α+π=2×255×55=4,cos2α+π2=cos2 α+π4=2cos2 α+π4−1 =−3,所以sin2α+π=sin2α+π−π=sin2α+πcosπ−cos2α+πsinπ=45×32− −35×12=43+310.16. （1）因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB．因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC．（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN．又因为AC=BC，AM=BM，所以CM⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以CM⊥平面PAB．又因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA．因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，所以PA⊥平面MNC．17. 方法一：如图（1），分别由两条道路所在的直线建立平面直角坐标系xOy，设 A a ,0 ，B 0,b 0<a <1,0<b <1 ， 则直线 AB 的方程为 xa +yb =1， 即 bx +ay −ab =0． 因为直线 AB 与圆 C 相切， b 2+a 2=1，化简得 ab −2 a +b +2=0， 即 ab =2 a +b −2． 因为AB= a +b = a +b 2−2ab = a 2= a +b −2 2,因为 0<a <1，0<b <1， 所以 0<a +b <2， 所以 AB =2− a +b ． 又 ab =2 a +b −2≤ a +b 22，解得 0<a +b ≤4−2 2，a +b ≥4+2 2． 因为 0<a +b <2， 所以 0<a +b ≤4−2 2，所以 AB =2− a +b ≥2− 4−2 =2 −2， 当且仅当 a =b =2− 2 时取等号，所以 AB 的最小值为 2 2−2，此时 a =b =2− 2．答：当 A ，B 两点离道路的交点都为 2− 2 百米时，小道 AB 最短． 方法二：如图（2），连接CE ，CA ，CD ，CB ，CF ．设∠DCE=θ，θ∈0,π2，则∠DCF=π2−θ．在直角三角形CDA中，AD=tanθ2．在直角三角形CDB中，BD=tanπ4−θ2．所以AB=AD+BD=tanθ+tan π−θ=tan θ2+1−tanθ21+tanθ2.令t=tanθ2，0<t<1，则AB=f t=t+1−t1+t =t+1+21+t−2≥22−2，当且仅当t=2−1时取等号，所以AB的最小值为22−2，此时A,B两点离两条道路交点的距离是1−−1=2−．答：当A，B两点离道路的交点都为2−2百米时，小道AB最短．18. （1）设点C的坐标为x0,y0，则AB= a,a3，BC= x0,y0−a3．因为AB=32BC，所以 a,a3=32x0,y0−a3=32x0,32y0−a2，得x0=23a,y0=59a,代入椭圆的方程得a2=95b2．又a2−b2=c2，所以e=ca =23．（2）①因为c=2，所以a2=9，b2=5，所以椭圆的方程为x29+y25=1．设点Q的坐标为x0,y0，则x029+y025=1. ⋯⋯①又点P的坐标为−3,0，所以PQ的中点为x0−32,y02．因为PQ的垂直平分线l过点0,−67，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，所以y02+67x0−32⋅y0x0+3=−1，化简得x02=9−y02−127y0. ⋯⋯②将②代入①化简得y02−157y0=0，解得y0=0（舍去）或y0=157．将y0=157代入①得x0=±67，所以点Q的坐标为±67,157，所以PQ的斜率为1或59，直线l的斜率为−1或−95，所以直线l的方程为y=−x−67或y=−95x−67．②设直线PQ的方程为y=kx+m，则直线l的方程为y=−1kx−1，所以x D=−k．将直线PQ的方程代入椭圆的方程，消去y，得5+9k2x2+18kmx+9m2−45=0. ⋯⋯①设点P的坐标为x1,y1，点Q的坐标为x2,y2，中点为N，则x N=x1+x22=−9km5+9k，代入直线PQ的方程得y N=5m5+9k，将点N的坐标代入直线l的方程得9k2=4m−5. ⋯⋯②又因为Δ=18km2−45+9k29m2−45>0，化简得m2−9k2−5<0．将②代入上式得m2−4m<0，解得0<m<4，所以−113<k<113且k≠0，所以x D=−k∈ −113,0∪0,113．综上所述，点D的横坐标的取值范围为 −113,0∪0,113．19. （1）因为函数f x=−2x+1在区间−1,1上为减函数，所以f x i+1<f x i，所以f x i+1−f x i=f x i−f x i+1，故S=f x i+1−f x in−1i=0=f x0−f x1+f x1−f x2+⋯+f x n−1−f x n=f x0−f x n=f−1−f1=4.（2）由fʹx=1−xe x=0，得x=1．当x<1时，fʹx>0，所以f x在−∞,1上为增函数；当x>1时，fʹx<0，所以f x在1,+∞上为减函数．所以f x在x=1处取得极大值1e．设x m≤1<x m+1，m∈N，m≤n−1，则S=f x i+1−f x in−1i=0=f x1−f0+⋯+f x m−f x m−1+f x m+1−f x m+f x m+2−f x m+1+⋯+f2−f x n−1 =f x1−f0+⋯+f x m−f x m−1+f x m+1−f x m+f x m+1−f x m+2+⋯+f x n−1−f2 =f x m−f0+f x m+1−f x m+f x m+1−f2.因为f x m+1−f x m≤f1−f x m+f1−f x m+1，当x m=1时取等号，所以S≤f x m−f0+f1−f x m+f1−f x m+1+f x m+1−f2=2f1−f0−f2=2e−1e2.所以S的最大值为2e−1e2．（3）fʹx=kx −x=k−x2x，x∈1,e．①当k≥e2时，k−x2≥0恒成立，即fʹx≥0恒成立，所以f x在1,e上为增函数，所以S=f x i+1−f x in−1i=0=f x1−f x0+f x2−f x1+⋯+f x n−f x n−1=f x n−f x0=f e−f1=k+12−12e2.因此，存在正数A=k+12−12e2，都有S≤A，因此，f x在1,e上具有性质V．②当k≤1时，k−x2≤0恒成立，即fʹx≤0恒成立，所以f x在1,e上为减函数，设x m≤k<x m+1，m∈N，m≤n−1，则S=f x i+1−f x in−1i=0=f x1−f x0+⋯+f x m−f x m−1+f x m+1−f x m+f x m+2−f x m+1+⋯+f x n−f x n−1=f x1−f x0+⋯+f x m−f x m−1+f x m+1−f x m+f x m+1−f x m+2+⋯+f x n−1−f x n=f x m−f x0+f x m+1−f x m+f x m+1−f x n≤f x m−f x0+f x m+1−f x n+f x m+1−f k+f x m−f k=f x m−f x0+f x m+1−f x n+f k −f x m+1+f k −f x m=2f k −f x0−f x n=k ln k−k− −1+k−1e2=k ln k−2k+12+12e2.因此，存在正数A=k ln k−2k+12+12e2，都有S≤A，因此，f x在1,e上具有性质V．综上，对于给定的实数k，函数f x=k ln x−12x2在区间1,e上具有性质V．20. （1）由a1=−S1+p，得a1=p2．由a2=S2+p2，得a1=−p2．所以p2=−p2．又p≠0，所以p=−12．（2）由a n=−1n S n+ −12n ，得a n=−1n S n+ −12n, ⋯⋯①a n+1=−−1n S n+1+ −12n+1, ⋯⋯②①+②得a n+a n+1=−1n−a n+1+12× −12n．当n为奇数时，a n+a n+1=a n+1−12×12n，所以a n=−12n+1；当n为偶数时，a n+a n+1=−a n+1+12×12n，所以a n=−2a n+1+12×12n=2×12n+2+12×12n=12n．所以a n=−12,n为奇数,n∈N∗12n,n为偶数,n∈N∗．（3）A n= −14n ,14n，由于b1≠c1，则b1与c1一正一负，不妨设b1>0，则b1=14，c1=−14，则P n=b1+2b2+3b3+⋯+nb n≥14−242+343+⋯+n4n．设S=242+343+⋯+n4n，则14S=24+⋯+n−14+n4，两式相减得3 4S=242+143+⋯+14n−n4n+1 =116+116×1−14n−11−14−n4n+1 =748−112×14n−1−n4n+1<748.所以S<748×43=736，所以P n≥14−242+343+⋯+n4n>14−736=118>0．因为Q n=c1+2c2+3c3+⋯+nc n≤−14+S<−14+736=−118<0，所以P n≠Q n．。

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则AB = ▲ .2．已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = ▲ . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ .7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ .8．设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = ▲ .10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲ .11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为 ▲ .12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 ▲ .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xx mf x =+，设(),1,()(),1,f x x g x f x x >⎧=⎨-≤⎩若函S ←1For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第4题图AB CD第11题图数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点. （1）求证：//OM 平面11ABB A ； （2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .17．(本小题满分14分)如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？Oxy56π 第15题图2 3π A C B M OA 1 C 1B 1 第16题图18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r =. ①求证：1214k k =-；②求OP OQ ⋅的最大值.19．(本小题满分16分)已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.B A ··居民生活区 第17题图北xO 第18题图·yM PQ20．(本小题满分16分)设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-.（1）若数列{}n a 的通项公式为2nn a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 是单调数列，且满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式； （3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B .（选修4—2：矩阵与变换）ABDEO第21(A )题图C·设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为(22,)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.求证：1212121226a b c d +++++++≤.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B A C D --的大小为60︒，求实数λ的值.23．（本小题满分10分）设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一BACDB 1A 1C 1第22题图个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44TS ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n nTS 的表达式，并证明之.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1- 2. 102 3. 310 4. 17 5. 340 6. 927. 3- 8. 29. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33[,]22- 14.1(0,]1e + 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. …………6分所以()2sin()6f x x π=+. (8)分 （2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以3s i n ()62x π+∈-，即()[3,2]f x ∈-. …………14分 16．证明：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1A C 的中点，M 是BC 的中点，所以1//OM A B . (4)分又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ...............6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A . ...............8分而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ，又11ACC A 是正方形，所以11A C AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =， 所以1AC ⊥面1A BC . ...............12分又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . ...............14分17．解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ...............2分 设5,3PA x PB x==，则222(5)16cos 2165x x xPAB xx+-∠==+⨯⨯，...............6分 所以点P到直线AB的距离28s i n51()105xh P A P A B x x =∠=⋅-+42117644x x =-+-221(34)2254x =--+， ...............10分所以当234x =，即34x =时，h 取得最大值15千米.即选址应满足534PA =千米，334PB =千米. ...............14分解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. ...............2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >，则22223(8)5(8)x y x y ++=-+， 化简得，222(17)15(0)x y y -+=>， (10)分即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ...............14分18．解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为(3,0)，所以圆心M 的坐标为1(3,)2±， ...............2分 从而圆M的方程为2211(3)()24x y -+±=. …………4分（2）①因为圆M 与直线1:OP y k x =相切，所以10021||2551k x y k -=+， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， …………6分同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，B A ··yxOP所以12,k k 是方程2200(45)10450x k xy k y -++-=的两根， …………8分从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. (10)分 ②设点111(,),(,)P x y P x y ，联立12214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， …………12分 同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以O P O Q ⋅的最大值为52. ……………16分 19. 解：（1）由题意得(1)()xa x f x e -'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立，所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2x ∈都成立，从而0k ≥. ……………6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x=+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-， 综上所述，实数k的取值范围是[0,1)e -. ……………10分（3）结论是12()02x x g +'<. ……………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=，易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. ……12分因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1tx t t =-， 即证1l n 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ……………14分因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x xg +'<成立. ……………16分20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，所以1222iiii r +=-=，11i m ≤≤-. ……………4分（2）若{}n a 单调递减，则11i A a ==，i m B a =，所以10i m r a a =->，不满足2i r =-，所以{}n a 单调递增. ……………6分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ……………10分（3）构造1()2nn a n =-，其中n b n=，1()2n n c =-. ……………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2nn a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-，因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>，所以数列{}i r 单调递增，满足题意. ……………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）附加题答案21.A、解：因为CD 与O 相切于D ，所以C D A ∠=∠， …………2分又因为AB 为O 的直径，所以90ADB ∠=︒.又DE AB ⊥，所以EDA DBA ∆∆，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠. …………4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆. 所以4A EA C ==，所以225AD AE DE =+=， ………… 6分又DE AEBD AD=，所以154DE BD AD AE =⋅=. …………10分B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x y x y '=⎧⎨'=+⎩，代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=. ………10分C、解：点A的直角坐标为(2,2)-， …………2分圆E的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， …………6分则点A 到圆心E 的距离22(22)(22)422d r =-+--=>=，所以点A在圆E外. …………10分 D 、解：因2(12121212)4(12121212)a b c d a b c d +++++++≤+++++++， (6)分又1a b c d +++=，所以2(12121212)24a b c d +++++++≤，即1212121226a b c d +++++++≤. …………10分22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C …………2分（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)A D =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又11111144cos ,515||||35DB n DB n DB n ⋅<>===，所以直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值为4515. …………6分 （2）BD DC λ=，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=，124(,,2)11A D λλλ=-++， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,n λ=+. (8)分又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2n n <>=， 所以2112(1)1λ=++，解得31λ=-或31λ=--（不合题意，舍去）， 所以实数λ的值为31-. …………10分23.解：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分 （2）猜想12n n T n S +=. ……………5分下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立； ②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. ……6分则当1n k =+时，易知311k k S C ++=，而当集合M 从{}1,2,3,,k 变为{}1,2,3,,,1k k +时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分所以1k k T T +=+2k k ⨯+⨯+⨯++-32122k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=，即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分 （说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）。

2021届江苏省南京市、盐城市高三第二次模拟考试数学理科(总分值160分，考试时间120分钟)2021．4参照公式：圆锥的侧面积公式：S＝πrl，此中r为圆锥底面圆的半径，l为圆锥的母线长．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．1.会合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，那么A∩B＝________．2 .复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为________．3 .如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为－1，那么输入的实数x的值为________．(第3题)(第4题)4.某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了如图频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生有________个．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．6 .函敬f(x)是定义在R上的奇函敷，且周期为2，当x∈(0，1]时，f(x)＝x＋，那么f(a)的值为________．π7 .假定将函数f(x)＝sin(2x＋3)的图象沿x轴向右平移φ(＞φ0)个单位长度后所得的图象与f(x)的图象关8.于x轴对称，那么φ的最小值为________．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为________．此中9.数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，知足a＞0，b＞0，那么a＋b的值为________．{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，－2}，10. 点P 是抛物线x 2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0，－1)，那么PF的最小值为PA________．11.x ，y 为正实数，且xy ＋2x ＋4y ＝41，那么x ＋y 的最小值为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x －m)2＋y 2＝r 2(m ＞0)．过原点O 且互相垂直的两条直线l1和l2，此中l1与圆C 订交于A ，B 两点，l2与圆C 相切于点 D.假定AB ＝OD ，那么直线l1的斜率为________．→→ →2，那么边BC 的长为________．13.在△ABC 中，BC 为定长，|AB ＋2AC |＝3|BC|.假定△ABC 面积的最大值为 函数f(x)＝e x －x －b(e 为自然对数的底数，b∈R)．假定函数g(x)＝f(f(x)－12)恰有4个零点，那么实数b 的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共 90分.解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．(本小题总分值14分)如图，在三棱锥 PABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面 PDE 上平面ABC. 求证：AC∥平面PDE ；假定PD ＝AC ＝2，PE ＝3，求证：平面PBC⊥平面ABC.(本小题总分值14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB.(1)求B的值；(2 )17，cosA＝－7，求b的值．设∠BAC的均分线AD与边BC交于点D.AD＝725(本小题总分值14分)如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C参观，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC切点分别为D，E，此中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆︵(1)修筑栈道DE，记∠CBD为θ.(2)用θ表示栈道的总长度f(θ)，并确立sinθ的取值范围；求当θ为什么值时，栈道总长度最短．相距3千米．为方便游人到小岛上，且BD，BE均与圆C相切，C的优弧(圆C上实线局部)上再18.(本小题总分值16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2＋y212＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点(0，3)．b22a求椭圆C的方程；△BMN是椭圆C的内接三角形．①假定点B为椭圆C的上极点，原点O为△BMN的垂心，求线段MN的长；②假定原点O为△BMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值．19.20.(本小题总分值16分)函数f(x)＝x3－x2－(a－16)x，g(x)＝alnx，a∈R.函数h(x)＝f〔x〕－g(x)的导函数h′(x)在[5，4]x2上存在零点．(1)务实数a的取值范围；(2 )假定存在实数a，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时获得最大值，求正实数b的最大值；(3 )假定直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，且l在y轴上的截距为－12，务实数a的值．(本小分16分)无数列{an}的各均正整数，其前n和Sn. Tn数列{an}的前an和，即Tn a1＋a2＋⋯＋an.假定数列{an}等比数列，且a1＝1，S4＝5S2，求T3的；(2)假定数列{a }等差数列，且存在独一的正整数Tn}的通公n(n≥2)，使得an<2，求数列{an n 式；(3)假定数列{Tn}的通Tn＝n〔n＋1〕，求：数列{a n}等差数列.22021届高三模拟考试一试卷数学附带题(总分值40分，考试时间30分钟)21.【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只好选做两题，每题 10分，共20分．假定多做，那么按作答的前两题计分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修42：矩阵与变换)矩阵M ＝[1 21 02 ]，MN ＝[0 ]．11求矩阵N ；求矩阵N 的特点值．B.(选修44：坐标系与参数方程)x ＝2t ，在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1 2 (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴y ＝t2为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－π4)＝2.假定直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长．C.(选修45：不等式选讲)a＞0，求证：a2＋12－a2≥a＋1－2.a【必做】第22，23，每小10分，共20分．解答写出必需的文字明、明程或演算步．22.某商行有促活，客每400元的商品即可抽一次．抽以下：抽者各面有1～6点数的正方体骰子1次，假定得点数大于4，可在抽箱中抽；否得三等，束抽．抽箱中装有2个球与m(m≥2，m∈N*)个白球，抽者从箱中随意摸出2个球，假定2 个球均球，得一等；假定2个球1个球和1个白球，得二等；否，得三等(抽箱中的全部小球，除色外均同样)．假定m＝4，求客参加一次抽活得三等的概率；(2)假定一等可金 400元，二等可金300元，三等可金100元，客一次抽所得的金X，假定商希望X的数学希望不超150元，求m的最小．23.会合n，2，⋯，n}，n∈N*，n≥2，将An的全部子集随意摆列，获得一个有序会合(M1，A＝{12m n k中元素的个数k，k∈N*，k≤m，定空集中元素的个数0.M，⋯，M)，此中m＝2.会合M a 当n＝2，求a1＋a2＋⋯＋am的；(2)利用数学法明：不n(n≥2)何，存在有序会合(M1，M2，⋯，Mm)，足随意i∈N*，i≤m－1，都有|a－a|＝1.i i＋12021届高三模拟考试一试卷(南京、盐城) 数学参照答案及评分标准14.3255.1π8.65π9.510.2251.{1，3}2.53.－427.211.812.±25113.214.(1，2＋ln2)15.证明：(1)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC.(2分)因为AC?平面PDE，DE?平面PDE，所以AC∥平面PDE.(4分)(2)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以1DE＝2AC.因为AC＝2，所以DE＝1.因为PD＝2，PE＝3，所以PD2＝PE2＋DE2，所以在△PDE中，PE⊥DE.(8分)又平面PDE⊥平面ABC，且平面PDE∩平面ABC＝DE，PE?平面所以PE⊥平面ABC.(12分)因为PE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.(14分)16.解：(1)因为a＝bcosC＋csinB，PDE，由a＝b＝c，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．(2分)sinA sinBsinC因为sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，即cosBsinC＝sinCsinB．(4分)因为0＜C ＜π，所以 sinC≠0，所以sinB ＝cosB.π(2) 又0＜B ＜π，所以sinB≠0，进而cosB≠0，所以tanB ＝1，所以B ＝4.(6分)因为AD 是∠BAC 的均分线，设∠BAD＝θ，所以A ＝2θ.因为cosA ＝－7，所以cos2θ＝cosA ＝－7，即2cos 2θ－1＝－7，所以cos 2θ＝925252525.因为0＜A ＜π，所以 0＜θ＜ π1－cos 2θ＝ 4 .，所以cosθ＝3，所以sinθ＝255在△ABD中，sin∠ADB＝sin(B ＋θ)＝sin( πππ sinθ＝ 2 3 4 72.(8分)＋θ)＝sin 4 cosθ＋cos 4 2 ×( ＋)＝1045 5由AD＝ AB，所以AB ＝ADsin∠ADB ＝17×7 2× 2＝17分)sinB sin∠ADBsinB7 105.(10在△ABC 中，sinA ＝ 1－cos 2A ＝24，25所以sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝2×(24－717 2.(12分)2 25 25)＝5017 2由b ＝5×2c ，得b ＝csinB ＝＝5.(14分)sinB sinCsinC17 25017.解：(1)连接CD ，因为BD 与圆C 相切，切点为D ，所以△BCD 为直角三角形．因为∠CBD ＝θ，且圆形小岛的半径为 1千米，所以DB ＝1 ，BC ＝1tanθsinθ.因为岸边上的点A 与小岛圆心C 相距3千米，所以AB ＝AC －BC ＝3－1sinθ.(2分)因为BE 与圆C 相切，所以BE ＝DB＝1︵2π－(π－2θ)＝π＋2θ，所以优，优弧DE 所对圆心角为tanθ︵弧DE 长l 为π＋2θ.(4分)所以f(θ)＝AB ＋BD ＋BE ＋l ＝3－1 ＋1＋1 ＋π＋2θ＝3＋π＋2θ＋2cosθ－1.(6分)sin θtan θsinθtanθ因为0＜AB ＜2，所以0＜3－1 ＜2，解得 1＜sinθ＜1，sinθ3所以sinθ的取值范围是(1，1)．(8分)3－2＋cosθθ〔1－2cosθ〕(2)由f(θ)＝3＋π＋2θ＋ 2cosθ－1，得f′(＝θ)sin 2θ ＋2＝cossin θsin 2θ.(10分)令f′(＝θ)0，解得cosθ＝1.2π因为θ为锐角，所以θ＝3.(12分)设sinθ01，θ0 为锐角，那么 0π＝3 0＜θ＜3.当θ∈(θππ3)上单一递减；0，3)时，f′(θ)＜0，那么f(θ)在(θ，0当θ∈( π ππ π3，2)时，f′(θ)＞0，那么f( θ)在(3 ，2)上单一递加．所以f(πθ)在θ＝时获得最小值．3π(14分)答：当θ＝3时，栈道总长度最短．18.解：(1)记椭圆C 的焦距为 2c ，因为椭圆C 的离心率为1，所以c ＝1 .2a2因为椭圆C 过点(0，3)，所以b ＝3.因为a 2－c 2＝b 2，解得c ＝1，a ＝2，x 2 y 2故椭圆C 的方程为 4＋ 3＝1.(2分)(2)①因为点B 为椭圆C 的上极点，所以 B 点坐标为(0，3)．因为O 为△BMN 的垂心，所以BO⊥MN，即MN⊥y 轴．由椭圆的对称性可知M ，N 两点对于y 轴对称．(4分)不如设M(x0，y0)，那么N(－x0，y0)，此中－3＜y0＜3.→ →3)＝0，因为MO⊥BN，所以MO·BN＝0，即(－x 0，－y 0)·(－x 0，y 0－2 2得x0－y0＋3y0＝0.(6分)22又点M(x0，y0)在椭圆上，那么x0＋y0＝1.432 2＋3y0＝0，x0 －y0 32 33由x0 y0 4 或y0＝解得y0＝－3(舍去)，此时|x0|＝.2 24＋3＝1， 77故MN ＝2|x0 433，即线段MN 的长为4 33|＝ 77.(8分)(解法1)设B(m ，n)，记线段MN 中点为D.因为O 为△BMN 的重心，所以→→，那么点D 的坐标为(－m nBO ＝2OD 2 ，－)．(10分)2假定n ＝0，那么|m|＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点 O 到直线 MN 的距离为 m，即为1.2 假定n≠0，此时直线 MN 的斜率存在．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么x1＋x2＝－m ，y1＋y2＝－n.222 2〔x1＋x2〕〔x1－x2〕＋〔y1＋y2〕〔y1－y2〕＝0，又x1＋y1＝1，x2＋y2＝1，两式相减得434 343y －y 3m可得kMN＝1 2＝－4n .(12 分)1 2x －x故直线MN 的方程为y ＝－3m (x＋ m )－ n ，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，4n22那么点O到直线MN的距离为d＝|3m2＋4n2|22. 36m＋64n22将m＋n＝1，代入得d＝3.(14分)43n2＋9因为0＜n2≤3，所以d min＝32.33又2＜1，故原点O到直线MN 距离的最小值为2.(16分)(解法2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，B(x3，y3)，因为O为△BMN的重心，所以x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝0，那么x3＝－(x1＋x2)，y3＝－(y1＋y2)．(10分) 2222因为x3＋y3＝1，所以〔x1＋x2〕＋〔y1＋y2〕＝1.4343x 2y2x2y2xx yy1 112222将1，11＋＝＋＝1，代入得4＋3＝－.(12分) 43432假定直线MN的斜率不存在，那么线段MN的中点在x轴上，进而B点位于长轴的极点处．因为OB ＝2，所以此时原点O 到直线MN 的距离为1.假定直线MN 的斜率存在，设为 k ，那么其方程为 y ＝kx ＋n.y ＝kx ＋n ，由2 22 22x ＋y＝1， 消去y 得(3＋4k)x ＋8knx ＋4n－12＝0(*)．3那么＝(8kn)2－4(3＋4k 2)(4n 2－12)＞0，即3＋4k 2＞n 2.由根与系数关系可得x18kn，x124n 2－122，＋x＝－3＋4k 2 x ＝3＋4k 2那么y1y2＝(kx1＋n)(kx2＋n)＝k 2x1x2＋kn(x1＋x2)＋n 2＝3n 2－12k 2，3＋4k 2x1x2y1y211 4n 2－12 13n 2－12k 213.(14分)代入4＋ ＝－ 2 ，得 4 × 3＋4k 2 ＋ ×3＋ 4k 2＝－，即n 2＝k 2＋3324又3＋4k 2＞n 2，于是3＋4k2＞k2＋3，即3k2＋9＞0恒成立，所以k∈R .44|n |k2＋31原点(0，0)到直线MN的距离为d＝＝4＝1－k2＋14〔k2＋1〕.k2＋1因为k2≥0，所以当k＝0时，dmin＝32.33又2＜1，故原点O到直线MN距离的最小值为2.(16分)解：(1)因为h(x)＝f〔x〕－g(x)＝x2－x－(a－16)－alnx，xa 2x2－x－a所以h′(x)＝2x－1－x＝x.令h′(x)＝0，得2x2－x－a＝0.因为函数h′(x)在[5，4]上存在零点，即y＝2x2－x－a在[5，4]上存在零点，22又函数y＝2x2－x－a在[5，4]上单一递加，22×〔5〕2－5－a≤0，解得10≤a≤28.所以222×42－4－a≥0，所以，实数a的取值范围是[10，28]．(2分)(解法1)因为当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0处获得最大值，即存在实数a，当x∈[0，b]时，f(0)≥f(x)恒成立，即x3－x2－(a－16)x≤0对随意x∈[0，b]都成立．(4分)当x＝0时，上式恒成立；(6分)当x∈(0，b]时，存在a∈[10，28]，使得x2－x＋16≤a成立，(8分)所以x2－x＋16≤28，解得－3≤x≤4，所以b≤4.故当a＝28时，b的最大值为4.(10分)(解法2)由f(x)＝x3－x2－(a－16)x，得f′(x)＝3x2－2x －(a－16)．设＝4＋12(a－16)＝4(3a－47)．假定Δ≤0，那么f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，b]上单一递加，所以当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时不可以获得最大值，于是＞0，(4分)故f′(x)＝0有两个不一样的实数根，记为x1，x2(x1＜x2)．假定x1＞0，那么当x∈(0，x1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，x1)上单一递加，所以当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0时不可以获得最大值，所以x1≤0.(6分)2又x1＋x2＝3＞0，所以x2＞0，进而当x∈(0，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单一递减；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单一递加，假定存在实数a，当x∈[0，b]时，函数f(x)在x＝0处获得最大值，那么存在实数a，使得f(0)≥f(b)成立，即b3－b2－(a－16)b≤0.(8分)所以存在a∈[10，28]，使得b2－b＋16≤a成立，所以b2－b＋16≤28，解得－3≤b≤4，故当a＝28时，b的最大值为4.(10分)(3)设直线l与曲线y＝f(x)相切于点A(x1，f(x1))，与曲线y＝g(x)相切于点B(x2，g(x2))，过点A(x1，f(x1))的切线方程为3 2]＝[3x 2 －(a －16)](x－x1)，即 y ＝[3x 2－2x1y －[x1－x1－(a －16)x1 1－2x1 1 －(a －16)]x －2x 3 21＋x 1.过点B(x2，g(x2))的切线方程为y －alnx2＝a (x －x2)，即y ＝a x ＋alnx2－a.x2 x2因为直线l 在y 上的截距为－ 12，2a①，3x1－2x1－〔a －16〕＝x2所以(12分)－32②，2x1＋x1＝－12alnx2 －a ＝－12 ③.24－a ＝a，1－x2由②解得x 1＝2，那么x 2消去a ，得lnx 2＋2x ＝0.(14分)22alnx －a ＝－12，由(1)知10≤a≤28，且x 2＞0，那么x 2≥57.1－x5 1 1 2x －1令p(x)＝lnx ＋2x，x∈[7，＋∞)，那么p′(x)＝x －2x2＝2x2.因为p′(x)＞0，所以函数p(x)在[5，＋∞)上为增函数．7因为p(1)＝0，且函数p(x)的图象是不中断的，所以函数p(x)在[5，＋∞)上有独一零点1，71－x2所以方程lnx2＋2x2＝0的解为x2＝1，所以a＝12.所以实数a的值为12.(16分)(1)解：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝5S2，所以a1＋a2＋a3＋a4＝5(a1＋a2)，即a3＋a4＝4(a1＋a2)，所以a1q2(1＋q)＝4a1(1＋q)．因为数列{an}的各项均为正整数，所以a1，q均为正数，所以q2＝4，解得q＝2.又a1＝1，所以an＝2n－1，进而a3＝4，所以T3＝S4＝1＋2＋22＋23＝15.(2分)解：设等差数列{an}的公差为d，那么an＝a1＋(n－1)d.因为数列{an}的各项均为正整数，所以d∈Z.假定d＜0，令a1a，这与{an}为无量数列相矛盾，n＞0，得n＜1－d 所以d≥0，即d∈N.(4分)因为Sn n〔n－1〕d，所以Tn n n－1〕d，所以Tn＝a1〔an11n a〔a－1〕d.＝na＋2＝aa＋2＋2an由Tn＜2，得a1＋〔an－1〕d＜2.(6分)an2因为a*，d∈N，所以2＞a〔an－1〕d≥a1∈N 1＋21≥1，所以a1＝1.〔n－1〕d2于是1＋＜2，即(n－1)d2＜2.2①假定d＝0，那么存在无量多个n(n≥2)，使得上述不等式成立，所以d＝0不合题意；(8分)2②假定d∈N*，那么n＜1＋d2，因为存在独一的正整数n(n≥2)，使得该不等式成立，所以2＜1＋d 22≤3，即1≤d 2＜2.又d∈N *，所以d ＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(10分) 明：因Sn ＋1－Sn ＝an ＋1＞0，所以Sn ＋1＞Sn ，即数列{Sn}增．又Tn ＋1 n〔n ＋1〕〔n ＋2〕－n 〔n ＋1〕＝n ＋1＞0，－T ＝2 2所以Tn ＋1＞Tn ，即San ＋1＞San ，因数列{Sn}增，所以an ＋1＞an.(12分)又an * ，所以an＋1nn ＋1n∈N≥a＋1，即a －a≥1，所以an ＋1－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋⋯＋(an＋1－an )≥n，所以an ＋11n≥a＋n≥1＋n ，即a≥n(n≥2)．又a1n①.(14 分)≥1，所以a≥n 由Tn ＋1－Tn ＝n ＋1，得aan ＋1＋aan ＋2＋⋯＋aan ＋1＝n ＋1， 所以n ＋1≥aa n ＋1≥a n ＋1，即an ≤n ②. 由①②知an ＝n ，所以an ＋1－an ＝1，所以数列{an}等差数列． (16分)2021届高三模拟考试一试卷(南京、盐城)数学附带题参照答案及评分标准21.A.解：(1)因为M＝12，MN＝10，所以N＝M－1.(2分)2101因为|M|＝1×1－2×2＝－3，(4分)1－212所以N＝M －1－3－3＝－33.(6分)＝－2121－3－33－31－2λ＋3312221(2)N的特点多项式f(λ)＝－21＝(λ＋3)－(－3)＝(λ－3)(λ＋1)．(8分)3λ＋3令f(λ)＝0，解得λ＝1或－1，31所以N的特点值是3和1.(10分)B.解：曲线C的一般方程为1x212分) y＝()＝x.(2228由直线l的极坐标方程ρcos(θ－ππθsinπ4)＝＋sin4)＝2，2，得ρ(cosθcos 422即2x ＋2y ＝2，所以直线l 的方程为y ＝－x ＋2.(4分)1 2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组y ＝ x 8y ＝－x ＋2，消去y ，得x 2＋8x －16＝0，(6分) 那么x1＋x2＝－8，x1x2＝－16，所以AB ＝ 1＋〔－1〕2|x1－x2|＝ 2× 〔x1＋x2〕2－4x1x2＝ 2× 〔－8〕2－4×〔－16〕＝16.(10分)1证明：(证法1)因为a ＞0，所以a ＋a ≥2，要证 a 2＋12－2≥a＋1－2，a a只要证a 2＋12≥(a＋1)－(2－2)．aa因为(a ＋1)－(2－2)＞0，aa 2＋12) 〔a ＋1〕－〔2－2所以只要证(2≥ 2〕 ，(4分)a a11≥2.(8分)即2(2－2)(a ＋)≥8－4 2，即证a ＋aa1成立，所以要证的不等式成立．(10分)因为a＋a≥211(法2)令t＝a＋a，因a＞0，所以a＋a≥2，即t≥2.要a2＋12－2≥a＋1－2，a a即t2－2－2≥t－2，即t－t2－2≤2－2，(4分)即2≤2－2.(6分) t＋t2－2因为f(t)＝t＋t2－2在[2，＋∞)上增，f(t)≥f(2)＝2＋2，故2≤2＝2－2.t＋t2－22＋2所以要的原不等式成立．(10分)22.解：(1)“客参加一次抽活得三等〞事件 A.因m＝4，所以P(A)＝4＋2×C 22＋1×2＝4. 24＝66C63355答：客参加一次抽活得三等的概率45.(4分) (2)X的全部可能取400，300，100.2P(X＝400)＝2×C22＝2，6C2＋m3〔m＋1〕〔m＋2〕2114mCCmP(X ＝300)＝2× 2 ＝，6C2＋m3〔m ＋1〕〔m ＋2〕P(X ＝100)＝4＋2×2m 〔m －1〕C m ＝2＋，(7分)662＋m 33〔m ＋1〕〔m ＋2〕2CE(X) ＝ 400×2＋300×4m ＋ 100×[ 2＋3〔m ＋1〕〔m ＋2〕 3〔m ＋1〕〔m ＋2〕 3 m 〔m －1〕 ]≤150，化得3m 2－7m －6≥0.3〔m ＋1〕〔m ＋2〕因m≥2，m∈N *，所以m≥3， 所以m 的最小3.(10分)(1)解：当n ＝2，A2的子集?，{1}，{2}，{1，2}，且m ＝4. 所以a1＋a2＋⋯＋am ＝0＋1＋1＋2＝4.(2分)明：①当n ＝2，取一个会合(M1，M2，M3，M4)＝(?，{1}，{1，2}，{2})，此a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝1，足随意i∈N *，i≤3，都有|ai －ai ＋1|＝1，所以当n ＝2命成立．(4分)②假n ＝k(k∈N *，k≥2)，命成立，即于Ak ＝{1 ，2，⋯，k}，存在一个会合 (M1，M2，⋯，Mm)足随意i∈N*，i≤m－1，都有|ai－ai ＋1|＝1，此中m ＝2k .当n ＝k ＋1，Ak ＋1＝{1，2，⋯，k ，k ＋1}，会合Ak ＋1的全部子集除掉 M1，M2，⋯，Mm 外，其他的子集都含有k ＋1.令Mm＋1＝Mm∪{k＋1}，Mm＋2＝Mm －1∪{k＋1}，⋯，M2m＝M1∪{k＋1}，取会合(M1，M2，⋯，Mm，Mm＋1，Mm＋2，⋯，M2m)，此中2m＝2k＋1，(6分)依据假知|a i－a i＋1|＝1，此中i∈N*，m ＋1≤i≤2m－1，(8分)所以此会合足|a i－a i＋1|＝1，此中i∈N*，i≤m－1或m＋1≤i≤2m－1.又Mm＋1＝Mm∪{c}，所以|am－am ＋1|＝1，所以|a i－a i＋1|＝1，此中i∈N*，i≤2m－1，即当n＝k＋1，命也成立．上，不n何，存在有序会合(M1，M2，⋯，Mm)，足随意i∈N*，i≤m－1，都有|ai－ai＋1|＝1.(10分)。