B04--选修2-2 2.2 直接证明与间接证明(3课时)

庖丁巧解牛知识·巧学一、综合法和分析法1.综合法一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:要点提示①综合法是“由因导果”.即由已知条件出发,推导出所要证明的等式或不等式成立,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.②综合法的格式——从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“∵,∴”或“⇒”.2.分析法一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:要点提示①分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法.②分析法格式——与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等).这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证…,只需…”或“⇐”.知识拓展有时解题,需一边分析,一边综合,称之为分析综合法,或称两头凑法.两头凑法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.辨析比较综合法与分析法的区别与联系分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,实际上要寻求它的充分条件;综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“求知”,逐步推理,实际上是寻求它的必要条件.分析法与综合法各有特点.有些具体的待证命题,用分析法或综合法都可以证出来,人们往往选择比较简单的一种.事实上,在解决问题时,我们经常把综合法与分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.二、反证法反证法一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法.深化升华用反证法证明命题“若p则q”时,可能会出现以下三种情况:①导出非p为真,即与原命题的条件矛盾;②导出q 为真,即与假设“非q 为真”矛盾;③导出一个恒假命题.知识拓展 用反证法证明问题的步骤①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.③从矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.知识拓展 适宜用反证法证明的数学命题①结论本身是以否定形式出现的命题.②关于唯一性,存在性的命题.③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题.④结论的反面比原结论更具体,更容易研究的命题.问题·探究问题1 综合法与分析法各有怎样的特点?思路:明确综合法与分析法的定义是关键.它们都是用来证明数学命题的基本方法,二者虽有区别,但证题的过程中又是密不可分的.探究:综合法是由原因推出结果的思维方式.分析法是由结果追溯到这一结果的原因的思维方式.问题2 桌面上有3枚正面(有面额的那面)朝上的硬币,每次用双手同时翻转2枚硬币,那么无论怎样翻转,都不能使硬币全部反面朝上,你能解释这种现象吗?思路:本题若从正面入手考虑,很难找到解决问题的切入点.此时我们不妨利用间接法(反证法)来说明这个问题.探究:假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上,由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要翻转(3×奇数)次,即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数,即偶数次,这个矛盾说明假设错误,所以原结论成立.问题3 用反证法证明问题的本质是什么？在证明的过程中要注意什么?如何反设？思路:反证法的本质是:由证明p ⇒q 转向证明q ⌝⇒r ⇒……⇒t,t 与假设或与某个真命题矛盾,q ⌝为假,推出q 为真的方法.以上由定义可以得出,围绕定义不难得出这几个问题的答案?探究:从逻辑角度看,命题“若p 则q”的否定是“若p 则q ⌝”.由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若p 则q ⌝”为假,因此可知“若p 则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:(1)等于——不等于;(2)大于——小于等于;(3)小于——大于等于;(4)结论对所有的x 成立——存在某个x 使结论不成立;(5)至少有一个——一个也没有;(6)至多一个——至少两个;(7)至少n 个——至多n-1个;(8)至多n 个——至少n+1个;(9)p 或q ——p ⌝且q ⌝;(10)p 且q ——p ⌝或q ⌝.典题·热题例1（2005全国高考卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足A 2sin 1=tanB,则有( ) A.sin2A-cosB=0 B.sin2A+cosB=0C.sin2A-sinB=0D.sin2A+sinB=0思路解析:由已知得BB A A A A cos sin cos sin 21cos sin =∙-, ∴AA A cos sin 21sin 22-=tanB.∴A A 2sin 2cos -=tanB. ∴-cot2A=tanB.∴tan(2A+2π)=tanB. ∴2A+2π-π=B. ∴2A-B=2π.∴2A-2π=B.∴sin(2A-2π)=sinB.∴cos2A-sinB=0. ∴cos(2A-2π)=sin2A.∴sin2A=cosB. ∴sin2A-cosB=0.答案:A例2（2005全国高考卷Ⅲ）若a=55ln ,33ln ,22ln ==c b ,则( ) A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c思路解析:a-b=6163ln 22ln 333ln 22ln =-=-(ln8-ln9)<0,所以a<b. 同理,可得c<a,因而c<a<b.答案:C例3设a>0,b>0,a+b=1.求证:(1)abb a 111++≥8; (2)(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225. 思路分析:要证的不等式是在已知条件下成立的,从不等式的结构及与已知的关系考虑,可用综合法证之.证明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab1≥4. ∴a 1+b 1+ab 1=(a+b)(a 1+b 1)+ab 1≥ab ·2ab1+4=8. ∴a 1+b 1+ab1≥8. (2)∵2b a +≤222b a +,则222)2(2b a b a +≥+.∴(a+a 1)2+(b+b 1)2≥2(211b b a a +++)2=2252)121(2)111(22≥+≥++ab b a . ∴(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225 深化升华 利用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式.但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要把握住不等号方向始终如一的正确性.例4已知x>0,y>0,求证:31332122)()(y x y x +>+.思路分析:本题若直接运用综合法,则不易发现与已知不等式的关系,因而可试用分析法. 证明:要证明31332122)()(y x y x +>+只需证(x 2+y 2)3>(x 3+y 3)2,即证x 6+3x 4y 2+3x 2y 4+y 6>x 6+2x 3y 3+y 6,即证3x 4y 2+3x 2y 4>2x 3y 3.∵x>0,y>0,∴x 2y 2>0,即证3x 2+3y 2>2xy.∵3x 2+3y 2>x 2+y 2≥2xy,∴3x 2+3y 2>2xy 成立. 故31332122)()(y x y x +>+深化升华 该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式,从而找到使它成立的条件.当然,该例也可以用分析综合法证明.例5若tan(α+β)=2tanα,求证:3sinβ=sin(2α+β).思路分析:本题存在三角函数的角的形式的联系:β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,这是本题的切入点.证明:∵tan(α+β)=2tanα,∴ααβαβαcos sin 2)cos()sin(=++. 2sinαcos(α+β)=cosαsin(α+β).又3sinβ=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β),sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β).∴3sinβ=sin(2α+β).深化升华 综合法证题是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”,它的逐步推理,是在寻找它的必要条件.例6如图2-2-2所示,AB 为⊙O 的直径,⊙O 在平面γ内,SA ⊥平面γ,∠SBA=30°,动点P 在圆O 上移动(不重合于A,B 两点),以N 和M 表示点A 在SP,SB 上的射影,∠BAP=α,求证:图2-2-2(1)△SPB 是直角三角形;(2)AN ⊥平面SPB.思路分析:熟练掌握空间垂直的判定定理是成功解题的关键.证明:(1)∵SA ⊥平面APB,P 为圆周上的一点,∴AP ⊥PB.又∵AP 为SP 在平面γ上的射影,∴SP ⊥PB.∴△SPB 是直角三角形.(2)∵PB ⊥SA,PB ⊥SP,SA∩SP=S,∴PB ⊥平面SAP.又AN ⊂平面SAP,∴PB ⊥AN.又∵SP ⊥AN,PB∩SP=P,∴AN ⊥平面SPB.深化升华 在高中数学的证明题中,立体几何占有很大的一部分.其中以综合法为主,主要是培养大家的逻辑推理能力.拓展延伸如图2-2-3所示,四棱锥P —ABCD 中,PC ⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,且PB=4PM,PB 与平面ABC 成30°角.图2-2-3(1)求证:CM ∥平面PAD;(2)求证:面PAB ⊥面PAD.证明:(1)以C 为原点,以CD 、CB 、CP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. ∠PBC=30°,|PC|=2,|BC|=32,|AB|=4,不难得出D(1,0,0),B(0,32,0),P(0,0,2),M(0,23,23). 设43=⇒+=x DA y DP x CM ,y=41. ∴,,共面. ∵CM ⊄平面PAD,∴CM ∥平面PAD.(2)作BE ⊥PA 于E,∵|PB|=|AB|=4,∴E 为PA 中点.∴E(2,3,1),则BE =(2,3-,1).∴DA BE ∙=0.∴BE ⊥DA.又BE ⊥PA,∴BE ⊥面PAD.∴面PAB ⊥面PAD.深化升华 在空间中证平行、垂直时,可建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算来证明问题,这是空间向量的一个重要应用.例7设n ∈N ,求证:1+12313121222+≥+++n n n . 思路分析:把结论分解为两部分进行考查.证明:设x n =1+12313121222+≥+++n n n, 则有Δx n =x n+1-x n =2)1(1+n >0,Δy n =y n+1-y n =1)1(432-+n >0. 可知,数列{x n }与{y n }都是单调递增数列.再运用综合法,先寻求两个数列的联系.x 1=y 1=1,1)1(432-+n <2)1(44+n =2)1(1+n ,把这种关系概括为Δx n ≥Δy n . x n+1=x 1+Δx 1+Δx 2+…+Δx n ;y n+1=x 2+Δy 1+Δy 2+…+Δy n .显然,x n+1≥y n+1,即1+12313121222+≥+++n n n . 深化升华 上述思考过程的前半部分运用了分析法,后半部分运用了综合法.例8(2005江苏高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=6,a 3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,n=1,2,3,…,其中A 、B 为常数.(1)求A 与B 的值;(2)证明数列{a n }为等差数列;(3)证明不等式n m m a a a -5>1对任何正整数m 、n 都成立.(1)解:由已知得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18.由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B 知,⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482,28,2123,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得A=-20,B=-8.(2)证法一:由(1)得(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8,①∴(5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28,②②-①得(5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20,③∴(5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20,④④-③得(5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0.∵a n+1=S n+1-S n ,∴(5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0.又∵5n+2≠0,∴a n+3-2a n+2+a n+1=0,即a n+3-a n+2=a n+2-a n+1,n≥1.又a 3-a 2=a 2-a 1=5,∴数列{a n }为等差数列.证法二:由已知,S 1=a 1=1,又(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8且5n-8≠0,∴数列{S n }是唯一确定的,因而数列{a n }是唯一确定的.设b n =5n-4,则数列{b n }是等差数列,前n 项和T n =2)35(-n n , 于是(5n-8)T n+1-(5n+2)T n =(5n-8)2)35()25(2)25)(1(---++n n n n n =-20n-8. 由唯一性得b n =a n ,即数列{a n }是等差数列.(3)证明:由(2)可知a n =1+5(n-1)=5n-4, 要证n m m a a a -5>1,只要证5a mn >1+a m ·a n +n m a a ∙2,因为a mn =5mn-4,a m ·a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+n m a a ∙2,即只要证20m+20n-37>n m a a ∙2. 因为n m a a ∙2≤a m +a n =5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以原命题得证.深化升华 本小题主要考查等差数列的有关知识,不等式的证明方法,考查思维能力,运算能力.例9数列{a n }的前n 项和S n =2a n -3n(n ∈N *).(1)求{a n }的通项公式;(2)数列{a n }中是否存在三项,它们按原顺序可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.思路分析:存在性探索题可运用反证法的思想,先假设存在,若推出矛盾,即假设存在不成立;若推出符合存在性的条件,则存在性成立.解:(1)a 1=S 1=2a 1-3,则a 1=3.由⇒⎩⎨⎧-=+-=++n a S n a S n nn n 32)1(3211a n =S n+1-S n =2a n+1-2a n -3⇒a n+1+3=2(a n +3), ∴{a n +3}为等比数列,首项为a 1+3=6,公比为2.∴a n +3=6·2n-1,即a n =3·2n -3.(2)假设数列{a n }中存在三项a r ,a s ,a t (r<s<t),它们可以构成等差数列,且a r <a s <a t .∴只能是a r +a t =2a s ,即3(2r-1)+3(2t-1)=6(2s-1).∴2r +2t =2s+1.∴1+2t-r =2s+1-r .(*)∵r<s<t,r,s,t 均为正整数,∴(*)式左边为奇数,右边为偶数,不可能成立.∴数列{a n }中不存在可以构成等差数列的三项.误区警示 在解答(2)时,易错取三项a n-1,a n ,a n+1.事实上,适合条件的三项并不一定是连续的.例10若下列三个方程:x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,试求a 的取值范围.思路分析:上述三个方程中至少有一个方程有实根的情况较多,考虑起来比较复杂;如果考虑其反面,即“三个方程都无实根”,则就简单多了,这样求得a 的集合为A,那么命题所要求的a 的范围即为 A.解:三个方程都无实根⇔230231121230)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221-⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆a a a a a a a a a a 或<a<-1. 设A={a|23-<a<-1},则A={a|a≤23-或a≥-1}. 故所求的实数a 的取值范围是{a|a≤23-或a≥-1}. 方法归纳 考虑问题的反面,求出a 的范围,从而求出原命题要求的a 的范围,是“正难则反”的解题策略的运用.这种解题策略在数学中随处可见,大家应注意掌握.。

（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。

第章．直接证明与间接证明．综合法（）综合法的的定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．（）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）．分析法（）分析法的定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法．（）分析法的思维框图用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）．反证法证题（）反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．（）反证法的一般步骤：（）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（2）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．、你知道综合法与分析法之间的关系吗？、使用分析法、反证法需要注意那些方面？．【河南洛阳期末】用反证法证明“，如果、能被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容是（）．不能被整除．不能被整除．都不能被整除．中至多有一个能被整除．【安徽太和中学期中】设、、为锐角的三个内角，，，则（）．．．．、大小不确定．【甘肃高台一中期中】要证，只要证（）．．．．．【安徽合肥一中期中】若且，则和的值满足（）．和中至少有一个小于．和都小于．和都大于．不确定．【山西晋中榆社中学期中】现有个命题：：函数有个零点．：面值为分和分的邮票可支付任何分的邮资．：若，，则、、、中至少有个为负数．。

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O P Q R V -和222O P QR V -分别是四面体111O P Q R -和222O P Q R -的体积，则111222111222O P Q R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nna cqq a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论 3、由AD BD >，得到A C D B C D ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而A D 与B D 不在同一个三角形中. 习题2.1 A 组（P83） 1、21n a n =+()n N *∈.2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)nnA A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）.5、121217n n b b b b b b -= （17n <，且n N *∈）.6、如图，作D E ∥A B 交B C 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为A D ∥B E ，A B ∥D E . 所以四边形A B E D 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形A B E D 是平行四边形. 所以AB D E =.（第6题）因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB D E =，A B D C =, 所以D E D C = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△D E C 是等腰三角形, 所以D EC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为D E C ∠与B ∠是平行线A B 和D E 的同位角, 所以D E C B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为D EC C ∠=∠，D E C B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2、要证>22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2、假设=所以22=，化简得5=，从而225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立.从而，.说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟b x a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A BA B-=，即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠. ①式变形得tan tan 11tan tan A B A B+=-， 即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos 2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2s i n c o s)(s i n2c oαααα+-= 由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是A B C ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而11112acbbb+>+=. 这与211bac=+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2ss b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+.由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a c x y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-= . 那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+ . 所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.（3）略. 2、1111122S ==-⨯，2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯，3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯. 由此猜想：111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想. （1）当1n =时，左边＝111111222S ==-=⨯，右边＝11111122n -=-=+，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，猜想成立. （2）假设当n k =时，猜想成立，即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++ .那么，11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++ .111(1)12k k =--++121111122k k k k +-=-⋅=-+++ 所以，当1n k =+时，猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组（P96）1、略2、证明：（1）当1n =时，左边＝111⨯=，右边＝11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++ .那么，1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯ .[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++ 11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++1(1)(2)(3)6k k k =+++所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题A 组（P98）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.2、333n个（n N *∈）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图，设O 是四面体A B C D -内任意一点，连结A O ，B O ，C O ，D O 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+++=''''用“体积法”证明： O A O B O C O D A A B B C C D D ''''+++''''O BC D O C D A O D AB O ABC A BC D B C D AC D ABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BC D A BC DV V --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证 t a n t a n 1t a n t A B A B +=- 由54A B π+=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+，所以tan tan 11tan tan A B A B+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.7、证明：（1）当1n =时，左边＝1-，右边＝1(1)11-⨯=-，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=- .那么，1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+- .1(1)(1)[2(1)1]kk k k +=-+-+-1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分； （2）2n 条线段； （3）最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论.（第5题）①当1n =时，结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即：k 条线段，两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时，其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分，第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交，最多增加1k +个部分，因此，1k +条线段，两两相交，最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以，当1n k =+时，结论也成立.根据①和②，可知结论对任何n N *∈都成立. 2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件，得 sin cos sin 2θθα+=，2sin sin cos βθθ=，代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++- 222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=。

直接证明与间接证明__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ (1)了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法； (2) 了解间接证明的一种基本方法──反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点，会用综合法、分析法、反证法证明数学问题. 类型一、直接证明： 一. 综合法1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论) 二.分析法1.定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q 表示要证明的结论，P n 表示充分条件)4.分析法的书写格式：，经（； （①直接证明困难；②需分成很多类进行讨论．③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； ④结论为 “唯一”类命题； （4）关键在于归缪矛盾：a 、与已知条件矛盾；b 、与公理、定理、定义矛盾；c 、自相矛盾。

要证：⋯⋯ 只要证：⋯⋯ 只需证：⋯⋯ ⋯⋯显然成立 上述各步均可逆 所以,结论成立题型一 综合法：例1 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：c b a ac c b b a lg lg lg lg lg lg++>+++++例2 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列， a ， b ，c转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来． 练习：1、在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列， ,,a b c 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A ， B ， C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C ； A ， B ， C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a ， b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由 A ， B ， C 成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A + B + C=π． ⑧由①② ，得B=3π. 由a ， b ，c 成等比数列，有2b ac =. 由余弦定理及③，可得 再由④，得22a c ac ac +-=. 因此a c =. 从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=3π. 所以△ABC 为等边三角形．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．2、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。

【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。

【教学过程设计】：【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法 答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。

2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。

证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。

3. 求证：5321232log 19log 19log 19++<证明：因为1log log a b b a=，所以左边= 23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2++=++=23191919log (532)log 360log 3612⨯⨯=<=所以5321232log 19log 19log 19++<成立4．求证：如果lg lg ,0,lg22a b a ba b ++>≥则证明：当,0,2a ba b +>≥有上式两端取对数得：lg 2a b+≥从而lg()lg lg lg 222a b ab a b ++≥=所以，命题得证。

5．设a>b>0且ab=1，求证：22a b a b+≥- 证明：222()22()()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+--- ∵a>b>0， ∴a-b>0因此有2()()a b a b -+≥=-所以，命题得证。

人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计一、课程背景•课程名称：高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明•适用对象：高中二年级学生•教材版本：人教版•课程性质：必修课程•课程时长：2学时本课程是数学选修课程中的一门重要课程，主要介绍了直接证明和间接证明的概念和方法。

课程内容广泛，包括证明方法的基本概念、命题和命题的逆否、矛盾和排中律等相关知识。

本课程还涉及到数学的启发式教学方法，培养学生的思维能力和数学推理能力。

通过本课程的学习，学生将掌握直接证明和间接证明的基本思想和方法，提高数学综合素质。

二、教学目标1.掌握直接证明和间接证明的概念和方法。

2.理解数学证明的逻辑基础，提高数学推理能力。

3.发展学生的思维能力和启发式教学方法，培养学生的独立思考能力。

4.培养学生的数学兴趣，激发学生学习数学的热情。

三、教学重点1.掌握直接证明和间接证明的基本概念和方法。

2.分别运用直接证明和间接证明方法进行问题求解。

3.理解数学证明的逻辑基础，提高数学推理能力。

4.发展学生的思维能力和启发式教学方法，培养学生的独立思考能力。

四、教学难点1.熟练运用直接证明和间接证明方法。

2.理解和掌握数学证明的逻辑基础。

3.培养学生的思维能力和启发式教学方法，在问题求解中运用创造性思维。

五、课程设计1. 教学内容1.1 直接证明1.直接证明的基本概念和思想。

2.直接证明的方法和步骤。

3.直接证明中常用的思路方法。

1.2 间接证明1.间接证明的基本概念和思想。

2.间接证明的方法和步骤。

3.间接证明中常用的思路方法。

2. 教学方法本课程采用启发式教学法，通过引导式教学、探究式学习等多种方法，培养学生主动学习的能力，激发学生的求知欲。

同时还涉及到数学证明的方法论、问题解决和思维方式等问题的探讨。

在教学中还会遇到一些具体的问题，例如：“如何使用数学符号来构建有效的证明？证明中的反证法和分步证明是如何实现的？我们如何在证明过程中把握好逻辑思维？”等问题进行探讨。

人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明课程设计一、课程背景本课程是人教版高中选修(B版)2-22.2直接证明与间接证明，共计5个学时。

本课程原本是在高中数学教学中，采用了系统的教学方法来对直接证明和间接证明进行详细介绍，让学生们通过实际操作，掌握证明思想与方法，提高数学素养，也让学生们更好地了解到数学在实际生活中的运用。

二、课程内容本课程主要内容包括直接证明和间接证明两个部分，分别从如下几个方面进行讲解：1. 直接证明•直接证明的定义和原理•直接证明的方法和技巧•直接证明的实践操作2. 间接证明•间接证明的定义和原理•间接证明的方法和技巧•间接证明的实践操作三、课程设计本课程的教学设计采用了PBL（Problem-based Learning）的教学法，以问题为引导，让学生自主探究和学习。

具体设计如下：1. 开始设计本节课的目标是让学生了解什么是直接证明和间接证明，以及它们的区别和联系，引导学生独立思考如下问题：•直接证明和间接证明分别是什么？•直接证明和间接证明的区别是什么？•直接证明和间接证明的联系是什么？2. 探究设计本节课的目标是让学生掌握直接证明和间接证明的具体方法和技巧。

老师将提供两个问题，学生自己选择用直接证明或间接证明来解决。

•问题1：证明一个三角形等边三角形的内角都是60度•问题2：证明两个角分别是垂直角和锐角的三角形，第三个角一定是钝角3. 实践设计本节课的目标是让学生通过实践掌握直接证明和间接证明的应用。

老师提供一组数据，学生需要在课堂上进行实践操作，运用所学的知识和方法解决问题。

•数据：假定在一个三角形ABC中，AB=5，AC=6，BC=9•问题：证明三角形ABC是钝角三角形四、课程评价针对本课程，将会采用二元评价模型，分别从过程与结果两个角度对学生进行评价。

具体评价如下：1. 过程评价•是否能积极参与课堂互动•是否能认真听讲并做好笔记•是否能主动提出疑问并寻求解答•是否能合理安排时间并高效完成课堂任务2. 结果评价•是否能准确理解直接证明和间接证明的概念和区别•是否能掌握直接证明和间接证明的方法和技巧•是否能运用所学的知识和技能解决问题•是否能具备一定的分析和解决问题的能力五、总结本课程通过PBL的教学方法，使学生独立思考、自主探究和实践应用，旨在提高学生的数学素养和解决问题的能力，同时也能让同学们更好地理解和应用数学知识，在日常生活和学习中大有裨益。

“直接证明与间接证明”要点讲解一、要点透析1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后（它基于题设或已知的真命题），再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的）且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题得证.并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.当然，在较多地积累一些经验，掌握一些证法之后，可较为顺利地得到证明的思路.2．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些判断（或命题）都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子.当证题不知从何入手时，有时可运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复1P Q ⇒ 12Q Q ⇒ 23Q Q ⇒ L n Q Q ⇒ 1Q P ⇐ 12P P ⇐ 23P P ⇐ L 得到一个明显成立的条件杂的题目，往往更是行之有效.3．综合法和分析法的区别与联系分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件；综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件.分析法与综合法各有其特点，有些具体的特征命题，用分析法和综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种.4．反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程.用反证法证明命题“若p 则q ”的过程，可用下图所示的框图表示.应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：第一步：分清命题“p q →”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定q ⌝；第三步：由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：判断产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定q ⌝不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p q →为真.第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.二、范例点悟例1 已知a 、b 、c 0>，求证：()()33322213a b c a b c a b c ++≥++++. 分析：不等式中的a 、b 、c 为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的平均数定理，再据不等式性质推导出证明的结论.证明：∵222a b ab +≥，a 、b 、c 0>，∴()()()222a b a b ab a b ++≥+， 肯定条件p否定结论q 导致逻 辑矛盾 “既p 又q ” 为假 “若p 则q ”为真∴()332222222a b a b ab ab a b a b ab +++≥+=+，∴3322a b a b ab +≥+. 同理：33223322,b c b c bc a c a c ac +≥++≥+，将三式相加得()3332222222a b c a b ab b c bc a c ac ++≥+++++.∴()()()()3333223223223a b c a a b a c b b a b c c c a c b ++≥++++++++ ()()222a b c a b c =++++. ∴()()33322213a b c a b c a b c ++≥++++. 评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.例2 当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大.分析：应用分析法证题时，语气总是假定的，通常用“欲证A 只需证B ”的语句，在证明过程中一个终结代替另一个终结时，必须注意它们间的等价性.证明：设圆和正方形的周长为L ，依题意，圆的面积为22L ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，正方形的面积为24L ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此本题只需证明22L ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>24L ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 为了证明22L ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>24L ⎛⎫ ⎪⎝⎭成立，只需证明222416L L ππ>， 两边同乘以正数24L得114π>，因此，只需证明4π>. 因为上式是成立的，所以22L ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>24L ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大.评注：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实.因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略.例 3 已知三个关于x 的方程240x mx -+=，()21160x m x +-+=，223x mx m ++100+=中，至少有一个方程有实根，求实数m 的取值范围.分析：含有至多、至少字样的问题，往往用反证法去解决.解析：三个方程都没有实根的充要条件是1230,0,0.∆<⎧⎪∆<⎨⎪∆<⎩ 即()()222160,1640,443100.m m m m ⎧-<⎪⎪--<⎨⎪-⨯+<⎪⎩解得24m -<<.∴使三个方程至少有一个方程有实根的实数m 的取值范围为(][),24,-∞-+∞U .评注：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p 则q 为真”，该证“若p 则q ⌝为假”，因此，反证法的核心是从q ⌝出发导出矛盾.。