2019年广东省广雅中学高考数学模拟考试(理科)试题Word版含解析

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分） 如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分 设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=， 得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ， 则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式 综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分 （3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。

广东省高考数学一模试卷（理科）解析卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数的实部为（）A．﹣0 B．0 C．1 D．2【解答】解：==，∴复数的实部为0．故选：B．2．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}，则图1中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{3，4}D．{0，3，4}【解答】解：∵全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴C U B={x|0≤x≤2}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（C U B）={0，1，2}．故选：A．3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．9【解答】解：画出变量x，y满足约束条件可行域如图阴影区域：目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z，即斜率为，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点A时，z最小由得A（﹣1，﹣1）∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=﹣3×0+2×1=﹣1．故选：A．4．（5分）已知x∈R，则“x2=x+2”是“x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x2=x+2”，解得x=2或﹣1．由“x=”，解得x=2．∴“x2=x+2”是“x=”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2，则C2（）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点（π，0）对称【解答】解：把曲线上所有点向右平移个单位长度，可得y=2sin（x﹣﹣）=2sin（x﹣）的图象；再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线C2：y=2sin（2x﹣）的图象，对于曲线C2：y=2sin（2x﹣）：令x=，y=1，不是最值，故它的图象不关于直线对称，故A错误；令x=，y=2，为最值，故它的图象关于直线对称，故B正确；令x=，y=﹣1，故它的图象不关于点对称，故C错误；令x=π，y=﹣，故它的图象不关于点（π，0）对称，故D错误，故选：B．6．（5分）已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由，得，即，∴sinθcosθ=，∴===．故选：C．7．（5分）当m=5，n=2时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．20 B．42 C．60 D．180【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=5×4×3的值，S=5×4×3=60．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．15 C．D．18【解答】解：由题意可知几何体的直观图为：多面体：A′B′C′﹣ABCD 几何体补成四棱柱，底面是直角梯形，底边长为3，高为3，上底边长为1，几何体的体积为：V棱柱﹣V棱锥=3×﹣=18﹣=．故选：C．9．（5分）已知为奇函数，为偶函数，则f（ab）=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，为奇函数，则有f（﹣x）+f（x）=0，即（2x+）+（2x+）=0，解可得a=﹣1，为偶函数，则g（x）=g（﹣x），即bx﹣log2（4x+1）=b（﹣x）﹣log2（4﹣x+1），解可得b=1，则ab=﹣1，f（ab）=f（﹣1）=2﹣1﹣=﹣；故选：D．10．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积S=（）A．B．10 C．D．【解答】解：若，可得sinA==，由正弦定理可得b===7，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积为S=absinC=×5×7×=10．故选C．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，PA=，PC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．24π B．28π C．32π D．36π【解答】解：取BC中点D，连结AD，过P作PE⊥平面ABC，交AC于E，过E作EF∥BC，交AD于F，以D为原点，DB为x轴，AD为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则DA=DB=DC==2，=，即，解得AE=3，CE=1，PE=1，AF=EF=，则B（2，0，0），P（﹣，﹣，1），设球心O（0，0，t），则OB=OP，∴=，解得t=﹣1，∴三棱锥P﹣ABC外接球半径R==3，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：S=4πR2=4π×9=36π．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣3x2+2x，若x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）=f（x）﹣λx的两个极值点，现给出如下结论：①若﹣1＜λ＜0，则f（x1）＜f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＜f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣λx，∴g′（x）=f′（x）﹣λ，令g′（x）=0，∴f′（x）﹣λ=0，即f′（x）=λ有两解x1，x2，（x1＜x2）∵f（x）=x3﹣3x2+2x，∴f′（x）=3x2﹣6x+2，分别画出y=f′（x）与y=λ的图象如图所示：①当﹣1＜λ＜0时，则f（x1）＞f（x2）；②若0＜λ＜2，则f（x1）＞f（x2）；③若λ＞2，则f（x1）＜f（x2）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设=（1，2），=（﹣1，1），=+λ，若⊥，则实数λ的值等于﹣5．【解答】解：=+λ=（1，2）+λ（﹣1，1）=（1﹣λ，2+λ），∵⊥，∴=1﹣λ+2（2+λ）=0，则实数λ=﹣5故答案为：﹣5．14．（5分）已知a＞0，（ax﹣1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为．【解答】解：（ax﹣1）4（x+2）=（1﹣ax）4（x+2）=（1﹣4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为﹣4a+12a2=1，即12a2﹣4a﹣1=0，解得a=或a=﹣（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．15．（5分）设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为．【解答】解：袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，基本事件总数n=6×6=36，取出此2球所得分数之和为3分包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，取出此2球所得分数之和为3分的概率为p===．故答案为：．16．（5分）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，焦距2c，以右顶点A为圆心，半径为的圆过F1的直线l相切与点N，设l与C交点为P，Q，若，则双曲线C的离心率为2．【解答】解：由，可得N为PQ的中点，AN⊥PQ，在直角三角形F1AN中，AF1=a+c，AN=，即有∠NF1A=30°，直线PQ的斜率为，AN的斜率为﹣，由F1（﹣c，0），A（a，0），可得直线PQ的方程为y=（x+c），代入双曲线的方程可得（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，PQ的中点N的横坐标为，纵坐标为（+c）=，由k AN==﹣，即为=﹣，即为a2c﹣3a（c2﹣a2）+a3=﹣c（c2﹣a2），化为（c﹣2a）2=0，即c=2a，可得e==2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知各项均不为零的等差数列{a n}的前n项和S n．且满足．（1）求λ的值；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）因为数列{a n}为等差数列，设a n=An+B，因为{a n}的公差不为零，则，所以，因为，所以An2+（A+2B）n=A2n2+（2AB+λ）n+B2，所以．（2）由（1）知a n=n，所以，所以．18．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：甲公司职位A B C D月薪/元60007000800090000.40.30.20.1获得相应职位概率乙公司职位A B C D月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：人员结构选择意愿40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司150********若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1=5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：P（K2≥k）0.0500.0250.0100.005 k 3.841 5.024 6.6357.879【解答】解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，E（Y）=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，D（X）=（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1=10002，D（Y）=（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1=20002，则E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k1=5.5513＞5.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女200200400总计4505501000计算K2==≈6.734，且K2=6.734＞6.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=3，CD=4，AD=AP=4，∠PAB=∠PAD=60°．（1）证明：顶点P在底面ABCD的射影在∠BAD的平分线上；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：设点O为点P在底面ABCD的射影，连接PA，AO，则PO⊥底面ABCD，分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂直分别为M，N，连接PM，PN，因为PO⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PO⊥AB，又OM⊥AB，OM∩OP=O，所以AB⊥平面OPM，PM⊂平面OPM，所以AB⊥PM，同理AD⊥PN，即∠AMP=∠ANP=90°，又∠PAB=∠PAD，PA=PA，所以△AMP≌△ANP，所以AM=AN，又AO=AO，所以Rt△AMO≌Rt△ANP，所以∠OAM=∠OAN，所以AO为∠BAD的平分线．（2）以O为原点，分别以OM，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，因为PA=4，所以AM=2，因为AB⊥AD，AO为∠BAD的平分线，所以，所以，则，所以设平面BPD的一个法向量为，则，可取，设平面PDC的一个法向量为，则由，可取，所以，所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的焦点与抛物线的焦点F重合，且椭圆C1的右顶点P到F的距离为；（1）求椭圆C1的方程；（2）设直线l与椭圆C1交于A，B两点，且满足PA⊥PB，求△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＞b，且，所以椭圆C1的方程为．（2）依题意，可设直线PA，PB的斜率存在且不为零，不妨设直线PA：y=k（x﹣3），则直线，联立：得（1+9k2）x2﹣54k2x+（81k2﹣9）=0，则同理可得：，所以△PAB的面积为：，当且仅当3（k2+1）=8k，即是面积取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx+x，（其中a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=x，求a的值；（2）若为自然对数的底数），求证：f（x）＞0．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，由题意知，则，解得x0=1，a=1或x0=a，a=1，所以a=1．（2）令，则，因为，所以，即g（x）在（0，+∞）上递增，以下证明在g（x）区间上有唯一的零点x0，事实上，，因为，所以，，由零点的存在定理可知，g（x）在上有唯一的零点x0，所以在区间（0，x0）上，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（x0，+∞）上，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=x0时，f（x）取得最小值，因为，即，所以，即＞0．∴f（x）＞0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），曲线C的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）∵直线l的参数方程为为参数，0≤α＜π），∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点（0，2），也就是圆C的圆心，则，不妨设，其中，则，所以当，|OM|+|ON|取得最大值为．23．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对∀x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）+f（﹣1）=|1﹣a|﹣|1+a|＞1，若a≤﹣1，则1﹣a+1+a＞1，得2＞1，即a≤﹣1时恒成立，若﹣1＜a＜1，则1﹣a﹣（1+a）＞1，得，即，若a≥1，则﹣（1﹣a）﹣（1+a）＞1，得﹣2＞1，即不等式无解，综上所述，a的取值范围是．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（﹣∞，a]时，，因为，所以当时，，即，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.若复数在复平面内对应的点在第三象限，所以的取值范围是故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.）A. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由，则R故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.的样本，若样本中8辆，则 ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据分层比例列式求解.B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B 【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，，，停止运行，所以输出的B ．考点：程序框图．5. ）A.B.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据对称列式求解.D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女）A. B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.，所以,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，因为，从而 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.的左焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】再根据切线得OE.，所以PF,PF,A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.，且点）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，2m+2n））＝2（32（当且仅当n时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．10.的图像的一条对称轴为（）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，的中点为）A.B.D.【答案】B 【解析】【分析】.M 在直线AB,,因此的取值范围为选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.的）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B.【详解】A为圆心，B,则在B点处切线的斜率为，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.是夹角为.【答案】【解析】【分析】，；．故答案为：【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法．14.80________.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得，，，的对边为.1，成等差数列，则________.【解析】【分析】再根据余弦定理化简得1成等差数列，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.________.【解析】【分析】.正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.，（1）求数列（2，求数列【答案】 (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1的公比为，是递增的等比数列，所以数列解法2：（1，是递增的等比数列，（2）由（1①-所以【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表： （年龄（脂肪根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度. （20.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii 以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：．因为，（2．的线性回归方程为．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.（1（2.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1为中，中，，，，所以平面（2由（1设平面的法向量为设二面角为，由于的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.（1（2并说明理由.【答案】（1；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2离与半径大小进行判断.【详解】（1，整理得所以动点的轨迹的方程（2的直线为轴时，显然不合题意．因为，．的中点坐标为．到直线的距离为．与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.（1）讨论函数的单调性；（2【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k f（﹣2k）＝ln（﹣2k．然后证明x1+x2≥）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8t＞1．由此能证明x1+x2＞【详解】（1，函数．时，，，时，函数时，函数（2方法1:由（1要使函数有两个零点，首先，，则因为，所以在上单调递增，的取值范围是．方法2:，则，且：方法1:，即，即证．，所以即证，．所以．在上单调递减，．方法2:，即，需证．，所以即证所以在上单调递减，．方法3:因为，是函数，需证．只需证．，所以，所以．方法4:因为，是函数，即证明，则．所以在上单调递增，所以．，．方法5:，所以在上单调递减．在上恒成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.（.在以坐标原点为极点，.（1（2.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1的普通方程，根据2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1，．因为（2）解法1的直角坐标方程为，可设该方程的两个根为整理得，因为，所以综上所述，直线的倾斜角为解法2，两点，且的，整理得．综上所述，直线【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲](1)时，解不等式(2)若存在实数x a的取值范围.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1综上可知，不等式的解集为（2．．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。

2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合 A ＝{x |﹣1＜x ＜6}，集合 B ＝{x |x 2＜4}，则 A ∩（∁R B ）＝（ ）A ．{x |﹣1＜x ＜2}B ．{x |﹣1＜x ≤2}C ．{x |2≤x ＜6}D ．{x |2＜x ＜6} 2．（5 分）设 i 为虚数单位，则复数的共轭复数 ＝（）A ．B ．C ．D ．3．（5 分）在样本的频率直方图中，共有 9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积的和的，且样本容量为 200，则中间一组的频数为（ ）A ．0.2B ．0.25C ．40D ．504．（5 分）设向量与向量垂直，且＝（2，k ），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（ ）A ．（1，8）B ．（﹣16，﹣2）C ．（1，﹣8）D ．（﹣16，2）5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面 积为，则其体积为（）C ．D ．6．（5 分）阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘 积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为，面积为 12π，则椭圆 C 的方程为（）A ．B ．A ．B ．C．D．7．（5 分）设a，b，c 分别为△ABC 内角A，B，C 的对边，若B＝C≠A，且b＝2a cos A，则A＝（）A． B． C． D．8．（5 分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A．30 B．80 C．﹣50 D．1309．（5 分）函数的部分图象不可能为（）A．B．C． D．10．（5 分）若函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，则k 的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．11．（5 分）已知高为H 的正三棱锥P﹣ABC 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，则＝（）A． B． C． D．12．（5 分）已知函数，若关于x 的方程f（f（x）＝m 有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2 的取值范围为（）A．[2，3）B．（2，3）C．[2ln2，4）D．（2ln2，4）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则的最大值为．14．（5 分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝．15．（5 分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为16．（5 分）已知直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C 的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C 的离心率为．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分. 17．（12 分）已知S n 为数列{a n}的前n 项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n 项和T n．18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD＝∠DAB＝60°，E 为AB 中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．19．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：x2＝6y 与直线l：y＝kx+3 交于M，N 两点．（1）设M，N 到y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1 和d2 的乘积为定值；（2）y 轴上是否存在点p，当k 变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40 记作区[20，40），9：40～10：00 记作[40，60），10：00～10：20 记作[60，80），10：20～10：40 记作[80，100），例如10 点04 分，记作时刻64．（1）估计这600 辆车在9：20～10：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600 辆车中抽取10 辆，再从这10辆车随机抽取4 辆，设抽到的4 辆车中，在9：20～10：00 之间通过的车辆数为X，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600 辆车在9：20～10：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000 辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．21．（12 分）已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，求a 的取值范围．选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上一动点P 分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1 的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．[选项4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．（1）当k＝4 时，求不等式f（x）＜0 的解集；（2）若不等式对x∈R 恒成立，求k 的取值范围．2019 年广东省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|2≤x＜6} D．{x|2＜x＜6} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B 的等价条件，结合补集交集的定义进行求解即可．【解答】解：B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，则∁R B＝{x|x≥2 或x≤﹣2}，则A∩（∁R B）＝{x|2≤x＜6}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用交集补集的定义是解决本题的关键．2．（5 分）设i 为虚数单位，则复数的共轭复数＝（）A．B． C． D．【考点】A5：复数的运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．【解答】解：∵＝＝，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5 分）在样本的频率直方图中，共有9 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8 个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为（）A．0.2 B．0.25 C．40 D．50【考点】B8：频率分布直方图．【分析】设其他8 组的频率数和为m，则由题意得：m+ m＝200，由此能求出中间一组的频数．【解答】解：在样本的频率直方图中，共有9 个小长方形，中间一个长方形的面积等于其他8 个小长方形面积的和的，且样本容量为200，设其他8 组的频率数和为m，则由题意得：m+m＝200，解得m＝150，∴中间一组的频数为＝50．故选：D．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5 分）设向量与向量垂直，且＝（2，k），＝（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A．（1，8）B．（﹣16，﹣2）C．（1，﹣8）D．（﹣16，2）【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据即可得出，从而得出k＝﹣3，从而可求出，从而可找出与共线的向量．【解答】解：∵；∴；∴k＝﹣3；∴；∴；∴（﹣16，﹣2）与共线．故选：B．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，三个视图都是半径相等的扇形，若该几何体的表面积为，则其体积为（ ）C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】首先把几何体的三视图进行转换，进一步利用表面积公式的应用求出结果．【解答】解：将三视图还原可知该几何体为球体的，S ＝3×+＝，r ＝ ，几何体的体积为：＝． 故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5 分）阿基米德（公元前 287 年﹣公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘 积．若椭圆 C 的对称轴为坐标轴，焦点在 y 轴上，且椭圆的离心率为，面积为 12π，则椭圆 C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．A ．B ．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：由题意可得：，解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点坐标在y 轴上，所以椭圆方程为：．故选：A．【点评】本题考查椭圆飞简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．7．（5 分）设a，b，c 分别为△ABC 内角A，B，C 的对边，若B＝C≠A，且b＝2a cos A，则A＝（）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知等式可得：sin B＝sin2A，可求B＝2A，或B＝π﹣2A，根据三角形的内角和定理即可得解A 的值．【解答】解：在△ABC 中，∵b＝2a cos A，∴由正弦定理可得：sin B＝2sin A cos A＝sin2A，∴B＝2A，或B＝π﹣2A，∵B＝C≠A，∴当B＝2A 时，由于A+B+C＝5A＝π，可得：A＝；当B＝π﹣2A 时，由于A+B+C＝B+2A，可得：B＝C＝A（舍去）．综上，A＝．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8．（5 分）的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A．30 B．80 C．﹣50 D．130【考点】DA：二项式定理．5 55 5 【分析】令 x ＝1 得各项系数为 3，求出 n 的值，结合展开式项的系数进行求解即可．【解答】解：令 x ＝1 得各项系数和为（2﹣n ）（1﹣2）5＝3，即 n ﹣2＝3，得 n ＝5，多项式为（2x 2﹣5）（x ﹣ ）5，二项式（x ﹣）5 的通项公式为 T k +1＝C k x 5﹣k （﹣）k ＝（﹣2）k C k x 5﹣2k ， 若第一个因式是2x 2，则第二个因式为x ，即当k ＝2 时，因式为4C 2x ＝40x ，此时2x 2×40x ＝80x 3，若第一个因式是﹣5，则第二个因式为 x 3，即当 k ＝1 时，因式为﹣2C 1x 3＝﹣10x 3，此时﹣5 ×（﹣10）x 3＝50x 3，则展开式中 x 3 项的为 80x 3+50x 3＝130x 3，即 x 3 的系数为 130 故选：D ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，令 x ＝1 求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键． 9．（5 分）函数的部分图象不可能为（）A. B ．C ．D ．【考点】HK ：由 y ＝Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据三角函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．【解答】解：A ．由图象知函数的周期 T ＝2π，则＝2π 得 ω＝1，此时 f （x ）＝2sin （x ﹣）＝﹣2cos x 为偶函数，对应图象为 A ，故 A 图象可能B. 由图象知函数的周期 T ＝﹣（﹣）＝＝，即＝，得 ω＝±3，当 ω＝3 时，此时 f （x ）＝2sin （3x ﹣），f （ ）＝2sin （3× ﹣ ）＝2sin≠﹣2，即B 图象不可能，当ω＝﹣3 时，此时f（x）＝2sin（﹣3x+），f（）＝2sin（﹣3×+）＝﹣2sin ≠﹣2，即B 图象不可能，C.由图象知函数的周期T＝4π，则＝4π得ω＝±，当ω＝时，此时f（x）＝2sin（x﹣π）＝﹣2sin x，f（π）＝﹣2sin ＝﹣1，即此时C 图象不可能，当ω＝﹣时，此时f（x）＝2sin（﹣x﹣π）＝2sin x，f（π）＝2sin ＝﹣1，即此时C 图象可能，D.由图象知函数的周期＝﹣＝，即t＝π，则＝π得ω＝2，此时f（x）＝2sin（2x﹣），f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2，即D 图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数图象的识别和判断，利用周期性求出ω 以及利用特殊值进行验证是解决本题的关键．注意本题的ω 有可能是复数．10．（5 分）若函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，则k 的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令f′（x）≤0 在（0，+∞）上恒成立得k 在（0，+∞）上恒成立，求出右侧函数的最大值即可得出k 的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣ke x 在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）＝3x2﹣ke x≤0 在（0，+∞）上恒成立，∴k 在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝，x＞0，则，当0＜x＜2 时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减故当x＝2 时，g（x）取得最大值g（2）＝，则k ，故选：C．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．11．（5 分）已知高为H 的正三棱锥P﹣ABC 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，则＝（）A． B． C． D．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【分析】设棱锥底面边长为a，由已知把a 用含有H 的代数式表示，再由球的性质利用勾股定理求得．【解答】解：设P 在底面ABC 的射影为E，D 为AB 的中点，连结PD，设正三角形ABC 的边长为a，则CD＝，∴ED＝，EC＝a，由二面角P﹣AB﹣C 的正切值为4，得＝4，解得a＝．∴EC＝＝，OP+OC＝R，OE＝H﹣R，∴OC2＝OE2+CE2，∴R2＝（H﹣R）2+（）2，解得＝．故选：A．【点评】本题考查正三棱柱的高与其外接球半径的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．（5 分）已知函数，若关于x 的方程f（f（x）＝m 有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2 的取值范围为（）A．[2，3）B．（2，3）C．[2ln2，4）D．（2ln2，4）【考点】53：函数的零点与方程根的关系；57：函数与方程的综合运用．【分析】画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t 两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），x1+x2＝2t﹣t+1，令g（t）＝2t﹣t+1，利用导数求解．【解答】解：函数，的图象如下：当m≥1 时，f（t）＝m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）＝t1 有一个解，f（x）＝t2 有两个解，不符合题意．当m＜0 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈（0，1）f（x）＝t 有一个解，不符合题意．当0≤m＜1 时，f（t）＝m，有一个解t，且t∈[1，2）f（x）＝t 两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1﹣x1＝log2x＝t，且t∈[1，2），x1+x2＝2t﹣t+1，令g（t）＝2t﹣t+1，g′（t）＝2t lnt﹣1＞0，故g（t）在（1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5 分）若x，y 满足约束条件，则的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】设z＝，作出不等式组对应得平面区域，利用z 得几何意义即可得到结论．【解答】解：设z＝，则k 得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知OA 的斜率最大，由，解得A（3，4），则OA 得斜率k＝，则的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5 分）若tan（α﹣2β）＝4，tanβ＝2，则＝．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【分析】由已知求得tan2β，再由tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]求出tanα，代入得答案．【解答】解：由tanβ＝2，得tan2β＝＝，又tan（α﹣2β）＝4，∴tanα＝tan[（α﹣2β）+2β]＝＝．∴＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切与二倍角的正切，是中档题．15．（5 分）已知函数f（x）＝3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最大值为12，则f（x）的最小值为 2【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由二次型函数值域的求法得：设m＝3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）＝m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1＝12，解得：3t+1＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（30）＝2，得解【解答】解：设m＝3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）＝m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1＝12，解得：3t+1＝3，即t＝0，即f（x）min＝g（30）＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次型函数值域的求法，属中档题．16．（5 分）已知直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线交于点P，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F2，且，则双曲线C 的离心率为．【考点】KC：双曲线的性质．【分析】设出双曲线的焦点，求得一条渐近线方程可得P 的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离心率公式，可得所求值．【解答】解：双曲线C 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1＝＝，即有直线PF2 的斜率为tan∠PF2F1＝，由直线x＝2a 与双曲线C：的一条渐近线y＝x 交于点P，可得P（2a，2b），可得＝，即有4b2＝15（4a2﹣4ac+c2）＝4（c2﹣a2），化为11c2﹣60ac+64a2＝0，由e＝可得11e2﹣60e+64＝0，解得e＝或e＝4，由2a﹣c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e＝4 舍去．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70 分，解答应写出文字说明、怎么过程或演算步骤，第17-21 题为必考题，每道题考生都必须作答，第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分. 17．（12 分）已知S n 为数列{a n}的前n 项和，且依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n 项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）运用等比数列的中项性质，令n＝1，可得首项，再由数列的递推式：当n≥2 时，a n＝S n﹣S n﹣1，计算可得所求通项公式；（2）求得＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【解答】解：（1）依次成等比数列，可得（）2＝S n＝（n+2）（a1﹣2）n，当n＝1 时，a1＝S1＝3（a1﹣2），解得a1＝3，当n≥2 时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n（n+2）﹣（n﹣1）（n+1）＝2n+1，上式对n＝1 也成立，则数列{a n}的通项公式为a n＝2n+1；（2）＝＝（﹣），可得前n 项和T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．【点评】本题考查等比数列中项性质和数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．18（．12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，P D⊥平面ABCD，∠PAD＝∠ DAB＝60°，E 为AB 中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD 交点为O，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PE﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°，E 为AB 的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥ 平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD＝D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD 交点为O，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P（﹣1，0，2 ），A（0，﹣，0），E（，0），C（0，，0），＝（﹣1，，2），＝（，0），＝（1，），＝（，0），设平面APE 的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），设平面PCE 的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（3，1，2），设二面角A﹣PE﹣C 的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ＝﹣＝﹣＝﹣．∴二面角A﹣PE﹣C 的余弦值为﹣．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：x2＝6y 与直线l：y＝kx+3 交于M，N 两点．（1）设M，N 到y 轴的距离分别为d1，d2，证明：d1 和d2 的乘积为定值；（2）y 轴上是否存在点p，当k 变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【分析】（1）先将y＝kx+3 代入x2＝6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2，由∠OPM＝∠OPN，得当k 变化时，k1+k2＝0 恒成立，进而可求出结果【解答】解（1）证明：将y＝kx+3 代入x2＝6y，得x2﹣6kx﹣18＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝﹣18，从而d1d2＝|x1|•|x2|＝|x1x2|＝18 为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2＝+＝＝．当b＝﹣3 时，有k1+k2＝0 对任意k 恒成立，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，﹣3）符合题意．【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20．（12 分）2019 年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40 这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600 辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40 记作区[20，40），9：40～10：00 记作[40，60），10：00～10：20 记作[60，80），10：20～10：40 记作[80，100），例如10 点04 分，记作时刻64．（1）估计这600 辆车在9：20～10：40 时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600 辆车中抽取10 辆，再从这10辆车随机抽取4 辆，设抽到的4 辆车中，在9：20～10：00 之间通过的车辆数为X，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T 服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600 辆车在9：20～10：40 之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000 辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X 的所有可能的取值，计算出每个X 对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．【解答】解：（1）这600 辆车在9：20～10：40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20＝64，即10：04（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10 辆车中，在10：00 前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10 ＝4，所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．（3）由（1）得μ＝64，σ2＝（30﹣64）2×0.1+（50﹣64）2×0.3+（70﹣64）2×0.4+（90﹣64）2×0.2＝324，所以σ＝18，估计在9：46～10：40 之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64﹣18≤T≤64+2×18）＝+＝0.8186，所以估计在在9：46～10：40 之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819 辆．【点评】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．21．（12 分）已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，求a 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0 对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵函数．∴x＞0，．若a≤﹣，∵x＞1，∴lnx＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞﹣，令g′（x）＝0，得x＝，当1＜x＜e 时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2﹣e 对x∈（0，+∞）恒成立，∴xlnx﹣ax+a+e﹣2≥0 对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）＝xlnx﹣ax+a+a﹣2，则h′（x）＝lnx+1﹣a，令h′（x）＝0，得x＝e a﹣1，当x∈（0，e a﹣1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a﹣1）＝（a﹣1）e a﹣1+a+e﹣2﹣ae a﹣1＝a+e﹣2﹣e a﹣1，令t（a）＝a+e﹣2﹣e a﹣1，则t′（a）＝1﹣e a﹣1，令t′（a）＝0，得a＝1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈（1，+∞）时，t′（a）＜0，t（a）在（1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）＝e﹣2﹣，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）＝a+e﹣2﹣e a﹣1≥0＝t（2），∴a 的取值范围是[0，2]．【点评】本题考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．选考题：共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选项4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上一动点P 分别作极轴、直线ρcosθ＝﹣1 的垂线，垂足分别为M，N，求|PM|+|PN|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C 的直角坐标方程．（2）由（1）可设P 的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，用三角函数的性质求得最大值．【解答】解：（1）由ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+12＝0，得x2+y2﹣4x﹣6y+12＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，此即为曲线C 的直角坐标方程．（2）由（1）可设P 的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|＝3+sinα，又直线ρcosθ＝﹣1 的直角坐标方程为x＝﹣1，所以|PN|＝2+cosα+1＝3+cosα，所以|PM|+|PN|＝6+ sin（α+），故当α＝时，|PM|+|PN|取得最大值为6+ ．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选项4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k．（1）当k＝4 时，求不等式f（x）＜0 的解集；（2）若不等式对x∈R 恒成立，求k 的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）k＝4 时，利用分类讨论思想求出不等式f（x）＜0 的解集，再求它们的并集；（2）利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值，再把不等式化为3﹣k≥，求不等式的解集即可．【解答】解：（1）k＝4 时，函数f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣4，不等式f（x）＜0 化为|x+1|+|2﹣x|＜4，当x＜﹣1 时，不等式化为﹣x﹣1+2﹣x＜4，解得﹣＜x＜﹣1，当﹣1≤x≤2 时，不等式化为x+1+2﹣x＝3＜4 恒成立，则﹣1≤x≤2，当x＞2 时，不等式化为x+1+x﹣2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0 的解集为（﹣，）；（2）因为f（x）＝|x+1|+|2﹣x|﹣k≥|x+1+2﹣x|﹣k＝3﹣k，所以f（x）的最小值为3﹣k；又不等式对x∈R 恒成立，所以3﹣k≥，所以，解得﹣3≤k≤1，所以k 的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。

2019届广州市高三第二次模拟考试数学（理）试卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.【详解】，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，所以的取值范围是，故选B.2.已如集合，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由10，即0，即解得，即，则R故选：D．3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36 【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】B【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设,则，选D.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，则数学期望（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为，所以因此,选B.7.已知，其中，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，所以，因为，所以，因此，从而，，选D.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件得,再根据切线得OE，结合双曲线定义列等式，解得离心率.【详解】设右焦点，因为，所以,因为，所以, 由双曲线定义得,因为⊥PF,所以⊥PF,因此，选A.9.若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s，t，由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，t，舍去），则（2m+2n）（）＝2（3）≥2（3+2）＝6+4，当且仅当n m时，取得最小值6+4，故选：C．10.函数的部分图像如图所示，先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象求，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得，从而，,,选C.11.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定所在直线，再根据，得轨迹为一条线段，最后根据斜率公式求结果.【详解】因为点在直线上，点在直线上，所以M在直线上，即，因为，所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.12.若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先设切点B ，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值. 【详解】因为,所以由题意得以A 为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B 点处切线的斜率为，所以，选D.二、填空题. 13.若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________.【答案】 【解析】 【分析】 根据条件即可求出，，从而可以求出，进而得出．【详解】解：，；∴；∴．故答案为：． 14.若的展开式中的系数是80，则实数的值是________.【答案】2 【解析】解：（ax-1）5的展开式中x 3的系数C 53（ax ）3•（-1）2=10a 3x 3=80x 3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，，是的内角，，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为________. 【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________. 【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径，再根据取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果.【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以,解得.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知是递增的等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2）的通项公式是等差数列与等比数列的乘积,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以解得或因为是递增的等比数列，所以，．所以数列的通项公式为．解法2：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，是方程的两个根．解得或因为是递增的等比数列，所以，，则．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知．则，①在①式两边同时乘以得，，②①-②得，即， 所以．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表： （年（脂根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.（2）若关于的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.附：参考数据：，，，，，，参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；(2) ；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2）利用回归直线过样本中心点，求得，得到回归直线的方程，再将代入回归直线方程求得结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．（ⅱ）．因为，，所以．由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2）因为回归方程为，即．所以．【或利用】所以关于的线性回归方程为．将代入线性回归方程得．所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）证明：取中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．因为为的中点，所以．在△中，，为的中点，所以．设,则，，因为，所以．在△中，，为的中点，所以．在△ 和△ 中，因为，，，所以△ △ ．所以．所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）因为，，，平面，平面，所以平面．所以．由（1）得，，所以，，所在的直线两两互相垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令，则，，所以．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设二面角为，由于为锐角，所以．所以二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1）；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段为直径的圆方程，再根据圆心到直线距离与半径大小进行判断.【详解】（1）设动点的坐标为，因为，，所以，整理得．所以动点的轨迹的方程．（2）过点的直线为轴时，显然不合题意．所以可设过点的直线方程为，设直线与轨迹的交点坐标为，，由得．因为，由韦达定理得=，=．注意到=．所以的中点坐标为．因为．点到直线的距离为．因为，即，所以直线与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.己知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明. 【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k的取值范围是，再证明f（﹣2k）＝ln（﹣2k）0．然后证明x1+x2≥2，即证（1）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（）（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（）（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8lnt﹣t2﹣2t，t＞1．由此能证明x1+x2＞2．【详解】（1）解：因为，函数的定义域为，所以．当时，，所以函数在上单调递增．当时，由，得（负根舍去），当时，，当时，，所以函数在上单调递减；在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）先求的取值范围：方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得．因为，且，下面证明．设，则．因为，所以．所以在上单调递增，所以．所以的取值范围是．方法2:由，得到．设，则．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以由．因为时，，且，要使函数有两个零点，必有．所以的取值范围是．再证明：方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，即证．即证，即证．因为，所以即证，或证．设，．即，．所以．所以在上单调递减，所以．所以．方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，需证．即证，即证．因为，所以即证．设，则，．所以在上单调递减，所以．所以．方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．要证，需证．只需证．即证，即证．即证．因为，所以，即．所以．而，所以成立．所以．方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．由已知得即．先证明，即证明．设，则．所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．所以有．即．因为（），所以，即．所以．方法5:要证，其中，，即证．利用函数的单调性，只需证明．因为，所以只要证明，其中．构造函数，，则．因为（利用均值不等式），所以在上单调递减．所以．所以在上恒成立．所以要证的不等式成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为．当时，直线的直角坐标方程为．因为，因为，所以． 所以的直角坐标方程为．（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．因为，可设该方程的两个根为，，则 ，．所以．整理得， 故． 因为，所以或，解得或综上所述，直线的倾斜角为或． 解法2：直线与圆交于，两点，且， 故圆心到直线的距离．①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．②当时，直线的方程为． 所以，整理得．解得．综上所述，直线的倾斜角为或．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲] 己知函数．(1)当时，解不等式；(2)若存在实数x ，使得成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1）当时，由，得．当时，，解得．当时，，解得．综上可知，不等式的解集为．（2）由，得．则．令，则问题等价于因为．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.2019届广东省广州市高三第二次模拟考试数学（理）试卷。

试卷类型： A2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分. 考试用时 120 分钟 .注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 . 用 2B 铅笔将试卷类型（ A ）填涂在答题卡相应位置上 . 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 .3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 . 不按以上要求作答的答案无效 . 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 漏涂、错涂、多涂的，答案无效 .5．考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是1VSh , 其中 S 是锥体的底面积 , h 是锥体的高 . 3一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数 z 满足 i z 2 ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为 A ． 2 B ．2 C ． 2 i D．2 ix2．若函数yf x 是函数 y 3 的反函数，则1f的值为2A ．log 3B．log 3 2C ．21 9D ．33．命题“对任意 xR ，都有32x x ”的否定是A ．存在 xR ，使得 03 2x xB ．不存在 x 0R ，使得 0 0 32xx0 0C．存在 x 0R ，使得3 2x xD．对任意 xR ，都有32x x4.将函数 f x 3sin 2x cos2 x(x R ) 的图象向左平移个单位长度后得到函数6y g x，则函数 y g xA ．是奇函数B．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数 5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字 0 与1，另一张的正反面分别写着数字2 与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ． 1 6 B ． 1 3 C ． 1 2 D ．3 86．设 F 1, F 2 分别是椭圆2 2xyC :1 a b 022ab的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 1的中点在 y 轴上，若P F F，则椭圆 C 的离心率为1 230A ．1 6B．13333 3C ．D ．6 3 7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为4 2 2正视图侧视图2A ．6 4B ．12 42C ．6 12D ．12 12 8．将正偶数2, 4,6,8, 按表1的方式进行排列，记a表示第i 行第j 列的数，若ija 2014，则i j 的值为ijA ．257B ．256C ．254D ．253第1 列第2 列第3 列第4 列第5 列第1 行 2 4 6 8 第2 行16 14 12 10第3 行18 20 22 24 第4 行32 30 28 26第5 34 36 38 40行⋯⋯⋯⋯⋯⋯表1二、填空题：本大题共7小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分30 分．（一）必做题（9～13 题）9．不等式 22x x 1 0的解集为.3 12xxn10．已知的展开式的常数项是第7 项，则正整数n的值为.11．已知四边形ABCD 是边长为a的正方形，若DE 2EC,CF 2FB ，则AE AF 的值为.2x y 2 0,12．设x, y 满足约束条件若目标函数z ax by a 0,b 0 的最大值8x y 4 0,x 0, y 0.为8，则ab 的最大值为.13．已知x 表示不超过x 的最大整数，例如 1.5 2, 1.5 1. 设函数 f x x x ，* )时，函数 f x 的值域为集合A，则A 中的元素个数为. 当x 0,n (n N （二）选做题（14～15 题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线x a t,y t(t 为参数) 与x 圆y 1cos ,sin(为参数) 相切，切点在第一象限，则实数 a 的值为.15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点 E 在线段A B 上，且1AE EB ，连接D E , AC ，AC 与DE 相交于点 F ，若△AEF 的面积为1 cm22 ，则△AFD 的面积为cm 2 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．2018.5 （本小题满分12 分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，B 2 3且AB AD 1，BD .3 (1) 求cos A的值；（2）求sin C 的值.17．（本小题满分12 分）A 图2D C一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5,15 ，15,25 ，25,35 ，35,45 ，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3 . （1）求a的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为p ，第i 组区间的中点值为x i i 1,2,3, ,n ，i值为X x p x p x p x p . ）则样本数据的平均频率1 12 23 3 n n（3）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在5,15 内组距的小球个数为，求的分布列和数学期望.18．（本小题满分14 分）如图4 ，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形，EF ∥平面ABCD ，EF ，F B FC, BFC 90 ，A E 3 .1（1）求证：AB 平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.E FD C图4A B19．（本小题满分14 分）* 已知数列{a } 的前n项和为S n ，且a1 0，对任意n Nn ，都有n a 1 S n n 1 .n n（1）求数列a的通项公式；n（2）若数列b满足a n log2 n log2 b n ，求数列b n 的前n项和T n .n20．（本小题满分14 分）已知定点F 0,1 和直线l : y 1，过点 F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线 E .(1) 求曲线 E 的方程;(2) 若点A 的坐标为2,1 , 直线l1 : y kx 1(k R，且k 0) 与曲线 E 相交于B,C 两点，直线AB, AC 分别交直线l 于点S,T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14 分）已知函数f x aln x bx( a, b R) 在点1,f 1 处的切线方程为x 2y 2 0 .（1）求a,b的值；k（2）当x 1时，f xx恒成立，求实数k 的取值范围；* （3）证明：当n N21 1 1 3n n2 ，且n 2时，22ln 2 3ln 3 nln n 2n 2n 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）.数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2 ．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3 ．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B C B C D A C二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题 5 分，满分30 分．其中14~15 题是选做题，考生只能选做一题．9．12,1 10 ．8 11 ． 2 a 12 ．4 13 ．2 2n n214． 2 1 15 ．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，AB AD 1， 2 3BD ，322 2 2 31 12 2 23 1AB AD BD∴cosA2 AB AD 2 1 13 .⋯⋯⋯⋯⋯4 分（2）解：由（1）知，cos1A ，且0 A ，32 2 2∴sin A 1 cos A . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分3 ∵D 是边A C 的中点，∴AC 2AD 2 .在△ABC 中，cos A2 2 2 12 22 2 1AB AC BC BC2 AB AC 2 1 2 3，⋯⋯⋯8分解得33BC . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分3由正弦定理得，BC ABsin A sin C，⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴sin C2 21AB Asin 3 2 66BC 33 333.⋯⋯⋯⋯⋯12 分17．（本小题满分12 分）(1) 解：由题意，得0.02 0.032 x 0.018 10 1，⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分解得x 0.03 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（2）解：50 个样本小球重量的平均值为X 0.2 10 0.32 20 0.3 30 0.18 40 24.6（克）. ⋯⋯⋯⋯⋯ 3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6 克. ⋯⋯⋯⋯⋯4 分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15 内的概率为0.2 ，则1 B 3, .5⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分的取值为0,1, 2,3 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分34 64P 0 C ，35 12521 4 481P 1 C ，35 5 12521 4 122P 2 C ，35 5 12531 13P 3 C . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分35 125∴的分布列为：0 1 2 3P 64 48 12 1125 125 125 125⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴64 48 12 1 3E 0 1 2 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分125 125 125 125 5（或者1 3E 3 ）5 518．（本小题满分14 分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接E M ，则AM MB 1，∵EF ∥平面ABCD ，EF 平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB ，∴EF∥AB ，即EF ∥MB . ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵EF MB 1∴四边形EMBF 是平行四边形. ⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴EM ∥FB ，EM FB .在Rt△BFC 中， 2 2 2 4FB FC BC ，又FB FC ，得FB 2 .∴EM 2. ⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分在△AME 中，AE 3，AM 1，EM 2 ，∴ 2 2 3 2AM EM AE ，∴AM EM . ⋯⋯⋯⋯⋯4 分∴AM FB ，即AB FB . ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC . ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∵FB BC B ，FB 平面BCF ，BC 平面BCF ，∴AB 平面BCF . ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）证法1：连接A C ，AC 与BD 相交于点O ，则点O是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接O H ,EO ，FH ，则OH ∥AB ，1OH AB 1.2E F1D C 由（1）知EF ∥AB ，且EF AB ，2 ∴EF ∥OH ，且EF OH .O H∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且EO FH 1 . M ⋯⋯⋯⋯⋯7 分A B由（1）知AB 平面BCF ，又FH 平面BCF ，∴FH AB . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分∵FH BC ，AB BC B, AB 平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴FH 平面ABCD . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分∴EO 平面ABCD .∵AO 平面ABCD ，∴EO AO . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分∵AO BD ，EO BD O, EO 平面EBD ，BD 平面EBD ，∴AO 平面EBD . ⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴AEO 是直线A E 与平面BDE 所成的角. ⋯⋯⋯⋯⋯12 分AO在Rt△AOE 中，tan 2AEOEO . ⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴直线A E 与平面BDE 所成角的正切值为2 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分证法2：连接A C ，AC 与BD 相交于点O，则点O 是AC 的中点，z 取BC 的中点H ，连接O H ,EO ，FH ，EF 1则OH ∥AB ，OH AB 1.21D C 由（1）知EF ∥AB ，且EF AB ，2y O H∴EF ∥OH ，且EF OH .∴四边形EOHF 是平行四边形.B AM∴EO ∥FH ，且EO FH 1. ⋯⋯⋯⋯x⋯7 分由（1）知AB 平面BCF ，又FH 平面BCF ，∴FH AB .∵FH BC ，AB BC B, AB 平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴FH 平面ABCD .∴EO 平面ABCD . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz ，则A 1,2,0 ，B 1,0,0 ，D 1, 2,0 ，E 0, 1,1 .∴AE 1,1,1 ，BD 2, 2,0 ，BE 1, 1,1 . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分设平面BDE 的法向量为n x, y, z ，由n BD 0，n BE 0 ，得2x 2y 0 ，x y z 0 ，得z 0, x y .令x 1，则平面BDE 的一个法向量为n1, 1,0 . ⋯⋯⋯⋯⋯10 分设直线A E 与平面BDE 所成角为，则sin cos n,AE n AEn AE63. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分∴ 2 3cos 1 sin3 ，sintan 2cos. ⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴直线A E 与平面BDE 所成角的正切值为 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分19．（本小题满分14 分）（1）解法1：当n 2 时，na 1 S n n 1 ，n 1 a n S n 1 n n 1 ，⋯⋯ 1分n n两式相减得n a 1 n 1 a S S 1 n n 1 n n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯3 分n n n n即na 1 n 1 a a 2n，得a n 1 a n 2. ⋯⋯⋯⋯⋯5 分n n n当n 1时，1 a S 1 2，即a2 a1 2. ⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 1∴数列a是以a1 0为首项，公差为2的等差数列.n∴a 2 n 1 2n 2. ⋯⋯⋯⋯⋯7 分n解法2：由na n 1 S n n n 1 ，得n S n 1 S n S n n n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分整理得，n S 1 n 1 S n n 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯2 分n n两边同除以n n 1 得，S Sn n1 1n 1 n. ⋯⋯⋯⋯⋯3 分∴数列S nnS是以 1 01为首项，公差为1的等差数列.∴S n 0 n 1 n 1. n∴S n n 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分n当n 2时，a S S 1 n n 1 n 1 n 2 2n 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯5 分n n n又a1 0适合上式，⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴数列a的通项公式为a n 2n 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分n（2）解法1：∵a log n log b ，n 2 2 n∴ a 2n 2 n 1b n 2 n 2 n 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分nn∴T b b b b bn 1 2 3 n 1 n0 1 2 n 2 n 14 2 4 3 4 n 1 4 n 4 ，①1 2 3 n 1 n4T 4 2 4 3 4 n 1 4 n 4 ，②⋯⋯⋯⋯⋯11 分n①②得0 1 2 n 1 n3T 4 4 4 4 n 4nn1 41 4n n4n1 3n 4 13.⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴1nT 3n 1 4 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分n9解法2：∵a log n log b ，n 2 2 n∴ a 2n 2 n 1b n 2 n 2 n 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯9 分nn∴T b b b b bn 1 2 3 n 1 n0 1 2 n 2 n 1 4 2 4 3 4 n 1 4 n 4 .由n 12 3 1n x xx x x x x1 x，⋯⋯⋯⋯⋯11 分两边对x 取导数得，0 2 1 3 2 n 1x x x nxn 1 nnx n 1 x 121 x. ⋯⋯⋯12分令x 4，得0 1 2 2 1 1n n n4 2 4 3 4 n 1 4 n 4 3n 1 41.9⋯⋯⋯⋯⋯13 分∴1nT 3n 1 4 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分n920．（本小题满分14 分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点 F 为焦点, l 为准线的抛物线. ⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴曲线 E 的方程为 2 4x y . ⋯⋯⋯⋯⋯2 分解法2：设点M 的坐标为x, y , 依题意, 得MF y 1 ,即 22 1 1x y y , ⋯⋯⋯⋯⋯1 分化简得 2 4x y .∴曲线E 的方程为 2 4x y. ⋯⋯⋯⋯⋯2 分(2) 解法1: 设点B,C 的坐标分别为x1, y1 , x2, y2 ，依题意得， 2 2x1 4y1, x2 4y2 .由y kx 1,消去y 得2x 4y,2 4 4 0x kx ，解得24k 4 k 12x 2k 2 k 1 . 1,22∴x1 x2 4k, x1 x2 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分直线AB 的斜率kAB2x11y x1 42 1 1x 2 x 2 41 1，x 2故直线AB 的方程为 1y 1 x 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4令y 1，得x 2x1 82，∴点S 的坐标为82 , 1x 21. ⋯⋯⋯⋯⋯5 分同理可得点T 的坐标为82 , 1x 22. ⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ST8 x x8 81 22 2x 2 x 2 x 2 x 21 2 1 28 x x 8 x x x x1 2 1 2 1 2x x 2 x x 4 8k k1 2 1 2. ⋯⋯⋯⋯⋯7 分∴ST22 2 24 k 161 x x x x x x x xxxx x12121 22 22kkk . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯8 分设线段S T 的中点坐标为x，, 1则x1 884 xx4 122 22 2x 2x2 x 2 x2 12124 4k 4 4 4k 4 2 22 x x2 xx48kk1 212. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯9 分∴以线段S T 为直径的圆的方程为221 2xy 1STk4224 k1 2k.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分24 k14422展开得 xx y14.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 11 分22kkk2令 x 0，得y 14，解得 y 1或 y3.⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分∴以线段S T 为直径的圆恒过两个定点 0,1 , 0, 3 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 14 分解法 2：由（ 1）得抛物线 E 的方程为 x 24y .设直线 AB 的方程为 y 1 k x 2 ，点 B 的坐标为1x y ，1, 1由y 1 k x 2 , 1y 1, 解得x y 2 2 , k1 2018.6∴点 S 的坐标为 2 2 , 1 k 1. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分 由 y 1 k x 2 , 12x 4y,消去 y ，得 2x 4k x 8k 4 0 ， 1 1即 x 2 x 4k 2 0，解得 x 2或 x 4k 1 2. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯4 分1∴x 1 4k 1 2，122yx4k4k 1.111 14∴点 B 的坐标为24k2, 4k4k 1 .⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯5 分111同理，设直线 AC 的方程为 y 1 k x 2，2则点 T 的坐标为2 2, 1 k2，点 C 的坐标为24k2, 4k4k1 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯6 分222∵点 B,C 在直线 l 1 : ykx 1上，∴k2 2 2 24k 4k 1 4k 4k 1 k k k k2 2 1 1 2 1 2 14k 2 4k 2 k k2 1 2 1k1 k2 1 .∴k1 k2 k 1. ⋯⋯⋯⋯⋯7 分又 24k 4k 1 k 4k 2 1，得1 1 124k 4k 4kk 2k 4 k k 1 k 2k ，1 1 1 12 1化简得kk k . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分1 2 2设点P x, y 是以线段S T 为直径的圆上任意一点，则SP TP 0，⋯⋯⋯⋯⋯9 分得2 2x 2 x 2 y 1 y 1 0k k1 2，⋯⋯⋯⋯⋯10 分2 42整理得，x x y4 1 0. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分k2令x 0，得y 1 4 ，解得y 1或y 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯12 分∴以线段S T 为直径的圆恒过两个定点0,1 , 0, 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分21．（本小题满分14 分）（1）解：∵ f x aln x bx，∴af x bx. 1∵直线x2y 2 0 的斜率为2 ，且过点1,12，⋯⋯⋯⋯⋯1 分∴ff11 ,211 ,2即ba b12,12,解得1a 1,b . ⋯⋯⋯⋯⋯3 分2x（2）解法1：由（1）得lnf x x .2k 当x 1时，f xxx k恒成立，即ln x 0，等价于2 x2xk x ln x .2⋯⋯⋯⋯⋯4 分令2xg x xln x ，则g x x ln x 1 x 1 ln x. ⋯⋯⋯⋯⋯5 分2令h x x 1 ln x，则h x 1 1 x 1x x .当x 1时，h x 0 ，函数h x 在1, 上单调递增，故h x h 1 0 .⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分从而，当x 1时，g x 0 ，即函数g x 在1, 上单调递增，故1g x g 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯7 分2因此，当x 1时，2xk x ln x 恒成立，则21k . ⋯⋯⋯⋯⋯8 分2∴所求k 的取值范围是, 12. ⋯⋯⋯⋯⋯9 分x 解法2：由（1）得lnf x x .2k 当x 1时，f xxx k恒成立，即ln x 0恒成立. ⋯⋯⋯⋯⋯4 分2 x令lng x x x k2 x，则g x21 1 k x 2x 2k2 2x 2 x 2x.方程 2 2 2 0x x k （﹡）的判别式 4 8k .（ⅰ）当0，即 1k 时，则x 1时，2故函数g x 在1, 上单调递减.2 2 2 0x x k ，得g x 0，由于1kg 1k 0,g 2 ln 2 10， 22x k则当 x 1,2 时， g x 0，即 lnx2 x，与题设矛盾. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分1 k时，则 x 1时， 2gx2x 1x2x 1222x2x2（ⅱ）当0，即.故函数g x 在 1,上单调递减，则g x g 1 0，符合题意. ⋯ ⋯ ⋯ 6 分( ⅲ) 当0 ，即1k时，方程（﹡）的两根为x 11 1 2k 1, x2 11 2k 1，2则 x1,x 时， g x 0 ， x x 2,时， gx 0.2故函数g x 在1, x 上单调递增，在2x2, 上单调递减，x k 从而，函数g x 在1, 上的最大值为2g x ln x2 22 x2 . ⋯⋯⋯7 分而g x ln x2 2 x k22 x2ln x2x122 2x2，由（ⅱ）知，当x 1时，x 1ln x 02 2x，得x 12ln x 022 2x2，从而g x2 0 .故当x 1时，g x g x2 0，符合题意.⋯⋯⋯⋯⋯8 分综上所述，k 的取值范围是, 12. ⋯⋯⋯⋯⋯9 分（3）证明：由（2）得，当x 1时，又xln x 0，x 1ln x 02 2x2 1x，可化为xln x ，⋯10分21 2 1 1从而，. ⋯⋯⋯⋯⋯11 分2xln x x 1 x 1 x 1把x 2,3,4, , n 分别代入上面不等式，并相加得，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112ln 2 3ln 3 nln n 3 2 4 3 5 n 2 n n 1 n 1⋯⋯⋯⋯⋯12 分1 1 1 12 n n 1⋯⋯⋯⋯⋯13 分23n n 222n 2n . ⋯⋯⋯⋯⋯14 分。

2019年广东高考全真模拟试卷理科数学（一）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =A.)0,0(B. {}{}00=⋃=y xC. {}0D. {})0,0(2．201111i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知向量(12)a =，，(4)b x =，，若向量a b ⊥，则x = A ．2 B ．2- C ． 8 D ．8-4．已知0a >,且1a ≠,11(),()12xf x f x a =--则是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．奇偶性与a 有关 5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中：①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则β⊥l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l //④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m 其中，真命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．给出计算201614121++++ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是． A ．10>i B ．10<i C ．20>i D ．20<i 7．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的第6N A ．充分非必要条件能 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数S =2x y +的最大值为 ．10．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几 何体的体积为 ． 11．61(xx-的展开式中的常数项是 ．（用数字作答） 12．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x ，y ∈N *)则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则4a = ，该数列的通项公式n a = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如右图，四边形ABCD 内接 于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∙=∠25MAB ， 则=∠D ．15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．，求：（1）角C 的大小；（2）△ABC 最短边的长．17．（本小题满分12分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3． （1）若函数)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的解析式； （2）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围．18．（本小题满分14分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望． 19．（本小题满分14分）如右图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA EF ⊥（2）求二面角D －FG －E 的余弦值．20．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n nn nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．21．（本小题满分14分）已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0．（1）求实数p 的取值范围；（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．2019年广东高考全真模拟试卷理科数学（一）答案本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分1.选D2.选C.提示：先将括号里面的式子化简.3.选D.提示：02121=+=⋅y y x x .4.选A.提示：)()(x f x f -=-5.选B 提示：(2)(3)(4)为假命题6.选A.提示：11201614121=++++=i S 时，当 .7.选A.提示：当x,z 都取负数时.8.选B.提示：根据运算有1,,311*2=∴∈=++⋅k R k k k .二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．2 10．2411．20- 12．0.7 13．23 ；1321n -⋅- 14．115︒ 15．()2cos 1ρθ=-9.2.提示：）处取得最大值，在点（12110.24.提示：12此几何体为圆锥，底面圆的半径为，11.-20.提示：20)1(C 3336-=-x x 常数项为：. 12.0.7.提示：7.02014205,9==++∴=+y x y x . 13.23 ；1321n -⋅-.提示：11231),1(21-+⋅=+∴+=+n n n n a a a .14.115︒.提示：，，，由已知得：连接0090BAC 25BCA AC =∠=∠00115ADC 65ABC =∠=∠，.15.()2cos 1ρθ=-.提示：转化为直角坐标系求解.三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数基本公式和正弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）………………… 2分tan tan 1tan tan A BA B +=--112311123+=--⨯ 1=- ………………… 4分 ∵0C π<<， ∴34C π= ………………… 6分（2）∵0<tanB<tanA ，∴A.B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c, ………………… 8分由1tan 3B =，解得sin B =………………… 10分由sin sin b cB C =，∴1sin sin c Bb C⋅===．…………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：由5)(23+++=bx ax x x f 求导数得b ax x x f ++='23)(2，由在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3， 知3)1(='f ，即323=++b a ，化简得02=+b a …… ① …………………2分 （1） 因为)(x f y =在2-=x 时有极值，所以0)2(=-'f ，即0412=+-b a …… ② 由①②联立解得4,2-==b a ，∴ 542)(23+-+=x x x x f ．…………………6分 （2）b ax x x f ++='23)(2，由①知02=+b a ， ∴ b bx x x f +-='23)(．)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，依题意)(x f '在]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，………8分 即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立， 下面讨论函数()y f x '=的对称轴： ① 在16≥=bx 时， 03)1()(min >+-='='b b f x f ，∴ 6≥b ．…………………9分 ② 在26-≤=bx 时， 0212)2()(min ≥++=-'='b b f x f无实数解．…………………10分 ③ 在162<<-b时， 01212)(2min≥-='b b x f ，∴ 60<≤b ．…………………11分综合上述讨论可知，b 的取值范围是{}0≥b b ．…………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查条件概率.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识）解：设事件A 为“第1次取到白球”，B 为“第2次取到白球”，C 为“第3次取到白球”，则 （1）()()111114653612492|3C C C C C P C A C A +==． …………………4分 （2）因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以()63105P C ==．…………………8分 （3）设事件D 为“取一次球，取到白球”，则()25P D =， ()35P D =，…………………10分这3次取出球互不影响， 则23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，…………………12分 ()332355kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,2,3k =．…………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力）（1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PD ⊥．又ABCD 为正方形， ∴CD AD ⊥． ∵PDAD D =，∴CD ⊥平面PAD ．…………………4分 ∵PA ⊂平面PAD ，∴CD PA ⊥． ∵EFCD ，∴PA EF ⊥．…………………6分证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,0,2)PA =-，(0,1,0)EF =-．…………………4分∵()()2,0,20,1,00PA EF =--=， ∴PA EF ⊥．…………………6分（2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，(0,1,0)EF =-，(1,2,1)FG =-．…………………8分设平面DFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，∵0,0.DF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 11110,20.z x y z =⎧∴⎨+-=⎩ 令11y =，得()2,1,0=-m 是平面DFG 的一个法向量．…………10分 设平面EFG 的法向量为222(,,)x y z =n ，∵0,0.EF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220,20.y x y z -=⎧∴⎨+-=⎩ 令21z =，得()1,0,1=n 是平面EFG 的一个法向量．……………12分∵cos ,||||⋅<>=⋅m n m n m n ==5=-．设二面角D FG E --的平面角为θ，则,θ=<>m n ．所以二面角D FG E --的余弦值为．…………………14分 解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =，(1,2,0)DG =，(0,1,0)EF =-，(1,1,1)EG =-，(1,2,1)FG =-．…………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵,,F G M 三点共线， ∴()1DM DF DG λλ=+-， ∵0DM FG =，∴()10DF FG DG FG λλ+-=， 即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=．…………………10分 ∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭再过E 作FG 的垂线，垂足为N ，∵,,F G N 三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+-， ∵0EN FG =， ∴()10EF FG EG FG μμ+-=， 即()()2140μμ⨯-+-⨯=， 解得23μ=．∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭．∴cos ,5DM EN DM EN DM EN==-⋅．…………………12分∵DM 与EN 所成的角就是二面角D FG E --的平面角，所以二面角D FG E --的余弦值为．…………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数.最值.等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力.以及创新意识）（1）解：∵()x f x e x =-，∴()1x f x e '=-．令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．……………4分∴函数()xf x e x =-在区间(),0-∞上单调递减， 在区间()0,+∞上单调递增∴当0x =时，()f x 有最小值1．…………………6分（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1xx e +≤． 令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n -<-≤， ∴1(1,2,,1)n n k k n k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………9分 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． ∵1,n n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴(1)(2)211211n n n n n n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…12分 ∵(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------+++++=<=---， ∴ 1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力.运算求解能力）解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12x x < ∵AM BM +=0，∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0． ∴124x x +=，22128x x p +=．…………………4分∵()21222122x x x x ++>（12x x ≠），即88p >，∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．…………………6分（2）当2p =时，由（1）求得A .B 的坐标分别为()0,0.()4,4．假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），…………8分使得经过A .B .C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设经过A .B .C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=． ①…………9分 ∵函数24x y =的导数为2x y '=， ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t ， ∴经过A .B .C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为2t ．………10分 ∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在．∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴242122t E t D t +⨯=-+， 即()()324480t E t E ++-+=． ②…………………12分 ∵0t ≠，由①.②消去E ，得326320t t -+=．即()()2420t t -+=．∵4t ≠，∴2t =-．故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．…………………14分解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。

2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）2．（5 分）复数z＝﹣i（i 为虚数单位）的虚部为（）A．B． C．D．3．（5 分）双曲线9x2﹣16y2＝1 的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）4．（5 分）记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，若a2+a8＝34，S4＝38，则a1＝（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5 分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x 的不等式f（x）＜﹣1 的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）6．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5 分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5 个数据的方差为4B．S＝4，即5 个数据的标准差为4C．S＝20，即5 个数据的方差为20D．S＝20，即5 个数据的标准差为208．（5 分）已知A，B，C 三点不共线，且点O 满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3 B．＝12﹣3C．＝﹣12+3 D．＝﹣12﹣39．（5 分）设数列{a n}的前n 项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S13＝（）A．B． C． D．10．（5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在△ABC 中，若点P，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M，则点M 落在△APQ 内的概率为（）A． B．﹣2 C． D．11．（5 分）已知函数f（x）＝sin（ωx+ ）+ （ω＞0），点P，Q，R 是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝（）A． B．2 C．3 D．12．（5 分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x，若f（x）＜0 的解集中恰有两个正整数，则k 的取值范围为（）A．（，] B．[，）C．（，] D．[，）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5 分）（2x+y）6 的展开式中，x2y4 的系数为．14．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z＝2x+y 的最大值为．15．（5 分）在三棱锥P﹣ABC 中，AP，AB，AC 两两垂直，且AP＝AB＝AC＝．若点D，E 分别在棱PB，PC 上运动（都不含端点），则AD+DE+EA 的最小值为．16．（5 分）已知F 为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C1是以F 为圆心，为半径的圆，直线2 x﹣6y+3p＝0 与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60 分．17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D 在边BC 上，且BD＝3DC，cos B＝，S△ABC＝10 ，求AD．18．（12 分）已知五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2 ，且二面角F﹣AB﹣C 的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F 的余弦值．19．（12 分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M（0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P 与A2Q 交于点S，证明：点S 恒在直线y＝4 上．20．（12 分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5 次参加科目二考试的机会（这5 次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5 次都没有通过，则需重新报名），其中前2 次参加科目二考试免费，若前2 次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200 元的补考费，某驾校对以往2000 个学员第1 次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：考试情况男学员女学员第 1 次考科目二人数1200 800第 1 次通过科目二人数960 600第 1 次未通过科目二人数240 200若以如表得到的男、女学员第1 次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2 次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望．21．（12 分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2 时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx，记函数y＝F（x）在（，1）上的最大值为m，证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10 分)22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P 是曲线∁l 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx 与曲线C2交于A，B 两点，若＝3，求k 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0 的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a 的值．2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，8）B．（﹣∞，3）C．（0，8）D．（0，3）【考点】1E：交集及其运算．【分析】分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[y|0＜y＜8}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5 分）复数z＝﹣i（i 为虚数单位）的虚部为（）A．B． C．D．【考点】A5：复数的运算．【分析】化简复数z 为a+bi 的形式，即可写出z 的虚部．【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i，则z 的虚部为﹣．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算与化简问题，是基础题．3．（5 分）双曲线9x2﹣16y2＝1 的焦点坐标为（）A．（±，0）B．（0，）C．（±5，0）D．（0，±5）【考点】KC：双曲线的性质．【分析】直接利用双曲线的方程求解a，b，c 得到焦点坐标即可．【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1 的标准方程为：，可得a＝，b＝，c＝＝，所以双曲线的焦点坐标为（±，0）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5 分）记S n 为等差数列{a n}的前n 项和，若a2+a8＝34，S4＝38，则a1＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a8＝34，S4＝38，∴2a1+8d＝34，4a1+6d＝38，联立解得：a1＝5，d＝3，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5 分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x 的不等式f（x）＜﹣1 的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜﹣1 得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1 得，f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1 的解集为（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：＝3π，故选：A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7．（5 分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5 个数据的方差为4B．S＝4，即5 个数据的标准差为4C．S＝20，即5 个数据的方差为20D．S＝20，即5 个数据的标准差为20【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图，输出的S 是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23 这5 个数据的方差，先求这5 个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【解答】解：根据程序框图，输出的S 是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23 这5 个数据的方差，∵＝（17+19+20+21+23）＝20，∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．【点评】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8．（5 分）已知A，B，C 三点不共线，且点O 满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3 B．＝12﹣3C．＝﹣12+3 D．＝﹣12﹣3【考点】9H：平面向量的基本定理．【分析】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．【解答】解：由题意，可知：对于A：＝＝，整理上式，可得：16﹣12﹣3＝，这与题干中条件相符合，故选：A．【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．9．（5 分）设数列{a n}的前n 项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S13＝（）A．B． C． D．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列的递推关系式，逐步求出数列的相邻两项，然后求解数列的和即可．【解答】解：由题意，∵a1＝2，n＝2 时，a2+a3＝22，n＝4 时，a4+a5＝24，n＝6 时，a6+a7＝26，n＝8 时，a8+a9＝28，n＝10 时，a10+a11＝210，n＝12 时，a12+a13＝212，S13＝2+22+24+26+28+210+212＝2+＝．故选：D．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．10．（5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在△ABC 中，若点P，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M，则点M 落在△APQ 内的概率为（）A．B．﹣2 C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，则在△ABC 内任取一点M，则点M 落在△APQ 内的概率为＝，得解．【解答】解：设BC＝a，由点P，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，所以BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC 内任取一点M，则点M 落在△APQ 内的概率为＝，故选：B．【点评】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11．（5 分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R 是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝（）A． B．2 C．3 D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据|PQ|＝|QR|＝，得到周期T，然后计算ω，利用P，Q 的对称性，求出P 点的横坐标，代入求解即可．【解答】解：∵2|PQ|＝|QR|＝，∴|PQ|＝，|QR|＝，则T＝||PQ+|QR|＝+＝π，即＝π，即ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）+，∵|PQ|＝，∴x2﹣x1＝，2x1+ +2x2+ ＝π，得x1＝0，此时m＝sin（2x1+）+＝sin +＝＝1．即ω+m＝1+2＝3，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的应用，根据条件求出函数的周期以及利用对称性求出P 的坐标是解决本题的关键．12．（5 分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x，若f（x）＜0 的解集中恰有两个正整数，则k 的取值范围为（）A．（，] B．[，）C．（，] D．[，）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】根据由f（x）＜0 得（kx+）＜，构造函数h（x）＝，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）＜0 得f（x）＝（kx+）e x﹣3x＜0，即（kx+）e x＜3x，即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，由h′（x）＞0 得3﹣3x＞0 得x＜1，由h′（x）＜0 得3﹣3x＜0 得x＞1，即当x＝1 时函数h（x）取得极大值h（1）＝，设函数g（x）＝kx+，作出函数h（x）的图象如图，由图象知当k≤0，（kx+）＜的解集中有很多整数解，不满足条件．则当k＞0 时，要使，（kx+）＜的解集中有两个整数解，则这两个整数解为x＝1 和x＝2，∵h（2）＝，h（3）＝，∴A（2，）B（3，），当直线g（x）过A（2，）B（3，）时，对应的斜率满足2k A+＝，3k B+＝，得k A＝，k B＝，要使，（kx+）＜的解集中有两个整数解，则k B＜k≤k A，即＜k≤，即实数k 的取值范围是（，]，故选：A．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用不等式转化为两个函数的关系，构造函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5 分）（2x+y）6 的展开式中，x2y4 的系数为 60 ．【考点】DA：二项式定理．【分析】根据二项展开式的通项公式，求出含x2y4 的项，可得结论．【解答】解：（2x+y）6 的展开式中，故含x2y4 的项为•（2x）2•y4＝60x2y4，故答案为：60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z＝2x+y 的最大值为 7 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z 的最大值．【解答】解：画出x，y 满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y﹣z＝0 过点A 时，z＝2x+y 取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15．（5 分）在三棱锥P﹣ABC 中，AP，AB，AC 两两垂直，且AP＝AB＝AC＝．若点D，E 分别在棱PB，PC 上运动（都不含端点），则AD+DE+EA 的最小值为．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意画出图形，可得PB＝PC＝BC＝2，∠APB＝∠APC＝45°，沿PA 剪开，向两侧展开到平面PBC 上，连接A′A″，再由余弦定理求解得答案．【解答】解：如图，由AP，AB，AC 两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，得PB＝PC＝BC＝2，∠APB＝∠APC＝45°，沿PA 剪开，向两侧展开到平面PBC 上，连接A′A″，则AD+DE+EA 的最小值为A′A″＝＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．16．（5 分）已知F 为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C1是以F 为圆心，为半径的圆，直线2 x﹣6y+3p＝0 与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝【考点】K8：抛物线的性质．【分析】联立直线与抛物线方程求得点P，S 的坐标，利用焦半径公式即可求解．【解答】解：可得直线2x﹣6y+3p＝0 与y 轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，由得x2﹣px﹣p2＝0，⇒x P＝，x S＝．⇒，|RS|＝|SF|﹣＝y S+＝p，|PQ|＝|PF|﹣＝y P+﹣＝p．∴则＝．故答案为：..【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60 分．17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D 在边BC 上，且BD＝3DC，cos B＝，S△ABC＝10 ，求AD．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣）＝，结合范围C∈（0，π），可得C﹣∈（﹣，），可求C﹣＝，进而可得C 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用三角形的面积公式可求a＝，b ＝，又由余弦定理可得3c4+245c2﹣19208＝0，解得c＝7，a＝8，b＝5，在△ACD 中，由余弦定理可得AD 的值．【解答】（本题满分为12 分）解：（1）∵c cos A+c sin A＝b+a，∴由正弦定理可得：sin C cos A+sin C sin A＝sin B+sin A，∴sin C cos A+ sin C sin A＝sin（A+C）+sin A＝sin A cos C+cos A sin C+sin A，∴sin C sin A＝sin A cos C+sin A，∵sin A≠0，∴sin C＝cos C+1，∴解得：sin（C﹣）＝，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣＝，可得：C＝．（2）∵cos B＝，可得：sin B＝＝，∴由S△ABC＝10 ＝ac sin B＝ab sin C，可得：ac＝56，ab＝40，可得：a＝，b＝，又∵由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣40，∴c2＝（）2+（）2﹣40，整理可得：3c4+245c2﹣19208＝0，解得：c2＝49，可得：c＝7，a＝8，b＝5，∴在△ACD 中，由余弦定理可得：AD＝＝＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，属于中档题．18．（12 分）已知五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2 ，且二面角F﹣AB﹣C 的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F 的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【分析】（1）推导出DE⊥AD，AD⊥CD，从而CD⊥平面ADE，由此利用AB∥CD 能证明AB⊥平面ADE．（2）由AB⊥平面ADE，得∠DAE 是二面角F﹣AB﹣C 的平面角，即∠DAE＝30°．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用量法能求出二面角E﹣BC﹣F 的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2 ，∴DE⊥AD，AD2+CD2＝AC2，∴AD⊥CD，∵AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE，∴∠DAE 是二面角F﹣AB﹣C 的平面角，即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2，∴∠ADE＝120°，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，E（﹣1，0，），B（2，2，0），C（0，4，0），F（﹣1，4，），＝（﹣2，2，0），＝（﹣3，﹣2，），＝（﹣3，2，），设平面BCF 的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设平面BCE 的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设二面角E﹣BC﹣F 的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角E﹣BC﹣F 的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12 分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M（0，1）的直线l 与椭圆C 交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y 轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P 与A2Q 交于点S，证明：点S 恒在直线y＝4 上．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【分析】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2 得椭圆方程，（2）先设出直线l 的方程，再分别求出直线A1P 的方程，直线A2Q 的方程，联立，消x 整理可得y＝，根据韦达定理化简整理可得直线y＝4【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，故椭圆C 的方程为+＝1．（k≠证明：（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l 方程为y＝kx+1，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y 可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∵A1（0，2），A2（0，﹣2），∴直线A1P 的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，则直线A2Q 的方程为y＝x﹣2＝（k+ ）﹣2，由，消x 可得＝，整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，直线A1P 与A2Q 交于点S，则点S 恒在直线y＝4 上【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题20．（12 分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5 次参加科目二考试的机会（这5 次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5 次都没有通过，则需重新报名），其中前2 次参加科目二考试免费，若前2 次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200 元的补考费，某驾校对以往2000 个学员第1 次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：考试情况男学员女学员第 1 次考科目二人数1200 800第 1 次通过科目二人数960 600第 1 次未通过科目二人数240 200若以如表得到的男、女学员第1 次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2 次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X 元，求X 的分布列与数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，设A i 表示男学员在第i 次参加科目2 考试中通过，B i 表示女学员在第i 次参加科目2 考试中通过，（1）设事件M 是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，分析可得P （M）＝P（A1B1+A1B2+A2B1+A2B2），由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；（2）根据题意，X 可取的值为400、600、800、1000、1200，依次求出对应的概率，即可得X 的分布列，由期望公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设A i 表示男学员在第i 次参加科目2 考试中通过，B i 表示女学员在第i 次参加科目2 考试中通过，则P（A1）＝＝，P（A2）＝1﹣＝，P（B1）＝＝，P（A2）＝1﹣＝，（1）根据题意，设事件M 是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，则P（M）＝P（A1B1+A1B2+A2B1+A2B2）＝×+××+××+ ×××＝；（2）根据题意，X 可取的值为400、600、800、1000、1200，P（X＝400）＝× ＝，P（X＝600）＝× × + × × ＝，P（X＝800）＝×××+××+××＝P（X＝1000）＝×××+×××＝P（X＝1200）＝×××＝；则X 的分布列为X 400 600 800 1000 1200P故EX＝400×+600×+800×+1000×+1200×＝510.5（元）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12 分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2 时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx，记函数y＝F（x）在（，1）上的最大值为m，证明：﹣4＜m＜﹣3．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】（1）f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]e x，x∈R．即可出单调性．（2）当a＝2 时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e x﹣x+lnx，x∈（，1）．F′（x）＝（x﹣1）e x ﹣1+＝（x﹣1），进而得出极大值点．【解答】（1）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]e x，x∈R．可得函数f（x）在（﹣∞，a﹣1）内单调递减，在（a﹣1，+∞）内单调递增．（2）证明：当a＝2 时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e x﹣x+lnx，x∈（，1）．F′（x）＝（x﹣1）e x﹣1+ ＝（x﹣1），令F′（x）＝0，解得：＝，即x0＝﹣lnx0，x0∈（，1），令g（x）＝e x﹣在x∈（，1）上单调递增，g（）＝﹣2＜0，g（1）＝e﹣1＞0．∴x0∈（，1），可知：x＝x0，函数g（x）取得极大值即最大值，F（x0）＝（x0﹣2）﹣2x0＝1﹣2（x0+）∈（﹣4，﹣3）．∴﹣4＜m＜﹣3．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(二)选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10 分)22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P 是曲线∁l 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx 与曲线C2交于A，B 两点，若＝3，求k 的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去θ 得曲线C1 的普通方程为：x2+y2＝4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C1 德轨迹C2 的直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）如图：取AB 的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM 后可得斜率．【解答】解：（1）消去θ 得曲线C1 的普通方程为：x2+y2＝4，设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1 上，所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，C2 轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）当k＞0 时，如图：取AB 的中点M，连CM，CA，在直角三角形CMA 中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①在直角三角形CMO 中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，k＝＝＝．当k＜0 时，同理可得k＝﹣．综上得k＝±．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0 的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a 的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1 时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2 即＜a＜4 时，f（x）﹣5＜0 的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3 符合，当2a+2≤5 即0＜a≤时，f（x）的解集为（﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．综上可得a＝3．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。