吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试数学文科试卷(精品解析)

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试文科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1.设集合，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求得解.【详解】因为集合，所以=.故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.若为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得，再根据为第二象限角求出最后根据同角三角函数基本关系式可得.【详解】，又为第二象限角，则故选A.【点睛】本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属基础题.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 是与的等比中项C. 若是不共线的向量，且，则∥D. 已知角终边经过点，则【答案】C【解析】【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能.所以该选项错误; B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是；C. 若是不共线的向量，且，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E作由向量加法的平行四边形法则可知故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.5.若公差为的等差数列的前项和为,且成等比数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求.【详解】因为成等比数列，所以所以故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列和等比数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式6.已知, 则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】,则故选：C．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先转化为求-，再代入求解.【详解】=-.故答案为：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.8.在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量的大小与方向如图所示，则向量所成角的余弦值是A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取 ，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，则 ．故选B.【点睛】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为A. 24里B. 48里C. 72里D. 96里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得a2的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案．【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解可得a1=192，则a2=a1×q=192×=96；即此人第二天走的路程里数为96；故答案为：D【点睛】本题考查等比数列的前n项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型．10.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的模的计算公式求解.【详解】由题得=故答案为：A【点睛】本题主要考查向量的模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断f （x ）的奇偶性，及f （x ）的函数值的符号即可得出答案． 【详解】函数的定义域为，∵∴f（x ）是奇函数，故f （x ）的图象关于原点对称， 当x ＞0时，，∴当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，当x ＞1时，f （x ）＞0， 故选：C ．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题． 12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象变换规律，利用余弦函数图象的对称性和诱导公式，求得的最小值． 【详解】由已知将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得的图象向右平移（＞0）个单位长度，可得的图象；根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，，则解得；令k=-1，可得的最小正值是．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换规律以及余弦函数的图象与对称性问题，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）一、选择题。

1.设复数(5)(1)z i i =+-（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A. 4i B. 4C. 4i -D. -4【答案】D 【解析】 【分析】由复数()()5164z i i i =+-=-，即可得到复数的虚部，得到答案。

【详解】由题意，复数()()51z i i =+-=255i i i -+-64i =-，所以复数z 的虚部为4-，故选D 。

【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.已知集合{}|A x y x R ==∈，{|13,}B x x x Z =-≤≤∈集合A B 中元素的个数为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集的运算，求得{}1,0,1A B ⋂=-，即可得到答案。

【详解】由题意，可得集合{|A x x =≤≤，{}1,0,1,2,3B =-，则{}1,0,1A B ⋂=-，故选B 。

【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的运算，得到集合A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

3.已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2C. 3【解析】 【分析】将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得ba 的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为by x a=，将点代入双曲线的渐近线方程得b a =b a =2e ===，故选A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =（ ） A. 12 B. 16C. 24D. 32【答案】C 【解析】 【分析】先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数.【详解】依题意，总人数为30301050120+++=，其中“不喜欢的男性青年观众”有30人，故306120n=，解得24n =.所以本小题选C. 【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题.5.若一个圆锥轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）B.C. 2πD. 4π【解析】 【分析】由轴截面是面积为1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，，则)2112⨯=，∴r 1l ==，侧面积为πrl =故选：A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积πrl =的应用．6.设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（ ）A. 1B. 4C. 6D. 7【答案】D 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】由条件画出可行域如图：2z x y =-+表示直线在y 轴上的截距，当l ：2y x z =+平移到过点A 时，z 最大，又由24210x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得()A 2,3-此时，max 7z =. 故选D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是周期函数B. ()f x 奇函数C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 在52x π=处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，结合函数的周期性，奇偶性、对称性以及最值的性质，分别进行判断，即可得到答案。

2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 函数f (x )=sin (2x −π6)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 如图所示，M 是边AB 的中点，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2b ⃗ −2a ⃗B. a ⃗ +2b ⃗C. 2a ⃗ −2b ⃗D. 2a ⃗ +b ⃗ 4. 已知函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1，则f(1)的值为( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知正项等比数列{a n }中，a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 100+a 101a 98+a 99的值为( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26. 已知sin(π+α)=13，则cos2α=( )A. 79 B. 89 C. −79 D. 4√297. 在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则向量|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ( ) A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38. 函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4 C. x =π8 D. x =π49. 函数y =2log 4(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E 满足BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 1 B. 3 C. √10D. 92 11. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=4，S 3=7，则S 6的值为( )A. 31B. 32C. 63或13327D. 6412. 已知函数f(x)=x 2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数； ②函数f(x)的最小值为0；③如果x ∈[0,t]时，f(x)max =4e 2，则t 的最小值为2； ④函数f(x)有2个零点； 其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知函数f(x)={e x ,x <0,lnx,x >0,则f[f(1e )]=_____________.14. 设平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则|n ⃗ |等于______． 15. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{x|x =a i +a j ,i ∈N,j ∈N,1≤i <j ≤n}的元素个数为c n ，把{c n }的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中c 5= ; 第17行由左向右数第10个数为 ．16. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果(视角∠ACB=θ越大，效果越好)，现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．(1)按照方案①，设CF为h米(2<ℎ<4)，当h为何值时，视角θ最大？(2)按照方案②，设EF为x米(x<4)，当x为何值时，视角θ最大？18.在等差数列{an}中，公差d=4,a2+a5=22，记数列{an}的前n项和为S n．(1)求S n；}的前n项和为T n，求T14．(2)设数列{n(2n+1)S n19.在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小．(2)已知c=2，边AC边上的高BD=3√21，求△ABC的面积S的值．720.已知等比数列{a n}的公比q>0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.设函数f(x)=2x3−12x+c的图象经过原点．(1)求c的值及函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=lnx−a(x2−x)(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x ≤4}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题． 由正弦函数的周期公式即可求解． 【解答】解： 因为函数f (x )=sin (2x −π6)， 所以最小正周期是T =2π2=π．故选B ．3.答案：C解析： 【分析】本题考查平面向量的基本定理及向量的三角形法则，属于基础题． 根据向量的三角形法则得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由此即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， 因为M 为AB 的中点，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −2b ⃗ ， 故选C ．4.答案：B解析：解：函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1， 则f(1)=−f(−1)=−(2×12−1)=−1． 故选：B ．直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：C解析： 【分析】设等比数列的公比为q ，q >0，运用等比数列通项公式和等差数列中项性质，解方程可得q ，进而得到所求值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】解：正项等比数列{a n }的公比设为q ，(q >0)， a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 可得a 3=a 1+2a 2， 即a 1q 2=a 1+2a 1q ， 解得q =1+√2(负的舍去)， 则a 100+a 101a 98+a 99=q 2(a 98+a 99)a 98+a 99=q 2=3+2√2，故选C ．6.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=13，∴可得sinα=−13， ∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选：A ．由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．解析：【分析】本题考查向量加法的几何意义，属于基础题．由向量加法的几何意义，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求向量的模． 【解答】解：在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故选C 项． 8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，y =Acos(ωx +φ)型函数的性质， 准确写出变换后函数的解析式是解决本题的关键．先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项.属于基础题． 【解答】解：将函数f(x)=sin(x +π6)的图象向左平移π3个单位， 得到函数y =sin(x +π3+π6)=cosx 的图象， 再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12， 得到函数y =cos2x 的图象， 由2x =kπ， 得x =12kπ，k ∈Z ，∴所得图象的对称轴方程为x =12kπ，k ∈Z ， k =−1时，x =−π2． 故选A ．9.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，考查函数图象与性质的应用，是基础题． 利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x <1，函数是减函数． 故选C ．10.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可． 【解答】解：∵E 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是BC 的中点， 建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，E(1,1)，B(0,1)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)⋅(0,1)=1， 故选：A ．11.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4，S 3=7， ∴a 1q 2=4，a 1(1+q +q 2)=7，解得a1=1，q=2，或q=−23，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6=26−12−1=63．当q=−23，a1=9时，S6=9[1−(−23)6]1−(−23)=13327．∴S6=63或13327，故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得a1q2=4，a1(1+q+q2)=7，解得a1，q.再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数形结合思想方法，以及运算能力和判断能力，属于中档题．求得f(x)的导数和单调区间、极值和最值，作出f(x)的图象，结合图象可得单调性、最值和t的范围，以及零点个数．【解答】解：函数f(x)=x2e x，导数为f′(x)=x(2−x)e x，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增；x>2或x<0，f′(x)<0，f(x)递减，即有f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)=4e2，作出函数f(x)的图象，如下：①函数f(x)在[0,1]上是增函数，正确；②函数f(x)的最小值为0，正确；③如果x∈[0,t]时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2，正确；④函数f(x)有1个零点，即为0，故④不正确． 其中真命题的个数为3， 故选C ．13.答案：1e解析： 【分析】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.理解分段函数的概念是关键． 【解答】解：f[f(1e )]=f(−1)=e −1=1e ． 故答案为1e ．14.答案：2√5解析：解：∵平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)， ∴由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 可得−1×b −2×2=0，解得b =−4，∴|n ⃗ |=√22+(−4)2=2√5故答案为：2√5由向量平行可得b 的值，再由向量的模长公式可得． 本题考查平面向量的平行关系和模长公式，属基础题．15.答案：7；293解析： 【分析】本题考查对等差数列通项公式与求和公式，属于中档题． 对于题意的理解是关键，利用特殊条件，可以进行简便求解． 【解答】解：设a n =a 1+(n −1)d ， 则a i +a j =2a 1+(i +j −2)d ， 由题意1≤i <j ≤n ，当i =1，j =2时，i +j −2 取最小值1， 当i =n −1，j =n 时，i +j −2取最大值2n −3， 易知i +j −2可取遍1,2,3,…,2n −3， 即c n =2n −3(n ≥3)，∴c 5=2×5−3=7，数阵中前16行共有1+2+3+⋯+16=(1+16)×162=136个数，所以第17行左数第10个数为c 148=2×148−3=293． 故答案为7；293．16.答案：−√3解析： 【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】解：由图可知T =4(π6+π12)=π，∴ω=2， ∴f(x)=2sin(2x +φ)．∵f(−π12)=2sin(φ−π6)=−2，∴sin(φ−π6)=−1.再根据|φ|<π2， ∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3)，∴f(π)=−√3， 故答案为：−√3．17.答案：解：(1)如图(1)所示，由题意知，tanα=4−ℎ4，tanβ=ℎ−24，∴tanθ=tan(α+β)=4−ℎ4+ℎ−241−4−ℎ4×ℎ−24=8(ℎ−3)2+15，2<ℎ<4；当ℎ=3时tanθ取得最大值为815；因为函数y =tanθ在(0,π2)上是增函数，所以当ℎ=3时θ取得最大值；(2)如图(2)所示，由题意知，tanα=2−1.5x，tanβ=4−1.5x，∴tanθ=tan(β−α)=2.5x −0.5x 1+2.5x ⋅0.5x=2x+54x≤2√5，x >0，当且仅当x =√52时取“=”，所以x =√52时，视角θ取得最大值．解析：本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．(1)根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；(2)根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．18.答案：解：(1)等差数列{a n}中，由a2+a5=22可得2a1+5d=22，又因为d=4，所以a1=1，于是a n=4n−3，则S n=(1+4n−3)n2=2n2−n．(2)因为n(2n+1)S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T14=12(1−13+13−15+...+127−129)=12(1−129)=1429．解析：此题考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，及裂项相消求和的应用．(1)利用等差数列的通项公式求出首项，得出通项公式，利用等差数列的求和公式S n=(1+4n−3)n2= 2n2−n；(2)由裂项相消法得出T14．19.答案：解：(1)∵(2c−a)cosB−bcosA=0，由正弦定理得(2sinC−sinA)cosB−sinBcosA=0，∴(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，2sinCcosB=sin(A+B)，∵A+B=π−C，且sinC≠0，∴2sinCcosB=sinC，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵S=12acsinB=12BD⋅b，代入c =2，BD =3√217且sinB =√32，得b =√7a3， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2−2a +4， 代入b =√7a3，得a 2−9a +18=0，解得{a =3b =√7，或{a =6b =2√7，又∵锐角三角形， ∴a 2<c 2+b 2， ∴a =3，∴S △ABC =12acsinB =12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC ≠0，可得cosB =12，根据范围B ∈(0,π)可求B 的值．(2)由已知利用三角形面积公式可得b =√7a3，由余弦定理可得a 2−9a +18=0，结合a ，b 的关系，进而根据三角形面积公式即可计算得解．20.答案：解：(1)由a 1a 5=8a 2得：a 1q 3=8，即a 4=8，又∵3a 4，28，a 6成等差数列，∴3a 4+a 6=56， 将a 4=8代入得：a 6=32． 从而：a 1=1，q =2． ∴a n =2n−1；(2)b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×[(12)0+2(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n =2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1．∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2．解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)∵f(0)=0∴c=0…(2)，∴f(x)=2x3−12x…(4分)∴f′(x)=6x2−12=6(x+√2)(x−√2)，…(5分)列表如下：递减区间是(−√2,√2)…(8分)(2)∵f(−1)=10，f(√2)=−8√2，f(3)=18∴f(x)在[−1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(√2)=−8√2…(12分)解析：(1)由f(0)=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(I)当a=1时f(x)=lnx−x2+xf′(x)=1x−2x+1，∴f(1)=0，f′(1)=0即：所求切线方程为：y=0，(II)∵f′(x)=1x−2ax+a=−2ax2+ax+1x,x>0∴当a=0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2，当a≠0时可令g(x)=−2ax2+ax+1，x∈[1,2]．∵g(x)的对称轴x=14且过点(0,1)∴当a<0时，f′(x)>0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2−2a，当a>0时，若g(1)≤0，即：a≥1时，f′(x)<0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递减，∴f(x)max=f(1)=0，若g(1)>0，g(2)<0，即：16<a<1时，f′(x)在[1,a+√a2+8a4a)上大于零，在(a+√a 2+8a4a,2]上小于零f(x)在[1,a+√a 2+8a4a)上递增，在(a+√a2+8a4a,2]上递减，∴f(x)max =f(a+√a 2+8a4a)=lna+√a 2+8a4a+√a 2+8a+a−48，若g(1)>0，g(2)≥0，即：0<a ≤16时，f′(x)>0在[1,2]恒成立， f(x)在[1,2]上递增，∴f(x)max =f(2)=ln2−2a ，综上：f(x)max ={ ln2−2a,a ≤16ln a+√a 2+8a 4a +√a 2+8a+a−48,16<a <10,a ≥1解析：(Ⅰ)通过a =1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求出函数的导数，通过a 与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f(x)在[1,2]的最大值．本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

吉林省吉林市普通中学2018-2019学年高三文数第一次调研测试试卷一、单选题 (共12题；共12分)1．（1分）设集合A={x|−1<x<6},B={x|x〉0}，则A∩B=（）A．B．C．D．2．（1分）若sin(π2−α)=−35,α为第二象限角，则tanα=（）A．B．C．D．3．（1分）在下列给出的四个结论中，正确的结论是（）A．已知函数在区间内有零点，则B．是与的等比中项C．若是不共线的向量，且，则∥D．已知角终边经过点，则4．（1分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A．B．C．D．5．（1分）若公差为2的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1,a2,a5成等比数列，则S10=（）A．B．C．D．6．（1分）已知tan(α+β)=25,tan(β−π4)=14, 则tan(α+π4)的值为（）A．B．C．D．7．（1分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x+4x，则f(−12)=（）A．B．C．D．8．（1分）在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量a⃗,b⃗的大小与方向如图所示，则向量a⃗,b⃗所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（1分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ） A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里10．（1分）已知等边 ΔABC 的边长为2，则 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= （ ）A ．B ．C ．D ．11．（1分）函数 f(x)=ln|x|x的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．12．（1分）将函数 f(x)=2cos 2(πx +π6)−1 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移 φ(φ>0) 个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则 φ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）已知向量 a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,4), 若 (a +mb ⃗ )⊥a ，则 m = .14．（1分）已知 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a =3b ， c =√5 ，且 cosC =56 ，则 a = ．15．（1分）设函数 f(x)={1−x,x <1lnx,x≥1，若 f(m)>1 ，则实数m 的取值范围是 ． 16．（1分）已知数列 {a n } 是等差数列，前 n 项和为 S n ，满足 S 1+4a 4=S 9 ，给出下列四个结论：①a 7=0 ；②S 14=0 ； ③S 5=S 8 ； ④S 7 最小.其中一定正确的结论是 （只填序号）.三、解答题 (共6题；共12分)17．（2分）已知数列 {a n } ,点 (n,a n ) 在直线 y =3x −22 上.（1）（1分）求证：数列 {a n } 是等差数列；（2）（1分）设 b n =|a n | ，求数列 {b n } 的前20项和 S 20 .18．（2分）已知函数 f(x)=2cos(π2−x)cos(2π−x) .（1）（1分）求函数 f(x) 的最小正周期；（2）（1分）当 x ∈[0,π2] 时，求函数 y =f(x)+cos2x 的最大值与最小值. 19．（2分）设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，已知 a 2=3,a n+1=2a n +1 ．（1）（1分）证明： {a n +1} 为等比数列；（2）（1分）求 {a n } 的通项公式，并判断 n,a n ,S n 是否成等差数列？说明理由.20．（2分）在 ΔABC 中，内角 A,B,C 的边长分别为 a,b,c ，且 c =2 . （1）（1分）若 A =π3 ， b =3 ，求 sinC 的值；（2）（1分）若 sinAcos 2B 2+sinBcos 2A 2=3sinC ，且 ΔABC 的面积 S =252sinC ，求 a 和 b 的值.21．（2分）已知函数 f(x)=x 3−6ax 2+9a 2x(a ∈R) ．（1）（1分）当 a =1 时，求函数 f(x) 在点 (2,f(2)) 处的切线方程；（2）（1分）当 a ≥1 时，若对任意 x ∈[0,3] 都有 f(x)≤27 ，求实数a 的取值范围．22．（2分）设函数 f(x)=lnx +ax 2−(2a +1)x(a ∈R) .（1）（1分）当 a =1 时，求函数 f(x) 的单调区间； （2）（1分）求函数 f(x) 的极值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为集合 A ={x|−1<x <6},B ={x|x〉0} ，所以 A ∩B = (0,6) .故答案为：C【分析】利用集合交集的运算法则借助数轴求出集合的交集。

吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学（文）数 学〔文科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题：本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1、设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,那么()UA B ð=A 、{4,5}B 、{2,3}C 、{1}D 、{1,2}2. 复数22(1)i i +=A 、-4B 、4C 、-4iD 、4i3. 假设4cos 5α=-，且α是第二象限角，那么tan α的值为A 、34B 、43C 、34-D 、43-4. 抛物线24y x =的准线方程为 A. 2x =B. 2x =-C. 1x =D. 1x =-5. 假设m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，那么以下结论正确的选项是A. 假设m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不是相交直线；B. 假设m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定是平行直线；C. α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，假设m ⊥α，那么n ⊥β；D. m 、n 在平面α内的射影互相垂直，那么m 、n 互相垂直. 6. 如图，该程序运行后输出的结果为A 、15B 、21C 、28D 、367. 在等差数列*456{}(),27,n a n N a a a ∈++=中若 A 、9 B 、 27C 、 A 、()f x 是周期为1的奇函数 B 、 C 、()f x 是周期为1的非奇非偶函数D 、()f x 是周期为2的非奇非偶函数9.函数2(0)()(3)(0)xx f x f x x ⎧≤=⎨->⎩,那么(5)f =A.32B.16C.12D.13210.以下命题:(1)命题2000",0"x R x x ∃∈->的否定是“2,0x R x x ∀∈-<”;(2),"1"x R x ∈>则是“2x >”的必要不充分条件;(3)假设,[0,2]a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.311.设()f x '是函数()y f x =的导函数,()y f x '=的图象如图, 那么()y f x =的图象可能是 A.B.C D12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+=成立〔其中C 为常数〕，那么称函数()y f x =在D 上的“算术均值”为C ，那么以下函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是A 、2y x =B 、4sin y x =C 、ln y x =D 、2x y =第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置、 13、假设一个几何体的三视图如右，那么这个几何体的表面积为14.实数,x y 满足不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =+的最小值是.15.向量),4,(),2,1(x =-=且,//那么||+的值是__________[16.点(1,0)M 是圆C ：22420x y x y +--=内一点，那么过点M 的最长弦所在的直线方程是________.【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 17、〔本小题总分值10分〕设锐角△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，a 、b 、c 成等比数列，且xyo 213sin sin 4A C =.(1)求角B 的大小；(2)假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域.18、〔本小题总分值12分〕各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；19、〔本小题总分值12分〕按分层抽样的方法在该月生产的轿车中抽取50辆，其中A 类轿车20辆。

吉林省吉林市普通中学2019届高三第一次调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求得解.【详解】因为集合，所以=.故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.若为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得，再根据为第二象限角求出最后根据同角三角函数基本关系式可得. 【详解】，又为第二象限角，则故选A.【点睛】本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属基础题.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 是与的等比中项C. 若是不共线的向量，且，则∥D. 已知角终边经过点，则【答案】C【解析】【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能.所以该选项错误; B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是；C. 若是不共线的向量，且，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E作由向量加法的平行四边形法则可知故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.5.若公差为的等差数列的前项和为,且成等比数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求.【详解】因为成等比数列，所以所以故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列和等比数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式6.已知, 则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】,则故选：C．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先转化为求-，再代入求解.【详解】=-.故答案为：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.8.在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量的大小与方向如图所示，则向量所成角的余弦值是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，则．故选B.【点睛】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了A. 192里B. 96里C. 48里D. 24里【答案】B【解析】由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，则，解出，所以，选C.10.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的模的计算公式求解.【详解】由题得=故答案为：A【点睛】本题主要考查向量的模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得f(x)为奇函数，再由，＞0，可判断出函数图像，可得答案.【详解】解：由题意得：，故f(x)为奇函数，故B、C项不符合题意，又，＞0，故D项不符合题意，故选A.【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，根据函数的性质来判读图像是解题的关键.12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，利用余弦函数图象的对称性和诱导公式，求得的最小值．【详解】由已知将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得的图象向右平移（＞0）个单位长度，可得的图象；根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，则解得；令k=-1，可得的最小正值是．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换规律以及余弦函数的图象与对称性问题，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量若，则_________ .【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得的坐标，进而由向量垂直与向量数量积的关系可得，即可得答案．【详解】已知向量，则若，则即.故答案为.【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算以及向量的坐标计算，关键掌握向量数量积的坐标计算公式．14.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则______．【答案】3；【解析】【分析】根据余弦定理，即可求得a的值．【详解】因为a=3b，∴b=a；又c=，且cosC=，∴c2=a2+b2﹣2abcosC，∴5=a2+a2﹣2a•a•，化简得a2=9，解得a=3．故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．15.设函数，若，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】画出的图像及y=1的图像，可得其交点为（0，1），（e，1），由可得m的取值范围. 【详解】解：如图所示：可得的图像与y=1的交点分别为（0，1），（e，1），所以，则实数m的取值范围是，可得答案：.【点睛】本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键.16.已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④最小.其中一定正确的结论是________ （只填序号）.【答案】①③【解析】【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】由题得①，所以该命题是真命题；②，，不一定为零，所以该命题是假命题；③，，所以该命题是真命题.故答案为：①③【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和，考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列,点在直线上.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前20项和.【答案】(1)见解析(2)330【解析】【分析】（1）由已知：，作差，即可证明；（2）由（1）知：公差，当时，；当时，，所以，即可求出.【详解】解：（1）由已知：因为（）所以数列是公差为3的等差数列（2）由（1）知：公差，当时，；当时，所以=【点睛】本题考查等差数列的证明，及求等差数列的前和，属基础题.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据（1）中函数f（x）的解析式确定的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得的最大值和最小值．【详解】解：（1），所以函数的最小正周期为（2）因为，所以所以所以函数的最大值为，最小值为【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域．考查了学生综合运用所学知识的能力．19.设为数列的前项和，已知．（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？说明理由.【答案】（1）见解析（2）,，，成等差数列．【解析】【分析】（1）直接利用定义证明即得证.(2) 由（1）求，再计算得到，再计算，即，，成等差数列．【详解】（1）证明：∵∴由题意知，，∴是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，，∴，∴，∴∴，即，，成等差数列．【点睛】（1）本题主要考查等比数列性质的证明，考查等比数列的通项的求法和分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.20.在中，内角的边长分别为，且.（1）若，，求的值；（2）若，且的面积，求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值；（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值．【详解】解：（1）由余弦定理由正弦定理得（2）由已知得：所以------①又所以------②由①②解得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.已知函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)把代入原方程可得，可得，，可得函数在点处的切线方程；(2)，分，两种情况讨论，结合函数的单调性及对任意都有，可得a的取值范围.【详解】解当时，，，，，切线方程为：，整理得：．．在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．当时，函数在上单调递增．函数在上的最大值是，由题意得，解得：，，此时a的值不存在；当时，，此时在上递增，在上递减．函数在上的最大值是，由题意得，解得：．综上，a的取值范围是．【点睛】本题主要考查导数的性质及应用，注意分类讨论思想的灵活运用. 22.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）求函数的极值.【答案】（1）递增区间为，；递减区间是（2）见解析【解析】【分析】直接利用导数求函数的单调区间.（2）对a分四种情况讨论求函数的极值. 【详解】（1）的定义域为，当时，所以当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增综上，函数递增区间为，；递减区间是（2）当时，，函数单调递增，，函数单调递减.所以在区间上有极大值，无极小值当时，，单调递增；，单调递减；，单调递增所以，.当时，在区间上有，单调递增，无极值当时，，单调递增；，单调递减；，单调递增所以，.综上,当时，极大值为，无极小值；当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

吉林省吉林市普通中学2019届高三第一次调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：．故选：C．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.若，为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，得，为第二象限角，．则．故选：A．由已知求得，进一步得到，再由商的关系求得．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 6是3与9的等比中项C. 若，是不共线的向量，且，，则D. 已知角终边经过点，则【答案】C【解析】解：函数在区间内有零点，且在单调，则，故A错误；3与9的等比中项为，即，故B错误；若，是不共线的向量，且，，即有，则，故C正确；，角终边经过点，则，故D错误．故选：C．由函数零点存在定理可判断A；由等比中项的定义计算可判断B；由向量共线定理可判断C；运用任意角的三角函数定义可判断D．本题考查函数零点存在定理和等比中项的定义、向量共线定理和任意角的三角函数定义，考查运算能力，属于基础题．4.已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图，，，，故选：A．作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解．此题考查了向量的加法法则，属容易题．5.若公差为2的等差数列的前n项和为，且，，成等比数列，则A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】B【解析】解：由，，成等比数列，可得：，，解得．则．故选：B．由，，成等比数列，可得：，即，解得利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知，，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，则．故选：C．直接利用两角和的正切函数化简求解即可．本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．7.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】解：是定义在R上的奇函数，且时，；．故选：B．根据时的解析式，即可求出，再根据是奇函数，即可求出．考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，对数的运算．8.在小正方形边长为1的正方形网格中，向量，的大小与方向如图所示，则向量，所成角的余弦值是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意知向量，，，，，，，即向量所成角的余弦值为．故选：B．用坐标不是向量、，计算所成角的余弦值即可．本题考查了平面向量的数量积与夹角公式应用问题，是基础题．9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里【答案】B【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人二天走里，第二天走了96里，故选：B．由题意得：每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可．本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．10.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图，延长BC至D，使，易知，故选：A．连续两次利用向量加法的三角形法则，容易化简所给向量，从而得解．此题考查了向量加法的三角形法则，属容易题．11.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，函数定义域为，，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，当时，，，故排除D．故选：A．先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．最后得到图象对应的函数为奇函数，则，．故当时，取得最小值为，故选：D．利用二倍角公式化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得的最小值．本题主要考查二倍角公式的应用，函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．【答案】【解析】解：；；；．故答案为：．可先得出，根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．14.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则______．【答案】3【解析】解：，，且，由余弦定理可得，，解可得，，故答案为：3由余弦定理可得，，代入即可求解a本题主要考查了余弦定理在三角形中的简单应用，属于基础试题15.设函数，若，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，当，，即为，解得；当，即为，解得．综上可得，或．故答案为：．由分段函数的解析式，讨论，，再由对数函数的单调性，解不等式，求并集即可得到．本题考查分段函数的运用，考查对数函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．16.已知数列是等差数列，前n项和为，满足，给出下列四个结论：；；；最小，其中一定正确的结论是______只填序号．【答案】【解析】解：是等差数列，，，整理可得，，即，故正确；故错误；，，故正确；，无法判断其是否有最小值，故错误．故答案为：．由是等差数列及，求出与d的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列，点在直线上．求证：数列是等差数列；设，求数列的前20项和．【答案】解：证明：，数列是公差为3的等差数列；由知：，公差，当时，，当时，，．【解析】由得数列是公差为3的等差数列，即定义法；先判断当时，，当时，，而后转化到等差数列根据公式可求．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数．求函数的最小正周期；当时，求函数的最大值和最小值．【答案】解：因为所以函数的最小正周期为．因为由，得，从而所以当时，的最大值为，最小值为．【解析】利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．根据中函数的解析式确定的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得的最大值和最小值．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域考查了学生综合运用所学知识的能力．19.设为数列的前n项和，已知，．证明：为等比数列；求的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？说明理由．【答案】证明：，，，即，由题意知，，是首项为2，公比为2的等比数列；由知，，，，．，即n，，成等差数列．【解析】由已知数列递推式求得首项，再由等比数列的定义证明为等比数列；由为等比数列求出数列的通项公式，进一步求出数列的前n项和，再由等差数列的性质说明n，，成等差数列．本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．20.在中，内角A，B，C的边长分别为a，b，c，且．若，，求的值；若，且的面积，求a和b的值．【答案】解：中，，，；由余弦定理得，，解得；分由正弦定理，得；分由，降幂得，化简得，分即；又，得；分由解得分【解析】由余弦定理和正弦定理，即可求得；由题意，利用降幂公式和正弦定理，结合三角形的面积公式，即可求得a、b的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形的面积公式应用问题，是综合题．21.已知函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．【答案】解当时，，，，，切线方程为：，整理得：．．在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．当时，函数在上单调递增．函数在上的最大值是，由题意得，解得：，，此时a的值不存在；当时，，此时在上递增，在上递减．函数在上的最大值是，由题意得，解得：．综上，a的取值范围是．【解析】把代入函数解析式，求出函数的导函数，并求得与，代入直线方程点斜式得答案；求出函数的导函数，可得在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增，然后对a分类求出函数在上的最大值，由最大值小于等于27求解实数a的取值范围．本题考查利用导数求过某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.设函数．当时，求函数的单调区间；求函数的极值．【答案】解：当时，函数，，令得：，，当x变化时，，的变化情况如下表：在单调递增，在单调递减，在单调递增-------分当时，，，函数单调递增，，函数单调递减所以在区间上有极大值，无极小值-----------分当时，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增所以极大值，极小值---------分当时，在区间上有，单调递增，无极值---------------------------------分当时，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增所以极大值极小值----------------------------分综上，当时，极大值为，无极小值；当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为----------------------------分【解析】当时，函数，求出的导数，令，即可得出函数的单调性；求出函数的导数，求出的定义域，讨论当时，当，当时及当时，求出函数的单调区间即可求得极值；本题考查导数的应用：求单调区间、极值，考查分类讨论的思想方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题和易错题．第11页，共11页。

2019年吉林省高三（上）第一次调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{5，6，7}D．∅2．tan的值是（）A． B．﹣C．D．﹣3．在等比数列{a n}中，a1=3，a3=12，则a5=（）A．48 B．﹣48 C．±48 D．364．四边形ABCD中，=，且||=||，则四边形ABCD 是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形5．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=e x C．y=log0.5|x|D．y=sinx6．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=30°，b=2，c=2，则角C=（）A．60°或120°B．60°C．30°或150°D．30°7．已知两个单位向量、的夹角为，则|﹣2|=（）A．B．2C．D．8．将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位，所得函数g（x ）图象的一个对称中心可以是（ ）A ．（，0） B ．（﹣，0） C ．（，0）D ．（﹣，0）9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=9，a 6=11，则S 9等于（ ） A ．180B ．90C ．72D ．1010．如图，矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，E ，F 分别是BC ，CD 中点，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．411．设f （x ）=lnx +，则f （sin ）与f （cos）的大小关系是（ ）A ．f （sin ）＞f （cos ）B ．f （sin ）＜f （cos）C ．f （sin）=f （cos） D ．大小不确定12．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x +1）=f （x ﹣1），数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n +2，则f （a 2016）的值为（ ） A ．0 B ．0或1 C ．﹣1或0 D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量，，，若∥，则k= ．14．已知tan （+θ）=，则tanθ= ．15．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：a n=如果把这个数列{a n}排成右侧形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为．16．对于函数f（x）=xe x有以下命题：①函数f（x）只有一个零点；②函数f（x）最小值为﹣e；③函数f（x）没有最大值；④函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减．其中正确的命题是（只填序号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=﹣n2+7n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n的最大值．18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．数列{a n}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=1时，设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．已知=b﹣acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=4，求边c的大小．22．已知x=1是f（x）=2x++lnx的一个极值点．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2}B．{3，4}C．{5，6，7}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义写出结果即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7}，∴∁U B={1，2}，∴A∩（∁U B）={1，2}．故选：A．2．tan的值是（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式化简求解即可．【解答】解：∵tan=tan（2π﹣）=﹣tan=﹣．故选B．3．在等比数列{a n}中，a1=3，a3=12，则a5=（）A．48 B．﹣48 C．±48 D．36【考点】等比数列的通项公式；集合的含义．【分析】根据等比数列的性质即可得到结论．【解答】解：在等比数列中，a1a5=a32，∵a1=3，a3=12，∴a5==48，故选：A．4．四边形ABCD中，=，且||=||，则四边形ABCD 是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【考点】向量在几何中的应用．【分析】=，⇒四边形ABCD是平行四边形，∵||=||⇒⇒⇒AD⊥AB【解答】解：四边形ABCD中，=，⇒四边形ABCD是平行四边形，∵||=||⇒⇒⇒AD⊥AB ∴则四边形ABCD是矩形．故选C．5．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=e x C．y=log0.5|x|D．y=sinx【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】分别利用基本初等函数的函数奇偶性和单调性判断A、B，根据函数奇偶性的定义、对数函数、复合函数的单调性判断C，由正弦函数的性质判断D．【解答】解：A、y=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数，A不正确；B．y=f（x）=e x，且f（﹣x）=e﹣x≠﹣f（x），所以y=e x不是偶函数，B不正确；C．y=f（x）=log0.5|x|的定义域是{x|x≠0}，且f（﹣x）=log0.5|﹣x|=f （x），则该函数为偶函数，且x＜0，y=log0.5（﹣x），则由复合函数的单调性知：函数在（﹣∞，0）上是减函数，C正确；D．y=sinx是奇函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，D不正确，故选C．6．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=30°，b=2，c=2，则角C=（）A．60°或120°B．60°C．30°或150°D．30°【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可求sinC的值，结合C的范围即可得解．【解答】解：∵B=30°，b=2，c=2，∴由正弦定理可得：sinC===，∵C∈（0°，180°），∴C=60°，或120°．故选：A．7．已知两个单位向量、的夹角为，则|﹣2|=（）A．B．2C．D．【考点】向量的模．【分析】由已知求得，然后求出|﹣2|2，开方后得答案．【解答】解：由题意可知：||=||=1，＜，＞=，∴•=||•||cos=，∴|﹣2|2=﹣4•+4=1﹣4×+4=3，∴|﹣2|=．故选：D．8．将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位，所得函数g （x）图象的一个对称中心可以是（）A．（，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位，所得函数g（x）=sin（x++）=sin（x+）图象，令x+=kπ，求得x=kπ﹣，k∈Z，故g（x）的图象的对称中心是（kπ﹣，0），故选：C．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B10．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别是BC，CD中点，则•=（）A ．B ．C ．D ．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据矩形ABCD 中•=0，用、表示出、，求它们的数量积即可．【解答】解：矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，E ，F 分别是BC ，CD 中点，∴•=0，且=+=+，=+=+；∴•=（+）•（+）=+•+=×22+×0+×12=． 故选：C ．11．设f （x ）=lnx +，则f （sin ）与f （cos）的大小关系是（ ）A ．f （sin ）＞f （cos ）B ．f （sin ）＜f （cos）C ．f （sin）=f （cos） D ．大小不确定【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】求出函数f （x ）的单调区间，判断sin 与cos的大小，从而求出f （sin）与f （cos）的大小即可．【解答】解：f （x ）=lnx +，x ＞0，f′（x ）=﹣=， 令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜1， 故f （x ）在（0，1）递减，而sin＜cos＜1，故f（sin）＞f（cos），故选：A．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+2，则f（a2016）的值为（）A．0 B．0或1 C．﹣1或0 D．1【考点】数列递推式．【分析】数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+2，n=1时，a1=2a1+2，解得a1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n﹣1．利用等比数列的通项公式可得a n=﹣2n．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x ﹣1），可得f（x+2）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x）．于是f（a2016）=f（﹣2n）=﹣f（2n）=﹣f（2）=﹣f（0）．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+2，∴n=1时，a1=2a1+2，解得a1=﹣2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n+2﹣（2a n﹣1+2），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为2．∴a n=﹣2n．∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x）．∴f（a2016）=f（﹣2n）=﹣f（2n）=﹣f（2）=﹣f（0）=0．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知向量，，，若∥，则k=5．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量，，，若∥，可得3（3﹣k）=1﹣7，解得k=5．故答案为：514．已知tan（+θ）=，则tanθ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据正切的两角和与差的公式求解即可．【解答】解：∵tan（+θ）==，∴tanθ=，故答案为：．15．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．其前10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50．通项公式：a n=如果把这个数列{a n}排成右侧形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，则A（10，4）的值为3612．【考点】归纳推理．【分析】由题意，前9行，共有1+3+…+17==81项，A（10，4）为数列的第85项，即可求出A（10，4）的值．【解答】解：由题意，前9行，共有1+3+…+17==81项，A（10，4）为数列的第85项，∴A（10，4）的值为=3612．故答案为3612．16．对于函数f（x）=xe x有以下命题：①函数f（x）只有一个零点；②函数f（x）最小值为﹣e；③函数f（x）没有最大值；④函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减．其中正确的命题是（只填序号）①③．【考点】命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，由导函数等于0求出x的值，以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段，以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函数的单调区间及极值点，把极值点的坐标代入原函数求极值（最值）．【解答】解：∵函数f（x）=xe x的定义域为R，f'（x）=（xe x）′=x′e x+x（e x）′=e x+xe x令f'（x）=e x+xe x=e x（1+x）=0，解得：x=﹣1．列表：由表可知函数f（x）=xe x的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）．当x=﹣1时，函数f（x）=xe x的极小值（最小值）为f（﹣1）=﹣＜0，且x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，x=0时，f（x）=0．∴对于①函数f（x）只有一个零点，正确；对于②函数f（x）最小值为﹣e﹣1，错；对于③，函数f（x）没有最大值，正确；对于④，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，错．故答案为：①③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=﹣n2+7n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系即可得出．（II）配方利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，当n≥2时，，当n=1时，a1=S1=6适合上式．∴a n=﹣2n+8．（Ⅱ）由（Ⅰ），∴n=3，4时，S n的最大值为12．18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）先利二倍角和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）x∈[0，]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x，化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）函数的最小正周期T=．（Ⅱ）x∈[0，]上时，2x﹣∈[，]当2x﹣=或时，函数f（x）的取值最小值为﹣1，当2x﹣=时，函数f（x）的取值最大值为2，故得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[﹣1，2]．19．数列{a n}是以d（d≠0）为公差的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由题意可知：a2，a4，a8成等比数列，即（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得：d=2，由等差数列的通项公式即可求得求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）化简b n，利用“裂项消项法”即可求得数列{b n}的前n 项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a2，a4，a8成等比数列，∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d），整理得：d2﹣2d=0，∵d=2，d=0（舍去），∴a n=2+2（n﹣1）=2n，数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）若b n===，数列{b n}的前n项和T n=1+++…+=1﹣=．20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=1时，设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率；（2）先求出h（x）的导数，根据h′（x）＞0求得的区间是单调增区间，h′（x）＜0求得的区间是单调减区间，从而问题解决．【解答】解：（1）∵当a=2时，f（x）=x﹣2lnx（a∈R），∴f′（x）=1﹣，∴f′（1）=﹣1，∵f（1）=1，∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0；（2）∵h（x）=f（x）+，∴h′（x）=，a=1时，h′（x）=，令h′（x）＞0，解得：x＞2，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c．已知=b﹣acosC．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=4，求边c的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）直接利用余弦定理化简已知条件，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）由已知利用余弦定理可得c2﹣4c+1=0，即可解得c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若=b﹣acosC=b﹣a，可得2b2﹣bc=a2+b2﹣c2，即c2+b2﹣bc=a2，又由余弦定理c2+b2﹣2bccosA=a2，∴cosA=，∴A=60°．（2）∵a=，b=4，A=60°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：15=16+c2﹣2×，整理可得：c2﹣4c+1=0，∴解得：c=2±．22．已知x=1是f（x）=2x++lnx的一个极值点．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出b的值即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出g（x）的导数，问题转化为a≥﹣2x2﹣x在[1，2]恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2﹣+，x=1是f（x）=2x++lnx的一个极值点，故f′（1）=2﹣b+1=0，解得：b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=2x++lnx﹣﹣=2x+lnx﹣，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，则g′（x）=2++=，则2x2+x+a≥0在[1，2]恒成立，即a≥﹣2x2﹣x在[1，2]恒成立，令h（x）=﹣2x2﹣x=﹣2+，x∈[1，2]，h（x）在[1，2]递减，h（x）max=h（1）=﹣3，故a≥﹣3．第21页（共21页）。

吉林省长春市普通高中2019届高三数学上学期质量监测试题（一）文（扫描版）长春市普通高中2019届高三质量监测（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. C4. B5.C6. A7. B 8. A 9. D 10. D 11. C12. D简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C (13)(3)10i i i -+-=.故选C. 2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D M N M = 有N M ⊆.故选D. 3. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意可知函数最大值为故选C. 4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在(0,)+∞上是减函数，排除A ，D.故 选B.5. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b .故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查等比数列的相关知识.【试题解析】A 由条件可知，所求算式等于13.故选A 7. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】B 由题意知成角为3π，余弦值为12.故选B.8. 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】A 由正弦定理可知1cos ,602A A ==︒.故选A. 9. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D. 10. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知10k =.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知22222223,13y x y x a a a =-=-，从而渐近线方程为y =.故选C.12. 【命题意图】本题是考查函数图象的对称性.【试题解析】D 函数()()g x f x ，的图象关于(2,1)点对称，则()0F x =共有8个零点，其和为16. 故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.5214.1215. 21y x =- 16.13简答与提示：13. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为52.14.【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】12,1,2a b c e====.15.【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识.【试题解析】由题意可得1()1,(1)2,(1)1,21f x f f y xx''=+===-.16.【命题意图】本题考查三棱锥的相关知识.【试题解析】由题意可知其211132233V=⨯⨯⨯=.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的相关知识.【试题解析】解：（1）由1127,3327a d a d+=+=，解得111,2a d==-，可得132na n=-.（2）由（1）2nb n=，111111()4(1)41n nb b n n n n+==-++，所求式等于1223341111111(1)41n nbb b b b b b b n++++⋅⋅⋅+=-+.18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接BD，由2PA PD==，E是AD的中点，得PE AD⊥，由平面⊥PAD平面ABCD，可得PE⊥平面ABCD，PE BE⊥，又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，60=∠A，所以BE AD⊥，从而⊥BE平面PAD.（2）在PAB∆中，2,PABPA AB PB S∆====，1111322P ABEV-=⨯=，所以点E到平面PAB19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设00000(,),(,0),||||,||,Q x y H x QH y OH x==||2AB p=，从而2200||2||||QH y px AB OH===.（2）由条件可知，:4MN y x=-+，联立直线MN和抛物线C，有242y xy px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p+-=，设1122(,),(,)M x y N x y，由O M O N⊥有1212x x y y+=，有1212(4)(4)0y y y y--+=，由韦达定理可求得2p=，所以抛物线2:4C y x=.20.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为216360.690++=，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.（2450若最高气温不低于25，则Y ；若最高气温位于区间），则Y 300+2（）；若最高气温低于20，则Y （450-200）450= -100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e x a '=-+， 设()()x g x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-，所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增， 当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a >-，所以10a +>，即()0f x '>， 所以函数()f x 在R 上单调递増.（6分）（2）由（1）知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-，所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0t e t a -+=，即t a t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増，所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，令()()2111,2x h x e x x x =-+>，则()1()0x x x h e =-<'恒成立， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122t e t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min 12f x <，故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12.（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由32=AB 得sin 2α=，所以3πα=或23πα=.23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）2221()22a b a b +≥+=.（2）2212133(2()22224a b b a a b a b a b ++=⨯+=++≥，12+.。