高二数学练习——四种命题间的相互关系

四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念,写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。

3、会用命题的等价性解决问题.【核心扫描】：1、结合命题真假的判定,考查四种命题的结构。

(重点）2、掌握四种命题之间的相互关系.（重点）3、等价命题的应用。

(难点）1、四种命题的概念（1）互逆命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则P”。

(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

也就是说，若原命题为“若p,则q”则否命题为“若非p，则非q".(3）互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p,则q"，则逆否命题为若非q，则非p.任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题,因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。

2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：(2）四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况?因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题:若q，则p；否命题:若非P，则非q；逆否命题：若非q，则非 p.（1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题;②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题;③交换命题的条件和结论,并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．（2)已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题.然后，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动。

第一章常用逻辑用语1.1.3 四种命题间的相互关系参考答案【典例分析】例1.【解析】选D.因为原命题与其逆否命题等价,故选D.例2.【解析】选B.因为a=-b时，|a|=|b|，则命题p为假命题，命题p的逆命题为：若a=b，则|a|=|b|，为真命题；又因为命题的逆命题与否命题互为逆否命题，命题与其逆否命题互为逆否命题，故真命题的个数是2个.例3.【解析】否命题为“若α不是第一、二象限的角，则sinα≤0”，是假命题.答案：假【变式拓展】：1.【解析】选D.与逆命题等价的是否命题，否命题是若p正确，则q正确.2.选D.命题能被6整除的整数，一定能被2整除的逆否命题是：不能被2整除的整数，一定不能被6整除.3.【解析】等价命题是“若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆”.答案：若一个四边形不是等腰梯形，则这个四边形不内接于圆4.答案：(1)互为否命题(2)真四、随堂检测1.选A.设p为“若A,则B”,那么q为“若¬A,则¬B”,r为“若¬B,则¬A”.由于q和r的条件和结论互换,故q和r互为逆命题.2.【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.3.因为m>0,所以12m>0,所以12m+4>0.所以方程2x+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.所以原命题“若m>0,则方程2x+2x-3m=0有实数根”为真.又因为原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程2x+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.4.【解析】逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,真命题.判断如下:抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a<1,所以4a-7<0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真命题.。

1.1.3四种命题间的相互关系
【自主学习】观察下列四个命题：
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．
（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．
（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
1.命题（1）与命题（2）（3）（4）之间是什么关系？你知道上述四个命题中任意两个命题之间的相互关系吗？
2．四种命题间的真假性关系
（1）判断上述四个命题的真假，并思考它们的真假性是否也有一定的相互关系？
（2）以“若2
-3+2=0x x ，则=2x ”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假.
（3）再分析其他一些命题，并思考四种命题的真假性间有什么规律？
一般地，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题之间的相互关系如下：
原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的真假性，有而且仅有下面四
种情况：
【自主检测】 若p ，则q
下列说法正确的是( )
A ．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假
B ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真
C ．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真
D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真
【典型例题】
例：证明：“若222430a b a b -+--≠,则1a b -≠.”为真命题.
【目标检测】
1．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a >b ，则ac 2>bc 2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；。

四种命题间的相互关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·杭州高二检测)命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是( )A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.(2014·长春高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是( )A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题,所以p与r是互逆命题.3.(2014·海口高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是( )A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则-cos(B+C)=2sinBsinC,得cosBcosC+sinBsinC=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cosA=cos15°=,sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,2sinBsinC=≠cosA.6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·成都高二检测)下列命题中是真命题的是_______.①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;②命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题.命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根,则m>1,是真命题.命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为①②.答案:①②8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_________.【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以②的逆命题为真命题.答案:②【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是.【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题.答案:②9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·周口高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m>时,mx2-x+1=0无实根.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m>,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m>”,是真命题;否命题:“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m≤”,是真命题.11.(2014·大连高二检测)已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题可先根据命题p,q为真命题分别求出m的取值范围,然后分p真q假与p假q真两种情况分别求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以Δ1=m2-4≥0,所以p:m≥2或m≤-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以Δ2=16(m-2)2-16<0,所以q:1<m<3.①p真q假:所以所以m≥3或m≤-2.②p假q真:所以所以1<m<2,所以实数m的取值范围为1<m<2或m≥3或m≤-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·福州高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解题指南】若原命题的真假情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说明某一命题是假命题,只需举一反例即可.【解析】选A.原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.3.(2014·上海高二检测)已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题A.①③B.②C.②③D.①②③【解析】选 A.根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.4.(2013·咸阳高二检测)已知下列三个命题:①“若x2=4,则x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于③,Δ=4-4m,当m>2时,Δ<0,所以二次函数f(x)=x2-2x+m开口向上,与x轴无交点,所以x2-2x+m>0的解集为R,正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·新乡高二检测)给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.【解析】①因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以是真命题.②否命题:“若a≤b,则a+c≤b+c”是真命题.③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.答案:①②6.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0且m≠1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.【解析】若①真,②假,则故m>1.若①假,②真,则无解.综上所述,m的取值范围是m>1.答案:m>1【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是.【解析】若①②均真,则故0<m<1.答案:0<m<1三、解答题(每小题12分,共24分)7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q<0,得q<-p2, 所以p+q<p-p2=-+≤,所以p+q<.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<,但原方程有实数根x=-1.8.有甲、乙、丙三个人,命题p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题q:“如果丙不是年龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由.【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a,b,c,显然命题p和q的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题来看.由命题p可知,乙不是最大时,则甲最小.所以丙最大,即c>b>a,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即b>a>c,同理由命题q为真可得:a>c>b或b>a>c,又命题p与q均为真,可得b>a>c.故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.。