四种命题间的相互关系参考教案

§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。

【教学过程设计】””课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题④“A B B =，则A B ⊇”的逆否命题 其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.08．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

§1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习目标1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化. 二、课前准备命题 表述形式 原命题 若p ,则q 逆命题 否命题 逆否命题 复习2：写出命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题，并判断真假.三、新课导学引例1、分析下列四个命题之间的关系 （1）若2320x x -+=，则2x = （2）若2x =，则2320x x -+= （3）若2320x x -+≠，则2x ≠ （4）若2x ≠，则2320x x -+≠（1）（2）互为 （3）（4）互为 （2）（4）互为 （2）（3）互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性看引例1，探究：以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，它的逆命题、否命题、逆否命题，判断这些命题的真假并总结其规律性. 原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 假 假（1） . （2） .练习1：判断下列命题的真假.命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题；否命题;逆否命题练习2．设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。

并分别判断它们的真假。

分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。

原命题的条件是“a>b ”， 结论是“ac>bc ”。

解：逆命题：当 时，若 , 则 是 命题否命题：当 时，若 , 则 是 命题 逆否命题：当 时，若 ，则 是 命题总结：判断真假的方法：（1）直接判断；（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. 典型例题例1．写出下列命题的其它三种命题命题,并判断真假： （1）若41>m ，则方程012=+-x mx 无实根。

逆命题 （ ） 否命题： （ ） 逆否命题 （ ）（2）若022≠+y x ，则x 、y 全为0。

四中命题间的互相关系（1）知识方法目标认识命题的观点，教课目的（2）能力目标会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p ，则q”的形式。

教课重难点（1）要点：命题的改写（2）难点：命题观点的理解，命题的条件与结论划分教法与学法1.课题引入（创建情形）2．问题研究（ 1）难点打破（ 2）研究方式教法：教课过程备注阅读以下语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312；（3）312吗？（4）8 是 24 的约数；（5）两条直线订交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子。

1．命题的观点：指引学生概括出①命题：能够判断真假的陈说句叫做命命题的观点，重申题（ proposition）。

判断一个语句是上述 6 个语句中，（1）（ 2）（4）（ 5）（6）不是命题的两个是命题。

要点点：能否切合“是陈说句”和②真命题：判断为真的语句叫做真命题“能够判断真（true proposition）；假”。

（ 3）研究步骤假命题：判断为假的语句叫做假命题（ 4）热潮设计（false proposition ）。

上述 5 个命题中，（ 2）是假命题，其余4个都是真命题。

③例 1：判断以下语句中哪些是命题？是真命题仍是假命题？（1）空集是任何会合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2 小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）2x 15 ；经过例子指引学（ 6）平面内不订交的两条直线必定平生鉴别命题，划分行；命题的条件和结（7）明日下雨。

论。

改写为“若 p ，（学生自练个别回答教师评论）则 q ”的形式，为④研究：学生自我举出一些命题，并判后续的学习打好断它们的真假。

基础。

2．将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例 1 中的（ 2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把此中的p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论。

②试将例 1 中的命题（6）改写成“若p，则 q ”的形式。

③例 2：将以下命题改写成“若p，则q”的形式。

1.1.3四种命题间的相互关系【学习目标】1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．【教学重难点】利用命题的等价性解决问题一．预习提问阅读课本，并完成一下问题：1.四种命题的关系？2.四种命题的真假？知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(1)两个互逆命题的真假性相同．(×)(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)二．典例分析类型一四种命题间的关系及真假判断例1判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．(1)若ab≤0，则a≤0或b≤0；(2)若a2＋b2＝0，则a，b都为0.考点四种命题的概念题点判断四种命题的真假解(1)逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0.它为假命题．逆否命题：若a＞0且b＞0，则ab＞0.它为真命题．所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．(2)原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2＋b2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．反思与感悟互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．跟踪训练1下列命题为假命题的是()A．“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题B．“正三角形都相似”的逆命题C．“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题D ．“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B解析 A 中原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”，是真命题．B 中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．C 中，原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m ＜0，∴m ＜－14，∴原命题的逆否命题是真命题．D 中，原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”， ∵x 不是无理数，∴x 是有理数，又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．类型二 等价命题的应用例2 设m ，n ∈R ，证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2. 考点 反证法逆否证法 题点 逆否证法证明 将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题， 则它的逆否命题为“若m ＋n ＞2，则m 2＋n 2≠2”． 因为m ＋n ＞2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＞12×22＝2.所以m 2＋n 2≠2，所以原命题得证．反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练2 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1. 考点 反证法和逆否证法 题点 逆否证法证明 命题“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若 a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．由a ＝2b ＋1，得a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2×(2b ＋1)＋1＝4b 2＋4b ＋1－4b 2－4b －2＋1＝0，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证. 三.练习实践1．命题“若(綈p )，则q ”的逆否命题为( )A ．若p ，则(綈q )B ．若(綈q )，则(綈p )C ．若(綈q )，则pD ．若q ，则p 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题 答案 C2．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 对A ，即判断：若x >|y |，则x >y 的真假，显然是真命题．3．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________． 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤1 4．有下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若1a ＞1b 撒，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题． 其中是假命题的是________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 答案 ①②解析 对于①，其否命题为：若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a ＜b ，则1a ＞1b ，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②.5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假． 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解 (1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题．判断如下： 因为ac <0，所以－ac >0，Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根⇒ax 2＋bx ＋c >0有解， 所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．。

四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1. 熟练掌握四种命题的含义；
2. 理解四种命题的相互关系；
3. 能够根据四种命题的关系进行推理判断。

二、教学重点
四种命题的关系。

三、教学难点
理解四种命题的相互关系，能够根据四种命题的关系进行推理判断。

四、教学准备
1. 教师准备相关课件；
2. 学生准备笔和纸。

五、教学过程
Step 1: Warming-up
1. 老师出示一些实际生活中的例子，让学生进行判断，以激发学生的思维；
2. 让学生了解四种命题的含义，并归纳出它们的关系；
Step 2: Presentation
1. 让学生熟悉四种命题的相互关系，并理解它们之间的联系；
2. 通过实际的例子来让学生理解四种命题的相互关系；
Step 3: Practice
1. 老师出题，让学生根据四种命题的关系进行推理判断；
2. 学生可以小组讨论，共同完成题目；
Step 4: Summary
1. 总结四种命题的相互关系；
2. 引导学生理解四种命题的关系，以及如何根据这种关系进行推理判断。

Step 5: Homework
1. 让学生继续完成相关练习；
2. 要求学生完成一篇关于四种命题的相互关系的文章。

《四种命题间的相互关系》教材分析本次课程内容在教材中较为简单，需让同学们理解教材中的大致内容，并且在教材内容的基础上进行与之前知识的结合，教材中的例子要熟练掌握，从而理解四种命题间的相互关系。

教学目标【知识与能力目标】掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系；会用等价命题判断四种命题原命题、逆命题、否命题、逆否命题、真假命题。

【过程与方法目标】（1）多让学生举命题的例子，并写出并理解四种命题间的相互关系；（2）培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；（3）培养学生抽象概括能力和思维能力．【情感态度价值观目标】通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。

教学重难点【教学重点】（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．【教学难点】原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．课前准备布置预习的作业，并且能够根据一个命题指出该命题四种命题间的关系教学过程活动一：创设情景、引入课题 （5分钟） 问题1：请同学们回顾上一节课学习过的内容：1、什么叫原命题？逆命题？否命题？逆否命题？并用“若P ，则q ”形式来表示2、如何判断这四种命题的真假？ 问题2：思考、分析 观察下列四个命题中：（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数． （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数． （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们已经知道命题（1）与命题（2）、（3）、（4）之间的关系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？活动二：师生交流、进入新知，（20分钟） 由命题（2）（3）是互为逆否命题， 命题（2）（4）是互否命题， 命题（3）（4）是互逆命题。

四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1.能够认识四种命题的概念；
2.能够掌握四种命题的相互关系；
3.能够掌握判断命题真假的技巧。

二、教学内容
本课的内容主要讲解四种命题的相互关系，具体包括：
1.说明真命题、假命题、可能真命题和可能假命题的概念；
2.讨论四种命题的相互关系，例如：真命题的充要条件，假命题的充要条件，可能真命题和可能假命题的充分条件，以及四种命题的定义；
3.教学如何通过实例进行判断命题真假，例如：当有充分条件时，可以判断出可能真命题，当有充要条件时，可以判断出可能假命题，以及当有必要条件时，可以判断出真命题或者假命题。

三、教学方法
1.讲解法：让学生充分认识四种命题的概念，以及它们之间的关联和互斥；
2.实际操作法：通过实例题目，让学生实际动起来，判断出这些命题的真假，并且归纳掌握问题解决的技巧；
3.讨论法：让学生以小组形式讨论，分享解题技巧，帮助每个人掌握不同的方法。

四、教学步骤
1.让学生先通过讲解，了解四种命题的概念，以及它们的差别；
2.给出实际的题目，让学生实际动起来，判断出它们的真假；
3.让学生讨论，分享。

高中数学《四种命题间的相互关系》教案一、教学目标1. 了解四种命题（命题、肯定命题、否定命题、疑问命题）的定义及其相互关系。

2. 掌握使用逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。

3. 能够通过推理得出含有复合命题的命题的真假。

二、教学重点1. 掌握四种命题的定义及其相互关系。

2. 掌握逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。

三、教学难点1. 掌握含有复合命题的命题的真假推理方法。

2. 能够根据实际问题判断、转化、等价、逆否命题。

四、教学方法运用讲授、举例、实践等方法。

五、教学过程Step 1 引入新知教师将以下命题逐个呈现给学生：A：上学期数学我没有及格。

B：你不是数学系的学生。

C：你可以给我一些做题的建议吗？D：今天下雨了。

请学生分别判断这些命题的类型，并解释其判断依据。

Step 2 讲解四种命题的相互关系1. 命题：有明确意义的陈述语句，有真假之分。

2. 肯定命题：断言事件一定会发生的命题，其真假值为真。

3. 否定命题：断言事件一定不会发生的命题，其真假值为假。

4. 疑问命题：询问事件是否会发生的命题，无法判断其真假值。

5. 说明四种命题的关系：命题 +肯定命题否定命题疑问命题Step 3 运用逆否命题、转化命题、等价命题进行推理1. 逆否命题：在肯定命题的基础上，将主语和谓语都进行否定得到的命题。

例如：肯定命题“如果A成立，则B成立”的逆否命题是“如果B不成立，则A不成立”。

2. 转化命题：将两个命题的主语或谓语交换位置得到的命题，其真假值与原命题相同。

例如：命题“如果A成立，则B成立”转化为“如果B不成立，则A不成立”。

3. 等价命题：在不改变命题真假性的前提下，将一些命题组合成一个命题表示。

例如：命题“如果A成立，则B成立”和命题“如果B不成立，则A不成立”是等价命题。

Step 4 操练应用请学生以具体的实例来判断、转化、等价、逆否一些命题，提高学生的综合能力。

《四种命题间的相互关系》学历案一、学习目标1、理解四种命题的概念，掌握四种命题的形式。

2、了解四种命题之间的相互关系，能通过逆命题、否命题和逆否命题的转化，判断命题的真假。

3、体会逻辑推理在数学中的重要性，提高逻辑思维能力。

二、学习重难点1、重点（1）四种命题的概念及形式。

（2）四种命题之间的相互关系及真假性判断。

2、难点（1）逆否命题的理解与构造。

（2）通过四种命题的相互关系判断命题的真假。

三、知识回顾1、命题的定义：能够判断真假的陈述句叫做命题。

2、命题的结构：命题通常由条件和结论两部分组成，记为“若 p，则q”，其中 p 是条件，q 是结论。

四、新课导入在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到各种各样的命题。

比如，“若一个数是偶数，则这个数能被 2 整除”，“若两个三角形全等，则它们的对应边相等”等等。

那么，对于一个给定的命题，我们能否通过一定的方式对其进行变形，得到新的命题呢？这些新命题与原命题之间又有怎样的关系呢？这就是我们今天要探讨的内容——四种命题间的相互关系。

五、新课讲授1、四种命题的概念（1）原命题：我们把给出的命题叫做原命题。

例如：“若 a ＞ 0，则 a ＋ 1 ＞0”，这就是一个原命题。

（2）逆命题：将原命题的条件和结论互换，得到的新命题叫做原命题的逆命题。

对于上面的原命题，其逆命题为：“若 a ＋ 1 ＞ 0，则 a ＞0”。

（3）否命题：将原命题的条件和结论都加以否定，得到的新命题叫做原命题的否命题。

上述原命题的否命题为：“若a ≤ 0，则 a ＋1 ≤ 0”。

（4）逆否命题：将原命题的条件和结论先互换，然后再加以否定，得到的新命题叫做原命题的逆否命题。

该原命题的逆否命题为：“若 a ＋1 ≤ 0，则a ≤ 0”。

2、四种命题的形式原命题：若 p，则 q。

逆命题：若 q，则 p。

否命题：若¬p，则¬q。

逆否命题：若¬q，则¬p。

为了更好地理解和记忆，我们可以通过一个具体的例子来进行分析。

1.1.3四种命题间的相互关系教学目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．教学重点：四种命题之间相互的关系．教学难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．问题导思观察下面四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）互否命题，命题（3）（4）是互逆命题.一般地，四种命题的关系如下图：上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？【答案】以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题.一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：例题解析例1 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，也就是说x2+y2 ≠0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.巩固练习一、选择题1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”【答案】A2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【解析】原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．【答案】A3．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】①③是真命题，②④是假命题．【答案】C4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是() A．p↔r，s↔t B．p↔t，s↔rC．p↔s，r↔t D．p↔r，s↔r【解析】因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r↔t.【答案】C5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b【解析】原命题与其逆否命题为等价命题．【答案】C二、填空题6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．【解析】②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．【答案】②③①③①②7．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．【解析】①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．【答案】②8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：甲：小强非第一名，也非第二名；乙：小强非第一名，而是第三名；丙：小强非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．【解析】(1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．【答案】一三、解答题9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．解：(1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)(2)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)(3)该命题为假命题．当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假) 10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a .因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，所以f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．(2)逆否命题是：f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真．所以逆否命题为真．11．已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都无实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4a 2＋44a －3＜0，Δ2＝a －12－4a 2＜0，Δ3＝2a 2＋8a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.解得－32＜a ＜－1.故三个方程中至少有一个方程有实根，则a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－32课时小结1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后 (1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题． 2．四种命题的真假判断原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).。